（核能科学与工程专业论文）基于堆外计数的堆芯功率分布重构方法研究.pdf

哈尔滨t 稃人学硕十学何论文 摘要 堆芯功率分和包含了堆芯内的大量信息。由于在反应堆运行的情况下无 法直接测量堆芯内所有位置的功率分布，因此需要通过其它方法来获得堆芯 功率分布，例如利用探测器计数重构堆芯功率分布。基于此目的，讨论了根 据堆外探测器计数重构堆芯功率分布的方法，其关键是得到堆芯功率分布与 堆外探测器计数之间的关系响应矩阵。 通过对b n l 的一个基准题和秦山一期工程建模，分别利用最小二乘法拟 合出无控制棒、单一功率水平工况下和有控制棒、不同功率水平工况下的响 应函数，并对其进行了验证。 在b n l 的基准题的基础上，考察了不同堆芯建模方式对堆外探测器计数 的影响，指出对堆外探测器的主要贡献来自堆芯的最外层燃料组件；在m c n p 模拟出的堆外探测器计数的基础上，利用最d - - 乘法拟合出无控制棒、单一 功率水平下的响应函数，并利用同组数据对其进行了验证。 通过对秦山一期工程建模，利用m c n p 模拟出控制棒插入时不同功率水 平工况下堆外探测器的计数；根据其中部分计数值，利用最小二乘法拟合出 响应矩阵，最后通过利用剩余的计数值重构出堆芯功率分布对其进行了验证。 结果表明，对于控制棒末端所在的节块，相对偏差较大；对于其它节块而言， 重构功率值与基准值符合的比较理想。 关键词：响应矩阵；最小二乘法；堆外探测器计数；m c n p 哈尔滨t 稃人学硕十学位沦文 a bs t r a c t t h ei n - c o r ep o w e rd i s t r i b u t i o nc o n t a i n sp l e n t yo fi n f o r m a t i o ni nt h ec o r e b e c a u s et h ep o w e rd i s t r i b u t i o no fa l lt h ep a r t so ft h ec o r ec a nn o tb ed i r e c t l y m e a s u r e dw h e nt h er e a c t o ri so p e r a t i n g ，i ti sn e c e s s a r yt oo b t a i nt h ei n c o r ep o w e r d i s t r i b u t i o nb yo t h e rw a y o n eo ft h em e t h o d si st or e c o n s t r u c tt h ei n c o r ep o w e r d i s t r i b u t i o nf r o mt h ed e t e c t o r sr e a d i n g s f o rt h i sp u r p o s e ，t h em e t h o do f r e c o n s t r u c t i n gt h ei n c o r ep o w e rd i s t r i b u t i o nf r o me x - c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g si s d i s c u s s e d t h ek e yo ft h i sm e t h o di st of i n dt h er e s p o n s em a t r i x ，w h i c hi st h e r e l a t i o nb e t w e e ni n c o r ep o w e rd i s t r i b u t i o na n de x - c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g s b ym o d e l i n gab e n c hm a r k o fb n la n dq i n s h a np r o j e c t ，t h er e s p o n s em a t r i x u n d e rs i n g l ep o w e rl e v e lw i t h o u tc o n t r o lr o da n dd i f f e r e n tp o w e rl e v e lw i t h c o n t r o lr o d si n s e r t e da rer e s p e c t i v e l yf i t t e db yl e a s ts q u a r em e t h o d a tl a s t ，t h e r e s u l ti sv a l i d a t e d i nt h em o d e l i n go fb e n c hm a r ko fb n l ，t h ei n f l u e n c eo fd i f f e r e n tm o d e l so f t h ec o r eo nt h ee x c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g si sc o n s i d e r e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e d o m i n a t i n gc o n t r i b u t i o nt oe x - c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g sc o m e sf r o mt h ep e r i p h e r a l a s s e m b l i e s b a s e do nt h ee x - c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g ss i m u l a t e db ym c n p ，t h e r e s p o n s em a t r i xu n d e rs i n g l ep o w e rl e v e lw i t h o u tc o n t r o lr o di s f i t t e db yl e a s t s q u a r em e t h o d a tl a s t ；t h er e s u l ti sv a l i d a t e dw i h tt h es a m ed a t a t h ee x c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g si nd i f f e r e n tp o w e rl e v e lw i t hc o n t r o lr o d s i n s e r t e da r es i m u l a t e db ym o d e l i n gq i n s h a np r o j e c t t h er e s p o n s em a t r i xi sf i t t e d b yl e a s ts q u a r em e t h o d t h er e s u l t i sv a l i d a t e db yc o m p a r i n gt h er e c o n s t r u c t e d p o w e rd i s t r i b u t i o nw i t ht h ea c t u a lp o w e rd i s t r i b u t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r e l a t i v ee r r o r so ft h ec e l l sw h i c ht h eb o t t o mo fc o n t r o lr o di si na r ev e r yb i g t h e r e l a t i v ee r r o r so fo t h e rc e l l sa r es m a l l k e y w o r d ：r e s p o n s ef u n c t i o n ；l e a s ts q u a r em e t h o d ；e x c o r ed e t e c t o r sr e a d i n g s ；m c n p 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中己注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。譬，占 作者( 签字) ：种节 日期： 年多月侈日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 酣在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) 。： 季韦导师( 签字) ：枷钙 日期： 年弓月2 日枷件3 月7 三日 l h l 哈尔滨i ：科人学硕卜学何论文 1 1 选题背景 第1 章绪论 反应堆堆芯的中子通量分布是反应堆物理分析中至关重要的问题，它与 反应堆的功率分布直接对应，也是反应堆设计、反应堆安全分析、反应堆故 障珍断，反应堆实时控制等问题的基础。因此，堆芯中子通量分布的精确测 量和计算也就显得非常重要。在实际问题中，堆芯的功率的使用更为方便， 又由于堆芯中子通量分布与堆芯的功率分布基本是成比例的，因此实际当中 考虑的多为堆芯的功率分布。 目前，反应堆的功率测量有以下几种方法：中子通量监测、温度监测、 压力监测和流量监测等。在反应堆堆芯功率分布监测问题中，要求保证反 应堆在启堆、提升功率、满功率运行和降功率运行的情况下的安全，并且要 求测量方式对反应堆功率的变化较为敏感，因此较多采用中子通量的监测方 法。 由于中子通量测量方法相对其它测量方法而言具有精确度高、对功率变 化敏感度高的特点，可以利用其对在线计算结果进行校正。目自i 在核技术领 域中，可以通过计算机在线仿真来模拟反应堆的运行情况，如美国西屋公司 丌发的b e a c o n 系统。在这个过程中，堆芯功率的计算是一个非常重要的环 节。然而，在经过一段时问的计算之后，由于误差的累积，理论的计算结果 会与堆内的实际运行情况发生偏离。因此，需要对理论计算结果进行在线的 校正。目前通用的做法是在反应堆内部的固定位置安装一定数量的中子探测 器，通过中子探测器的读数来对在线仿真的理论计算结果进行校正。 然而在实际情况当中，堆芯内部的探测器是分布于堆内各个地方的，因 此获得的是关于堆芯离散点上的通最值。而且由于反应堆堆芯的尺寸有限， 因此堆芯内部的探测器的数目是受到严格的限制的( 一般而言，在堆芯径向 平面上，堆芯内部中子探测器的点数一般仅为组件数的1 4 1 3 比1 ) 。目日i 哈尔滨1 ：稃人学硕十学何论文 对大型压水堆的在线仿真，一般采用的都是有限差分算法，在全堆计算时， 由于计算机能力的限制，在堆芯平面上，有限差分法的网格尺寸远大于探测 器的有效尺寸8 ”。显然此时通过探测器获得的只是堆芯内部的部分信息，无 法真实反映反应堆内部的详细情况，不便于直接用来进行反应堆运行参数的 校准。另外如前所述，在反应堆处于运行当中，在获得反应堆相关的运行参 数( 比如堆芯通量分布，燃料的燃耗分布等) 的同时，还必须保证反应堆的 正常安全运行。因此，在实际当中，是无法通过物理手段直接获得反应堆内 部的全部信息的。另外，探测器的计数也不可避免的存在着一些随机误差1 。 这就要求我们采取其它手段来间接的获得反应堆内部的信息。一种方法 便是利用反应堆( 堆内、堆外) 的中子探测器的计数对堆芯内部的功率分布 进行重构。所谓的堆芯功率分布重构是一个通过部分信息( 比如堆芯内部中 子探测器的计数) 来重建堆芯内部的全部信息( 堆芯功率分布) 的过程。显 然，这种方法是非常困难的，但却又是必需的，尤其是当反应堆堆内的探测 器数目受到限制、而探测器的计数又可能存在随机偏差的情况下。 1 2 国内外研究现状 无沦是利用堆内探测器计数还是利用堆外探测器计数来重构堆芯分布， 其关键便是找n - - 者之间的关系，一般称之为“堆内节块对堆外探测器的响 应或“响应函数( 响应矩阵) ”。f i 者为正向计算的结果，即堆芯每个节 块对堆外探测器的贡献；后者为逆向计算的结果，直接利用其和堆外计数便 可重构出堆芯功率分布。 1 2 1 利用堆内计数重构堆芯功率分布研究现状 堆芯探测器处于堆芯内，相对堆外探测器而言，其能直接给出堆内测量 点的信息，并且精度高。然而由于反应堆内温度高，环境恶劣，早期的反应 堆堆内探测器无法长期进行实时监测。现在已经丌发出可以长期进行堆内测 量的探测器踊1 。 ，对于利用堆内探测器重构堆芯功率分布，目前广泛使用的方法是i n c o r e 2 哈尔滨l j 稗人。硕十学位论文 和c e c o r ，这种方法也称为通量测绘法1 ( f l u xm a p p i n gm e t h o d ) 。通量测 绘法在被提出后，得到了广泛的应用。目前p w r 电厂定期核测系统广泛采用 的便是i n c o r e 模型。该方法的基本原理是1 ：首先由堆芯物理分析程序模拟 测量状态的堆：签，获得初步的程序预测值，再根据实际探测器位置的测量值 与之前的预测值的偏差来修正全堆芯范围的预测值，最终获得全堆的连续功 率分布，该方法在实际应用时还会引入探测器位置对非探测器位置的响应矩 阵用于修正计算。这种方法的缺点是其结果在很大程度上依赖于随机测量误 圭鲁 4 1 z l 0 对此，清华大学的李富等人中提出利用谐波法( h a r m o n i c ss y n t h e s i s m e t h o d ) 来重构堆芯功率分布口1 。这种方法的基本思想是首先求得的中子k 一 本征值方程的本征值函数f i ，利用其中的有限的高阶项的线性组合来近似 表示真实堆芯的通量分布m 1 ，并用其求解出响应矩阵的系数。从而利用响应 矩阵和堆内探测器计数重构出堆芯的实际通量。由于谐波法具有双正交性以 及本征函数可以事先算出，因此谐波法具有以下特点：计算结果更加精确； 能够有效的减小探测器随机测量误差和探测器故障带来的影响；重构过程非 常的简单和快速。m e p o m e r a n t z 和c r c a l a b r e s e 在一个真实的 c a n d o - 6 0 0 反应堆的基础上，利用谐波法根据堆内中子探测器计数重构了堆 芯功率分布，获得了不错的结果阳1 。利用谐波法还可以得到反应堆运行的其 它参数，比如堆芯的燃耗分布口们1 。利用高阶谐波的系数，还可以对堆芯 的功率分布异常和堆芯故障进行有效的分析n 2 1 3 1 。由于重构过程非常快，因 此谐波法还可以用末对反应堆进行在线监测n 们n 朝n6 l ，并对反应堆进行负荷追 踪7 | 。另外，谐波法与其它算法结合也可使计算效率大为提高口8 l 。 韩国的c h a n gj o o nj e o n g 则考虑采用将堆芯探测器计数转化为网孔 计数，并对其修正，然后将其作为中子输运方程的内在边界条件，从而求解 ( 重构) 出堆芯的功率分布引。 目前的反应堆一般都是利用堆外探测器的计数来对反应堆的堆芯功率 和轴向功率偏移进行在线监测。韩国的s e u n gh a n 和u n gs o ok i m 等人基 于经济角度以及堆外探测器的计数精确度不高的角度考虑，将堆j 芯探测器计 哈尔滨i ：科人学硕十学何论文 数应刚于堆芯保护计算机系统( c o r ep r o t e c t i o nc a l c u l a t o rs y s t e m ) ，利 用堆芯计数来重构堆芯轴向分布，从而减小误差啪1 。 e u nk i l e e 和y o n gh e ez i m 等人则提出利用交互条件期望 ( a l t e r n a t i n gc o n d i t i o n a le x p e c t i o n ) 算法根据堆芯探测器的5 层计数值 重构出堆芯轴向2 0 个节点的功率值乜。 1 2 2 利用堆外计数重构堆芯功率分布研究现状 对于目前较新的反应堆，其堆芯内设置有固定中子探测器，用于反应堆 运行情况下的堆芯监测和堆芯保护璐1 。然而对于早期的堆型，如我国的秦山 核电站的一期和二期工程心2 儿2 3 2 劓，采用的为移动式探测器，其堆芯内的功率 测量无法做到长期实时监测。因此，长期以来一直使用堆外探测器计数来对 堆芯的轴线功率分布和轴向偏移进行在线监测。对于一些非压水堆，比如对 于球床式高温气冷堆，由于其堆芯内部球床的流动性以及堆内高温高压的环 境，导致堆芯内部无法布置用于测量堆芯功率分布的中子探测器。另外，对 于一些小型实验堆而言，其堆芯尺寸有限，因此，无法在堆芯内布置探测器， 其控制仪表系统用的核探测器分布在反应堆外部的探测器孔道中心引。对于以 上所述的情况，需要考虑利用堆外探测器的读数来重构堆芯内的功率分布。 对于堆外探测器计数，其目自 较多应用于对堆芯功率和轴向功率偏移进 行在线监测。周金满和卢宗健等人对核电站的线功率密度在线监测问题进行 了讨论乜引。其首先通过最d , - 乘法拟合出中子传输矩阵，然后通过其和堆外 探测器电离室电流值得到堆芯轴向6 段功率分布值。接着利用最小二乘法拟 合出转换矩阵，然后利用其得到了堆芯轴向2 6 0 段功率分布值。最后，对这 种方法进行了验证，其结果与利用s c i e n c e 计算得到的结果具有比较吻合的 分布趋势，且精确度也较好，最大相对功率偏差小于5 5 。 在韩国的标准核装置中，利用s a m ( s h a p ea n n e a l i n gm a t r i x ) 法根据 堆外探测器的三层计数来获得堆芯三层的轴向功率值心7 | 。这种方法假设堆外 探测器的计数与堆芯外围组件的功率之间的关系是线性的。针对在反应堆启 动阶段和堆j 占功率阶跃式增长时这种方法可能会导致结果是奇异的或病态的 4 哈尔滨i ：科人学硕十学位论文 问题，m o o ng h up a r k 和y us u nc h o i 则提出了利川强制二项式规划法 ( c o n s t r a i n e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ) 根据堆外探测器的3 层读数重构堆 芯内的轴向3 层平均功率分布。结果表明，这种方法改进了通常所用的s a m 法的精确性和适用性汹2 引。 清华大学的周旭华、李富等人在利用堆外探测器重构堆芯功率分布方面 做了较多工作。其主要采用共轭输运法来计算堆芯中子对堆外探测器的响应 啪3 1 j 。尤其在文献 3 1 中，其分别计算了一个高温气冷堆在无控制棒和控制 棒插入1 0 步时堆芯中子对堆外探测器的空间响应，并对结果进行比较，指出 控制棒对探测器空间响应函数有着较大影响。但是对于控制棒插入时对探测 器的空i h j i 响j 应函数如何修正并未做讨论。因此在控制棒位置发生变化时，之 前状态下计算出的空间响应函数并不能对新状态适用。 1 3 主要研究内容 综上所述，利用探测器计数值束重构堆芯功率分布是必要的。目前仍在 运行的反应堆中，有相当一部分为早期的堆型，其堆内探测器无法长期进行 堆内测量，这使得利用堆内探测器计数重构堆芯功率分布的方法受到了很大 的限制。而对于非压水堆和小型实验堆，由于其内部环境或尺寸因素无法安 置堆内探测器。因此，对于这类反应堆，利用堆外探测器计数重构堆芯功率 分布并利用其进行在线监测或校正在线计算结果就极具意义。在目前的研究 中，利用堆外探测器计数重构堆芯功率分布主要集中在利用堆外计数重构堆 芯的轴向功率分布，较少考虑利用堆外计数直接重构出三维情况下堆芯各节 块的功率值；并且也很少考虑到在控制棒移动和不同功率水平下的重构。基 于此目的，本文考虑直接利用堆芯功率分布和相应的堆外探测器计数来拟合 响应矩阵，并利用求得的响应矩阵以及堆外探测器计数重构出堆芯各节块的 功率分布，将其和实际功率比较，从而对该方法进行验证。在拟合响应矩阵 的工作中，需要大量的数据，尤其是需要不同工况( 控制棒处于不同棒位， 堆芯处于不同功率水平) 下的堆芯功率分布以及堆外探测器的计数值，数据 的收集非常困难。而实际实验成本非常高，因此本文采取计算机模拟的方法 哈尔滨i ：稃人硕+ 学何论文 来获得所需数据。即在给出的堆：醛功率分布的基础上( 基准题中给出或利用 堆芯扩散程序计算给出) ，利用m c n p 模拟出堆外探测器计数，从而获得本文 研究工作所需的相应数据。本文具体的研究内容包括： ( 1 ) 考察不同的堆芯建模方案对堆外探测器的影响。在美国布克海文 国家实验室( b n l ) 开发的p w r 电厂压力容器的通量计算基准题的基础上，做 了部分修改，在b n l 提供的相关数据的基础上，选定了堆芯燃料元件的三种 不同建模方案：考虑最外三层燃料组件的精细功率分布、仅考虑最外层燃料 组件的精细功率分布和所有燃料组件均不考虑精细功率分布。通过m c n p 对这 三种建模方案进行运算，得到了三种情况下的堆外探测器计数，并对结果进 行了分析。 ( 2 ) 利用最小二乘法拟合单一工况下的响应矩阵。在b n l 提供的基准 题的基础上，通过m c n p 模拟了堆外探测器的计数。然后在此基础上，结合 b n l 提供的堆芯功率分布，利用最d - 乘法拟合出堆芯功率分布和堆外探测 器计数的关系响应矩阵。最后对响应矩阵进行了检验：即利用堆外探测 器计数和响应矩阵重构出堆芯功率分布值，并将其和b n l 给出的基准值进行 比较。 ( 3 ) 利用最小二乘法拟合多工况下的响应矩阵。针对b n l 的基准题中 仅给出了一组功率分布值并且没有考虑控制棒因素以及变功率水平的问题， 以秦山一期工程为对象，进一步考察利用最小二乘法拟合响应矩阵并利用响 应矩阵来重构堆芯功率分布的方法的适用性。具体内容包括：在得到多组工 况下堆芯功率分布的基础上，利用m c n p 模拟出不同工况下的堆外探测器计 数；利用最d - 乘法拟合出响应矩阵；利用响应矩阵和堆外探测器计数重构 出堆芯功率分布；最后对重构功率值与基准值进行了比较，对若干节块的重 构功率值与基准值的相对偏差较大的现象，分析了其原因。 6 哈尔滨l ：科人学硕+ 学何论文 第2 章堆外计数模拟原理与响应矩阵的推导 在本文的工作中，首先需要利用m c n p 根据堆芯的功率分布模拟出堆外 中子探测器的计数值，然后再根据模拟计数结果进行数据拟合，获得了反应 堆堆芯功率分布和堆外探测器计数的关系响应函数( 响应矩阵) ，最后 利用模拟的结果对矩阵进行验证。但是，在利用m c n p 模拟堆外探测器计数时， 需要对源项进行描述。那么，这里的源足什么? 堆芯的功率分布与堆芯的源 描述有什么关系? 在得到堆外探测器计数后，怎样利用模拟结果拟合出响应 矩阵? 本章对以上这些问题做了回答。 2 1 堆芯功率分布与外中子源转换关系 为了通过最小二乘法拟合出堆内功率分布和堆外探测器计数的关系一 一响应函数，需要有大量的数据，包括不同工况下堆芯的功率分布和相应的 堆外探测器计数。但是实际实验需要耗费大量的人力和物力，因此利用计算 机柬模拟出所需的数据是一个很好的办法。反应堆堆内节块的各物理量( 如 平均通量、厄仃等) 可以通过少群扩散方法得到它们的解。对于泄漏到堆外的 中子空间和时问分布的计算，由于相邻介质材料的不均匀和差异，扩散方法 已经不再适用。而m o n t ec a r l o 方法可以精确描述复杂系统的几何结构，精 确模拟粒子的输运过程，因而对于反应堆的屏蔽问题以及本文所研究的堆外 探测器计数问题具有明显的优势。地1 。 利用m c n p 计算堆外计数器的电离室中的中子通量的方法主要有以下三 种： ( 1 ) 用m c n p 真实模拟堆芯及堆外探测器进行临界计算，经过多次迭代， 最后得至0 基本稳定的舡，值和收敛的电离室中子通量。这种方法的困难之处 在于：整个系统的几何描述非常复杂；计数效率低、收敛速度慢，耗时长。 ( 2 ) 堆芯采用扩散理论程序计算，给出堆芯表面的出射中子流( 能谱、 哈尔滨1 ：稃人学硕+ 学何论文 角度谱) 。m c n p 将此中子流当作外源，计算从堆芯表面垒0 堆外探测器电离室 的输运问题，得到电离室中的中子通量。这种方法的困难之处在于：如何获 得准确的堆芯表面的出射中子流。 ( 3 ) 堆芯用扩散理论程序计算，输出各个燃料节块的功率只( 视作源 强) 。m c n p 假定各节块具有单位裂变源强，跟踪中子从第j 个节块到第个 电离室的运动，得到堆外第个电离室对应于第j 个节块的单位源强的中子 通量。这种方法的问题在于：如何处理节块内的中子与裂变物质碰撞的问题。 考虑到三种计算方法对硬件以及基础数据方面的要求，在本文中采用第 三种方法，即在获得堆芯各节块功率分布的基础上，通过将功率转化为相应 的外中子源项，将裂变中子作为外中子源处理，用m c n p 模拟中子由堆芯燃料 节块到堆外探测器电离室的输运过程。在m c n p 跟踪中子输运过程中，当中子 与裂变物质核发生裂变反应时，将此反应当作吸收反应处理而不再跟踪相应 的裂变中子。 下面讨论堆芯各节块的功率与外中子源项的转化方法。一般情况下，中 子的输运方程为口驯： 土娑+ 壶v + ：p ( 尹，) vo t _ ( 尹，, ) i d e p 甜( 斗e ，) 矽( 尹，e ，壶，f ) + ( 2 1 ) q ，( 尹，e ，q ，f ) + s ( 尹，e ，壶，f ) 式中：驴一一角中子通量密度 e 一一中子能量 p ( 尹，t ) 一介质的密度分布 ( 一e , u 。) 第j 种核素的微观散射截面 刀，( f ，) 一第j 种核素的单位质量的核子数 p ( f ，e ，壶，) 一一裂变中子源 s p ，e ，壳，f 1 一外源项 这早假设裂变中子能谱与入射中子能量无关，并且裂变中子的方向为各 向同性，则单位时间内，单位体积、单位立体角、单位能量内裂变中子源强 8 为： 9 啪，) = 掣雕) 胁朋脚 协2 ) = 警摊、) 沁婀舭协t 、沁妃e 。嘶) 式中：一裂变中子能谱 y 一每次裂变平均释放中子数 仃，( e ) 微观裂变截面 若记磊= p 两尹( 尹，e ，q ，) ，则公式( 2 2 ) 可以改写为： 9 ( 蛐，两，沪掣抛) h ( 跏( 即) 们肌) 施( 2 _ 3 ) 这旱- n 谚o ( f ，e ，) 即为用堆芯扩散程序计算出的节块的通量，从而可得节 块内的功率密度为： q ( f ，f ) 2 巧j 町( e ) p ( 尹，) 刀( 尹，t ) q k o ( r ，e ，t ) d e ( 2 4 ) 式中：历一为每次u - 2 3 5 核裂变所放出的能量。 q = 3 2 x 1 0 1j ( 2 5 ) 由此可求得第个节块内的平均功率密度q i 为： 上，g ( 尹，t ) d v 吼。上f ( 2 6 ) 式中：巧一为第个节块的体积。 若节块的划分是均匀的，那么杉= 儿则对于任意的节块的功率尼可 表示为： e = v q j ( 2 7 ) 将公式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 和公式( 2 7 ) 代入公式( 2 2 ) ，从而可得节 块的功率与节块内的中子源强的关系为： g 亿e 龟f ) - 尝刍廿e ( 2 _ 8 ) 9 哈尔滨i ：科人学硕十学何论文 将公式( 2 - 8 ) 代入公式( 2 一1 ) ，l r d 时考虑到反应堆处于稳态，并且堆 内没有外中子源，便可得到在本文中m c n p 所求解的中子输运方程： 佥v 矽+ = p ( ，) _ ( ，) i d e 7 p 壶7 ( f j e ，风) 矽( 尹，e ，矗，) + ( 2 - 9 ) 星嫂妙p 4 兀e 。v j 到此为止，将公式( 2 - 1 ) 的裂变源项用外源项取代，m c n p 所考虑的是 一个通用源问题。根据公式( 2 - 9 ) ，m c n p 的源中子的抽取方法是： ( 1 ) 源中子的位置( x ，乃z ) 在第个节块内均匀抽取。 ( 2 ) 源中子的方向按各向同性抽取。 ( 3 ) 源中子的能量按裂变谱抽取。 从上面的讨论可以看出，裂变中子被转化为外中子源。但是在这些中子 在堆内的输运过程中，其仍然会与堆内的裂变物质发生核裂变反应并释放出 中子。由于裂变中子已经由外源来表示，因此对于这些裂变反应应视作吸收 反应，即中子被这些裂变核素吸收掉并且不释放出裂变中子。具体在m c n p 输入卡中，可以通过裂变关闭卡n o n u 来实现：通过设置其参数值，可使m c n p 将所有栅元内的裂变反应都作为俘获反应处理。如此便可解决堆芯内的中子 与裂变物质发生裂变反应的问题。 m c n p 跟踪这些源中子的输运过程，并记录这些中子对堆外探测器的电离 室的通量贡献，其计算流程如图2 1 所示。 1 0 是 图2 1m c n p 模拟中子输运计算流科图 2 2 堆外探测器计数与响应矩阵 当中子从堆芯运动到堆外探测器的电离室后，探测器会产生电流。探测 器的读数值实际上便是电流值。下面便来讨论堆芯的功率分布、电离室内的 哈尔滨i ：稗人学硕十学何论文 中子通量与电离室电流值的关系。首先，需要先埘模型中考虑全0 的反应堆的 节块进行重新编号。通常情况下，考虑到反应堆的对称性，同时为了减少计 算机时，一般仅考虑四分之一( 或八分之一) 堆芯建模，同时采取反射边界 条件。假设堆芯的节块划分为层，且在建模中，每层所考虑的节块数为 个。首先对同一层的节块进行编号，则第层的第j 个节块的功率可记为。 然后，可根据公式( 2 1 0 ) 对所有节块重新进行编号： 、只= p r , j ( k = f + ( 一1 ) 三) ( 2 1 0 ) 式中：只一为重新编号后第k 个节块的功率值。 设第个电离室的电流为乃，单位时间内，第j 个节块的中子对第个 电离室的通量的贡献为p “，从而有： 办= p r x ox s q ( 2 一1 1 ) 式中：而一为第j 个节块中一个源中子对第- ，个电离室的贡献 只一一第j 个节块的功率； 刁一释放1 焦耳能量所需要u - 2 3 5 发生核裂变的次数，一般 情况取r l = 3 1 2 5 1 0 ； v 一一u - 2 3 5 发生一次核裂变所释放的中子个数，一般情况 取y = 2 4 5 。 将公式( 2 1 1 ) 对j 求和，即可得到第个电离室的中子通量为： 力= 唬 ( 2 一1 2 ) 则第个电离室的电流值为： i ，= c ， ( 2 1 3 ) 式中：f 一为探头灵敏度系数，亦即探测器的通量一电流转换系数， 其值视具体的探测器情况而定。 综上所述，对于堆外探测器的第个电离室的电流读数与堆芯功率的关 系为： - - c z p , x 3 1 2 5 1 0 1 0 x 2 4 5 x s a ( 2 1 4 ) ， 1 2 哈尔滨- j 稃人硕+ 学何论文 如果埘堆芯的功率归一化，则自： # = p 焉 ( 2 1 5 ) 式中：乒一一为第，个节块的归一化功率值； 只。一为堆芯的总功率值。 将公式( 2 1 5 ) 代入公式( 2 1 4 ) 可得： = c e 乒匕x 3 1 2 5 1 0 1 0 x 2 4 5 x s , j ( 2 一1 6 ) ， 从以上的公式的推导可以看出，对于堆芯的源中子从堆芯运动至堆外探 测器引起探测器计数的过程可以分为两部分：第一部分是源中子从堆芯输运 至堆外探测器的电离室，第二部分则是电离室中的中子通量引起电离室的电 流值。对于不同的反应堆系统而言，第一部分的问题是共性的问题，即反应 堆的外源输运问题；第二部分的问题则与具体的探测器性能相关。本文所探 讨的是第一部分的问题。因此，在本文中，对于探测器电离室的电流值用电 离室中的中子通量来代替，即认为反应堆外部第个电离室的计数便为谚，。 一旦探测器的具体性能确定，将痧，乘以探测器的通量一电流转换系数，便可 得到最后探测器的实际读数。另外，在m c n p 的源项描述中的功率值只具有相 对功率值的意义，因此在本文中采用的均为归一化功率。 接下来讨论堆芯功率分布与堆外探测器计数的关系。在本文中，定义响 应函数如下： 于= r ! i 矽， ( 2 1 7 ) j 式中，吼一一为第个电离室的计数值( 电离室内的中子通量值) ； 尼厂一这罩r 即为所定义的响应函数。助为其元素值。若假 设模型中考虑的节块数为个，堆外探测器的电离室 为1 7 个，则从推导过程来看，其应该是一历n 的矩阵。 到此为止，便得到了堆外探测器计数与堆外探测器计数与堆芯功率分布 之间的关系响应函数( 响应矩阵) 。 在公式( 2 - 11 ) 的右边可以看到一项易，其含义为第j 个节块中一个源 哈尔滨t 科人学硕 ：学何论文 中子对第个电离室的贞献，从公式( 2 一1 1 ) 看来，其应该是一个n x 的矩 阵。下面便来讨论矩阵s 与响应矩阵厅的关系。首先，根据公式( 2 - 1 7 ) 和 公式( 2 1 5 ) 可得： p = 于p t o t = p l o t ( b 力) ( 2 1 8 ) j = l 将公式( 2 - 1 8 ) 代入公式( 2 - 1 1 ) 可得： 唬= p i o ，r u s o 心织 ( 2 1 9 ) k = l 将公式( 2 - 1 9 ) 两边对j 求和可得： 力= 丸= 匕r - u ( 咒r 。吮) ( 2 2 0 ) # lp l = l 若记兄= p , o ，7 7 u ，则公式( 2 - 2 0 ) 可改写为： 力= 力i r 。咒l 织 ( 2 2 1 ) = l ，- l 记矩阵s 的转置矩阵为，贝, ms o = - 鬈，从而公式( 2 2 1 ) 可改写为： 哆= 见i r i km ( 2 2 2 ) 盂= i ，= l 对比上式的左右两边可得： 兄s ：7 1 r ，。= 颤 这里： t 。= 三乡三妻 若将公式( 2 - 2 3 ) 写成矩阵形式有： ( n r ) = 去e 1 4 ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 哈尔滨i ：科人学硕十学何沦文 式中，厶为7 维的单位矩阵。 由此，便得到了矩阵s 与响应矩阵刀的关系。 2 3 利用最小二乘法拟合响应矩阵 在由堆芯扩散程序计算出的堆芯功率分布的基础上，利用m c n p 程序模 拟堆芯的源中子输运问题之后，会得到多种工况下堆芯的功率分布值和堆外 的探测器计数值。在这些数据的基础之上，可以利用数据拟合的方法得到它 们之间的对应关系响应矩阵。本文中采用的方法为最小二乘法。 2 3 1 最4 , - - 乘法 最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组 数据的最佳函数匹配。最小二乘法广泛的应用于实验测定的数据的处理当中， 以期从这些数据中寻求变量之间的依赖关系。 假定在实验中测得n 组数据：( x l ，m ) 、( 施，兕) 、( 墨， y o ) 。首先考虑函数 f ( x 、= a l x + a o ( 2 - 2 6 ) 对于最4 - 乘法，其目的便是确定式( 2 - 2 6 ) 中的系数a l 和3 0 ，使得 蜀( 口。，q ) = l y , 一厂( 一) l = l y , 一( q 誓+ ) i ( 2 2 7 ) i = 1i = 1 的值达到最小。其中值f ( a o ，a 。) 称作绝对偏差。为了使式( 2 2 7 ) 取最 小值，需要其偏导数为0 ，亦即需要求解下式： 杀鼽叱薯i = 。( 2 - 2 8 ) 丢弘叱薯i = 。 由于绝对值函数在零点不可微，可能求不出式( 2 2 8 ) 中两个方程的解。 因此，实际上，我们考虑的并不是公式( 2 2 7 ) ，而是下式： 岛( ，q ) ：窆【只一( q 一十) 】2 ( 2 2 9 ) 哈尔滨i ：科人学硕十学何论文 为了找到合适的系数a 。和函，使公式( 2 - 2 9 ) 的偏导数为0 ，我们需要 求解下列方程： 击喜【川埘q 喜一薯。 治3 。， 毒喜【川埘一薹。( y , - a , - a o h = 。 公式( 2 - 3 0 ) 最终可以简化为： 口0 刀+ q 一= 乃 h n 口0 + g i # - - z x , y i 扛lf - l# l 求解式( 2 3 1 ) ，便可得到系数a ，和函，其具体形式为： ( 2 - 3 1 ) # 只- z 毛只薯 a o = _ 专l 型i l 所( # ) 一( 薯) 2 ，_ i忙1 ( 2 3 2 ) m z x , y , 一x , z 乃 q = 生- 匕止 研( # ) 一( ) 2 将公式( 2 3 2 ) 代入公式( 2 - 2 6 ) ，便可得到最后所要求的函数。 从公式( 2 2 6 ) 也可看出，最小二乘法假定实验数据的两个变量之间的 关系是线性的。因此，当实验数据之间的实际关系为非线性的时候( 比如为： 以力= ，) ，利用最小二乘法来拟合实验数据之间的关系是不合适的。此时， 虽然仍然能够找到一组( a ，g o ) 值使得公式( 2 - 2 9 ) 取极小值，但是这个极 小值仅是利用线性函数取逼近数据时的最小值，而非利用所有的函数( 比如： “力= 群+ 钳c ) 取逼近时的最小值。因此，此时( 2 - 2 9 ) 的值可能仍然比较 大。对于最小二乘法是否适合用于某组数据拟合可以通过考察最后的绝对偏 差值，即公式( 2 2 7 ) ，或者考察其平均偏差值： 1 6 哈尔滨1 j 稗人学硕十学何论文 l y , - - ( o i x + 口0 ) i 虿= 上l 一 刀 ( 2 - 3 3 ) 2 3 2 晌应矩阵表达式 在介绍最小二乘法的原理之后，接下来将讨论如何利用最小二乘法推导 响应矩阵的表达式。 在第一章中已经做过介绍，本文关于响应矩阵的工作可以分为两部份。 第一部分为利用m c n p 程序根据堆芯功率分布值模拟堆外探测器计数。第二部 分为在第一部分得到的数据的基础上，利用最小二乘法拟合出堆芯功率分布 和堆外探测器计数的关系响应矩阵。假设一共有口组堆芯功率分布值， 仍然按照2 2 节中的方法对所有的节块进行排序，则可记第七组数据中的第 j 个节块的功率值为r ，( j = 1 ，2 ，朋后= 1 ，2 ，口) 。 设每个堆外探测器通道一共有肜个电离室，相应的，则可将模拟计算得到的 第后组数据中的第7 个电离室的计数值记为厶( = 1 ，2 ，胚七= 1 ， 2 ，g ) 。记所要求的响应矩阵为r ( 显然，此时厅为一个似的矩 阵) ，则可得到该问题的绝对偏差为： 颤= l 善r - 以一匕l ( 2 - 3 4 ) 将其对所有的占组数据求和，可得： f ； ( ；rm平 ；= e ，2 。= i 毛厶一乞i ( 2 3 5 ) k = lk = ll 1 = 1 j 满足要求的响应矩阵眉应使公式( 2 3 5 ) 取最小值。现在考虑响应矩阵 第一行元素的求法。首先，公式( 2 - 3 5 ) 可以改写为： f ； f ；厂m 2 ；= = l j k 一兄 2 3 6 ) 将其对厅的第一行的各元素求偏导数可得： 筹= 班k = ll j = lr o 小圪卜i m 。c 聊乩2 ，埘， 3 7 ， 哈尔滨一i j 稗人学硕十学何论文 将公式( 2 - 3 7 ) 简化后口j 得： m( jg ( 以k ) 吃= 最k ( 朋= 1 ，2 ，m ) ( 2 3 8 ) 显然，由于1 的取值范围为1 至膨我们可以得到一个脓肜的方程组， 共有个未知数 儡，户1 ，2 ，肋，因此，最后可解出响应矩阵第 行的个元素。当取遍从1 到的所有值后，便可得到斤的所有矩阵元。 具体的方程组的解法目前已有很多成熟的方法，由于实际当中反应堆每个通 道的电离室数目并不多( 在本文涉及到的问题中为6 个) ，因此，最后需求 解的方程组的维数也不高，可采用直接解法来求解。 2 4 小结 本章介绍了本文工作的理论基础。在本文中，为了得到拟合响应矩阵所 需要的数据，利用m c n p 根据堆芯的功率分布来模拟堆外探测器的计数。为了 节省计算量，采用的方法是通过将裂变中子转化为外源项从而将问题转化为 m c n p 的通用源问题。本章的第一节便对如何利用功率分布将裂变中子转化为 外源项进行了说明。这一部分内容是m c n p 对中子坐标进行抽样的理论基础。 然后在本章的第二节中，首先讨论了堆内功率分布、堆外探测器电离室 内的中子通量与电离室电流值的关系，并给出了堆内功率分布与堆外探测器 计数的关系响应矩阵。接着对响应矩阵斤和堆内中子通量对探测器电离 室通量贡献的矩阵s 的关系进行了讨论。 在本章的第三节中，对最小二乘法做了简单的分析，并且利用最t j , - 乘 法给出了响应矩阵厅的具体表达式。 1 8 哈尔滨t 秤人学硕 ：学何论文 第3 章堆芯建模方式对堆外计数的影响与单一工 况下响应矩1 阵的拟合 本章在b r o o k h a v e n 国家实验室( b n l ) 的一个基准题