（运筹学与控制论专业论文）定义在非柱形区域的半线性抛物方程零能控性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文考虑空间一时间区域，使得对每个t 0 ，通过一个g 2 同胚几可将q 变换为t 时刻截面吼，即n ：n - 4 哦，并且变换ng 1 依赖于时间t 这里的参照 区域q 是兄川中具有c r 2 光滑边界的有界开集本文讨论了定义在上述非柱形区 域中的半线性抛物方程零能控性，我们使用的方法主要是通过同胚映射将非柱形 区域中的抛物方程转化为柱形区域中的抛物方程，再利用不动点方法得到半线性 抛物方程的有关结果 关键词：半线性抛物系统，零能控性，不动点 a b s t r a c t w ec o n s i d e rs p a c e t i m ed o m a i n ss u c ht h a t ，f o ra 1 1t 0 t h e i rc r o s ss e c t i o na t tc a nb et r a n s f o r x n e df r 0 1 1 1ar e f e r e n e ed o m a i nq b ym e a n so fac 2d i f f e o m o r p h i s m 几：q q t w ea l s oa s s u i n eac 1d e p e n d e n c eo ft h ed o m a i nq w i t hr e s p e c t t ot i m e t h er e f e r e n c ed o m a i ni sa s s u m e dt ob eab o u n d e do p e ns e to fr “w i t h b o u n d a r yro fc l a s sc 2 、) ，ei n v e s t i g a t ei nt h i sp a p e rt h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yf o r t h es e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si n n o n c y l i n d r i c a ld o m a i n s t h ef i x e dp o i n t m e t h o di su s e di nt h ep r o o f k e y w o r d s ：s e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t y , f i x e dp o i n t 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：芥舔日期：1 。，年r 月，r 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 i。 作者签名：詹督导师签名：、乒弋 日期：2 0 * f - 年- f 月f r 日日期：埘年r 月f r 日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。回重丝塞量童卮澄卮! 旦圭至；旦= 生；旦三生 筮查! 作者签名：弄督 导师签名：1 】上b 日期：扣，年r 月f r 日 日期： 。d 毒y ，月，f 日 第一节引言和主要结果 给定t 0 ，方程定义在随时间增长而变化的区域q 上，qcr “( 0 ，t ) c r n + 1 = r ，r t ，对任意t t ，在t 时刻的截面为呸，它能通过一个c 2 同胚n 由q 转化得到，t t ：n _ n t 不失一般性，我们假设q o = q q = u 呸m ) 0 ( t t 设q 为咒中e 2 光滑的有界区域，q 中的点记为y = ( y l ，) ，q t 中 的点记为z = ( x 。，z 。) 我们有x = n ( 口) ，也用7 一( 可，t ) 表示n ( 可) 是q 的侧边界 记q = qx ( 0 ，丁) ，q 与q 之间存在同胚； ( y ，t ) q ( z ，t ) q ，( z ，t ) = ( n ( ) ，t ) = ( r ，y ) ，t ) 我们假设： 对所有0 t t ，t t 是从q 到q t 的c 1 2 同胚映射( 1 1 ) 7 _ ( ，t ) c 1 ( o ，刁；g ) ) ( 1 2 ) 条件( 1 1 ) 要求对每个t ，对应的q t 能由q 经由一个同胚映射得到这保证 了q 。的拓扑性质不随时间发展而改变条件( 1 2 ) 要求凡关于时间是g 1 的，这 表示区域随时间发展改变虽然不很大，但是它允许各种形变的发生 上述即为我们对q 上几何性质的主要限制 在非圆柱形区域q 中考虑半线性抛物方程 fu i ( z ，t ) 一a u ( x ，t ) + ，( z ，t ；“，v u ) = u ( 。，t ) 1 0 ( z ，t ) = 0 ， i “( 。，0 ) = u o ( z ) ， 7 表示对时间求导，a = 蔫，4 为q 的非空开子集， 为4 在t 时刻的截面，1 6 为口的特征函数 ，( 。，ts ，p ) = ，( 茁，t ；0 ，o ) + 9 ( z ，t ；8 ，p ) s + g ( x ，t ；s ，p ) - p 9 ( ；s ，p ) = 片豢( ；a s ，a p ) 以 g ( ；s ，p ) = 片瑟( ；a s ，a p ) 鼢 ，满足： 1 在q 内， 在宝上，( 1 3 ) 在q 内 对任意0 0 ，p 1 使得p ! 警 1 0 讨论了f = ，( ，v u ) 整体l i p s c h i t z 连续的情 形后来，e z u a z u a 在 4 中证明了若，( ) 满足：当f “i - - + o ( 3 时，( “) 的增 长比川l o g i ( 1 + i u f ) 缓慢，则半线性热方程是零能控的 对于非圆柱形区域的情形，l i m a c o ，m e d e i r o s 和z u a 。z u a 通过同胚变换，将 热方程转化为柱形区域中的变系数抛物方程，得到了定义在非圆柱形区域中线性 抛物方程的零能控性( 见7 1 ) 本文运用【2 】中不动点方法，证明了非线性项，包含状态“及散度项v u 的情况下，系统( 1 3 ) 零能控，从而推广了【7 】的结论由于非线性项，仅局部 l i p s c h i t z 连续，为了应用不动点定理，我们必须计算出观测不等式中的系数c 关 于t ，i i n l l 。，i i b l l 。的精确估计，本文建立了非圆柱形区域中线性抛物方程的能观 性不等式，并给出c | 关于t ，i t a l l 。，i l s l l 。的精确估计 下面给出本文的主要结论： 定理1 1 在假设( 1 1 ) 一( 1 2 ) 下，若，满足( 1 4 ) 一( 1 7 ) ，则系统( 1 3 ) 是零能 控的 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节观测不等式和一个引理 ：u 盂- ：a j u ：+ 。b 。，v ，“+ 。u = w 1 口堇王i 耋 c 。， 对偶问题 i 一妒7 一妒一d i v ( 妒b ) + o 妒= 0 ，( 。，t ) 国， 妒= 0 ，( z ，t ) 奎，( 2 2 ) 【妒( z ，t ) = l p o ( z ) ，z q t 引理2 1 对任意n 三。( 国) ，b l ”( 国) ，妒o l 2 ( q r ) ，存在正常数c 0 ，使 得 1 1 w ( o ) t l ；, z ( n ) 5 e x p c ( 1 + + t + t + ( t + t ) t l 口i i + f l 凸i i 奏+ ( 1 + t ) | | b i f 毛) 】( 厶i 妒l d x d t ) 2 ( 2 3 ) 证明 z q t ，y q ，0 t t ， ( 。，t ) = ( n ( 可) ，t ) = ( 丁( ，t ) ，t ) ， 记妒( 掣，t ) = 妒( n b ) ，t ) = p ( 7 - ( ，z ) ，t )y q ，0 t z 或妒( z ，t ) = 妒( 7 f 1 ( 。) ，t ) = 砂( p ( z ，t ) ，t ) x q t ，0 t 0 ， 或 ij 蛾知万x r 2 w ， u 0 故 上【a 纠( g ) 妒( 可) 由= 上| | m 刮孙由壶上忙l 睦一咖之磊1 | l 瑶2 ) 这就说明了a 是一致强制的 定义 e 枷) = 掣 舶= 掣 珊( 圳= 可0 p 3 ( x , t ) 1 i ，jsn 1 i ，jsn 1 + 2 ，p n ，则( 2 8 ) 的解u 满足“e ( o ，丁 ；w 1 ，”( 吼) ) 且 l l u l l 0 ，任意n l o 。( 国) ，b 上。( 国) 7 ，“o l 2 ( q ) 存在控制 l ”( 口) ，使得( 2 1 ) 相应的解满足让( t ) 兰0 并且u 满足 川j p ( 口) e x p c ( 1 + ；+ 丁+ t + ( t + t ) l 。f | + i | n | | 奏+ ( 1 + t ) | | b | | 己) i i ”o l i l ：m 1 ， 其中c 是仅依赖于国，口，p ，驴1 的正常数 证明 对每个e 0 ，定义函数五 以( 扩) = ；( zi p i d x d t ) 2 刊碑n 一五u 酬0 ) d z v 扩l 2 ( ，( 3 1 ) 其中妒是系统( 2 2 ) 相应于妒。的解 正在工2 ( q t ) 中连续，严格凸，满足 f | ，。j l 。l ：i 。m 。，+ 。i i i ；? e ，钏。：。，。百万啊去i 磊2 岛 因此存在唯一的妒：三2 ( f i t ) ，使得五取得最小值 设慨是( 2 2 ) 相应于妒? 的解，在( 2 1 ) 中取u = ， 2 ( 8 卯慨) ( 上l 忱l d x d t ) l o ( 3 2 ) 则( 2 1 ) 相应的解u 。满足 | | u s ( t ) i t l 。( n ，) ( 3 3 ) 对所有的e 0 ，我们有 l i v 。i i l 一( o ) e x p i g ( 1 + 亭+ t + t j + ( t + t ) 5 l n f l + l 。j j 耋。+ ( 1 + t ) i i b i i ) i i 乱。i i 工。f n l ( 3 4 ) 事实上，由( 3 2 ) 知i i v e l l l 。( 射2z 忱旧茁出9 3 - - 方面，因为五( 妒：) s 五( o ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 0 ，由( 3 1 ) 得 ；( z 恻如d t ) 2s 一上“。忱( o ) d x o ) 慨n 肌慨。) _ 由( 2 3 ) 知，( 3 ，4 ) 式成立 因此吨在l 。( 口) 中一致有界，可抽取子列( 仍记为本身) ，使得在l o 。( 口) 中，写口，其中 上。( 口) 且满足 l i l * ( 口) s e x l “g ( 1 + 士+ 丁+ t + ( 丁+ t ) i i 口| | o o + | | 。l i 毳2 + ( 1 + t ) i f b i i 色) l i u o l i l 。( n 1 ， 相应的( 2 1 ) 的解，在l 2 ( q r ) 中，啦( t ) _ u ( 丁) 又对所有的e 0 ，有 ( 3 3 ) 成立，故u ( t ) 三0 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四节定理1 1 的证明 4 1 当g 和g 是连续函数的情形 设u o w 2 。( q ) n 砩( n ) 给定，p n 假设9 ( 5 ，t ；) c ( r r “) ，a ( x ，t ；) c ( r r 。v ) ，v ( z ，t ) ，且 ( 1 6 ) ，( 1 7 ) 成立 对每个 0 ，存在g 0 ，使得对所有( z ，t ) 囝，下面不等式一致成立 旧( z ，t ；s ，p ) i i + l c ( x ，；s ，p ) 1 2sg + e l o g ( 1 + i s i4 - 旧1 ) v ( s ，p ) r r 。( 4 1 ) 设x = g ( o ，卸；w 1 ，o 。( q t ) ) ，r 0 是一个常数，r 的值将在后面给出 定义函数t r ( s ) ：r _ r 和t r ( s ) ：r 。_ r 。v 酬= 蒜鬈最 t n ( p ) = ( t n ( p i ) ) l _ n ，则存在一个紧集kcx ，使得 m ) c k ， v w x ( 4 5 ) 下面证明对任意a x 7 ，实值函数w x h s u p 上半连续即对 “ ( ) 任意a x 7 ，r ，b 。， = x ：s u p o 是x 中闭集 设( w n ) c 鼠小w 。_ w ，下证w 玩 由9 和g 的连续性假设，我们有 在l ( q ) 中， g ( ；t 冗( w 。) ，t r ( v w 。) ) g ( ；t 冠( 叫) ，t r ( v 伽) ) 在l 。( 国) 中， g ( ；t r ( w 。) ，t 兄( v 讪。) ) 一g ( ；t r ( ) ) t r ( v 州) ) ， 由于 ( 叫n ) 是紧集， ( 。) ck ，可推出对某个u 。 ( 叫。) 有 q s u ，p = ( 4 6 ) ( w n ) 由 ( 山n ) 及u ( 叫。) 的定义知，必存在l 。( 口) 使得 珏n t a u n + g ( ；t 置( ) ，t r ( v ) ) - v 让。+ 夕( ；t 冗( ) ，t 冗( v w 。) ) 。= 口。1 d ， 且 | | “”| xse x p e ( 1 + i i 。| l 墨2 + i i b 。i i l ) i l u o i l 。( n 1 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 v n l i l * ( 口) se x p c ( 1 + le a 。f i 磊+ i f b 。| i 毛) j | 珏o i l z ( n 1 故u 。在x 中一致有界，u 。在工0 0 ( 口) 中一致有界，又由( 4 5 ) ，我们能抽取 子列使得u 。_ 血，v 。写o ，且 i 一砬+ g ( ；t r ( w ) ，t r ( v w ) ) v 也+ 夕( ；t r ( 叫) ，t r ( v 叫) ) 也= 0 1 4 ，在国内 矗= 0 ，在宝上 【也( 。，0 ) = u o ( z ) ，也( z ，t ) = 0 ，在q 内 即o u ( 叫) ，也 ( 训) 因此可以对( 4 6 ) 取极限得血s s u p “ ( 叫) 故训b o ， ，这就证明了 u 7 卜a ( w ) 上半连续 因此，对每个固定的r 0 ，k a k u t a n i 不动点定理保证 存在不动点设札 是 相应于控制u u ( u ) 的不动点，利用( 4 4 ) ( 4 1 ) ， l x 墨e x p c ( 1 + j 1 9 ( ；t s ( u ) ，t r ( v u ) ) l l 磊+ j l g ( ；t r ( u ) ，t 凡( v u ) ) i i l ) i f 札o i i 。州n ) e x p c ( 1 + q + el o g ( 1 + 2 r ) ) l i u o l l w 2 , p ( n ) = e x p c ( 1 + b ) ( 1 - 4 - 2 r ) 啦i l “o l | 舭啪1 取e = 丽1 ，得i x c ( 1 + 2 冗) l i “o l l w ：，一( n ) 当r 充分大时，i x r 成立 4 2 一般情形 假设，满足( 1 4 ) 一( 1 7 ) 引入函数p ，使得在r x r l 中，p 0 ，s u p p pcb ( 0 ，1 ) ，f r 。冗“p ( s ，p ) d s d p = 1 定义函数肌，肌，g 。( n 1 ) 如下 风( s ，p ) ：t t n + i p ( n s ，n p )v ( s ，p ) 兄r y 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s g 。= p a + g ( x ，t ；)g 。= p 。 g ( x ，t ；)v ( 。，t ) q 如和g 。具有如下性质： 1 g n ( z ，t ；) e ( f i r ) ，g 。( z ，t ；) c ( n 冗) ，v ( z ，t ) 电 2 定义 ( z ，；s ，p ) = 如( ，t ；s ，p ) s + g 。( z ，焉p ) p ，则在r r “的紧集上 ，n ( z ，t ；) 一致收敛于，( z ，t ；) ，v ( z ，t ) q 3 对任意m 0 ，存在c ( m ) 0 ，使得 s u pi g n ( z ，t ；s ，p ) j + l g 。扛，t ；s ，p ) | g ( m )v 扛，t ) 国 抽护) m 4 对任意e 0 ，存在m ( e ) 0 ，当i ( s ，p ) j m ( e ) 时，对所有的n 芝 1 ，v ( z ，t ) 国有 il g 。( z ，z ；s ，p ) lsg l o g i ( 1 + l s l + p i ) ， il g o 扛，t ；s ，p ) se l o g ( 1 + i s l + i p l ) 对每个n ，由4 1 节的讨论知，能找到一个控制v n l 。( 口) ，使得系统 iu ：( z ，t ) 一a u 。( z ，t ) + 厶( 。，f ii , n v 乱。) = v n ( z ，t ) 1 口 u n ( 岔，t ) = 0 ， 【u 。( z ，0 ) = u o ( 石) ， 在q 内， 在宴上，( 4 7 ) 在q 内 至少存在一个解。x ，满足让。( t ) = 0 由g n 和g 。的性质知，l h 忆一( 4 ) 曼 g ，| | “。i i x e ，v n 1 故可抽取子列，使得y ns ，“。- 乱对( 4 7 ) 取极限， 则我们能找到控制 l 。( ) ，使得( 1 3 ) 有解u ，满足u ( t ) = 0 1 5 参考文献 1 】v b a r b u ，a n a l y s i s a n dc o n t r o lo f n o n l i n e a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k 、n y ，1 9 9 3 f 2 a d o u b o v a ，e f e r n d n d e z - c a r a ，m g o n z d l e z b u r g o s ，e ，z u a 2 u a ，o n t h ec o n t r o l l a b i l i t y o fp a r a b o l i cs y s t e m sw i t han o n l i n e a rt e r mi n v o l v i n gt h es t a t ea n dt h e g r a d i e n t 3 】e f e r n s n d e z c a r a ，r e m a r k so r t h ea p p r o x i m a t e a n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t yo fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s 4 e n r i q u ef e r n h n d e z c a r a ，e n r i q u ez u a z u a ，n u l la n da p p r o x i m a t e c o n t r o l l a b i l i t yf o r w e a k l yb l o w i n gu p s e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s ，a n n a l e si n s t h e n r ip o i n c a r da n a l y s e n o n - l i n a i r e ，1 7 ( 5 ) ( 2 0 0 0 ) ，5 8 3 6 1 6 【5 】o l e gy n i m a n u v i l o v ，m a s a h i r oy a m a m o t o ，c a r l e m a ne s t i m a t e f o rap a r a b o l i c e q u a t i o ni ns o b o l e vs p a c e s o fn e g a t i v eo r d e ra n di t sa p p l i c a t i o n s ，i nc o n t r o lo f n o n l i n e a rd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，g c h e ne ta 1 e d s ，m a r c e l - d e k k e r 、 2 0 0 0 ，p p 1 1 3 1 3 7 6 1j l i m a c o ，hr c l a r k ，l ，a m e d e i r o s ，e v o l u t i o ne q u a t i o n so fb e n j a m i n - b o n a m a h o n yi nn o n c y l i n d r i c a ld o m a i n s 7 1 j u a nl i m a c o ，l u i sa m e d e i r o s ，e n r i q u ez u a z n a ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o i l t r o l l a b i l i t yf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n s i nn o n c y l i n d r i c a ld o m a i n s 【8 p a z ya ，s e m i g r o u p