（控制理论与控制工程专业论文）基于jordan变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究.pdf

基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 摘要 研究带乘性噪声随机系统的信号估计方法是信号处理理论的重要内容，本文 主要研究了一类带乘性噪声广义系统的信号最优估计算法。 以往针对带乘性噪声系统的研究大多是围绕非广义随机线性系统展开的，但 在实际应用中，对多维、多层次、多目标的大型复杂系统，尤其是一些耦合系统， 用广义系统来描述和刻画更为自然、方便和精确。目前广义系统估计理论研究虽 已取得诸多成果，但针对带乘性噪声广义系统估计理论的研究报道尚不多见。本 文基于j o r d a n 变换的方法，针对单通道及复杂多通道带乘性噪声广义系统，应 用新息序列的性质和h i l b e r t 空间投影定理，对系统状态最优滤波和最优平滑估 计、随机输入信号的最优反褶积估计等问题进行了深入探讨。本文所说的最优均 是建立在线性最小方差意义上的。 本文主要完成了以下工作： 第一，采用j o r d a n 变换的方法将一类带乘性噪声广义系统转化为带乘性噪 声正常系统，在此基础上针对乘性噪声是一维随机序列的情形，给出了系统状态 最优滤波算法。并将乘性噪声进一步推广至一般随机矩阵的情形，使其更符合实 际需要，具有更广泛的应用价值。 第二，在滤波算法基础上，应用新息序列的性质和投影定理，推导出了单通 道及复杂多通道带乘性噪声广义系统的固定域状态最优平滑估计的直接算法。通 过引入中间变量，又给出了能减少运算量的固定域状态最优平滑估计的间接算 法。 第三，以滤波和平滑算法为基础，推导出单通道及复杂多通道带乘性噪声 广义系统的随机输入信号的最优反褶积算法。 第四，对以上给出的各种最优算法进行了大量仿真计算，仿真结果验证了 以上各算法的有效性。 关键词：j o r d a n 变换；乘性噪声；广义系统；线性最小方差；最优估计 s t u d yo fo p t i m a le s t i m a t i o na l g o r i t h m f o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e b a s e do nj o r d a nt r a n s f o r m a t i o n a b s t r a c t i nt h ef i e l do fs i g n a lp r o c e s s i n gt h e o r y , i ti sas i g n i f i c a n tm a t t e rt os t u d yt h e s i g n a le s t i m a t i o nf o rs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， a l g o r i t h m s o fs i g n a lo p t i m a le s t i m a t i o nf o rs t o c h a s t i c s i n g u l a rs y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s eh a v e b e e ns t u d i e d i nt h ep a s t , t h er e s e a r c hp r o d u c t i o n sw i t h r e g a r d t o t h e s y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s ea r ea l m o s ta i m e da tn o r m a ls t o c h a s t i cl i n e a rs y s t e m s h o w e v e r , i n p r a c t i c e ，m o s to ft h em a t h e m a t i c a lm o d e l sd e p i c t i n gt h el a r g ea n dc o m p l e xs y s t e m s w h i c ha r cm u l t i d i m e n s i o n a l , m u l t i l e v e la n dm u l t i - t a r g e ta r e s i n g u l a rs y s t e m s ， e s p e c i a l l ys o m ec o u p l i n gs y s t e m s ，b e c a u s es i n g u l a rs y s t e m sa r em o r en a t u r a l ， c o n v e n i e n ta n da c c u r a t e a l t h o u g ht h er e s e a r c hp r o d u c t i o n sw i t hr e g a r dt os i n g u l a r s y s t e m s a r e a b u n d a n t , t h er e s e a r c hl i t e r a t u r ea b o u ts i n g u l a rs y s t e m sw i t l l m u l t i p l i e a t i v e n o i s ei sf e w i nt h ei n s t a n c eo fo n e - c h a n n e la n d c o m p l i c a t e d m u l t i - c h a n n ds i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e ，t h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e s t h eo p t i m a le s t i m a t i o no fs t a t ef i l t e r i n ga n ds m o o t h i n ga n dt h es t o c h a s t i ci n p u ts i g n a l 丽t ht h et e c h n i q u eo fi n n o v a t i o na n dp r o j e c t i o nt h e o r e mo fh i l b e r ts p a c e , b a s e do n j o r d a nt r a n s f o r m a t i o n a l lt h ep r o p o s e da l g o r i t h m si nt h i sd i s s e r t a t i o n 缸eo p t i m a li n t h el i n e a rm i n i m u m - v a i l a n c e t h em a i ns t u d yo ft h ed i s s e r t a t i o ni si n t r o d u c e da sf o l l o w s ： 1 u s i n gj o r d a nt r a n s f o r m a t i o n , s t o c h a s t i cd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s ec a l lb et r a n s f o r m e di n t on o r m a ls y s t e m s 丽t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e ， t h e na no p t i m a lf i l t e r i n ga l g o r i t h mi s d e v e l o p e du n d e rt h e c o n d i t i o nt h a tt h e m u l t i p l i c a t i v en o i s ei s o n e - d i m e n s i o ns t o c h a s t i cs e r i a l a c c o r d i n gt o t h ep r a c t i c a l r e q u i r e m e n t , af i l t e r i n ga l g o r i t h mf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ei s d e v e l o p e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ei si nt h ef o r mo fag e n e r a l s t o c h a s t i cm a t r i x 2 b a s e d0 1 1t h eo p t i m a lf i l t e r i n ga l g o r i t h m ，t h ed i r e c ta l g o r i t h mo ft h eo p t i m a l f i x e d i n t e r v a l s m o o t h i n g i sd e d u c e df o rt h eo n e - c h a n n e la n d c o m p l i c a t e d m u l t i c h a n n e ls i n g u l a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e w i t ht h ei n t r o d u c t i o no ft h e a u x i l i a r yv a r i a b l e s ，t h ef i x e d i n t e r v a ls t a t eo p t i m a li n d i r e c ts m o o t h i n ga l g o r i t h mi s o b t a i n e d ，w h i c hm a k e st h ea l g o r i t h mm o r ep r a c t i c a l 3 b a s e do nt h ef i l t e r i n ga n ds m o o t h i n ga l g o r i t h m ，t h eo p t i m a lf i x e d i n t e r v a l d e c o n v o l u t i o ne s t i m a t i o na l g o r i t h mi sd e v e l o p e d 4 t h ea l g o r i t h m sa let e s t e dt h r o u g hs i m u l a t i o n ，a n ds a t i s f a c t o r ys i m u l a t i o n r e s u l t sa r eo b t a i n e d ，w h i c hv a l i d a t et h ea l g o r i t h m s k e yw o r d s ：j o r d a nt r a n s f o r m a t i o n ，m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，s i n g u l a rs y s t e m s ，l i n e a r m i n i m u m - v a r i a n c e ，o p t i m a le s t i m a t i o n 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得l 洼! 垫遗直墓他 噩要犍别虚盟的：奎拦互窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位敝作者答名嘶蚋叶签字日期：溺年争肋日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到 、a - 2 ) ，雨带乘 性噪声广义系统也将退化成( 1 4 ) 、( 1 5 ) 所表示的普通广义系统。 2 基- 1 = j o r d a n 交换酶劳象缝嗓声广义系统簸优蘩诗霎法研究 1 2 2 带乘性噪声系统的应用背景 带乘性噪声系统有着广泛的实际应用背景，下面举例说明： 例1 石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性、及传播时的扩展 损失与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性噪 声的褶积模型更能反映实际情况啜 z o ) - 小) ，o ) 幸w ( f ) + 辨( f ) 其中，m 为乘性噪声，再 为加性观测噪声，f ( t ) 拳w ) 为理想地震道，这 里宰秀褶积运算符。 例2 水下目标探测。海洋信道在本质上是随机时变和空变的非理想声信道， 这种随机性用乘性噪声来描述，海洋中还存在着多种加性噪声源，因此海洋信道 可看作为一个带乘性嗓声系统。水下基标反自散射系数包含有隧标本身的重要信 息，因此可以通过估计目标的反向散射系数来实现水下目标探测。而这一反向散 射系数在数学模型中可以归结为海洋信道这一带乘性噪声系统的动态噪声，因 此，可以透过对带乘性噪声系统的反褶积运算，邸估计带乘性噪声系统的动态噪 声，来实现对目标反向散射系数的估计【9 】。 3 带乘性噪声系统估计理论的发展及现状 由于石油地震勘探、水下目标探测、空间目标跟踪等许多实际应用问题的需 要，带乘性噪声随机系统的信号估计闯题日益受到研究者的重视。已有的研究成 果主要集中在两个方面，分别是针对离散型和连续型的乘性嗓声展开的。 一、关于乘性噪声取值为离散值的随机系统的研究 对予乘性噪声为离教型随机变量的情形，1 9 6 9 年，n a h i i o 首先针对离散型乘 性噪声为0 ，1 两值序列的情形，在乘性噪声为独立同分布的条件下，推导出了 最小方差意义下的最优滤波递推算法，当乘性噪声取0 的概率为零时，该滤波器 退化为k a i n a n 滤波器。1 9 7 1 年，j a f f e r 等人渊对乘性噪声为两值m a r k o v 序列 的情形给出了状态的b a y e s 估计算法，但由于存储量大，该算法并不实用，后来 的改进形式虽然降低了存储量，但当系统维数较大时仍不实用。后来，n a h i 的 工作被推广，m o 配遮鹫o 【蠲进一步讨论了状态霍定域平滑递推算法，僵算法中要 求对矩阵求逆，使其应用受到了限制。1 9 7 9 年，h a d i d i 1 3 1 等人又将n a h i 的结果 3 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 推广到乘性噪声为非独立同分布的情形，但在一般情况下，状态最优滤波不能表 达为递推形式，例如乘性噪声为m a r k o v 链时。1 9 9 4 年，c a r a z o 1 4 】等人又把n a h i 的工作推广到了动态噪声和观测噪声相关的情况，并推导出了预测算法的一般表 达式。此外，a k a s h i 等人【1 5 】还研究了观测噪声的均值和方差以m a r k o v 转移概率 变化时的状态滤波问题。 二、关于乘性噪声取值为连续值的随机系统的研究 对于乘性噪声为连续型随机变量的情形，1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n 【8 】等人首先对 乘性噪声为独立非平稳白噪声的情况进行了研究探讨，推导出了在线性最小方差 意义下为最优的状态递推滤波算法和非递推的平滑估计算法，同时还给出了连续 系统的最优状态估计器。1 9 8 1 年，t u g n a i t 1 s l 定义了带乘性噪声离散随机系统的 能观性和能控性，还引入了在线性最小方差意义下与滤波等价的经典系统，讨论 了r a j a s e k a r a n 状态滤波算法的稳定性。1 9 8 9 年，c h o w 1 7 】在乘性噪声为有色噪声 的情形下，将其滤波算法推广到了噪声均值为非零的情况。1 9 9 3 年，文献 9 以 石油地震勘探为应用背景，针对离散系统，将r a j a s e k a r a n 的工作推广至动态噪 声与加性观测噪声同时刻相关时的线性最小方差递推滤波器，同时给出了白噪声 情形下固定域平滑估计的直接算法和间接算法。此外，在m e n d e l 7 1 所提出的针对 一般线性状态空间模型的反褶积理论的基础上，文献【9 】第一次提出了带乘性噪 声系统的反褶积问题，并通过研究给出了独立白噪声条件下的最优反褶积算法。 与此同时，对定常系统给出了更简单实用的次优反褶积算法，还推导出有色噪声 时的反褶积算法，且把固定域、固定臂长的反褶积最优算法推广到动态噪声和观 测噪声同时刻相关的更一般的情形。1 9 9 9 年，文献 1 8 针对带乘性噪声系统， 基于s v d 分解给出了具有数值稳定性的最优估计算法，并基于极大似然准则给 出了一种自适应滤波算法。2 0 0 0 年，文献 1 9 给出了可用于并行处理的带乘性 噪声系统的分布式滤波及平滑算法，同时还给出了基于分布式平滑的反褶积算 法。2 0 0 1 年，文献 2 0 建立了加性噪声在有限时间段上相关时的最优滤波、平 滑及反褶积算法。2 0 0 2 年，文献【2 1 】以水下远程目标探测为应用背景，将海洋信 道看作为一个带乘性噪声系统，针对加性色噪声及乘性色噪声的情形给出了最优 状态滤波器和最优状态平滑器，同时给出了多种情形下的噪声估计器，包括：动 态噪声估计器、观测噪声估计器及乘性噪声估计器。以上均是针对乘性噪声为一 4 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 维随机变量的情形做出的研究，这种假设意味着各观测通道的加性噪声虽然可以 互不相同，但乘性噪声却完全相同，因此，这种模型并不是真正意义下的多通道 系统。由此，2 0 0 1 年，文献 2 2 在以往工作的基础上，将乘性噪声推广至对角 矩阵的情形，建立了真正意义下的多通道s m n 的最优滤波、平滑及反褶积算法。 2 0 0 2 年，文献 2 3 1 3 z 将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法 推广至多传感器观测下的情形，并基于极大似然准则提出了多传感器观测下的逆 向滤波融合算法及单向反褶积算法。进一步，2 0 0 3 年，文献 2 4 】又将乘性噪声推 广到了一般随机矩阵的情形，刻画了一种更复杂的通道特性，使之更加符合实际 情况。同年，文献 2 5 】针对多传感器观测下的带乘性噪声系统和二维带乘性噪声 系统，对其最优估计方法进行了进一步研究探讨。2 0 0 4 年，文献 2 6 】针对多通道 带乘性噪声系统的观测噪声最优估计算法和状态最优融合估计算法展开了进一 步的研究。同年，文献【2 7 】针对更普遍意义下的多通道带乘性噪声系统的状态最 优估计理论，在保证线性方差最小意义最优的同时，进行了数值稳定性研究。2 0 0 5 年，文献【2 8 】针对复杂多通道带乘性噪声系统的逆向滤波及单向反褶积算法进行 了研究，同年，文献 2 9 】针对带乘性噪声系统的状态分部滤波算法进行了研究。 2 0 0 6 年，文献 3 0 】围绕一类带乘性噪声非线性离散随机系统，较深入地研究了与 其相关的状态滤波、平滑及随机输入信号的估计，同年，文献 3 1 】针对不同尺度 多传感器观测下的带乘性噪声系统给出了多尺度最优滤波融合算法。 1 4 广义系统的结构特征、应用背景及发展现状 近代科学技术与高新技术的发展，大型工程技术的需要，提出了非传统数学 模型描述的广义系统。石油化工中的催化裂化过程、人口、电路、人工神经网络、 计量经济学、电子网络、航空航天技术等领域中都有广义系统的实例。最优控制 问题，特别是有代数方程约束条件的复杂大系统都是广义系统【3 2 】。 广义系统与正常系统的区别主要体现在以下八个方面【3 3 】： 1 广义系统的解通常由三部分组成：对应于有穷极点的指数解，对应于无 穷极点的脉冲解和静态解，以及输入函数的导数项；而正常系统只有指数解。在 离散情况下，广义系统的解不仅需要t 时刻以前的信息，还需要t 时刻以后的信 息，即离散广义系统不再具有传统的因果性。 5 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 2 正常系统的动态阶为以，等于系统的维数；而广义系统的动态阶为，阶， 一般小于系统的维数，等于( r a n k e ) 。 3 正常系统的传递函数矩阵为真有理分式矩阵；而广义系统的传递函数矩 阵通常由真有理分式矩阵和指数大于1 的多项式矩阵两部分组成。 4 正常系统一般满足初值问题解的存在唯一性：而广义系统初值问题解的 存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数的相容性，广义系统对解的初 值问题，会出现有解存在、无解或有无穷多解的情形，即使有解存在，其解也常 常出现跳跃和脉冲，故通常要求广义系统是正则的。 5 广义系统具有层次性，一层为系统对象的动态特性( 由微分( 差分) 方程描 述，或称为系统的慢变部分) ，另一层为系统对象的静态特性( 由代数方程描述， 或称为快变部分) ；而正常系统没有静态特性。 6 广义系统有两类极点：一类是有穷极点，共留( = d e g ( d e t ( s e 一彳) ) ) 个；另 一类是无穷极点，共0 一g ) 个，这些无穷极点又可分为动态无穷极点和静态无穷 极点：而正常系统只有撑个有穷极点。 7 在系统结构参数扰动下，正常系统可以有系统的结构稳定性；而广义系 统通常不再具有结构稳定性。 8 正常系统可以有满足l y a p u n o v 意义下的稳定性、镇定性；而广义系统 不一定满足一般意义下的l y a p u n o v 稳定性与镇定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统具有更加丰富的内涵，其所 能描述的系统范围比正常系统广阔得多。因此广义系统在结构上变得复杂而新 颖，在研究上也变得困难而富有挑战性，引起了国内外许多学者的极大兴趣，并 取得了丰富的研究成果。 在广义系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢，这一 时期的突出成果有l u e n b e r g e rd g 关于非线性广义系统的研究剐。进入2 0 世 纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义系 统理论也进入新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，广义 系统理论取得了蓬勃的发展，这一阶段的重要成果有：v e r g h e s egc 等定义了广 义系统的一些基本概念，如脉冲模的可控性和可观性等【3 5 】；c o b bd 和y i pe l ， 提出了广义系统的能控性、能观性及对偶原理【矧：y a n gc 等提出了广义系统的 最小实现问题【3 7 1 ；f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rlr 等分别 6 萋予j o r d a n 交换酶繁黎毪噪声广义系统：暖傥健诗算法硒究 研究了广义系统的干扰解藕及特征结构配置等问题p 9 】；d a il 分别关于连续及 离散广义系统设计了动态补偿器；b e n d e rd j 等关于连续及离散广义系统研究了 线性二次型最优调节器阿题t 4 0 l ；l i n 了等讨论了时不变广义系统的最优控制闯题 【4 1 1 ，而l i nx 等讨论了时变广义系统的最优控制问题【4 2 】；曾连荪给出了广义动态 系统的广义和正常状态观测器设计的一种新方法【4 3 l ；许燕等讨论了一类广义系统 k a l m a n 滤波的新方法 棚。综合上述各基本问题的一系列研究结果，d a il 予1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第一本专著【4 5 】，系统地介绍了广义系统的基础理论，从 而标志着广义系统的基础理论已经形成。虽然广义系统的研究已经取得大量成 果，但相对于正常系统而言，还有很多理论问题和实际闯题需要解决，研究前景 广阔。 1 5 本文所做的工作 本文围绕一类带乘性噪声离散广义系统，较深入地研究了与其相关的状态最 优滤波、最优平滑及隧机输入信号的最优反褶积镳计等问题，完成了以下王作： 1 研究推导出这一类系统的状态最优滤波算法： ( 1 ) 。采用j o r d a n 变换的方法将一类带乘性噪声广义系统转化为带乘性噪 声正常系统，该转化方法可作力深入研究带乘性噪声广义系统的基础。 ( 2 ) 针对乘性噪声是一维随机序列的情形，给出了系统在线性最小方差意 义下的状态最优滤波算法。 ( 3 ) 将乘性噪声进一步推广至一般随机矩阵的情形，针对更复杂的逶道特 性和更一般的系统，给出其状态最优滤波算法。 2 研究推导出这一类系统的状态最优平滑算法： ( 1 ) 应用薪息序列的性质和投影定理，推导出了单通道带乘性噪声广义系 统的固定域状态最优平滑估计的两种递推算法，即“直接算法 和搿间接算法 。 ( 2 ) 。进一步将状态最优平滑估计算法推广到复杂多通道的情形。 3 以滤波和平滑算法为基础，推导出单逶道和复杂多通道带乘性噪声广义 系统的最优反褶积算法( 随机输入信号估计) 4 通过大量仿真计算验证了以上各算法的有效性。 7 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 2 基于j o r d a n 变换的状态最优滤波算法 2 1 概述 有关随机系统的滤波问题，已有大量研究成果。针对观测模型中只含有加性 噪声的经典情形，已经有了状态滤波算法、带有k a l m a n 滤波器的最优控制算法、 自适应滤波算法、滤波算法的稳定性研究及克服估计发散的方法等众多理论成 果，并在空间技术、通讯、导航等领域得到了广泛的应用。 对于观测模型中带乘性噪声的情形，有关其状态滤波的研究也有了一定的成 果。n a h i 1 0 】以目标跟踪为背景，对其乘性噪声为两值随机序列的情形给出了递推 形式的最优滤波算法。r a j a s e k a r a n 等人【8 j 对乘性噪声为白噪声的情形给出了递推 线性最优滤波算法。t u g n a i t 1 6 】讨论了这类系统的滤波稳定性，并提出了相应能控 性和能观测性的概念。由于这类系统的状态滤波在石油地震勘探、通讯工程、目 标跟踪、语言处理等实际问题中有广泛的应用背景，文献【9 】进一步研究了这类带 乘性噪声离散系统在各种噪声条件下的状态最优滤波递推算法、滤波的稳定性、 系统的能控性和能观测性判据，并分析了由模型误差引起的滤波误差。 以上在对带乘性噪声随机系统的滤波研究中，所涉及到的系统大多都是正常 系统，并未涉及广义系统，这就使对带乘性噪声广义系统状态最优滤波的研究成 为必要。本章主要研究了乘性噪声为一维随机序列及一般随机矩阵两种情形下的 状态最优滤波算法。 2 2 带乘性噪声系统滤波的基本算法 本节概括地介绍r a j a s c k a r a n 等人嗍在独立白噪声条件下关于带一维乘性噪 声离散系统的状态线性最优滤波递推算法。 在介绍r a j a s e k a r a n 最优滤波算法之前，我们先简单介绍一下线性最小方差 估计和投影公式【9 1 。 对任意正整数r ，记 z 7i c o l ( z ( o ) ，z ( r ) ) l ( z 7 ) 为z ( 0 ) ，z ( 1 ) ，z ( r ) 张成的厅维线性空间，记 8 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 x i r ) 一p r o j x ( k ) l z 7 这里，p r o j x ( k ) z 7 ) 是x ) 桠( z 7 ) 上的投影( p r o j e c t i o n ) ，或称为线性最小方差估 计，其含义是，x ( k r ) 为z ( o ) ，z ( r ) 的线性组合表达，且满足使如下形式的性能 指标函数 j o e 0 丞) 一x ) r o ) 一菇) 在x = x ( k r ) 时为最小，这里l 的定义域是l ( z ，) 当性能指标函数取极小值时， x - x ( k r ) = e 缸 ) + 0 0 v 0 ) ，z 7 ) v a t 。1 z 7 ( z 7 一e z 7 ) 上式便是投影公式。 下面，我们概括地介绍一下r a j a s e k a r a n 最优滤波。 带一维乘性噪声的系统模型如下： x + 1 ) 一4 + l k ) x ( k ) + 曰 ) w ( 七) z ( k ) - 历 ) c 弦 ) + ， ) 其假定条件如下所示： 1 ) e w ( k ) - 0 ，c o v ( w ( k ) ，以_ i ”- e w ( k ) w r ( j ) - q ( k ) d 每； e v ( k ) - o ，c o v ( v ( k ) ， ，( 歹) ) 一e p 弘r ( j ) ) - 尺 ) 气； 2 ) e o v ( w ( k ) ，1 ，( ) ) 一e w ( k ) v r ( j ) 卜o ； 3 ) e x ( 0 ) 卜0 ，e x ( o ) x r ( 0 ) 】一s ( 0 ) ； 4 ) c o v ( x ( 0 ) ，w ”o ，c 0 吣( 0 ) ，y ) ) 10 ； 5 ) e 小 ) - 历他) ，e 【( m ( 七) 一历 ) ) ( 肌( ) 一赢( ) ) 卜仃 ) ； 6 ) 他) ) ，p ) 及x ( o ) 与伽 ) 】i 相互独立，x ( 0 ) 分别与 w ) ，p ) 互不相关。 其中 小器曷 e 木 表示对随机变量半取数学期望。 上述条件表明， 韩僻) ) ，p ) ，及伽承) 可以是非平稳白噪声序列，但它们相 互之间还必须是不相关的。在上述条件下，r a j a s e k a r a n 等推导出的线性最优滤波 9 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 及预报递推公式为： 滤波公式 x ( k k ) 一z 七一1 ) + k ) g ) 一示 ) c 辑弦他七一1 ) ) k ( k ) = 历 ) p 七- 1 ) c r ) 1 ) 吃 ) 一尺 ) + 历2 ) c ) p k 一1 ) c r ) + 仃 ) c ) s ( 七) c r ) s ( k ) = 彳 ，k - 1 ) s ( k 一帅r ，k 一1 ) + b 一1 ) q ( k 一1 ) b r 一1 ) 滤波误差方差矩阵为 p ) - p k - 1 ) 一历 ) k ) c ) p k 一1 ) 其中初值为 x ( o o ) 一e ( x ( o ) 卜- 0 p ( d ) s o ) 一步预报公式 z k - 1 ) - 4 ，k 一毗 - l l k - 1 ) p ( k k - 1 ) 一彳 ，七一1 ) p ( k - 1 ) a r ，k 一1 ) + 曰 一1 ) q 一驷r 一1 ) 其中令 竞 i r a ) 一x ( k ) 一x ( 忌m ) s ( k ) - e 仁( 七矿 ) p ( k k - 1 ) e j ( k k 一1 ) 曼r ( k k 一1 ) t p ( k ) 。e 饼忙k w ( k k ) 2 3 基于j o r d a n 变换的单通道带乘性噪声广义系统最优滤波 上节r a j a s e k a r a n 滤波【s l 是基于带乘性噪声非广义系统数学模型的状态最优 滤波，这种数学模型在描述多维、多层次、多目标的大型复杂系统，尤其是一些 耦合系统系统时存在局限性，不如带乘性噪声广义系统精确。 本节以如下能够更为精确描述实际系统的带乘性噪声广义系统数学模型作 1 0 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 为讨论的基础，采用j o r d a n 变换和线性最小方差估计方法，给出一套状态最优滤 波算法。 + 1 ) 一血 ) + 跏 )( 2 - 1 ) z ( k ) - m ( k ) c x ( k ) + 1 ， )( 2 2 ) 其中x 为n 维状态向量，z 为，维观测向量，w 为z 维动态噪声， ，为， 维量测噪声，m ( k ) 为一维乘性噪声；e ，a ，b 和c 分别为n n 、n x n 、n x q 、 ，x n 维系数矩阵。假设系统满足如下条件： d 1 系统是正则的，且r a n k e n 一1 ； d 2 e w ( 七) - 0 ，e w ( 七) 矿( ) ) aq ( 七) ； d 3 e p 辑) 一0 ，e v ( k ) v r ( j ) 卜- 尺 ) ； d 4 e 伽 ) 】= 历 ) ，( m ) 一历 ) ) ( 垅( _ ) 一历( j ) ) 】i 一盯 ) ； d 5 e z ( 0 ) - o , e x ( 0 r “) ) 一s ( o ) ； d 6 随机序列伽 ) 、p ) 、 w ) 及初始状态x ( o ) 统计独立。 下面首先介绍一个引理，然后给出通过j o r d a n 变换将上述系统转化为带乘性 噪声正常系统的步骤。 引理1 【删若nx n 矩阵膨的秩为m ，即r a n k m - m ，那么矩阵m 至少有n - m 个 零特征根。 定理2 3 1对于满足条件d 1 - d 6 的系统( 2 1 ) 、( 2 2 ) ，若矩阵e 有鼋个零特 征根，则存在可逆矩阵z 使系统化为 厨 + 1 ) 一瓜他) + b w ( k )( 2 - 3 ) z ( k ) - 册( 七) a f ) + ， )( 2 q 其中 云z 。垃r 。j 。_ q 01 01 0 l 呻是约当块的直和，且可逆， n 1 。l 0 10 l 1 l 001 1 0 l tl 0 0j 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 彳，z 。r 。 a l l 口功1a l ， 一q + i 口h a 月g ，l a 口一1a 一叮，月一鼋+ l a 一g a n - q + l , 1 a n - q + 珈口a n - q + l ，j i 一口+ 1d n - q + l , n - - a 1 a 一岬 a 一吁+ 1 口m = 雕耄 胁协国 召一c z 一【互五己】 i ，一r k ，- c 写 ，瓦1 | 瓦呷n | 夏岬+ ：夏，r t 差量】 此时若瓦一1 n 乒0 ，则该广义系统可以化为如下正常系统： ) 一阵 ) 夏1 ) l 夏1 + z ) 焉 ) 】r 。慝曷】 一x , , - q + l 阶拥i 一亡 互- 互s 删一去眦) 爿上阳4 - 二蟹) j 二瓴，4 二碘) 1 “7 a n 一1 + ll瓦一1 + 1 以，一铋l 瓦，覃+ 1 2 3 一彳2 2 如 l 耳- 去 ，繁, n - q 扩+ 1 型b 2 苎髫】瓦一1 “l 瓦一必l c ，i - - 。- - ! - - a n 。互一弘。瓦棚+ 。己一萌，】 1 2 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 一1 0 ) 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 v r ) a 1 ， ) + m ) 口w ) d ，。一姜& 口 一1 “ ( 2 1 1 ) 数为g ，则存在可逆矩阵t ，使得z e t 一豆，令x ) 一巧 ) ，代入( 2 1 ) 、( 2 - 2 ) j f 三丢】 茎囊三釜 = 至耋至 差囊；】+ 茎】w ， 此时若彳中瓦- 瓦一1 + 。乒o ，则由上式的最后一个方程， o 一互 ) + 互z ) + 互又 ) + 豆w ) l “ + 1 ) - 互 ) + 互爰 ) + 互爿 ) + 豆啡) “ + 1 ) - 互 ) + 互爰 ) + 互“ ) + 豆啡) e w ( k y , r ( j ) e m ，他) ( ) + 朋( ) q 以_ ”r 一q 坦偏( j f ) e 饥 n r ( j ) 卜e p ( 七) + 小 ) 4 w ( k ) x v ( j ) + m ( | ) d ，w ( j ) ) r - 似 ) + 历2 ) d ，q ) 4 r ) 一r ， ) ( 2 - 1 3 ) 所以，正常化后的系统( 2 - 5 ) 、( 2 6 ) 为加性噪声同时刻相关的单通道带乘性噪 声正常系统。证毕。 。 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 下面直接推导给出上述系统在线性最小方差意义下的最优滤波公式。 记 z ( k k - 1 ) = p r o j z ( k ) 乙- 1 】l 由( 2 6 ) 式， z k 一1 ) 一c rp r o j m k ) 互一，】 注意到 坍 k ( k ) - f f t ( k ) e x ， ) 】。 ) 一历 ) ) e 协 ) 】+ 胁 ) 似 ) 一e 协 ) ) 及投影公式【们，便有 p r o j m k ) 乙一。卜e m k ) 】- + c 0 v ( m k ) ，乙一。) 妇r 1 乙以】( 互一。一e 乙一。) 一历 ) 【e 传( k ) + c o v ( x r ) ，互以肪r 1 圾以】_ ( z 七以一瓯以) 一历 k 僻k 一1 ) 这里 七一1 ) 一p r o j 纯 ) 乙4 c o v ( 口，b ) - e ( a e a 一e 6 ) r v a r 1 斜一【e ( 口一e a 一e 口) r 】- l 所以 z ( k k - 1 ) 一历 ) c k 一1 ) 按照新息的定义，由下式 三 k 一1 ) - z ( k ) - z ( k k - 1 ) ( 2 - 1 4 ) 给出的 三 七一1 ) 是新息序列。 由( 2 5 ) 式， x r ( k k - 1 ) - 4 - l l k 一1 ) + 耳w - l l k 一1 ) ( 2 - 1 5 ) 其中根据投影定理，并注意到e w 一1 ) 砭：- o ，便有 w ( k - 1 k - 1 ) = p r o yw - 1 ) 乙一1 】- 1 4 基于j o r d a n 变换的带乘性噪声广义系统最优估计算法研究 一p r o w ( 七一1 ) 三 - l l k 一2 ) 】 - e w ( k 一班r ( k - 1 1 k - 2 ) w a r 。1 仁 一l l k 一2 ) 捧 一1 k 一2 ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 4 ) 、( 2 6 ) 式， e w ( k - 1 ) z r ( k - u k - 2 ) - s w ( k - 1 ) z r 一1 ) 】- z w ( k 一1 ) ( 七一1 ) ) 一i 一1 ) 记 s r ( k ) = e 协 澎 ) ， 已睢k q e z r 媾泫一q 曼l 眯f k 一蛳 r ) - v a r 三( k k 一1 ) 则由 乞( k l k 一1 ) - 历 ) c 曼r ( k k 一1 ) + ( 册( 七) 一而 ”c ) + 咋 ) 便有 瓦 ) = 示2 ) c p ( 七七一1 ) c 歹+ 仃 ) c 墨 ) c ，+ 耳( 七) 其中 ) 可如下递推计算 s ) - a r s , ( k 一聃r + b r q ( k 一蛆r 于是( 2 1 5 ) 式可写成 x , ( k k 一1 ) - 4 x , ( k 一1 1 k - d + & t r ( k 一1 ) 冠。1