（机械工程专业论文）考虑摩擦和间隙的轮齿冲击行为建模与分析.pdf

l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名刁西弘日期：丝姓月卑日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名翟降导师签名蚴期：斗年五月手日 摘要 本文根据非线性动力学的相关理论，利用定性和定量的方法对含 真实时变刚度、真实静态传动误差、齿面摩擦以及齿侧间隙的齿轮传 动系统的非线性动力学特性进行了研究，论文主要内容如下： 1 建立了包含真实时变刚度、真实静态传动误差以及齿面摩擦等 在内的齿轮扭转振动模型。假设轮齿在啮合线上匀速运动和摩擦系数 为常数，推导出啮合过程中摩擦力的表达式，并考虑齿轮传动中的时 变参数啮合刚度和静态传动误差，将其代入到齿轮副扭转振动模 型中，推导出了系统的动力学微分方程。 2 针对所建立的齿轮非线性动力学模型分别应用解析法和数值 法进行求解分析。在应用解析方法之前，利用简单的傅咀叶级数表达 时变刚度和静态传动误差，并应用高次多项式拟合分段非光滑的轮齿 间隙函数，推导出系统分别在主共振和1 2 哑谐共振情况下的幅频函 数，揭示了系统的一些非线性现象，如亚谐响应，跳跃和分岔。针对 真实时变参数下的离散动力学模型，应用数值法分析系统的动态响应 以及参数的变化对系统动力学行为的影响，发现齿面摩擦在节点附近 的局部范围引起动态传动误差和动态啮合力的突变和附加振动，齿轮 的转速、负载力矩以及阻尼等参数对系统的动态响应也都具有不同程 度影响。 3 应用数值法对轮齿的冲击一碰撞动力学进行了探索研究。引入 考虑能量损耗的非线性弹簧一阻尼接触模型，将轮齿啮合过程简化为 两侧弹性碰撞的连续动力学模型，应用接触碰撞理论、非线性理论和 数值方法研究了系统的稳态响应及能量损耗的频率分岔，数值结果表 明系统具有非常复杂的动力学特性，随着参数的变化发生了周期分叉 和擦边分叉。 4 通过齿轮传动实验测得一对标准参数的直齿圆柱齿轮的动态 传动误差，从原始实验数提取稳态响应的频谱特性，与理论分析得到 的结果进行对比，验证了理论模型的有效性。 关键词：齿轮，非线性，真实时变参数，数值法，冲击碰撞 a bs t r a c t a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fn o n 1 i n e a rd y n a m i c s a n dw i t ht h e a p p l i c a t i o no fq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v em e t h o d s ，t h eg e a rn o n l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c si n v o l v i n gw i t hr e a l i s t i ct i m e v a r y i n gs t i f f n e s s ，r e a l i s t i c s t a t i ct r a n s m i s s i o ne r r o r , t o o t hs u r f a c ea n db a c k l a s ha r es t u d i e di nt h i s p a p e r t h em a i nc o n t e n ti sa sf o l l o w i n g ： 1 t h et o r s i o n a lv i b r a t i o nm o d e lo fg e a rt r a n s m i s s i o ni n c l u d i n g r e a l i s t i ct i m e v a r y i n gs t i f f n e s s ，r e a l i s t i cs t a t i ct r a n s m i s s i o ne r r o ra n dt o o t h s u r f a c ef r i c t i o ni se s t a b l i s h e d w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h et e e t ha r ei n u n i f o r i i lm o t i o no nt h em e s h i n gl i n ea n dt h ef r i c t i o nc o e f f i c i e n ti s c o n s t a n t ，t h ee x p r e s s i o n so ff r i c t i o na r eo b t a i n e d t h e ns u b s t i t u t i n ga l lt h e a b o v ep a r a m e t e r ss u c ha ss t i f f n e s s ，s t ea n ds u r f a c ef r i c t i o ni n t ot h e t o r s i o n a lv i b r a t i o nm o d e l ，t h ef i n a ld e r i v e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h e s y s t e mi sg a i n e d 2 w i t ht h ea p p l i c a t i o no fa n a l y t i c a lm e t h o da n dn u m e r i c a lm e t h o d t h es o l u t i o n so ft h eg e a rm o d e le s t a b l i s h e da b o v ea r ed i s c u s s e d a p p l y i n g as i m p l ef o u r i e rs e r i e se x p r e s s i o nt os i m u l a t et h et i m e v a r y i n gs t i f f n e s s a n ds t a t i ct r a n s m i s s i o ne r r o r , a n du s i n gah i g h o r d e rp o l y n o m i a lt of rt h e n o n - s m o o t hp i e c e w i s eb a c k l a s hf u n c t i o n 1 1 1 e a m p l i t u d e f r e q u e n c y f u n c t i o no ft h em a i nr e s o n a n c ea n d1 2s u b h a r m o n i ca r eo b t a i n e d t h r o u g ht h ea p p l i c a t i o no fm u l t i p l es c a l em e t h o d t h er e s u l t ss u g g e s t m a n yn o n - l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c ss u c ha ss u b - h a r m o n i cr e s p o n s e ，j u m p i n g a n db i f u r c a t i o n h o w e v e ru s i n gt h en u m e r i c a lm e t h o dt oa n a l y z et h e d i s c r e t ed y n a m i cm o d e lw i t hr e a l i s t i ct i m e - v a r y i n gs t i f f n e s s ，r e a l i s t i c s t a t i ct r a n s m i s s i o ne r r o ra n dt o o t hs u r f a c ef r i c t i o n t h er e s u l t st h r o u g h d i g i t a lc a l c u l a t i o ns h o wt h a ts u r f a c ef r i c t i o nc a u s e ss u d d e nc h a n g ea n d b r i n g sa d d i t i o n a lv i b r a t i o nc l o s et ot h en o d ep o i n t t h ee f f e c to fo t h e r p a r a m e t e r ss u c ha sv e l o c i t y , l o a d sa n dd a m p i n gt o t h es y s t e mi sa l s o i n v e s t i g a t e d 3 e x p l o r et h ei m p a c t c o l l i s i o nd y n a m i c so ft h eg e a rt r a n s m i s s i o n i n t r o d u c et h en o n - l i n e a r s p r i n g d a m p e r m o d e l i n c l u d i n ge n e r g y d i s s i p a t i o n t os i m u l a t et h ec o n t a c t p r o c e s s o ft e e t h b a s e do n c o n t a c t - i m p a c tt h e o r y , n o n - l i n e a rt h e o r y a n dn u m e r i c a l m e t h o d ， b i f u r c a t i o no ft h e s t e a d y s t a t er e s p o n s e a n de n e r g y d i s s i p a t i o n i s r e s e a r c h e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h es y s t e mh a sv e r yc o m p l i c a t e d d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，a n dp e r i o d i cb i f u r c a t i o na n dg r a z i n gb i f u r c a t i o n e x i s t sw i t ht h ep a r a m e t e r sv a r y i n g 4 i n v e s t i g a t i n g a g e a rp a i rt h r o u g he x p e r i m e n t m e t h o d t h e d y n a m i ct r a n s m i s s i o ne r r o ro fap a i ro fs t a n d a r dp a r a m e t e r ss p u rg e a ri s o b t a i n e d t h e nt h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h e o r yr e s u l t sa n de x p e r i m e n t r e s u l t si ns p e c t r u md o m a i nv e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h et h e o r yr e s e a r c h a b o v ei ns o m ee x t e n t k e yw o r d s ：g e a rs y s t e m ，n o n l i n e a r , r e a l i s t i ct i m e v a r y i n gp a r a m e t e r s ， n u m e r i cm e t h o d ，i m p a c t - c o l l i s i o n i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i v 第一章绪论1 1 1课题来源1 1 2课题的国内外研究现状1 1 3 1 齿轮传动动力学的研究现状和发展动态1 1 3 2 齿轮冲击一碰撞问题研究现状和发展动态4 1 3本文的主要研究内容5 第二章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和齿面摩擦的齿轮动力学建模8 2 1 引言8 2 2 激励的类型和性质8 2 2 1 齿轮传动的外部激励9 2 2 2 齿轮传动的内部激励1 1 2 3 齿轮啮合的综合刚度1 2 2 3 1 方波形式的刚度1 2 2 3 2 有限次谐波形式的刚度1 3 2 3 3 实际的刚度1 3 2 3 齿轮传动的时变参数分析1 3 2 3 1 啮合过程简述1 3 3 2 2 齿侧间隙1 5 3 2 3 齿面摩擦1 5 3 2 4 真实啮合刚度的计算1 7 3 2 5 真实的静态传递误差2 l 2 4 考虑真实参数的齿轮动力学模型2 2 2 5 本章小结2 4 第三章齿轮非线性特征参数求解研究2 5 3 1 引言2 5 3 2 齿轮传动模型的解析求解分析2 6 3 2 1 模型的简化2 6 3 2 2 主共振响应2 9 3 2 3 诬谐共振响应3 l 3 3 齿轮传动模型的数值分析3 3 3 3 1 动态传递误差3 3 3 3 2 动态啮合力3 5 3 4 参数分析3 6 i v 3 5 1 转速对系统动力学的影响3 6 3 5 2 负载对系统动力学的影响3 8 3 5 3 阻尼对系统动力学的影响3 9 3 5 本章小结4 l 第四章高速状态下齿轮传动冲击一碰撞初步研究4 3 4 1 引言4 3 4 2 接触碰撞模型4 3 4 2 1 恢复系数4 4 4 2 2 非线性弹簧一阻尼模型4 5 4 3 轮齿冲击的动力学模型4 7 4 3 1 物理模型的简化4 7 4 3 2 动力学模型的建立4 8 4 4 非线性动力学的基本概念4 9 4 4 1 周期运动及其稳定性4 9 4 4 2 周期运动的分叉5 0 4 4 3 混沌现象5 l 4 5 数值分析5 4 4 5 1 系统的动力学响应及频率分岔5 4 4 5 2 能量损耗5 7 4 6 本章小结5 8 第五章实验验证6 0 5 1 实验仪器与设备6 0 5 2 实验准备及实验步骤6 l 5 3 实验数据分析6 1 5 4 本章小结6 4 第六章全文总结6 5 6 1 论文的研究成果与总结6 5 6 2 论文的创新点6 5 6 3 后续研究展望6 6 参考文献6 7 致谢7 1 攻读硕士学位期间主要研究成果7 2 v 硕卜学位论文 第一章绪论 第一章绪论 齿轮系统是各种机械装备中最为常用的动力和运动传递装置，它广泛应用于 冶金、化工、汽车、航空、船舶等行业，其力学行为和工作性能与机器的整体性 能有着密切的联系。因此，齿轮传动系统的动力学问题一直是近百年来学术界广 泛关注的问题。尤其是在现代工业条件下，为适应社会经济和生产生活水平的快 速发展，制造行业向着大功率、高速度、高效率的极端制造方向不断发展，对齿 轮传动系统的动力稳定性和传动平稳性等也提出了更高的要求，从而对于齿轮动 力学的基础研究就越来越受到更多人的关注。 1 1课题来源 本课题来自于国家重点基础研究项目( 9 7 3 项目) “数字化制造基础研究”第4 课题“高性能复杂曲面数字化精密加工的新原理和新方法( 项目编号： 2 0 0 5 c b 7 2 4 l o o ) 和国家自然科学基金课题( 5 0 8 7 5 2 6 3 ) ：“螺旋锥齿轮传动u m g 及其含随机量的非线性动力学研究”。 1 2 课题的国内外研究现状 1 3 1 齿轮传动动力学的研究现状和发展动态 齿轮传动系统包括原动机、相互啮合的齿轮副、中间传动轴、支撑轴承、箱 体和负载等，这些零部件结构相互连接形成一个复杂的弹性机械系统。其动力学 行为主要包括轮齿动态啮合力、齿轮系统的振动和噪声特性等。通过对齿轮传动 系统进行理论研究，了解齿轮系统中的结构特性、几何参数和加工方法等对这些 动力学行为的影响，从而在生产过程中指导高质量的齿轮系统的设计和制造。 齿轮系统的振动不但会产生噪声和导致传动系统的不稳定，而且会使传动系 统失效而发生严重的后果，因此对齿轮装置动态性能的研究倍受关注，因此齿轮 系统动力学一直以来受到行业内专家学者的广泛关注，目前已经形成一个完整的 理论体系。长期以来，人们对齿轮系统的振动特性进行了大量的理论分析和试验 研究，并取得了许多重要的研究成果。通过理论和实验分析的方法来提高齿轮传 动系统的稳定性并对系统的振动和噪音进行控制，以成为目前科学研究的热点课 题。 齿轮动力学系统的研究主要分为三部分：动力学系统的建模，动力学模型的 求解方法，动力学系统的特性分析。随着满足各类机械装备性能的不断提高和研 硕t 学位论史 第一章绪论 究手段的提升，人们对齿轮传动系统的研究逐渐从线性系统向非线性系统的方向 发展。齿轮系统中的非线性因素主要有：轮齿啮合刚度的时变性，齿侧间隙，齿 面摩擦以及支撑部分的非线性等。对于齿轮非线性动力学的求解方法主要有近似 解析法和数值仿真法，其中，谐波平衡法n 别、多尺度法怕4 1 是应用最为广泛的近 似解析方法，而龙格一库塔法和g e a r 方法是最为常用的数值法。齿轮系统的非线 性特性分析主要包括参数稳定性、分岔、混沌等方面。 由于轮齿间隙的存在，使得齿轮系统在工作过程中产生冲击，对齿轮传动系统中 的冲击动力学行为进行深入研究，则可根据轮齿碰撞过程中是否出现回弹将齿轮 传动系统的理论模型分成两类：不含冲击的动力学模型( 即传统的啮合模型) 和 含冲击的动力学模型。传统的啮合模型主要考虑齿轮副的扭转振动以及辅助部件 的直线振动，其中研究得最广泛的因素是时变啮合刚度、静态传动误差、齿侧间 隙、齿面摩擦以及时变的阻尼等等。而冲击动力学模型则认为主被动轮齿在接触 面上发生弹性碰撞，由于间隙的存在，使得轮齿在动力和运动的传递过程中，实 际上是发生在齿面和齿背之间的一种碰撞一自由振动一碰撞的过程。 由于时变啮合刚度、轮齿间隙、齿面摩擦、轮齿故障等因素的同时存在，使 得齿轮传动系统属于典型的强非线性系统，比一般的非线性动力学问题更加复 杂。因此传统的摄动法和平均法很难求解这一类系统，s n a t s i a v a s 晦1 等曾应用 经典摄动法研究了一类分段间隙的齿轮系统，但这类文章并不多见，而多尺度法 和谐波平衡法经常被应用于研究齿轮系统的参数稳定性，全局分岔和混沌特性等 非线性行为，并与数值仿真方法得到的结果进行对比，取得了一定的成果。1 9 9 0 年，k a h r a m a n a 和si n g h r n l 研究了一类同时存在外部激励和内部激励情况下的 含轮齿间隙的直齿轮副传动系统，他们在研究中同时应用谐波平衡法和数值仿真 技术求得了系统的稳态解，两种方法都发现了在某监频率范围内，系统的幅值存 在多值特征，这便是谐波平衡法首次应用于齿轮非线性动力学的研究之中。随后 他们又研究了一类三自由度的齿轮转子轴承系统乜1 ，同样应用了谐波平衡法和数 值方法，在引入线性时不变啮合刚度的情况下分析了轴承间隙和轮齿间隙等非线 性因素对系统的影响，几个关键问题如非线性模态的相互影响，静态传递误差引 起的内部激励和负载扭矩等外部激励对系统的不同影响等得到了深入的研究，参 数稳定性、混沌条件、准周期解和次谐振动的稳态解研究也得到了详细的揭示， 并发现两条典型的通往混沌的路径。1 9 9 7 年，k a h r a m a n 1 等人对齿侧间隙分别与 参数激励和外部激励耦合条件下的动态响应进行了实验研究，通过分析实验数 据，发现了很多的非线性现象，比如混沌、次谐振动、超谐振动、分岔、长周期 次谐运动、跳跃等。k a h r a m a n a 1 7 。9 关于行星轮系和螺旋锥齿轮动力学方面的研 究也具有参考价值。1 9 9 9 年，r a g h o t h a m a n 伽等人应用增量谐波平衡法研究了一类 硕l + 学位论文第章绪论 三自由度非线性齿轮转子轴承系统的周期运动，文章中应用弧长延拓算法计算得 到系统的分衍图，发现系统分别在不同的激励频率区间通过双周期和准周期分俞 两条路径进入混沌。s t h e o d o s s i a d e s 等。1 引在前人的研究基础上，发展了谐波 平衡法在齿轮动力学中的应用，在文章n 中研究了一类单自由度齿轮系统的非线 性动力学行为，研究结果表明，系统表现出十分复杂和不规则的动态响应，包括 临界解响应和间断性的混沌运动。p a r k e r 和v i j a y a k a r u 副建立了齿轮系统的有限 元接触模型，研究其动力学行为，在这个模型中应用接触分析可以很方便地计算 出动态啮合力。k u b u r n 引考虑了斜齿轮的支撑轴承、中间轴等辅助元件对系统的 影响，建立了一类三自由度的齿轮转子动力学模型。m a li h a n 等人应用有限元 理论建立齿轮轴承支撑系统的动力学模型，利用描述函数表示轮齿啮合面的弹性 变形，发现了跳跃现象和两周期解的存在，但是啮合线上的相对位移仅考虑了两 自由度。此后，r a g h o t h a m a a 和n a r a y a n a n s t l o l 在他们的文章中运用增量谐波平 衡法研究了一类齿轮系统的动力学行为，他们在研究中应用了弧长延伸技术配合 增量谐波平衡法以得到系统的分岔图，通过解析法得到的周期解和次谐波解与数 值解基本一致。 以上对于齿轮传动系统动力学的研究主要是基于其轮齿啮合模璎，其中最为 经典的是齿轮副的但自由度扭转振动模型，其数学表达式如下： 疗瓒+ c 圣+ 七( f ) 办( x ) = 力( r ) + _ ( ，) ( 1 1 ) 其中，办似为间隙函数，啮合刚度k ( o 和静态传递误差e ( o ( 包含e f m ( t ) ) 都是啮合 频率的周期函数，可以展开成啮合频率的傅里叶级数形式，时变刚度展开后的表 达式如下所示 k ( t ) = k o + 见c o s ( s f ) + 吼s i n ( s a ，m t ) ( 1 2 ) s = l 而x ( o 称为动态传递误差，一般可以表示为：x ( f ) = r ，矿，( 力一只卸2 ( d p ( f ) 。 s t h e o d o s s i a d e s n 3 1 应用解析法和数值法研究了系统在特定频率区间的基本参数 主共振及外部主共振；a l - s h y y a b a 【埔1 考虑了一类多齿啮合的齿轮动力学问题， 应用多谐波平衡法和离散傅里叶变换研究了系统的稳态周期l 运动。1 9 9 9 年， r a g h o t h a m a a 等n 0 1 在谐波平衡法基础上提出的增量谐波平衡法丰富了解析研究 齿轮非线性问题的手段，此后y - j s h e n n 引，q m a 啪；2 ，t e o d o r e s e u m 啪1 ， w a n g ，j u n 瞄1 等在他们的研究中应用了这种方法。 在n ：2 1 的基础上，k a h r a m a n a 和s i n g h r t 3 1 应用多尺度法进一步研究了考虑时 变刚度时的齿轮转子轴承系统，发现时变刚度和轮齿间隙之间存在很强的相互作 用；王建平陋矧研究了一类考虑时变刚度、传递误差及齿侧间隙等多种非线性因 硕t 学位论文 第章绪论 素在内的直齿圆柱齿轮传动系统，将时变刚度按5 次谐波展开，齿侧间隙按3 次多 项式拟合，应用多尺度法对系统在参数激励、内部激励和外部激励作用下的组合 共振特性进行了分析，发现系统中存在的非线性因素使得频率响应曲线发生了弯 曲，出现跳跃现象，而内部激励和外部激励都对系统组合共振产生影响，但内部 激励影响更大；陈思雨h 1 在以前的研究基础上，将时变阻尼引入动力学方程中， 同时考虑参数激励和外部激励的情况下，应用多尺度方法详细分析了参数稳定性 和全局分岔特性。 1 3 2 齿轮冲击一碰撞问题研究现状和发展动态 为了防止轮齿在啮合过程中出现卡死的现象以及润滑的需要，相互啮合的一 对轮齿之间必需留有间隙。但由于齿侧间隙的存在，齿轮在传递运动和动力的过 程中，不可避免地会在接触面产生冲击和碰撞过程，尤其是在高速的情况下，冲 击和碰撞现象非常明显。这种冲击和碰撞过程会在接触面产生非常大的动态力， 引起额外的振动，产生非常大的噪声，极大地降低了系统的稳定性和传动的平稳 性，因此，针对轮齿在运行过程中的碰撞现象进行深入地研究，显得十分必要。 因在上一节所叙述的啮合模型中很难准确描述碰撞接触过程，因此需要重新建立 起齿轮系统的冲击一碰撞模型。 含冲击和碰撞的机械振动系统一般是多参数的非线性系统，其动力学响应往 往十分复杂，将会随着系统参数的改变发生分岔，出现混沌现象。近年来，众多 学者利用非线性振动理论，从不同方面建立动力学模型，利用计算机数值仿真和 实验的方式，对此类碰撞振动系统进行了研究。从本质上来说，齿轮传动的冲击 动力学行为的研究，属于柔性多体系统碰撞动力学范畴，是一种非定常、含接触 碰撞、非线性的动力学过程，撞击力的计算是解决此类问题的关键。归纳来说， 碰撞系统建模的方法主要有以下四种：恢复系数法、圣维南法、非线性有限元法 和弹簧一阻尼模型，其中恢复系数法和弹簧一阻尼模型在碰撞振动动力学研究中应 用最为广泛。恢复系数法瑚1 假设接触碰撞过程是瞬间完成的，且碰撞体的外形 没有根本的改变，即忽略了接触时间和接触变形，只关心和研究碰撞前与碰撞后 的动力学形态，而用恢复系数来表示碰撞前后速度的跳跃关系。弹簧一阻尼模型 阻侧认为碰撞阶段是碰撞力连续作用的过程，在碰撞面之间用弹簧和阻尼连接起 来模拟接触过程，把接触碰撞力加到动力学方程中，相对真实地反映了碰撞过程， 而非线性弹簧一阻尼模型能够比较精确地反映碰撞过程中的变形能量损耗，z h a n g 和s h a r f 眵3 1 通过实验证明了在弹性碰撞情况下非线性弹簧一阻尼模型的合理性和 实用性。 一般来说，碰撞模型包括离散接触模型和连续接触模型，其中，恢复系数方 硕l 学位论文 第章绪论 法是离散接触的碰撞模型，其余方法均为连续接触的碰撞模型，连续接触模型认 为碰撞阶段是碰撞力连续作用的过程，直接把撞击力加到碰撞动力学方程中，相 对真实地反映了碰撞过程，适用于柔性多体之间的碰撞。恢复系数法阳矧局限性 在于该方法认为碰撞是瞬间完成的，整个过程分为碰撞前和碰撞后两个阶段，忽 略了碰撞阶段，没有给出撞击力在碰撞阶段的时间历程，而圣维南方法嘲州忽视 了撞击处的局部变形，非线性弹簧一阻尼模璎是在h e r t s 模型的基础上考虑的能 量耗散的模型，早期的关于齿轮拍振的研究可以见参考文献啪1 ，齿轮的冲击系统 模型最早是由d u b o w s h y 和r e u d e n s t e i n 啪蚰1 在1 9 7 1 年提出的，但是研究轮齿冲击 动力学行为时将冲击接触过程简单地用粘性阻尼来表示，并不能真实的反映齿轮 冲击特性。h u n t 和c r o s s l e y 口等通过引入非线性冲击阻尼的概念来建立了含有冲 击阻尼的冲击系统动力学模型。v e l u s w a m i 和c r o s s l e y h l4 2 1 利用这种冲击模型分 析了两边约束的球振动模型，理论分析得到的结果与试验基本吻合，证明了冲击 阻尼模型在研究冲击动力学的有效性。a z a r 和c r o s s e l e y 应用d u b o w s k y 的模型研 究了齿轮系统的动力学行为，其中包含间隙，时变刚度和轮齿间的阻尼。1 9 8 4 年，p f e i f f e r h 3 1 在研究齿轮传动系统动力学时建立了一种冲击模型，随后在文章 h 钉中应用理论分析和实验方法，揭示了齿轮系统的常规运动和混沌运动状态。l u o 和c h e n h 5 建立了一类简单的分段线性冲击系统的理论模型，应用解析法分析了系 统的周期运动，在文纠删中，应用局部奇异性理论分析其周期解的擦边分岔，以 及应用数值法模拟其混沌过程，此后又在文章h 引中讨论了此类系统的奇怪吸引予 的擦边分岔，在文章h 町中应用映射结构技术解析分析此类系统的任意周期运动。 在以上l u o 和c h e n 所分析的分段线性模型中，都是基于两个基本假设条件，即碰 撞位置固定不变以及碰撞类型为完全塑性碰撞。2 0 0 0 年，p a r k e r n 引等人应用接触 理论建立了齿轮副的有限元分析模型，研究了齿轮系统的动力学响应，并与实验 结果进行了对比。 1 3 本文的主要研究内容 本文应用非线性动力学的相关理论，分别建立齿轮系统在低速重载状态下的 经典啮合模型和高速状态下的冲击一碰撞模型，对齿轮传动系统中的振动特性进 行研究。全文分为六章，具体的研究内容如下： 第一章，简述了齿轮动力学的研究背景，发展动态及理论框架，介绍了非线 性科学在齿轮动力学研究中的应用，以及齿轮传动系统的经典啮合模型和冲击一 碰撞模型的发展前沿。 第二章，分析了齿轮传动系统中的动态激励形式，阐述了时变刚度、静态传 动误差以及轮齿间隙等内部激励形式对齿轮动力学的影响。假设轮齿在啮合线上 硕l ：学位论文第- 章绪论 匀速运动和摩擦系数为常数，推导出啮合过程中摩擦力的表达式，并考虑齿轮传 动中真实的时变参数啮合刚度和静态传动误差，计算出实际的时变啮合刚度 和传递误差的值，将其代入到齿轮副扭转振动的物理模型中，推导出了系统的动 力学微分方程。 第三章，针对第二章所建立的齿轮非线性动力学模型应用解析法和数值法进 行求解分析。首先，简化处理了时变刚度和静态传动误差，将其表达为傅里叶级 数的形式，并应用高次多项式拟合分段非光滑的轮齿间隙函数，以便利用多尺度 法对模型进行求解，推导出了系统分别在主共振和i 2 哑谐共振情况下的幅频函 数，画出了幅频响应曲线，揭示了系统的一些非线性现象，如亚谐响应，跳跃和 分翁。接着针对真实的时变参数，应用数值法分析系统的动态响应以及参数的变 化对系统动力学行为的影响，通过分析得到以下结论： 齿面摩擦对齿轮副的动态响应产生局部影响，在节点附近由于齿面摩擦的 存在，会引起动态响应的突变，转速越小，这种效应越明显； 由于实际的时变刚度在单双齿交替时产生很大的突变，从而引起动态传递 误差和动态啮合力的突变，并产生剧烈的振荡过程； 齿轮副的参数，如主动轮转速、负载力矩以及阻尼都会对系统的动力学行 为产生不同程度的影响，通过改变系统的结构参数和工作参数，能够改善齿轮传 动中的平稳性及动力稳定性。 第四章，应用数值仿真法对轮齿的冲击一碰撞动力学模型进行了研究。引入 考虑能量损耗的非线性弹簧一阻尼接触模型，将轮齿啮合过程简化为两侧弹性碰 撞的连续动力学模型，然后应用接触碰撞理论、非线性理论和数值方法研究了系 统的稳态响应及能量损耗的频率分岔，通过对数值结果的分析，可以得到以下结 论： 高速状态下，相互啮合的轮齿之间发生十分复杂的动力学行为，在激励频 率区间 0 1 ，1 2 内，系统交替出现多种形式的周期碰撞运动及混沌运动，尤其 是在狭小的激励频率区间( o 3 4 3 2 ，0 4 6 4 8 ) 内，系统交替出现混沌、6 2 周期碰 撞、4 i 周期碰撞等运动； 在激励频率区间( 1 1 4 7 ，1 2 ) ，系统的稳态响应受初始状态的影响非常 大，出现了不同形式的周期碰撞运动，碰撞过程中的能量损耗和相对变形量也相 差很大，其能量损耗相差近1 0 倍； 在激励频率为0 4 5 和0 8 的邻近区域，轮齿的冲击一碰撞现象比其他激励频 率下更加频繁，数值分析显示能量损耗出现峰值，同时在碰撞过程中出现较大的 相对变形量。 第五章，测得一对标准参数的直齿圆柱齿轮的动态传动误差，将实验数据作 硕 学位论文 第一章绪论 初步处理之后，提取频谱特性，与理论分析得到的结果进行对比，验证了理论模 型的正确性和有效性。 第六章，对全文进行了简单的总结，并提出后续的工作展望。 硕- i ：学位论文第二章考虑真实啮合刚度、静态传动误蒡和凶向摩擦的凶轮动力学建模 第二章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和齿面摩擦的齿轮 动力学建模 2 1 引言 由于齿面摩擦，时变刚度，静态传动误差，轮齿间隙，齿轮故障，加工误差 和安装误差等的存在，让齿轮传动系统成为一个复杂的强非线性动力系统。这些 因素使得齿轮在正常工作和实验过程中显示出某些非线性特性，如分岔、混沌、 次谐波响应和超谐波响应等。在建立齿轮传动系统的动力学模型时，需要根据具 体情况和分析目的的不同，建立不同类型的分析模型。在经典的齿轮非线性动力 学研究中，若齿轮系统中的传动轴、支撑轴承和箱体等的支撑刚度相对较大，则 一般不需考虑它们的弹性，而将齿轮系统处理成纯扭转振动模型。而在扭转振动 模型中，主要考虑的非线性因素有时变刚度、传动误差、齿面摩擦、轮齿间隙等， 这些因素的存在往往产生动态激励，使得齿轮传动系统成为典型的自激激励系 统。在过去二十年垦，针对齿轮非线性动力学的研究得到了迅速的发展，在忽略 齿面摩擦的情况下，对其他的非线性因素，如时变刚度和轮齿间隙，都进行了非 常深入的研究。2 0 0 1 年，v a i s h y a 和s i n g h 旧5 0 1 在提出两个假设的基础上，建立 了一种包含周期性轮齿刚度和齿面摩擦的单自由度动力学模型，模型中假设载荷 在参与接触的轮齿间平均分配以及轮齿刚度在传递过程中以简单的方波形式变 化。2 0 0 5 年，h o n gs e 及其合作者晦1 ；5 2 1 提出了一种新的线性模型，模型中综合考 虑了实际的时变刚度和齿面滑动摩擦，着重分析了滑动摩擦对系统动态响应的影 响，但在他们的研究，因静态传动误差及其微分项非常复杂而在数值积分过程中 被忽略了。 本章通过分析齿轮传动中非线性因素如齿面摩擦、啮合刚度、静态传动误差 等的形成机理和时变过程，计算得到真实的时变啮合刚度和静态传动误差曲线， 并将其代入齿轮传动的物理模型中，推导得到其动力学微分方程。 2 2 激励的类型和性质 作为一种弹性的机械系统，齿轮传动系统在动态激励的作用下产生动态响 应。研究齿轮啮合过程中动态激励的产生原理，确定动态激励的类型和性质，是 硕卜学位论文 第：章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和凶由摩擦的涛轮动力学建模 进行齿轮动力学分析的首要问题。齿轮传动系统的动态激励一般可以分为外部激 励和内部激励两种，与一般的机械系统相比，外部激励并无区别，主要不同之处 在于其内部激励。由于在啮合过程中出现多对轮齿交替参与啮合的情况、轮齿在 受载时产生弹性变形、齿轮和轮齿的制造误差及装配误差等引起啮合过程中的动 态啮合力，使得即使没有外部激励的情况下，齿轮系统也会因这种内部激励而产 生振动和噪声。齿轮系统的内部激励主要有三种形式，即刚度激励，误差激励和 冲击激励。这些内部激励是齿轮系统特有的激励形式，也是使齿轮系统在传动过 程中产生非线性振动的主要因素，因此对于内部激励的研究是齿轮动力学的研究 重点和难点。 2 2 1 齿轮传动的外部激励 除内部激励外，齿轮系统中的其他因素如原动机、负载和其他零部件等也会 对齿轮系统产生动态激励，这些激励统称为齿轮副啮合的外部激励。具体来说， 外部激励的产生原因主要有：齿轮旋转质量不平衡、几何偏心、原动机负载扭矩 波动以及系统中有关零部件的激励特性，如滚动轴承的时变刚度、离合器的非线 表2 1 随时间变化的激励 序号类型图示产生原因 m 1 负载力矩 1阶梯型扭矩 _ 、 。作用于量部件上 l 7 刖岁卜刀，炬 m i 同步电机的输出 2波动性扭矩 价v v 、八。力镇 m 1 l 3周期性扭矩 h l ，、。，发动机输出力矩 vv 7 。 m 1 4随机性扭矩 。川ij h 。， 外界干扰力矩 _ 。咿v 、，v r m i 厂八 5周期性惯性力矩 厶 vv l 硕卜学位论文第一二章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和齿面摩擦的齿轮动力学建模 表2 2 和系统运动历程相关的激励 序号类型图示产生原因 氟。 l周期性时变刚度 、n滚动轴承的时变 vvv 。 刚度 ， 。x 巩 2周期性时变位移7一ji h j 叭一r 田口口 倒2 石 7 甲 m 1 l m 。 3规则性变化力矩 l 妻亲电机输出 r r 7一 口够 表2 3 和相对运动相关的激励 序号类型 图示产生原因 间隙 2非线性扭矩 3干摩擦力矩 4滑移力矩 5 指数力矩 尥。 l ，。 4 i 尥。 i 山。 1 。 4 i 。 夕 陟 ， 五t 心。 l 。 。4 妒，z j l 。 齿式联轴器 柔性联轴器 负载 + 摩擦离合器 飞轮力矩 性等。外部激励的主要形式列于表2 1 表2 3 中，其中，表2 1 表示的是随时间 变化的激励形式，他们与系统的运动状态无关；表2 2 表示的是与系统运动历程 相关的激励，是系统的时变参数激励；而表2 3 所表示的是与系统中某些自由度 硕卜学位论文第：章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和齿面摩擦的凶轮动力学建模 之间的相对运动有关的激励。 2 2 2 齿轮传动的内部激励 如图2 1 所示，齿轮副的内部激励主要包括三种形式： ( 1 ) 刚度激励 一般而言，齿轮的重合度都不是整数，在啮合过程中参与啮合的轮齿对数随 着时间而呈周期性变化。同时，从齿根啮合到齿顶的过程中，随着啮合点的变化， 齿轮的单齿啮合刚度也在发生改变。如图2 1 ( a ) 所示，弹性齿轮副可以简化成 沿啮合线方向的时变弹簧，假设弹簧刚度为k o 俐，则轮齿上的啮合力，可表示 为 f = k ( ，) 万 ( 2 1 ) 式中，万表示主、被轮的相对线位移。 由以上分析可知，刚度激励是由于啮合综合刚度的时变特性引起动态啮合力 并对齿轮传动系统进行动态激励的现象。 表2 4 齿轮副内部激励的类型 懒蠊差 ( b ) 槲轮州闩i ( c ) 图2 1 齿轮副的内部激励 ( 2 ) 误差激励 本文中所提到的误差主要是指静态传递误差，它是在静态条件下由轮齿变形 和齿轮误差所产生的运动误差，定义为被动轮实际位置与理论位置之间的偏差。 硕l 学位论文第二章考虑真实啮合刚度、静态传动误差和齿曲摩擦的凶轮动力学建模 静态传递误差主要包括两个方面的来源，一部分是由于轮齿在受载下发生弹性变 形引起的，另一部分是由于齿轮在加工和装配过程中所带来的加工误差和装配误 差。第一部分误差随时间呈周期性变化，而第二部分误差则带有随机性。总之， 静态传递误差的存在使得被动轮在啮合过程中偏离理论的啮合位置，从而形成了 一种位移激励，如图2 1 ( b ) 所示。 ( 3