（理论物理专业论文）线性及非线性多模量子连续纠缠态表象.pdf

摘要 本文首先给出了双模量子连续纠缠态及它的本征方程。利用有序算符内的积 分技术可以证明该态满足正交归一性，因此，它可以构成纠缠态表象。随后文中 把它推广到多模量子连续纠缠态，同样根据i v o p 技术得到它们的正交归一性。 并且在文中分别讨论了利用光分束器、起偏器以及参数下转换过程来构成这 些纠缠态和实现过程。此外，还研究了在量子纠缠念作为量子通讯和量子计算的 载体，已被广泛地应用于量子压缩理论、量子光学相算符、及量子隐形传态等领 域。然后在此基础上，我们构建了非线性多模量子连续纠缠态，由非线性的i w o p 技术证实这些态是完备的，最后讨论了其实现过程及应用。 关键词：有序算符内的积分技术；量子纠缠态；非线性：量子隐形传态 a b s t r a c t f i r s t ，w ei n t r o d u c ee p re n t a n g l e ds t a t ei nf o c ks p a c e t h ec o m p l e t e n e s sr e l a t i o n a n dn o n - o r t h o n o r m a lp r o p e r t yo fs u c hs t a t e sa r ep r o v e n s e c o n d ，i ti ss p r e a d e dt o m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t ，w eh a v es h o w nt h ec o m p l e t e n e s sr e l a t i o na n d n o n - o r t h o n o r m a lp r o p e r t yo fs u c hm u l t i p a r t i t ee n t a n g l e ds t a t e s t h es c h e m et og e n e r a t et h e s es t a t ea r ep r e s e n t e db yc o m b i n i n gas y m m e t r i c a l b e a m s p l i t t e r , ap a r a m e t r i cd o w n c o n v e r s i o na n dap o l a r i z e r w ec o n s i d e ra l l a p p l i c a t i o no ft h ee n t a n g l e ds t a t ei nq u a n t u ms q u e e z i n gt h e o r y 、o p t i c a lp h a s eo p e r a t o r t h e o r ya n dq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n l a s t l y , k i n d so fn o n l i n e a rm u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t a r es h o w n ，a n di t sa p p l i c a t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：i w o pt e c h n i q u e ；e n t a n g l e ds t a t e ；n o n l i n e a r ；q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 撇蝴张色泵l 鳓期：叼年吣日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：陀双眇导师签名： ，一1y 签字日期：伽? 午么月缈日 签字日期：砌产6 月乒日 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 第一章引言 狄拉克是量子力学的创始人之一，他的名著量子力学原理自1 9 3 0 年问 世以来，在半个多世纪中一直是该领域得一本基本得、权威的教科书。在该书中， 就非相对论量子力学内容而言，狄拉克总结了海森堡的用矩阵表示力学量的做法 和薛定谔的按照德布罗意思想而在原子理论中引入态的概念，提出了自己独特的 表述量子论的数学形式符号法，使量子论成为严密的理论体系。为了阐述他 的理论，狄拉克引入了右矢和左矢的概念，简洁而深刻地反映了量子力学中力学 量和态矢之间的关系；他把非对易的量子变量称为q 数，发展出比矩阵力学更为 抽象的、普遍的q 数理论，其中包括表象理论。对于特定的动力学系统，寻找一 个合适的表象，不但具有运动学的意义，而且具有用对角化哈密顿量求解能级与 能量本征态的动力学意义。尤其是在讨论连续变量的e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) n 1 类型的纠缠态表象，更是在量子通讯中有重要的应用，因为量子纠缠 表象在量子计算与量子通信瞳叫1 中叙述才最清楚。 近年来，范洪义等创造和发展的有序算符内的积分技术( 简写为i w o p ) 一 一一种特殊的数学物理使得狄拉克的符号法更完美、更具体、能更多更好的 表达物理规律。i w o p 技术不但具有物理上直观、内涵丰富、数学简捷的特点， 因而能解决一些悬而未决的问题，开拓一些新的研究课题，而且又能强烈而深刻 地体现量子论数理结构内在的美。并利用i w o p 技术已经完成了二模纠缠态和三 模纠缠态的研究。同时，非线性相干态的研究变成了量子光学和原子光学的一个 热点，其原因是不但可把很多量子光场的有物理意义的态矢量看作是非线性相干 态，而且非线性相干态可以在物理实验中实现。范洪义还把有序算符内的积分技 术推广到非线性相干态的领域，并对非线性纠缠态进行了研究，已得到很好的成 果。 在此基础上本文构造了一种新的四模纠缠态，并讨论了它的性质和应用。另 一方面，还把非线性纠缠态推广到三模和四模情况。因此，通过本文的研究可以 丰富纠缠态表象理论，具有十分重要的实际意义。 硕十学位论文 1 1 坐标、动量表象和粒子数表象1 【q ，p 】= m 。 ( 1 1 ) 让i g ) 和ip ) 分别是q 和p 的本征态，则有 q i q ) = g i g ) ，( g i q ) = 万( g 一g ) ， ( g p ，_ h z 口d p i p = p i p i ) 冀三p ，：万。p 一p ， ( 。2 ， )，( p ) = 万( p 一p ) ， 、。 ( p l o = m 丢( 外 ，d q l q ) ( q = 1 ； ( 1 3 ) ，咖i p ) ( p i = 1 。 ( 1 4 ) 则易知 邮+ = 1 。 ( 1 6 ) 定义粒子数算符= 口+ a ，它的本征态记为i 刀) ，则有 ( ”刀) = ，z ) 1 2 o ， k ) 中的最低一个态l o ) 为基态，则必然有口l o ) = o 。容易证明 2 浏去 缈一幻 晕恽 r。l = ，-斟。丽 一 飞 = 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 、a 棚i 刀) = 丽i h ) 张成的空间是完备的 而且 l 门) ( 刀i = l ， n = o 口i 玎) = 石i 挖一1 ) ，矿l 刀) = 鬲”1 ) 。 基态i o ) 的波函数( g l o ) 可由下式求出 即 。= ( g i 口i 。) = ( g i ：茜 = 击 庠+ 压旦d q ( g i2 万【、i 、磊一j i g i ( g i 。) = c 唧陪9 2 ， 买中c 是为 ) - t - - 4 比系数，司由f 式定出 1 = ( o i o ) = ，d q ( oq ) ( q o ) = i c l 2 - b o o 岫p 卜警9 2j = | c 1 2 + 击 i o )+ 而萧i ) 所以 ( g i o ) _ 唧胃口2 ( 封。 以下为方便起见，取h = 缈= m = 1 ，则由( 1 7 ) 、( 1 8 ) 和( 1 1 3 ) 式得 3 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 2 ) 硕士学位论文 刀) = 去弘+ ”州州由 = 志h g 一射m - 9 1 ) 1 0 ) 1 一。= = = = = = = = = = = = 4 2 ”n t f x卜跏 。 p 一面j 。 利用厄密多项式的表达式 j c g ，= p 叮2 2 ( g 一暑 ”p 9 2 ，2 或 j 屯c g ，= p 9 2 ( 一暑 打p 9 2 = 警 ( 1 1 4 ) 式变为 ( g 伊再丽1 e - q 2 2 乩( g ) 。 由( 1 8 ) 和( 1 1 7 ) 式，可写出坐标本征态i g ) 的f o c k 表象 g ) = f 刀) ( 力i g ) = r l = oj 刀) ：忑丽1e - q 2 2 h n ( n = o g ) 、l j2 i n 、| 冗 玎w 唧括+ 时一钟， 其中用了厄密多项式的母函数公式 妻华n = e x p ( 2 q t - t 2 ) 。 二一n = o 刀! 类似的可以导出 ( p 护丽1 e 咖( p 川p 妙l 。) = 撬卜靳p l p 一，7 2 只( p ) 。 4 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 蒜 = 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 于是，砌夏伞r 位但l p 7 削f o c k 衣豕刀 i p ) = 蜘n = o 钏咖万- l ，4 p 砷2 姜( 斜击嘶)一2 u 。 玎l 4e 即 一譬+ 锄+ + 钟) 。 注意当恢复聊，缈和h ，l g ) 和l p ) 的表达式应分别是 m = ( 署) 4e x p _ 筹 庠口+ 一譬卜； l 小1 、i 4 e x p 一丽p 2 + 昏+ + 钟) 。 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 1 2 相干态的定义与若干性质 相干态这一重要的物理柑念，最早由薛定谔于1 9 2 6 年提出，尽管当时未以 相干态命名，但他对于谐振子位势的研究中，找到了某个量子力学态，该态遵从 类似于经典粒子的演化规律。到了1 9 6 1 年，美国物理学家、数学家k l a u d e r 首 先从数学形式上给出了谐振子相干态在f o c k 空间中的表达式阳3 ，并用它讨论了 路径积分。到了1 9 6 3 年，美国物理学家g l a u b e r 把相干态用于研究光的相干性， 并认为激光的量子力学解释就是相干态n 们，使量子光学成了一门新学科，他因此 获得2 0 0 5 年诺贝尔物理奖。g l a u b e r 明确指出谐振子相干态( 记为l z ) ) 是玻色 子湮灭算符a 的本征态； a i z ) = z l z ) ， ( 1 2 4 ) 归一化的相干态表达式是 旧= 砟) i o ) = o x p 一妒1 + 嬲+ l o ) ，n2 5 ) d ( z = c x p z a + o 口 ， 其中z 是复数。易证d ( z ) 满足关系 d ( z ) 坼1 ) - 坼“) e x p 圭( 。z ) ( 1 2 6 ) 硕士学位论文 d ( 一z ) = d 叫( z ) = d + ( z ) ，d - , ( z ) a d ( z ) = 口+ z 。 ( 1 2 7 ) i z ) 是无穷多个粒子态的叠加 i z ) = p i - z i 刍”丽z * ( 1 2 8 ) 与坐标本征态不同，相干态是不正交的，易证 ( z l z ) = e x p 一圭( 1 2 1 2 + i z 1 2 ) + z t z 。 ( 2 9 ， 于此相关的另一重要性质是相干态的超完备性( 由( 1 2 9 ) 式可知一个相干态可 以由别的相干态来表示) ，其证明如下： d 2 z 引水寺l apo2 p 1 r ，砉罨署旧i = i 胛) ( 胛i = 1 。 n = o ( 1 3 0 ) 钏垆万叫钿一譬西钞 3 。， 钏扣万刈锄悟一譬一嘞斟 6 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 第二章有序算符内的积分技术与应用 2 1 正规乘积的性质 玻色算符口与口+ 的任何函数不失一般可写为 i ( a ，口+ ) = 矿7 矿口“口珊i ( j ，七，朋) ， 肼 其中j ，k ，1 ，m ，是正整数或零。利用 口，口+ = 1 总可以将所有的产生算符口+ 都移 到所有湮灭算符口的左边，这时我们称( 口，口+ ) 已被排列成正规乘积形式，以 标记。正规乘积在量子场论中常被采用。现在我们将把它用来发展狄拉克符 号法和表象理论。为此，先写下几条正规乘积的性质 1 ) 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。 这可这样来理解：由正规乘积的含义显然有口+ d = ：a + 口：，而：g + q ：是一个正规乘 积，故：日+ 口：= 口+ 口，于是有：矿口：= ：伽+ ：，这表明性质1 ) 成立 2 ) c 数可以自由出入正规乘积记号。 3 ) 由于性质1 ) ，故可对正规乘积内的c 数进行微分或积分运算，后者要 求积分收敛。 4 ) 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。 5 ) 正规乘积：形：与正规乘积：v ：之和为：w + 矿：。 6 ) 正规乘积算符：厂( 口+ ，口) ：的相干态矩阵元为 ( z l ：( 口+ ，口) ：i z ) = ( z ”，z ) ( z i z ) 。 7 ) 真空投影算符lo ) ( o l 的正规乘积展开式是 i o ) ( o i = ：e 叫+ 口：。 ( 2 1 ) 7 硕士学位论文 此式的严格证明如下，由粒子态的完备性可得 = 孙( 甩l = 蠢m i 志( 爿( z ) k = 唧口+ 昙i 。) ( o 川：- o o ( 2 2 ) 设i o ) ( o i 的正规乘积形式是：w ：，矿待定，代入( 2 2 ) 式得 t 一( 口+ 参) ：耐_ 。 ( 2 3 ) 观察( 2 3 ) 式见：w ：的左边恰为产生算符，右边恰为湮灭算符，故可以将( 2 3 ) 式右边完全括在正规乘积记号：内部，再用性质3 ) 和4 ) 完成微分运算，得到 ，= ：e x p ( 口+ 参 4 ：k - ：肌。 汜4 ， 可见l o ) ( o l = ：_ ：p 1 ：，利用它可以得到 n ( n 一1 ) ( 一1 + 1 ) - - n ( n - 1 ) ( 刀一，+ 1 ) i 刀) ( 门 用此结果可把i o ) ( o i 进一步写成 李南彳。 汜5 ， | o ) ( 0 | = 喜鹄- l - n + 去( 叫 一j 1 ：n ( n 一1 ) ( 一2 ) + 。 8 ) 厄密共轭操作可以进入：内部进行，即 ( 2 6 ) ：( 形矿) ：+ = ：( 矿) + ：。 ( 2 7 ) 这条性质也与性质1 ) 密切相关。例如( ：a n 口+ ”：) + = 口+ ”口朋，而 ：( 口”口+ ”) + ：= ：口”以+ ”：= 口+ ”口”。 9 ) 正规乘积内部以下两个的等式成立，它们也来源于性质1 ) ：w c gf ( a , a + ) ：= m 伽+ ) ，“4 - ， 8 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 ：嘉巾，口+ ) 笃 “m ，口+ ) ： 。 对于多模形式，上式的推广式为 ：盖毒m 州甜 = ：厂( q ，哆，口j + ，乃+ ) ：，巳+ ，q + 。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 2 2 正规乘积内的积分技术与单模、双模压缩算符的自然导 出 由正规乘积的性质，我们想到只要把方程的被积算符函数化成正规乘积内的 形式，则由于所有玻色算符在：内部可对易，故可被作为积分参数那样对待，从 而积分就可以顺利进行。当然，在积分过程中和积分后的结果中都有：存在。如 果想最后取消：，只需把积分得到的算符排成正规乘积后就可实现。我们称此技 术为正规乘积内的积分技术。 列加= ! 老e 印悟+ 压抄驯劁 亿 辱坤f 譬+ 画口2 ， 把i o ) ( o l = ：p 叫+ 口：代入，( 2 1 0 ) 式变为 吲加老唧+ 卦压抄y 1 ) 汜 旷九：e x 而一j 1 口2 ， 其中的：p 。口：的左边是产生算符，右边是湮灭算符，因此整个被积的算符函数是 排成正规乘积的。无偶一可把左边的：移到第一个指数左边，并把右边的：移到第 三个指数的右边。根据性质1 ) ，玻色算符在：内可以对易，三个e x p 函数就可以 在指数上相加而使( 2 1 1 ) 式变成 列, 7 - , ( g i = ! 老e x p ，+ 舟画睁口h “玎 ：。 9 硕士学位论文 再用性质3 ) ( i l pi w o p 技术) 对上式积分，在积分过程中可以视( 口+ ，口) 为参数， , - o re p 得n ! 老c g i = s e c h l 2 2 。e x p 一譬鼬兄+ ( s e e h a - 1 矽口+ 譬鼬名 ：，2 1 3 ， 式中 ，碘s e c m = 等，鼬肚筹。 汜 这样就对( 2 1 0 ) 式解析地做完了积分。可以把( 2 1 3 ) 式中的：记号去掉。为 此先用正规乘积性质1 ) 、2 ) 和4 ) 导出一个算符恒等式，即 口= 驴m i = 窆n = o p 砌嘉| o ) ( o i 杀n月= ov 门!v ! = 薹：；击( p 五口+ 口) ”p 一口+ 4 ：( 2 1 5 ， = ：e x p ( e a - 1 ) 九 ：。 利用上式可将( 2 1 3 ) 式改写为 所以 ! 老盼c g i = e x p ( - 譬t a n n a 鲫 ( 口+ 口+ ) i n s e c h a 唧隹鼬五 ， = s ( ) ，= e 五。 酬萨去黔 ( 2 1 6 ) 叩) = s e c h y 2 2 e x p ( 一譬鼬兄) l o ) o 汜 这是单模压缩真空态。 容易证明s 是幺正算符，事实上用( g i g ) = 万( g 一9 ) 得 1 0 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 墨矸= ! d q d q j q l i 、q j 6 ( 留一g ) = ，a q l q ) ( q = 1 = 矸s 。 用算符恒等式 p 4 b e - 4 = b + a ，b 】+ 1 e 彳，b 】 + 奇彳，n 【伽】 + 一， ( 2 1 8 ) 容易导出 s 啊1 = a c o s h 2 + a + s i n h 2 ( 2 1 9 ) 这就是著名的b o g o l y u b o v 变换，它被广泛地应用于量子光学、超导理论、 和原子核理论中。 i w o p 技术求双模压缩算符的正规乘积形式。( 2 1 6 ) 式是单模压缩算符，用 狄拉克的坐标表象和 w o p 技术也可以方便地导出正规乘积形式的双模压缩算 符。用双模坐标本征态1 9 1 ，q ：) = l q 。 l q ：) 构造并计算如下积分 s 2 = ，佃。d q ：l q , c o s h a + q ：s i n h 2 ，q ls i n h a + q ：c o s h a ) ( q 。q ：l = j 1 ， d q t 由：e x p - c o s h , , 1 , ( g ? + g ) - q l q 2 s i l l l l 2 旯 + 压( g lc o s h 2 + q 2s i n h 2 , ) a ；+ 压( g ls i n h 2 + q 2c o s h2 ) a 2 一如+ 对) 2 一三( 吼叫) 2 + 压( 卯。+ 9 2 口2 ) i ： = s e c h 2 ：e x p ( a a ； 一口l 口2 ) 鼬五+ ( 对q + 口；口：) ( s e c h 2 - 1 ) ：， ( 2 2 0 ) 其中用了 1 0 0 ) ( o o i - - ：e x p ( - a ? a , 一口；口：) ：。 ( 2 2 1 ) 借助于算符恒等式( 2 1 5 ) 式，上式变成 s n = e x p ( a ；口；鼬名) e x p ( a a l + 露口2 + 1 ) 1 1 1 s e c m ( 2 2 2 ) e x p ( 一q t a l l h 旯) 。 由此极易证明，s ，诱导出双模压缩变换 硕士学位论文 s 2 q 跗2 口lc o s h 旯一西s i n h 五， ( 2 2 3 ) s 怯a 2 s 矗= a 2c o s h 2 一文s i n h 2 0 从以上推到可见在经典相空间的正则变换q l q le o s h 2 + q 2 s i n h2 ， q 2 专q ：c o s h 2 + q 。s i n h 映射为量子力学中的双模压缩算符。它作用于双模真空 态得到 s ：1 0 0 ) = s e c 办兄e x p ( 计a ；t a n h 2 ) 0 0 ) 。 ( 2 2 4 ) 2 3 用i w o p 技术改写坐标、动量表象的完备性 用此技术可以改写坐标，动量表象的态完备性。在式中令= 1 ，并注意 等劬删 有 ! d qq ) ( q l ：十+ 掣一 譬 2 ： = ：e x p 掣一掣 ： 汜2 5 ) 或看史简练地写为 型g ) ( 昨i 芳七训2 一- ( 2 2 6 ) 此式表示可以将坐标表象的完备性改写为纯高斯积分形式。可想而知，动量表象 i p ) 的完备性同样可以改写 ! a p l p ) ( p i 去e x p p + 扬( 口+ 一口) + 扣州： 2 隽佃- p ) 2 ：= ( 2 2 7 ) 式中 1 2 垡竺壁! ! 垡壁垒堡量三垄堡型堡查壅墨 p 2 老( 口+ 一口) 。 利用有序算符内的积分技术，可以探索相干态的若干性质，g l a u b e r 明确 指出谐振子相干态( 记为f z ) ) 是玻色子湮灭算符的本征态： 口l z ) = z i z ) 2 2 8 ) 由玻色算符的基本对易关系 口，口+ = 1 ，容易证明归一化的相干态是 i z ，= e x p ( 一譬+ z 口+ i 。， c 2 2 9 ) 式中l o ) 是基态，满足口i o ) - o ，( z l z ) = 1 。用b a k e r h a u s d o r f f 公式： e a p b = p b 9 4 e i _ 口】，【彳，b 】= c ， ( 2 3 0 ) 式中c 是普通数，可知相干态之间互相不正交： p 旧= 唧降铀+ z o 组3 1 ) 这个性质导致了相干态是过完备的 睁m i = 1 ，z = x 协 ( 2 3 2 ) 式中d 2 z 薹d x d y 。以下用有序算符内的积分技术证明之。得 牟e x p ( 制+ 嬲+ ) l o ) ( o l e x p ( z + 口) = 睁：e x p ( 一l z2 + z a + + z a - a + a ) ： ( 2 - 3 3 ) = ：e x p ( a + a - t + 口) ：= 1 可把( 2 3 2 ) 写成 ，d 万2 z ，z ) ( z l = 辟：e x p e z - a + ) ( ) ： = 辟：e x p ( 一i 1 2 ) ： ( 2 3 4 ) = 牟e x p ( 一i z l 2 ) 乩 由千相干杰的互不正交，过完备性表明一个相干态可以用其他想干态来表示： 硕士学位论文 = 睁唧日| z 1 2 + i z | 2 胁) 旧 23 5 “ r -1 ( ) 把i w o p 技术和以下的数学公式相结合，可以得到用其他方法难以得到的不少算 符恒等式。一个典型的积分公式是 乎e x p ( f 盯+ s z + 矿+ 乒2 + g z * 2 ) ：志唧( 专铲 3 6 ) 此积分的收敛条件是 r e ( g 千小。，鼬( 篇 = o x p ( 一塑2 ) ! 出。圆i x 一吐唧( 魄) 。 c 3 9 ， 上式说明当粒子1 的处于其坐标本征态卜) 。时，粒子2 同时就处于坐标本征态 i x 一仍) ，上，而这炳个粒子已相距遥远。 3 2 光分束器作为生成双模纠缠态表象的基本器件 产生双膜纠缠态的最简单光学元件是一个光分束器，这里先回顾光分束器的 算符变换理论。光分束器是最简单又常用的无源光学器件，但它在量子光学实验 中有广泛的应用，甚至可以起到纠缠两束入射光的效果h 6 1 ：光分束器把入射光( 用 玻色算符q ，a 2 表示) 变换为出射光( 用2 j l ，6 2 表示) ，变换矩阵为n 7 1 ( 岛b i i 。b 2 2 心j k a 2 = ， ( 3 1 0 ) 每个矩阵元色为复数，由于 包，屯+ = 磊，导致 2 + l 且：1 2 = 1 ， l 垦。1 2 + i 垦：1 2 = l ， ( 3 1 1 ) 且。垦i + 尽：岛2 = 0 。 方程( 3 1 0 ) 与( 3 1 1 ) 中两个b 系数并不完全独立，实际上从易= l 哆f l e x p ( f 岛) 可看 f ：； 令光分束器的穿透系数为f ，则反射系数为1 一f ，它们都小于1 ，故可令 f = c o s 2 矿，于是从( 3 1 1 ) 式可知： 1 7 屹& 卜浙 钆 川一 旧艮 = = 吃岛 i 一 旧 硕士学位论文 叫2 燃邓o s 2 仍 ( 3 1 3 ) 剐2 = 刚2 = s i n 2 伊， “ 总述以上结果，把矩阵岛表示为 1 一c s o ；n s q 妒t e j 一一妒。s i n c p e * ) 一 。3 1 4 )l s i n 妒一缈 ( 3 d e t b = e x p ( 一i 2 0 0 ) ， 式中臼量华，少三毕，岛兰吾( ”皖：) 。 由于我们关心的是两个入射在分束器上光场的相差所引起的干涉效应，整体 相角o o 的贡献就无关紧要，所以可令o o = 0 。当两束入射光进入分束器后不产生 相移，则= 口= 0 ，这时( 3 1 4 ) 式简化为b ：fc o s 伊s m 缈1 。 用理想的5 0 5 0 光分束器可以实现e p r 纠缠态。让入射光分别是两束单模的 理想的压缩光，一个是在x 方向压缩的，另一个是在方向压缩的，经过光分 束器后的输出光是 e x p ，署( q + 吧一呸+ q ) i p = 。) 。i x = 。) ： = 刀一；e x p 署( q + 呸一呸+ q ) 。3 。5 ) 鲫。，e x p 降) 1 0 ) 2 = e x p ( - a + a 2 + ) 1 0 ，o ) ， 此即e p r 纠缠态，l r = 0 ) 。注意到 i r ) = d ( 7 7 ) 1 7 7 = o ) ， ( 3 1 6 ) 式中d ( 7 7 ) = e 即( 驷+ 一矿口) 称为平移算符。实验上可以借助于把按，7 值( 振 幅川，相p 岫叮) 调制的激光场穿过一个部分反射部分穿透的分束器( 例如1 9 6 的穿透率和9 9 的反射率) ，同时将j 刁= o ) 的光场经此分束器反射，把旧= o ) 的 态变成i ，7 ) 态。 1 8 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 第四章多模连续纠缠态表象 4 1 三模连续纠缠态表象 4 1 1 由光分束器和起偏器产生的三模连续纠缠态及其性质 丽囱3 2 节已指出用分束器司以生成双模纠缠态，本节将进一步讨论怎样用 分束器生成三模纠缠态。首先引入形成较为简捷且与角度秒相关的三模态n 引： l 刁，盯) o = e x p 一三( 1 刁1 2 + i 盯1 2 ) + 心( 计一刁+ ) c 。s 口 ( 4 1 ) + 西( 口；一仃) s i n o + r a ：+ a a ；l0 ，0 ，o ) ， 9 的物理意义将在下面给出af r , 仃) 一满足以下本征方程组： ( a i 一西c o s 臼) l 刁，盯) 口= r r ，口) 口， ( 4 2 ) ( 口2 - , gs i n o ) r ，盯) 一= o - i r ，盯) p ， ( 4 3 ) ( a 3 - , 寸c o s o - a ；s i n o ) ，仃) 口- - - - ( , 7 + c o s 0 + o s i n o ) i r ，仃) 口， ( 4 4 ) 经过适当的组合，上述三个方程可转化为 ( 墨一x lc o s 0 一五s i n o ) r ，仃) 口= 一2 ( 7 7 lc o s o + o ls i n e ) l r t ，盯) 口， ( 4 5 ) ( e + bc o s e + p 2s i n o ) r ，仃) 口= 2 ( 仍c o s o + o 2s i n o ) r ，盯) 口， ( 4 6 ) ( 口2c o s o a ls i n o ) r ，仃) 一= ( o - c o s o r s i n o ) l r ，仃) 一。 ( 4 7 ) 由 l o ，0 ，o ) ( o ，0 ，o = ：e x p ( - a l a ，一吒一心口3 ) ： ( 4 8 ) 可以证明i r , 仃) 口是完备的： 1 9 硕士学位论文 垡三凳吾! i 穆，盯) 护口( 理，o l = jd 2 f 万 d ：2 0 ：e x p 一l 刁1 2 一i 盯i 2 + 7 7 ( 口j - a 3e o s o ) + r ( q - ；c o s o ) + o - a 2 - a ；s i n o ) + 仃( 一a ss i n o ) + c o s o ( a i a ；+ q 码) + s i n 矽( 口；心+ 口2 吗) - q + a i 一西口：一心 ： = ：e x p a ；a 3 ( c o s 2 口+ s i n 2 0 1 ) ： 引入三模相干态的完备性，可以计算内积 矿( 刁，0 1 , 7 ，盯) 口= = 面譬唧 了d 2 z , 口( 刁，矽z i , z 2 , z ) ( z l , z 2 , z 3 1刁，仃) 口 z , i 2 + 乞 ( 毛一7 7 ) c o s l 9 + ( z ：一仃) s i n o + 弓 ( 彳一刁) c 。s 秒+ ( z 一盯) s i n 秒 + 7 7 彳+ 盯z + ，7 一z l + t y 一乞 一丢( i 刁i 2 + i 盯1 2 + i 刁1 2 + i 仃1 2 ) = 睁e x p - i 乞1 2v l - c o s ( 口圳) + 乞 ( 刁叫) c 础+ 0 - _ 0w ) s i n 臼 + i ( 7 7 一一矿) c 。s 0 + ( 仃”一仃) s i n 秒 + 7 7 一r + c r f 仃 一三( i 刁1 2 + i 盯i 2 + i 刁1 2 + i 仃肛i ) ) 1 2l-(0-0)expl c o s0 1 一c o s ( o - o ) ( 1 7 - r ) c o s o + ( 盯一盯) s i n o 年( ，7 。一巧) c 。s 秒+ ( 仃”一仃) s i n o + r i r + c r t 盯 一三( i 刁f 2 + i 盯1 2 + i 刁。1 2 + i 仃1 2 ) ) 。 特别当0 = 0 时，由万函数的极限表达式： 烛 e x p ( 一i 1 州= 砸( 巾( 口) ， ( 4 1 0 ) 式约化为 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 硝，一 一 r，【 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 一( 桫l ) 口= 蛳r 舻刁) c o s o + ( 盯纠) s i n p l 2 辱x p o _ 1 ( i 刀1 2 + i 仃1 2 + i 刁护i + i 仃1 2 ) = 万e 1 f j l ，t * ( 矽叫) + j 1 叩( 矿爿) + 三1 盯，( 仃刊) + j 1 仃o - w * 0 * ) ( 4 1 2 ) 梦 ( 7 7 一，7 ) c 。s 口+ - - t t ) s i n 秒 万附一刁一) c 。s 秒+ ( 仃一盯一) s i n 乡 。 这表明j 刁，盯) 口态是部分正交的。对于j 仉盯) 口这么一个理想的三模纠缠态，是用什 么样的简单实验装置去实现它呢? 已经知道一个理想的无损耗的投射一入射比为 5 0 比5 0 的光分束器可以把入射到它上面的两束相互正交的极大压缩态( 分别 是心模与研模) 纠缠为一个e p r 理想纠缠态，记为 i ) = e x p ( 心耳) i o ，o ) 。 ( 4 1 3 ) 以此态为基础，做进一步的变换，使 研= 西c o s o + a ；s i n a ， ( 4 1 4 ) 就可把( 4 1 3 ) 式转变为 i ) = e x p ( 心研) | o ，o ) je x p 药( 茚c o s 0 + 西s i n 口) i o ，0 ，o ) ( 4 1 5 ) = 旧= o ，仃- - o ) 口。 它显示了西模分别与对，吒- 4 - 模相耦合。物理上，变换( 4 1 4 ) 式相应于这样的 现实：即将研模光射到一个极化方向与x 轴成乡角的起偏器( 一个起偏器只能让 光的电场在某个方向通过) 后分拆为两个相互正交的极化方向上的( 西，) 模， 则它们与西模组成了l 刁= o ，仃- - o ) 口态，口就是起偏器的极化方向与水平线所夹的 角。类似地，用一个光分束器也能将入射其上的研模分解为对与口；模。 注意到 l r , 秒) 口= 且( 7 7 ) d 2 ( 盯) i 刁= o ，乡= o ) 口， 式中 2 l 硕士学位论文 d l ( 7 7 ) = e x p ( 7 7 讨一刁口。) ， 砬( 仃) = e x p ( 盯西一仃。口2 ) ， 就可以借助于两束激光场( 分别按振幅为川和h ，相为哪叩和p a r s 仃调制) 和光 分束器将i ，7 = o ，口= o ) 一的光场制备到i 刁，秒) 口态。 起偏器 图1 图1 中a i ，a 2 ，口3 代表了纠缠态为i r , 秒) 口的光。 用i r , 秒) 一的完备性可以解若干动力学问题，它也可以被用作为量子隐态传输 中三个人之间的量子通道。 用别的物理过程也能产生连续的三模纠缠态，它们也能组成一个量子力学的 表象，详看下节。 4 1 2 由光分束器和参数下转换过程产生的三模连续纠缠态n 9 1 引入另一种三模f o c k 空间的连续纠缠态： = s e c h 2 e x p 【一l ( r 口m i r2 ) + 叫 ( 4 1 6 ) + ( 计一口) s e c 办见+ 口；( 心- y ) t a n h a l0 ，0 ，o ) ， 式中口，y 是两个复数，五是实数。这个态矢量是值得关注的，因为由i w o p 技术 可证明它是完备的： f d 2 a 万l d 2 r 口，7 ) 五五( 口，7 i = ，d 2 t 万2 , j ：2 y ：e x p 一( h 2 + j 7 j 2 ) + 口( 西一锡s e c h 2 ) + 口( q 一西s e c h 2 ) + 7 ( 西一口：t a n h a ) + r ( a 3 - a ；t a n h a ) + s e c h 2 ( a 口；+ a t 呸) a t t a n h 彳( q 2 q ；+ 2 2 2 3 ) 一对口l 一西嘭一心口3 ： 线性及非线性多模量子连续纠缠态表象 = ：e x p ( 一a 2t a n h 2 ) ( a 3 - a 2t a n h t , ) + ( 口一口2s e c h a ) ( a , - a ；s e c h 2 ) + s e c h 2 ( a a ；+ a l a 2 ) + t a n h 2 ( 口；心+ 口2 口3 ) 一对口l 一西口2 一心口3 ： = ：e x p e a ；口：( t a l l 厅2 五+ s e c h 2 名- 1 ) 1 ： = 1 0 ( 4 1 7 ) 因此，此态可以形成一个新的量子力学纠缠态表象。那么，如何用物理仪器来 实现它呢? 如3 2 节中所述，用一个光分束器制备好一个理想双模纠缠态 e x p ( 口心) i o ，o ) 。：，再把模霹代表的光束射入一个参量放大器的一个端口，另一 输入端为真空模io ) ，则态e x p ( 对) l o ，o ) 。：- 与1 0 ) ，就经历以下变换： 是，e x p ( 计霹) l o ，0 ，o ) = e x p 对( 西c 。s h 2 一口3s i n h 2 ) s 2 ，1 0 ，0 ，o ) = s e c 办a e x p ( 订露c o s h 五一对口3s i l l l l 旯) e x p ( 心心伽血旯) l o ，0 ，0 ) ( 4 1 8 ) = s e e h a e x p ( a l + a 2c o s h a + a ；a ；t a n a 兄) 0 ，0 ，o ) 。 再用以下平移算符作用之，得 d l ( 口) d 3 ( 厂) 。e x p ( a ：a ；) 0 ，0 ，0 ) = l 口，7 ) 五。 ( 4 1 9 ) 4 2 四模连续纠缠态表象啪1 巾小陇1 4 2 1 由光分束器和两个起偏器产生的四模连续纠缠态及其性质 作为( 4 1 ) 式的推广，以下构建四模纠缠态： i r , t r , r ) o , g , = e x p 一三( i 刁1 2 + i 盯1 2 + i f l 2 ) + ( 露一f ) ( 对一巧。) c 。s 乡c 。s 矽 + ( 西一f ) ( 心一盯) s i n o c o s o + ( a ；一矿) 西c o s o s i n q o ( 4 2 0 ) + 西( 心一仃) s i n 8 s i n 缈+ 刁矸+ 矿西+ 耐 i o ，0 ，0 ，o ) 。 、 为了了解此态的性质，把q ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 作用于它，得 式中 q 一刁 呸一仃 吩一f 吼 k 尹= 苫 ( q 一刁) + ( a 2 一盯) + ( 吩- r ) + 西 刁，盯，r ) 跏， ( 4 2 1 ) 硕七学位论文 ( 4 2 2 ) 把( 4 2 2 ) 式写开，并注意到置= 去( 口j + 矿) ，只= 去( 口f 一矿) ，可见出旧盯，r ) 即 满足以下本征方程组： ( a 3s i n g 4 c o s q o ) r ，盯，f ) 跏= r s i n 吁o i r ，盯，f ) 跏， ( 口ls i n o - a 2c o s o ) r ，f ) 跏= ( r s i n 8 一c r c o s a ) r ，仃，f ) 跏， ( x l c o 妇+ 五血9 一托c o s 伊一五8 i n 缈? 旧叽f ) 跏 ( 4 2 3 ) = 2 ( r ic o s 9 + qs i n 0 一qc o s 6 p ) r ，盯，f ) 一。， ( 互c o s o + p 2s i n 0 + p 3c o s 伊+ e 4s i n 呼o ) r ，盯，r ) 铷 = 2 ( r 2c o s 0 + 0 2s i n o + r 2c o s ( a ) r ，仃，f ) 跏 可以用i w o p 技术证明 jd 2 r l d g 万_ _ ，仃d 2 r s i n 2 o1 7 , 0 - , z - ) 钾跏( ，7 ，仃，f l = 1 。 ( 4 2 4 ) 物理上能实现这种四模纠缠态的办法如图2 所示，图中有一个光分束器和两个起 偏器，起偏方向与水平线夹角的角分别是秒和缈。 两个起偏器的输出端的四个光场模是纠缠的。 光分 柬器 起偏器2 2 3 4 设己制备好了双模纠缠态e x p ( 耳笏) l o ，0 ) ，起偏器的功能使 于是有 w 专计c o s 口+ 口；s i n o = 墨：( 秒) 西耐( 9 ) ， 霹一西c o s 缈+ 西s i n r p = 恐。( 缈) q + 如- 。i ( 伊) 。 2