（核技术及应用专业论文）高增益自由电子激光理论分析的一种新方法.pdf

摘要 摘要 本文对于国际上近年新提出的关于高增益自由电子激光分析的统计物理方 法进行了若干研究。简要叙述了自由电子激光物理，对于自由电子激光一维 c o l s o n b o n i f a c i o 模型做了推演，介绍l y n d e n b e l l 熵函数统计理论在自由电子激 光系统中的应用。我们给出这种统计方法应用的完善的推导过程，推演了自由电 子激光系统在饱和时主要物理参数满足的方程。在国外同行工作基础上，完成相 关程序的修正、编写，建立了我们自己的整套计算程序。利用该方法理论值和直 接数值模拟相比较的方法对文献中已有的成果进行了重复、验证，并对自由电子 激光系统的性质做了相关分析。通过c o m p t o n 型自由电子激光系统的动力学方 程的直接模拟分析了系统光场、聚束因子以及电子的相空间分布等相关性质。以 “w a t e r - b a g ”初始分布为例，分析了冷、暖电子束入射情形下系统的光场、聚束因 子、相空问分布三者之间的对应关系。首次对暖电子束情形系统光强和聚束因子 与失谐量之间的关系进行了分析与模拟。作为相关的工作，在课题组以前工作基 础上，完整计算了相对论性螺旋运动电子的经典辐射以及非理想注入电子在螺旋 型波荡器中的运动与辐射。 关键词：饱和，稳态，熵函数，数值模拟，v l a s o v 平衡，高增益自由电子激光 a b s t r a c t a b s t r a c t s o m ei n v e s t i g a t i o n sa r ep e r f o r m e do nt h es t a t i s t i c a l p h y s i c sm e t h o di n t h e a n a l y s i so fh i g h g a i nf r e e e l e c t r o nl a s e rw h i c hw a sp r o p o s e di nr e c e n ty e a r s ab r i e f d i s c u s s i o ni sm a d eo nt h e p h y s i c so ff l e e - e l e c t r o nl a s e r a f t e rar e v i e wo n o n e d i m e n s i o n a lc o l s o n b o n i f a c i of r e e e l e c t r o nl a s e rm o d e l ，t h ee m p l o y m e n to f l y n d e n b e l le n t r o p y s t a t i s t i c a l t h e o r yo ff r e e - e l e c t r o nl a s e r i si n t r o d u c e d a s y s t e m a t i cd e d u c t i o no ft h et h e o r ya n dt h eu s a g eo ft h i sn e wm e t h o da r em a d e ，h e n c e t h ee q u a t i o n so ft h er e l e v a n tp h y s i c a lp a r a m e t e r sf o rf r e e e l e c t r o nl a s e ra ts a t u r a t i o ni s d e d u c e d o nt h eb a s i so ft h ew o r k sbyi n t e m a t i o n a lc o l l e a g u e s ，w ef i n i s h e dt h e c o m p o s i n ga n dm o d i f i c a t i o n so ft h er e l e v a n tc o d e s ；h e n c et h ec o m p u t a t i o n a lp r o g r a m i se s t a b l i s h e dc o m p l e t e l y ac o m p a r i s o ni sm a d eo nt h er e l e v a n tr e s u l t so fs t a t i s t i c a l t h e o r ya n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s o m er e s u l t sa r er e p e a t e da n dv a l i d a t e d f u r t h e r a n a l y s i si sm a d ev i at h es t a t i s t i c a lm e c h a n i c sa p p r o a c hi nf r e e - e l e c t r o nl a s e r t h r o u g h t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h ed y n a m i c a le q u a t i o n sw em a d ea na n a l y s i so ft h e r a d i a t i o ni n t e n s i t y , b u n c h i n gp a r a m e t e r sa n de l e c t r o n sd i s t r i b u t i o n si np h a s es p a c ea t s a t u r a t i o no ff e l s u p p o s i n gt h e “w a t e r - b a g ”i n i t i a ld i s t r i b u t i o n s ，t h er e l a t i o n so f i n t e n s i t yb u n c h i n ga n de l e c t r o n sd i s t r i b u t i o n sf o ri n j e c t i o ne l e c t r o nb e a mw i t ha n d w i t h o u te n e r g yd i s p e r s i o na r ei n v e s t i g a t e d s o m ea n a l y s e sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a r em a d ef o rt h ef i r s tt i m eo nt h er e l a t i o n so fr a d i a t i o ni n t e n s i t y , b u n c h i n gp a r a m e t e r s a n dd e t u n i n gp a r a m e t e r sf o r w a r me l e c t r o nb e a m ”a sa d d i t i o n a lw o r k s ，o nt h eb a s i s o ft h ef o r m e rw o r ko fo u rg r o u p ，t h ec l a s s i c a lr a d i a t i o no far e l a t i v i s t i ce l e c t r o na l o n g ah e l i c a lt r a j e c t o r y , m o t i o na n dr a d i a t i o ns p e c t r u mo fan o n i d e a l l yi n j e c t e de l e c t r o ni n ah e l i c a lu n d u l a t o ra r cc a l c u l a t e d k e yw o r d ：s a t u r a t i o n ，s t e a d y - s t a t e ，l y n d e n - b e l le n t r o p y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， v l a s o ve q u i l i b r i u m ，h i g h g a i nf r e e - e l e c t r o nl a s e r i i 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 。 作者签名：弛 如8 年具与e t 殊慨 第1 章绪论 第1 章绪论 当相对论性电子作曲线运动时，沿其切线方向会产生电磁辐射，这种辐射称 同步辐射。同步辐射得名是因为在人工装置上它最先于1 9 4 7 年在同步加速器上 被观察到。第一代和第二代同步辐射光源主要利用电子束通过弯转磁铁时发出的 同步辐射光【lj ，区别在于第一代同步辐射光源寄生于粒子物理研究中，光源亮度 在1 0 乃1 0 1 4 ( s - i m m 2 m r a d 之0 1 带宽内的光子数) ，而第二代同步辐射光源是同步 辐射专用机，并且出现了聚焦结构，使亮度可以达到1 0 h 1 0 1 6 ，甚至到1 0 1 7 。第 三代同步辐射光源装置含有插入件波荡器( u n d u l a t o r ) ，而波荡器的自发辐射亮度 比第二代同步辐射光源提高两个数量以上，达到1 0 1 8 珈。对于目前的三代同步辐 射光源，产生的都是非相干的电磁辐射，强度与产生辐射的电子数成正比。 波荡器是一组磁极性沿轴线方向周期性交替排列的磁铁组件。当相对论性电 子束沿轴向入射后，电子束在波荡器内作横向周期微幅摆动的蛇形前向运动，并 发出电磁辐射。辐射光波长九是种子激光的奇次谐波，取决于电子束能量e 、波 荡器周期长度a 。及波荡器参数a u ： 力= 南 其中n = l ，3 ，5 上式就是著名的自由电子激光共振关系【2 j5 1 。式中以电子静止质 量单位表示的共振能量丫，= 剧，a , , = e b 0 2 , , 2 r m a c 2 = 0 9 3 4b o ( dl ( c m ) ，而玩为 波荡器轴上峰值场强。 如果电子束感受到的辐射较弱，则光辐射对电子运动的影响可以忽略。但当 辐射足够强( 有种子激光或者电子束在足够长波荡器中运动足够远时) ，辐射与电 子束发生作用，两者之间将进行可观的能量交换，按电子所处的位置( 相位) 不同， 部分电子能量增加，部分电子能量减小，即辐射引发电子微束团的能量调制。以 辐射光波长为间隔，前面的电子能量比后面的低，而由于低能的电子比高能的电 子做扭摆运动的路程长一些，这使得低能的电子和高能的电子都向中心靠拢。这 就是通过波荡器磁场的耦合能量调制转化为密度调制，导致形成辐射光波长为间 隔的微小尺寸的微束团。微束团一般由数亿个“自由的 电子组成，它们在波荡 器磁场中做扭摆运动，会产生辐射具有相干性，其辐射强度与微束团中的电子数 平方成正比。强相干辐射进一步引发电子微束团的能量调制，通过波荡器磁场的 耦合转化为密度调制，从而引发新一轮的辐射强度大增一更大的能量调制一更大 的群聚，如此往复并导致辐射强度沿波荡器长度方向随距离指数增长，即形成所 谓高增益自由电子激光系统。平均亮度要高出第三代同步辐射光源1 个量级以 上，峰值亮度甚至要高出1 0 个量级。 第1 章绪论 自由电子激光的指数增长过程不可能无限制地持续下去，其功率将在一定时 候达到饱和。要实现激光增益，要求电子能量略高于共振能量，随着电子能量交 给光场，电子能量减少。跨过共振能量的电子，将转而吸收光场能量，而使激光 功率降低。另一方面激光增益过程中，电子束能量调制的结果使能散将不断增大， 也导致激光功率增长速度下降。对于一个特定的自由电子激光装置来说，激光功 率达到饱和以前，系统往往经历小信号增益、超辐射、高增益几个过程，而饱和 状态激光功率为该装置可以输出的最大激光功率( 假如没有采用t a p e 型波荡器) ， 因而自由电子激光饱和状态分析具有特别的意义。 图1 - 1 自由电子激光原理图 根据种子激光来源及插入件类型，目前国内外主要自由电子激光分为四种： ( 1 ) 、放大器型自由电子激光( a m p l i f i e r - f e l ) ，这是f e l 的雏形，即种子激光 与电子束一起进入波荡器发生作用，这类f e l 目前使用的不多，逐渐被下面的 三种f e l 所取代。 ( 2 ) 、自放大自发辐射自由电子激光( s e l f - a m p l i f i e ds p o n t a n e o u se m i s s i o n ， s a s e f e l ) ，不需要种子激光，直接使用波荡器的自发辐射作为外激光，但是波 荡器要足够长( 通常情况下为1 0 米量级) ，s a s e f e l 具有结构简单、波长连续可 调、易于实现的优点，成为短波长f e l 发展的主流方向之一【l 引，缺点是辐射谱 噪音较大、波荡器过长必须在具有高品质电子束的直线加速器上实现。 ( 3 ) 、振荡器型自由电子激光( o s c i l l a t o r ，o s c f e l ) ，不需要种子激光，由波 荡器( 或光学速调管) 和光学谐振腔组成，利用光学谐振腔镜将波荡器的自发辐射 反射光作为外激光，它具有s a s e f e l 的优点，同时波荡器也不必很长，可以在 储存环上实现，最致命的缺点是光学谐振腔的反射镜容易损伤( 特别是短波长 f e l ) ，目前国内外运行的f e l 以o s c f e l 为主。为了短波长高功率f e l 能够 2 第1 章绪论 继续通过o s c 方式发展，就需要研制好的镜面以防止灼伤。目前有两种途径： 一方面是加强镜面镀层的研究。提高损伤阈值；另方面采用谐振腔设计技术， 降低镜面的功率密度。 ( 4 ) 、相干谐波自由电子激光f ”( c o h e r e n th a r m o n i cg e n e r a t i o n ，c h g - f e l ) 或高 增益相干谐波自由电子激光口”咖g h - g a i n h a r m o n i cg e n e r a t i o n ，h g h g - f e l ) 使用 光学速调管代替a m p l i f i e r - f e l 中的波荡器。种子激光与电子束在调制段中能量 调制，在色散段密度调制，使电子束群聚最终在辐射段产生种子激光的谐波相 干辐射，h g h g f e l 与c h g f e l 的区别在于其辐射段长很多，能够使辐射达 到饱和，一般情况下，c h g f e l 在储存环直线节上实现，h g h g f e l 在直线加 速器上实现。在相同的长度下，h g h g f e l 比s a s e f e l 具有更高的峰值功率， 而且脉冲更窄、品质好，不存在o s c f e l 的镜而灼伤问题，缺点是波长不能连 续可调、结构复杂( 种子激光与电子束的同步要求高1 、实现相对困难。但是如果 使用能够连续可调的波荡器自发辐射作为种子激光h g h g f e l 的波长也就能 够连续可调了。 5 紫：日卅 ”。r 一叫竹 s a s e - f e l ：。f = i i = = = 忑= = = 习、* - m ( 。曰卅( 。目 e 习啪哆 厂_ 曰u 目卅 图卜4f e l 基本类型及示意图 自由电子激光( f e l ) 三十多年前s t a n f o r d 大学的博士生jmm a d e y 提出，时 至今日一直是一个不断取得重要进展的科学领域i 】”1 引。由短波长( 高增益) 自由电 子激光途径发展第四代光源又是该领域最重要的方向。第四代光源的辐射光空间 ( 横向) 全相干，亮度高，脉冲短，因而在分子环境科学、分子反应动力学、纳 米科技和生命科学、信息科学、材料科学和能源科学等许多科学和技术领域具有 广泛诱人的应用前景【1 9 - 2 0 1 ，因而美国、德国等发达国家都已投巨资把它作为优先 发展的科学前沿，并有n c l s 、b n l d u v - f e l 、t e s l a 等几项大科学工程在设 计建造中。杨振宁先生曾经多次向我国有关领导提交在中国发展高增益短波长 自由电子激光的书面建议，指出“它对二十一世纪的科学与工业的影响是无法估 第1 章绪论 计的”，并认为“此技术还在初始阶段，正是中国参与的上好机会，可以迎头赶 上”。杨振宁先生的建议引起了重视。在国内，深紫外高增益自由电子激光的前 期研究业已启动。 在高增益自由电子激光的物理研究和设计中，饱和状态的分析具有特殊的重 要性。常用的理论分析的方法是借助于动力学分析方法并结合详尽但相当复杂的 数值模拟来研究，其中不乏各种近似模型与假设。近年来，j u l i e nb a r r 6 等人提出 了一种基于统计理论来研究单程高增益自由电子激光饱和状态的方法，令人注 目。基于这种统计方法的内在的灵活性，它可能应用于其他的更多的自由电子激 光模型以及更复杂的自由电子激光装置。对于常见的单程高增益自由电子激光， 如a m p l i f i e r - f e l 、s a s e f e l 、c h g f e l 、甚至h g h g f e l 在一定的近似条件 下都可以用这种统计方法来研究饱和状态时的性质。虽然，由于计算原理的限制， 其结果并不十分精确，但仍可以为实际的实验装置提供一种理论上的参考和方法 上的指导。 自然界中的物理系统都是有相互作用的分子或原子组成，粒子之间的相互作 用可以分为两种作用类型：短程相互作用、长程相互作用【2 2 1 。在短程相互作用系 统中，每个粒子仅仅受到与之相毗邻的外界因素的影响( 仅与相邻粒子的发生作 用) 。相反地，当考虑长程相互作用时，每个粒子与系统中的所有粒子的相互作 用必须要给与考虑。长程相互作用系统的复杂性要远远高于后者。自由电子激光 作为目前正在被广泛研究的长程相互作用系统的一个实例，它为研究这种系统的 普遍性质提供了珍贵的实验环境，而这种统计方法也必将对长程相互作用系统的 研究具有重要的意义。 j u l i e nb a r r 6 等人主要以c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型 3 , 2 3 1 来分析这种统计方法 在自由电子激光系统中的应用。通过类比天体物理学中无碰撞行星系统中的 “v i o l e n tr e l a x a t i o n 的统计理论【2 4 】和旋涡中的二维振荡的统计理论【2 5 】，我们成功 将这种统计理论应用于自由电子激光系统。利用这种统计理论我们可以分析自由 电子激光系统饱和状态的光场、聚束因子、输出功率等相关性质，并且与直接数 值模拟的结果得到很好的吻合。如果电子数足够大，自由电子激光光场从小 信号增益区经指数增益区到饱和状态的整个振荡过程可以用v l a s o v 静态方程的 统计理论来描述。有限的电子数n 最终使系统趋于b o l t z m a n n g i b b s 平衡状态， 但这个平衡状态在实际的装置中几乎是不可能实现的，它需要很长的时间才能达 到这个平衡。这远远超出了波荡器物理设计的长度。 在注意到j u l i e nb a r r 6 等人工作基础上，我们进行了较为系统的研究。基于自 洽的单程自由电子激光模型，我们给出了研究高增益自由电子激光饱和状态的统 计方法：l y n d e n b e l l 熵函数最大原理的统计理论的较完整的理论推导。通过相 4 第1 章绪论 应的数值模拟我们再次验证了用这种统计方法来研究自由电子激光饱和状态的 可行性，进一步分析了自由电子激光系统的相关性质，并将这种方法推广到普适 的物理情形以及更多的自由电子激光装置。利用这种方法我们对自由电子激光饱 和状态的性质进行了进一步的分析和研究。 根据进行的工作将论文分为五章进行论述： 第一章，绪论，介绍课题选题背景及论文的主要内容。 第二章，一维自由电子激光理论。从系统的哈密顿原理入手，给出了自洽波 束相互作用模型o l s o n b o n i f a c i of el 模型的详细推导。并给出了这种自由电 子激光模型在一维近似条件下、c o m p t o n 型自由电子激光的静态表达形式。 第三章，高增益自由电子激光饱和状态的统计理论。主要介绍了l y n d e n b e l l 熵函数的统计理论在自由电子激光系统中应用时熵函数建立的主要过程。首先， 简单介绍了c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型性质，给出了在连续性条件下系统的动力 学方程。其次，我们定型地介绍了长程相互作用系统中系统处于亚稳态时的主要 性质。最后，我们给出了微正则系综系统熵函数的建立过程以及l y n d e n b e l l 统 计理论在自由电子激光系统中的应用。 第四章，编写程序对自由电子激光模型直接模拟分析了系统光场、聚束因子 以及电子在相空间分布等相关性质。借助数值模拟分析、验证了自由电子激光系 统在小信号增益区、指数增益区以及饱和状态时光场与失谐量之间的对应关系； 以“w a t e r - b a g 初始分布模型为例，分析了冷、暖电子束入射情形下系统的光场、 聚束因子、相空间分布三者之间的对应关系。最后提出了需要进一步完善和解决 的问题。 第五章，主要介绍了基于l y n d e n b e l l 熵函数的统计理论来分析系统饱和状 态性质的这种方法的求解、相关程序的编写、修正以及改进。对于用 n e w t o n r a p s o n 方法求解系统参数的程序我们进行了进一步的修正与改进，拓展 了程序的应用范围，并指出了程序的不足与需要进一步改进的地方。基于程序我 们主要分析了系统光强、聚束参数与失谐量、“电子能量”之间的对应关系。并 首次对电子“初始能量”不为零时系统光强和聚束因子与失谐量之间的关系进行 了分析与模拟。 5 第2 章一维自由电子激光理论 第2 章一维自由电子激光理论 自由电子激光是相对论电子束在波荡器磁场中运动，与波荡器中存在的光场 相互作用，交换能量而产生的。在波荡器磁场的作用下，相对论电子束由原来单 纯的纵向运动变为加速运动：在垂直于纵向方向的平面上产生横向的速度和加速 度。做加速运动的电子会辐射光场，称之为波荡器自发辐射。因为电子在波荡器 中运动存在横向速度，所以它会和波荡器中的光场( 或者为自发辐射，或者为外 界输入的光场) 发生作用，得到或者失去能量。因为在一个光波长中不同相位的 电子得到或者失去能量是不同的，不同能量的电子由于运动速度的不同，会在一 个波长尺度上产生密度调制，从而产生相干辐射，大大增强了辐射的功率。密度 调制的过程被称为电子群聚。因此，自由电子激光的过程就是在波荡器磁场作用 下电子与光场之间相互耦合的过程。 电子束和电磁波的相互作用是一个十分重要而又普遍的物理现象，它广泛应 用于各种科学实验装置中。在这里我们集中讨论具体的自由电子激光中的应用， 尤其是在电子流强和发射度都足够低的情形下，整个物理过程可以由自洽波束相 互作用模型c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型乃j 来表述。这种模型采用了大量近似条 件，相当简单，但它反映了单程自由电子激光的主要特征。主要的近似有：( 1 ) 考虑的是一维的动力学方程：( 2 ) 在场方程中采用慢变包络近似：我们主要考 虑c o m p t o n 型自由电子激光，并且忽略空间电荷效应。本章我们将给出了这种 模型的基本理论。首先，我们给出这种模型的整体介绍，然后给出这种模型建立 的基本过程。我们从系统哈密顿量入手，利用哈密顿原理得到自由电子激光系统 的动力学方程，并给出c o m p t o n 型自由电子激光稳态方程的一般形式。 2 1 、自洽波束相互作用模型c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型 我们考察线性增益区和饱和状态的单程自由电子激光的动力学方程，我们仅 考虑c o m p t o n 型自由电子激光的稳态动力学方程，即忽略电子的滑移效应。在 低能散、单频辐射场的条件下，单程自由电子激光的一维稳态动力学方程可以表 述为 2 n d p _ _ z ：一a e i 岛一j p j 巴 亚 塑：i j j + 上y p j 。 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 第2 章一维自由电子激光理论 其中，n 是一个辐射波长内的电子数，手= 2 p 屯妒( y ) 0 2 是无量纲化的纵坐标，在 这里相当于时间变量。j d = ( 鲰叫4 c k p 扔竹是自由电子激光p i e r c e 参数，( y ) o 为波荡 器入1 ：3 处的电子束的平均能量。屯为波荡器波矢，c 为光速，p 和m 分别为电子电 量和质量，行为总的电子数密度，w p = ( 4 7 r e 2 n m ) m 为等离子体频率。珏pb u k u m c 2 是磁场偏转参数，既为波荡器的方均根峰值场强。k = 2 j r k 为辐射场的波数。 扩( 心( 1 + 吼z ) 2 x ) “z 为电子的共振能量，其中h ，| ) l 分别为波荡器和光场辐射波长 的周期。其共轭电子动量为旷( 竹一( y ) o ) ( p ) o ) ，有质动力势相位定义为 仁( 斛缸弦- 2 6 , 0 鲫( y ) 0 2 。a 是无量纲化的光场复振幅矢量，j = ( 爿。，a ，) 是个垂 直与z 轴的复矢量，j 为光场的复共轭矢量。最后，失谐量庐( ( y ) 0 2 w ) ( 印仃) ， 反映了电子能量偏移共振能量的平均相对偏移量。我们最后定义自由电子激光的 聚束因子，或称为群聚因子： 6 ( 三) 2 万1 莩e x p ( i 咖( e x p ( i 乞) ) ( 2 4 ) 聚束因子决定了束流和电磁场的耦合程度，当粒子具有相同的相位时，b ( - f 1 具有最大值，而对于相位均匀分布的单能束，其值为零。其中，( ) 是对每一 个具有不同能量和初始相位的电子求平均。纵向聚束因子是一个量度电子空间分 布的一个物理量。 运用这个模型我们可以分析自由电子激光在不同的初始条件( 能散、聚束因 子、初始光场) 下的饱和状态的光场强度、电子聚束因子以及电子的速度能量 分布情形等相关性质，其解析结果与数值模拟的结果相当好地吻合。 上面的系统模型方程可以由无量纲的哈密顿量得到： 日= 喜譬- 6 i + 2 居孥( 细) ( 2 5 ) 式中( e ，历) ( 1 9 剑) 和( 厶妒) 为共轭坐标。系统共有2 n + 2 个电子和光场 的共轭变量。 其中光场 a = 4 - t - i a y = a e 。1 9 ( 2 6 ) 其中i 为光场强度，妒为光场相位。系统的“能量”日和总动量p = y p - i - 1 守恒。 通常情形下我们可以取卢0 。 需要强调的是哈密顿量模型( 2 5 ) 是一种常用的描述波束相互作用的模型，在 这里用来描述自由电子激光系统中光场与电子束之间的相互作用。在其他的一些 的物理分支中也有广泛的应用。比如，在等离子体理论中，哈密顿量模型( 2 5 ) 就用来描述l a n g m u i r 波和粒子之间的相互作用。正是由于这种内在的联系性， 7 第2 章一维自由电子激光理论 我们完全可以将自由电子激光和等离子体这两种领域联系起来，在自由电子激光 领域内再现等离子领域内的相应性质与科学实验结果，促进自由电子激光的研究 和发展。另外，自由电子激光中波束相互作用属于长程相互作用，由长程相互作 用系统常用的h a m i l t o n 量m e a nf ie l dm o d e l ( h m f ) ，可以直接推导出哈密顿量模 型( 2 5 ) 。我们完全可以把这种模型的相关性质推广到自由电子激光领域，也可以 借助自由电子激光实验的可操作性来进一步论证和研究长程相互作用的性质。借 助研究长程相互作用系统的方法拓展到研究自由电子激光领域，尤其在研究自由 电子激光饱和状态性质已得到初步的进展【2 睨引。 在等离子体物理领域，波束相互作用的数字模拟的结果【2 3 ，2 9 】显示在波的不稳 定区，光场增益最主要发生在两个阶段：指数增益区以及随之而来的长时间存在 的q s s ( q u a s i s t a t i o n a r ys t a t e s ) 或者称为亚稳态，也称v l a s o v 平衡态【3 0 】，光场围绕 一定值做阻尼振荡区，系统最终达到热力学平衡状态( b o l t z m a n n - g i b b s e q u i l i b r i u m ) 。 场的不同增益阶段在天体物理学中无碰撞的行星系统研究中早已是为人熟 知的现象。q s s 状态存在的时间与所研究的粒子数n 有着密切的关系，n 越大 亚稳态存在的时间越长。q s s 状态在行星系统中( n = 1 0 ) 可以很好地为v l a s o v 平衡所描述【2 4 1 。相对地，当粒子数比较小时( n = 1 0 6 ) ，这时场指数增益后的阶段 更适合用b o l t z m a n n g i b b s 平衡态来表述。 哈密顿量模型( 2 5 ) 在波束相互作用系统中有着如此广泛的应用，在自由电 子激光领域与之对应的c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型也是研究自由电子激光性质常 用的模型，在这里我们从系统哈密顿量的角度入手来分析一维自由电子激光的基 本理论，给c o l s o n b o n i f a c i of e l 模型的建立的基本过程。 2 2 、一维自由电子激光方程和无量纲化条件 讨论一种常用的单程自由电子激光一维模型：c o l s o n b o n i f a c i o 模型，尽管这 种模型采用了大量近似条件，相当简单，但它抓住了单程自由电子激光的主要特 征。主要的近似有：( 1 ) 、考虑的是一维的动力学方程：( 2 ) 、在场方程求解中采 用了慢变包络近似。( 3 ) 、近轴近似条件。即忽略场在横向上的变化以及历。最 终我们归结到一维c o m p t o n 型自由电子激光的方程组。 2 2 1 、电子方程 系统能量为e 、以纵向坐标z 为独立变量的哈密顿量可以由修正的哈密顿原 理得到： 8 第2 章一维自由电子激光理论 j 页只鲁+ o 詈+ 詈一日) d ，亏。 c 2 7 ， 进行变量代换t - z ，并且利用h = e ， 万甄耋+ 。老一e 耋+ 卜= 。 c 2 8 ， 在方程( 2 8 ) 中，若定义新的哈密顿量：凰= 一r ，则( 而只) ，( t 一句，白，弓) 为 共轭坐标。因此， 生：丝，业：堡，坚：一竺，竖：一堡 ( 2 9 ) 一= = o _ 二= 一- o = 一o lz h d z 皿d z 畔d z 苏d z 0 5 , 坐：笙，塑：一堡 ( 2 1 0 ) 一= 一= 一 iz i i d z0 ed z魂 方程( 2 1 0 ) 是我们研究的主要方程，引入相对论形式的哈密顿函数， h = c i 声一旦ji + 胁2 c 2 ) 2 + e o ：y m c 2 + e o 三e ( 2 1 1 ) l c j 其中声为电子的正则动量，j 为波荡器中的矢量矢势，它由波荡器中的静磁场和 电磁场( 光场) 的矢量势共同构成：a = j ( z ) = 丑+ 互，= ( z ) 为电磁场的标势， 它主要反映了空间电荷效应对系统的影响。则，由方程( 2 1 0 ) 可得， 坐= 士罟，业= 一去( 丝一p t ) ，e zbdzm c d z m c o t警 ( 2 1 2 ) 一= 一- 二= 一一一p 1 一 iz 1zj 2 a ， ” “ d z 忽略f 2 1 2 ) 中的磁标势，由正则方程： p r a c y p r a c y p p 三j c 兰j c 刎 o x 鲥 砂 ( 2 1 3 ) 根据波荡器磁场矢量势，束流在波荡器轴线附近很小的范围内运动，所以一维情 况下x 的取值很小，因此可以近似认为4 中不显含x ，乡。并且利用近似 4 4 ，所以，a 以。所以， o , 4 丝o j 竖：堡：o ( 2 1 4 ) 揪 砂 出d z 所以，只= 尸，= c o n s t ，因为电子在进入波荡器以前，没有横向速度( 对应于电子 的发射度很小) ，也不存在光场，令： = p = 0 。 由方程( 2 1 2 ) 有， = m c y 2 _ l 一硝2 ，聃) 兰孑e a 假设，厂2 1 + ，则有， 只= 聊c 旷1 崭12 7 9 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) = i l 甜一缸甜一砂 一 一 = = 只 0 第2 章一维自由电子激光理论 其中a ( z ，r ) 为无量纲化的矢量势，我们把它写成两部分： 器磁场矢量势瓦( z ) 和光场的矢量势瓦( z ，f ) 之和： 历= 瓦- t - 盈 其中， 具有空间周期性的波荡 ( 2 1 7 ) 玩2 老【占e x p ( 一i 屯z ) + 叩】，瓦= 一( 去) 占q e x p 乜一缈力一c c ) 这里波荡器磁场波矢缸= 2 7 吼= 唧尼，光场波数肛2 7 以= w c ，对螺旋型波荡器， 有方程( 7 ) ， = 聊c y 一1 2 y ll + 蠢+ 帆( ze x p ( 一i 0 ) - 印) - j a , 1 2 | ) ( 2 1 8 ) 其中电子的有质动力势相位： 秒= ( k + 屯) z 一耐 ( 2 1 9 ) 对其求导： 掣：七十毛，一缈_ d t ( 2 2 0 ) 2 0 ) _ = 七十吒一缈r l z 根据方程( 2 2 2 ) ( 2 2 8 ) 我们很容易得到p ，y 的进化方程： 誓= 七( 1 一r ：r j ) + ( 肌力) 概( 岬p ( i r j ) 一) 埘 ( 2 2 ，) 誓咄1 ，( a se x p ( i 纠俨丘) + t ( ) 2 ( ( e x p ( - i o ) ) e x p ( i 咿缎) | ( 2 2 2 ) 其中，w p = ( 4 z e 2 n m ) 1 忍为等离子体频率，共振能量驴( ( 1 + 唧2 ) 2 x ) m ，n = n 矿为 电子数密度。在方程( 2 2 2 ) 中，我们加入了角标来表示来区分束流中不同的电子。 当我们写j t h 电子能量方程的时候我们必须考虑由于电子空间分布密度波 动引起的空间电荷效应的影响。由文献 2 3 】我们可以得到空间电荷效应对e ：的贡 献： ( 冬) = 一( i 4 n e 拧k ) ( e x p ( 一i 0 ) ) e x p ( i o j ) 叱c ( 2 2 3 ) 由麦克斯韦方程知道辐射光场由电子的横向电流来决定。因为光场是横波，所以 电子的纵向运动不和光场发生耦合，因此只需要考虑电子的横向运动。 在一维近似下光场的方程为， f 鲁一：la 2 ) 砌卜等确，f ) ( 2 2 4 ) 其中五表示横向电流密度， 五( 训= p 皿6 ( i 一弓( f ) ) ( 2 2 5 ) 由上面的基本方程在忽略电子和光场的滑移效应以及在光场的振幅和位相慢变 条件下，文献给出了光场方程： 1 0 第2 章一维自由电子激光理论 誓= ( q e 冲( - i o ) r ) 州7 ) q ) ( 2 2 6 ) 方程中的最后一项来自于辐射光场对电子横向速度的影响，相对于波荡器磁场对 横向速度的影响要小的多，即，凡4 ( 典型的差五个量级) 。电子在波荡器中与 光场相互作用，是否考虑光场矢量势互的作用要视具体情况而定。如果在波荡 器中，光场互的变化不大，它可以近似认为是一个常数，被称为小信号增益自 由电子激光。如果波荡器较长，且电子束流强较高、能散和发射度较小，在光场 和电子相互作用的过程中，会发生较大变化，被成为高增益自由电子激光，这个 时候需要考虑光场的影响。 在近轴近似条件下，存在： 旦d z 昙+ ( 去争， 瓯三( 、o 一+ ( 一一) ， u 。三( u 1 龙 、瓦西7 ” 、” 为研究电子的束团的平均速度。在考虑光场对电子横向速度的影响以及考虑空间 电荷效应对能量变化影响的条件下我们可以从新写出电子的方程： 有质动力势相位方程： ( 昙+ 击昙) 嘭= 七( 1 一矿) + ( 七2 疗) i 吼( qe x p ( i e ) 一c r ) 一i q l 2 ( 2 2 7 a ) 电子的能量方程： ( 瓣跏一吒阻qe x p ( i 叫俨o + ；( ) 2 ( ( e x p ( - i o ) ) e x p ( i 咿锨) i ( 2 2 7 b ) 光场方程： 虽+ i 1 0q = ( q e 即( - w ) r ) _ i ( 1 加) ( 2 2 7 c ) ( 2 2 7 ) 式分别描述了由于辐射场和电子束的相互作用引起的有质动力势相位、 电子能量以及光场振幅的时空变化。 2 2 2 、方程无量纲化变换 通过引入一些变量和参数，我们可以将电子方程转换为无量纲形式以方便在 研究自由电子激光系统性质时简洁处理。 无量纲参量p 表示皮耳斯参数，是自由电子激光中经常涉及的一个物理量。 p ：水譬玎= o 3 6 张气跚 汜2 8 ， 其中是电子峰值电流密度，唧为等离子体频率，其集体形式如下： q = ( 4 矾) 帕 ( 2 2 9 ) 第2 章一维自由电子激光理论 群聚电子束密度： 聆。：l ( 2 3 0 ) 2 e c 2 z o , , o y ( z 其中叽，为束斑截面半径。顺便指出，这里应当说明的是皮耳斯参数j d 无论在线 性增益区、指数增益区还是饱和增益区都同样适用，只是在不同增益区，对应与 能量转化最大值是p 的取值不同而已，是一个与具体装置有关，且能反映具体束 流性质的重要参量。 引入下面这些参数和变量： _ 兰苁 匀= 触p ( i 应) = qe x p ( i 疗) ( ( p ( 硪) 2 ) 捌屯舞肜 ( 2 3 1 ) 瑚屯磊 有质动力势相位莎，= 秒，一衍，失谐量庐( 0 2 订) ( 印) 。其中万为标准化的无 量纲的坐标，当0 z l 时，0 乞4 死p n ，三，肌分别为波荡器长度和波荡 器周期数。旷为空间电荷效应参数。则电子方程( 2 2 7 ) 可化为： 峨舟剖+ i * 警斗磐组3 2 a ， ( 善音鼽= 一去卜丁e x p i 痧j 一卜( e x p - i o ) e x p 【i 谚h c ) ( 2 3 2 b ) ( 知= l pi ( e x p r - i 0 + i 旧7 1 7 1 ) 彳 ( 2 3 2 c ) 我们注意到在( 2 3 2 a ) ，( 2 3 2 c ) 中的最后一项，即由光场对电子横穿向速度的影 响引起的修正项同时包含了空间电荷效应参数矿，而矿本质上依赖于参数p 。对于固 定参数的波荡器和给定初始条件的情形下，整个系统最终只依一个电子束流参 数，即自由电子激光p i e r c e 参数p ，从这里也可以看出这个参数的重要性。 在后面我们将介绍自由电子激光c o m p t o n 型区域与喇曼区域的主要区别， 对于c o m p t o n 区域一般有， l ，这时电子密度低，单粒子效应占主导地位，集 体效应可以忽略。这时我们研究自由电子激光系统时可以忽略空间电荷效应的影 响以及光场对电子横向速度的修正。我们假设电子束的相对能量偏移非常小，即 1 2 第2 章一维自由电子激光理论 l ( 2 3 3 ) 由d 硝p y ) o ) ，上面的条件就是说p 驴1 。我们定义广拍电子的变量卢，正i z - t 相对能量的偏移量， 历7 1 饼 ( 2 3 4 ) 则在以上假设条件下电子的方程( 2 3 2 ) 可写为： ( 昙+ 瓦1 0 6 c - = 露 ( 昙+ 百i 别0 马_ = 一( 赫p 【i 咖卯) ( 2 3 5 ) ( 昙+ ：1 护0 彳。= ( 赫卅i t g ) 脚五 2 3c o m p t o n 型自由电子激光的稳态方程 简单起见，我们求解c o m p t o n 型自由电子激光的稳态方程。对方程( 2 3 5 ) 进行坐标变换， 亨= 三，7 = 丁一( 虿瓯) ( 2 3 6 ) 则有， 唼+ 瓦1 万0 ) j 曰0 ，曝+ ：1 万0 ) j 面0 1一壶( 一磊) 嘉( 2 3 7 ) 畴+ 瓦万) j 曰畴+ ：万) j 面一面【卜缉j 丽 ( 2 - 3 j 7 如果我们忽略方程( 2 - 3 7 ) 中的面1 ( 1 一磊) 昙，即忽略电子与光场之间的滑移效 应，所以在方程( 2 3 s ) e e 就只有空间变量存在，方程不显含时间。这时方程可以 转换成稳态形式： d o 焉2 p j 誓= 一( 五e x p 【i 啊即) ( 2 3 8 ) 鲁= ( 赫p - i 痧】) 脚匀 这就是自由电子激光的稳