（统计学专业论文）ψ～混合序列的收敛性质.pdf

塑坠塑堡咝l j i i i i i fi i ipi ii i ii iiiif 。1 。_ _ 。- - - _ _ _ - - _ _ - l _ _ - _ - - _ _ - _ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ - - _ ，_ _ - ，- - j - _ - - _ - _ _ - 一 y 1717 4 81 c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so f 痧一m i x i n gs e q u e n c e s m a j o r ： s t a t i s t i c s d i r e c t i o no f s t u d y ：p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r y g r a d u a t es t u d e n t ：d e n g g u a n g m i n g s u p e r v i s o r ：p r o f w uq u n - y i n g c o l l e g eo f s c i e n c e g u i l i nu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y s e p t e m b e r , 2 0 0 9t oa p r i l ，2 0 10 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者( 签字) ：宣2 丝! 硷 签字日期：玉幺么：么矿 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：衣7 觊均 签字日期：友汐伤名月 o r 导师签字： 签字同期： 佟卡术理1 i 人学坝f j 学位论义 摘要 继经典的独立随机变量的概率极限理论获得完善发展后，近代极限理论的研究主 要在于削弱对独立性的限制，使其更贴近实际、便于验证与应用，因此，对各种混合 序列( 相依随机变量序列) 的极限理论研究引起了众多中外学者的极大兴趣有关各 种混合序列的收敛性质，如：依分布收敛，依概率收敛，几乎处处收敛，完全收敛和 三。收敛性等等，前人都进行了深入的研究，得到很多的重要结果，有的结果己达到 或接近独立的情形但作为一类极为广泛的相依混合序列，西混合序列的概念始于 2 0 0 4 年才被提出，有关的研究结果也十分有限本硕士论文主要在吴群英等人研究 成果的基础上，进一步依次讨论痧混合序列的弱收敛性、强收敛性和完全收敛性，得 到一些新的有用结论，全文共分四章： 第1 章绪论介绍文章写作背景、痧混合序列的概念、引理及部分引理的证明 第2 章驴混合序列的弱收敛性通过利用痧混合序列的矩不等式推导出驴混合 阵列行和的一个弱大数定理，并由此得出不同分布痧混合序列的一个弱大数定理，同 时对不同分布驴混合序列加权和的弱收敛性的条件进行了分析和论证 第3 章驴混合序列的强收敛性通过对驴混合序列的强收敛性的讨论，把同分 布驴混合序列的强收敛性的结果推广到不同分布的情况，获得了与独立情形几乎一致 的结果，推广了著名的m a r c i n k i e w i c z 强大数律和k o l m o g o r o v 强大数律，并进一步 推得莎混合序列加权和的强稳定性 第4 章驴混合序列的完全收敛性讨论了不同分布痧混合序列的完全收敛性和 同分布驴混合序列加权和的完全收敛性，得出不同分布情况下驴混合序列的b a u m 和 k a t z 型完全收敛定理，推广了吴群英等关于同分布函混合序列的b a u m 和k a t z 完全 收敛性定理，并给出了同分布痧混合序列加权和的完全收敛性的一个新判据 关键词：驴混合阵列；痧混合序列；弱收敛性：强收敛性；完全收敛性；矩条件 a b s t r a c t s i n c et h ep e r f e c td e v e l o p m e n to fc l a s s i c a lp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yo ft h ei n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e ，t h er e s e a r c hp u r p o s ea b o u tr e c e n tl i m i tt h e o r yi s m a i n l yt ow e a k e nt h er e s t r i c t i o n st o i n d e p e n d e n c e ，s oa st om a k ei tm o r er e a l i s t i c ，a n dm o r ec o n v e n i e n tt ob ev e r i f i e da n da p p l i e d t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho nt h el i m i tt h e o r yo fa l lk i n d so fm i x e ds e q u e n c e s ( s e q u e n c eo fd e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s ) h a sa r o u s e dt h eg r e a ti n t e r e s to f m a n yc h i n e s ea n df o r e i g ns c h o l a r s r e f e r r i n gt ot h e c o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h o s em i x e ds e q u e n c e ，s u c ha sc o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o n ，c o n v e r g e n c ei n p r o b a b i l i t y ，a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n dt h e 三口a s t r i n g e n c y , m a n yp e o p l eh a v e m a d es o m ep r o f o u n dr e s e a r c h e s ，a n dt h e yh a v em a d es o m ev i t a l c o n c l u s i o n s s o m eo fw h i c hh a s r e a c h e do rc l o s e l yr e l a t e dt ot h ec o n c l u s i o no fi n d e p e n d e n c e h o w e v e r , a sak i n do fe x 仃e m e l vb r o a d m u t u a l d e p e n d e n tm i x i n gs e q u e n c e s ，t h ec o n c e p to ft h e 驴m i x i n gs e q u e n c e sw a sn o tp r o p o s e du n t i l 2 0 0 4 ，a n dt h er e l a t i v er e s e a r c hr e s u l th a sa l s ob e e nt o ol i m i t e d t h i sm a s t e rt h e s i si sb a s e do nt t l e r e s e a r c hr e s u l t so fw uq u n - y i n ga n dh e rt e a m t h et h e s i sw i l l g e ts o m en e wv e r d i c t sb yf u r t h e r d i s c u s s i n ga b o u tt h ew e a kc o n v e r g e n c e ，s t r o n gc o n v e r g e n c ea n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c eo ft h e 函 m i x i n gs e q u e n c e sa n dd e r i v es o m en e wa n du s e f u lc o n c l u s i o n s f u l l t e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ： c h a p t e rio fi n t r o d u c t i o n i n t r o d u c e st h ea r t i c l e sw r i t i n gb a c k g r o u n d ，m a i nc o n c e p t s ，l e m m a sa n d p a r t so fi t sp r o o f c h a p t e r 2w e a kc o n v e r g e n c ef o r9 3m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s t h r o u g ht h eu s eo f 西m i x i n g m o m e n ti n e q u a l i t yo ft h e痧 m i x i n gs e q u e n c e s ，aw e a kt h e o r e mi sd e i d u c e d ，a n dt h u sa 、e a kt h e o r a n o fd i f f e r e n td i s t r i b u t i o no fm i x i n gs e q u e n c e sc a nb ef i g u r e do u t w h i l e 驴m i x i n gs e q u e n c e so f d i f f e r e n tw e i g h td i s t r i b u t i o na n dt h ec o n d i t i o n sf o rw e a kc o n v e r g e n c e a n a l y z e da n dd e m o n s t r a t e d c h a p t e r 3s t r o n gc o n v e r g e n c ef o r 驴m i x i n gr a n d o m s e q u e n c e s d i s c u s s i n gt h a t 痧m i x i n g 8 e q u e n c e so fs t r o n gc o n v e r g e n c em a k e st h er e s u l t so ft h ed i s t r i b u t i o no fm i x i n gs e q u e n c e so fs t r o n g c o n v e r g e n c eb ep r o m o t e dt od i f f e r e n td i s t r i b u t i o ns i t u a t i o n s ，a n dg e ta l m o s tc o n s i s t e n tr e s u l t sw i t ht h a t o ft h es i t u a t i o ni n i n d e p e n d e n c e ，w h i c hp o p u l a r i z e st h ef a m o u sm a r c i n k i e w i c zs t r o n gl a wa n d k o l m o g o r o vs t r o n gl a w , a n df u r t h e rp u s h e s 驴m i x i n gs e q u e n c e so fw e i g h t e ：la n d s t r o n gs t a b i l i t y c h a p t e r 4c o m p l e t ec o n v e r g e n c eo f 痧m i x i n gs e q u e n c e d i s c u s s i n gt h a tt h e c o m p l e t e c o n v e r g e n c ef o r9 3m i x i n gs e q u e n c e sa n dt h ew e i g h t e ds u m so f 痧m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s s e q u e n c e s ，w eg e tt h er e s u l t so fd i f f e r e n td i s t r i b u t i o ns i t u a t i o n so fm i x i n gs e q u e n c e sb a u ma n d k a t z ， w h i c hp r o m o t e dt h ew uq u n y i n ga n do t h e r so nt h es a m ed i s t r i b u t i o no fb a u ma n dk a t zm i x i n 2 s e q u e n c e sc o m p l e t ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，a n dg i v e st h ed i s t r i b u t i o no f 西m i x i n gs e q u e n c e sw i t ht h e c o m p l e t ec o n v e r g e n c eo fw e i g h t e da n dan e wc r i t e r i o n k e yw o r d s ：- m i x i n gr a n d o mm a t r i xs e q u e n c e s ；q 3 一m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s ；w e a k c o n v e r g e n c e ； s t r o n gc o n v e r g e n c e ；c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ；m o m e n tc o n d i t i o n 杵林理t 人学硕l j 学位论文 目录 摘要j 。i a b s t r a c t ：第1 章绪论。1 1 1 论文写作背景1 1 2 主要概念3 1 3 引理及证明4 第2 章驴混合序列的弱收敛性 2 1 引言1o 2 2 不同分布矛混合序列的弱收敛性1 l 2 3 不同分布函混合序列加权和的的弱收敛性1 4 第3 章函混合序列的强收敛性1 6 3 1 引言1 6 3 2 同分布函混合序列的强收敛性1 7 3 3 不同分布彩混合序列的强收敛性2 2 3 4 不同分布痧混合序列加权和的强稳定性一2 6 第4 章函混合序列的完全收敛性。 4 1 引言31 4 2 不同分布痧混合序列完全收敛性3 2 4 3 同分布痧混合序列加权和的完全收敛性_ 3 9 l 论4 3 致 谢z i z i 参考文献4 5 附 录4 7 牛林理f ：人学顺i j 学位论文 1 1 论文写作背景 第1 章绪论 关于经典的独立随机变量的极限理论是概率论发展史上的重要成果，在2 0 世纪三四十 年代已获得完善的发展，其基本的成果被总结在g n e d e n k o 和k o l m o g o r o v 1 1 的专著相互 独立随机变量和的极限分布( 1 9 5 4 ) 中但是，在许多的实际问题中，一方面，由于大多数 事情的发生并非是互不相干，而是彼此之间具有某种联系的，也就说样本不是独立的，或者 独立样本的函数是不独立的；另一方面来自理论研究及其它分支中出现相依性的要求，如 在马氏链，随机场理论以及时序分析中等等，因此，研究非独立的随机变量序列有着十分 深刻的理论和实际意义 早在2 0 世纪二、三十年代，当时就有b e r n s t e i n ( 1 9 2 7 ) 、h o p f ( 1 9 3 7 ) 和r o b b i n s ( 1 9 4 3 ) 等学者相继对相依随机变量有关问题进行研究，在2 0 世纪五十年代，随机变量的相依性概 念就已经在概率论和数理统计的某些分支中被j 下式提了出来，并引起许多概率统计学家的 兴趣和研究此后，新的相依变量类型及其研究成果如雨后春笋，层出不穷由 d o b r u s h i n ( 1 9 5 6 ) 、r o s e n b l a t t ( 1 9 5 6 ) 3 1 、b l u m ，h a n s o n 与k o o p m a n s ( 1 9 6 3 ) 4 1 、l e h m a n n ， e l ( 1 9 6 6 ) 【5 1 ，j o a g d e vk 和p r o s c h a nf ( 1 9 8 3 ) 6 1 ，b o z o r g n i a ，p a t t e r s o n 和 t a y l o r ( 1 9 9 3 ) f7 1 ，k o l m o g o r o v 与r o z a n o v ( 1 9 6 0 ) 8 1 ，b r a d l e y ( 1 9 9 0 ) 9 1 等国外学者先后提出 了缈混合序列、口混合序列、妙混合序列、n o d ( n e g a t i v eq u a d r a n td e p e n d e n t ) 序列、n a ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 序列、n d ( n e g a t i v e l yd e p e n d e n t ) 序列、p 混合序列、p 混合 序列等概念，对各种混合序列收敛性质的讨论也成了研究极限理论的学者们普遍关注的热 点 关于混合序列( 相依随机变量序列) 的收敛性质有很多，如：依分布收敛，几乎处处 收敛，依概率收敛，。收敛和完全收敛性等等，对其进行深入的研究，我国概率统计方面 的专家和学者也取得了许多重要成果如孔繁超，张明俊j ，刘京军】，陆传荣1 1 2 a 3 ，邵 启满 1 4 - 1 6 ，苏淳1 1 7 1 引，杨善朝 1 9 - 2 2 ，吴群英 2 3 - 2 8 1 等针对各种混合序列的收敛性问题发表 了相关的论述大多数的研究主要集中于将各种混合序列收敛性质与独立随机变量序列情 形作类比，得到接近或达到与经典的独立随机变量情形一致的结果在1 9 9 7 年以前的许多 结果主要被总结在陆传荣、林正炎1 2 9 的专著混合相依变量的极限理论( 1 9 9 7 ) 中后来 l 第1 帝绪论 林正炎，陆传荣，苏中根f 3 0 1 的专著概率极限理论基础( 1 9 9 9 ) 和吴群英1 2 3 1 的专著混合 序列的极限理论( 2 0 0 6 ) 均有相关的综述和总结。 随着人们对各种混合序列研究的深入和发展，2 0 0 4 年，吴群英等引入了一类新的相依 变量序p u - 万混合序列，它是一类极为广泛的相依混合序列有关的研究成果还十分有限， 主要有：吴群英，林亮【3 l 】等研究了痧混合序列的收敛性质，获得了同分布痧混合序列的b a u m 和k a t z 完全收敛定理；唐国强，伍艳春，冯凤香【3 3 】，崔吴英等讨论了万混合序列加权和 的完全收敛性和强收敛性；伍艳春讨论了混合序列的广义j a m i s o n 型加权和的强收敛 性，得到了与独立情形一样的j a m i s o n 定理，并推广了j a m i s o n 定理，但这些结果和独立情形 下的结果比较后可以发现，仍有许多可以改进的地方本硕士学位论文主要在吴群英等人研 究的基础上，进一步讨论了混合序列的收敛性质，论文重点从弱收敛性、强收敛性和完 全收敛性三个不同层面对混合序列的收敛性质进行深入的探讨，得到了痧混合序列分别 在同分布和不同分布情形下收敛性的一些重要的结论一般地，在相同条件下，由完全收敛 可以推得强收敛，由强收敛可以推得弱收敛，但要得到完全收敛性的结论，所需的条件也 会相应地较强，在实际应用中有的条件难以满足，因此，对随机变量序列不同收敛性质逐 一进行讨论就显得很有必要整篇硕士论文主体结构如下： 第l 章介绍文章写作背景、主要概念、全文要用到的引理及部分引理的证明 第2 章主要讨论驴混合序列的弱收敛性，通过利用混合序列的矩不等式推导出驴混 合阵列行和的一个弱大数定理，并由此得出不同分布西混合序列的一个弱大数定理同时对 痧混合序列加权和的弱收敛性也进行了一定的论证，得到相应的结论 第3 章讨论驴混合序列的强收敛性，把同分布驴混合序列的强收敛性的结果推广到不 同分布的情况，获得了与独立情形几乎一致的结果，推广了著名的m a r c i n k i e w i c z 强大数律 和k o l m o g o r o v 强大数律，并进一步推得西混合序列加权和的强稳定性 第4 章讨论驴混合序列的完全收敛性，得出不同分布情况下多混合序列的b a u m 和k a t z 型完全收敛定理，并对同分布痧混合序列加权和的完全收敛性也进行了讨论，给出了同分 布痧混合序列加权和的完全收敛性的一个新判据 2 仟朴埋t ：人学坝f ：学位论文 1 2主要概念 设 z ，；船1 是概率空间( q ，p ) 上的随机变量序列，只会( y ( x i ；i scn ) ， 片会盯( 置；，z f 0 ，b 尺) ， v n 0 。令 矽( ，z ) = s u p c p ( f 1 k , 。) ， 驴( 玎) = s u p 伊( 6 ，耳) ，有限子集s ，t cn ，且d i s t ( s ，r ) n ， 其中，d i s t ( s ，r ) 表示集合s ，丁的距离显然 0 驴( 刀+ 1 ) 痧( 刀) l ，且痧( 0 ) = 1 定义1 2 1 对于随机变量序列 x 。, r l 1 ) ，如果c p ( n ) 一o ，z o o ，则称随机变量序列 以；刀1 是伊混合序列 定义1 2 2 对于随机变量序列 x 。；玎1 ) ，若存在b o l ，使痧( 玎。) i ，则称 x 。；咒1 为 痧混合序列 痧混合与通常的缈混合有一定的类似，但并不完全相同，它们互不包含事实上，在通 常的妒混合系数妒( ，z ) 中，9 ( 珂) = s u p 妒( 互，磁。) ，随机变量的下标是在n 上取值，可以是无 穷集；而在痧混合系数中，驴( ，z ) = s u p 妒( e ，弓) ，墨r 分别是【1 ，后】和【七+ 刀，】中间隔为刀的 有限子集另外，驴混合只要求存在某n o 1 ，使痧( ) o ，v t o 有 e l 以l 声阮m c ( e l x r 防陋) + f p ( j x | f ) ) ， ( 1 3 1 ) e i x i ，铀，) x ) _ q p ( i x l z , i j 陋) x ) + p ( i x i f ) 】，o x f ) = ( 1 以l z ) 同样可得： 弘h 工两x ) u i x l t = 牡l z ) 所以由条件： p ( i x 。i x ) c p ( i x l x ) ， 得到： 尸( 以i 阮| s f ) - - x ) - ，时，有 所以有 - c t p ( i x l z , g ) - - x ) + p ( 1 x l o ，o x f ) 】 - - c t ) ) 故( 1 3 1 ) 式成立 下证( 1 3 2 ) 式由于 e l 以跏，= e 尸( h 户饥 ，x ) d x = fe t ) - d 石+ r p ( 吲 x ) x p - 1 d z 】 c 所：p t ) x p - zd x + fp ( i x l x ) x p - d x 】 = c e i x 芦f ) 引理1 3 1 证毕 引理1 3 2 设随机变量彳0a s ，p 阶矩存在，则 e x p = r 尸( x p x ) d x = f p 1 尸( x x ) d x 引理1 3 2 的证明：因x 0a s ，所以 e x = r x df ( 工) = er 川，( 工) 2 j 。d tj 。d f ( x ) p a ：， 第1 章绪论 = - 一一一 = r ( 1 一f ( t ) ) d t = j ；p ( x _ t ) d t 于是，令t “p = x ，由换元积分得 e x ，= r p ( 彳p z ) d f = fp x 川尸( x 工) 批 引理1 3 2 证毕 引理1 3 3 1 设 以；，z 1 ) 是非负的随机变量序列，对任意，z - 1 ，v a r x ， a n ，甩1 ) 是非降趋于无穷的正常数序列，满足 ( 1 ) s u p 口i 1z e x i 1 ，有v a r ( 主墨) 窆主岛； k = l i = 1 ，= i 其中i vj = m a x ( ，) ； 引理1 3 4 设 以；，l l 是痧混合序列，满足瓯= o ，e l 置 ，g o 则存在仅依赖于 q 和驴的常数c ，使得对于v ，z l ，v a 0 ，有 i 最( 口) 1 9 其中跏) = ，薹。五特别的，当删时，记驴y 薹 x i ，有 e m a x l s j l l s j s n 9 特别地，当q = 2 时，得到 ( 1 3 5 ) c ze l x , 1 9 , 0 e e 2 1 - 州 q m 科 g + ： o 叮， 以- 硝 厨 e。m一 m，忆、 c c ，_li_l_l-i-(i-_lil_l 羔堡型堂堡! ：兰! ! 堕塞 em。axs，2c群jn l s ， 引理1 3 4 的证明盼3 8 1 ：当o 1 时，先证m z 型不等式 e i 最( 口) 卜( 霹) 非 i = a + l ( 1 3 7 ) 设。是独立同分布的随机变量且与 墨 独立，尸( 乞= 1 ) ：1 2 所以为证( 1 3 7 ) 式成 立，只需要证明存在c = c ( q ，痧) 0 0 ，使得 啦1 9 - c e f i i = 兰k + l q 五卜 3 8 ， e i 鼠( 尼) 1 9q 五i ( 1 3 8 ) l 为证( 1 3 8 ) 式，考虑具有乘积测度彳( q + 彳) = p ( 彳) 2 ”，qc 扣+ 1 ，口+ 2 ，口+ 力) ，乘积概 率空间2 抽+ 2 肿”q 上的随机变量s ，& 定义：s ( q ，国) = ( 缈) = 五( 缈) ， i q & ( q ，c o ) = 咯( 彩) = 置( 缈) ， f o 其中q = 和+ 1 ，口+ 2 ，口+ 以) q 显然，对于每一个q 和每一个缈q ，有+ ：a + n 五， 特别地 煌z 小陀卜c 砚m c 哪， 其中彳，置分别是名可测和乞可测的，且 e i x 1 9 + e l x l p = 1 1 p + l q = 1 由假设e ( ) = 0 ，把爿，z 中心化，记 y = 彳e x ，z = 丘一e x , ， 对每一个固定的q 和r v y , - y , ，存在r v z ，使得 | i z 忆4 c ( p ，) ，e ( z f e ) = y ，e ( z f 。) = 一e 所以 。 e ( 码) + e ( 置) = e ( y s e ) 一e ( 一】：) 7 e ( z ) 一e ( z s o ) | | z | i 卢慨一吼 这表明存在必( 4 c ( p ，驴) ) 9 ，使得对任给q c 和+ l ，a + 2 ，口+ 以) ，有 e i s ( 口) 1 9 _ m e s o s o j 9 = m e 由( 1 3 7 ) 式，为证( 1 3 5 ) 式，只需要证明 口+ n = 口+ e ( a + n 矸2 c 篁e i x e q + ( 0 + 1 1 f 2 口+ i k i = a + lf = 口+ l 由u = 霹一磷；i 1 为q 2 阶m z 型随机变量序列，有 而 e ( a + nx ? ) q 2e ( 兰( + 骈) ) 非 = 口+ l 口+ 月 e ( ，= 口+ i i = a + l c ，叫 c te ( 昕 l i = a + l 咿= e 摩f q 2 口+ ” + ( f = 口+ i i x i 9 e 阱心1 j 1 聊) 非 j 口+ ” ) 4 + ( 骈 i = a + l 1q 4 一聊) 2 ， 口+ na + n e ( f + ( 研) 2 ) 弘 ，= 口+ if = 口+ l 2 ) a + na + r l ( x i + ( ( 群) 2 ) f = 口+ lf ；口+ l c e ( f ) 4 + ( ( 研) 舭 lf = 口+ li = a + 】 j 联合( 1 3 1 0 ) 式和( 1 3 11 ) 式，有 ( 1 ) ( 2 ) 口+ 一 e ( f ) 9 i = a + l c e c 口+ 月 i = a + l秽“，薹，c 鲫佗) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 3 1 2 ) 当2 q 4 时，：f il 2 q 4 4 时，由h6i d e r 不等式，有 口+ h f = i = a + 口+ ( f ) “一( i x , 1 9 ) 2 伽叫 i = a l - j 口+ h i = a + l ( 1 3 1 3 ) 令口= ( g 一4 ) ( 2 ( q - 2 ) ) 则0 4 ，c 也是固定的正常数，因此，在上式中通过取曰充分小使( 1 一c b - a ) 0 从而( 1 3 1 0 ) 式成立故( 1 3 5 ) 式成立由此利用文献 3 8 的定理2 3 1 的证明方法得 ( 1 3 6 ) 式成立即引理1 3 4 证毕 9 m 了 m 一 一一 督 m 一 ， 吨一 日+ 心 尸砰 一 e 口 口 一 一 ，l e 、l ， 佟十术理t 人学颁l 学位论文 2 1 引言 第2 章痧混合序列的弱收敛性 定义2 1 1 心3 】称随机变量阵列 以。；七= 1 ，砖，z = 1 ，2 ， 服从弱大数定律，如果存在常 数列 吃；行1 ，使得 蠡” 以。一包。o 七= l 定义2 1 2 称随机变量序列 五；咒1 ) 服从弱大数定律，如果存在常数列 a n ；”1 和 吃；行1 ) ，0 0 假若 k 。；尼= 1 ，吃，z = 1 ，2 ，) 服从弱大数定律，那么其中的常数列 饥；胛1 可取作 朋( 莩咒t ) + 。( 1 ) ，其中，肌( 工) 表示石的中位数若汜= 鲁，显然各类r v 阵列的的弱大詹，“ 数定律就是r 让序列 咒；刀l 的弱大数定律的特例，因此，凡是r v 阵列具有的弱大数定律， r 从序列也同样成立关于独立r m 阵列，前人已得到很多经典的服从弱大数定律的充要条 件 但有关非独立情形的弱收敛性的讨论一直都在探索之中从未间断如：对于强平稳混合 序列，早在1 9 8 5 年，陆传荣【1 2 1 就较深入地探讨了一类混合过程的弱收敛性问题；字世航，堵 秀凤【3 9 1 ( 2 0 0 5 ) 讨论了非独立不同分布情况下随机变量序列的弱大数定律的存在条件，将 独立同分布情形下的弱大数定律进行了推广；陆传赛( 1 9 8 5 ) 4 0 1 讨论了平稳p 混合序列的 经验过程的弱收敛性；来向荣等4 1 1 给出了随机弱大数定律和随机强大数定律的充要条件： l o 第2 章够混合序列的弱收敛性 迟翔，苏淳【4 2 j 在同分布n a 序列的一个弱大数律( 1 9 9 7 ) 文中，通过讨论同分布 n a 序列弱大数律的成立条件，不仅给出了n a 的一个弱大数律，而且得到了这类条件的三种 等价形式，由此揭示出同分布n a 序列的弱大数律与独立同分布序列的不同之处；苏淳，赵 林城，王岳宝【l m 论述了n a 序列的矩不等式与弱收敛性等等 而至于驴混合序列情形的弱大数定理至今未见有论述，受吴群英文f 2 7 4 3 出1 的启发，本 章将给出痧混合阵列行和的一个弱大数定理，并由此定理导出不同分布痧混合序列的一个 弱大数定理以及不同分布痧混合序列加权和的一个弱大数定理 2 2 不同分布驴混合序列的弱收敛性 设n 是自然数集，随机阵列 x 威；1 七吒个o 。，甩n ) ，固定力，假设每一行内的随机 七 变量列 以。；1 后包 是矿混合的，记氐全鼍。 k = l 定理2 2 1 ( 痧混合阵列行和的弱大数定理) 设 以。；l 七to o , n 是行驴混合的 随机阵列，对0 p 2 ，且 则 则 l i r as 蒯u pk , ，一1 争尸( 1 = 。 屯一v p ( 鼠一砖，) q o ， 以一 ( 2 2 1 ) 推论2 2 1 ( 驴混合序列的弱大数定理) 设 以；，z 1 是痧混合序列，对o - 占) = 尸( 1 ( + 科) e ( + 鬈) l 2s 屯咖) = 尸( f ( 一磷) + ( 鄙一磷) i s k ) 尸( i 一点墨i + i 点哥| 靠1 p ) - y ， d 少 晰掣嘻卜( w 训少) d y = 2 一嘶羔k = lc ”尸( m 。靠，少) 少d 少