（核技术及应用专业论文）用于产生高品质磁场的磁铁极面优化新方法.pdf

摘要 摘要 电磁铁是加速器的重要组成部分之一，加速器常用的电磁铁有二极磁铁、四 极磁铁、六极磁铁和八极磁。有时也用到组合型磁铁，例如二四极组合型磁铁、 四六极组合型磁铁、六四极组合型磁铁等。设计高质量的电磁铁始终是加速器设 计中的一项重要的工作。 本文主要采用优化磁铁极面法来设计常用的各种类型磁铁，优化磁铁极面 方法是通过极面方程，采用程序来寻找最优化的极面形状，使磁铁的高次谐波场 尽量小，从而设计出高质量的磁铁，避免了在实际制造磁铁时候，用垫补的方法 来减小直接截断带来的高次谐波场。 论文中采用极面优化的方法设计了二极磁铁、四极磁铁和六极磁铁单一功能 的磁铁，获得了高质量的目标磁场，与传统的方法相比，高次谐波场很小。为了 满足合肥先进光源( h a l s ) 物理设计所需要的组合型磁铁要求，采用同样的方 法设计了组合型磁铁，分别设计了二四极组合型磁铁、四六极组合型磁铁、六四 极组合型磁铁，达到设计目标，获得了高质量的目标磁场。 论文的主要工作是编制了优化磁铁极面的程序，通过程序自动寻找最优化的 极面，然后根据优化好的极面，设计模型磁铁，用泊松程序对其磁场进行计算， 并对磁场进行多项式分析，根据分析结果判断磁场质量的优劣。论文工作证明极 面优化方法是一个可行的方法，是设计组合型电磁铁的很好选择之一。 关键词：组合型磁铁，磁铁极面，极面优化，磁场分布 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ee l e c t r o m a g n e t sa r ei m p o r t a n tp a r t so fa l la c c e l e r a t o r t h e r ea r et w os o r t so f c o m m o n l yu s e de l e c t r o m a g n e t s o n ei ss i n g l e - f u n c t i o nm a g n e t ，s u c ha sq u a d r u p o l e m a g n e t ，s e x t u p o l em a g n e ta n do c t u p o l em a g n e t t h eo t h e ri sc o m b i n e df u n c t i o n m a g n e t s u c ha s d i p o l e q u a d r u p o l em a g n e t ，q u a d r u p o l e s e x t u p o l em a g n e t ， s e x t u p o l e q u a d r u p o l em a g n e ta n ds oo n t h ed e s i g no fh i g h - q u a l i t ye l e c t r o m a g n e t s h a sa l w a y sb e e na ni m p o r t a n tt a s ko fd e s i g n i n ga na c c e l e r a t o r i nt h i s p a p e r ，an e wm e t h o do fd e s i g n i n gt h em a g n e t si sm a i n l y d e s c r i b e d a c c o r d i n gt ot h ep o l a re q u a t i o n ，w eu s ec o m p u t e rc o d et of i n dt h eo p t i m a ls h a p eo f t h ep o l e f a c e ，s ot h a th i g h o r d e rh a r m o n i cm a g n e tf i e l di sv e r ys m a l l w i t ht h i sw a yt o d e s i g nam a g n e to n e n e e dn o tf i r s tt r u n c a t ea n dt h e ns h i mt h ep o l e f a c e t h ep r o g r a m c o d eg i v eu st h ed a t ao ft h ep o l e f a c e ，t h e nw ec a ng e tam a g n e to fh i g hf i e l dq u a l i t y i nt h i s p a p e r , w i t hp o l e - f a c eo p t i m i z a t i o nm e t h o d ，o n ed i p o l e m a g n e t ，o n e q u a d r u p o l em a g n e ta n do n es e x t u p o l em a g n e ta r ed e s i g n e d ，a n dh i g h q u a l i t yt a r g e t m a g n e t i cf i e l d s a r eo b t a i n e d c o m p a r e dw i t hm a g n e tf i e l dq u a l i t yd e s i g n e db y t r a d i t i o n a lm e t h o d s ，t h eh i g h h a r m o n i cf i e l d so ft h em a g n e ta r ev e r ys m a l l i no r d e rt o m e e tt h ep h y s i c sd e s i g nr e q u i r e m e n t so fh e f e ia d v a n c e dl i g h ts o u r c e ( h a l s ) ，s o m e c o m b i n e dm a g n e t sa r ed e s i g n e da n dh i g hq u a l i t yo ft a r g e tm a g n e tf i e l dg o tw i t ht h e s a m em e t h o d t h em a i na c h i e v e m e n to ft h ep a p e ri st h ew r i t i n go fac o m p u t e rp r o g r a mf o r o p t i m i z i n gt h ep o l e f a c eo fam a g n e t u s i n gt h ep r o g r a mt h em o s to p t i m a lp o l e f a c e c a na u t o m a t i c a l l yb ef o u n d w i t ht h eo p t i m a lp o l e f a c e ，w ed e s i g nam o d e lm a g n e t a n dt h e nc a l c u l a t ei t sf i e l dd i s t r i b u t i o nb yp o i s s o nc o d e ，a n df i tt h ed a t at op o l y n o m i a l t h er e s u l t so ft h ea n a l y s i si n d i c a t et h a tt h em a g n e t i cf i e l dq u a l i t yi sg o o d t h em e t h o d o fd e s i g nm a g n e t sp r e s e n t e di nt h ep a p e ri sa l s oaf e a s i b l ew a yo fd e s i g n i n ga c o m b i n e df u n c t i o nm a g n e t k e y w o r d ：c o m b i n e df u n c t i o nm a g n e t ，m a g n e tp o l e f a c e ，o p t i m i z a t i o no fp o l e f a c e ， m a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o n i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 垒攀 签字日期： 掣 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中国学 位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 厶开口保密( 年) 作者签名： 签字日期： 导师签名： 缒卫7 绪论 绪论 合肥国家同步辐射实验室在将来的发展计划中有一个建造合肥先进光源 ( h e f e ia d v a n c e dl i g h ts o u r c e h a l s ) 的计划，这个光源的电子储存环为 f b a 聚焦结构，周长3 9 2 m ，全环包括1 8 个超周期。磁铁系统是储存环的重要组 成部分之一，共9 0 块二极磁铁，1 8 0 块四极磁铁和2 8 8 块六极磁铁。为了节约 空间以减小电子储存环的建造规模，同时达到物理设计要求，设计中采用了二、 四极组合型磁铁，四、六极组合型磁铁和六、四极组合型磁铁方案。 众所周知，储存环束流自然发射度为 c q r 2 厶 q 2 了f 为了迸一步降低束流发射度，可以采用组合型二极磁铁以产生大于1 的阻尼 分配数。虽然这种磁铁相对较常规，但通过优化设计减小高次谐波分量从而产生 高品质的磁场仍具有重要意义。 为了充分发挥六极磁铁的自然色品补偿作用，其位置一般放在bi l 较大的位 置。因此在色散段中使用带有六极分量的四极磁铁不但可以有效地节约利用空 间，还可以最大效率地补偿自然色品。目前国际上，四、六极组合磁铁技术有些 已日趋成熟，有些还处于研究阶段。要设计并制造一块满足h a l s 设计要求的该 类型磁铁，需要在充分了解国际上最新进展的前提下，提出可行性实施方案。为 此国家同步辐射实验室开始进行组合磁铁设计研究。本课题就是在这个大背景下 提出的，采用国际上正在发展的优化磁极极面的方法，同时产生四六极磁场或六 四极磁场或二四极磁场等场形，优化提高我们需要的多极场强度。 目前国际上组合型磁铁技术在加速器领域得到了广泛的应用并取得长足发 展。但是在国内这方面研究还刚刚起步，需要在这个方向投入研究力量。首先需 要进行理论设计研究，通过理论计算设计出组合磁铁的方案，论证实际制造的可 行性，寻找要达到设计指标的最佳途径。本课题是这项研究的初级阶段，主要是 进行二维磁铁结构设计，通过成熟的泊松程序对设计的磁铁进行磁场模拟计算， 来验证组合磁铁磁场的形态和强度，以期寻找最佳的磁场分布，满足我们储存环 的物理实际要求。 本论文主要分五章，第一章简单介绍用于粒子加速器制造的各种常规电磁铁 以及它们作用；第二章通过对国际上各种组合磁铁的调研，介绍了各种组合磁铁 的制造和研究情况；第三章介绍了二维电磁场理论，在直角坐标和极坐标下，给 出各多级场的计算表达式；在第四章中，详细介绍了加速器常规磁铁极面的优化 绪论 设计。在第五章中，我们通过二维泊松方程和自己编制的优化程序，进行了组合 磁铁的设计研究，给出二四极组合磁铁、四六极组合磁铁及六四极组合磁铁的设 计方案和磁场强度的计算结果。并对程序化加速器组合磁铁极面的优化设计进行 了系统小结。 第一章加速器常规电磁铁简介 第一章加速器常规电磁铁简介 磁铁是加速器中的重要组成部分之一。加速器的作用是使得被加速带电粒子 获得一定要求值的能量，通常这个能量值较大。因此，要使带电粒子获得较高的 能量，有时给带电粒子只加速一次可能无法获得较高能量，必须使带电粒子反复 多次得到加速。要使带电粒子反复获得加速，重要条件之一是把运动的带电粒子 约束在一定的空间之内，否则无法给带电粒子多次加速。因此，必须使带电粒子 沿着一定的轨道运动。既要给带电粒子的加速，又要对带电粒子进行约束，使之 不能偏离运动轨道太多。实现对带电粒子约束的主要方法是利用磁场对运动带电 粒子洛伦兹力的作用来实现。而磁场是由各种类型的磁铁产生的。运动的带电粒 子在磁场中受到的洛伦兹力可表示为： f = e v x b ( 1 1 ) 由于磁场力的方向总是垂直于带电粒子的运动方向，它只能改变带电粒子运 动的方向，而不改变带电粒子的能量，不会对带电粒子做功。因此，在加速器中， 磁场力主要用于约束带电粒子，使带电粒子形成的束流在一定的轨道内运动。根 据控制粒子运动轨道的要求，加速器中的带电粒子形成的束流是以接近光速高速 运动，必须以特殊形式的磁场对其运动进行约束，才能使带电粒子获得持续稳定 的加速并积累到一定强度的束流。 1 1 二极铁 二极磁铁的作用是在一定空间范围内产生匀强磁场的磁铁，理想的二极磁铁 是由两个无限大异名平行磁极平面构成。二极铁的主要作用是使带电粒子形成的 束流经过二极磁铁匀强磁场区时改变束流的运动方向。理想的二极磁铁磁场是有 一定强度的匀强磁场，其作用是使粒子的运动轨道弯转，弯转的曲率半径与粒子 能量成正比，与磁场的磁感应强度成反比。 t ：l ( 1 2 )t = l 二， 。3 0 0 q b 式中为弯转曲率半径，矿为粒子动能，b 为磁感应强度，g 带电粒子电荷数。 第一章加速常规电m 铣摘介 图1 1j 极磁铁三维模型幽i2：拔掘i 铁实物图 幽( 11 12 ) 显示的磁铁也称为弯转磁铁。带电粒予在这种磁场叶| 运动由 于受到的沿伦兹力始终垂直j 其运动方向，战该力只改变带也孝立于的运动方向， 使其沿运动着蹦弧轨道运动而带电粒子的进度大小4 i 变。在加述嚣中特* 4 是在 伸存环中是必小可缺的组成部分。 1 2 四极磁铁 凹极磁铁产生的磁场是磁场一阶梯度为常数的磁场，其作用是使粒子的运动 以中心轨道为轴线聚焦，聚焦力的大小与磁场梯度成l h 比。形成这种均匀梯度磁 场的磁铁是四极磁铁。这种磁铁也称为聚焦磁铁。四扳铁是磁场梯度恒定的磁场， 儿体地说可以用f 面的式子表示，8 。= h ，k 为常数t 且= 饥k 为常数，四极铁 磁场特点如图1 3 所示。例如，当带电粒子( 假设是正啦了) 沿z 轴方向运动在 x 轴上偏离坐标原点时，其偏离的越大，y ：j 向的磁场分盈就越大，此时受到磁 场向左的力也随着增大，这种情况下的洛伦兹力就象弹性恢复力一样作用在带电 粒子上，使带电靴子向原点靠近。带电粒子经过四极磁铁时，反复受到四极磁铁 的作用，运渐向原点靠近，这便是四极磁铁对运动的带电粒子所谓的聚焦作川。 图15 是个四极磁铁模型圈，网1 6 是台肥电子储存环上一个硼极磁铁实物图。 珈 i f 。 0 圈1 3 凹极磁铁磁场在坐棒轴 ：竹分布 图1 4a 极5 l 圭铁x 轴方n 磁场分布 第一章加速器常规电磁铁简介 图1 , 5 四极磁铁三维模拟图图1 6 四极磁铁实物图 1 3 六极铁 电子储存环上，为了约束电子的横向运动，使用了很多四极磁铁，不同动量 的粒子在通过四极磁铁时看见不同的聚焦强度因此有不同的口振荡频率，导致 整个储存环的色品为负值，负色品的储存环是不能正常运行的，必须把色品校正 因此用到磁场的二阶梯度是恒定常数的磁铁，其校正色品的能力与磁场二阶梯度 成正比。形成这种磁场形态的磁铁是六极磁铁。所以，均匀二阶梯度磁场也称为 六极磁场。六极磁铁的磁场可阻用下面式子表示， 占= 缸2( 1 3 ) 为常数，磁场分布如图1 4 所示。图1 7 是六极磁铁三维模拟图周l8 是台肥光源 上六极铁实物图。 圈1 7 太极磁铁三维模拟圈 圈1 8 六极磁铁实物圈 1 4 八极磁铁 由于电子储存环上电子束流会发生横向集体不稳定性，电子之间一旦运动状 态发生共振，振荡幅度会越来越大，最后导致柬流丢失或部分丢失，可以采取很 第一帝加速器常规自* 简舟 多办法来抑制这种不稳定性的发生，一种比较简单办法就打乱电予之间同。步 伐，使振幅不同的电了具有小j 耐的振荡频率，把不稳定性阻尼f 去；恒定三阶梯 度磁场在加速器中就具有这种功能，打乱电子的步伐，瞰尼束流集体不稳定性， 这种阻尼不稳定性的方式就是所谓朗道阻尼。产生这种磁场形态的磁铁是八极磁 铁。这种i 阶梯度磁场也称为八极磁场。图19 就是用在合肥电子储存环上阻尼 求流集体不稳定性的八极铁实物照相蹦。 闰1 9 八极碰铁史物h 小结加速器磁铁是加速器中的重要元件，对带电粒子的规范控制作用只有 通过各种磁铁才能实现。而且，磁铁磁场质量的好坏直接影响带电粒子柬的品质 和寿命。所雌，开展加速器磁铁设计的研究具有糍其重要的意义。 第2 章组合磁铁简介 第2 章组合磁铁介绍 上一章我们介绍的磁铁都是特定的空间上产生一种形态的磁场，有时在同一 空间上，同时存在两种或多种给定要求的磁场形态。产生这种组合磁场形态的磁 铁称为组合磁铁。例如，在恒定二极磁场的基础上再加上一个恒定梯度磁场，这 种组合磁铁可以同时既能对带电粒子弯转又能够对带电粒子聚焦。组合磁场可有 多种形式组合，例如二、四组合，四、六组合。 2 1 二四极组合型磁铁 二、四极组合型磁铁即是兼有二极铁和四极铁两种功能的磁铁，是比较常见 组合磁铁。当二极磁铁的两个极面形状近似双曲面时，磁极问不但可以得到一个 二极分量，还可以得到一个相对较高的磁场变化梯度。为了更高的磁场品质，即 高次谐波尽量低。可以尝试采用以下几种方案。 ( 1 ) 对于电磁铁而言，在励磁电流相对较高时，磁极中某些区域的磁场有可 能达到饱和，磁极问的场分布通常会有所变形从而影响磁场质量。这时可以通过 在磁极中磁通密度相对较低的部位开槽、打孔的方式改变磁力线分布，使得铁芯 中的磁通密度变得相对均匀。这种方法可以有效地改善极间磁场分布 1 ，2 。 实验证明这种二极磁铁在3 0 0 m m 宽，5 6 r a m 高的极间距情况下，主导磁场为 0 2 7 t 1 8 t 范围内可以实现l o o m m 的好场区( 0 0 2 0 0 4 ) ，并且其中未用到极 头垫补技术。 ( 2 ) 利用求解二、四极组合情况下的磁标势方程的方法来获得极面形状，这 种方法可以有效地抑制磁场高次谐波。相关实验证明通过优化磁极面形状，可以 得到高阶分量低于1 0 q 的磁场分布 3 6 。 ( 3 ) 对于二、四极组合磁铁，磁极间隙中总有一侧的场高于另一侧，因此当 励磁电流相对较高时，极间距小的一侧首先会达到饱和，从而造成场的品质下降。 这时可以通过优化磁轭结构的方法来尽量避免磁极上中出现饱和，从而提高场的 品质。如调节两侧磁轭的厚度，磁极高度等。模拟计算表明经过结构优化后的磁 铁除了二、四极分量外，其它高阶分量都在l o 叫量级以下 7 。 目前在提高磁场品质方面没有通用的成熟技术，因此在样铁研制过程中，以 上三种措施都可以尝试采用。 2 2四六极组合型磁铁 第2 章组台磁铁简介 目前围际上已投入应用的哦利噗型组台磁铁主要有以fj l 种设计思路。 ( 1 ) 辅助线圈让 利j j 在常规四极磁铁上加入辅助线圈以产生六极场分量。基本结构如生| 2 1 所示，如下图所示。铁芯形状为常规四极磁铁铁芯，其中磁极头上的辅助线圈可 以同时产生，极和二极场分量；另外一组辅助线圈为二扳场校正线圈，用于抵消 前一个辅助线圈所产生的二二极场分量。l v s o r i ：t 前使用的即这种类型的纽台磁铁 8 ，其磁铁参数如表2l 所示。 陶2 1 四六枉 组台磁铁 图2 2 辅助线蹦法纽台型避铁 第2 章组合磁铁简介 表2 1u v s o r 组合磁铁参数 c o r el e n g t h b o r ed i a m e t e r q u ad r u p o l ec o i l s e x t u p o l ec o i l d i p o l ec o i t e c t i o n c o i l m a x m m mq u a c k u p o l ef i e l d m a x h n m ns e x n l p o l ef i e l d o 2m 9 4i l l l i l 6 2 5 ax2 4t u r n s 4 0 0 ax4t t u n s 4 0 ax2 lt u r n s l5t m 3 5t n f 这种方案的缺点是很难获得较强的六极场分量，并且磁极头上的辅助线圈会 占用磁铁间隙的有效利用空间。同时实验研究证明，当励磁线圈电流加到相对较 高时，铁芯中某些部位首先达到饱和。这时使用理论计算的励磁电流已不能得到 设计中要求的六极铁强度，并且不能很好的抵消辅助线圈产生的二极场分量。 ( 2 ) 十二极磁铁法 利用在常规十二极磁铁上加入相应的励磁线圈可以分别产生四极分量和六 极分量。由该方法产生的磁场质量有待进一步改善提高。 ( 3 ) 非对称激励法 利用对常规四极磁铁非对称激励的方法产生六极分量。磁铁中的励磁线圈分 别通不同的励磁电流，结构如图2 3 所示。d u c k 电子储存环使用了该种组合磁铁 9 ，1 0 3 。计算机模拟计算和磁铁测量结果表明，除了出现较弱的十二极分量 外，该结构可以产生高品质的二、四、六极组合磁场。测量结果表明，在1 8 2 0 非对称激励的情况下，组合型四极铁可产生3 5 t m 的四极分量，六极场梯度为 3 5 0 t m 2 ，磁中心偏移为2 2 5 m m 。由于二极场分量所产生的磁中心偏移的存在， 所以做储存环设计时要使束流轨道中心通过新的磁中心。 9 菇2 章组合磁铁简介 ( d ) 鞋极面形状优化法 利用对组含磁场分量的等势面作为组合磁铁的磁撒面的方法。这种方法除了 可以搿到相对较高的四，六极场分量外，还可以有效地抑制高阶场分量的产生。 根据对高阶场的不同要求，极面形状有所不同。图24 、图25 分别是浚思路下不 同的极面优化设计方案 4 ，5 。由于磁场六极分量己由磁铁形状确定，所以其 独立a r 调节性较差，只能通过磁轭上的线圈绕组进行微调 儿 ，具体结构示意图 如图26 所示。 目前运行中的机器如m xl i 利异；| 该种方案制造的磁铁产生的a 板分量可以达 到2 0 0 t 吡左右e 63 。其具体参数如表22 所示。 豸匙 蚓2 4 撮而优化方案1图z 5 投面优化方案2 圆 幽2 6c 型网、穴极 l l 合磁铁示愈崮 第2 章组合磁铁简介 表2 2m a xi i 组合磁铁参数表( q u a d m a n ds e x t u p o l ep a r a m e t e r s ) q fq rq dq d l e n g t h ( m ) 0 2 5o 5o 20 18 n u m b e r2 0 1 02 02 0 b t ( t m ) 2 0 9 2 0 91 9 9 1 9 9 b ”( t m 。2 1 9 71 0 1l8 318 1 b o r er a d i u s3 03 03 03 0 ( r a m ) p o w e r ( k 帅 3 14 72 52 4 以上各方案表明，目前运行中的加速器上用到的组合型四、六极磁铁的六 极分量强度尚不能满足h a l s 光源的设计要求，因此需要研制一块四、六极组合磁 铁，使其不但可以产生7 0 0 t m 2 左右的强六极场分量，而且能够有效地抑制高次 谐波产生。目前的预研工作主要是以方案4 为基础进行深入研究，将其作为首选 方案。 2 3六二极组合型磁铁 电子储存环上六极磁铁除了其产生六极场的主要功能外，还可以通过加入辅 助线圈的方法产生二极偏转磁场( 校正子功能) 和斜四极磁场。同样，提高磁场 品质也是需要解决的问题之一。调节使得铁芯中磁力线分布相对均匀，优化磁轭 及极头形状等方法都可以尝试使用。另外还可以利用h a l b a c h 扰动理论 1 2 计算 所需要的二极场激励。该理论还可以根据设计中需要的高阶场强度有效地计算对 应的辅助线圈激励。 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 3 1 麦克斯韦方程组 无电流条件下的麦克斯韦方程如下： v 云：0 v 疗：7 ：0 b = 一v 函 v 2 矽= 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 3 2 直角坐标系f 拉晋拉斯方程的解 在二维恒定磁场中，标- - 且里似1 旦l 满足拉普拉斯方程。在直角坐标系中，该方 程为 瓦a 2 + 雾 ( 3 - 5 ) 对于磁势满足拉普拉斯方程的磁标势可以写成复数形式 2 善c 一( x + y i 厂 ( 3 6 ) 3 2 1 二极磁铁的磁标势方程 二极磁铁的磁标势可写为 欢= c i ( x + y i ) 晚l = c i x ( 3 8 ) 式为磁场方向为x 方向二极磁铁的磁标势表示式。 最：一挚：一q d x ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 同理 b y - a 哕2 , 一。 唬2 = q y 为磁场方向为y 方向二极磁铁的磁标势表示式。 鼠一警= 。 b 一等叫 3 2 2 四极磁铁的磁标势方程 四极磁铁的磁标势可写为 九= c 2 ( x + y i ) 2 = c 2 ( x 2 - y 2 ) + f ( 2 拶) 】 = c 2 ( x 2 - y 2 ) + i c 2 ( 2 x y ) 九l = c 2 ( x 2 一y 2 ) 为斜四极磁铁的磁标势表示式。 反：一煦：一2 c ：x4 a x 或l x = o - 挚：也：x ：o ( 】，一戤) o x 吼= 0 = 一警一2 吵( x 一取) 髟一等地z y 吼= o = 一等_ 2 俨0 心圳 同理 识2 = c 2 ( 2 x y ) 为正四极磁铁的磁标势表示式。 1 4 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 色= 一婴= 一2 c 2 y 0 最i ，；。= 一o a 0 4 1 = 一2 c 2 y ( 】，一只) 锻 吼= o = 一警一2 乞y = o - ( x 一色) b l 0 - - 誓_ - 2 垆0 ( 】，一色) 吼矿一警_ _ 2 啡( x b y ) 3 2 3 六极磁铁的磁标势方程 六极磁铁的磁标势可写为 九= c 3 ( x + y i ) 3 = “( x 3 3 拶2 ) + 邸x 2 y - y 3 ) 】 = 巳( z 3 3 x y 2 ) + i c 3 ( 3 x 2 y - y 3 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 唬l = c s ( x 一3 叫) ( 3 2 8 ) 为斜六极磁铁的磁标势表示式。 段：一挚：一3 c 3 ( x 2 _ y 2 ) ( 3 3 0 ) 色l ，：。：一望霎红：一3 c 3 ( x 2 _ y 2 ) ：3 巳y 2 ( 】，一色) ( 3 3 1 ) 最l y = o = 酗6 1 ：一3 c 3 ( x 2 一y 2 ) ：一3 c 3 x 2 ( y q ) ( 3 3 2 ) o x b = 一监o y = 6 c s 砂 色l 。= 一兽= 6 巳砂= o 一岛) ( 3 3 3 ) b l ，：。= 0 d b v 6 1 _ 6 c 3 砂= o ( x b ) ( 3 3 4 ) 同理 唬2 = c s ( 3 x 2 y - y 3 ) ( 3 3 5 ) 为诈六极磁铁的磁标蚺表示式。 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 或= 一粤= 一6 c 3 x y ( 3 3 6 ) d x 色l x = o ：- - 里霎堡：一6 c 3 x y = o ( 】，一色) ( 3 3 7 ) 0 鼠j 妒。= 一警= 一6 巳拶= o ( 彳一晟) ( 3 3 8 ) 哆= 一誓= - 3 c 3 ( x 2 _ y 2 ) 3 9 ) b ，i ，：。：一皇霎鱼：一3 c 3 ( x 2 - - y 2 ) ：3 c 3 j ，2 ( 】，一b ，) ( 3 4 0 )。 钟 。 岛b = 一- 觥- 矿y = - 3 c 3 ( x 2 - - y 2 ) = 一3 白n 2 ( x 一髟) ( 3 4 1 ) 32 4 八杷磁铁的磁标鹳方稆 八极磁铁的磁标势可写为 九= c 4 ( x + y i ) 4 = c 4 【( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 ) + 2 x y ( x 2 一y 2 ) f 】 = 气( x 4 6 x 2 y 2 + 少4 ) + 2 g x y ( x 2 - y 2 ) f 识1 = 气( x 4 6 x 2 y 2 + y 4 ) 为斜八极磁铁的磁标势表示式。 同理 色：一挚：一4 c 4 ( x ，一3 x y 2 ) 僦 色= 一煎o y = 4 c 4 ( 3 x 2 y _ y 3 ) 唬2 = 2 c 4 x y ( x 2 一y 2 ) 为正八极磁铁的磁标势表示式。 或：一挚：一2 c 4 ( 3 x 2 y y 3 ) o x b 一等= - 2 c 4 却2 ) 1 6 ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 。4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 3 2 52 n 极磁铁的磁标势方程 唬。= c n ( x + y i ) ” = c n 【( 矿一x ”2 y 2a r 一- , 。4 工”4 y 4 + ) + ( q x ”一3 y 3 + c s x “_ 5 y 5 一c n t x ”7 y 7 + ) f 】 = 巳( 矿一c 2 n x 柚y 2 + c 4 x 州y 4 + ) + 巳( c ：x ”- 3 y 3 + c s x ”5 y 5 一c t nx ”_ 7 j ，7 + x 对于斜2 n 极磁铁磁标势 识棚= 巳( 矿- c z x ”2 y 2 + c 4 x ”4 y 4 + ) 召：一堂 = 一c n h x “一一c ：( n - 2 ) x ”一3 y 2 + c 4 ( 万一4 ) x ”一5 少4 + 】 q = 一百锄2 n , i = 一巳 一2 乙c 。n x n - 2 ) ，十4 l , - , 。4 x n - 4 y 3 叫 对于正2 n 极磁铁磁标势 ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) 识础= 巳( x ”3 y 3 + c s x ”5 5 y q x ”7 y 7 + )( 3 5 3 ) 3 3 组合磁铁的磁标势方程 3 3 1二四极组合磁铁磁标势方程 如4 = q ( x + ) + c 2 ( z + j ，f ) 2 = 【q x + 乞( x 2 一y 2 ) 1 + i q y + c z ( 2 x y ) 对于斜二四极组合磁铁 唬4 l = c l x + c 2 ( x 2 一y 2 ) 或= 一掣= 一( c l + 2 c 2 x ) o 色i x _ _ o = - 0 2 4 1 = 一( q + 2 c 2 x ) = 一c 1 ( 】，一统) a x 盈i 脚：一挚= 一“+ 2 c 2 x ) ( x 一只) 僦 彬= 一警劫：y l y ：o = - 等= 2 c ：y = 。色) 1 7 ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) ( 3 s 7 ) ( 3 5 s ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 盯于止一四微组首能饫 唬4 2 = c l y + c 2 ( 2 x y ) 最：一挚：也：y o x 鼠b ：一挚：一2 c 2 y ( y 一剐 o x bi ，：0 = 一i ( 劬2 4 2 = 一2 c 2 y ：o ( x 一色) 础 b = 一百( 黝2 4 2 = 一c 。一2 乞x b k 。= 一警叫_ 2 c ：一( y 一岛) 目k 。= 一警= - c l 砌：( x e ) 3 3 2四六极组合磁铁磁标势方程 九6 = c 2 ( x + j ，f ) 2 + c i ( x + y i ) 3 = 【c 2 ( x 2 一y 2 ) + c 3 ( z 3 3 砂2 ) 】 + f 【c 2 ( 2 x y ) + c 3 ( 3 x 2 y - y 3 ) 】 对于斜四六极组合磁铁 ( 3 6 1 ) ( 3 6 2 ) ( 3 6 3 ) ( 3 6 4 ) ( 3 6 5 ) ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) ( 3 6 8 ) 九6 l = 【c 2 ( x 一y ) + c 3 ( x 。一3 x y ) j 【) 6 9 ) 最：一掣= _ 2 巳x + 3 c 3 ( x 2 一y 2 ) 】 ( 3 7 0 ) d x eb ：一挚= 一 2 c 2 x + 3 c 3 ( x 2 y 2 ) = 3 c ，y 2 ( 】，一助( 3 7 1 ) o x 段b ：一t 劬_ 4 6 1 。dx = 一 2 c 2 x + 3 c 3 ( x 2 - y 2 ) 】 ( 3 7 2 ) = 一( 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 ) ( x 一只) b ，：一掣：2 c 2 y + 6 c 3 砂 ( 3 7 3 ) 。d 1 ， b ，i ，：。：一c q _ 4 6 1 ：2 c 2 y + 6 q x y = 2 c 2 y ( 】，一哆) ( 3 7 4 ) 。d1， 岛i y ：。= 一百c 3 痧4 6 1 = 2 c ：y + 6 巳砂= o ( x b ) ( 3 7 5 ) 1 8 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 对于正四六极组合磁饫 么6 2 = c 2 ( 2 x y ) + c 3 ( 3 x 2 y - y 3 ) ( 3 7 6 ) 皿：一筝：一( 2 c 2 y + 6 c 3 砂) ( 3 - 7 7 ) 一警 ( 3 7 8 ) 0 x t ) o ， = 一( 2 c 2 y + 6 c 3 x y ) = 一2 c 2 ( j ，一皿) 色b = 一百0 4 6 2 ( 3 ，9 )。ox i ) y ， = - ( 2 c 2 y + 6 c 3 x y ) = o ( x e ) 召。：一攀：之c 2 x - - 3 c 3 ( x 2 _ y 2 ) ( 38 0 ) 0 3 , 色k 一警 71， = - 2 c 2 x 一3 c 3 ( x 2 - y 2 ) ( 3 8 1 ) = 3 c 3 y ( 】，一髟) 一警 = 一2 c 2 x 一3 c 3 ( x 2 - y 2 ) ( 3 8 2 ) = - 2 c 2 x - 3 c 3 x 2 , ( x b ) 上式可知，前一项即对应于组合磁场中的四极磁场，后一项即对应于组合磁 场中的六糨磁场。 3 4极坐标系下多极矩磁标势方程 对于磁势满足拉普拉斯方程的磁标势可以写成复数形式 = c 。 r ( c o s 0 + i s i n 0 ) ” 1 1 = l 3 4 1 二极磁铁磁标势方程 二极磁铁的磁标势可写为 晚= q r ( c o s 0 + s i n 0 ) = q r c o s 0 + i c i s i n o 唬1 = g r c o s 0 为斜二极磁铁的磁标势表示式。 ( 3 8 3 ) ( 3 8 4 ) ( 3 8 5 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 e ：一挚：一q c o s 口 岛一吾等叫n p 同理 缟22 c l r s i n o 为正二极磁铁的磁标势表示式。 e ：一挚= - - c 1s i n 臼 岛= 一了1 兽1 c o s 曰 3 4 2 四极磁铁的磁标势方程 四极磁铁的磁标势可写为 仡= c 2 r ( c o s 0 + i s i n 0 ) 2 = c 2 r 2c o s ( 2 0 ) + i c 2s i n ( 2 0 ) 么1 = c 2 r 2c o s ( 2 0 ) 为斜四极磁铁的磁标势表示式。 e ：一挚：一2 c ：r e o s ( 2 0 ) b o = _ 1 ，鲁= 2 c 2 埘n ( 2 目) 同理 疵2 = c 2 r 2s i n ( 2 0 ) c 2s i n ( 2 v )织22 。 为正四极磁铁的磁标势表示式。 耳：一挚：也：，s i n ( 2 口) 岛= 一了1 警= 一2 c 2 瑚s ( 2 d 3 4 3 六极磁铁的磁标势方程 六极磁铁的磁标势可写为 唬= c 3 r ( c o s 0 + i s i n 0 ) 3 = g r 3c o s ( 3 0 ) + i c 3s i n ( 3 0 ) 唬1 = c 3 r 3c o s ( 3 0 ) ( 3 8 6 ) ( 3 8 7 ) ( 3 8 8 ) ( 3 8 9 ) ( 3 9 0 ) ( 3 9 1 ) ( 3 9 2 ) ( 3 9 3 ) ( 3 ，9 4 ) ( 3 9 5 ) ( 3 9 6 ) ( 3 9 7 ) ( 3 9 8 ) ( 3 9 9 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 为斜六极磁铁的磁标势表示式。 耳：一挚：一3 c 3 r 2c o s ( 2 8 ) 岛一吾筹咄1 , 2 s i n ( 3 回 同理，对于正六极铁 唬2 = 巳，3s i n ( 3 8 ) 为正六极磁铁的磁标势表示式。 e ：一挚：一3 巳，zs i n ( 3 口) o r b o = 一号等一3 旷c o s ( 3 8 ) 3 4 4 八极磁铁的磁标势方程 八极磁铁的磁标势可写为 唬= c 4 r ( c o s 0 + s i n 0 ) 4 = c 4 ，4c o s ( 4 0 ) + i c 。s i n ( 4 8 ) 唬l = c 4 r 4c o s ( 4 8 ) 为斜八极磁铁的磁标势表示式。 耳：一挚：一4 c 4 r 3c o s ( 4 8 ) 岛= 一吉丽o b s i = 4 c 4 ，3s i n ( 4 臼) 同理，对于正八极铁 九= c 4 t 4s i n ( 4 8 ) 为正八极磁铁的磁标势表示式。 耳：一挚：一4 。，s i n ( 4 目) b o 一吾等= 4 c 4 r 3 c o s ( 4 印 ( 3 1 0 0 ) ( 3 1 0 1 ) ( 3 1 0 2 ) ( 3 1 0 3 ) ( 3 1 0 4 ) ( 3 1 0 5 ) ( 3 1 0 6 ) ( 3 1 0 7 ) ( 3 1 0 8 ) ( 3 1 1 9 ) ( 3 1 l o ) ( 3 1 1 1 ) 第3 章加速器磁铁设计的电磁场理论 3 4 5 2 n 极磁铁的磁标势方程 晚。= 乞 ，( c o s 曰+ j s i n 妙) 】” = c n r ”c o s ( n o ) + c r ”s i n ( n o ) i 对于斜2 n 极磁铁磁标势 晚。= c , r ”c o s ( n 0 ) e ：一挚= - c n r - c o s ( 门口) o r 岛一吾等鸹- l s i n ( 卿 对于正2 n 极磁铁磁标势 吮。= c n 厂”s i n ( n o ) 耳：一警= - c n n r n - is i n ( 门口) o r 毋：一! 尝：一托，n - 1s i n ( 9 ) 拶 ，a 臼 ” 、7 3 5 组合磁铁磁标势方程 3 5 1 二四极组合磁铁磁标势 对于斜二四极组合磁铁 ( 3 1 1 2 ) ( 3 1 1 3 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) 矽= c