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l ：海人学硕士学位论文 摘要 b r a n s - - d i c k e ( b d ) 理论是一种标量张量引力理论，这个理论的特点 就是用度规和标量场共同描写引力场。以p a u l i 度规为物理度规的b d 理论叫 做e b d 理论。虽然目前的观测事实对e b d 理论中的参量国有很大的限制，但 是我们有足够的理由来研究这种理论。而且同爱因斯坦的广义相对论相比，e b d 理论不但能够解释爱因斯坦引力理论所能解释的所有实验验证，而且在宇宙学 方面也能够解释宇宙的加速膨胀问题。 本文的主要工作就是关于建立在e b d 理论基础上的d i l a t o n 暗能量宇宙模 型和p h a n t o m 暗能量模型。全文的内容安排如下： 1 、第一章为引言，简单介绍了宇宙学的发展历程和目前的发展状况。 2 、在第二章中，主要阐述了广义相对论以及在爱因斯坦方程基础上建立起 来的标准宇宙学模型和f r w 宇宙学。 3 、在第三章中，主要阐述了宇宙加速膨胀的解决方法，介绍了几种暗能量 模型的候选者。 4 、在第四章中，介绍了d i l a t o n 暗能量宇宙模型和p h a n t o m 暗能量模型， 讨论了宇宙密度参量、宇宙密度的演化，研究了宇宙的吸引子解。 5 、第五章中，我们研究- j e b d 理论自治系统的临界点稳定性问题，分析了 各个临界点的稳定性并给出了它们的相空间演化图。 6 、第六章为总结。 关键词：e b 0 理论；鬼场；暗能量；膨胀子；标量场 v 卜海大学硕士学位论文 a b s t r a ct b r a n s d i c k et h e o r yi sas c a l a r - t e n s o rg r a v i t a t i o n a lt h e o r y , a n di t sc h a r a c t e r i s t i ci s t h a tt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l di nt h i st h e o r yi sr e p r e s e n t e db yb o t hm e t r i ca n ds c a l a rf i e l d b - dt h e o r yw i t hp a u l im e t r i cw h i c hi sr e g a r d e da sp h y s i c a lm e t r i ci sc a l l e de b d t h e o r y c o m p a r e dw i t l le i n s t e i n sg e n e r a lr e l a t i v i t yt h e o r y , n o to n l yc a ne b dt h e o r y e x p l a i na l lt h ee x p e r i m e n tt h a te i n s t e i n sg r a v i t a t i o n a lt h e o r ye x p l a i n s ，b u ta l s oi tc a r l s u c c e s s f u l l ye x p l a i na c c e l e r a t i n ge x p a n s i o no f u n i v e r s e t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri sa b o u td i l a t o nd a r ke n e r g ym o d e la n dp h a n t o m d a r ke n e r g ym o d e lb a s e do ne b d t h e o r y t h ew h o l ef i a m e w o r ki ss e ta sf o l l o w s ： f i r s t ，i ti si n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，ii n t r o d u c et h ee v o l u t i o na n dt h es t a t u sq u o o ft h ec o s m o l o g y s e c o n d ，i ti sa b o u tg e n e r a lr e l a t i v i t yt h e o r ya n dt h es t a n d a r dm o d e lo ft h e u n i v e r s ea n df r w c o s m o l o g yb a s e do ne i n s t e i nf i e l de q u a t i o n t h i r d ，ii n t r o d u c es e v e r a ls o l u t i o n so ft h ea c c e l e r a t i n gu n i v e r s ea n ds o m e c a n d i d a t e so fd a r ke n e r g y f o u r t h , ii n t r o d u c ed a r ke n e r g ym o d e lb a s e do ne b dt h e o r ya n dd i s c u s st h e e v o l u t i o no ft h eu n i v e r s ei nt h ep r e s e n c eo fd i l a t o nf i e l da n dp h a n t o mm o d e l f i f t h , w ep r e s e n tt h es t a b l ec o n d i t i o nf o ra l lc r i t i c a lp o i n t sa n dn u m e r i c a l l yp l o t t h ep h a s ep l a n e s i x t h ，t h el a s tp a r ti ss u m m a r y k e y w o r d ：e b dt h e o r y ；p h a n t o m ；d a r ke n e r g y ；d i l a t o n ；s c a l a rf i e l d v i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 期： 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i i l 海大学硕二l ：学位论文 第一章引言 1 1 宇宙学现状 每一次当我们仰望星空，都会遥想宇宙。什么是宇宙? 我们的宇宙是何时 开始、如何开始、为何开始的? 它又将如何变化? 它的最终命运又将如何? 这 是任何一个有好奇心的孩子都会问的问题，而对宇宙学家来说，对宇宙起源及 最终命运的探索却既是一个十分古老的话题，又是一个非常热门的前沿问题。 宇宙是自然界的一切物质的总和，是自然科学的最大客体。从2 0 世纪2 0 年代起，人类就知道宇宙不是静止的，而是在膨胀，自然界所有的看起来像亘 古不变的东西实际上都是在缓慢地演化。我们的宇宙演化至今大约已有1 3 7 亿 年了，过去的宇宙完全不同于今天。它曾是一片炽热的气体，在宇宙的演化中 才形成了基本的化学元素，有了碳、氢、氧、氮等等。这些结果都己为观测所 证实，却又让我们无法置信。因此，我们需要用已知的物理规律去推断遥远的 宇宙历史，演绎未来的宇宙演化。 爱因斯坦在2 0 世纪的头2 0 年中奠定了我们将宇宙作为一个整体来认识的 基础。他在1 9 1 5 年提出了引力的一般理论，即广义相对论。它为宇宙学的发展 奠定了重要的基础，使人类从理论上获得了宇宙学上的可信结果。1 9 1 7 年， e i n s t e i n 提出了第一个物理的宇宙模型，作了两个简化假设：( 一) 宇宙物质 在空间上是均匀和各向同性的；( 二) 宇宙物质的分布是不随时间变化的。在这 两个假设的基础上，他建立了静态的宇宙学模型。起初爱因斯坦得出宇宙在收 缩的结论，于是他在方程中加上一项宇宙常数项，提供斥力以维持静态的宇宙。 但是天文观测显示宇宙是在膨胀。2 0 世纪2 0 年代，美国天文学家哈勃通 上海大学硕j ：学位论文 过对遥远星系光谱线特征的研究，证实了宇宙在膨胀。之后，宇宙学家们构造 了各种宇宙学模型，做出各种预言。而模型与真实宇宙之间的相容性必须由观 测来检验，正是现在w m a p ( 微波各向异性探测器) 的运行掀起了宇宙学家们 探索宇宙命运的新热潮，宇宙学正经历着一场空前的大变革。 1 9 2 2 年，俄罗斯数学家和大气物理学家f d e d m a n n 研究了爱因斯坦所作的 计算，并得出爱因斯坦方程的解描述的是膨胀宇宙。于是宇宙正在膨胀的预言 归功于弗里德曼。宇宙有三种不同的膨胀图景，一种是开宇宙，它无限伸展且 永远膨胀下去，一种是闭宇宙，它是有限的，最终会收缩到一次大坍聚，介于 这二者之间的是临界宇宙，它也是无限的，并且永远膨胀下去。人们可通过测 量宇宙的膨胀速率、膨胀的加速度和宇宙的密度来判定宇宙的膨胀状态。而我 们的宇宙目前正以极其接近这种临界状态的方式膨胀着。 l e m a i t r e 首先用宇宙学常数项人0 的e i n s t e i n 场方程建立了膨胀的宇宙学 模型，也称为标准宇宙学模型。如果宇宙正在膨胀，那么我们很快就能察觉到 它正在发生变化，在某种意义上说，它正在变大。倘若我们倒转历史的方向， 回顾往昔，我们就应该发现宇宙从某个更小、更密的状态变化而来的证据。 1 9 4 0 年代后期，移居美国的俄国人乔治伽莫夫( g e o r g eg a l t i o v ) 与他的两 位年轻研究生一起开始引申宇宙膨胀的图景，勾画宇宙演化的早期状况。他们 认为，宇宙早期演化是从密度和温度都非常高的状态开始的，时间越早则宇宙 越热；今天天文学家研究的一切天体，包括恒星、星系、星系团等，在宇宙早 期都是不存在的，它们是宇宙演化到一定阶段的产物：星系形成前的宇宙介质 是普通气体，原子和分子是宇宙演化的产物，连化学元素也是宇宙演化的产物。 2 上海大学硕十学位论文 1 9 4 8 年，g a m o w 以f f i e d m a n n 的膨胀宇宙学模型为基础研究了宇宙演化的早期 之后，提出了被后人称为“宇宙大爆炸”的理论。 大爆炸理论认为，在宇宙早期，宇宙介质是由氢核、氦核、自由电子和光 子组成的电离气体。当气体温度随宇宙膨胀而降低时，气体发生了从电离状态 向中性状态的转化。此时，绝大部分自由电子束缚在中性原子内，光子失去了 与自由电子碰撞以维持热平衡的机会，这就是光子在宇宙介质中的退耦。退耦 后的光子与气体中的其他组分粒子已几乎没有相互作用，因而被称为背景光子， 或背景辐射场。在光子退耦后，它在宇宙中将一直存在下去，直到今天。因此 这一理论结果是可以由观测来检验的。 大爆炸理论最初提出时，并未得到学术界的重视，人们普遍不信任它。直 到1 9 6 5 年，美国新泽西州贝尔实验室的两位无线电工程师阿尔诺彭齐亚斯和 罗伯特威尔逊十分意外地发现了宇宙辐射场。大爆炸理论的另一重要预言是宇 宙应当由大约7 5 的氢和2 5 的氦组成，这也与后来的天文测量结果极为吻合。 之后，大爆炸理论的许多预言都相继得到了观测上的印证。大爆炸理论成为了 人们普遍接受的早期宇宙演化模型。不过，难以想象的是膨胀最初时刻曾发生 过什么事情，居然促成了现在这种膨胀状态。 1 9 8 1 年g u t h 2 1 提出了最早的暴涨模型，也称为旧暴涨模型。它把宇宙早 期的演化解释为一系列的相变，这为标准大爆炸的宇宙模型中的平坦性、视界、 磁单极等问题提供了解决办法。但是它的相变过程却会使得宇宙变得不均匀。 因此在1 9 8 2 年l i n d e 3 和a l b r e c h t s t e i n h a r d t 4 1 提出了新的暴涨模型，通过使 宇宙处于某一标量场中，标量场沿势滚动来避免旧暴涨模型中出现的问题。这 3 上海人学硕上学位论文 些模型至今仍被广泛沿用。 暴涨理论不仅解释了宇宙中各种结构的形成，还预言了宇宙空间的平坦， 指出宇宙微波背景辐射的各向异性源于密度及引力波的量子涨落。根据e i n s t e i n 理论，宇宙的空间曲率是由总能量密度岛决定的。因而，对于平坦的宇宙，空 间曲率为零，所以总能量密度必须等于一个临界能量密度，即q 。- - 1 ( q 。代表 总能量密度与临界能量密度的比值) 。2 0 世纪9 0 年代初，大尺度结构的天文观 测表明普通物质的能量密度只占总能量密度的三分之一。因为暴涨理论预言了 宇宙的平坦性，并在宇宙微波背景辐射各向异性的观测中得到了证实，于是人 们猜测存在另一种不发光的、“暗”的能量成分统治着今天的宇宙。 1 9 9 8 年，p e r l m u t t e r 咖和s e h m i d t j i aw e n x i a n 吲领导的两个小组，通过观 测遥远新星的红移，发现宇宙正在加速膨胀，而不是我们过去认为的减速膨胀。 于是科学家们初步归结出，宇宙空间是平坦的，其中3 0 左右为暗物质和重子 物质，7 0 左右为暗能量，它使我们的宇宙加速膨胀。 暗能量的发现把人类对自然地认知推到了一个新的起点的同时，我们的宇 宙也正经历着一个从物质占主导地位的减速宇宙向暗能量占主导地位的加速宇 宙过渡的特殊时期。不久的将来，暗能量将决定宇宙的未来，因此我们有必要 进一步了解什么是暗能量，它有哪些性质。 本文在简单回顾标准宇宙学模型，宇宙的观测和常见的几类暗能量的候选 者之后，我们将着重研究d i l a t o n 暗能量宇宙学模型和p h a n t o m 暗能量宇宙学模 型，特别是通过标量场的物态方程在该模型中的演化，和已有观测数据比较， 选择最恰当的模型来推断宇宙早期，演绎宇宙晚期演化。 4 上海人学硕一i - 学位论文 1 2 宇宙的观测 1 2 1 哈勃的发现 1 9 2 9 年，哈勃研究了来自遥远星系的光谱线，他观测了2 4 个邻近星系发 来的光，发现来自星系的光呈现某种系统性的红移。光的颜色与它的波长有关， 在白光光谱中蓝色光位于短波端，红色光位于长波端。遥远星系的红化意味着 它们的光波波长已稍微变长了，波长变长即光的频率降低。哈勃利用了如果波 源离开接收者而远去，那么所接收到的波的频率就会降低这种波的简单性质即 多普勒效应，得出遥远星系正在离我们远去的结论。将星系中特定原子发射的 光的颜色与地球上实验室内同种原子发射的光进行比较，哈勃就可以确定光源 正在以多快的速度退行。比较同一类型恒星的视亮度，他又能推算出它们与我 们之间的相对距离。哈勃发现，光源越远，它离我们而去的速度也越快，这就 是“哈勃定律”。 哈勃发现的是所有的遥远天体均在远离我们而去。而哥白尼早已证明了地 球并不位于宇宙的中心，地球所处的位置并不具有特殊性，宇宙中任何位置都 是一样的，观测所得到的结果也是一样的。因此，哈勃发现整个宇宙在膨胀。 1 2 2i a 型超新星的观测 1 0 0 6 年，人类文献中最亮超新星周伯星，s n l 0 0 6 ，记录于中国北宋真 宗三年，其光明如月，持续三月持久。虽然当时人类依旧畏于天出异相，对于 自然万物的不熟悉，承恐危急性命，让人类培养出善于察觉自然巧妙之物，细 微之处的洞察能力。时至今日，科学引领人类走出了黑暗的年代，却也造出了 更多令人惊讶的赞叹的未来。 5 j ：海人学硕上学位论文 1 9 1 5 年，爱因斯坦以广义相对论为基础，发表了著名的爱因斯坦方程；这 项成就的伟大之一，归于利用场方程终让人类从上帝手中取得描述宇宙演化戏 剧脚本。在1 9 2 2 年，许多研究者已发现爱因斯坦场方程会得到一个膨胀的宇宙 解，当时爱因斯坦认为宇宙应处于平稳的静态，于是在场方程中加入了宇宙常 数项，来解决宇宙膨胀的困境。直到1 9 2 9 年，哈勃发现了支持宇宙膨胀的关键 性证据其它的星系正远离我们而去，亦即后来熟知的哈勃定律，才使得爱 因斯坦最终放弃了场方程中的宇宙常数，也让以后数十年，宇宙学研究者将宇 宙常数问题搁置下来。 然而客观科学研究要经受检验，尽管天文观测和物理实验十分艰难，但是 理论必须通过这样的检验。宇宙常数被搁置以后，宇宙演化的研究潮流开始面 对解决宇宙起源更进一步的问题，如大爆炸、宇宙年龄与暴涨过程等等。继之 而起的一系列验证观测计划，诸如宇宙微波背景辐射、超新星观测亦随之在各 地天文台、地球轨道探测卫星等如火如荼的展开。在1 9 9 8 年这些观测终于导致 了新的惊人的发现。是年，p e r l m u t t e r 在美国l a w r e n c eb e r k e l e yn a t i o n a l l a b o r a t o r y 进行的超新星宇宙学计划( s u p e r n o v ac o s m o l o g yp r o j e c t ) 观测时， 由高红移( o 1 8 z 0 8 3 ) 的4 2 颗超新星数据发现，宇宙并非处于减速的 f r i e d m a n n 模型，甚至是呈现加速膨胀的现象1 7 1 0p e r l m u t t e r 这项发现不久之后， 由位于澳大利亚m o u n ts t r o m l o 天文台的高红移超新星搜索团队h s s t ( h i g h z s u p e r n o v a s e a r c ht e a m ) ，他们对红移在( 0 1 6 z p c 叶k = + 1 ( 2 5 1 2 ) 1 6 上海大学硕：l ：学位论文 q = 1 或p = p c _ k = 0( 2 5 1 3 ) q 1 或p 0 ，态方程必须满足 缈 一1 3( 2 5 2 1 ) 这使得为了解释目前加速膨胀的宇宙，必须引入额外的暗能量分量，其态 方程参量满足式( 2 5 2 1 ) 。考虑一个球对称，具有能量密度p 与半径a 的球体， 1 7 上海人学硕1 ：学位论文 就牛顿力学而言，球上一质点的运动完全取决于球体的能量密度。但若以爱因 斯坦方程考虑，质点的运动将额外受压力项p 的作用，这是牛顿力学所无法达 成的。因此对于解释现今的宇宙膨胀而言，基本上的要求即是宇宙具有一项极 大的负压强，成为加速膨胀的起因。 在式( 2 5 9 ) 中，令其能量密度p 为常数，产生缈= 一l ；同样的条件对哈 勃速率而言，亦将得到一个常数，由此二因素，可得到d e - s i t t e r 宇宙标度因子 的演化方程口o ce 胁，在d e - s i r e r 宇宙中，宇宙按e 指数方式膨胀。 上海人学硕士学位论文 第三章宇宙加速膨胀的解决办法 3 1 绪论 物质( 重子与暗物质) 均具有引力特性，自牛顿以来，人类的科技能力至 今尚未发现具有反重力的自然物质存在。然而在宇宙学上，令人印象深刻的斥 力来源是爱因斯坦为建构静态宇宙而添加的宇宙常数。1 9 9 8 年，p e r l m u t t e r 发 表宇宙加速膨胀结果后，众多的研究者无不即刻忆起爱因斯坦的宇宙常数，试 图用以解释新的观测结果。 目前在态方程的观测上彩一l ，而这个数值所对应的正是宇宙学常数。然 而这些观测结果并无法让我们了解关于彩是如何随时间演化的，因此一般在宇 宙学模型中可以考虑缈是能够随时间演化的。标量场无论在粒子物理还是弦理 论中，为一种基本考虑的对象，因此在宇宙学中，它自然也成为了暗能量的选 择之一。 宇宙暗能量的起因是当今宇宙学中一个极其重要的大问题，一个成功的暗 能量模型应该具有以下特征： 一 1 它们的态方程参量应该能够经历一个缈：旦 一! 的过程，以解释目前宇 p 3 宙加速膨胀观察结果； 2 在宇宙极早期，暗能量和辐射能及物质能量相比可忽略，因此不影响 宇宙元素及其结构的合成； 3 它们应当对初始条件不很敏感，所以缓和了调整性问题和巧合性问题； 4 观测表明现今宇宙应该是空间平坦的d es i t t e r 时空，模型应该有一个晚 期的d es i t t e r 吸引子解。 1 9 七海大学硕：卜学位论文 时至今日，具备暗能量的侯选标准对象已经相当多，包括有宇宙学常数、 q u i n t e s s e n c e ，p h a n t o m ，k - e s s e n c e ，t a c h y o n 、g h o s tc o n d e n s a t e sa n dd i l a t o n i cd a r k e n e r g ya m o n g s tm a n y 。另外如c h a p l y g i n 气体、c a r d a s s i a n 之类亦是另一类并非 以暗能量标量场考虑的宇宙学模型。以下就几类模型做简单的介绍。 3 2 宇宙学常数 宇宙学常数是最简单的暗能量候选者，目前的观测也都能很好的与它相符 合。它的能量密度为常数，物态方程c o = p l p = 一i 。宇宙学常数将导致宇宙永远 加速膨胀下去，宇宙的时空渐近于一个d es i t t e r 时空。最初e i n s t e i n 为了得到一 个静态的宇宙，在他的方程中引入了宇宙学常数项。它能提供一部分排斥力， 在这个排斥力与原有引力平衡之下，宇宙可以达到静止的状态。但h u b b l e 的观 测数据说明宇宙是膨胀的，而不是静止的。这让e i n s t e i n 放弃了宇宙学常数的 设想。然而，今天我们对宇宙学常数的看法完全不同了，宇宙学常数无疑是当 前最重要的物理学问题之一1 2 4 1 。 一直以来人们都在思考的问题之一是精细调节问题，为什么宇宙学常数如 此之小，p a - 1 0 。1 2 0 膨4 ，与量子场论中的真空能量密度相差1 2 0 个量级。其次 是一致性问题，物质的能量密度随宇宙的膨胀不断减小，而宇宙常数的能量密 度不依赖于时间，而今两者确处于同一量级，即风一风。这些都是偶然，还是 有意的安排? 3 3t a c h y o n 场 通常，我们把质量平方为负的标量场称为快子场，存在快子的体系是不稳 定的。近年来，弦理论中象d 胚和施胚这样的n o n - b p s 结构得到许多研究者 上海大学硕上学位论文 的关注，进一步深入理解这类结构不仅对弦理论研究有着重要意义，也为宇宙 学的研究带来许多有意义的结果。 在n o n b p s 结构中，连接在胚上的开弦谱中出现快子态，这意味着该系统 是不稳定，将向稳定的闭弦真空演化。弦理论学家s e n 用一个经典时期依赖解 描述弦理论中一个不稳定的d 胚衰变的物理过程。在这个过程中，快子场向势 的极小值滚动，实现快子凝聚，原来的胚消失，得到一个闭弦真空。 在n o n b p s 的d 3 胚中快子场的有效拉各朗日量可表示为： s = - ，d 4 ( ) = 面瓦丽 ( 3 2 - 1 ) 此处的y ( 矽) 为t a c h y o n 场势能。开弦理论中，有效势能y ( ) 一般具有下 面的形式 y ( ) = 丽v o c o s n l 矽仍、l ( 3 2 2 ) 在超弦的n o n b p s 的d 3 胚中死= 至；在弦玻色子弦的n o n b p s 的d 3 胚 中丸= 2 。 在平坦的f r w 度规下，我们可以得到t a c h y o n 场的能量密度和压强为： p 5 器, i一2 p ：一矿( ) 厉7 由此，我们可以把演化方程表示为： 日z ：鲤 3 4 1 一2 专删+ 古等= 。 2 l ( 3 2 3 ) ( 3 2 _ 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) l ：海火学硕士学位论文 由( 3 2 - 4 ) 、( 3 2 5 ) 我们可以得到方程： 由( 3 2 6 ) 可知，当参2 2 3 时，宇宙加速膨胀。 t a c h y o n 场的状态方程为： q 2 暑5 2 一 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 显然，t a c h y o n 场是负压强一l 缈o1 2 5 1 ，当多很小时，t a c h y o n 场能够驱 动宇宙加速膨胀，因而成为早期宇宙暴涨场和晚期宇宙的暗能量候选者。 3 4k - e s s e n c e q u i n t e s s e n c e 是凭借标量场的势能项达到宇宙晚期加速的结果，但若考虑藉 由修正标量场动能项，亦是能够制造出动能量引起的宇宙加速膨胀。早在1 9 9 9 年，a r m e n d a r i z - p i c o n 认为标量场的动能项能够在宇宙高能的早期引起暴涨啪1 ， 此称为k - i n f l a t i o n 。后由c h i b a 如法炮制以相同原理运用在宇宙的加速膨胀上来 描述暗能量 2 7 1 , 最后经由a r m e n d a x i z p i t o n 推广而发展程k - e s s e n c e1 2 8 1 。 k - e s s e n c e 的特色是具有非正则动能的标量场，而包含标量场与动能 x 暑一( 1 2 ) ( v 矽) 2 的标量场作用量最广义形式为： s = p x 刚，衲 ( 3 3 - 1 ) 此处的拉各朗日密度p ( ，x ) 与压力密度相一致，且作用量较为广义的也通 用于q u i n t e s s e n c e 模型。 通常k e s s e n c e 模型的拉各朗日密度形式受p ( ，x ) = 厂( 矽) 声( x ) 所约束心7 1 1 2 8 11 2 9 1 。以此约束形式的动机是来自于弦理论t 3 0 1 0 弦理论的低能效应会产生来 上海大学硕： ：学位论文 自口与圈修正( 1 0 0 pc o r r e c t i o n s ) 的高阶导数( 口来自于弦长度标度以的关系 式口7 = 五d r ) 。四维有效弦作用量为 s = p 4 x 二虿 乓( ) 天+ 耳。( 矽) ( 亏矽) 2 一口 c ：1 耳1 ( 矽) ( 寺矽) 4 + + 。( 口2 ) ) ( 3 3 2 ) 此处七2 = 8 x g = 1 ，这里的是d i l a t o n 场，它以蠢- - e 控制着弦耦合强度彰。 在弱耦合情况下( 1 ) 耦合方程有吃可o 掣p 一。取共形变换 昂，= ( 矽) 邑，弦架构下的作用量将变换为e i n s t e i n 框架下的作用量形式b & = 肚厄 扣靴猁肌 ( 3 3 - 3 ) 上式中的部分函数表示如下 聃7 3 n t t - 刚j 7 - j 2 一等 ( 3 3 - 4 ) ( i 2 i ) = 2 4 1 口7 彤1 ( j 2 i ) ( 3 3 5 ) 在此可导出非正则标量场的拉格朗日项 p ( ，x ) = k ( 矽) x + 三( 矽) x 2 ( 3 3 6 ) 重新定义场为 = p 后( 3 3 - 7 ) 则拉格朗日变换为2 力， p ( 矽，x ) = 厂( 痧) ( 一r + 工2 ) ( 3 3 8 ) 式中矽兰，x 兰k = ( 三k ) 疋埘，且厂( 矽) = k 2 ( 加) 三( 九旧) 。此结果即 表示对式p ( ，x ) = 厂( ) 多( x ) 选择以p ( x ) = 爿+ x 2 所得到的k - e s s e n c e 模型。 上海大学硕j ：学位论文 硐( 3 3 - 8 ) 的压强，司以得到标量场的能量密度为 p = 2 x 轰一p = ( 矽) ( 一x + 3 x 3 )