（材料加工工程专业论文）流场下枝晶生长过程的元胞自动机法模拟.pdf

跨 p， 0_一 、l j ，l 、 a 。i s s e m 。i 。n ；ne n g m e 血g 。f ma。e血。mcess；ngllliif。i114ll4ii1ii5illoii s i m u l a t i o no fd e n d r i t eg r o w t hi nt h ep r e s e n c e o ff l u i df l o w b y c e l l u l a ra u t o m a t o n b y x i n gw e i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rh ej i c h e n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y f e b r u a r y2 0 0 8 ，j， p ， ，r 1l j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文 的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 川掣8，；。j。i hif汀臀 ?lj 0 ：f，-11rr 采用c a 模型对固定在熔体壁面上的多晶生长形貌进行了模拟。分析表明，增大流 动强度、减小形核密度和过冷度，能促进枝晶偏向于逆流方向生长，进而增大了枝晶生 长方向与形核壁面垂直方向的夹角( 偏斜角) 。其中，流动强度、形核密度、过冷度为影 响流场下枝晶生长的内在因素，在本研究的参数取值范围内，流动强度为主控参数。由 模拟得到的枝晶生长偏斜角与流动速度、凝固速率的关系符合o k a n o 实验关联式【2 9 l 的结 果。 在以上工作的基础上，开发出流场中游离晶粒的迁移和碰撞长大模型，实现了对单 晶粒的生长、迁移，两个晶粒的碰撞合并，粘附壁面及继续生长过程的模拟，从而为存 在流动条件下预测实际合金的凝固组织形貌奠定了基础。 ， ， - 关键词：流体流动，枝晶尖端生长动力学，偏心生长模型，枝晶生长，迁移，碰撞 i i r ，li i j 量i-_f；- i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i m u l a t i o no fd e n d r i t eg r o w t hi nt h ep r e s e n c eo f f l u i df l o wb y c e l l u l a ra u t o m a t o n a bs t r a c t t h ef l u i df l o wi nt h em e l tc h a n g e st h et e m p e r a t u r ef i e l da n dc o n c e n t r a t i o nf i e l d , f u r t h e r i n f l u e n c e s t h e n u c l e a t i o na n dg r o w t hp r o c e d u r ea n df i n a l l ya f f e c t st h es o l i d i f i c a t i o n m i c r o s t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e so ft h ec a s t i n gm e t a l sd u r i n gt h es o l i d i f i c a t i o np r o c e s s e s i n o r d e rt os t u d yt h em e c h a n i c so ft h ef l u i df l o wa f f e c t i n go nt h eg r o w t ho ft h ed e n d r i t e s ，a c e l l u l a ra u t o m a t o n ( c a ) m o d e l ，w h i c hi n c l u d e st h ed e n d r i t e 邱g r o w t hk i n e t i c si nt h e p r e s e n c eo ff l u i df l o wa n dt h ed e c e n t r e dg r o w t ha l g o r i t h md e s c r i b i n gt h ee v o l u t i o no ft h e g r o w t he n v e l o p eo ft h eg r a i n si nt h ef l o wf i e l d ，i sd e v e l o p e da n da p p l i e dt op r e d i c tt h e s o l i d i f i c a t i o nm o r p h o l o g i e so fa l s ib i n a r ya l l o yi nt h ef o r c e df l o wf i e l d i ts h o w st h a tt h ed e n d r i t et i pv e l o c i t yi sl a r g e ri nt h eu p s t r e a md i r e c t i o nt h a nt h a ti nt h e d o w n s t r e a md i r e c t i o n ，w h i c hi se m b e d d e di nt h ea l g o r i t h mo ft h ed e n d r i t et i pg r o w t hk i n e t i c s t h es o l i d i f i c a t i o nm o r p h o l o g i e so ft h em u l t i g r a i n sw h i c ha r en u c l e a t e da tt h em o l ds u r f a c e a r ep r e d i c t e db yt h ea b o v ec am o d e l i tc a nb es e e nt h a tw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ef l u i df l o w i n t e n s i t y ，w i t ht h ed e c r e a s eo ft h en u c l e a t i o nd e n s i t ya n dt h ed e c r e a s eo f t h eu n d e r c o o l i n g ，t h e d e n d r i t e sa r ei n c l i n e dt og r o wt o w a r d st h eu p s t r e a md i r e c t i o na n dt h ed e f l e c t i o na n g l e ，w h i c h i st h ea n g l eb e t w e e nt h ed e n d r i t eg r o w t hd i r e c t i o na n dt h ed i r e c t i o np e r p e n d i c u l a rt ot h e n u c l e a t i o ns u r f a c e ，i si n c r e a s e d t h ef l u i df l o wi n t e n s i t y ，t h en u c l e a t i o nd e n s i t ya n dt h e u n d e r c o o l i n ga r er e g a r d e da st h ei n t e r n a lp a r a m e t e r se f f e c t i n gt h ed e n d r i t eg r o w t hi nt h e f o r c e df l o wf i e l da n dt h ei n f l u e n c e so ft h ef l u i df l o w i n t e n s i t yo n t h ed e n d r i t eg r o w t h d o m i n a t e st h ei n f l u e n c e so ft h eo t h e rt w o t h ep r e d i c t e dr e l a t i o n s h i p so ft h ed e f l e c t i o na n g l e v e r s u st h ef l o wv e l o c i t ya n dt h es o l i d i f i c a t i o nr a t ea g r e e sw i t ht h ee m p i r i c a lr e l a t i o n so f o k a n o 2 9 1 f u r t h e r , t h ec am o d e lc o m b i n i n gt h ea l g o r i t h mo ft h eg r o w t h ，t h et r a n s p o r t ，t h e i m p i n g e m e n ta n ds t i c k i n gt ot h em o l ds u r f a c ef o r t h es i n g l ec l u s t e r , w h i c hi sf o r m e db yo n e o r m o r eg r a i n s ，a n dt h et w oc l u s t e r si nt h ef l o wf i e l di sd e v e l o p e da n da p p l i e dt ot h ee v o l u t i o no f t h eg r o w t ho ft h et w on u c l e u s e si nt h em e l t t h i sm a k e si tp o s s i b l ef o rt h ep r e s e n tc am o d e l t op r e d i c tt h em i c r o s t r u c t u r e sa n dm o r p h o l o g i e si nt h ep r e s e n c eo ff l u i df l o wd u r i n gt h e r e a l i s t i cs o l i d i f i c a t i o np r o c e s s e s t t t 文a b s t r a c t o w , d e n d r i t et i pg r o w t hk i n e t i c s ，d e c e n t r e dg r o w t ha l g o r i t h m ，d e n d r i t e i m p i n g e m e n t i v 一 、 q 气 一 东北大学硕士学位论文 独创性声明。 摘要i l a bs tra c t i i i 目录v 第1 章绪论。1 1 1 课题的研究背景及目的1 1 2 流场下枝晶生长现象1 1 3 枝晶生长的数值模拟。2 1 3 1 c a 方法模拟枝晶生长过程。5 1 3 2 宏观微观耦合方式模拟枝晶生长1 0 1 4 本文的研究意义及内容1 1 1 4 1 本文的研究意义1 1 1 4 2 本文研究的主要内容。1 2 第2 章枝晶尖端生长动力学模型1 3 2 1 枝晶尖端生长动力学1 3 2 1 1 过冷度与超饱和度的关系1 3 2 1 2 超饱和度和生长贝克烈数的关系1 3 2 1 2 1a n a n t h 和g i l l 的精确解模型1 3 2 1 2 2w a n g 和b e c k e r m a n n 的模型。1 4 2 1 2 3r a n z m a r s h a l l 的模型1 4 2 1 2 4g a n d i n 的模型1 5 2 1 3 界面稳定准则1 6 2 2 枝晶尖端生长动力学模型的求解过程1 6 2 3 枝晶尖端生长动力学计算结果与分析2 0 2 3 1e ( a v ) 表达式的选取2 1 2 3 2 生长贝克烈数p v 与超饱和度q 的关系一2 1 2 3 3 枝晶尖端生长速度v 与超饱和度q 的关系2 2 2 3 4 尖端生长速度与流体流动方向和尖端生长方向夹角0 的关系2 3 2 3 5 误差分析2 4 2 4 本章小结2 6 v 匕大学硕士学位论文目录 3 章二维偏心四边形生长模型2 71 j 3 1 二维偏心四边形生长模型2 7j 3 1 1 枝晶尖端生长速度2 8” 3 1 2 枝晶臂长度2 8 3 1 3 虚拟中心坐标的计算2 8 3 2 流场下单枝晶生长形貌图与结果分析3 0 3 2 1 纯扩散生长条件下的枝晶形貌3 0： 3 2 2 流场下单枝晶生长形貌3 0 3 2 2 1 温度场对流场下单晶生长形貌的影响3 0 3 2 2 2 流体流动方向对流场下单晶生长形貌的影响3 1 3 2 2 3 枝晶取向对流场下单晶生长形貌的影响3 2 3 3 本章小结3 3 4 章流场下多枝晶生长过程模拟3 5 4 1 计算条件一3 5 4 2 流场下多晶生长形貌影响因素3 5 4 2 1 形核模式对枝晶生长的影响。3 5 4 2 2 形核密度对枝晶生长的影响3 6 4 2 3 流动强度对枝晶生长的影响3 8j 4 2 4 冷却速率对枝晶生长的影响4 0 4 2 5 凝固速率对枝晶生长的影响4 2 4 3 影响参数分析4 5 4 4 本章小结。4 5 第5 章流场中晶粒的迁移及碰撞生长过程模拟4 6 5 1 流场中晶粒迁移及碰撞生长模型的建立4 6 5 1 1 流场中团簇的迁移速度4 6 5 1 2 流场中迁移过程的位置变化4 7 5 1 3 计算步骤4 8 5 2 流场中晶粒迁移及碰撞生长的模拟结果4 8 5 3 本章小结5 0 第6 章结论5 1 参考文献5 2 到c 谢5 4 个人简历5 5 v i i 一 东北大学项士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题的研究背景及目的 在许多晶体生长与凝固过程的后期，由于强烈的非线性效应，都会出现枝晶生长。 可以说枝晶生长是一种十分特异又普通存在的非线性现象。 首先，由自然对流或强制对流所引起的金属液流动是凝固过程中一种不可避免的现 象。由于金属液对流强烈地改变了凝固过程中浓度场和温度场的分布，它将对枝晶的生 长形貌产生非常重要的影响；枝晶间的流体流动还会直接影响到溶质偏析、凝固疏松和 孔洞等凝固缺陷的分布，对枝晶生长动力学的规律产生影响。因此对枝晶生长的研究具 有十分重要的理论意义。 另一方面，枝晶生长中，在界面上存在的复杂细微结构可以深刻地影响固相产物中 杂质浓度分布，进而影响产物地机械性能，电学等方面性能，乃至影响最终产品的质量， ， 因此，对枝晶生长的研究又具有十分重要的实际意义。正因为如此，枝晶生长一直是在 材料科学及凝聚态物理学中的一个十分突出的基本研究课题。为得到理想的合金产品， 更好的应用到实际生产中，我们有必要深入地研究流动存在条件下，金属凝固组织的数 值模拟。 1 2 流场下枝晶生长现象 “ 在金属合金的凝固过程当中，由于热溶质浮力及强迫对流而引起了液体流动，进而 影响了枝晶的生长。液体流动可以使枝晶臂重熔，促进等轴晶的形成，同时，它也影响 了枝晶尖端生长动力学和枝晶的优先生长方向【1 1 。在连续铸造中，液体流动是使柱状晶 倾向熔体流动逆流方向生长以及最终取向分布各向异性的原因。在应用双辊铸造生产近 终形钢板的过程中，凝固的柱状晶组织及相关的织构倾向于铸造方向，这是由于熔体的 流动及其相关的速度引起的，可以通过移动铸型中凝固的薄壳看出。 液体流动对柱状晶结构有非常显著的影响。首先，液体流动使枝晶尖端的优先生长 方向朝向逆流方向。一些学者通过试验观察指出，流场下生长方向与温度梯度方向相同 的枝晶当产生与温度梯度方向垂直的强迫对流时要倾斜一定的角度。其次，枝晶尖端的 生长动力学是液体流动方向的方程。当给定一个过冷度，生长方向与流体流动方向相反 的枝晶将产生一个更锋利的尖端，因此，其产生的速度要大于生长方向与流体流动方向 一致的枝晶。这种现象已经通过观察丁二腈枝晶在自然对流下的生长【2 】和水溶液中 n h 4 c l 沉积过程其等轴晶的生长【3 l 得到了论证。对于流场下柱状枝晶二次枝晶臂的生长， 1 第1 章绪论 即传热、传质和流场的数值计算分析达到了一个很高的水平。专家学者们开发了各种各 样的确定论和随机论模型对凝固过程中显微组织的演变和形成机制进行数值模拟。它已 成为揭示凝固过程规律、对各种凝固过程中显微组织演变进行预测的一个强大和重要工 具。为了研究在流场作用下枝晶的生长规律，一个实时的、完全耦合的三传现象和相变 之间相互作用的可视化形象描述显得十分重要，对此，计算机数值模拟技术更具有独特 的优势。 金属凝固过程的模拟包括宏观( 温度场、浓度场、流场等) 模拟和微观( 形核、生长) 模拟。关于宏观的模拟从1 9 5 9 年m u r r a y 4 】首次进行凝固过程的传热计算以来，经过4 0 多年的研究，己经发展了多种数值计算方法：有限差分法( r a m ) 、直接差分法( f e m ) 、 边界元法( b e m ) 、交替显示隐式差分法( a d m ) 、直接有限差分法( d f d m ) 、控制体积元法 ( v e m ) 等。金属凝固微观组织的数值模拟已成为一个新的研究热点。要精确模拟微观组 织的形成过程，需建立能准确描述微观组织形成过程的数学模型，并且要有精确高效的 数值计算方法来求解。但是，在以前的宏观模拟中，没有考虑晶粒形核、生长动力学过 程与潜热释放的关系，而使得模拟精度不够。因此现在的数值模拟技术中，宏观的模拟 一般都与微观的晶粒形核、生长过程相结合，这样可以提高宏观温度场的模拟精度，可 以为微观模拟中至关重要的过冷度的计算提供条件。目前金属凝固过程数值模拟的主要 研究方法有确定性方法、随机性方法和相场方法，其中随机性方法又分为元胞自动机 ( c e l l u l a ra u t o m a t a ，c a ) 法和蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 法。 目前，针对流场下的枝晶生长进行的研究方法主要有两种：( 1 ) 相场法( p f ) ；( 2 ) 元胞自动机法( a 吣。 相场法已发展为最适合模拟晶粒生长形貌的确定性方法之一。一般认为建立相场方 程方法有两种：自由能函数法和熵函数法。相场方法的主要特点是引入相场变量、i ，用 2 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 来表示系统在空间和时间上的物理状态( 液态或固态) 。在液相区，相场变量、i ，= 一l ；在 固相区，、i ，= 1 ：在固液两相区，、i ，值在1 1 之间变化。相场方法可以描述平衡状态下新 相、母相以及固液界面处的复杂生长过程。如果耦合温度场、溶质场、流场及其他外部 场，那么就可以比较真实地对凝固过程进行模拟。相场方法用统一的控制方程，不必区 分固液相及其界面，不必跟踪固液界面，非常适合模拟枝晶生长，尤其三维空间的模拟。 然而相场方法很少研究针对实际试样的三维枝晶模拟，主要原因有两方面：试件全 场微观划分需要超大的存储空间和计算时间；三维相场方程求解算法效率较低。 现今，有人采用宏微观温度场耦合的计算方法来解决全场微观划分单元不可实现的 问题，采用较大的网格和时间步长t 计算宏观温度场，当选取的单元温度降到液相线以 下时，在一个宏观时间步长t 内，采用小网格和小时间步长d t 对该单元进行微观组织 计算，宏观微观计算交替进行，仅对一个小区域微观模拟能够避免全场微观划分单元。 界面捕获液态计算方法：当计算节点成为固相时，重新校正界面空间并将固相附近液态 设为界面节点，再进行计算。使用该方法大大加快了计算速度，提高了相场方程求解效 率，使三维晶粒生长模拟更容易实现。但即使如此，p f 模型的计算量仍然非常大。从文 瓤“ 献资料上看，至今只有日本的n a t s u m e 等人采用p f 模型在2 0 p m x l 0 # m 的二维区域内对 f e 0 1 5 c 合金的单枝晶耦合流场的生长形貌进行了初步的模拟研究，其模拟的图形效 果尚不理想。 近年来，一些研究者应用相场模型耦合流场的数值计算对流场作用下枝晶的生长规 律进行了模拟研究，考察了流场速度、过冷度、各向异性强度和不同的择优取向等因素 一 对枝晶生长形貌的影响。但是，p f 模型的自身难以克服的局限性，使研究并不十分顺利。 例如，由于界面厚度的限制条件，p f 模型受到严格的网格尺寸限制。因此，它的计算区 域很小，所需内存容量大和计算效率低。有些学者为了提高p f 模型的计算效率，采用 了自适应有限元法( a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 或自适应有限体积法( a d a p t i v ef i n i t e v o l u m em e t h o d ) 的网格剖分技术。 与p f 方法相比，c a 的最大优势是计算效率较快和实际工业应用的可行性。尤其是 d i l t h e y 和p a v l i k 最早将c a 技术从介观尺度推广到微观尺度后，c a 模型引起了广泛的 研究兴趣，并在组织模拟预测领域发挥了越来越重要的作用。 元胞自动机法的基本思想：在一个元胞自动机模型中，体系被分解成有限个胞，同 时把时间离散化为一定间隔的步，每个胞的所有可能状态也划分为有限个分立的状态【卯。 每个胞在前后时间步的状态转变按一定的演变规则来决定，这种转变是随时间不断地对 体系各胞同步进行。因此一个胞的状态受其邻居胞的状态的影响，同时也影响着邻居胞 的状态，局部之间互相作用，相互影响。通过这一定的规则变化而整合成一总体行为。 以简单离散的胞来考察复杂体系，这是很有用的思想方法。下面我们用二维元胞自动机 3 ，lr，i 终保持为生，即该胞若原先为死，则转为生，原先为生则保持不变。如果一个胞周围有 二个胞为生，则该胞的生死状态不变，其它情况下，则该胞始终为死。这一个简单的基 于局部作用的规则在计算机模拟实施时却演变出了十分丰富多样的复杂结构，甚至再现，； 一些复杂的生命现象。事实上自然界确有这样一种生存规律：一个生命若周围的同类生 。l 命太少的话，会因得不到帮助而死亡，若周围的同类生命太多，又会因相互竞争得不到 资源而死亡。“生命游戏 对此规律作了高度的抽象简化，是一个十分典型的元胞自动机 模型。 由于c a 方法在基本单元定义和变化规则应用的灵活性，其发展应用不局限于任何 特定物理体系，而且为在微观结构模拟中实现不同空间及时间尺寸度之间的跨越性模拟 计算提供了方便简洁的数值工具。 一 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 3 1 c a 方法模拟枝晶生长过程 ( 一) 宏观物理场模拟 宏观物理场模拟包括对温度场、浓度场、流场等的模拟，以宏观温度场的模拟为例： ( 1 ) 均匀冷却的温度场 假设铸锭以一定的冷却速率均匀冷却，全场温度保持一致。则 t 斛1 一t ”一t a t ( 1 1 ( 2 ) 均匀梯度温度场 假设铸锭在某一方向上存在温度梯度g ，且液相线以一定常速度v l 沿该方向推进， 形成均匀梯度温度场。则当界面经过某位置时， t 肿1 。t 。一于缸 ( 1 2 ) t 一圪。g ( 1 3 ) ( 3 ) 与环境存在换热的梯度温度场 通过求解热传导方程获得温度分布，具体宏观温度的计算如下。根据傅立叶定律， 二维平面内非稳态导热方程的离散方程为 h 槲- h 。+ v ( 押t ) 出( 1 4 ) 式中，h 是单位体积的平均焓，r 是热传导率，丁是温度，t 是时间。 液相无限扩散、固相有限扩散条件下液相浓度的离散表达式，即k o b a y a s h i 6 , 7 1 1 撇 型： 矿e 一埘一例钉 1 + 坐2 y j ( 1 - 逖f l y k s l ) 3 川喝一) 】n 5 ， 其中，c ，+ 。为n + l 时刻的某个单元j 中的液相浓度，a c 加是在时刻n 时由于有沉积析 出产物导致的溶质浓度的变化。 假设合金为理想稀溶液，设定固液界面保持局部平衡，由k o b a y a s h i 和t i l l e r 文献1 6 - 8 1 ， 则在n + l 时刻的某个单元中的液相和固相的平衡温度t ，仅由c 肋+ 。和a 一+ ，共同决定。 即： 手一壶+ 壶严) 簪 ( 1 6 ) r 呓。埘岱争卜“77 形， 卜， 由于存在凝固潜热，焓日与温度r ，固相率厶。，存在以下关系： 等一岳( 圳帆r 1 - 0 ( 1 7 ) 其中，p 是密度，c 。是比热。 图1 2 型壁和熔液内部的形核点分布【9 】 f i g 1 2n u c l e a t i o ns i t ed i s t r i b u t i o n sf o rn u c l e if o r m e da tt h en o u l dw a l l la n di nt h eb u l ko ft h el i q u i d 在一个时间步长盘内，温度减少砑，过冷度增加6 ( a t ) ，这时融液内新生核的密度 可由下式表示 翻= 以 川( h 四= ，凹击( ) ( 1 1 0 ) 这些新生核的分布由盘时间内c a 单元形核的概率来随机给定，形核概率为 只一翻屹 1 时斯托克 零，得到纯扩散条件下 ( 2 6 ) 和b e c k e r m a n 发现，斯 托克斯流的逼近值与h u a n g 和g l i c k s m a n 的实验数据一致。他们提出了计算超饱和值 q 船的计算范围：s c 2 0 ，【1 0 4 1 0 】和e o ，5 】。 在考虑纯扩散条件时： ，( p ) = p ve x p ( p ，) e 。( 只) = q( 2 7 ) 只e x p ( p ，汪。( ) 是i v a n t s o v 函数，可简单的将其看成有如下关系， 只= 厂1 ( q ) 叫击) 6 ( 2 8 a ) a ；0 4 5 6 7b = 1 1 9 5 当存在流动时，考虑流体流动的影响，将a 和b 进行修正，最后得到关系式： 枷( 尚6 ( 2 8 b ) a 一0 4 5 6 7 + o 2 5 3 p m 5 5 b = 1 1 9 5 一o 1 6 2 p 夕1 6 2 1 2 3r a n z m a r s h a l l 的模型 q 肼是由r a n z m a r s h a l l 【2 6 l 得到的超饱和度的结果。其计算条件：当p 一万时，在 e i o _ 4 ，1 0 】，只e 1 0 - z , 1 0 】，s ce 5 0 ，5 0 0 】范围内。 在没有流场情况下，如方程( 2 7 ) ： q = e x p ( p ，汪，( ) 在存在流动的条件下： q = 只e x p ( p ，) 以( 只) 一。( 只( 1 + 2 3 厂) ) )( 2 9 ) 式中e 。( ( 1 + 2 6 ，) ) ) 是考虑了流场存在的项。我们将抛物形枝晶的前端看成是由抛物 厂 ) 一s i n ( 0 2 )( 2 1 0 c ) 式中施密特数& 是对流传质中的相似特征数，用于计算册数( 舍伍德数，它与边界层 厚度有关) & 动量边界层厚度浓度边界层厚度，反映了流体中动量边界层厚度和浓度 边界层厚度的相对大小。r e ：，是无量纲雷诺数，等于惯性力与粘性力之比。0 是枝晶生 长方向与流体流动方向之间的夹角，用简单的三角函数，p ) 表示其影响，在此模型中， 取0 一万。 q 肼2 只e x p ( ) 毛( 只) 一- ( p v ( 1 + 五南) ) ) ( 2 1 1 ) q 删的模型与g a n d i n 模型的求法相同，但是在系数上的取值有差异( 彳t0 6 6 ， b 一1 2 ，c 一1 3 ) 。 2 1 2 4g a n d i n 的模型 q g 是g 柚d i l l 【1 7 l 修正的超饱和度模型，推导过程与r a n z m a r s h a l l 修正的模型基本 一致，通过与a n a n t h 和g i l l 的精确解模型进行数值拟和，得到参数彳一0 5 7 7 3 ， 口一0 6 5 9 6 ，c 一0 5 2 4 9 ，同时考虑了宏观流动方向与枝晶尖端生长方向间夹角的影响。 q 倒2 p e x 配) 扛耻e - ( p ( 1 + 蕊蠹丽) ) ( 2 1 2 ) a 一0 5 7 7 3 b 一0 6 5 9 6 c 。0 5 2 4 9 e 是一个指数积分函数，它定义如下【2 7 1 ： e ； z 哆 z 它的值可由下面的方程来确定。 ( 1 ) 一段式 当尸【0 ，c o ) 时，可以写成下式。 - 1 5 ，i 第2 章枝晶尖端生长动力学模型 2 1 5 7 _ 1 n 阶砉晋* , - 0 5 7 7 - i n ( p ) + 雨4 p ： ) = a o + a l p + 口2 p 2 + 口3 p 3 + 口4 尸4 + 口5 p 5 _ - 0 5 7 7 2 1 5 6 6 a 1 = 0 9 9 9 9 9 1 9 3 = 0 2 4 9 9 1 0 5 5 a 。= 0 0 0 9 7 6 0 0 4 当p e n 0 0 ) 时，其表达式为： a 3 = 0 0 5 5 1 9 9 6 8 a 5 = 0 0 0 1 0 7 8 5 7 胁啪= 鲁簪揣 a l = 8 5 7 3 3 2 8 7 4 0 1b l = 9 5 7 3 3 2 2 3 4 5 4 a 2 - 1 8 0 5 9 0 1 6 9 7 3 0b 2 = 2 5 6 3 2 9 5 6 1 4 8 6 a 3 = 8 6 3 4 7 6 0 8 9 2 5b 3 = 2 1 0 9 9 6 5 3 0 8 2 7 a 4 = 0 2 6 7 7 7 3 7 3 4 3b 4 - - 3 9 5 8 4 9 6 9 2 2 8 通过与q 之间的关系，当我们知道q 的值便可以求出的值。 2 1 3 界面稳定准则 应用界面稳定准则，我们可以得到枝晶尖端生长半径、枝晶尖端生长速度和生长贝 克烈数之间的关系。 = 争去( 2 1 3 m w )，。，= 了_ _ ) 口i 尼一1 1 只= 云 ( 2 1 4 ) 式中，1 ，为枝晶尖端生长速度、d 为扩散系数、1 7 为稳定常数。其中，口可以近似为 ( 4 兀2 ) 。 通过联立求解上述关联式，即可以由过冷度、宏观流动速度及方向等条件得到枝晶 生长半径和枝晶尖端生长速度的值。 2 2 枝晶尖端生长动力学模型的求解过程 1 ) 通过宏观计算得出模型中总的过冷度丁。 a t 一t + l 2 ) 首先假设枝晶尖端生长半径，无限大，则曲率过冷度z 为0 ，根据如下公式联立求 缸i儡口xf： 盯乱瓦嗍( 1 一南 q ； 垒圣 ( m w o a l ) ( k 一1 ) 3 ) 根据公式求出固体液体界面的液体中溶质的组分w ，记为公式( 3 ) ： q 一( w 。一w o ) ( w ( 1 一七) ) ( 2 1 5 ) 一一 i z 1 ) 1 一n 一七、q 、7 4 ) 建立枝晶尖端生长半径厂与生长贝克烈数的关系记为式( 4 ) ，已知： 广灿7 m w 弋面 口 i 七一1 1 只一云 2 以2 丙m 赢w 面 ( 2 j 6 ) i 七一l ， 5 ) 根据公式( 4 ) 得出枝晶尖端生长半径，的表达式： ，一瓦磊r 瓦丽 ( 2 1 7 ) 6 ) 建立q = 厂( ) 函数关系式。 a g 精确解模型： q 4 g 。2 只? e x p 一t n 国，+ c 1 一叩2 ，一l i i 彘b 一叼2 + c 1 + 叼2 ，n 仍，驴叩 其中，一面元忑磊u 弋f 云面瓦，s c 为常数，公式中叩积分由g a u s s - k g e n d r e h l t e 铲a t i o n 方法【2 8 1 通过f o r t r a n 编程求得，最后得到q ；，( ) 函数关系式。 w b 模型： 枷( 忐广 a = 0 4 5 6 7 + 0 2 5 3 p 5 5 b 一1 1 9 5 0 1 6 2 p 1 6 联立上面的公式，得到q 叨为： 东北大学硕士学位论文 第2 章枝晶尖端生长动力学模型 由下列式子： 可以得到： 最后得出下式： 吣蔫b 佤v a u f 2 d2 t 7 m w 。 一1 ) ( 2 1 8 ) 。_ ( 2 1 9 ) | 。一l 4 d a + m w 似一1 ) 只 、 1 1 9 5 - 0 1 6 2 ( 岬u f 圳叫) j 面而面面斋丽研 、0 4 5 6 7 + o 2 5 3 m r 4 d 仃。垅w 。似一1 ) 尸，) “” 2 1 1 9 5 - 面01 6 2 f 磊u f 磊、l = 嘉震嘉嘉 r m 模型： q r m = e x p ( 只) e t ( 只) 一e t 。巴( 1 + q 删求法与前面所述的方法相同a g a n d i n 模型： ( 2 2 0 ) q 鲫- e x p ( p ) e l ( 只) 以，化( 1 + 蕊蓊羌丽) ) a 一0 5 7 7 3 b = 0 6 5 9 6 c = 0 5 2 4 9 e 。( ) 为指数积分函数，可近似展开成的多项式，如前所述( 详见2 1 2 4 ) 。 7 ) 利用之前求出的超饱和度q 的值，根据q 一厂( ) 函数关系式，得出关于贝克烈数只 的方程式，求出贝克烈数。，( ) 一0 由v a nw i j n g a a r d e n d e k k e r - b r e n t 方法俐， 通过f o r t r a n 编程求出只的值。 8 ) 根据公式( 2 1 7 ) ，求出枝晶尖端生长半径，代入步骤7 中求出的贝克烈数只的值， 可以求出新的枝晶尖端生长半径： 1 8 砸竺加上诹 = 一m三 东北大学硕士学位论文 9 ) 由枝晶尖端生长半 1 0 ) 将步骤7 求出的枝 1 1 ) 由公式( 1 ) 可以求出 q 一 一 2 f 1 一 ， 以一a l ) ( k - 1 ) ( 2 2 2 ) 1 2 ) 按步骤2 8 求出新的枝晶尖端生长半径，比较两个半径值的大小，如果两值的差距 较大，则继续上硷- - 步1 骤，直到两个枝晶尖端生长半径几乎相等( i 厶一+ 。i 山-ioae=z_ooo正c薹oko 一彳cu一参一oo一9c；o-功a；o=-可coo 东北大学硕士学位论文 ， 7 ： 、， 第2 章枝晶尖端生长动力学模型 利用计算机编程数据超限，我们无法得到流体流动速度为0 0 1 m s 时的数据。 从枝晶尖端生长速度与过冷度的关系图，我们可以看出： 枝晶尖端的生长速度v 随过冷度a t 的增大而增大。 当流体流动的速度u 变大时，v 一t 关系曲线的斜率变大。但我们不能笼统的说， 流体流动的速度u 越大，枝晶尖端的生长速度v 越大；或者说流体流动的速度u 越小， 枝晶尖端的生长速度v 越小，因为流动流动方向与枝晶尖端生长方向间的夹角也对枝晶 尖端生长速度产生影响。 使用g a n d i n 的方法求解枝晶尖端生长速度v 与过冷度a t 的关系接近精确解，即 a n a n t h 和g i l l 的方法，而w a n g 和b e c k e r m a n 的方法求出的解则偏离精确解较大。 2 3 4 尖端生长速度与流体流动方向和尖端生长方向夹角e 的关系 采用a i 7 s i 合金，流体流动方向为垂直向上方向，枝晶尖端生长方向与流体流动 方向间夹角的范围为【0 ，2 羽，s c h m i d t 数9 0 6 ，流体流动速度为0 m s ，0 0 1 m s ，过冷度分 别为3 k 和5 k ，我们使用e ( e v ) 的表达式是一段式。因为使用二段式公式时，当流体流 动速度介于( 0 ，0 0 4 m s ) 时，利用计算机编程数据超限，我们无法得到流体流动速度为 0 0 1 m s 时的数据。 - o 0 0 l o- o 0 0 0 5o o o o oo o 0 0 5 x - c o m p o n e n to ft h ed e n d r i t et i pg r o w t hv e l o c i t y ，v x m s 1 图2 4 枝晶尖端生长速度v 与流体流动方向和枝品尖端生长方向夹角o 的关系图 f i g 2 4t h er e l a t i o no ft h ed e n d r i t et i pg r o w t hv e l o c i t y , v ，a n dt h ea n g l e ，0 ，b e t w e e nt h ed e n d r i t eg r o w t h d i r e c t i o na n dt h ef l u i df l o wd i r e c t i o n 2 3 ff竹pcjj一罗-参一ooo_；o-西ail o=-口cm口oc_芑-cocoap乞oo 东北大学硕士学位论文第2 章枝晶尖端生长动力学模型 从图中，我们可以看出： 过冷度为3 k 时枝晶尖端的生长速度小于过冷度为5 k 时枝晶尖端的生长速度。也就 是说，随着过冷度t 的增大，枝晶尖端的生长速度v 增大。 流体流动的速度u = 0 0 1 m s 时，顺流方向速度最小( o = 0 ) ，逆流方向速度最大 ( 0 = 兀) ；流体流动的速度u = o m s 时，枝晶尖端各个