（理论物理专业论文）混沌同步及其应用研究.pdf

堕塑堕查堂婴主婴塑竺兰垡堡苎蔓查塑童一 混沌同步及其应用研究 ( 内容摘要) 研究生：张平伟导师：唐国宁教授 广西师范大学物理与信息工程学院理论物理专业统计物理方向二零零二级 由于一存在潜在的应用，混沌系统的同步和参数辨识十多年来一直成为人们荧注的问题； 提出了许多混沌同步和参数辨识方法，但对取向耦合系统的广义同步仍缺乏研究。本文提出 了新的参数辨识方法_ 手【j 提出利用符号动力学中的条件熵研究双向耦合系统的广义同步，取得 了较好的效果。全文内容由下列四部分组成： ( 1 ) 综述了混沌理论的发展历史，归纳和总结了混沌系统的基本特征，着重介绍了混沌 系统l y a p u n o v 指数的计算方法。 ( 2 )介绍了几种混沌同步定义和十余年来国内外几种具有代表性的混沌同步方法，介绍混 沌同步在参数辨识中的应用，指出了混沌同步研究中仍需要解决的问题。 ( 3 ) 在超混沌系统参数辨识方面普遍存在着所需要信息量过多或者在有限的信息下参数 辨识精确度差、控制器有点复杂等缺点，本文从理论上证明，只要系统满足一定条件，采用 如下控制器： 辞= 一“e 五鳓= 一气厶抄) -蟊= 一a 氏e + 磊( y ) 式中s 是耦合强度，e 是差函数，q 是系统参数，可以精确辨识出的系统的参数并用丁四维 l c 振子系统和四维r 墨t s l e r 超混沌系统的参数辨识，数值模拟结果表明；在仅知道两个时间 序列的条件f ，可以精确辨识四维超混沌系统的所有参数，且具有较强的抗干扰性。 ( 4 ) 采用符号动力学中条件熵研究了r 攫s s l e r l o r e n z 与r 盛s l e r - r d k s s l e r 混沌系统双向耦 合的广义同步，首先给出了两个系统达到广义同步的条件熵判据：即采用粗粒化的方法，将 时间序列转化为相应的符号序列，导出条件熵判据，并证明随着时间参数的改变，当两系统达 到广义同步时，条件熵存在突出的最小值。然后分别计算r 凰s l e r - l o r e n z 与r j s s l e r - r 捆s s l e r 混沌系统双向耦台的条件熵。数值模拟结果表明：随着耦合强度的增大两系统出现j “义同步 时，条件熵随着时间参数变化出现突出的最小值，转变点与系统的第二大l y a p u n o v 指数从正 变为零准确对应。 关键词：混沌，l y a p u n o v 指数，混沌同步，“义同步，超混沌，参数辨识，自适应同步法， 条件熵 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s 盯a c t t h er e s e a c ho fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s ( c o n t e n t sa b s t r a c t ) p o s t g r a d u a t es t u d e n t ：z h a n g p m g w e i m e n t o r ：p r o f e s s o rt a n g g u o n i n g c o l l e g eo f p h y s i c sa n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , g u a n g x in o r m a lu n i v e r s i t y s p e c i a l t y ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s d i r e c t i o n ：s t a t i s t i cp h y s i c s g r a d e ：2 0 0 2 mt h ep a s td e c a d e t h et o p i c so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e re s t i m a t i o nh a v e a t t r a c t e dg r e a ta t t e n t i o ni nt h ef i e l do fn o n l i n e a rs c i e n c ed u et oi t sp o t e n t i a lo fp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s s o m et e c h n i q u e sf o rc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e re s t i m a t i o nh a v eb e e n d e v e l o p e d h o w e v e r ，t h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni nb i d i r e c t i o n a l l yc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m s l a c k si n v e s t i g a t i o n i no u rp r e v i o u sw o r k ， w e p r o p o s e an e ws t r a t e g yo fa d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o nt oe v a l u a t ea l lp a r a m e t e r so fh y p e r - c h a o ss y s t e m s ，a n da d o p tc o n d i t i o n a le n t r o p y o fs y m b o l i cd y n a m i c st os t u a yg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni nb i d i r e e t i o n a l l yc o u p l e ds y s t e m s o u rp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s t h ef i r s t c h a p t e rm a i n l yr e v i e w s t h ed e v e l o p e dh i s t o r yo fc h a o st h e o r ya n di t sb a s i c c h a r a c t e r i s t i c ，t h em e t h o d so f c a l c u l a t i n gl y a p a n o ve x p o n e n th a v eb e e nb r i e f l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , s o m ed e f i n i t i o n so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dt y p i c a ls y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d sa tl a s td e c a d eh a v eb e e nr e v i e w e d t h ea p p l i c a t i o n so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni n p a r a m e t e re s t i m a t i o nf i o mt i m es e r i e sh a v eb e e ni n t r o d u c e d w ep o i n to u tt h ee x i s t i n gp r o b l e m s u n d e ri n v e s t i g a t i o n so f c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c eo b rw o r k t h e r ea r es o m ep r o b l e mi np a r a m e t e re s t i m a t i o n f o re x a m p l e ，t h ea d a p t i v ec o n t r o l l e rs e e m st ob eal i r i ec o m p l e xo rt h es y n c h r o n i z a t i o nr e s p o n s e r a t ei sn o ts oq u i c k l y , a n ds oo n f o ral a r g ec l a s so fc h a o t i cs y s t e m sw eg i v ea na n a l y t i c a la n d s y s t e m a t i cp r o c e d u r et oe s t i m a t ed y n a m i c a l l ya l lm o d e lp a r a m e t e r sf o r mt i m es e r i e s w ea d o p tt h e f o l l o w i n gu p d a t el a w ： 肆= 一一，拐= 一气厶( y ) ，嘞= 一五毛磊( 力 t oe s t i m a t ea l lp a r a m e t e r so f 4 d l co s c i l l a t o r sa n dh y p e r - r o s s l e ro s c i l l a t o r s 。t h en u m e r i c a lr e s u l t s s h o wt h a ta l lm o d e lp a r a m e t e r sc a nb ee s t i m a t e df r o mt w ot i m es e r i e sa n dt h em e t h o dh a ss t r o n g r o b u s t 。 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t i nt h ef o u r t h c h a p t e rw ea d o p t c o n d i t i o n a l e n t r o p y o f s y m b o l i cd y n a m i c s t o s t u d y b i d i r e c t i o n a l l yc o u p l e dr 捆s s l e r - l o r e n za n dr 捆s s l e r - r 摇s s l e r 。 f i r s t g i v e ac r i t e r i o no f g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ，i e w e o b t a i nt h ec o n d i t i o n a l e n t r o p yb yu s i n gs o m ec o a r s e r e p r e s e n t a t i o n w es h o wt h a tt h ec o n d i t i o n a le n t r o p yh a sas h a r pm i n i m u mw i t ht h es h i f to ft i m e p a r a m e t e rw h e nt h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni si m p l e m e n t e d a s a p p l i c a t i o n w ec a l c u l a t e t h ec o n d i t i o n a le n t r o p yo f r o s s l e r - r o s s l e ra n dr o s s l e r - l o r e n zs y s t e m s t h en u m e r i cr e s u l t ss h o wt h a t c o n d i t i o n a le n t r o p yh a sas h a r pm i n i m u mw h e nt h e r ei sag e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h e t w os y s t e m s ，t h et r a n s i t i o np o i n ta p p e a r sc o r r e s p o n dw i t ht h es e c o n dl y a p u n o ve x p o n e n tt r a n s i t s f r o m p o s i t i v et 。z e r o 。 k e yw o r d s ：c h a o s ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n h y p e r c h a o s ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，a d a p t i v es y n c l l r o m z a t i o nm e t h o d ，c o n d i t i o n a le n t r o p y 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t 引言 二十世纪f 半叶以来，非线性科学得到了蓬勃的发展。一方面由于自然现象和社会现象 是很复杂的，它的动力学规律一般不能用线性动力学方程描述，而必须用非线性动力学方程 描述；另一方面由于计算机的小型化为科学家研究非线性系统提供了条件。非线性方程除极 少数外，般都不存在解析解，人们发现一个由确定性的非线性演化方程描述的系统，在远离 平衡的情况下，当系统参数变化时，可能经过分岔而进入时空有序且对称性更低的耗散结构 状态或更为无序的混沌状态。但混沌义不象噪声那样是一种完全无序的状态，而是混乱中有 规律，但又不具备明显对称特性的一种“序”。混沌的发现是本世纪继相对论和量子力学之厉 物理学中最伟大的发现之一，它开刨了科学模犁化的一个新范例，为我们认识物质世界和人 类社会的运动发展规律提供了新的思想和方法。因此，混沌现象的理论与实验研究成为半个 世纪以来非线性科学研究中的主要方向。随着研究的深入，人们揭示出混沌的特征和规律性 也越来越多，至今我们知道的基本属性包括非周期性、不稳定性、长期不可预测性、内随机 性、普适性、标度性、非整数维数、奇怪吸引子、无穷嵌套的自相似几何结构等。 目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进 展是上个世纪9 0 年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与 同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控 制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的 前沿课题和学术热点。混沌控制的研究引起广泛的重视不是偶然的，从非线性动力学自身发 展逻辑来看，确定性混沌的研究大体经历了三个阶段。首先是从有序到混沌，研究混沌产生 的条件、机制和途径；再是湿沌中的有序，研究混沌中的普适性、统计特征及吸引子的分形 结构等；现在则是从混沌到有序，主动地控制混沌达到有序。控制混沌是混沌理论走向成功 虑用的第一步，控制混沌不仅能在混沌运动有害时可以消除混沌，而且在混沌有益时通过控 制来产生混沌，即反混沌控制。到目前为止，国内外的科学工作者基于不同的策略提出了大 量的混沌控制方法【1 “4 ”。如连续变量反馈控制方法【3 5 - 3 8 ( 包括延迟变量反馈控制方法) ，偶然 正比反馈法”1 ( o p f ) ，正比系统变量的脉冲控制方法4 “( 简称p p s v ) ，自适应控制方法 4 1 - 4 6 】， 线性反馈法【4 ”，参数拄振微扰法m - 4 9 1 ，神经网络法咖。5 ”，非线性反馈控制法【5 ”，外部噪声控 箭法邸1 等。混沌同步和混沌控制具有统一性”j ，很多控制混沌的方法都可以应用到混沌同步 中，如相互耦合的同步法，小微扰的连续反馈法，外部噪声同步法，自适应控制同步法。 广西师范大学硕士研究生学位论文 人们几乎是在开始研究混沌控制与同步的同时，就开始了其应用研究。目前，混沌控制 与同步的研究成果在保密通信、非线性电路、人体生命科学、激光、等离子体、强流离子束 等众多的学科领域已经取得初步的成果并展现出了十分诱人的应用前景。 虽然目前在混沌同步及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在 超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、 需要时间序列少等要求，有必要进行改进：混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、 局部同步、相同步、滞后同步以及单向耦合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对 丁双向耦合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力 学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对取 向耦合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。 本文在汲取前人研究成果的基础上，针对以上所提出的存在问题，着重做了以下两个方 面的_ _ _ r ：作：( 1 ) 针对一般性的四维超混沌系统，若仅知道两个时间序列，利用自适应同步法 中的参数演化方程，在满足l i p s c h i t z 条件的前提下，通过适当选取参数演化方程。通过构造 l y a p u n o v 函数证明了所选的参数演化方程可以保证两个系统达到精确同步，从丽可以辨识出 系统的参数，数值模拟结果表明该方法能够较为快速精确地辨识出所有参数，而且在噪声影 响下也能较为准确地辨识出超混沌系统的所有参数。( 2 ) 使用符号动力学中的条件熵对双向 耦合的义同步进行了研究，首先将两个系统各自的时间序列粗粒化，通过p o i n c a r e 截面 将其化为两个长符号序y 0 ，然后将每一个系统的跃符号序列分割成短符号序列，通过数字处 理后用一组数字代替短符号序列，使得两个系统的关系能够清晰的反映在这两组数字上，我 们证明由这两组数字得到的条件熵在两系统达到广义同步时随着时间参数的变化存在突出的 最小值，数值研究结果表明：当随着耦合强度的增强，双向耦合混沌系统达到j “义同步时， 条件熵出现一个突出的最小值时，且转变点与耦合系统的第二大l y a p u n o v 指数由正变为零 对应。 全文内容分成五大部分，第一部分介绍混沌和l y a p u n o v 指数：第二部分着重介绍了几 种混沌同步的定义、同步方法和利用同步的研究成果：第三部分详细介绍了作者在超混沌参 数辨识中的一些工作；第四部分介绍了作者在混沌系统双向耦合情况下的一些工作；最后对 全工作进行了小结并提出今后应解决的问题。 广西师范大学硕十研究生学位论文 a b s 打a c t 第一章：混沌与李亚普洛夫指数 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃的发展，其中对混沌的研究占了极人的份额。半 个世纪以来，人们对混沌的理论与实验研及应用研究取得了许多成果。使得人们对混沌运动 的规律及其在自然科学各个领域的表现有了十分丰富的认识。下面筒要介绍混沌的特征及混 沌的刻画。 第一节混沌 1 1 混沌发展倚史 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基 础上发展起来的新兴交叉科学。目前已经发现在气候、数学、物理、化学、生物、经济学、 社会学、体育等学科中都存在混沌现象“j 。因此。对混沌的研究有着及其重要的意义。 最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家p 。抽c 口胛。，他研究三体问题时指出在一定 范围内其解是随机的5 “，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多人的 注意。直到1 9 5 4 年，前苏联概率论大师k o l m o g o r o r 提出了一个环面不变定理( 即k a m 定 理) 【5 “，这一定理后来被a r n o l d 和m o s e 证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。 1 9 6 3 年，著名大气学家l o r e n z 研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对对流方 程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的l o r e n z 方程5 7 ) ： f 砖= 盯( 工2 一x 1 ) 避= p x l 一x2 j i z3( 1 1 1 ) l 如= z l x2 一声工3 l o r e n z 方程右端不显含时间，有三个参数盯( 常数p r a n d t l ) ，p ( 瑞利常数) 和口( 反映 速度阻尼常数) ，而代表对流的翻动速率，x 2 代表上流和下流的温度差，而代表垂直方向温度梯 度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取盯= 1 0 ，p = 2 8 ，= 8 3 ，系 统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1 1 所示。这便是在耗散系统中，一个确 定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t 图11l o r e n z 系统混沌吸引子相图 1 9 6 4 年法国天文学家h e n o n 从研究球状星团以及l o r e n z 方程中得到启发，给出了 h e n o n 映射【5 8 】： 卜1 。1 + b y 一嗍：( 1 1 2 ) 【y h + 12x n 该方程本是一个自由度为2 的不可积的哈密顿系统，然而当参数b = 0 3 ，改变参数a 时就会 发现其运动轨道在相空间中的分布似乎越来越随机。h e n o n 得到了最简单的吸引子，如图 1 2 ，此时取a = 1 4 ，并用他建立的“熟引力崩塌”理论解释了几个世纪以来一直遗留的太 阳系的稳定性问题。 圈i2h e n o n 映射相圈 1 9 7 1 年法国物理学家r u e l l 和荷兰数学家t a k e n s 为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一 概念p ，提出了一个新的湍流发生机制。 1 9 7 5 年美籍华人李天岩和美国数学家y 0 成发表了“周期3 意味着混沌”的著名文章6 ， 深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。文章标题中的“混沌”一词便在现代意义f 正式出 现在科学词汇里。 1 9 7 6 年，美国生态学家罗伯特梅( 且m a y ) 在自然杂志上发表的论文中”，首次 揭示了描述动物种群繁衍的逻辑斯蒂克( l o g i s t i c ) 模型中通过倍周期分岔达到混沌的道路。 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t 逻辑斯蒂克( l o g i s t i c ) 模型义称为“虫口模型”，是一个非线性迭代方程，数学模型如下 z 。+ ，= 缸。( 1 一x 。) ( 1 1 3 ) 其中x 。表示第n + 1 代虫子的数量，旯表示控制系数，由外界环境和虫子本身之间的竞争因 素决定。控制系数丑的不同将导致虫子不同的命运，对此数值模拟得如下分彷图 图1 3l o g i s t i c 映射分岔图 该图表明：当旯= 3 时单线开始一分为二，表明山现2 - 周期点，随着a 的增大，相继出 现4 - 周期点，8 - 周期点，当丑= 3 5 6 9 9 4 时，系统进入混沌状态。继r m a y 之后，1 9 7 8 年， 美国青年物理学家费根鲍姆m j f e i g e n b a u m 对m a y 的虫口方程进行了详细研究6 2 6 ”，发现混 沌具有一些“普适性”。例如通过倍周期分岔到达混沌的单峰映象，主序列中由2 ”。周期到2 ” 周期的分岔点 。，迅速收敛到n = o o 的参数值 。，收敛方式为 九= k 一埘吾 4 ) j = 三拥以= 三拥粤= 4 6 6 9 2 0 1 6 6 9 a ( 1 i 5 ) l m + 1 一 h + 2 是不依赖于单峰映象函数具体形状的普适常数，这就是著名的f e i g e n b a u m 第一常数。 f e i g e n 6 口m 还发现，往倍周期分支的分支图中，以上= 三2 作平行于a 轴的赢线与分支曲线 相交弘表示第”个交点至凇分支曲线的罡巨离则去存在极限值 a ：1 i m ：2 5 0 2 9 0 7 8 7 5 a ( 1 1 6 ) “ 称为f e i g e n b a u m 第二常数。这些固有普适常数反映了非线性系统沿周期分岔系列通向混 沌的过程所具有的某种酱适特性，正是普适性的研究成果确立了泥沌理论的科晕f l l 付。 广西师范大学硕- t ：o f 究生学位论文 2 0 世纪8 0 年代以米，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于 ( 单) 多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。1 9 9 0 年是混沌发展史上最为重要的一年，在这一年里混沌控制与同步同时取得了突破性进展，由 此激发起理论与实验应用研究混沌的蓬勃开展，使混沌的可能应用出现了契机。在这一年， 先是美国海军实验室的学者p e c o r a 和c a r r o l l 在电子线路上首先实现了混沌同步f “，然后马 里兰人学的物理学家o t t ，g r e b o g i ，y o r k e 首先从理论上提出控制混沌的方法，即o g y 方法 【6 ”，同年该校的d i t t o ，r o u s e o ，s p a n o 三人从实验上验证了o g y 方法的有效性1 6 6 1 。随后， 国际上混沌控制方法及其实验的研究迅速发展起来。混沌同步也获得进一步拓，“，大大推进 了应用研究。 1 2混沌的特征 多年来通过对混沌的研究，人们发现混沌具有如下特征：( 1 ) 内禀随机性，混沌系统的 动力学方程是确定的非线性方程，由于非线性机制作用。使得系统在其自身演化的动力学过 程中产生内禀随机性，掘沌系统轨道是非周期性的。( 2 ) 动力学演化敏感地依赖于初始条件。 折叠和拉伸特性是形成敏感依赖初始条件的内在机制，拉伸是指系统的内部局部不稳定所引 起的点之间距离的扩大；折叠是指系统的整体稳定因素作用下形成的对点与点之间距离的限 制，经过多次拉伸与折叠。轨道被搅乱，从而形成混沌。因此混沌具有局部不稳定而整体稳 定的特性所以说混沌区域是有界的，但是任意小的初始值的差别导致其以后状态则完全不 同。( 3 ) 丰富的层次和自相似结构。与随机运动不同，混沌所在的局部区域和空间中具有丰 富的 对涵。在混沌区域内，将标尺缩小或放大，出现相似的几何结构。混沌吸引子结构是分 形的，如逻辑斯蒂克( l o g i s t i c ) 映象图，混沌区内有窗口，窗7 1 里还有混沌( 4 ) 遍历 性。虽然混沌运动是在有限的区域内，但是运动轨迹却永不重复，运动性态极为复杂。( 5 ) 普适性。所谓普适性是指趋向混沌时所表现出来的共同特征，它不依赖具体的系统以及系统 的运动方程而变，如前面f e i g e n b a u m 第一常数和f e i g e n b a u m 第二常数。 1 3 通向混沌的道路 目前发现通向混沌的道路有以f ) l 种；一、倍周期分岔道路：随着系统参数的变化，系统中 相继出现2 4 8 倍周期，最终进入混沌状态。二、阵发混沌道路：随着控制参数接近临 界转变点，在规整运动过程中时不时间隙猝发出随机运动，且随机运动片断变得越来越频繁。 三、环面破裂：具有两个或两个以上不可约( 即比值非有理数) 频率成份的拟周期运动在某 种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。 四、危机道路：与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是：危机道路是由 全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流形时引起，而阵发道路是由局部分岔导致的。 广西师范大学硕士研究生学位论文a b s t t a c t 第二节混沌吸引子的刻画 一般说来，吸引子的刻画可在“宏观”与“微观”两个层次上进行，这里“宏观”是指使 用对整个吸引子或无穷长的轨道平均后得到的特征量，例如李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 指数、 维数和熵，而“微观”层次是指构成混沌吸引子的骨架的不稳定周期的数目、种类和它们的 本征值。自8 0 年代中期以来，这两方面的t 作都形成了一套理论框架和方法，也都发展了从 实验数据中提取有关信息的技术，并且两者都在高维情形下才显示出威力。目前人们大部分 利用l y a p u n o v 指数来判断一个系统是处于混沌状态或者超混沌状态，若系统只有一个正的 l y a p u n o v 指数，系统处于混沌状态；若系统有两个或两个以上的l y a p u n o v 指数为正，系统处 于超混沌状态；否则系统处于非混沌状态。基于l y a p u n o v 指数的重要性，很多文献都给出了 求解l y a p u n o v 指数的方法，下面介绍l y a p u n o v 指数的计算。 2 1 一维系统的l y a p u n o v 指数” 对于一维映射： x = f ( x 。)( 12 1 ) 由于一维映射下只有一个拉伸或折叠的方向，因此可以考虑初值和它的近邻值x 。+ 蠡。 由( 1 2 1 ) 作一次迭代后，这两点之间的距离为： 氐：i 厂( 。+ 瓯) 一厂( ) i ：墨盟蠡。 ( 1 22 ) n 次迭代后这两点之间的距离变为： 。：i ，n ( z 。+ 西) 一厂n ( 石。) i ：d f ( x 。) 8 x 。：p “n 出。 ( 1 2 3 ) 此时说明这两点要以指数分离，这就是敏感的初始条件，( 1 2 3 ) 式中l e 称为l y a p u n o v 指 数。由( 1 2 3 ) 可得： 丝：三l n 叁：k 贮掣1 ( 1 2 4 ) n 哦黜 所以l e 代表邻点之间距离的平均辐射率，利用复合函数的微分规则有： 掣：掣掣掣掣 ：， d x d cc l x d xd x 。 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s 廿a c t 式中：x ，= f ( x o ) ，x 2 = f ( x ) = f 2 ( j 。) 则( 1 2 4 ) 变为： 肚丢l 付i = o i = 去铷几) l z 励 或扯恸丢茎0 ，机t l，l 。 ( 1 ，2 ，7 ) 一维系统只有一个l y a p u n o v 指数，因此上e o 是区分混沌和其他吸引子的主要特征。 2 2 高维动力学系统的l y a p u n o v 指数” 对如下的7 维动力学系统 盛f ) = f ( i t ，x o ) ) ( 1 2 8 ) 式中为参数集，x ( t ) r ”是状态向量。式( 1 2 ，8 ) 在己知解局r 附近的线性化方程 为 _ d f x ：i ，“) 积 ( 1 2 9 ) t t 式中 j ( x1 ：旦i 为雅可比矩阵。选轨道上的一点坝。为原点，在此处随机地取n 8 x x = x 、 个独立的正交小矢量p j ，e ；，a ，e ：( n 为相间的维数) 。将坦f ) 按原方程( 1 2 8 ) 积分一步得 坦件r ) ，同时将各个矢量的端点按线性化方程( 1 2 9 ) 积分一步( 以保证p 为无穷小量) ， 再与坦件r ) 连成n 个矢量”，p r ，a ，g ? 7 ，这样得到的新矢量e ：”，e 2 , 人，e n 一般不是 正交的。如果偏离正交较远，可对”，g ；+ 7 ，a ，p ：”正交化后，以坝升r ) 为原点，重复上述 过程。以e ? 表示p ；”。，计算下列量 雄弘熙万舌n ，n 斟们 z ， 上式表示n 个矢量的长度之比 ( e i ，| e j ，= 溉寺差，n ( 共c ；个) ( 1 2 1 1 ) 上式表示c ；个平行四边形的面积之比( 由n 个小矢量支起的) 2 ( e ( 1 个)( 1 2 1 2 ) 酉， 竺w 丝 黼 。心 土盯 岫* l n = a 吃 广两师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t 上式表示n 维平行多面体的体积之比。式中 表示矢积。 遍历性定理告诉我” ，只要e 。，p ：，a ，e 。是随机选取( 不是沿切空间的本征方向) ，对于 几乎所有的x q ) ，式( 1 2 1 0 1 2 ，1 2 ) 的极限总是存在的，并且至多存在”个不相同的 l y a p u n o v 指数五，如，a ，五，且a ，卫2 ，a ，丑。与上述式( 1 l2 1 0 1 2 1 2 ) 定义的2 。一1 个量 存在如下关系： j t ( e i ) = m a x q l ， 2 ，a ，以) 8 户m 觚( “z ，”扎a ，k “”) ( 12 1 3 ) m 五( g ，e 2 , a ，岛) = 五l + 五+ a + 丸 因此，如果将旯，按数值大小排序 旯2 3 a 。 ( i 2 1 4 ) 它们的值就可以从式( 1 2 1 0 1 2 1 2 ) 求得： k ( e l ，= 五1 r e 。，e j = l + a 2( 1 2 1 5 ) a r p l ，e 2 ，a ，e j = + + a + a 式中最后一个最就是相空间体积的收缩率。稳定体系的相轨线趋于某个平衡点，如果山现越 来越远离平衡点的现象，则体系是不稳定的，正的a 值恰好描述了这样的稳定性。一维系统 只有一个l y a p u n o v 指数，五 0 时，相邻轨道指数分离，但轨道在整体性稳定因素( 有界、耗散) 作用下反复折叠， 形成混沌吸引子，因此 0 对应混沌运动。对于高维系统，在l y a p u n o v 指数小于零的方向， 相体积收缩，运动稳定且对初值不敏感；在 0 的方向相邻轨道迅速分离，长时间行为对 初始条件敏感，运动呈混沌状态；五= 0 对虑稳定边界，初始误差不放大也不缩小。冈此 l y a p u n o v 指数谱的类型能提供动力学系统的定性情况。混沌和超混沌系统会出现奇怪吸引 子，具有正值和零值的a ( 吸引子膨胀的方向) 对奇怪吸引子有支撑作用，而负的a ( 吸 引子收缩的方向) 在抵消了膨胀方向的作用后，产生( 贡献) 了吸引子维数的分数部分，导 致奇怪吸引子的维数为分数，相空间轨线表现出一定的自相似性。 广西师范大学硕士研究生学位论文 第二章：混沌同步的研究及其应用 混沌现象发现源于人类对自然界探索，人w j 几乎是在研究混沌的同时就注重它的应用的。 1 9 8 8 年，胡柏勒( a h u b l e r ) 发表控制混沌的第一篇文章【6 ”，随后在1 9 9 0 年奥特( eo t t ) 、 格锐柏基( cg r e b o g i ) 和约克( j ay o k e ) 提出混沌控制思想【6 ”，同年，美国海军实验室的佩考 拉( p e c o r a ) 和卡罗尔( c a r r o l l ) 首次提出一种称为驱动一响应的混沌同步方案并在电子线 路上首次观察到混沌同步的现象畔】，之后立即在全球范围内兴起了混沌控制与同步的研究狂 潮3 6 9 。7 ”。随着混沌同步和控制的方法的实验研究的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也 从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等领域。下面简单介绍一 些关于混沌同步的定义及其同步方法，之后简单介绍目前利用洮沌同步在参数辨识方面的研 究，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。 第一节混沌同步 混沌同步。从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌 轨道上去( 不是驱动到人们要求的周期轨道上去) 。迄今人1 j 已经发现许多种同步方式，例如： 全局同步”1 、广义同步 7 6 - 7 7 、相同步1 7 8 - 7 9 、滞后同步【7 8 1 等。提出了许多种混沌同步方法，如： 驱动一响廊同步方法1 “，主动一被动的同步方法变量4 ”，变量反馈微扰同步方法”j ，相互耦 台的同步方法 4 5 , 8 2 1 等，下面对这些同步的概念和同步的方法作简要的介绍。 1 , 1 同步的定义 1 1 i 全局精确同步的定义 考虑两个系统，一个驱动系统为： 其= f ( t 。x ) ( 2 1 1 ) 其中= x 】( f ) ，x 2 0 ) ，a ，x n ( f ) ) ( 2 1 2 ) f = ( f l ( t ，z ) ，a ， ( f ，彳) ) 7 ( 2 1 3 ) 当以卸作为驱动变量时( 也可以用其它变量作为驱动变量) ，得到响应系统为 广西师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t 艘= f ( t ，x ) ( 2 1 4 ) 式中带撇表示响应系统的变量： x = 饥( ) ，4 ( 0 ，a ，x ：( f ) ) 7 ( 2 1 5 ) f = z ( f ，x ) ，a ，六( f ，x ) 7 ( 2 1 6 ) 式中t 为时间，x ，x r “。x ( t ，t o ，x o ) 和x ( f ，t o ，x ；) 分别为( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) 的解， 并满足l i p s c h i t z 条件，当存在一个带的子集d ( f 0 ) ，使得初值蜀，z 。o d ( t o ) 时，若存在 t _ o o 时 善= - i l x ( t ；t o ，凰) 一( f ，t o ，x ) l l o ( 21 7 ) 则称响应系统( 2 1 4 ) 与驱动系统( 2 1 1 ) 达到精确同步。 若d ( t 。) 支撑整个空间，即d ( t o ) = r “，则称该精确同步定义为全局精确同步，若d ( t 。) 是r “的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，d ( t 。) 称为同步区域。 要达到全局精确同步，驱动系统和响廊系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两 个完全相同的混沌系统，对于确定系统，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系 统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会出现其它形式的同步。 1 1 2 广义同步的定义 近年来，l k o c a r e v 等人又提出了混沌j 义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n 简称o s ) 的概 念和方法【”1 。考虑两个动力学系统 妊f ( x ) 妊g ( v ，h ( x ) ) ( 2 1 8 ) 这里x r “，y r “，如果x y 之间存在着一个变换关系h ：r 8o lr m ，一个函数流形 m = ( ( x ，y ) i v = h ( x ) ) ，及一个子集b = b b ycr “r “， 且满足m c b ，当且仅 当所有初始条件( x 。，y 。) c b 的响应系统轨道都随时间趋于无穷而趋于m 。即当t o 。时 响应系统的轨道满足y = h ( x ) ，则称为广义同步。当n = m 且f ( x ) = g ( y ) 时则广义同步 广西师范大学硕士研究生学位论文 又回到一般意义下的同步，即：y - - h ( x ) = x 。目前对丁：广义同步的测定主要是构造辅助 系统方法，这种方法主要是构造响应系统完全相同的系统，并且用同样的信号去驱动它，若 响应系统与辅助系统的输出量随时间的演化能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同 步。即构造： 磐= g h ( x ) )( 2 ，1 9 ) 若有z ( t ) = y ( t ) ，则表明达到广义同步。这种方法在虽然在理论上非常简单，但是在工程上 却需要花费很大的财力。 广义同步的测定还可以采用l y p u n o v 指数方法 7 6 - 7 7 1 和符号动力学方法州1 。对于单向耦合 的两个混沌系统，当响应系统的第二大l y p u n o v 指数由0 变负时两个系统达到广义同步，或 者条件熵出现突出最小值时表明达到广义同步。 1 1 。3 相同步的定义 1 9 9 6 、1 9 9 7 年，r o s e n b l u m 等人提出了耦合自振荡耀沌系统问的“相同步” 7 8 - 7 q i ，他们 发现当耦台强度增大到一定程度时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定，而此时两振子 的振幅却没有关联，但是系统的两个零l y a p u n o v 指数中的一个变为负。相同步在数值研究上 被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。下面以r d & s l e r 振子系统为例，来介纠相 的定义及其判定相同步方法r s l e r 系统的动力学方程为： 媾i 2 = 一t o i 2 y 1 ，2 一z 1 ，2 + c ( x 2 1 一z 1 ，2 ) ， 冀2 = q 。2 x 啦+ c 纱1 2 ，墨! 2 = f + z 1 ，2 ( x 啦一c ) ( 2 。1 1 0 ) 其相角定义为； 臼i ，2 = a r c t a n ( y n ( t ) x 1 2 0 ) ) ( 2 1 1 1 ) 平均旋转数定义为： 吣嬲；净廖 眨：， 当两个振子满足如下关系时：n j =