（岩土工程专业论文）饱和度对土体动力响应的影响.pdf

摘要 土介质中波在不同界面的反射和透射及动力响应问题是岩土工程、地震工程 和地球物理学科领域的一个重要基础性课题。本文以准饱和土为研究对象，把均 匀流体概念引入b l o t 两相多孔介质动力理论，即用饱和多孔介质模型模拟粘弹 性准饱和土层，孔隙流体体积模量就可以确定，从而使用两相孔隙介质理论来研 究准饱和土，对粘弹性土体中不同土层界面反应和圆柱形空腔动力响应问题作了 深入细致的研究。 本文首先以占体波能量主要部分的s 波来研究在不同介质界面上的反射和透 射，考虑饱和土中土颗粒及孔隙流体的可压缩性，并考虑固液两相粘性耦合效应， 深入研究了界面透水条件、波的八射角度和频率对波反射和透射的影响，借助 b i o t 多孔介质中的波动方程，根据各种界面条件导出了s 波从饱和土入射于弹 性土时在交界面上反射与透射的一般计算公式。 在此基础上，考虑固体骨架粘弹性k e l v i n 材料，采用势函数理论研究了饱 和度的变化对于s 波入射下准饱和土层与粘弹t g - + - 层交界面处水平、竖向运动分 量的影响，分析反射和透射系数随波动参数变化的规律，包括反射与透射系数随 入射角度，排水条件等的变化规律，数值计算界面上水平与竖向位移分量的表达 式，由于从不同的饱和度下考虑了土层骨架的粘性，因而可以更全面的了解地震 波在土层中的传播特性。 利用l a p l a c e 变换求解了粘弹性饱和土中圆柱形空腔的动力响应问题，得到 了变换域内的解析解。借助数值l a p l a c e 反变换对此问题作了细致的数值分析， 研究了粘弹性饱和土中圆柱形空腔动力响应的位移、应力及孔压的变化规律。继 而分析不同饱和度下粘弹性准饱和土中圆柱彤空腔动力响应的各变量的变化规 律。揭示了粘弹性土体中圆柱形空腔的瞬态动h 响应的一些特性，为进一步分析 岩土工程中类似动力响应提供了有效途径。 关键词：b i o t 理论反射和透射势函数理论准饱和土 动力响应 圆柱形空腔l a p l a c e 变换 i a b s t r a c t t h es t u d yo fw a v er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o na t t h ei n t e r f a c ea n dt h ed y n a m i c r e s p o n s ei s o ff u n d a m e n t a li m p o r t a n c et os e v e r a ld i s c i p l i n e s ，s u c ha sg e o t e c h n i c a l e n g i n e e r i n g ，s e i s m o l o g ya n dg e o p h y s i c s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，c o n s i d e r i n gt h em a i n l y s a t u r a t e ds o i l s a f t e r i m p o s i n gt h e n e wp o r ev o l u m e t r i cd e f o r m a t i o nm o d u l e s ，a s y s t e m a t i cs t u d y o nt h er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o no fv i s c o e l a s t i cw a v e sa n dt h e d v n a m i c r e s p o n s ei sp e r f o r m e d o nb a s i so fb l o t sp o r o u st h e o r y t h i sd i s s e r t a t i o ns t a r t sw i t ht h er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o no fe l a s t i cs - w a v e sa ta n i n t e r f a c eb e t w e e nc o n v e n t i o n a le l a s t i cs o i l sa n ds a t u r a t e ds o i l s b yu s eo fb i o t s t h e o r yo f w a v e p r o p a g a t i o ni np o r o u sm e d i u m ，t a k i n g t h ev i s c o u sc o u p l i n ge f f e c ti n t o a c c o u n t g e n e r a le x p r e s s i o n o fr e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o na tk i n d so fi n t e r f a c e c o n d i t i o n sw e r ep r e s e n t e dw h e ne l a s t i cs - w a v e sp r o p a g a t e df r o ms a t u r a t e ds o i l st o e l a s t i cs o i l s t h ec a s eo ft h ei n c i d e n c eo fsw a v e s ( s h e a rw a v e ) t h er e f l e c t i o n t o e f f i c i e n t so fp 1w a v e ，p 2w a v e ( s l o wc o m p r e s s i o nw a v e ) a n dsw a v ei ns a t u r a t e d s o i l sa n dt h er e f r a c t i o nc o e f f i c i e n t so fpa n dsw a v ei n e l a s t i cs o i lw e r e c a l c u l a t e d r e s u l t si n d i c a t e dt h a tt h er e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o nc o e f f i c i e n t sw e r ev a r i e d w i t ht h ei n c i d e n ta n g l e i n c i d e n tf r e q u e n c ya n di n t e r f a c ed r a i n a g ec o n d i t i o n ad e t a i l e di n v e s t i g a t i o ni sc a r r i e do u to nt h ei n f l n e n c eo fw a t e rs a t u r a t i o ni nt h e r e f l e c t i o n r e f r a c t i o na n dh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lm o t i o na tav i s c o e l a s t i cs o i li n t e r f a c e i n d u c e d b y i n c i d e n ts w a v e u s i n gt h ek e l v i n v o i g t v i s c o e l a s t i cm o d e l f i r s t l y , t h e o r e t i c a lf o n n u l a t i o ni sd e v e l o p e df o rt h ec o m p u t a t i o no fa m p l i t u d e so fh o r i z o n t a l a n dv e r t i c a l i n t e r f a c em o t i o n n u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ei n f l u e n c eo f s a t u r a t i o na n dm e d i u mo nt h ei n t e r f a c ee f r e c t t h er e s u l t sw i l lh e l pu su n d e r s t a n dt h e p r o p a g a t i o no f s e i s m i cw a v e s b ym e a n so fl a p l a c ei n t e g r a lt r a n s f o r i l lm e t h o d ，t h et r a n s i e n td y n a m i cr e s p o n s e o ft h e l o n gc y l i n d r i c a lc a v i t y i ns a t u r a t e ds o i l si ss t u d i e d c o n s i d e r a t i o no ft h e v i s c o e l a s t i c t y o ft h es o i i s k e l e t o n a d o p t i n gt h e m o d i f i e ds a t u r a t e ds o i lm o d e li n e n g i n e e r i n g t h ea n a l y t i cs o l u t i o ni nt r a n s f o r m e dd o m a i ni sg o tb yt h em e t h o do f l a p l a c et r a n s f o r n r a t i o n ，a n dn u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt h r o u g hj n v e r s el a p l a c e t r a n s f o r m a t i o n t h em o r ed e t a i l e d i n v e s t i g a t i o n i sc a r r i e do u to nt h ei n f l u e n c eo f w a t e rs a t u r a t i o ni n d y n a m i cr e s p o n s e t h ed i s p l a c e m e n t ，s t r e s s e sa n dp o r ew a t e r p r e s s u r ea r ei n v e s t i g a t e dd u r i n gt h er e s p o n s e ，a n ds o m ef e a t u r e so ft h ep r o b l e ma r e r e v e a l e d t h es t u d yi sr e a s o n a b l ef o re n g i n e e r i n gp r a c t i c ea n dp r o v i d e sa ne f f e c t i v e m e t h o df o ra n a l y z i n gt h es i m i l a rp r o b l e ma b o u td y n a m i cr e s p o n s eo f u n d e r g r o u n d s t r u c t u r e k e yw o r d s b i o t st h e o r y p o t e n t i a lt h e o r y d y n a m i cr e s p o n s e l a p l a c ei n t e g r a lt r a n s f o r m s i i r e f l e c t i o na n dr e f r a c t i o n m a i n l ys a t u r a t e ds o i l s c y l i n d r i c a lc a v i t y 浙江大学硕士学位论文 1 1 问题的引出 第一章绪论 关于波在不同介质界面的反射和透射问题是土动力学、岩土工程、地震学及 地球物理学等科学领域中的重要课题，迄今为止已取得了不少研究成果。它不仅 对弹性动力学的发展有着重要的学术价值，而且对波动勘测及工程抗震分析和设 计有着实践指导意义。起初对这个课题的研究，学者们常以经典的弹性动力学作 为其理论依据，将天然土体简化为理想的各向同性弹性固体介质来进行分析；自 从b i o t ( 1 9 5 5 ；1 9 6 2 ) 1 1 2 1 3 1 【4 】【5 】建立起多孔介质动力模型后，采用两相耦合介质模型 研究这一课题成为一种可能，即视土体为固液两相介质，假设土骨架之涮的孔隙 充满了流体( 水) ，这种两相介质模型无疑比单相介质模型更为合理，更为切合 ：1 1 = 程实际。然而天然土体。一般是固、液、气三相所组成的复杂的集合体，绝对意 义上的干土或是饱和土是不存在的，土体骨架之间的孔隙中或多或少地含有气 体。故天然土体严格蜕来是一种非饱干n 土( u n s a t u r a t e ds o i l s ) 。在陆地上，非饱和 上的覆盖面积远大于饱和土，干旱及半干旱地区无庸多售，即使在潮湿地区，如 我国东南沿海软粘土地区，地下水位通常小于1 米，土大多处于饱和状态，但在 岩土工程施工中，如基坑开挖、隧道掘进经常需辅助降水和通风技术，无不使土 体处于非饱和状态。工程上更为常见的却是准饱和土( n e a r l ys a t u r a t e ds o i l s ) ，即 孔隙中含有少量气泡，且气泡为液体所包围。因而应用饱和土的波动理论，对非 饱和土及准饱和土的研究就成为一个感兴趣的课题。r i c h a r t ( 1 9 7 0 ) 的实验表明： 气体对非饱和土或准饱和土中波的传播有不可忽略的影响【6 1 0 这说明若将非饱和 = | 二简单地视为饱和土来进行研究又是不妥当的。 1 2 波在各种界面上反射和透射的国内外研究现状 浙江大学硕士学位论文 在弹性土介质中波的反射和透射方面：在弹性半空间中，由某一扰动所产生 的波场可由压缩波( p 波、纵波) 、剪切波( s 波、横波) 及瑞利波、勒夫波来 描述。其中压缩波和剪切波在介质内部传播，故称其为体波；后两者丰要在弹性 空间表面传播，故称其为面波。压缩波又称p 波、纵波、膨胀波和无旋波。压缩 波可在固体中传播，也可在液体中传播。其在介质中传播时。质点运动方向与波 传播方向一致，介质中既有压缩区也有拉伸区。剪切波又称s 波、横波、等容波 和旋转波，其传播时，不使介质产7 体积应变，质点运动方向与传播方向垂寓。 当质点运动方向落在垂直平面内时，则称这种剪切波为s v 波，当质点运动方向 落在水平面内，则称其为s h 波。在弹性半空间中，除体波外还存在表面波，其 中以r a y l e i g h 波和l o v e 波最为常见。r a y l e i g h 波的传播特点是质点运动处于波 传播方向所在的垂直平面内，相对于波的传播方向，质点运动轨迹为一逆转椭圆。 随着深度的增加，振幅迅速减小。l o v e 波般山成层土体中s h 波干涉所产生， 具有弥散性，l o v e 波的质点运动总在水平面内，对结构的破坏性极大。 一个典型的从均质各向同性弹性半空间表面上的圆形基础传来的位移波场 分御图( w o o d s ，1 9 6 8 ) 【7 i 如下： 图1 1 均质各向同性弹性半空间上的圆形基础的位移波场 m i l l e r ( 1 9 5 5 ) 研究了纵波、横波和瑞利波三种弹性波占全部输入能量的百分比： 纵波( p 波) 占6 9 ，横波( s 波) 占2 5 8 ，瑞利波( r 波) 占6 7 3 。可见 横波占体波能量的主要部分钔。 一般说来，当弹性体波在一种弹性介质中传播而遇到另弹性介质分界面 浙江走学硕士学位论文 叶陈江20 0 4 年2 月 利，将发生复杂的反射与透射，其能量将重新分配，一部分能量反刺回第一种介 质中，而另一能量则穿过界面透射到第二种介质中。z o e p p r i t z ( 1 9 1 9 ) 首次应用弹 性理论确定了反刺波和透射波的性质及波能在界面的分配1 6 】。不同类型的入射波 会产生小同的反刺与透射情况。当p 波入射至两种介质交界面时，一般不但产生 反射和透射p 波，还产生反射和透劓s v 波：当s v 波入射时，将同样产生反射 p 波及s v 波，透射p 波和s v 波；当s h 波入射时，情况就简单得多，只有反 射和透射s h 波，无其它波型转换。各模式波的反射角、透射角与入射角之间满 足s n e l l 定律。 在饱和土介质中波的反射和透射方面：从本世纪5 0 年代起，b i o t 在系统地 研究饱和多孔介质的变形机理及其中体波的传播问题的基础上，发表了一系列精 辟的论文。1 9 5 6 年b i o t 首先建立起饱和多孔介质中的波传播理论，b l o t 将连续 介质力学应用于流体饱和多孔两相介质，分别考虑流体和固体骨架的应力应变及 其运动，并考虑了两相之间复杂的惯性的粘性耦合作用。b i o t 波动理论的基本假 定有以下五点： ( 1 ) 土骨架是理想弹性多孔连续介质，土颗粒可压缩： ( 2 ) 孔隙水可压缩，在土中流动服从。义d a r c y 定律； ( 3 ) 土体具有统计各向同性且均匀，其中孔隙相互连通； ( 4 ) 孔隙尺寸远小于波长； ( 5 ) 不计温度等因素影响。 其研究表明：在宏观各向同性且均质的、i l 隙相互连通的多孔连续介质中，一般 存在两种压缩波，即第一压缩波，又称快纵波；第二压缩波，又称慢纵波和一种 剪切波。b i o t 建立的理论也就成为了以后有关饱和多孔介质波动理论各项研究的 基础。为考虑实际天然土体的非均质成层特性，d e r e s i e w i c z ( 1 9 6 0 - - 1 9 7 4 ) 【9 | - 【1 6 ， g r e e t s m a 和s m i t ( 1 9 6 1 ) 1 7 1 以及j o n e s ( 1 9 6 1 ) 0 8 1 分别研究了饱和土介质中波传 播的边界效应，其中d e r e s i e w i c z 和其同事们的研究工作尤为突出。d e r e s i w i c z 和r i c e ( 1 9 6 2 ，1 9 6 4 ) 川2 1 ，d e r e s i e w i c z 和w o l f ( 1 9 6 4 ) 1 1 3 1 以及d e r e s i e w i c z 和 l e v y ( 1 9 6 7 ) ”4 】研究了地震波由理想弹性固体介质垂直入射于饱和土介质时在交 界面时的反射与透射，取得了较为突出的成果。而后，h a j r a $ 【1 m u k h o p a d h y a y ( 1 9 8 2 ) 将他们的工作推广为更一般的斜入射情况，计算了入射角度对反射系数和透射系 浙江大学硕士学位论文 叶陈江20 0 4 年2 月 数的影响 1 9 1 。出于海洋地震勘探的需要，s t o l l 和k a n ( 1 9 8 1 ) 研究了声波在海水 与海底沉积物界面时反射和透射，其中海底沉积物采用了b i o t 两相介质模型睇。 w u x u e 和a d l e r ( 1 9 9 0 ) i - 算分析了波在饱和多孔介质与流体界面反射和透射时 反射系数和透射系数随入射角的变化关系，并做了实验对比1 2 ”。此外，浙江大 学岩土工程研究所陈龙珠、陈云敏、禁袁强、王立忠、杨峻、徐长节等对这方面 的研究也取得了卓有成效的成绩2 2 1 一【2 6 。 1 3 土体动力响应计算的国内外研究现状 土体动力响应一直是土木工程界关注的问题，如土一结构动力相互作用、基 础振动及隔振、桩基动力分析等都需要进行动力响应计算。由于均质弹性半空间 模型简单，因而在土木工程界有着广泛有应用。l a m b ( 1 9 0 4 ) 求解了简谐荷载作用 下均质弹性半空间表面的位移，即所谓的动力b o u s s i n e s q 课题，在求解过程中 l a m b 运用了较为复杂的复变围线积分技术，获得了问题的确定解2 7 1 。 p e k e r i s ( 1 9 5 5 ) 借助b e t m a n - - p e k e r i s 积分转换定理，研究了表面垂直点源作用下 均质弹性半空间的瞬态问题【2 8 。王贻荪( 1 9 8 0 ) ；和j 用p e k e r i s 解，由l a p l a c e 变换方 法获得了l a m b 问题的闭合解拉引，而后王可成和王贻荪( 1 9 8 1 ) 求解了弹性半空问 表面在突加荷载作用下的位移口。近年来，对层状地基的动力响应的研究取得 了较大进展，k a u s e l ( 1 9 8 2 ) 3 u ，l u c o 和a p s e l ( 1 9 8 3 1 3 2 】分别研究了成层弹性、粘 弹性半空间的动力问题，分别导出了动力问题频域奇异解。曾三平和曹志远( 1 9 9 2 ) 采用l a p l a c e 变换及传递矩阵法研究了层状弹性介质瞬态波动问题 驺j ；章梓茂等 ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 采用积分方程及传递阵方法分析了层状弹性介质中存在裂纹时的稳 态波动问题【3 4 】【3 。 有关饱和土体介质动力响应的研究较对一般弹性土介质动力响应相对要少 得多( p h i l i p p a c o p o u l o s ，1 9 8 8 a ；s e n j u n t i c h a i 和r a j a p a k s e ，1 9 9 4 ) 刚3 ”。p a u l ( 1 9 7 6 a 内) 利用h a n k e l 变换及c a g n i a r d 方法，采用d e r e s i e w i c z 建议的h e l m h o l t z 分解，首 次研究了饱和半空间的l a m b 问题，其中未考虑饱和土中流体的粘滞性。 p h i l i p p a c o p o u l o s ( 1 9 8 8 ) a 样采用h e l m h o l t z 分解，利用h a n k e l 变换求解了饱和弹 性半空间的l a m b 问题，其中考虑了流体的粘性【矧。王立忠( 1 9 9 5 ) 采用简化的饱 浙江大学硕士学位论文叶陈江20 0 4 年2 月 和土模型，得用积分变换及数值积分技术计算了饱和弹性半空间的表面位移耻“。 c h e n ( 1 9 9 4 a ，b ) 对饱和全空间的g r e e n 函数用l a p l a c e 变换作了全而的分析p 。 p h i i i p p a c o p o u i o s ( 1 9 8 8 b ) 曾对饱和弹性半空间上覆一弹性土层的稳态动力响应进 行作过分析，其中构造了六个势函数分别对弹性土层和饱和半空问的波动方程解 耦，而后采用积分变换法求解【4 0 】。杨峻、吴世明( 1 9 9 6 ) 则采用积分变换法较 好地解决了层状饱和士体表面受荷时的动力响应问题，可以应用于任意多层饱和 七体动力响应的计算 2 。 由于非饱和土三相体系力学性质上研究上的困难，阻碍了对非饱和土及准饱 和土中波动研究的进展。许多研究工作并不理想，有的引入变量太多致使问题过 于复杂( t h i g p e n ，1 9 8 5 ) ，有的则包含的参数物理概念不够清晰( b o e r ，1 9 8 6 ) 【4 2 】， 因而难以应用于工程实际。本文引入均匀流体概念( c h a n g ，1 9 8 3 ) 4 3 1 4 6 ，用b i o t 饱和多孔介质模型模拟粘弹性准饱和土层( y a n g j ，2 0 0 1 ) 4 4 1 1 4 5 1 ，从而更符合实际 地分析不同饱和度下的土体在不同介质上的界面反应和动力响应问题。 1 4 本文的主要工作 根据以上分析和讨论，作者在前人研究工作的基础上，用解析的方法较系统 而深入地研究了饱和度对粘弹性土中波的界面反应及动力响应特性影响问题，主 要内容包括： 1 、以占体波能量主要部分的s 波来研究在不同介质界面上的反射和透射， 考虑饱和土中土颗粒及孔隙流体的可压缩性，并考虑固液两相粘性耦合效应，深 入研究了界面透水条件、波的入射角度和频率对波反射和透射的影响。 2 、考虑固体骨架粘弹性k e l v i n 材料，采用势函数理论研究了饱和度的变化 对于s 波入射下准饱和土层与粘弹性土层交界面处水平、竖向运动分量的影响， 分析反射和透射系数随波动参数变化的规律，包括反射与透射系数随入射角度， 排水条件等的变化规律，数值计算界面上水平与竖向位移分量的表达式。 3 、利用l a p l a c e 变换求解了粘弹性饱和土中圆柱形空腔的动力响应问题， 得到了变换域内的解析解。借助数值l a p l a c e 反变换对此问题作了细致的数值分 析，研究了粘弹性饱和土中圆柱形空腔动力响应的位移、应力及孔压的变化规律。 浙江大学硕士学位论文叶陈江20 0 4 年2 月 4 、把c h a n g 的均匀流体概念引入b i o t 两相多孔介质动力理论，即用饱和多 孔介质模型模拟粘弹性准饱和土层，孔隙流体体积模量就可以确定，从而使用两 千h 孔隙介质理论来研究准饱和上，分析不同饱和度下粘弹性准饱和土中圆柱形空 腔动力h 向应的各变量的变化规律。揭示了粘弹性土体中圆柱形空腔的瞬态动力响 应的一些特性，为进一步分析岩土工程中类似动力响应提供了有效途径。 浙江走学硕士学位论文叶陈江20 0 4 年2 月 第二章s 波在饱和土和弹性土界面的反射和透射 2 1 引言 实际工程场地中，由丁二地下水的存在，地下水位以下可视为饱和土，地下水 位以上可作弹性土假设。与单相均一固体不同，在饱和土中可以存在3 种体波： 与均一固体中纵波、横波相类似的快纵波和横波，还有慢纵波，简记为p ，波、s 波和p 2 波( b i o t ，1 9 5 6 ) 嘲。各种波的波速、衰减均与多孔介质的参数有关。地 震波主要以s 波为主，地震时地震波从基岩向地面传播，在其传播过程中，一般 将遇到从饱和土层( 地下水位以下) 向弹性土层( 地下水位h i ) 传播的情形， 故而研究s 波由饱和土层传向弹性土层时在交界面上的反射及透射对于地震的 研究有重要的现实意义。d e r e s i e w i c z 等( 1 9 6 4 ，1 9 6 7 ) 1 3 】首先研究了弹性波 由弹性固体介质入射于饱和介质时的反射和透射，但仅限于垂直入射情况。s t 0 1 1 研究了声波由海水入射于海底沉积岩平面时的反射( 1 9 8 1 ) 20 1 。王耀俊等数值 分析方法研究了高频声波由多孔固体入射于流体时的反射和透射( 1 9 8 9 ) 47 1 。赵成 刚等采用b l o t 理论，研究了饱和土中快速p 波入射于弹性界面时的反射与透射 ( 1 9 9 9 ) 4 8 1 。 本章则采用了b i o t 理论，以占体波能量主要部分的s 波来研究在不同介质界 面上的反射和透射，从地震工程实际出发，考虑饱和土实际波动中粘性耦合项， 研究了s 波以任意角度从饱和土中入射于饱和土层与弹性土层各种交界面时的 反射和透射，并数值分析了s 波入射时，入射角度、入射频率及界面透水条件对 反射系数及透射系数的影响。 2 2 波场的势函数表示 考虑饱和土中土颗粒及孔隙流体的可压缩性，并考虑固液两相粘性耦合，假 浙江大学硕士学位论文叶陈江20 0 4 年2 月 馑莉1 任包酉于硎刀渗透糸数甲，饱利土明_ i 反列7 j 枉为： d i v ( g r “幽) + ( 五十a t ) g r a d e - - a m g r 口嘭2 素( p “+ p ，w ) ( 2 1a ) 盘m g r a d e m g r a d ( = 嘉c p ，“+ 鲁w ，+ 竿詈 c z t n ， 式中j “m 胁乜九为弹性常数，其中l = 2 + a 2 m ，p 、胛分别表示弹性体及液体的 密度，m - n ( w - 叻表示流体相对于固体的位移，固体体变p = d i v “流体相对于固体的体 变d = d i v w o 由波场的势函数分解： 一= g r a d o 。+ c u r l 1 w = 础，r 帆 ( 2 。2 ) 并设波动方程平面波解为： f 纯= 爿、e x p i ( c o t l 。r ) l 协= a te x p i ( c o t 一；， ( 2 。3 ) f 。= b 。e x p i ( c o t 一，r ) 1 = b ，e x p i ( c o t 一，。，) ( 2 4 ) 纯、移、拓、咖分别表示固体骨架及流体中纵波和横波的势函数。，分别是 纵波与横波的波矢量，代入，则可得到饱和土中p 波和s 波的弥散方程： 一 鲁) 4 + b 鲁) 2 + c = 。 c z s ， 。一。 ( 2 s ) 式中：肛( a 。+ 2 t q m , b = ( 2 a p 厂p ) m 一限+ 2 fp f 掣1 ， l k a c o c 2 p 睁，剖叫，一肛降z 筹 由式( 2 5 ) 可求得饱和土中p l 波和p 2 波的波矢量值f ，如及两标量势函数幅值比： 帆=iall,2：(a历+2e2)l,万22-pc02a p ( 2 7 ) 扎2，出2 一酬旧i 7 l 。7 ， 浙江大学硕士学位论丈 同理山式( 2 6 ) 可求得s 波的波矢量值及两矢量势函数幅值比： 盱生：掣 (28)b 。 。p s 2 、7 设饱和土巾一频率为的平面s 波以任意角度入射至弹r e 土层，则在饱和士 中将形成反射p 】、p 2 波以及反射s 波，而在弹性土层中形成透射p 波以及透射 s 波。 透射s 波 透p 波 弹性+ 层 。 饱和七层 l 反射p l 波 入射s 泼 反目 j p 2 波反射s 波 图2 1 饱和士中s 波入射至弹性土层 山图2i 可给出界面两侧各波的势函数： z o 部分( 弹性土层) 透射p 波：妒= 一e x p i ( o j t ，x f 。- z ) f 2 1 1 1 ( 2 1 2 ) 浙江大学硕士学位论文 叶陈江20 0 4 年2 月 透射s 波：| 】f ，。= b 。e x p i ( o g f 。x f 。z ) 】 ( 2 1 3 ) 其中：如、b e 5 r n ) , a a 射s 波固体骨架部分和流体部分势函数的幅值，4 小4 、 b 。，分别为反射p l 波、p 2 波、s 波土骨架部分势函数幅值，勘、缸、琢分别为反 射p 1 波、p 2 波、s 波流体部分势函数幅值，a ”鼠，分别为弹性土c p 透射p 波和 s 波势函数的幅值，k 、k 为饱和土中s 波的x 、z 方向波矢量，加b 分别表示 饱平n - t ：中p l 波、p 2 波、s 波x 方向波矢分量，l b 分别表示饱和土中p l 波、 p 2 波z 方向波矢分量，k 、k 分别表示透射p 波、透射s 波x 方向波矢分量，k 、 ，。：分别表示透射p 波、透射s 波z 方向波矢分量，波矢量满足以下关系： ，矗+ ，：= ，1 2 ，三+ ，；：= ，；，：+ ，：= ，? ，l ，2 + f 孟= ，2 ，+ ，：= ，? ( 21 4 ) 式( 2 9 ) ( 2 11 ) 中： 等砘，等氇，警氇 其中：m ，m 2 、3 由式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 决定。 2 3 不同界面透水条件下反射系数和透射系数的理论算式 对于平面波问题，饱和土骨架位移和流体相对位移与势函数关系可写成 饱和土应力应变关系： 。一：监+ 盟 。一：监一盟 3 宴烹r ， ( 2 1 6 ) 却。a 一 w = 十 出蕊 w 一一& p r 一盟 由式( 21 6 ) 、式( 2 1 7 ) ，可得到饱和土应力势关系 q 堕西盟缸 洲 坠瑟 哪 割渤啦任 b k 浙江大学硕士学位论文叶陈江20 0 4 年2 月 譬萄2 1 警a2 妒剖0 2 1 1 1i 一2 “b kz 篆+ f 警一等 一 其中：vz ：竺+ 竺 d x o z 。 由饱和土孔隙流体压力和位移的关系： 乃= 一m ( 誓o x + 警卜洲f 等+ 娑o z l 班 由式( 21 6 ) 、( 2 1 9 ) 可得饱和土中孔压势关系： p ，= 一m ( v 2 妒p + d v 2 口_ ) 以上各式中：= ，+ 妒。，妒；= 沙+ 妒p 。 弹性土层中位移与势之问关系： 万一：盟+ 监 a za o 玎：盟一盟 氖瑟 弹性士应力应变关系 万f 亟+ 堕 i 缸如 万f 堡+ 里 l 击a x 由式( 22 1 ) 、( 2 2 2 ) 可得应力势关系 + 2 万丝 o z f 2 1 9 1 f 22 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 式( 21 6 ) ( 2 2 3 ) 中：f 。分别为饱和土体法向和切向总应力，地、地分别为饱 和土固体骨架的法向和切向位移，m 、帆分别为饱和土中流体相对位移的法向和 切向分量，瓦、气分别为弹性土体法向和切向总应力，瓦、瓦分别为弹性土体 ，n 纠纠 盟彰警 币可 + 生，”篆 为 印 塑三三垄兰堡主兰堡堡查 ：! 坚旦坚二巳生! l 法向和切向位移，2 - 、万为弹性七体的l a m e 常数。 假设弹性土层与饱和土层交界甄完全联结，9 1 f l 界面条件可表示为： 法向应力连续：孑：b 0 + = 0 - ：b 0 一 切向应力连续：l l 。o + 2 r ，= b 0 。 法向位移连续：砭5 ：o + = u zi z = o 一 切向位移连续：瓦1 ：；0 + = u 。i x = o 一 另外需补充界面透水条件，若边界排水，孔压为零： p f f z = 0 2 0 若边界不排水，则流体的法向相刑位移为零： w z b o = 0 由s n e l l 定理，界面两侧各模式波的x 方向波矢相等，即： l “= li x 2 1 2 f l 。x = l h 则界面条件( 2 2 4 ) j 叮表示为： 瓯。+ 2 + 搠、p ? 一2 乏b 。、+ 盼。+ 2 a + 砌：) f ；一2 t 1 2 2 。- ，。+ 2 。，= ( 鼠。一只，) 一；+ 2 刀孟n 一2 刀。，：b ，= o - 2 a l ，u ：! i 二2 “7 z 二彳v ：一( f c 2 7 “2 ) b + j e r ) 一2 刀u 7 一彳 ( 2 2 7 ) + 万雠一珐归沪0 ”7 l i ：a 1 、+ l l ：a 。! - l 。q 。+ bx 1 + l ，：a 。十l b | = 0 一f 1 。( 彳。l + 彳。2 ) + f ，= ( 口。一e ，) + ，。a 。lr z b 。，= 0 界面排水条件式( 2 2 5 a ) 表示为： 仁2 + 俄k 爿。，+ b2 + 脚：赡爿，：= 0 ( 2 2 8 a ) 界面不排水条件式f 2 2 5 b ) 表示为： m 0 ：a ； + m 2 1 2 z a 。2 m3 l 。偈。+ b ，) = 0 ( 2 2 8 b 令入射s 波土骨架部分势函数幅值b 。= 1 ，则式( 2 2 7 ) * u 式( 2 2 8 a ) 可进一步整理成： i p i d q = r d( 2 ，2 9 ) 式( 2 ，2 7 ) 与式( 2 、2 8 b ) i f f 进一步整理成： f p lu q 产f r 。【2 3 0 ) 砷 驯 狮 婀 b 口 q 一塑兰垄兰翌圭兰堡垒查! 堕兰! ! ! ! ! 璺 a ( 2 2 9 ) 与式( 23 0 ) 分别是界面排水和界面不排水情况下各模式波反射、折射系数 的一般算式，其中： r j 。3 一2 o 匕，一( 瑶一毫) ，_ 。，1 ：，o 。 r “2 一2 7 。t ( 嘻一，：) ，一，。，旷m 3 1 。 。 p d 矩阵各元素为： 鼻i 3 ( 五+ 2 + 口晰，2 j f i 一2 2 ，# 2 = 以。+ 2 j u + e z m m ：) f ；一2 p 1 2 ， 鼻s 2 2 。，。舅。= 一印；+ 2 刀三j 弓，= 一2 万l , f f 。， 恐r5 2 。屯，。= 一2 ，丸厶；，最，= 一( 芝一肇l a2 2 刃。，r ；= 万【f ：，三l 冀，2 7 一弓z 2 7 ：；，弓，= 一，。= ，。，毋，= 乞， 只，2 只：= 一九，只，= 一乞，只。= 气，只：= 一，。 只，= 忸2 + m ，坪，e 。= k 2 + 历：磨，岛：只。：只，：0 ， p u 矩阵前四行元素与 p d 前啊行元素相同，第五行元素为： p 5 i 2 m i l l z p5 2 2 m 2 1 7 p 5 3 = m ds x ? ps 4 = p 1 3 = 0 ， 当介质中无水时，即为s 波从一弹性介质入射至另弹性介质的情况，考虑 方程( 2 ，5 ) 、( 2 6 ) ，此时p ，= 0 ，式( 2 ，5 ) 、( 2 6 ) 可分别化为： 硝2 + 2 ，f p m ，c 7 2 户( 去詈) ，= 叫( 去一詈 设( 1 1 ) o ，心( 1 2 ) 0 ，r 。( 1 。) o ，则方程( 23 1 ) 、( 2 3 2 ) 的解为 = = 胨 盼压 ( 2 3 1 ) f 2 3 2 1 f 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) l i 、，他 卸 e q c 、，l，、，l n一倍扎 4 d 其 堑兰奎兰塑主兰堡垒圭 ：! 堕兰! ! 坠l l 式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 4 ) 代入式( 2 7 ) 、( 2 8 ) 可得： m ，= “? = j = o ( 2 3 5 ) 考虑到此时口= l 一= o ，五= ，将瑚，吲3 以及0 l 代入到式( 2 ，2 7 ) ( 2 2 8 ) 可知式( 2 2 8 ) a 然满足，式( 2 2 7 ) 化为( 23 6 ) ： j ( ( 五十2 ) 彳一2 ，j ) 1 ( 4 l + 爿。) + 2 。，。= ( 口。e ，) ( 劢；+ 2 斛孟) 。2 忍，t ：色，= ：0 2 o ，i ：( 4 一a , 2 ) 一( f 。2 一琅) ( e ，+ b ，) ( 2 3 6 ) 2 面k ，a ，+ 万( f ：) 曰。= o ，l ：( 4 n 十爿。2 ) f 埘( b 。+ b w ) 十，体a + ，b ，= 0 一! t 。t a “+ a 。+ z 。：t 8 。一b 。) + | 。x a z 。：b 。= 0 a 。1 + a s 2 买际上刘p 圾反射顿努幽数帽值，令a l s r 。a s l + a s 2 ，假设s 、圾以仅角八舸， p 波反射角为d ，折射s 波折射角为0 【，折射p 波折射角为p ，则有： = 一l i = l , s i n ，a ：= l ps i n f l 口= ，t , s ：i n ，a = l p l ，8 i n ( 23 7 ) ! s ：= sc o s t 。= l pc o s p 1 口= l ! c o s o ! | 、一 热= 胨盼捂捌删一愀s 删甄 式( 2 3 6 ) 经进一步化简可得到与弹性动力学( 杨桂通，1 9 8 8 ) 【4 9 1 文中仅有 s 游入射情珊一袖。可卯两种弹十牛介j 舌夺界面的反射髓诱射县本文的一个特恸i 。 2 4 界面透水条件、入射角和频率对波反射和透射的影响 在本节里，数值分析了s 波由饱和土入射于弹性土层时在界面上反射与透射 的一些基本特点。两种土的计算参数见表21 。 表2 1 土层参数表( 国际单位制) 饱和土层参数弹性土层参数 k , 1 0 qk f 1 0 8k h 1 0 1u 1 0 1 n p 。p 2 - 1 0 9 乃, 1 0 j p 362 6 143 626 10 ，4 12 6 5 01 0 0 02 5 l1 5 21 9 0 0 4 浙江大学硕士学位论文 图2 2 和图23 分别为交界面排水条件及不排水条件下各个波反射及透射系 数随s 波入射角变化关系曲线( 入射频率取1 0 0 h z ) 。由图可见，入射角度的变 化对各模式波反射及透射系数影响较大。无论交界面排水如否，当s 波垂直入射 至交界而时( 入射角为0 。) ，无反射p 波( 包括p 】和p 2 波) 及透射p 波存在， 只存在反射及透射s 波。而当s 波掠入射时( 入射角为9 0 。) ，只存在反射s 波。 另外，界面排水条件对波反射及透射系数也有影响，对于不排水界面，p 2 波的反 射很小，呵以忽略不计：相对排水条件，界面不排水时p l 波反刺系数幅值较大， 透射p 波幅值较大，而透射s 波幅值较小。