（电工理论与新技术专业论文）复变换Z←aZtltigt在分形构图中的应用.pdf

蔓塑茎兰坠瑟兰堂些堡苎 a b s i ：, a e t f r a c t a li san e w l y r i s e ns u b j e c td u r i n gt h ep a s td e c a d e s ，s o l v i n gt h e p r o b l e m ss u c h a sc o a s t l i n e l e n g t hc a l c u l a t i o n ，w h i r l p o o l e t cw h i c h p u z z l e ds c i e n t i s t si nt h e i rr e s e a r c h a sf r a c t a lr e f l e c t sm a n y n a t u r a l p r i n c i p l e s ，i th a s d r a w nm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sf r o m s c i e n t i s t sa n d r a p i d i jb ：e na p p l i e 西i n t or e s e a r c ha n dd a i l yl i v e s t h e p a p e ra i m s a tt h ef r a c t a lr e c o n s t r u c t i o n ，o rf r a c t a lc o m p o s i t i o n b e s i d e sb e i n gap o w e r f u lt o o lf o rr e s e a r c h ，f r a c t a li sa l s oa na r t i s t i c f o r c ef o ri t sg r a p h i cw h i c hc a nb eu s e di nu p h o l s t e r y ，f a s h i o nd e s i g n e t c ， t h e r e f o r eg i v e ni t si m p o r t a n c ei np e o p l e sl i f e f r o mt h es t u d yo ff r a c t a l c o m p o s i t i o n t og r a d u a l l yf i n do u ti t sg e n e r a l p r i n c i p l e ，w ec a n d r a w a n y p i c t u r e sb yi f sp a r a m e t e r s ，a n dt h e nu s e i tt os t o r ea n d c o m p r e s st h e i m a g ed a t aw i t ht h o s ep a r a m e t e r s a l lt h e s ew i l li n f l u e n c et h ei m a g e c o m p r e s s i o nd e e p l y t h em a i n t a r g e t i nt h e s u b j e c t i st h eu s eo f p l u r a l t r a n s f o r m a t i o nz = a z + ti nt h ef r a c t a lc o m p o s i t i o n t h ep a p e r g i v e st h e d e f i n e so f p l u r a lt r a n s f o r m a t i o n ，t h e o r e t i c a l l yp r o v e st h ec o n v e r g e n c eo f i t e r a t e di m a g e sb yi t ，e l a b o r a t e st h ep i c t u r ep r o p e r t i e s ，a n dp r e s e n t s m a n y b e a u t i f u lf r a c t a li m a g e sf r o mt h ep l u r a lt r a n s f o r m a t i o n s a tt h es a m et i m e ，i ti n t r o d u c e san e wi m a g ec o m p o s i t i o nm e t h o d b a s e do np l u r a lt r a n s f o r m a t i o n ，w i t hav i e wt oa v o i dt h eb l i n da n d o r d e r l e s sf r a c t a l c o m p o s i t i o n e s p e c i a l l y ，t h es t u d y i n p l u r a l t r a n s f o r m a t i o n c o m p o s i t i o ng i v e s o u tt h e p r i n c i p l e o f p a r a m e t e r s c o n f i g u r a t i o n ，w h i c hc h a n g e t h ef o r m e rm e t h o d o f p a r a m e t e r a t t e m p t i n g ，t h e r e f o r es u c c e s s f u l l y r a i s e st h e e f f i c i e n c y o ff r a c t a l c o m p o s i t i o n o nt h ew h o l e ，f r a c t a li sar e s e a r c ht o o l ，a sw e l la sa na r t ，w h i c h d e p e n d s d i f f e r e n to p i n i o n s k e y w o r d sf r a c t a l ， i t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m( i f s ) ， a f f l n e t r a n s f o r m a t i o n ，p l u r a lt r a n s f o r m a t i o n 第4 页共6 9 页 上海大学研究生学位论文 第一章分形理论的概述 1 1 分形理论的发展 1 1 1 分形理论的产生 分形理论是非线形科学中的一个活跃分支，它研究的主要对象是非线形系统 中产生的不光滑和不可微的几何形体，在非线形世界里，随机性和复杂性是其主 要特征，但在这些极为复杂的现象背后，也存在着某种规律性。分形理论就是在 传统几何学面对那些自然界和科学实验室中出现的凹凸而不圆滑、破碎而不连 续、粗糙而不光滑的形或无序系统时应运而生的。分形理论的产生使得人们能够 以新的观念、新的手段来处理这些难题，即透过其表面无序的混乱现象和不规则 的形态，揭示隐藏在其复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系”! 。 特别应当指出的是，本世纪6 0 年代以来，由于计算机作为研究手段( 而不 仅仅是数值计算工具) 的广泛应用，与理论、实验手段相结合，促成了“非线性 科学”的建立。其中，美国科学家曼德布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 在1 9 7 5 年 提出“非规整几何图形”的概念”1 后，第一次提出“分形f r a c t a l ”作为一 个集合，“分形”被定义为豪斯道夫( h o u s d o r f f ) 测度f 的一种“新度量的集 合”，是分形的自相似性和“无标度性”与豪斯道夫分形维数联系起来。这方面 研究的迅速进展，使人们对一些久悬未解的基本难题，诸如物理学的确定性描述 和概率性描述的关系、湍流发生的机制、自然界有序和无序转变的条件等等，涉 及到几乎整个自然科学和社会科学各个领域，使“分形”在纯数学微积分学、物 理学、化学、材料科学、地质勘探、疾病诊断、骨架预测，以及计算机和信息科 学等等许多领域中，都得到了广泛的应用。 1 1 2 分形理论的发展 分形概念的提出虽然是近几十年的事情，然而其真正丌始萌芽发展的年代却 可以追溯至1 9 世纪后期，它的发展大致可分为以下三个阶段“1 ： 上海大学研究生学位论文 第一阶段为ls 7 5 至】9 2 5 年，在这个阶段，人们已经认识到几种典型的分形 集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。其中比较典 型的分形图形有冯科赫曲线和康托尔三分集。 第二阶段大致为1 9 2 6 年到1 9 7 5 年，在这半个世纪里人们对分形集的性质做 了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得丰富的成果。从而系统、深化了第 一阶段的思想，贝西柯维奇及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段，他们研究了 曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、s 集的分析与几何性质、以及 在数论、调和分析、几何测度论中的应用。这些研究结果极大的丰富了分形几何 理论。但这一阶段的研究主要局限于纯数学理论的研究，另一方面，物理、地质、 天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想 与有力的工具来处理。正是在这种形势下，曼德布罗特以其独特的思想，系统、 深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、 银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等典型的自然界中的分形现象，并取 得了一系列令人瞩目的成功。 第三阶段为1 9 7 5 至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形 成独立学科的阶段。在这一阶段分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有 较快发展。由于分形具有极强的应用性，它在材料的结构与控制，力学中的断裂 与破坏、高分子链的聚合，模式识别，自然图形的模拟，酶的生长，以及计算机 和信息科学等领域取得了令人瞩目的成就。由于应用科学和计算机制图的刺激与 推动，分形的数学理论也得以迅速发展，并且目的更明确，思想更深入。在此期 间，有关分形的专著纷纷问世，研究论文的数量以几何级数量增长，国际专题会 议也此起彼伏，大有雷霆万钧之势。为此，曾有人指出：1 9 世纪后半期似乎是 科学与数学变得更加专门化的时期，而且两者均已被应用到对一系列深层次的交 叉学科的研究中。不过，随着分形的发展，分形自身的一些基本问题，诸如：分 形几何的形的刻画，维数的本质，维数的封闭性等已十分尖锐的摆在人们的面前 这些问题已经赢接影响到分形的实质性的、深入的研究。因此这些问题将是分形 理论研究的焦点。 上海大学醑究生学整论文 1 王。3 分形嚣定义 分形( f r a c t a l ) 是感美国i b m ( i n t e r n a t i o n a l b u s i n e s sm a c h i n e ) 公司 研究中心物理部研究员鬣哈佛大学数学系数授曼德布罗特( b e n o i t b m a n d e l b r o t ) 在1 9 7 5 零箍窭豹，慧愚是壤冀、玻簿、分数、分级等。在1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又对分形做了如下描述：分彤是指由各个部分组成的形态，每个部分以某 荦辛方式与熬体裙能。 但经过理论与应用的检验，人们发现这种简单的定义很难包播分形如此丰 富的内容，函此这两个定义也逐渐地不被人们提及了。那么究竟什么是分形昵? 它们所遵秽翥的“不舰则”的规则又是什么，塑翦被认可的静与传统方法不同的 定义方法，对分形作了如下定义。1 ： 分形燕一些麓荦空潮上熬一黧“复杂”嚣点懿鬃合，这静集会其毒某些装 殊性质，荫先它是所在空间的紧致集，并鼠具有下面列出的典型的几何性质： 1 )分影集懿兵有强慧，l 、尺艘下静毙镶宝鼙节，或者说它其青耩爨静结季鑫。 2 )分彤集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某然条件的点的 轨迹，也不是菜些简单方稔的解集。 3 )分形集鼠有某种露相似的形式，可能是近似的自相似或耱统计的自相 似。 4 )般，按零方式定义豹分影集豹“分形缝数”，严掊大予它耀应瓣拓 扑维效。 国 在大多数令灭感兴趣夔壤影之下，分形爨交 耄麓单静方法定义，可 能以变换的迭代产生。 对予冬秤不嗣虢分形+ 有煞可能同时蕻育上述匏全部- 陡质。有的可能只有 1 ) 到j ) 中的大部分性质，丽对某个性质有例外，假这并不影响我们把这个集合 称为分形。应当指出，自然弊和各门应用科学中涉及的分形绝大部分都是近似的。 当尺度缩小到分子的尺寸，分形性也就消失了，严掺约分彤只存在予理论磷究之 中。 第7 页共6 9 更 上海丈学好宽生学位论文 嘎。2 分形的应用 2 0 世纪8 0 年代后期，世界上1 2 5 7 季亨学术刊物发表的论文中，与分形有关 的占3 7 5 8 1 ，所发表的论文几乎涵盖了科学的各个领域，显示了分形在许多科 学技术领域广撼瓣应用翦景。 在客观世界的几何描述方面，分形几何是描述非规则图形及客观对象的有效 王具，特爨是隧蛰诗舅褫簦形学麓盛舞发震，磷j 二筷叛鑫然景物、动蚕懿，f 乍、建 筑物配最以及影视特殊效果景物生成的需要，用传统的几何学几乎无法描述，而 掰分形方法，磊静已可以达弱戳鬣乱真的程度。荚国a c ms i g g r a p h 每年会 议发表的最新研究成果中，有不少是基于分形方法建模丽取得的。 当分形理论与计算机科学理论相结合后，分彤在信怠压缩、存储及模仿自 然现象中的各种淹妙蛰形等等方猫发挥了藿要 乍愆。美斟数学家憋恩颏鬻 ( b a r n s l e y ) 于8 0 年代提出分形图像压缩技术怒种利用图像本身的复杂性中 包含豹交握毅洼遴 亍压镄编码热瑟方法。1 9 8 8 年，b a r n s l e y 怼足蝠嚣豫遴行囊 缩编码，获得了离达1 0 0 0 0 ：l 的压缩比。1 9 9 2 年1 2 月，微软公司推出张磁 纛+ 它蕊帮集文字、动邋、音瓣、鹜豫、照片予一体翁酉科全书，它有7 个 小时的音响、1 0 0 个动画及8 0 0 张可缩放的彩色地图。在这8 0 0 多张高质量的 黼片中有鲜花、撩伤、人杨、动物、云彩与名胜等，而所有这些压缩后的数据没 裔超过6 0 0 m ，馓到这一点的恰怒分形技术“1 。 尤其是在当今社会，信息时代带来的“信息爆炸”，已经迫使人们不得不 认真考虑其解决的办法了。比如一揠2 2 3 0 2 2 3 0 x 8 b i t 戆气象翌星红豁云强占 4 7 4 m b 的内存，这样一颗卫星每天( 半小时发困一次5 个波段数据) 的数据量 为l 。i g b 。在海洋建蘧勘测方瑟，条麓簿年注录静数据簧1 5 0 0 0 盘0 5 英寸 的计算机磁带。4 3 。由此可见对数据的压缩存储或传输已成为信息科学重要的课 题。舔分形就是一个已经被褥来进行鬻像鹱缩，并且是一个很有潜力的压缩工其。 第二熄资本市场的分形时矧序列“。在股票交易中，个股票越易变，则其 风险性就髓大。这种易交性或风除陛常常膈统计掌中的标准( 方) 差来度麓，大 的标准差挺对应蓑大约风脸，然丽+ f 葱的铡子表躜单就标准差寒发量是不够豹。 下面是两个可能的收蕊率序列，表1 1 中s 1 是无趋势序列，而s 2 的增强 趋势缀臻鼹，s 1 有l ，9 3 a 桑积收姜，s 2 鬟i l 为2 2 8 3 。瑟两麓豹标漆差分 第8 页藏6 9 页 上海大学研究生学位硷文 别是1 ，7 0 和1 7 1 几乎相等，可见用标准筹作为敞险姐度量就傍在比较海岸 线时用长度一样飚无效的，表中有另一个数字表示分维，8 l 的分维是1 4 2 ， s 2 数分缨跫1 + 1 3 ，这表明s 1 显然比s 2 是更为参差不齐的序列，藤以分维可 以是定性区分两个序列的种指标。 表1 i 糖准差毒分掰臻 j 观察l 23 4 56累计收益率标准差分形维 is l21- 32121 9 317 01 4 2 is 21234s62 2 8 3i ，7 ji 1 3 有效市场假说( e m h ) 认为，由于当前的价格已经反映了所有可能获得的 或公开的信息，未来的价格只能由新的信息决定，市场遵循随机游渤，每一天的 价格与前天的活动无不糖关，这样e m h 就隐含地瑕定，辑有投淡耆会立郄对 价格作出反映，然而实际情况是，有些人的确是一接受信息就马上作出反应，但 多数久会等到趋势手分臻驻方嫠凌反映。凑予确认信惑熬时阉不露，对予傣愚豹 消化是不均等的，这导致了一个有偏的随机游动，赫肆特( h u r s t ) 在2 0 世纪 4 0 年彳弋全嚣琚究了有壤聪撬游动，m a n d e l b r o t 搀它嚼俸分形毒瓣运动，在经 济学研究领域则叫它为分形时间序列“。 大多数资本市场，如藤际段系、国库券、货币汇率、经济指数等的交化馥线 实际上都遐分形，分彤时阗序列是以长期i 己忆过程为特征的，它具有循环的趋势， 并且是非线性动力学系统和混沌的结栗。 分形镪朗运动( f b m ) 是蘧枫分形生成逼真景物嬲数学模型，剥魁遽枧终点位 移、插值和傅利叶滤波等方法，借助于方差和分形维数可用以产生各种自然景物。 其援羞域露宽广。套然爨戆海枣线、出形、河耀、地形她虢等，均哥以逶粪遗 产生。 分影璎论箍舞以后，穆遴学家将它有效缝甭予处簿一整过去长时闻以来宋熊 解决的难题，如湍流的研究，包括其理论分析和可视化，取得较好的效果。物理 学家运用它也解决了一系列新提出的问题。 在气蒙学中，人们应用分孝厅理论开展研究取得不少进展，著名的洛沦兹吸引 子就是一个分形体。云系的影状、阵雨的模式和温度、降水餐在土壤中的渗透模 式等等，郝可以用分形理论进行分缀研究。 分形地貌学”1 是理论地貌学的个重要分支，它研究：1 用计算机生成各种 上海大学研究生学位论文 地貌，并探讨其内部机制，例如各种标准的理想的地貌：l f j 峦、丘陵、沙漠、湖 沼等；2 用分形理论计算现有地貌的分维，进而探讨其内在本质与规律。早在 1 9 8 3 年m a n d e l b r o t 在分形专著中就提出并强调分形地貌( l a n d s c a p e ) 的问题。“。 分形理论在生长模型( 包括晶体生长、神经网络、表面催化等) 、经济规律( 包 括人口的分布、城市规划等) 、地质( 断裂、地形地貌、石油开采等) 、生物分形( 视 网瞪结构、终络、癌组织特性等) 等领域的砰究中，已取得不少成果。 8 0 年代中提出的迭代函数系统( i f s ) ，不反i _ 崩来构造任意形状的图形， 而且在图像数据的压缩方面，也提供了有力的方法，其压缩比非常高，实时的编 码与解码表明，它在“图像通讯”和“远程计算机技术”的发展中，具有广阔的 应用前景。此外，大比率的图像压缩也具有现实的军事、经济应用价值。i f s 以 其简洁的数学模型，但能描述自然界景物的特性越来越引起人们的关注。 在社会科学和艺术领域”“，也在积极研究并应用分形理论。美国影片“星 球大站”中，就用了不少分形图案。其中一系列奇峰异谷( 分形山脉) 和各种独 特的场景，都是人类用分形创造的外星世界，而产生这些新颖、美丽的景色的 数学描述则是十分简单。 与人们的生活息息相关的应用则是：分形在构图方面的应用，即在原有分形 图的基础上进行构图，然后将这些分形图案用于装饰或者纺织、服装行业等。 总之，分形几何的应用正在迅速遍及科研、生产与生活的许多方面，因此， 不同专业的读者可以从不同的侧面研究分形并发展分形的应用“。“。 1 3 分形研究的对象及本论文研究方向 传统数学的研究对象是一些规则的“简单”集合，如直线、圆、光滑曲线、 光滑曲面等。而自然界与人类社会则广泛存在着大量不规则的“复杂”事物。诸 如花草、山脉、烟云、火焰等举目皆是，面对这些事物与现象，传统科学显得束 手无策。而分形几何学则把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且 在不同尺度之下保持某种相似的属性，在变换与迭代过程中得到描述自然形态的 有效方法，于是分形理论就成为了描述不规则几何形态的有力工具。 尽管分形的定义及其度量的方法尚待完善，但是人们已经把复杂事物确定 为分形的研究对象，把分形学视为一门关于以复杂事物为研究对象，探索复杂性 上海大学研究生学位论文 的新方法的学科。 分形理论是近一、二十年才发展起来的一门新的理论，目前仍处于不断发 展之中。自然科学领域( 如物理、化学、地球物理学及生物学等) 中的分形学术 论文、书籍不断增加，涉及分形的国际会议和各种专题讨论会有增无减。总的来 晚，对于分形的研究最多集中在以下方面”：如何判断一个对象是分形或多重分 形；分形维数的物理意义；分形的动力学机制；关于j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的问题：随机多重分形的数学问题；分形曲线的导数问题；分维计算的方法特 别是由混沌时序计算分维的可信度问题：多重分形的热力学、相变实质及相变普 适性划分判据问题：分形的小波分析及小波变换产生分形的问题；生物膜的分形 结构及其与细胞膜病变的关系问题：原子、分子的分形问题( 包括量子混沌) ； 胖分形及重正化混沌问题；自组织临界现象( s o c ) 及负幂律问题：分形重构及 图像的分形压缩问题。 本文的研究方向是复变换z = a z + f 。在分形构图中的应用，本论文的核心部分 首先讨论了复变换z = a z + ，所构分形图的性质及特点，然后又讨论了该复变换在 分形构图中的应用，所以属于分形重构范畴。而且对分形构图的研究从长远观点 看是为分形图像压缩做准备工作的，因为本 文所讨论的由复变换z = a z “所构成的图形 及在此基础上的扩展图形，都是用几组简单 的i f s 数据表示一幅图形，如果能够做到用 几组数据表达生活中任何一幅图形，则将在 图像压缩中引起一场革命，当然在现阶段是 不可能达到这一水平的。不过对于大家已经 熟悉的个别分形图已经起到数据压缩存储的 圈l1 分形树 效果，如图1 1 所示分形树，如果以b m p 格式存储，则将占用1 6 3 k 字节的内存空间，即使通过w i n z i p 工具进行压缩也 要占用3 5 6 k 字节的内存，而如果用该分形树的i f s 参数存储该树，则仅需要 3 0 6 字节的内存空间，后者的压缩比可达5 4 5 4 6 ，是一般压缩比的1 1 9 1 倍，由 此可见用构成分形图的i f s 参数来存储图形，可以节约很大内存，比一般的图 第1 l 页共6 9 页 上海走学g 究生学篷论文 溶压终比要赢。 另在本课题的研究过程中除了用到i f s 迭代方法外，避多次用到分形仿射定 理，逸蓝下章褥藿筮讨论分形穆菇熬实褒方法，嚣为分形铸嚣变换不投是分形棱 图的有力工具之一，也同样具有图像压缩的功能。图1 2 和图1 3 所示，是图 l 。l 左土部分矮两羊申方法藏犬后的鬻形。囊这两辐霭影可以着出焉箨努澎傍辩方 法放大后图形分辨率将降低，而用分形仿射变换放大后的阁形其分辨率则保持不 变。因为对一般图形进行保存，它所占内存是一定的，当对图形遴行放大时，赋 形成图形嬲像素问的距离将变大，从丽图彤的分辨率将降低，当放大到一定程度 时，像素间距离过犬，图形将失真，如果想保持放大后的图形分辨率不变，则只 有遽过增棚爱影所占内存，藕对予分形躅形刚不存在这个阉题，因为分形仿射变 换前后的图形都是由i f s 参数迭代而来的，对图形进行放大后，如果想得副放大 懿熬效暴只震增撩迭我次数帮可，鞠此麸戴点上谤露臣谎分澎费瓣变换零爨共有 图形压缩的功能。 霉l ：甩传统方岳对醋彤艘太搿倍 眷i 、3 精仿辩变换对匿形艘太两话 1 。霹l f s 迭代系统 本论文采蓐l 酶分形掏黼方法是袋典鍪麓i f s 。j 遮代法，为侍么在众多斡分形 构图方法中选择i f s 迭代法，而不选择像l 系统等其他构图方法瞩? 这是因为 带i f s 方法可隧产生各种形态的植物、丛林、由川簿不规则实物酬，而且用几组 i f s 参数即可确定一个分形阉形，与l 系统等其他构图方法糨比显褥比较囊理， 第1 2 页菇6 9 页 圭堕叁鲎竖壅兰鲎篁笙兰 而且用一一组i f s 参数表示一幅巨形在图像压缩中也有着广泛的应用前景。 1 4 1i f s 的定义 i f s 是由m f b a r n s l e y 于1 9 8 5 年提出的分形构图系统，它的定义如下： 上的一个迭代函数系统v = w 。，w 。) ( n 为有限整数) ，w 。是r “一r “ 的压缩映射，即存在o 1 ， w ( x ) 一w ( y ) 。 x y ，v x ，y r “， 与w 。t 相对应的有一个伴随概率p ，o p i 1 0 ) 为一个独立随机序列。 如果紧致集x c r “，存在开集0 3x ，使得vx 。u ， d ( x 。，x ) = i n f x ，一x ：x x ) 一o ，( 当i 一。时) 那么称集合x 为( r “，v ，p ) 的吸引集，称u 为x 的吸引域( 或吸引子) 。 i f s 方程 在二维坐标系中，由i f s 构成的分形图形被描述为 g = x 。ix 。= 如x 。+ b ，、，n = l 、( 1 1 ) a 一5 l ：。a ：12：j 8 。2 ：“l 6 3 。 i f s ( 迭代函数系统) 方程为：x = i x 。tb( 1 2 ) 根据i f s 的定义，迭代映射矩阵a 。b ，与概率p 有关，因此加上下标p ， 由于概率p ，不影响分形图形的形状仅影响灰度。i ”，为了描述方便，在式( 1 2 ) 中a 。b ，简化为a ，b 。 1 4 2i f s 分形图形的构图步骤 迭代函数系统i f s 生成分形图形的实现可运用随机迭代法，大致可分为以 下步骤”。： 1 ) 给出概率分布 n ，皿) 第l3 页共6 9 页 上海大学研究生学位论文 一，互二： j 。，西；，”：jm 3 ) 产生一个随机数t ( o t 一- - 中v 。中，所以甲，= v ，2 将所有, - p 。( f = 1 2 ”) 标记为v 。， 那么￥。与 - f 之间的关系为：- p ，= 中o 一( 2 。1 4 ) 洹明：当中为多个j 芝续的仿射变换时，有中= 中。中。 分形仿射变换实现定理 设分形返代映射甲。，其i f s 的迭代方棵为：也= 戗一，+ b ，若存在一个 分彤仿射变换e ，其相关仿射变换中方程为：y = u x + ，使t 变换成为甲， 则甲，的迭代方程为：j ：，= 以：一+ 。 其中：肘= u a u ，l = 一u a u 一1 + l i b + v 证明：甲，对应的迭代方程为z ：凡y 。+ 雪 第2 7 页共6 9 页 圭塑盔兰堑塑圭堂堡堡兰一 用三维齐次坐标形式表不为： 站 矧k - 设r = i 彳 ，则爿。= 心“，相关仿射变换y = u x + y 用三维齐次坐标形式表示为：y = 苫| x 烀 ：”岍t x 设甲。所对应的矩阵方程用三维齐次坐标表示为：匕= 户l 一其中p 为甲，所 对应的矩阵，那么分形仿射定理、壬，。= o 甲。中。中映射关系在i f s 中可用矩阵运算 具体表达为p = t r t 。 即 p = u 4 y 一醐u 。：+ u b + y 将v 。以二维坐标形式方程来表示为l = u a u _ 1 k + l u a u 。1 v + u b + y 推论1 用齐次式表示分形仿射交换定理的形式为：p = t r t ，其中p 为甲。所 对应的矩阵，t 为币所对应的矩阵，r 为v ，所对应的矩阵。 推论2 若e 是连续月个分形仿射变换，各分形仿射变换。( i = 1 ，2 ，l q ) 所 对应相关仿射变换为o 。( i = l ，2 ，n ) ，其对应矩阵 为r ( i ：l ，2 ，n ) 。则分形仿射变换定理表示为： p = 豫7 1 ，其中t = 瓦l 一，t ( n 为整数) 。 证明：i = 1 ，p = t r t 。 i = 2 ，p = 瓦( r , e l “) 瓦= ( t 2 t 1 ) r ( t z “正“) i = 1 时，j d = t 一( l 一2 瓦月( 瓦一：一) t o - l “ = l 1 l 一，正r ( l 一。l 一，五) “ 所以当f = 聆，p 2 瓦瓦一l i e ( ：r o l 一】_ ) 图22 0 蕨类植物叶子 第2 8 页共6 9 负 占塑查生堕壅圭兰垡笙塞 困蓝分7 髟济射定理可以表示为：p = 搬丁，其中丁= _ ，z 。丁l ( n 为整数) 。 下面举例说明运用分形仿射变换定理实施分形仿射变换的全过程。 假定把图2 2 0 中的蕨类植物叶子( 其i f s 映射参数见表2 - 1 ) 在烈y 轴方向 以掣。l 为例， 弘= 胁1 。0 吲0 0 所以，中：u ：e ，矿： k ，r ：【2 0 05 0 】7 丁骺v = 雕矧 0 0 3 0 0 0 所以鼻= t r l t = l0 0 1 69 0 0 1 0 01 j 同理得到掣甲。所对应矩阵，各参数见表 2 9 中的i f s 参数。 表2 - g 蕨类植物叶子平移变换后i f s 映射选代参数 a i ia lz a z i a 2 7b 】b ：妊率p 1 0000 1 63 0 009 00( ) 0 【 08 500 400 408 54 ll8 6908 j 0 202 6o2 30 2 22 6 636 94( ) 【) ? 01 5 02 8 0 2 602 4 3 1 692 【90 0 7 根据t “甲。迭代所得图形正确实现了蕨类植物叶子分别在工l 方向上平移 2 0 0 、5 0 个单位。( 为了使变换前后的分形图形能进行对比，把变换前后的两图 画于同一坐标平面上，如图2 2 1 ) 比例变换 第2 9 页共6 9 页 !塑盔兰墅茎生鲎望堡墨一 假定把罂2 2 0 中的致类撞物时子( 其i f s 映射参数见表2 一1 ) 在爿、j ，方向上 缩小至原来的o 3 倍，即令s ，= o 3 ，s ，= o 3 a 由推论l 可得：掰对应舵矩薄尹= 豫丁。以：为倒， 妒= 降瓣 丁拦f 耍y 1 = 1 0l 荆苫 0 300 o o 3 0 oo1 甜嘲 所以芝= 豫：t * 0 8 0 5 4 n 0 8 。4 5 2 1 ；4 3 2 00 1 图：藏类德物叶子比倒交换汞俐 所以芝= 豫：* l -1 lli 8 8 1 ”。 同理褥到墨，、。、t 。所对应矩垮，各参 a ia i ： 赴 a ： b ib 概率p j w ：00 0 0 1 63 001 4 40 o l w ： 0 8 50 0 40 。0 40 8 53 9 32 14 20 8 5 似10 2 02 6o 2 3o 2 22 7 9 9：2 2 9 20 0 7 讹 一o i 50 2 8o 2 60 2 43 0 2 71 0 7 70 0 7 根据掣- 掣。迭代所得图形正确实现了蕨类植物叶子分别在工r 方向上缩小 至艨来的o 3 倍。( 为了使变换前后的分形图形能进行对比，把分形变换前君两 图蕊于同一坐标平霸上，可得图2 。2 2 ) 旋转变换 把图2 ，2 0 中黝菝类植物时予绕原点( 0 ，0 ) 旋转8 0 。，霹o = 8 0 。 由推论l 可得：甲所对应的矩阵p = 豫r 。 第3 0 页共6 9 页 圭查盔堂婴塞圭兰些堡墨一 ，一r0 2 一o2 6 933 以甲”为例， ，。 告：3 j 2 l 。詈3 。言27 ：4 j 黜= 雠- s i n 玎o 一c o s 8 0 。：筹卜。 其对应变换矩阵为： 丁= c o s 8 0 。一s i n 8 0 00 s i n 8 0 。c o s 8 0 。0 o01 所以b = t r 3 t 一= 0 2 2 5 0 2 5 6 0 2 3 4 o 1 9 5 5 9 0 4 1 0 5 1 5 oo1 同理得到、甲，：、甲，。所对应矩阵，各参数见表2 - 1 l 中的i f s 参数a 表2 一l l 蕨类植物叶予旋转变换后i f s 映射迭代参数 a i le t l 2a 2 la 2 2b lb 2概率p w i 01 5 5 0 0 2 7 30 0 2 7 40 0 0 4 82 9 9 1 1 0 6 8 20 0 l w ：0 8 80 0 400 40 8 5- 6 8 0 42 5 3 008 5 w ：i0 2 2 50 2 3 40 2 5 6 0 1 9 55 90 4 1 0 51 500 7 w40 1 3 60 3 1 00 3 3 00 0 4 61 7 8 31 0 5 6 00 0 7 根据甲。，甲，；迭代所得图形正确实现了旅类植物叶子绕原点( o ，o ) 旋转8 0 。 ( 为了使变换前后的分形图形能进行对比，把分形变换前后两图画于同一坐标平 面巴，可得图2 ，2 3 ) 。 围22 3 蘸娄植物叶子旋转示意固 第3 1 页共6 9 页 上海大学研究生学位论文 2 2 3 两种方法的比较 用常规方法进行分形仿射变换造成分形图形产生畸变，上述两种实现分形 仿射变换的方法解决了这样的问题。这对于进一步研究i f s 分形图形非常重要。 而两种方法各有特色，一种是从系统的角度出发；另一种则侧重于用数学方法求 解，它们各有千秋。为了说明它们各自的特点，我们对一个分形混合变换的实例 分别用两种方法来求解，从而作出比较。 例：已知分形树( 图2 2 4 ) 迭代映射v ，所对应的各参数见 表2 4 ，求一分形迭代映射甲。其迭代所得图形是原分形 树绕定点( 1 0 0 ，1 0 0 ) 旋转1 4 0 。 圈2 2 4 分形树 al la 1 2a 2 【a ” bl b ! w i o 0 5ooo 6 04 7 54 0 0 w 2 o 0 7ooo 6 54 6 51 1 7 0 w 3 0 5 3 60 3 8 60 4 5 00 4 6 06 1 8 9 9 w 4 0 4 7 00 1 5 4o 1 7 10 4 2 34 1 95 1 j w j0 4 3 30 2 7 5一o 2 50 4 7 6 0 8 52 4 ，9 w 60 4 1 80 3 8 30 5 00 3 2 l9 1 9 96 4 9 一、用系统方框图的变换来实现 ，一必殳一；史， 羔生f 一! j 专三卜旦j 二己产 r e - r s t r a s _ s r 札即s 纩瓦万_ - t 分三 ( a ) 绕定点旋转原理方框图( b ) 标准方框图 圈22 5 混合变换( 绕定点旋转) 的方框图 图2 2 5 ( a ) 是一个绕定点旋转的分形图变换框图。为了实现绕定点旋转，首 先把分形图移到坐标原点，然后进行分形旋转变换，最后把分形图移回到原处， 既把整个仿射变换分为三个变换：、y 方向上各平移- 1 0 0 ，绕定点( 0 ，o ) 旋转 1 4 0 。，瓜y 方向上各平移1 0 0 。图2 2 5 ( a ) 清楚地说明了这一过程。图2 2 5 ( b ) 是化简后的i f s 标准方框图。由图2 2 5 ( b ) 可得到绕定点旋转的变换式为 圭墨查堂竺芝兰兰堡堡兰 工= 删r 一1 x 1 尺三，一r s + 尼4 ，5 rs 一兄4 。r 1 1 s ( 2 1 5 ) 其中r 为思；：劣 ，口是分形旋转的角度，s 是定点坐标。 这样对图2 2 4 所示的分形树绕定点( 1 0 0 ，1 0 0 ) 旋转1 4 0 。，则可以直接套 用式( 2 1 5 ) 来实现。该分形树变换前后的参数如2 2 6 和2 2 7 。变换后图形参数 如表2 一1 3 。 图22 6 分形树幽22 7 绕定点旋转后的分形树 a l la 】。a + z la “b ib 2 0 2 7 702 7 lo2 7l03 7 39 5 9 556 3 0 2 2 703 5 503 5 j03 5 32 5 8 2 32 0 1 3 2 05 3 60 4 5 00 3 8 604 6 01 2 48 0 34 3 9 04 5 90 t 8 401 4 104 3 41 3 0 7 l5 5 6 0 0 4 6 302 8 60 2 3 90 1 4 69 02 9 41 1 33 0 0 3 2 0 0 3 8 404 9 904 1 99 80 3 5 1 4 8 5 3 二、用分形仿射定理实现 绕定点( 1 0 0 ，1 0 0 ) 旋转1 4 0 。是一个分形仿射变换l ，它包括三个变换， e 】：瓜y 方向上各平移一1 0 0 ，：绕定点( 0 ，0 ) 旋转1 4 0 。，e 。：瓜，方向 上各平移1 0 0 。 v l a ，所对应的矩阵p = 豫r = 兀疋7 _ r g l t , ) 。 以t 为例，r = o 0 5 0 o 0 06 0 o 4 7 5 4 00 1 所以，中，：= e ，k = _ l 。一1 。 。其对应矩阵五= ：彳 ：u ：= 。一c 。o i s 。l 。4 。0 。s 。i n 。l 。4 。0 。 ，k = 。，疋= 台? 第3 3 页共6 9 页 占查盔兰! ! ! 塞兰兰壁堡兰 。“u ，：e ，= 【1 0 0l o o r 卅 所以只= t r t = l t , t , r 1 1 0 j t , ) = j 0 2 7 10 3 7 35630 2 7 7019 52 79 5 0 01 同理得到甲，： - f , 6 所对应矩阵，计算所得各组参数与表2 1 3 中的i f s 参数相符。 根据掣甲，。迭代所得分形图形也正确实现了分形树绕定点( 1 0 0 ，1 0 0 ) 旋转 1 4 0 。 2 3 分形仿射变换的应用 分形图的仿射变换在分形研究中有着重要的作用，不但在于对其自身图形 的变换，而且它在分形构图的探索中也是一个重要的工具，尤其是将仿射变换用 程序实现后，通过对分形图进行各种仿射变换，可以很方便的构造出各种各样的 图形，从而使得分形构图的研究更加方便、直观。 另外分形仿射变 换在图像压缩中也有 着广泛的应用前景，因 为运用分形仿射变换 将图形进行放大，与计 算机瞄形学中将匿形 放大的传统方法相比 鞍，有如f 优点：传统 方法将图形放大，通常 的做法是逐行扫描图 图22 8 将分形树局部放大后效果图 形，逐个将各点放大， 因此需记住图形所有点的信息，势必要开辟很大的内存空间。而运用分形仿射变 换，无论是通过方框图的变换方法还是通过分形仿射变换定理，只要找到放大后 图形的i f s 参数，即可通过迭代生成放大后的图形，而无需开辟更多的内存，因 第3 4 页共6 9 页 圭蠹盔堂鲨篓篓兰簦笙兰一 此弱囊交换也可以用于分形匿缘压缩。 如图2 ，2 8 一棵小的分形树，通过仿射变换将其局部放大，可班看到只是形 或该分形挝静i f s 参数致变了，蒸次是娶达到毙较瀵澎鳇效果攒搬了迭代次数， 延长了构图时间而已，但仅仅是i f s 参数大小的变化，对该分形图所占内存无太 大影确。 仿射变换在分形构图中的应用示例如f ： 图2 2 9 中左边的分形树叶是原始雷形，右边 的树叶是左边树叶的的几组i f s 参数分别实施仿 射变换后所得参数迭代而成的。 变换翦慝参数如下嚣疆个表中蔚示数据： 表2 1 4圈2 2 9 中左侧圈形i f s 参数 图22 9 对圈蓐的局部参数进 音亍仿射变换后所得图形 i 序号 bdf p l0 1 7 6 2 3 702 2 0 6 40 2 7 6 3 40 。l7 2 3 8 5* 26 7 2 2 41 54 9 7 8 90 1 0 2 6 7 2 2- 0 1 7 9 9 80 2 5 2 3 8 40 ，2 1 4 4 9 202 4 3 7 2 430 0 5 0 0 509 8 6 7 8 80 1 2 8 3 3 9 30 ，0 l o o o o0 。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 + 3 5 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0。65 0 0 0 00 0 1 3 0 9 5 40 7 7 9 5 2 5o0 2 5 8 2 60 0 2 7 2 20 、7 3 9 5 4 9- 0 0 7 0 2 52 8 1 6 2 2 00 7 5 5 8 9 3 圈2 ，2 9 中右图是将表2 1 4 中第1 组和第2 组i f s 参数运用仿射变换放大为原 来的1 5 倍，将第4 组参数逆时针旋转5 。，得到的新的i f s 参数与第3 魑参数 重掰迭代黝新鲍嚣澎。 表2 1 5 瞄2 2 9 中右侧图形i f s 参数 bdf p | t 02 6 4 3 5 602 2 0 6 403 2 6 4 5 20 1 7 2 3 8 526 7 2 2 41 54 9 7 8 90 1 0 2 6 7 2 2 0 2 6 9 9 702 5 2 3 8 403 2 1 7 3 902 4 3 7 2 430 0 5 0 0 50 9 8 6 7 8 80 1 2 8 3 3 9 3 o0 1 0 0 0 00 。0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 3 5 0 0 0 6 0 0