（电子科学与技术专业论文）多区域伪谱时域算法在辐射问题中的基础研究.pdf

国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 a b s t r a c t 砀em p s t d a l g o r i t h mh a sg o n et h r o u g h12y e a r so fd e v e l o p m e n ts i n c ei tw a s f i r s t p u tf o r w a r da tt h ei n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mo fa l 姐b ya vk a b a k i a ni n19 9 6 t o s o l v et h es a m ee q u a t i o n , m a x w e l l se q u a t i o n si nf o r m so fd i f f e r e n t i a l ，m p s t di s m u c hm o r et h a nai m p r o v e m e n to ff d t d i th a si t so w ns e to fa l g o r i t h m sm e c h a n i s m t h e 酣d sl o c a t i o nd i f f e rf r o mt h ey e e sc e l li nf d t d ，a n dt h et i m ei n t e g r a t i o nd i f f e r s f r o mt h ef i r s t o r d e rc e n t r a ld i f f e r e n c em e t h o d t h r o u g ht h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n , i t m a k e st h ec o m p u t i n gm o d e lc o n f o r mw i t l lt h eb o r d e ro ft h eg o a l sp e r f e c t l y t h e m p s t dm e t h o dc a nb r e a kt h eb o t t l e n e c k so ft h et i m e d o m a i na l g o r i t h m ，a n di t sm o s t p r o m i n e n tf e a t u r ei st h a ti tc a no b t a i nh i g h - o r d e ra c c u r a c yw i t hl o w - d e n s i t ys a m p l i n g ， a n di ss u i t a b l ef o rt h ea n a l y s i so f e l e c t r i c a l l yl a r g ep r o b l e m d e s p i t et h em p s t da l g o r i t h mh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h es c a t t e r i n gp r o b l e m ， a n a l y s i so ft h ew a v e g u i d ea n du n d e r g r o u n dt a r g e td e t e c t i o n h o w e v e r ，f o rt h ee n t i r e a l g o r i t h ms y s t e m ，i t sa n a l y s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h ea n t e n n a sr a d i a t i o nw o u l db ea v e r yu s e f u ls u p p l e m e n t t i l i sd i s s e r t a t i o nh a dad e t a i l e ds t u d yo fan u m b e ro fk e y t e c h n o l o g i e sf o rt h em p s t da l g o r i t h m ，i n c l u d i n gt h ec h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o d ， t h eh i g h - o r d e rt i m e i n t e g r a t i o n ，t h es u b d o m a i nc o r t f o r m a la n dt h es u b d o m a i np a t c h i n g i nt h ea n a l y s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea n t e n n a sr a d i a t i o n , a i m e da tt h et r u n c a t i o n a n dr a d i a t i o nb o u n d a r y , h a dar e s e m c i lo nt h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e ra n dt h en e a rt o f a r - f i e l dt r a n s f o r r n a t i o n t h ej n 蚯j 1w o r kc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) f o rt h er u n g ep h e n o m e n o ne x i s t e di nt h el a g r a n g e si n t e r p o l a t i o nb a s e d j l ! t h ee q u a ls p a c et a r g e tp o i n t s ，i n t r o d u c e dt h es u p e r i o r i t yo fc h e b y s h e vp o l y n o m i , f l i n t e r p o l a t i o na p p r o x i m a t i o n , a n dm a d ead i s p l a yo fc h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o do s o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l 、兢l l lp r e c i s i o ns p e c t r o s c o p y t h i si st h e b a s i sf o rs p e c t r a l m e t h o d ( 2 ) h a das y s t e mr e s e a r c ho nt h es i n g l ed o m a i nc h e b y s h e vp s e u d o s p e c t r a l t i m e d o m a i na l g o r i t h m s d e d u c edt h em a x w e l l s e q u a t i o n si nt h ec u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e h a dad i s c u s s eo nt h er e g i o n a lm a p p i n gt e c h n o l o g ya n dh i g h - o r d e r t i m e i n t e g r a t i o nm e t h o d ，m s t a g e n - o r d e r r n n g e k u t t a s c h e m e t ov e d f yt h e c o r r e c t n e s so ft h et h e o r y , t h es i n g l ed o m a i nc h e b y s h e vp s e u d o s p e c t r a lt i m e - d o m a i n a l g o r i t h mi sa p p l i e dt os o l v et h er e s o n a n tf r e q u e n c yf o rm e t a lr e s o n a t o r ( 3 ) h a dai n - d e p t hd i s c u s s i o no ft h em u l t i d o m a i nc h e b y s h e vp s e u d o s p e c t r a l t i m e - d o m a i na l g o r i t h m a f t e ras t u d yo nt h ec v - p a t c h i n ga n dt h ep b p a t c h i n gb e t w e e n t w oa d j a c e n ts u b d o m a i n s ，d e s c r i b e dh o wt oe x c h a n g ei n f o r m a t i o nb yw e e k l yi m p o s i n g u p w i n dn u m e r i c a lf l o wa tt h ei n t e r f a c eo ft w os u b d o m a i n s d e r i v e dt h ee x p l i c i t e x p r e s s i o no ft h es i xf i e l dc o m p o n e n t sa tt h ei n t e r f a c en o d ei nt h ec u r v i l i n e a r e o o r d i n a t e 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 ( 4 ) i no r d e rt oa n a l y s i so ft h er a d i a t i o np r o b l e m ，u p m lw a sb r o u g h ti n t ot h e m p s t da l g o r i t h m ，a n dt h ea p p r o a c ho ft i m ei n t e g r a t i o ni si m p r o v e dt om e e tt h e r u n g e k u t t am e t h o d h a dad e t a i l e dp r e s e n t a t i o no nh o wt oa c h i e v en e a rt of a r - f i e l d t r a n s f o r m a t i o ni nm p s t da l g o r i t h m m a d ea i la n a l y s i so ft h ed e f i c i e n c i e si nc a l c u l a t i n g t h et a n g e n t i a ls u r f a c ec u r r e n ta n dt h et a n g e n t i a ls u r f a c em a g n e t i cc u r r e n to nt h e e q u i v a l e n ts u r f a c eb ya v e r a g em e t h o d ，a n dg a v eo u ta ni m p r o v e dm r l l n e ri n t h e f o l l o w i n gw o r kp l a n s ( 5 ) m a d e ap a t t e ma n a l y s i so fs e v e r a lt y p i c a ll i n e a n t e n n a sa n ds u r f a c e a n t e n n a s s h o w e dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e 咿s t da l g o r i t h mi nt h ea n a l y s i so ft h ea n t e n n a s r a d i a t i o n k e yw o r d s ：m u l t i d o m a i n ；c h e b y s h e vp s e u d o s p e c t r a lt i m e - d o m a i na l g o r i t h m ； c h e b y s h e vc o l l o c a t i o n ；t r a n s f i n i t e b i l i n e a rb l e n d i n gf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n ； p e n a l t ym e t h o d ；u m p lt r u n c a t i o nb o u n d a r y ；n e a rt of a r - f i e l dt r a n s f o r m a t i o n ； a n t e n n a s r a d i a t i o np r o b l e m 第i i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 表目录 表3 1l 形谐振腔的本征值v , 0 ( m m - 1 ) 2 9 表3 2 部分介质加载腔谐振本征值钿3 0 表3 3 同轴谐振腔的谐振频率( g h z ) 3 1 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图目录 图1 1f d t d 离散中的y e e 元胞l 图2 1 基于等间距点的插值多项式逼近1 0 图2 2 切比雪夫插值多项式逼近1 0 图2 3u ( x ) = e 。s i n ( 5 x ) 的切比雪夫微分1 4 图2 4 四个函数的谱微分精度1 4 图2 5 曲边六面体到标准立方体的坐标变换1 5 图2 6 基于c g l 点的张量积插值多项式去近似六面体子域1 6 图2 7 矩形金属谐振腔1 8 图3 1 子域分界面示意图2 2 图3 2 两个相邻子域的交界面示意图2 6 图3 3l 形谐振腔及子域划分2 9 图3 4 部分介质加载矩形腔及其子域划分3 0 图3 5 同轴谐振腔横截面及其子域剖分3 0 图4 10 5 8 m 0 2 9 m 2 9 m 的波导3 6 图4 2 波导纵向各位置的电场时域波形3 7 图4 3 两种吸收边界的电场时域波形比较3 8 图4 4l o v e 场等效原理示意图3 9 图4 5 面元中心插值示意图4 1 图4 6 电流元的计算模型4 3 图4 7p a t r a n 软件建模后效果图4 3 图4 8 电流元e 面方向图与相对误差( 厂= 3 7 5 m h z ) 4 4 图4 9 振子天线示意图以及计算区域划分4 4 图4 1 0m p s t d 中细线振子天线的建模4 5 图4 1 1 细线振子天线e 面天线方向图及相对误差( = 3 7 5 m h z ) 4 5 图4 1 2 薄板天线示意图4 5 图4 1 3m p s t d 中薄板天线的建模。4 6 图4 1 4 薄板天线e 面辐射方向图仿真结果4 6 图4 1 5m p s t d 中方波导的建模。4 7 图4 1 6 p a t r a n 软件建模后效果图4 7 图4 1 7 方波导口径e 面辐射方向图仿真结果4 7 第1 v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：垒匿堡鱼适吐堡簋洼垄堑盟回题生鱼基型盟究 学位论文作者签名： 日期：奠卯汐年i 月吟日 一 ， 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩i ；f 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：垒匡越邈谱吐垫笺洼垄堑盟闻塑史鲍基壁要究一 学位论文作者签名：一杰灶 日期山q 多年 ，月嘲 作者指删币擀：绍乒 呲月妒 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景及意义 随着高性能计算机的出现以及个人p c 的普及，在电磁场与微波技术领域，诞 生了一门解决复杂电磁问题的新兴学科一计算电磁学。它以电磁理论为基础，以 计算机为载体，以数学数值方法为手段，是一门极具发展潜力的边缘交叉学科。 计算电磁学已被应用到科学技术的各个领域当中，包括目标电磁特性分析、 天线设计、微波电路c a d 、地下目标探测、无线电波传播、电磁成像、遥感等等。 近几十年来，电磁理论的发展无一不是与计算电磁学的发展紧密相联的。 截至目前，已有不下几十种的电磁场数值算法被提出，代表性的有：属于频 域技术的有限元法、矩量法等；属于时域技术的时域有限差分法、时域伪谱算法、 传输线矩阵法、时域有限元法、时域积分方程法等。此外，还有属于高频技术的 几何光学法、物理光学法、几何绕射理论和物理绕射理论等。 频域和高频数值算法均是点频、窄带的算法。与之相比，时域数值方法在研 究宽带、时变系统以及复杂媒质结构等问题时，具有显著优点【卜3 l 。时域算法直接 在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场进行分析，形象地描绘出电磁波的激励、 传播以及与目标相互作用的过程，进而用清晰的物理图像解释复杂的电磁作用， 实现对物理量和物理现象更深刻、更直观的理解。此外，时域算法促，通过一次时 域计算就可获得宽带范围的频域信息，较之频域方法显著地节省了计算量。 下面简要介绍电磁场时域算法的几种主要形式。 1 、时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et u n ed o m a i n , f d t d ) e y 图1 1f d t d 离散中的y e e 元胞 时域有限差分法是由k s y e e 在1 9 6 6 年提出的【4 1 ，是有限差分方法的时域扩 展。该算法采用有限差分近似来直接求解时域中微分形式和积分形式的m a x w e l l 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 旋度方程。该方法简单、灵活、鲁棒，被广泛应用于求解包括各向异性媒质和非 线性媒质等各种复杂电磁问题中【5 - 9 。如图1 1 所示，时域有限差分法对电磁场 豆、曰分量在空间和时间上进行交替采样，每一个电场分量( 或磁场分量) 周围有四 个磁场分量( 或电场分量) 环绕。应用这种离散方式，在空间上将m a x w e l l 方程转化 为一组差分方程，在时间上采用蛙跳方式逐步推进来求解空间的电磁场。 时域有限差分法作为一种时域算法，其最大的优势在于能够有效模拟各种电 磁问题的瞬态效应，宽频带信息可以通过简单的时频变换获得。该算法在标准的 y e e 网格上使用蛙跳算法，电、磁场分量相互咬合，算法简单且稳定性强。但时域 有限差分法具有以下三个主要缺点：( 1 ) 必须使用每波长最小1 0 - 2 0 个网格的采样 密度来保证对数值色散的抑制；( 2 ) 由于采用标准的y e e 网格来离散计算区域，因 此当它处理曲边不连续的物体时存在阶梯效应，精度会降到一阶，有时甚至得到 不收敛的解；( 3 ) 时域有限差分法由于采用显式的时间积分，因此受到 c o u r a n t - f r i e d r i c h l e v y ( c f l ) 稳定性条件的限制，在一些射频电路分析中应用受限。 2 、时域积分方程法( t i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n 。t d m ) 1 0 。1 4 1 时域积分方程法最早由c l b e n n e t t 引入计算电磁学，用于研究简单理想导体目 标的短时脉冲冲激响应。此后，e 。k m i l l e r 、r m i t t r a 和s m r a o 等学者在该领域作 了大量的研究工作。目前，t d i e 已广泛地应用于计算良导体和介质体的球、柱、 锥、板、线及其组合体的瞬态响应。该方法还可用于求解良导体的逆散射问题。 t d i e 算法的基本思想是：首先，利用g r e e n 函数定理获得时域积分方程，然 后进行时间和空间的离散化，将积分，j 程转化为按时间递进的递推式，最后，通 过时间步迭代，依据前时刻的感应电流和当前时刻的入射场，计算得到下一时刻 的感应电流，循环递进，直到脉冲激励响应结束。 t d i e 算法的优点是不需要人为设置边界条件，缺点是计算时间较长、存在晚 时不稳定现象以及磁场积分方程不适用于分析无限薄平板等。 3 、传输线法( t r a n s m i s s i o nl i n em a t r i x , t l m ) 1 9 7 1 年，j o h n 和b e u r e l 第一次提出传输线法【1 5 】并用来研究二维散射问题【1 6 】。 此后该方法被扩展到求解三维问题【1 刀和不均匀【1 8 1 、有耗h 9 1 、各向异性媒质冽中。 该方法以惠更斯原理为基础，在传输线网络中建立电压脉冲传播与电磁场传播之 间的类比关系。传输线法采用相互连接的传输线网格来离散计算区域，离散网格 单元通常是矩形( 二维问题) 和正方体( - - 维问题) 。当传输线法和时域有限差分法采 用的网格都是场分量位于其中心，并且分解为朝着结点传播和远离结点传播分量 时，两种算法之间是等效的。 同时域有限差分法一样，传输线法也可以通过时频变换从时域结果中提取宽 带频域信息。但该算法的网格结构不如时域有限差分法直观，有时比时域有限差 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 分法更难理解。传输线法也受到c f l 条件限制，也一样存在网格的色散误差和各 向异性问题。 4 、时域有限元法( f i n i t ee l e m e n tt i m ed o m a i n ，f e t d ) 2 1 - 2 5 有限元法的思想早在2 0 世纪4 0 年代就已在力学领域内出现。在2 0 世纪6 0 年代末，有限元的思想被引入到计算电磁学，其发展先后经历了结点有限元法、 棱边有限元法、矢量有限元法以及时域有限元等阶段。 f e t d 算法是在频域有限元法的体系上发展起来的，它仍以里兹变分原理和迦 略金法为基础，将m a x w e l l 方程化为微分方程，通过差分方程近似替代微分方程 求解。采用矢量基单元，可同时求解两个旋度方程，避免了非物理伪解的出现， 完成导体和介质边缘及角的处理，大幅度提高了运算结果的精度。近年来该算法 的发展主要集中在混合算法、无条件稳定迭代、高阶基函数的构造、复杂结构共 形建模等方面。 5 、多分辨率时域法( m u l t i r e s o l u t i o nt i m ed o m a i n , m r t d ) 皿6 - 3 0 1 9 9 6 年，m k n n n p h o l z 将小波变换中的多兮辨率分析理论引入到电磁场的时 域计算中，提出了多分辨率时域法。m r t d 采用类似于y e e 网格的方式，将时变 场量利用尺度变换和小波变换展开，从而达到节省存储空间和减少计算：聚的f ：的。 目前，已有利用h a a r 子波双正交子波为基底诜行展开的m r t d 法，完成了j ，波 导电路、谐振腔本征值以乃滤波器等各种导波结构的电磁特性分析。 m r t d 的主要缺点为i 时问稳定性条件比f d t d 更加苛刻，是典碴昀i 。毫i 时 间换空间一算法。掺据具体问题选择合适的尺度空间与子波空间是应暑；：- - i r ，必 须解决的主要问题。 6 、不连续迦峙囊法( 携j m j 不连续迦略金法：建传统时域有限体方法的高阶版本。该方法于1 9 ：07 f 被提出 并应用于中子传输方程的研究中，此后被广泛应用于计算流体力学领域。随着在 处理不连续媒质交界面上的优势逐渐被人们所认识，该算法应用领域不断扩大， 其中也包含对m a x w e l l 方程的求解 3 1 - 3 6 。不连续迦略金法继承了有限元法在建模 方面的灵活性，采用三角形( 二维) 、四面体( 三维) 来离散计算区域。在每个三角形 或四面体单元上，采用高阶多项式来准确建模电磁波的传播，因此该方法具有很 高的精度和非常小的数值色散误差，即不连续迦略金法采用稀疏的采样点分布就 能达到需要的精度。在单元与单元之间的交界面上，不连续迦略金法通过惩罚方 式弱性地施加迎风数值流，因而该算法是稳定的、鲁棒的【3 1 】。 7 、伪谱时域算法( p s e u d o s p e c t r a lt u n ed o m a i n , p s t d ) 3 7 4 7 l f p s t d 算法于1 9 9 7 年最先被q h l i u 引入到电磁学中，它的基本思想是：对 m a x w e l l 方程中时间微商利用中心差分或高阶差分近似，对空间微分采用f o u r i e r 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 变换代替，并采用快速傅立叶变换( f f t ) 技术对离散傅立叶变换进行计算。与f d t d 方法相比，f p s t d 算法由于采用f o u r i e r 变换及反变换来实现m a x w e l l 方程中场量 空间导数的计算，理论上精度可以无限高，所以不存在由于空间网格划分带来的 误差。在满足n y q u i s t 采样定理的情况下，在每一个最小波长上只需要设置2 个采 样点，即可实现对电磁问题的准确分析。目前，该算法已经被成功地应用于求解 空间电大尺寸简单目标的散射特性、建筑物内电波场强分布和模拟探地雷达分析 地下简单目标体的散射特性等。然而，由于f f t 具有固有的周期性，f p s t d 算法 只适用于分析周期问题，如均匀介质空间或者变化不大的非均匀介质空间。若将 其用于复杂媒质电磁问题的分析时，如金属物体和拥有不连续媒质分布的问题时， 由于g i b b s 现象的影响，它的计算精度是较低的；其次，若将该算法用于复杂几何 形状目标问题的分析时，目标外形的阶梯近似使得该算法不能对目标外形进行准 确描述，造成了计算精度的下降。上述两点使得该方法的应用受到极大的约束。 m p s t d 算法于1 9 9 6 年被a v k a b a k i a n 引入到计算电磁学。它的基本思想是： 将整个计算域剖分成若干个与所分析电磁问题共形的曲边四边形子域( 二维电磁问 题) 或曲面六面体子域( - - 维电磁问题) ，切比雪夫选配方法被单独用在每个子域里 进行计算，子域之间通过子域分界面上的匹配边界条件来实现信息的传递。已有 的文献表明：m p s t d 算法每最小波长只需要设置g 个采样点即可实现对电磁问题 的准确分析。由于共形子域划分的应用和多域策略的引入，m p s t d 算法比f p s t d 算法具有更大的灵活性和适用性。 由于p s t d 算法采用傅立叶选配方法或切比雪夫选配方法来求解m a x w e ：! - j v 程中场量的空间导数，所以均具有谱域计算精度。同时，由于p s t d 方法每箍0 波长只需要设置2 个或万个采样点，因而它对计算机的内存需求大大降低，计算瓷 也同时大大减少，已有大量文献表明p s t d 算法在许多应用方面都显得比f d i o 更加有效。该算法作为一种新颖的电磁场数值方法，在计算电磁学中已经得到越 来越多的重视。 从以上的简要描述中可以看出多区域伪谱时域算法是一种高阶的、灵活的、 有效的数值算法，具有很强的实用性。本文就三维多区域伪谱时域算法展开理论 和应用方面的研究。 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 1 2 论文的主要工作及内容安排 本文以拓展m p s t d 算法的应用领域天线辐射问题分析为目的，将算法理论 研究与天线应用相结合，对m p s t d 算法理论体系的完善和多项关键技术进行了具 体的研究，其主要工作可概括如下： ( 1 ) 针对等间距拉格朗日插值存在的“龙格效应”，本文分析了切比雪夫插值 多项式逼近的优越性，展示了切比雪夫选配法在偏微分计算中的精度，这是谱方 法的理论基础。 ( 2 ) 系统研究了单子域切比雪夫伪谱时域算法。推导了曲线坐标系下的 m a x w e l l 方程，讨论了区域映射技术以及高阶时间积分方法m 步n 阶龙格库塔 方法。为验证理论的正确性，将单子域切比雪夫伪谱时域算法应用到金属谐振腔 本征值求解中 ( 3 ) 深入讨论了多区域切比雪夫伪谱时域算法。在研究了基于特征变量 ( c v - p a t c h i n g ) 和基于物理边界( p b - p a t c h i n g ) 的两种子域拼凑条件之后，介绍了如何 通过惩罚方式在子域交界面上弱性施加迎风数值流来交互信息，推导了交界面结 点处六个场分量在曲线坐标系下的显式表达式。 ( 4 ) 针对在把旋转体区域映射成标准立方体过程中，使用张量积高阶插值多项 式复杂、困难的问题，介绍了无限双线性融合插值技术。 ( 5 ) 为了能够分析辐射特性，将u p m l 截断边界引入到m p s t d 算法中，并改 进其时间步递进方式，以适应龙格库塔时间积分方法。详细令绍了在m p s t d 算 法中如何实现近一远场外推，分析了采用均值法计算等效面上切向面电流、面磁流 的不足，提出了一种改进方式。 ( 6 ) 给出了几种典型线天线和面天线的方向图算例，显示了m p s t d 算法在天 线辐射特性分析中的有效性。 本文共分为五章，各章节的内容安排如下： 第一章是本文的绪论，回顾了电磁场时域算法的几种主要形式，定性地分析 了它们的优缺点，继而引出本文的主题一多区域伪谱时域算法( m p s t d ) 。 作为一种高阶的、灵活的、有效的电磁场数值算法，m p s t d 有着自己的一套 理论体系。在第二章中，本文从单子域切比雪夫伪谱时域算法理论入手，详细介 绍了切比雪夫伪谱算法基本思想，即把原问题空间通过区域映射，变换成曲线坐 标系下的标准立方体，再运用切比雪夫选配法计算场函数对空间的偏导数，场函 数对时间的偏导数则通过高阶时间积分方法实现，譬如二步二阶龙格库塔方法。 在介绍切比雪夫选配法的同时，展示了基于切比雪夫配置点的多项式插值在 函数逼近应用中的优越性，即不存在“龙格效应，插值函数随着插值多项式阶数 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 的升高快速收敛于原函数，“切比雪夫伪谱”也正是得名于此。由于在切比雪夫伪 谱算法中，六个场分量被安排在同一个结点( o d d ) 上，网格( l a t t i c e ) 的概念与f d t d 中的y e e 元胞完全不一样，如果再使用中心差分来作时间推进，一则精度太差， 二则容易导致算法不稳定。对此，介绍了一种高阶时间积分方法一龙格库塔方法， 具有良好的收敛性和稳定性。比较了两步两阶和五步四阶龙格库塔方法的计算量 和计算精度，前者在能够保证足够精度的前提下，运算速度更快，因此决定选择 用它来作为后面所有算例中的时间积分方式。 在第二章结束，直观的提出了m p s t d 算法其实就是“区域分解+ 单子域伪谱 时域算法+ 子域拼凑”的概念。因此，在介绍多区域伪谱时域算法的第三章，重点 在于介绍“子域拼凑”。为此，介绍了三种不同的实现方式：特征变量法、物理边 界法和在边界上通过惩罚方式施加迎风数值流。其中，物理边界法最为简单，但 也是精度最差、最不稳定的子域拼凑方法。特征变量法在算法精度和稳定性上都 得到了提高，但是实现起来比较复杂，且仅适用于交界面两侧子域中具有相同媒 质分布的情况，存在一定的局限性。对于第三种方法，惩罚拼凑法，在计算区域 内形成一种整体的精确和稳定，而且惩罚法还能够用来匹配两个具有不同媒质的 子域。因此，在这三种方式中，惩罚拼凑法是最优的，并通过三个本征值算例进 行了验证。 在第四章中，把一般时域电磁计算理论( 比如f d t d ) 中的截断边界条件和辐射 边界条件引入到m p s t d 算法，构建了u p m l 吸收层和近远场外推边界，同时 也分析了这样的移植会带来的一些问题。运用这一套算法框架，包括单子域伪谱 时域算法、多域分解技术、u p m l 截断边界和近远场输出边界，计算了基本电流 元、细线半波振子、薄平板振子天线和波导口径的辐射方向图，结果表明，m p s t d 算法能够有效分析天线的方向图特性。 第五章是本文的结束语，总结了本文的主要研究成果，并指出了存在的问题 和将来的研究方向。 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第二章单子域伪谱时域算法 2 1 引言 1 8 7 3 年，英国物理学家m a x w e l l 凭借着扎实的数学功底和敏锐的洞察力建立 了一组支配宏观电磁现象的基本方程，即m a x w e l l 方程。它既可表述成微分形式， 又可表述成积分形式。本章从微分形式的时域m a x w e l l 方程出发，首先介绍了如 何得到曲线坐标m a x w e l l 方程，以及曲线坐标下物理量与原物理量之间的关系； 其次，详细介绍了切比雪夫选配法的基本原理，描述了该方法在求解偏微分过程 中的巨大优势；紧随其后，介绍了如何利用切比雪夫选配法求解m a x w e l l 方程中 场函数的空间导数：在得到场的空间导数后，又介绍了一种高阶时间积分方法一 龙格库塔方法，来处理m a x w e l l 方程中场函数对时间的偏导数。在本章最后，用 一个数值算例验证了单子域伪谱时域算法的可靠性。 2 2 曲线坐标系下的m a x w e l l 方程 m a x w e l l 方程可表示为守恒形式： 掣丹f ：1 d 】 g ) 优 其中 料= 皿，马，皿，互，毋，t ) ，f = e ，弓，互) = ( 【刎行 ，【明 办，【c 】 g ) ， 【a 】- o0 o 0 o0o0 o0o0 o0o0 0o 三o s o !oo ， 【b 】= o o0 o 0o 0 00 oo 一三 g 00 0 1 二00 占 。上 o0 0 0 0 o 00 00 ( 2 1 ) 以及 第7 页 o o 。一p o o o o 。一 o o o o o o ，一p o o o 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 c 】= oo一土o o 三oo 0o00 0o0o 0000 0oo0 【d 】_ 0 0 00 o0 o 0 o 0 0 0 00 00 0o 0 o - 占 0o 0o 下面我们将从直角坐标中的m a x w e l l 方程( 2 1 ) 出发，推导曲线坐标下的 m a x w e l l 方程。 曲线坐标中对应的通量 户) = 戽，扇，毫 必须满足可逆关系h 8 】： 名( f ) ( f ) 尼( f ) = = r j r ，。1i r，i茎誊，=，：，：；，t； c ：， 且与直角坐标系下的原通量，保持散度一致。其中【川代表j a c o b i a n 矩阵： = 嬲= 畦 由恒等关系式 ，】川【刀= ，有： ( 2 3 ) v f 户= i j lv f = i ( 一1 v f ) ， = v fm j ，一lc 卅lf ，= v f 刀1 匿蚤t 辱，c 2 固 由于曲线坐标中， 户) 是参照直角坐标中的通量 f 来定义的。 第8 页 0 o o 0 o 仃一占 0 0 0 0 盯一占 0 0 0 0 l 一占 0 o o o o o占。 上k 酬 啪 。矛 赳 k。 i i 叵 一一一 一式蚴百 拟擀恳程 亿k式m 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 f = 【印 g ) ，【b 】 g ) ，【c 】 g ) ) ，因此相应有户= 【勾 蜃) ，【甸) ，【0 】 辱 ) 。于是 v f 肚v f 【甸胁 i 】( 毒) i 【c 】 毒) 比较式( 2 6 ) 和式( 2 7 ) ，再根据式( 2 4 ) ，可得 【a 】= 六【彳】+ 彭【捌+ 六【q 【b 】= 仉【彳】+ 巩【b 】+ ，九【c 】 【c 】= 矢m 】+ 缶【明+ 幺【c 】 将式( 2 7 ) 代入式( 2 5 ) ，并于方程( 2 5 ) 两边同时除以l 【刀i ，得到 警币】警舢】筹求，等= 删m ( 2 7 ) ( 2 s a ) ( 2 8 b ) ( 2 s c ) ( 2 9 ) 这就是从原物理空间变换到曲线坐标系后，对应位置上场分量所满足的m a x w e l l 方程。 2 3 切比雪夫选配法 1 在已知一系列给定点上数据后，我们常常运用插值技术来合理估计该区间其 他离散点上的数据信息。考虑用多项式来逼近一个给定函数厂( x ) ，先要寻找一列 合适的对象点 x o ，玉9o - - ，h ，一旦对象点被确定，剩下的工作无非就是拉格朗日或 牛顿多项式插值。 常用的对象点可以是等间距的在插值多项式阶数比较低的情况下，对真实 函数o ) 的逼近比较粗糙；当插值多项式的阶数增加，大部分离散点上的数值结 果接近真实值，但在靠近区间两端的离散点上会出现数值振荡，这被称做“龙格 效应一( r t m g ep h e n o m e n o n ) 。例如，我们在区间 - l ，1 】上等间距采样，并利用牛顿 1 插值多项式来逼近曲线f ( x ) = 南，如图2 1 所示。可以看到，当对【- 1 ，1 3 区 l 十6 x 间1 0 等分采样，在靠近x = 1 的离散点上出现了“龙格效应 。 如何克服。龙格效应一? 我们很自然想到，可以增加区间两端的对象点密度 来抑制数值振荡。由于区间两头的对象点密度高于中间位置，因此这是一列非等 距对象点。 我们选取切比雪夫多项式巧( x ) 位于【一1 ，1 1 上1 拘极点作为对象点，这些点的全 称叫做c h e b y s h e v g a u s s l o b a t t o ( c g l ) 点，本文简称为切比雪夫配置点。其数学表 示式为： 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 己一。s ( 刳，所啪， 亿埘 以切比雪夫配置点为对象点的插值多项式称作切比雪夫插值多项式。 采用切比雪夫配置点重复上一个例子，得到的结果如图2 2 所示。 墨57o ：s w 0 5 0 d 5 。n l o ( x 一稍 八。一。厂 潞，( x ) 。 0 。5 湖 内( x ) 一，x ) ( a ) 4 8 1 0 阶插值多项式逼近( b ) 插值多项式的误差 图2 1 基于等间距点的插值多项式逼近 催扒心三 泸* ， ：ow ( a ) 4 8 1 0 阶插值多项式逼近 ( b ) 插值多项式的误差 图2 2 切比雪夫插值多项式逼近 比较图2 1 和图2 2 ，可以看到： ( 1 ) 运用切比雪夫插值多项式来逼近函数，偏离真实曲线的最大误差小于等间 距插值多项式。 ( 2 ) 增加切比雪夫配置点的数目能显著减小逼近误差。 ( 3 ) 随着切比雪夫插值多项式阶数的增加，并没有出现“龙格效应”。 由此可见，用切比雪夫配置点作为对象点得到的插值多项式，具有十分优越 的逼近特性。可以推测，把切比雪夫插值多项式求导，得到的导数也应该能够很 好的逼近真实值