（水利工程专业论文）面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计.pdf

陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 摘要 钢筋混凝土双向板是水利土木工程中常见的构件形式。本文对这类构件的优 化设计进行研究，并采用面向对象编程技术开发了面向对象的钢筋混凝土双向板 优化设计程序。主要内容如下： ( 1 ) 论述薄板弯曲的基本理论与有限元分析方法，编制了薄板弯曲的有限元分 析程序； ( 2 ) 介绍结构优化设计常用方法，编制了罚函数法优化设计程序； ( 3 ) 建立了钢筋混凝土双向板优化设计数学模型，并用罚函数求解； ( 4 ) 采用v i s u a lb a s i c 对a u t o c a d 进行二次开发，完成了钢筋图绘制软件。 对上述程序软件进行组装集成了面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计程 序。 关键词：面向对象、优化设计、钢筋混凝土双向板、有限元。 2 扬州大学工程硕士学位论文 a b s t r a c t r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a bi sc o n s t a n t l y c o n s e r v a n c yc i v i le n g i n e e r i n g ，o p t i m i z a t i o nd e s i g n o f u s e di nw a t e r t h i s k i n do f s t r u c t u r ei ss t u d i e di nt h i sp a p e r ，a n do p t i m i z a t i o nd e s i g np r o g r a mb a s e d o no b j e c t o r i e n t e dt e c h n o l o g yi sd e v e l o p e d 1 、a n a l y z eb a s i ct h e o r yo ft h i ns l a bb e n d i n ga n df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ， a n da n a l y t i c a lf i n i t e e l e m e n tp r o g r a mi sd e v e l o p e df o rt h i ns l a bb e n d i n g 2 、i n t r o d u c eg e n e r a lm e t h o d so fs t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nd e s i g n ，a n d o p t i m i z a t i o np r o g r a mo fp e n a l t yf u n c t i o ni sd e v e l o p e d 3 、o p t i m i z a t i o nd e s i g nm a t h e m a t i c a lm o d e l o ft w o - w a yr e i n f o r c e d c o n c r e t es l a bi sf o r m e da n dc o m p u t e db yp e n a l t yf u n c t i o n 4 、s t e e lb a rd r a w i n gs y s t e mi sd e v e l o p e do nt h eb a s i so fs e c o n d a r y d e v e l o p m e n to fa u t o c a db yv b a b o v ep r o g r a m sa n ds y s t e ma r ei n t e g r a t e di n t oo b j e c t o r i e n t e d o p t i m i z a t i o nd e s i g np r o g r a mo ft w o w a yr e i n f o r c e dc o n c r e t es l a b k e yw o r d s ： o b j e c t o r i e n t e d ， o p t i m i z a t i o nd e s i g n ，r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o - w a y s l a b ，f i n i t e e l e m e n t 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 i 结构优化设计概论 1 1 结构优化设计的概况和发展 i i i 结构优化设计概况 1 】【2 l 随着我国改革开放的日益深入，经济实力的不断提升，我国基础设施的建设 上了一个新的台阶。大中小型土木建筑工程、水利水电工程、交通能源工程等可 持续发展建设项目的开发利用，正在与时俱进。结构设计是创造结构方案的过程， 结构优化设计则把力学概念和优化技术有机的结合起来，根据设计要求，使参与 计算的量部分以变量出现，形成全部可能的结构设计方案域，利用数学手段在域 中找出满足预定要求的，不仅可行而且最好的设计方案。实践证明，结构优化设 计能缩短设计周期，提高设计质量和水平，可取得显著的经济效益和社会效益。 结构优化设计是相对于传统的结构设计而言的。 传统的结构设计，要求设计者根据设计要求和实践经验，参考类似的工程设 计，通过判断去创造设计方案；然后进行强度、刚度、稳定性等各方面的计算。 这里的计算实质上是对给定的方案作力学分析，起一种安全校核的作用，仅仅证 实了原方案的可行性。当然，设计者有条件时，总是还要研究几个可能的方案来 进行比较，从而对结构布局、材料选择、构件尺寸、结构外形等进行修改，以便 得到更为合理的方案。传统的结构设计，力学分析只起到校核的服务作用。它有 着两方面的缺点：一是工作繁复、效率低：二是由于时间和设计者经验的限制， 确定的最终方案往往不是理想的最优方案，而仅为可行方案。虽然普通的设计程 序和方法，能够适应生产发展的一定阶段的需要，但随着生产的迅速发展，新兴 科学技术的不断涌现，人们新的设计思想的丰富、充实，人们也逐渐意识到：只 是做到分析结构是远远不够的，而更重要的任务还在于设计结构。过去的结构力 学研究，主要着眼于分析和计算各种结构在外界因素作用下的受力和变形等力学 4扬州大学工程硕士学位论文 反应，现在则迈出一大步，把结构优化也作为研究的目标和任务。 设计这一概念，从根本上来说，是和分析不同的。设计常常表现为重复的分 析。最早，也许是最粗糙的方法，先假定截面特征，再进行结构分析，然后用分 析结构来选择一组新的截面特征。通过这样反复循环的运算，往往可得到一个可 行的设计。反复修改设计是传统设计的特点。对于实际的超静定结构，这种方法 是很繁琐且需要求解联立方程。因此，所求得一组截面不定是最好的，工程结 构建起来后，或者是重量大，或者是造价高。通过设计，不仅要使产品具有良好 的性能，同时还要满足生产的工艺性、使用的可靠性和安全性，且达到费用最省、 消耗最低和误差最小等目的。这就是一切设计活动的最终目的。 传统的结构设计的另一特点是所有参与计算的量必须以常量出现。结构优化 设计是所有参与计算的量部分以变量出现，在满足规范和规定的前提下，形成全 部可能的结构设计方案域。在这个设计方案域中，有众多的可行设计方案和众多 的不可行设计方案。利用数学手段，按设计者预定的要求，从域中选出一个不但 可行且最好的设计方案称为优化设计。因而优化设计所得的设计方案，不仅是传 统设计中的可行的设计方案，而且是众多可行方案中最优的设计方案。这里所说 的最优，是相对设计者预定的要求而言的。结构最优设计把力学概念和优化技术 作了有机的结合。实践证明，结构最优设计能缩短设计周期，节省人力、提高设 计质量和水平，最终取得显著的经济效益和社会效益a 结构优化设计与普通的结构设计采用的是相同的基本理论，使用的是同样的 计算公式，遵守的是同样的设计规范和施工技术或者构造规定，因而具有相同的 安全度。 结构最优化设计与传统的结构设计有一样的设计过程，也要经过设计( 拟定 各部尺寸) 、校核( 是否满足规范等要求) ，修改设计、再校核，如此反复进行， 直到找到理想方案为止。所不同的是，传统设计过程的安全性、经济性缺乏衡量 的标准，而最优设计是在一个明确特定指标( 如结构的体积最小、重量最轻、造 价最省) 下来说明结构的经济性与安全性。传统设计的设计、校核关系是松散的， 切一般仅反复进行一两次即停止，而最优设计则是按一定的数学模式将两者紧密 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 地联系在一起，即将设计问题转化为严格的数学规划问题求解，可利用计算机连 续快速作出方案比较，从数百个方案比较中，找出最优设计方案。此外，只要在 最优设计的电算程序中稍加补充( 增加前后处理功能) 就很方便地实现将计算、 设计绘图全过程的自动化。从输入数据到图形输出，只需少量的时间，这是传统 设计所不可比拟的。 1 1 2 结构优化设计的发展 任何一项工程设计总是要求在一定的技术和物质条件下，能取得一个技术经 济指标为最佳的设计方案。优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来 的。 在工业民用建筑中常见到的网架结构、框架结构、压力容器的薄壁结构，在 水工建筑物中碰到的大坝结构，如重力坝、拱坝、土石坝等，设计时，对其几何 边界都有较大的选择自由。因此，工程设计人员可对结构赋予各种形式，结构的 形状变化就很大。尽管工程结构类型千姿百态，但都可以用设计参数确定。如果 改变结构类型的实际形状，就有可能取得更好的经济效益，这种把设计扩大到包 括结构外形作为更进一步的变量，将使目前的设计水准提高一大步，如此有形状 设计变量的最优设计叫形状优化设计。 在确定设计参数时，既要使设计方案满足预定的设计要求，又要使之具有优 良的技术性能指标，设计者往往需要经过详细的分析计算和比较，才能从几个或 多个可行方案中找出一个好的方案。但是若采用的计算工具比较落后，在完成这 一设计过程时，设计者不得不依赖经验，以及类比、推理和直观判断等一系列智 力过程。实际上，这是很难找出最优设计方案的。另外，随着新兴科学技术的不 断发展，设计目标向着高速、高效、低消耗方向发展。传统的设计方法已越来越 适应不了发展的需要。因此，近2 0 年来，优化设计技术在航空、机械、土建设计 领域中发展很快。 应用计算机进行的最优化设计具有如下特点： ( 1 ) 设计遵循的原则与目的是使设计最优。为了达到这个目的，就需要建立一 6 扬州大学工程硕士学位论文 个正确的反映设计问题的数学模型。 ( 2 ) 设计的方法是优化数学方法。一个设计方案参数的调整是计算机沿着使方 案向着更好的方向自动进行的，从而选出最优方案。 ( 3 ) 设计的手段是计算机及计算机程序。由于计算机的运算速度快，分析一个 设计方案以分计甚至以秒计，因而可以从大量的方案中选出最优方案。 因而出现了一种人、机结合的交互的作业过程，并且已成为当前优化设计领 域技术发展的一个重要方向。因此开发集双向板内力计算、结构优化设计、板钢 筋图绘制于一体程序系统，正是顺应当前优化设计领域技术发展方向。 1 2 ，l 存在问题 1 2 问题的提出和本文的主要工作 由于工作习惯、结构优化设计理论的复杂性等多种原因，现状设计单位往往 采用传统设计方法进行工程结构设计，与结构优化设计存在一定的差距。 当然，采用结构优化设计方法，设计人员需考虑多方面的目标，如结构的体 积最小、重量最轻、造价最省等，同时，需考虑多种约束条件，还要求设计人员 具有一定数学理论知识和优化理论知识等。鉴于以上原因，结构优化设计在设计 单位得到普遍应用，估计还需要有一段时间。 如何将优化设计理论运用到实际工作去，将其转化为生产力，缩短设计周期， 提高设计质量，取得显著的经济和社会效益，还需要投入人力、物力，从事这方 面研究。 1 2 2 本文的主要工作 本文以钢筋混凝土双向极为对象进行面向对象的优化设计研究。主要工作如 下： ( 1 ) 论述薄板弯曲的基本理论与有限元分析方法，编制了薄板弯曲的有限元分 析程序； 堕堡兰耍塑墅墨塑塑堑望堡圭翌塑堡垡些堡生一j l ( 2 ) 介绍结构优化设计常用方法，编制了罚函数法优化程序； ( 3 ) 建立了钢筋混凝土双向板优化设计数学模型，并用罚函数求解； ( 4 ) 采用s u a lb 硒i c 对a u t o c a d 进行二次开发，完成了钢筋图绘制软件。 对上述程序软件进行组装集成了面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计程 序。 扬州大学工程硕士学位论文 2 双向板内力的有限元计算 目前设计单位常常利用查表法计算钢筋混凝土双向板的内力。对于边界约束 和所受荷载简单的双向板，利用查表法计算板的内力，方便、快捷。但对一些边 界约束条件，或受力复杂的结构，无法矛u 用和用查表法计算，有限元法可以分析 计算各种模型板的内力。 本章首先论述薄板弯茴的基本理论与有限元分析方法，其次编制了薄板弯曲 的有限元分析程序，利用所编制的程序，举例说明分析计算双向板的内力。 2 1 1 概述( 3 】【4 l 2 1 薄板弯曲的理论基础 在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平面的柱面或棱柱面所围成的物 体，成为平板，或简称为板，两个板面之间的距离称为板的厚度，而平分厚度的 平面称为板的中间平面，如果板的厚度远小于中面的最小尺寸，这个板称为薄板。 否则，称为厚板。 对于薄板的弯曲问题，已经引用一些计算假定而建立一套完整的理论，可以 用来计算工程上的问题。对于厚板，虽然也有这样或那样的计算方案被提出来， 但还不便应用于工程实际问题。 y 图2 i 1 薄板模型 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 9 当薄板受有一般荷载时，总可以把每个荷载分解为两个分荷载，一个是平行 于中面的所谓纵向荷载，另一个是垂直于中面的所谓横向荷载，对于纵向荷载， 可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以 按平面应力问题进行计算。横向荷载将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变、 位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。 当薄板弯曲时，中面所弯成的皓面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂 直于中面方向的位移，称为挠度。 薄板小挠度理论，也就是只讨论这样的薄板：它虽然很薄，但仍然具有相当 的弯曲刚度，因而它的挠度运小于它的厚度。如果薄板的弯曲刚度较小，以致挠 度与厚度属于同阶大小，则须另行建立所谓大挠度弯曲理论。如果薄板的弯曲刚 度很小，以致挠度远大于厚度，则薄板成为薄膜。 2 i 2 薄板弯曲的计算假定 薄板弯曲问题属于空间问题。为了建立薄板的小挠度理论，除了引用弹性力 学的5 个基本假定外，还补充提出了3 个计算假定，用来简化空间问题的基本方 程。取薄板的中面为砂面，图2 1 1 ，薄板的计算假定可以陈述如下： 垂直于中面方向的线应变，即f ：，可以不计。 考虑空间问题的几何方程： 锄却o w i2 戈g y 。否sz 。一o z 辄加彻伽却o u 。万+ 瓦如2 西+ 瓦岛2 瓦+ 万 取产o ，则由几何方程中第三式得掣= 0 ，从而得 l ，= w 力。 这就是说，横向位移w 只是x ，y 的函数，不随z 而变。因此，在中面的任一 根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。 1 0扬州大学工程硕士学位论文 应力分量r 。，r ，和o z 远小于其余3 个应力分量，因而是次要的，它们 所引起的形变可以不计。 害：一半，娑= 一娑( 2 川) o z戗o zo 、) 因为不计口：所引起的形变，所以薄板的物理方程为： 8 z2 专( o ，一uo ，) 8 ，2 音( o ，一po r ) ：坐掣t 。 ( 2 1 2 ) f r q 这就是说，薄板小挠度弯曲问题中的物理方程和薄板平面应力问题中的物理 方程是相同的。 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 ( “) 剐：o ，( v 碚o = 0( 2 1 ，3 ) 因为t = 罢，勺：考，= 妻+ 雾，所以由上式得出中面内的形变分量 均为零，即( 占，) ；o = 0 ，( 占，) ；1 0 = 0 ，( y ，) ：量0 = 0 。 这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在叫 面上的投影形状却保持不变。 2 1 3 弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只是挠度w p 力作为基本未知函 数。下面根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假定，将其 未知函数纵向位移u , v ，主要应变分量t ，f ，主要应力分量吒，o y ， f 。，次要应力分量r 。，k 及更次要应力分量仃：，分别都用挠度w 来表示，并导 出求解挠度的方程。 将纵向位移鲳v 用挠度w 表示。 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 i l 。：娑z + ( k y ) v = 一z + i x ， j c r y 一 ， “= 一娑z + ( 训) 班 。 应用假定( 2 ，1 3 ) ，得正( x ，y ) = 0 ， ( x ，y ) = 0 。 于是纵向位移表示为 却 “= 一一z 教 0 w v = 一一z o v 将主应变分量s ，s ，砂用w 表示。把上式的u , v 代入几何方程中的第 一、第二、第六式，就得到 o ua 2 w 。，。瓦一可“ a ，a 2 w 2 ，2 面一矿7 砂砂2 。 a ，抛 a 2 w 岛2 瓦+ 面= - 2 丽。 将主要应力分量矿；，q ，r a y 用w 表示。 o ：= 二告( e ；+ i te y)1 。 一王工2 、 y a y = 寿p ，+ p ，) 1 一u 2 、7 一 7 e 。一2 丽岛 再把( 2 1 4 ) 代a ( 2 1 5 ) ，就得出 。，= 一与1 t tc 蜜0 x + 等， 。 一2 、2西2 。，一品1c 害+ p 粤0 x ， 7 一p 2 、却2 27 。：一旦旦竺 9 1 + l , t 缸a y ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 】6 ) 由于w 不随= 而变，可见这三个主要应力分量都和z 成正比。 将次要应力分量r 。r 。用w 表示。 扬州大学工程硕士学位论文 。：去( ：z 一里) 旦v ：w 1 a 。丽2 一一4 一o x f w k ： 墨 ( ：一竺) 旦vz w 1 2 2 ( 1 - i - 1 2 ) 。2 。4 万甲。w 鼽引用记号v 2 = 导+ 嘉。 最后，将更次要应力分量口：用w 表示。 。：= 一i 五e 雨8 s ( 一i 一詈) 2 ( 1 + 孝) 一v 2 4 w o = 一一【一一) f j + 一l 。w 。 6 n 一“2 ) 6 。j ” 由薄板的上板面的边界条件 ( 吒) 。= 一q g m , - 其中q 是薄板每单位面积内的横向荷载， 代入( 2 1 8 ) ，即得 兰v 脚：g 1 2 ( 1 一2 ) 1 或d v 4 讲：口 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 包括横向面力及横向体力，将盯： ( 2 1 9 ) 其中的。= 1 2 婴( 1 - a ) 称为薄板的弯曲刚度，方程( 2 1 9 ) 称为薄板的弹性曲 面微分方程，或挠曲微分方程。 2 1 4 薄板横截面上的内力 薄板横截面上的内力，成为薄板内力，是指薄板横截面的每单位宽度上，由 应力合成的主矢量和主矩。由于薄板是按内力来设计的，因此，需要求内力。薄 板横截面上的内力可以简写为 耻咧害+ p 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 m y = - d ( - 窘w + u 窘， 蚝= 蚝一d ( 1 一d 意 疋= 一p 1 y 2 w o x 乃一。昙v 2 w 鼽。= 焉( 薄板的弯蜊度) 2 1 5 边界条件 与薄板的板面相比，板边是次要的的边界面。因此，在板边可以应用圣维南 原理，把应力边界条件替换为内力的边界条件，即横向剪力及弯距的条件。同时， 板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角的条件。 2 2 1 概述 2 2 薄板弯曲问题的有限单元法 有限单元法是近年来出现的并得到迅猛发展的现代数值法，若从力学角度去 认识，它可以看作是在力学模型上进行近似数值分析的方法。具体地讲，它是用 若干个尺寸有限的在结点处相连接的单元组合而成的离散化模型去逼近处处连续 的实际结构( 在有限元中称之为建立结构的离散化模型) ：它所采用的基本未知量 是离散化模型中结点上的某种未知函数值( 量) ，它象解析法分析微小单元内各种 量之间的关系那样，分析单元内各种量和结点未知量之间的关系( 称之为单元分 析) ；然后根据所有单元间的集合关系去建立求解结点未知量的基本方程( 称之为 1 4扬州大学工程硕士学位论文 整体分析) ；最后由求出的结点基本未知量去求得任一单元任一点的各种未知量 ( 称之为成果计算) 。 由于有限单元法选项用的单元形状可以是多种多样的，就使得它具有很大的 灵活性和通用性，遇到种种复杂的因素，如复杂的几何形状，任意的边界条件， 不均匀的材料特性，各种类型构件( 杆、板、壳、块体等) 及其组合而成的复杂 结构等均能加以考虑而不会发生处理上的困难。因此，有限单元法虽然历史很短， 却具有旺盛的生命力。今天，它已成为结构分析中最强有力、最普遍应用的方法 了。 实际上，有限单元法可以归属于变分法的范畴，这是因为弹性力学中有限元 法的基本算式是可以由变分法推导出来的。从变分观点看，弹性力学中的有限元 法和古典变分法一样都是根据( 能量) 泛涵极小条件导出基本方程的。所不同的 是：古典变分法是用整体构造的逼近函数( 含有若干个选定系数) 去计算能量泛 涵的，由能量泛涵极小条件导出的是求解待定系数的变分方程；而有限单元法是 用分片( 单元) 构造单元的逼近函数( 含有若干个结点基本未知量) 去计算每个 单元的能量泛函而后通过集合得到整体结构能量泛函的，由能量泛函极小条件导 出的是求解结点基本未知量的代数方程。鉴于分片( 单元) 构造逼近函数远比整 体构造逼近函数方便，有限元法的实用性便大大超过了古典的变分法。 有限单元法所取的结点基本未知量可以是结点的位移，也可以是结点力或结 点应力函数值，也可以是混合的，因此，它也有位移法( 又称劲度法) ，力法( 又 称柔度法) ，混合法三种基本解法，其中劲度法的应用范围最广。 根据位移法求解问题的概念，作为薄板弯曲问题的基本未知量应是结点处的 挠度w 和绕x 、y 轴的转角口，口，。这里的w 以沿z 轴正向为正，目。和口y 则以 按右手螺旋法则定出的矢量沿坐标轴正向为正，见图2 2 1 ，在遵守小变形假定和 上述符号规定的条件下，由几何关系极易推得吃：娑，b = 譬。 倒 因此任意一个不受支承的结点i ，它的位移 6i 3 l 可写为 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计1 5 ( 万1 ) 一m e 。o 卵】t _ 【w 。( 掣) 。一( 娑) 。】7 ( 2 2 1 ) c r y 似 因为它包含有线位移和角位移，故一般称它为广义的结点位移。而和它相应 的广义结点力 e 则可表示为 只 叫w im i x i m - y i 】1 ( 2 2 2 ) 这里的啊是结点沿z 向的集中力，而膨e d 和肘。v i 则分别是在结点i 处沿目_ 和e 方向的广义结点力，也就是结点力矩，便须注意它们与在i 处的弯矩必l ， 脱。的概念不同，而且其数值和因次也不同。 z 图2 2 1 离散化模型 根据基本未知量的性质，薄板所取的离散化模型应当是刚接的结点相连的小 单元组合体，即在结点处保持挠度及x ，y 向转角的连续，从而保证相邻单元之间 广义结点力的互相传递。 2 2 2 矩形薄板单元 薄板弯曲有限元分析中，单元的形状可以是三角形薄板单元、矩形薄板单元 等等。本节将介绍矩形单元，由它组合的离散模型如图2 2 1 所示。 1 6 扬州大学工程硕士学位论文 作为薄板有限元所取的三个基本未知量w ， 表达式，就可得到所有广义位移的函数表达式， 就只须构造w 的位移函数。 图2 2 2 四结点矩形薄板单元自由度 四结点矩形薄板单元具有1 2 个自由度，故可以构造出含有1 2 个参数的不完 整四次多项式形成的位移模式，即： w 扛。y ) = m + 晚x + a 蓼+ a p + a 岱 冉a 矿+ 印x 3 + n 毋y + a g x y 2 + a l o d + 们1 x 口1 2 砂3( 2 2 3 ) 设矩形薄板单元的结点位移列阵表示为： 6 咯【坼汐州t g y tw j护可护j f r i k 护删护朋 w p 护肇护翻t ( 2 2 4 ) 那么，我们就可以利用结点处的w 似圳，目x 似和口y 似纠应该等于该点的广 义位移的条件去求解口。( 滓l ，2 ，一，1 2 ) ，这里可以列出1 2 个方程，即 w ( x | ，y | ) = w i 、8 靠。y 1 ) = 8 。i( i j m p ) ( 2 2 s ) p y 扛t ，y | ) = 8 。 求出的a s 将是用单元结点位移w ，口。和目，( u 豫p ) 表示的代数式，把它们 代入( 2 2 3 ) 式，经整理后可得 w 一 加j 1 2 6 。1 2 i 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计1 7 萼；邙p 吣= ( n 。n 。n n jn q n wn 。n mn ”mn pn 3 甲n 矗 。= 吉( 1 + 皇善郧帆1 7 ) ( 2 + 皇孝帆玎弩彳) 。= 一；6 吁( 1 + 。( 1 + 吼刁) ( 1 一叩2 ( u 取力 = i 1 口毒( 1 + 参f ) ( 1 + r 。1 7 ) ( 1 一善2 ) f = 三， 口 喜：立， 4，7 = 詈，铲警 有了w 的位移模式，极易推得口，和日，的模式。 最= 考= ，三，c 可o n , + 警色+ 等岛 。= 一罢= - z ( 警旷o 缸n e , 0 警) 矩形薄板单元的等效结点荷载列阵 6 ) 。1 2 i 根据虚功等值条件由实际荷载转 换而成。设但) 。元素为 但) e 1 2 。l = 【z j 瓦乃码易乙弓砩乃d 7 ( 2 6 ) 对于矩形薄板单元的形变列 _ 【一窘 一雾一2 茜】t 若要换成 用单元结点位移来表示，可得到： z j 。l = 明3 x 1 2 6 ) 。1 2 x l ( 2 2 7 ) 其中 陴】3 x 1 2 - 陴f 毋b m 昂】 其中 ( 2 ，2 8 ) 扬州大学工程硕士学位论文 峨】3 刈= 一 a 2 o x 2 a 2 却2 ，a 2 n ? 巩砂 a i n 。： 缸2 分n 。! a 、护n 。? a 灯v a 2 。 缸2 铲n 。? 砂2 a 2 k 如砂 l 珏m p )t 2 , 2 相应的薄板内力列阵也可用单元结点位移来表示， 嘲= 瞰屿坞】7 = 【d 】 z = d 】 蹦占) 。 ( 2 2 1 0 ) 奶3 l = 瑚3 x 1 2 占) 。1 2 x i 其中 研= 3 1 弓朝 p ，】= d 陋。】 其中的。= 西寿等击称为薄板的弯曲刚度， 按照f ，m 。 0 的表达式( 2 2 5 ) 求出上式中它们的各个二阶偏导数，依次将 “口妒四个结点的坐标代入，求出乘积，即得四个节点处的内力矩阵。 现在来导出单元的劲度矩阵。根据薄板单元的广义结点力 毋。和内力 蚴平 衡的条件，由虚功原理可得 ( 艿+ ) 。) 7 f ) 8 = z + ) 7 t d x a y j 将 z = 陋】 占。o 和 加= 【d 】嘲 万) 。代入上式，得 ( j 。= ( 盯n 明7 d b d x d y 8 8 根据够) 8 的任意性，上式可化简为 毋= 嘲 占 。 其中 明= m 明7 d l b l d x d y = 旧 7 d l b d x d y ( 2 2 1 1 ) 这里 明便是薄板单元的劲度矩阵。 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 1 9 2 2 3 整体平衡方程及求解 根据结点平衡条件，将上述单元相关矩阵组装后即可形成薄板整体平衡方程 【豳 万) = r ( 2 2 1 2 ) 其中 q = 【后】。，为整体劲度矩阵 【占】= 【万】。，为整体结点位移列阵 啤卜【r 】。，为整体结点荷载列阵 上式是一个线性代数方程组，求解得 艿) 后，代入单元的相关计算式即可求 得薄板内力。 2 3 1 程序设计 2 3 程序设计与算例 根据前面的基本理论与方法，本文采用v i s u a lf o r t r a n 语言编制了薄板弯曲有 限元分析程序，程序框图如图2 3 1 所示。 2 0 扬州大学工程硕士学位论文 2 3 2 算例 形成 形成 r 】 解方程 k 】 6 ) = ( r ) ，输出( 6 ) 计算，输出内力 图2 3 1 薄板弯曲有限元程序框图 为了检验本章所编程序的正确性与计算精度，计算了若干算例，下面给出一 典型算例结果。 某四边固定正方形薄板，受方向向下的匀布荷载2 0 k n m 2 ，i l = o 3 ，薄板的边 长2 m ，薄板的厚度为o 3 m ，求薄板中心的最大弯距和最大挠度。 利用编制的有限元分析程序，薄板中心的最大弯距和最大挠度计算结果如表 2 3 1 。为了验证程序计算所得的弯曲和挠度的收敛情况，对结构离散化时，取4 、 1 6 、6 4 、1 4 4 和2 5 6 单元进行分析。 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 2 l 表2 3 1 薄板中心的最大弯距和最大挠度 最大弯距 单元数结点数最大挠度( m )备注 ( 1 0 k n m ) 2 29 0 3 6 9o 3 2 e 一0 4 4 42 50 2 2 20 3 1 e 0 4 8 88 lo 1 9 2 0 2 8 e 0 4 1 2 1 21 6 9o 1 8 7o 2 8 e 0 4 1 6 1 62 8 9o 1 8 5o t 2 8 e 0 4 由表2 3 1 可知，薄板中心的最大弯距为1 8 5 k n m ，最大挠度为o 0 0 0 2 8 m ， 弯距和挠度收敛情况是很好的。 扬州大学工程硕士学位论文 3 结构优化方法和基本理论 3 1 结构优化设计的基本概念( 1 】i 2 1 评价设计优、劣的标准，在优化设计中称为目标函数；结构设计中的量，以 变量形式参与的称为设计变量；设计时应遵守的几何、强度、刚度、稳定等条件 称为约束条件；选择设计变量，确定目标函数，列出约束条件，称为建立优化设 计的数学模型。优化设计数学模型建立在解决不同的工程实际问题的基础上，有 不同的形式。对不同的数学模型选择不同的最优化方法。 优化设计的出现，改变了以往被动设计的局面，它可以在规定的约束条件下， 满足确定的目标要求来设计结构的有关参数。 3 1 1 设计变量 优化设计中待确定的某些参数，称为设计变量。一个结构的设计方案是由若 干个变量来描述的，这些变量可以是构件的截面尺寸，如面积、惯性距等几何参 数，也可以是结构的形状布置几何参数，如高度、跨度等，还可以是结构材料的 力学或物理特性参数。这些参数中的一部分是按照某些具体要求事先给定的，它 们在优化设计过程中始终不变，称为预定参数；另一部分参数在最优化设计过程 中是可以变化的量，即为设计变量。设计变量是最优化设计数学模型的基本成分， 是最优化设计最后所需确定的参数。 3 1 2 目标函数 优化设计时判别设计方案优劣标准的数学模型表达式称为目标函数。它是设 计变量的函数，它代表所设计结构的某个最重要的特征或指标。优化设计就是从 许多的可行设计中，以目标函数为标准，找出这个函数的极值( 极小或极大) ，从 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 而得到最优设计方案。 设计变量的个数就确定了目标函数的维数，设计变量的幂及函数的形态，也 就确定了目标函数的性质。 结构的体积、刚度、承载力、造价、自振特性都可以根据需要作为优化设计 中的目标函数。对于双向板优化设计采用构件的造价作为耳标函数。 30 1 3 约束条件 优化设计寻求目标函数极值时的莱些限制条件，称为约束条件。它反映了有 关设计规范、计算规程、运输、安装、施工、构造等各方面的要求，有的约束条 件还反映了优化设计工作者的设计意图。约束条件包括常量约束与约束方程两类。 常量约束亦称界限约束，它表明设计变量的允许取值范围，一般为设计规范等有 关规定和要求的数值，如板的最小厚度，圆杆的最小直径等。这类约束比较简单。 约束方程是以所选定的设计变量为自变量，以要求加以限制的设计参数为因变量， 按一定关系( 如应力、应变关系，几何关系等) 建立起来的函数式。它们之间有明 确的表达式( 显函数) 的称为显式约束；有些结构比较复杂，结构的应力、位移、 自振频率、临界荷载等约束，必须通过较精确的计算方法才能得到，它们之间关 系是隐含表达式( 隐函数) ，称为隐式约束。一般表达几何关系的式子称为几何约 束，几何约束多为显式约束。应力约束、稳定约束、频率约束等表达式称为性态 约束，性态约束多为隐式约束。约束条件还分为等式约束和不等式约束。 3 1 4 最优化问题的分类 无约束与有约束最优化问题 求无约束极值，最优解就是目标函数的极值。 线性与非线性最优化问题 如果目标函数和所有约束函数式都是变量的线性函数，则这种最优化问题称 为线性规划。如果目标函数或约束函数式中任一个是变量的非线性函数，则称为 2 4扬州大学工程硕士学位论文 非线性函数。 用线性函数近似非线性最优化问题中的非线性函数，就可用线性规划求解非 线性规划问题。在求得的最优解附近，再对非线性函数作线性近似，可再一次用 线性规划求解。用一连串线性规划去近似求解一个非线性规划问题。称为近似规 划。 如果目标函数为二次型，而约束函数式是线性，则称二次规划问题。 如果目标函数及约束函数式具有多元多项式的形式，则这种非线性规划称为 几何规划。 静态和动态最优化问题 若最优化问题的解不随时间而变，则称为静态最优化问题，如大坝、水闸等 的最优化设计；若最优化问题的解随时间两变，即变量是时间t 的函数，则称为 动态优化问题，即最优控制问题。这种情况下，变量分为状态变量和控制变量两 种。求解动态最优化问题有动态规划法、极大值原理等。 确定性和不确定性最优化问题 在确定性最优化问题中，每个变量是确定的。而在随机( 或概率) 最优化问题 中，某些变量的取值是不确定的。但根据大量实验统计，可以知道变量取值服从 一定的概率分布。如电力系统的可靠性问题就是一个随机最优化问题，称为随机 规划。近年来专家学者认识到由于不可能给事物明确定义和评定标准而存在的模 糊性不确定因数，考虑了模糊性因数的最优化问题称为模糊优化设计。 网络最优化问题 网络最优化问题就是从图论的角度来研究网络，并用计算机来寻找这个网络 中具有最优参数的路径，如最大流、最短路等。网络最优化是一种复杂系统的规 划方法，在运输网络、电路网络、计算机网络以及工程施工网络的分析和设计规 划中都有广泛的应用。 3 1 5 常用的结构优化方法 最优准则法 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 最优准则法是最先发展起来的一种结构优化方法，从2 0 世纪5 0 年代末开始 用于工程结构设计，6 0 年代得到发展，至今仍然是实际工程中常用的一种结构优 化方法。它的基本出发点是：预先规定一些优化设计必须满足的准则，然后根据 这些准则建立达到优化设计的迭代公式。这些优化准则一般是根据已有的实践经 验，通过一定的理论分析、研究和判断而得到的，它们可以是强度准则、刚度准 则和能量准则等。 如满应力设计( f u l l s t r e s s e dd e s i g n ) 就是准则法的一种，也是最先得到发展 和用于工程设计的一种结构优化设计方法。它不用数学上的极值原理，而是直接 从结构力学的基本原理出发，以满应力为其准则，保证杆件材料能够得到充分利 用。所谓满应力就是指结构的各个杆件至少在一组确定的荷载组合下，承受极限 容许应力或临界力。 无约束极值问题 最优化闯题m i n f 0 ) 是最简单的极值问题。在求解目标函数的极小值的过程 j e e 中，对设计变量的取值范围不加任何限制，则这种最优化问题称为无约束最优化 问题。 在实际工程中，无约束条件的设计问题是非常少的，多数问题是有约束的。 尽管如此，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优 化问题可以通过对约束条件的处理而转化为无约束最优化问题求解。 无约束最优化方法中有直接法和解析法两种。直接法中有“成功一失败”法和 “o 6 1 8 ”法等；解析法有牛顿法等。如牛顿法：多维隋况时的牛顿法与一维情况 相似，它的基本思路是首先将高次函数近似地简化为一次或二次函数，因为二次 函数的极值点是较容易求得的，二次函数的偏导数是线性的，所以只须解一组线 性方程即得极值点。显然对二次函数只需经过一次迭代，而对高次函数，因为经 过简化近似，所以应继续迭代，直至达到要求的精度为止。 线性规划问题 数学规划问题( m a t h e t i e a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m ) 所涉及的是，对有限资源 进行有效的利用或分配，以达到所期望的目的。这些问题的特点是：对于满足每 扬州大学工程硕士学位论文 个问题的基本条件，存在大量的解。而把某一解选为最好的解，则与问题中某个 方针或总的目标有关，满足问题的条件同时又满足给定目标的解称为最优解。 线性规划问题是规划问题的一个很特殊的类型，它称为线性规划问题，线性 规划问题与一般规划问题的区别，在于这类问题的数学模型可以用“直线”或线 性的关系式来表示。一个线性规划问题的完整的数学描述，包括一个联立方程组 ( 用来表示问题的条件) 和一个线性函数( 用来表示问题的目标) 。相对地，结构 设计问题只有很少一部分可以归纳线性规划问题。 非线性规划问题 当目标函数或约束条件为设计变量的非线性函数时，这类问题就称为非线性 规划问题( n o n - l i n e rp r o g r a m m i n gp r o b l e m ) 。非线性规划问题中可以有约束条件， 也可以没有约束条件。无约束可以作为非线性规划问题中特殊情况。无约束极值 问题的解法的基本思想有些可以推广到有约束情况，而且往往是某些非线性规划 方法的基础。从这个意义上讲，无约束极值问题是重要的。丽工程结构优化设计 普遍是有约束的。 有约束非线性最优问题的解法很多。各方法各有所长，但还没有一个有效的、 通用的方法。归纳起来大致可以分为以下4 类： a 直接处理约束的方法。如可行方向法等，这类方法需求函数的导数。 b 直接搜索法。如网格法等。这类方法不需要求函数的导数。 c 用线性规划法来逐次逼近原问题的方法。如割平面法。 d 将约束优化问题转化为一系列无约束问题来求解。此类方法统称为无约束 最优化问题。如罚函数法、乘予法等。罚函数法基本思路是有约束问题的目标函 数进行修改，使原问题中原有的约束条件集中反映到新的目标函数中去，即在目 标函数之后增加一个惩罚项，并且要求这个转换过程不破坏原有的约束条件。然 后通过求解一系列的无约束极值问题来逐步逼近原问题的最优解。 陆银军面向对象的钢筋混凝土双向板优化设计 3 2 单变量最优化问题的直接法 单变量最优化问题是最普遍、最简单的极值问题。它不仅在实际问题中有着 需要多许多直接的应用，还在许多规划问题中涉及到它。 下面介绍一维搜索方法中的两个具有代表性的方法，即黄金分割搜索法和二 次插值法。 3 2 1 黄金分割搜索法1 6 1 1 1 7 1 ( 1 ) f i b o n a c c i 法 考虑问题 嬲f ( z ) 其中目砂是定义在h 明上的下单峰函数。所谓下单峰函数( 强