（电工理论与新技术专业论文）小波及多小波gibbs现象的改善方法及应用研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t n o t h i n gi s m o r ei m p o r t a n tt h a nt h es i g n a lf i l t e r i n gp r o c e s s i n gi nt h e m o d e r ns i g n a lp r o c e s s i n g t h em o s tu s e f u lt o o l si nt h es i g n a lp r o c e s s i n ga r e t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d n o w ，t h ec o m m o nt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s m e t h o di sf o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i sa n ds oo n a l lt h e s em e t h o d s a l m o s th a v et h es a m ed e f e c tw h e nt h e ya r eu s e df o rf i l t e r i n g t h ed e f e c ti s c a l l e dt h eg i b b sp h e n o m e n o n g i b b sp h e n o m e n o ni sau n i v e r s a lp r o b l e mi nt h es i g n a lp r o c e s s i n g n o w t h ea c a d e m e sh a v en oi d e aa b o u tt h es o l u t i o no ft h eg i b b sp h e n o m e n o n a c c o r d i n gt ot h et h e o r ys t u d y ，t h i sp a p e rd i s c u s s e sa n da n a l y z e st h er e a s o no f t h ep r o d u c t i o no fg i b b sp h e n o m e n o ns y s t e m a t i c a l l y i nt h i sp a p e r ，t h eg i b b s p h e n o m e n o ni nw a v e l e ta n dm u l t i - w a v e l e tw h i c hi sv e r yp o p u l a ri nt h es i g n a l p r o c e s s i n gi s d i s c u s s e di nd e t a i l ，a n dt h ei m p r o v e m e n to ft h ee l i m i n a t i n g g i b b s p h e n o m e n o n s i m u l a t i o ni ss t u d i e dv e r ym u c h s o m ee x p e r i e n c e d i n c l u s i o ni sg o ti nt h es i m u l a t i o n ，a n ds o m eo ft h e mc a nb ee x p l a n a t i o ni nt h e t h e o r y t h i sp a p e ri ss e ta b o u tw i t hs i m p l ew a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o df i r s t l y ，t h e n i t a n a l y z e s a l lk i n d s o ft h r e s h o l dm e t h o dc h a r a c t e r t h em o r ee f f e c t i v e t h r e s h o l di sc h o s e n a f t e ra n a l y z i n gt h ed e f e c t so ft h es o f t h a r dt h r e s h o l d ，a n e wt h r e s h o l db e t w e e nt h es o f t h a r dt h r e s h o l d si su s e dt ot a k ep l a c et h e m t h e p o p u l a rc i r c l e - s p i n n i n gm e t h o di s u s e dt o i m p r o v et h eg i b b sp h e n o m e n o n ， a n di n t e g r a t e dw i t ht h en e wt h r e s h o l d t h em u l t i w a v e l e t sh a v es o m es u p e ra d v a n t a g e st h a nt r a d i t i o n a lw a v e l e t s i nt h i sp a p e r ，t h ee l e m e n t a r yr e s e a r c ho ft h em u l t i - w a v e l e td e - n o i s i n gm e t h o d i sd o n ef i r s tt i m ei no u rm o t h e r l a n d f o rt h e r ei sn ob e t t e rm u l t i w a v e l e t s t o o l k i t ，t h e m u l t i w a v e l e ta r i t h m e t i ci s c a r r y e d o u tw i t ht h em f i l eo f m a t l a bi nt h i sp r o c e s s a n d ，l i k et h et r a d i t i o n a lw a v e l e t ，t h em a t l a b p r o g r a m sa r eu s e di n t h em u l t i - w a v e l e td e n o i s i n gp r o c e s s t h es i m u l a t i o n r e s u l t sp r o v et h a tt h ee l i m i n a t i o n o fg i b b sp h e n o m e n o ns t i l lh a v eal o to f w o r kt ob ed o n e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 k e yw o r d s ：g i b b sp h e n o m e n o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ；m u l t i w a v e l e t t r a n s f o r m ；c i r c l e - s p i n n i n gm e t h o d ；t h r e s h o l dm e t h o d 西南交通大学曲南父逋大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密酉，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名：席确怨 日期：知略f 3o 指导老师签名：刎 日期：知略、厂岁。 去f 剐 ) 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究 工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的 个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法 律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： ( 1 ) 本文首次将新型阈值与循环平移法相结合，使循环平移法能 较好消除g i b b s 现象的特点与新型阈值能克服软、硬阈值固有缺点的优 点相结合，并通过采用间隔循环平移代替完全循环平移来提高运算效 司旨 牛； ( 2 ) 本文首次对改善多小波中的g i b b s 现象进行了系统的研究， 与传统小波的g i b b s 现象的改善进行了对照。针对目前没有较为理想的 多小波工具包，将多小波算法以m a t l a b 的m 文件加以实现。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 引言 第1 章绪论 g i b b s 现象存在于很多科学问题中，在信号处理中g i b b s 现象的影响 尤其严重。f o u r i e r 级数在不连续点处会出现上下振荡现象，这个现象即是 g i b b s 现象，这个现象最初是由h e n r yw i b r a h a m 在1 8 4 8 年发现i l 】，后来 被a l b e r tm i c h e l s o n 所关注，1 8 9 9 年，著名的物理学家j o s i a hg i b b s 给出 了具体解释1 2 ，3 j ，故这一现象被称为g i b b s 现象。自从g i b b s 现象被发现， g i b b s 现象便引起了众多数学家的兴趣1 4 以7 1 。g i b b s 现象是由于傅立叶分解 后，其高频系数部分舍去造成的。高频系数的增加从能量角度来说可以说 g i b b s 现象削弱了，但是从信号的平滑程度来说刚好相反，文献f 1 8 】证明 了当傅立叶高频系数无穷取下去将不存在g i b b s 现象。 小波分析出现以后，小波展开重构产生的g i b b s 现象也引起了广泛的 讨论。由于小波基较欧氏基和f o u r i e r 基具有更好的时频局部化特性，且 其在函数逼近时也表现出了较好的性质，所以被广泛应用于许多工程领 域。小波分析中的g i b b s 现象不象傅立叶分析中的那样是全局影响，故其 又称为伪g i b b s 现象，这里为了统一称呼，均称为g i b b s 现象。实际上该 现象几乎存在于信号分解后不完全重构的所有情况，这实际上限制了信号 处理中信号的压缩、滤波等重要部分的应用，极大的降低了小波分析、傅 立叶分析中的去噪效果，所以对g i b b s 现象的研究有着重大意义，g i b b s 现象的改善将大大促进信号处理的很多领域的发展。实际上，小波领域 g i b b s 现象的研究也曾被科学家广泛关注。1 9 8 9 年，j a f f a r d 开始研究小波 变换中的g i b b s 现象l ”j 1 9 9 3 年，r a s m u s s e n 研究了连续小波变换下g i b b s 现象的存在性1 2 0 1 ，1 9 9 4 年，k e l l y 讨论了紧支小波展开下的g i b b s 现象【9 】。 1 9 9 6 年，v o l k m e r 和s h i m 研究了函数在中的正交映射q 。厂的g i b b s 现象，给出了较为完善的结论1 2 】。并且该文的作者也研究了函数在样条 小波展开下的g i b b s 现象。g i b b s 现象产生的本质使g i b b s 现象几乎不可 避免，在经过一些学者的努力后g i b b s 现象的研究处于停滞状态，但是 g i b b s 现象的影响是不能忽视的，对g i b b s 现象的有效处理将会极大的改 善信号处理的结果。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 2 国内外关于消除gib b s 现象的现状 1 2 1 国内的主要研究方法 目前关于g i b b s 现象的消除，一种通用的方法是对信号的间断点进行 一定方式的处理，数据翻转法【2 ，延拓法【2 2 l 等，数据翻转法是对输入信号 在没进入滤波器之前对其进行变换来尽量减少g i b b s 现象带来的影响【2 。 延拓法( 补零延拓法，对称延拓法，光滑延拓法以及它们的改进方法端值 延拓法) 是通过对信号进行延拓以减小g i b b s 现象，但是不同信号对不同 的延拓法效果不一1 2 2 j 。 在傅立叶分析方面，主要采用的是窗函数法或镶边法1 2 3 1 ，通过采用其 他窗函数来代替矩形窗使其减小截断的效应f 2 4 。27 1 。当然从能量角度考虑， 增加带宽也可使g i b b s 现象的影响减弱，相关书籍中有所描述。镶边法是 在原来不连续的理想频率响应的每边镶上两个连续变化的边，该方法能有 效的消除g i b b s 现象，但复杂，计算时间长。 关于傅立叶分析中g i b b s 现象的消除，文献【2 5 2 8 1 阐述了g i b b s 现象 的消除的方法，从产生的原因( 舍去高频分量的结果) 最初是通过增加高 频分量的数量或者说增大低通滤波器的带宽来减小g i b b s 现象，但是通过 仿真或者计算得出，g i b b s 现象不会因为这一方案而有所改观。当然，所 取的高频分量越多，g i b b s 震荡衰减会加快，但是波形的峰起值( 幅值最 大的波纹的振幅，也称为主瓣) 趋于一个常数，即跳变值的8 9 。不过 主瓣的宽度会降低，也就是说从能量角度来晚，增加高频分量的数量( 或 滤波器的带宽) 可以说抑制了g i b b s 现象，但是这时的波形和原来光滑的 波形也有更大的差异，所以从另一种角度来说这种方法的效果并不好。因 为高频波纹的产生是由于截断了频带，所以采用通过其他窗而不是矩形窗 截断高频分量的方式来抑制g i b b s 现象，三角窗是最初为了改善g i b b s 现 象而采用的窗，三角窗使g i b b s 波纹更加平滑，衰减的也更快，但是它的 主瓣幅值并没有降低，而且主瓣也变的更宽，这实际上对g i b b s 现象的消 除效果很不好。为了得到更好的窗函数，后面对三角形窗进行了改进，采 用了一种在三角形和矩形之间的折中图形做窗，h a n n i n gw i n d o w ， h a m m i n gw i n d o w 和k a i s e rw i n d o w 就是一系列改进的窗函数。这些窗对 g i b b s 现象都起了很大的抑制作用，比如h a m m i n gw i n d o w 使g i b b s 波纹 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 的峰起值由8 9 降到0 2 。通过对窗的改进可以大大消除g i b b s 现象。 以上的方法即是傅立叶变换中消除g i b b s 现象的“窗函数法”。窗函数法 是数字滤波中常用的方法，优点是简单，有闭合形式的公式可循，缺点是 通带，阻带的截止频率不容易控制，由于窗的选择与性能指标间并无严格 的解析关系，设计时必须反复试凑才能获得较为理想的结果，因此给设计人 员带来巨大的设计工作量，也限制了这种简易方法的广泛应用，而且这样并 不能从根本上消除g i b b s 现象1 2 9 1 。窗函数的更进一步改进是采用k a i s e r w i n d o w ，k a i s e rw i n d o w 的设计更加规范化，其中有参数a 可以调整窗的 形状，k a i s e rw i n d o w 不但可以调节带宽，而且可以调节峰起值的大小。 以上介绍的是通用的多项式分解重构、滤波和f o u r i e r 分析中的g i b b s 现象的消除。由于小波的特殊性，其时频局部化的优良性质使小波分析有 其自有的独特方法。小波在进行重构的时候由于小波分析与傅立叶分析的 不同，文献【3 0 介绍了一些由小波分解重构的特点而产生的方法，比如循 环平移法( 关于循环平移法，它在小波分析中消除g i b b s 现象的应用很多， 后面会有详细介绍) 。另外h a a r 小波在某些情况下是不产生g i b b s 现象的， 可以利用h a a r 小波来对信号进行消噪【3 l j 。 目前研究方向主要体现在以下方面： 1 、利用非正交小波的冗余信息，以达到消除g i b b s 现象( 较常用的 是离散平稳小波变换【3 2 , 3 3 l ，文献中提到利用离散平稳小波变换的冗余性和 平移不变性可以有效去除g i b b s 现象，从而得出非正交的小波更适合信号 去噪的结论，当然，关于平移不变性就是小波变换中的平移因子b 不取离 散化即可以使变换中存在冗余信息而且具有平移不变性的特点) ； 2 、利用小波系数的时间敏感性，对信号先进行平移，然后进行变换， 去噪，反变换，再逆平移回来，这样就得到了原信号去噪后的信号，如此 对原信号进行循环平移一一变换一一去噪一一反变换一一反平移，选出一 个效果最佳的处理后的信号，这样可以大大削弱g i b b s 现象，对于间断点 不只一个的信号，有可能得到的信号的g i b b s 现象消除的都不明显，我们 可以将得到的信号或其中一些取平均，这样即可达到较好的消除g i b b s 现 象的目的 3 4 - 4 0 j 。 文献f 3 4 介绍了循环平移法去噪的算法，算法如下： ( 1 ) 对带噪信号做循环平移； 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 ( 2 ) 对每次平移后的信号作离散小波变换，得出各尺度上的小波系数 w j ，k ； ( 3 ) 对小波系数进行阈值处理，得出估计小波系数w j ；, k ( 4 ) 利用w j ，k 进行离散小波重构： ( 5 ) 进行逆循环平移，并求平均，得到去噪后的信号。 另外，消噪时常采用的阈值去噪法，如采用的是软阈值则比硬阂值更 为有效的抑制了g i b b s 现象，而且也有一些新构造出的阈值对消除g i b b s 现象比原来的软硬闽值法有更好的效果【4 1 , 4 2 】，可以有比软阈值法更高的信 噪比，与硬阈值法相比，可以大大减小g i b b s 现象。多种阈值的结合有助 于减小g i b b s 现象和提高信噪比。 文献【4 3 介绍了利用其他泛函模型来代替小波阈值的去噪方法，通过 这一方法来改善g i b b s 现象，这一方法要求理论研究较深入，数学基础较 扎实，不利于工程实现。 另外国内一部分学者采用减少关键小波系数的消除的方法来削弱 g i b b s 现象，如基于整体变分法的小波变换模极大值法【4 4 1 ，基于小波影响 锥的小波域阈值去噪方法i4 5 l 等。 文献【4 6 】介绍了将基于a t r o u s 算法的二进小波变换和自适应算法滤除 g i b b s 振荡， 文献 3 2 ，3 3 ，4 7 ，4 8 等介绍了利用离散平稳小波变换的冗 余性来消除g i b b s 现象。 多小波是在小波基础上发展起来的新的小波构造理论。多小波可以同 时具有对称性、正交性、短支撑性、高阶消失矩这些信号处理中十分重要 的性质。文献【4 9 对其进行了详细的介绍。利用其优良特性改善g i b b s 现 象。当然多小波的应用存在预处理的问题，处理好这一问题将有助于解决 g i b b s 现象的改善问题。 除此之外，还有学者通过改进小波来减小g i b b s 现象，使之有更好的 效果，如文献【5 0 】中所用的拟s h a n n o n 区间小波来代替拟s h a n n o n 小波， 可以使重构的精度更高，更好的消除边界效应。 1 2 2 国外的研究方法 国外继循环平移法提出后研究较少，主要仍采用窗函数法、镶边法， 离散平稳小波变换等经典方法。文献【4 7 】利用离散平稳小波变换来消除红 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 外图像的噪声，由于离散平稳小波变换的冗余性，在其去噪过程中不会产 生g i b b s 现象。该问通过大量的仿真验证了离散平稳小波变换在改善g i b b s 现象的有效性。除了采用我们常用的加性高斯白噪声，文献f 4 7 还采用了 乘性噪声和1 f 噪声，而且也采用了渐进最优阈值估计方法。文献4 8 详 细分析了正交小波变换，离散平稳小波变换和小波包的优缺点，指出离散 平稳小波变换与小波包在进行去噪处理时虽然都有其各自的优点，但都放 弃了运算效率增加的运算的复杂度，不利于工程应用的实现，小波阈值去 噪简单易于实现，虽然存在g i b b s 现象，但是综合考虑到各项指标，正交 小波变换却是这三种方式中最好的去噪方法，所以本文并未对离散平稳小 波变换进行更深入的研究。文献【5 1 采用了经典的窗函数法对g i b b s 现象 进行了抑制，即使用了f e h e r 核函数来抑制g i b b s 现象。相比于直接截断 频域函数，f e h e r 核函数可以在一定程度上抑制g i b b s 现象。文献5 2 也是 采用对窗函数进行处理，通过增加过渡带来减少截断效应的影响，这个也 就是所谓的镶边法，其原理与窗函数法大致相同，只是比窗函数法更加灵 活，但是在计算上也更加复杂难以实现。 1 3 本论文的主要工作 本文通过对以往方法的分析总结，研究改善小波及多小波中的g i b b s 现象的新方法，进行了大量的仿真。并在探索新方法的同时有对g i b b s 现 象更深刻的理解，阐述了自己的关于以往方法的看法。具体工作如下： 第1 章探讨了相关问题，对国内外研究现状进行了阐述； 第2 章简单介绍小波变换的发展史和小波及多小波变换的基本理论， 探讨了多小波较之小波的优点和不足； 第3 章探讨了小波滤波中的g i b b s 现象，研究了小波滤波中g i b b s 现 象的消除，并对原有的循环平移法进行了改进，逐渐深入的探讨了一种新 的阈值去噪法： 第4 章对比研究了多小波中的g i b b s 现象，采用同样的阂值，以同样 的思路应用多小波进行对照实验，通过仿真结果验证循环平移法与新型阈 值对多小波的g i b b s 现象的改善效果； 最后总结全文，对本文所做的主要工作进行了总结，并明确了本课题 将来的发展方向，指出了本文工作的缺点和不足。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章小波变换的基本理论 2 1 引言 小波变换被称为调和分析的结晶，是数学发展史上的一个重要成果。 它是建立在调和分析，泛函分析，样条分析、信号与系统、数字信号处理 等基础上的新的分析处理工具，同时具有理论深刻和应用广泛的工程的双 重意义。它被称为“数学显微镜”。近十多年来，小波分析的理论和方法 在理论数学、应用数学、自动控制、分形、信号处理、语音分析、模式识 别、数据压缩、图象处理、数字水印、量子物理等专业领域得到了广泛的 应用。其中在图象压缩编码、数字信号滤波、图象处理边缘检测、数字水 印、遥感影像融合等领域应用尤其多。近年来在法、美、英等国家成为众 多学科共同关注的热点。在电力系统领域中，小波应用于信号的滤波与去 噪、暂态信号检测与分类、谐波分析、继电保护等方面均有相应的研究与 应用。其实只要可以应用傅立叶分析的地方就可以用小波分析，当然一些 情况下傅立叶分析也有其特有的优势。 2 2 小波变换 从历史上追溯，小波分析的原始思想形成于2 0 世纪初，即用一个函 数的伸缩及平移构成2 ( 尺) 函数空间的一组基，因此称为小波。第一个小 波是由h a a r 在1 9 1 0 年提出的，他在一篇描述抽象h i l b e r t 空间特性的论 文中给出了一个由核函数产生的2 俾) 函数空间的一组正交基。1 9 3 6 年 l i t t l e w o o d 和p a l e y 开发出一种利用八度音阶将频率分组的方法，这是按 二进制对频率成分进行分组的傅立叶分析思想的最早起源。1 9 4 6 年，g a b o r 提出加窗傅立叶变换，可以反映信号在任意局部范围的频率特性。 经过数学家、物理学家、地理学家半个世纪的共同努力，h a a r 系已经 发展成为统一的理论框架，使小波分析成为傅立叶分析发展史上的一个新 的里程碑1 5 3 j 。直到2 0 世纪8 0 年代中期由一批数学家领导的“f r e n c h s c h o o l ”小组为小波分析奠定了峰实的数学基础，d a u b e c h i e s 在文献【5 4 1 中 很好的总结了小波分析的发展历史。小波变换是由法国地质物理学家 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 m o r l e t 于1 9 8 0 年提出的，随后，他与法国理论物理学家g r o s s m a n 共同提 出连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩下的不变性1 55 1 ，这使得 能够将一个信号分解成对空间和尺度的独立贡献，同时又不损失原有信号 的信息。1 9 8 2 年，s t r o m b e r g 给出了一个无限支撑的、正交的逐段多项式 小波。b a t t l e 和l e m a r i e 也分别独立地构造了类似的小波。1 9 8 5 年，法国 数学家m e y e r 给出了一个指数衰减的任意阶可导小波。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支撑标准正交小波基，即一系列的具有 任意选定正则性的、有限支撑的、正交的尺度函数和小波，并将当时所有 正交小波的构造统一起来，为以为的构造设定了框架。随后她又发表了长 篇综述【5 6 1 ，对小波理论的发展和推广起到积极的作用，该文成为目前小波 理论研究的最重要的文献之一。 1 9 8 9 年m a l l a t 将计算机视觉领域内多尺度分析的思想引入到小波分 析中，提出多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 的概念，用多分辨 率分析来定义小波，给出了构造正交小波基的一般方法和与f f t 相对应的 快速小波算法一一m a l l a t 算法，并将它用语图象分析和完全重构。它使许 多以前分散在各应用领域里研究的小波成果有可能统一在同一个理论框 架下。 1 9 9 2 年，在小波变换的基础上，r r c o i f m a n 和m v w i c k e r h a u s e r 迸一步提出了小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 的概念，并从数学上作了严密的推导。 利用推广的二尺度方程，原来的尺度函数和小波可以生成一族包括原小波 基在内的“小波包函数。通过引入s h a n n o n 熵作为信号处理应用中对不 同小波包基函数的选定原则，为信号进行自适应频带划分提供了工具【5 。 1 9 9 2 年，a c o h e n 和1 d a u b e c h i e s 提出了“双正交小波”的概念， 即对同一信号厂e l 2 似) ，其分析小波和综合小波可以是两组不同的函数 系。 1 9 9 3 年，基于m v e t t e r l i 和p p v a i d y a n a t h a n 各自独立提出的多采 样率数字信号处理器、广义镜像滤波器组和共轭正交镜像滤波器组的理论 【5 引，产生了m 带小波，它有一个尺度函数和m 1 个小波函数【5 9 1 。 由于实际信号均是有限支撑的，为了很好的刻画信号，避免出现譬如 周期化处理引起的边界效应或失真，1 9 9 3 1 9 9 4 年，许多学者从不同的角 度提出了小波的思想和构造方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 为了解决正交小波基没有线性相位的问题，有学者提出多小波的理论 【6 0 1 ，用向量小波来代替标量小波以满足线性相位的要求。1 9 9 4 年，t n t g o o d m a n 和s l l e e 首先提出了这个概念，并且用h e r m i t 样条构造了第 一个多小波。而第一个非样条多小波是由g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 利用分形理论在1 9 9 4 年给出的，记为g h m 多小波一个著名的多小波。 在多小波的思想出项的同时，1 9 9 4 年s w e l d e n s 提出了用提升方法来 构造具有线性相位的小波变换，进而给出整数可逆的提升框架，使得小波 变换向实用前进了一大步。 随着小波理论的深入发展，小波应用和产业的建立也成为一种趋势。 各种以小波理论研究和应用为主的公司和研究小组相继成立，例如，以i d a u b e c h e s 为首的b e l l 实验室小波小组、d l d o n o h o 领导的s t a n f o r d 大 学的小波与统计学中心、g o p i n a t h 和b u r r u s 领导的r i c e 大学的小波与多 滤波器组中心以及w i c k e r h a u s e r 等的小波包应用研究中心。而“w a v e l e t d i g e s t ”成为i n t e r n e t 网上发行最广的专业期刊之一。从2 0 世纪9 0 年代初， 国内不少院校和科研单位相继成立了小波理论和应用研究的专题小组，已 经取得了部分突出成果。而且，可以实现小波变换的集成芯片也已经问世。 现在，有关小波理论的文献已经遍布当代信息科学的所有学科。所有这些 都充分显示了小波分析自身的优势和强大的生命力。 2 2 1 连续小波变换 设厂( f ) 是平方可积函数，记作f ( t ) e l 2 俾) ，如果妒( f ) 满足容许性条件 1 6 1 c 妒= f 掣虮 则 w f ( 口，易) = o , b e r ( 2 3 ) 其中，妒( f ) 称为基本小波或者母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，它般是时域 上以t = o 为中心的带通函数，在时域和频域都具有局部化( 紧支撑) ，且 均值为零，即 j = 。v , ( t ) a t = 0 ( 2 - 4 ) 对任意连续函数或信号厂( f ) 进行小波变换，如果基函数妒。j o ) 的两个 参数均为连续变量，则被称为连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ， c w t ) 。 只要小波满足容许性条件( 2 1 ) ，则连续小波变换的逆变换存在，即： ，( f ) = 节正啪脚神) 警 ( 2 - 5 ) 也就是说，这时可根据信号的小波系数精确地恢复原信号。 尺度和位移均连续变化的连续小波基函数构成了一组过完备基。这意 味着小波系数之间存在着冗余性，且冗余度可由重建方程来描述。将重构 公式( 2 5 ) 代入小波变换的定义中，得 町( 口。 ) = ( 专f 町( 口，6 ) l f ，蛐。渺軎渺二南。渺 交换积分次序，有 w ( 口0 ，b o ) = 专f k ( a , a o , b , b o ) 町( 口捌7 d a ( 2 - 6 )一驴 ” 其中 k ( a , a o , b , b o ) - 2 l 丽1 妒( 学虮等沙 ( 2 - 7 ) 称为重建核。k ( a ，口。，b ，) 度量了小波矽。 和妒之间的相关性。 2 2 2 离散小波变换 实际在计算机上应用时，连续小波变换必须加以离散化。目前比较通 行的方法是对尺度按幂级数作离散化，即令a 取乜：= 1 ，口：，口；，a ； r 可以某一基本问隔1 7 0 作均匀采样，即在某一尺度a ：下沿了轴以口：f 。为间 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 隔作均匀采样以保证信息不丢失。这样，妒。( f ) 离散化为 一 妒。： f o ( f ) = a o2 2 p ( a o 。o k a g r 。) ) = a o 2 o ( a o t 一七f 。) )( 2 - 8 ) 对任意的函数x o ) l 2 僻) 进行c w t 并得到这些点0 ：，七吒) 上的值为 暇o ：，k z o ) = 正x ( f 0 。( f ) 出，j ；0 , 1 , 2 ，ke z(2-9) 式( 2 - 9 ) 称为离散小波变换( d w t ) 。注意到信号z ( f ) 和小波矽。缸f 。o ) 中的时间 变量t 未被离散化，故离散小波变换是离散a ，f 栅格下的小波变换【6 2 1 。 通常取a o = 2 ，则a 取2 0 = 1 , 2 2 , 2s , - - ，2 7 ，沿f 轴的采样间隔为2 7 z o ，即 - i 每加一，采样间隔扩大一倍。妒。p ) 变为 一 妒也( f ) = 22 妒( 2 t k v o ) ，= 0 , 1 , 2 ，k e z( 2 - 1 0 ) 用f 。归一化f 轴，有 妒， p ) = 22 缈( 2 t - k ) ，= 0 , 1 , 2 ，k z ( 2 1 1 ) 相应的d w t 为 w l ( j ，足) = 正x o 渺厶o ) 出，j = 0 , 1 , 2 ，ke z ( 2 - 1 2 ) 对连续小波变换离散化，势必存在这样的问题：离散小波变换系数 w ( ，k ) 是否可以完全表征原函数，并且，能否由町( ，k ) 以数值稳定的方 法重构原信号? 如此，可以利用小波框架的思想来研究离散小波变换。 框架的一般定义：设是一个h i l b e r t 空间，劬j 僻是h 中的一个函 数序列，如果对于任意函数厂，存在0 a b 1 1 25 2(2-14) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 则称该框架为一个紧框架【6 1 1 。如果施加更强的约束条件a = b = 1 ，则 如，】皿就构成了一组正交基。如果对所有的驴和i i 妒川= 1 ，那么 妒，】- 芦就 是一组标准j 下交基。 在紧框架的情况下，可由下式完全重构原函数： 厂= 彳。1 驴， ( 2 1 5 ) 在非紧支框架的情况下，可由下式完全重构原函数： 厂一彳。1 罗 9 f ( 2 1 6 ) 一 。 其中和，) 胆是如 胆的对偶框架。一般在a 与b 比较接近时，取却，) 胆 的一阶近似形式：妒，2 百嚣9 j ，从而重构公式变为 厂一去 伊， ( 2 - 1 7 ) a + 8 白一t j 叫 、。 这样的重构存在误差。实际应用中希望a 与b 非常接近。 只要将框架定义中的函数序列仞 厚替换为小波基函数妒似，就得到 小波框架的定义，其稳定性条件、小波紧框架、正交小波基、标准正交小 波基、对偶小波框架等都可类似得到。 在小波紧框架的情况下，可由类似( 2 1 5 ) 的的形式完全重构函数；在 小波非紧框架的情况下，可由类似式( 2 16 ) 的形式完全重构函数，或者类 似式( 2 一1 7 ) 的形式得到原函数的逼近。 2 2 3 正交小波变换 正交离散小波是小波框架的种特例。它是小波框架在a = b = 1 时的 情形【5 4 。 一般只在口。= 2 ，b o = 1 的情况下考虑正交小波基的构造及应用。此时， a = 2 ，b = k r o ：j ，k z ，离散小波基表示式为 妒旷上妒掣) ；2 一j 妒 眦) 妒， 2 万, 2 7 , 妒卜可一) 2 22 妒( 2 - i t _ 七6 ) ( 2 - 1 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 为了保证它能够构成l 2 ( r ) 的一组正交基，需要给出更多的约束条件， 首先给出一组标准正交基彬o 一足) ) 膨作为正交尺度函数，由尺度函数构造 出正交小波函数缈( f ) ，使任意函数f ( t ) 可描述为 饨) 一 驴 ( f ) ( 2 - 1 9 ) 其正交条件为 一6 t ，k ，z z( 2 2 0 a ) - - - - 6 k j , k ，e z ( 2 2 0 h ) = 6 i ，k ，z z( 2 - 2 0 c ) 最早的离散正交小波基是h a a r 基： 卜 osf 1 2 妒( f ) = - 1 1 2 ；t 1 ( 2 2 1 ) 【0 e s p h a a r 小波基是一个简单、特殊、又非常有用的小波基，但它却没有很好的 频域刻画能力，其傅立叶变换缈( ) 当o o 时仅以i - 1 的速度衰减。 另外，d a u b e c h i e s 构造了一族紧支且具有任意阶消失矩的正交小波，记为 d a u ( n ) 小波，对应的滤波器长度为n 。d a u ( n ) b 波是连续的，具有n 2 阶 的消失矩，随着n 的增加，亦愈趋光滑。当n = 2 时，d a u ( 2 ) d 、波就是h a a r 小波。 d a u ( 2 ) t b 波除了h a a r 小波外，都不具有对称性或反对称性，这在压缩 或滤波中往往会引起信号的失真，这是紧支撑正交小波的缺陷。 多分辨率分析也是小波变换重要的理论基础，详细内容参考文献 6 3 】。 2 3 多小波变换 多小波( m u l t i w a v e l e t ) , v , 称向量小波，它是由两个或两个以上的函数作 为尺度函数生成的小波，与之相对应的是前面所介绍的仅由一个尺度函数 生成的传统意义下的小波( 为了从称谓上将二者区分开，有时将由一个尺 度函数生成的小波称为标量小波( s c a l a rw a v e l e t ) 或单小波( u n i w a v e l e t ) ) ， d a u b e c h i e s 在文献 5 6 q h 证明了传统小波不能同时具有对称性、正交性、 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 短支撑性和高阶消失矩。这些性质在信号处理中十分重要，所以这里引入 了多小波，弥补了传统小波的不足。 2 3 1 多小波的m a t l a b 算法 令厂吩，巧是f h 办础= 2 j 2 办( 2 7 t - k ) ，l = 1 , 2 ，r ，te n ，k ，je z 线性 张成的团集，根据正爻多分辨分析，则有： f q ) 2 善荟q 舢m 善荟q 社“删+ 善，未乏o ) ( 2 - 2 2 ) 这里，j 。 ，c u 上2 厂，( f ) 咖肘o ) 西，d r , ， 2f f ( t ) , p u o ) 疵。若将传统 正交小波的分解与重构的m a l l a t 算法扩展至正交多小波情况，令： c ， ：| ( c l ， ，c ， ) r ，d ，乒宣 l ，肚，d ，t ) r ，则有： c 一乒= h 加。 d ，一1 乒= g 。c ，2 i + 。 ( 2 - 2 3 ) c j , n2 ；( “m + g ：d j - l , 2 k n ) ( 2 - 2 4 ) 公式( 2 2 3 ) 和公式( 2 - 2 4 ) 分别为多小波的分解与重构公式，该方法也称 作多小波的m a l l a t 算法。 2 3 2 几种常用多小波 耻醐叫甜叫纠2 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 g o = 一压 4 0 1 2 0 时域图： 一3 2 0 3 压 2 0 ，g 1 = 9 压一1 4 02 三 o 2 0 ，g ，； 9 压 4 0 9 2 0 3 2 0 蚯 2 0 图2 - 1g h m 多小波时域图 ，g 3 一压 1 2 0 2 、s a 4 多小波 s a 4 多小波的两尺度函数办，如的支撑均为【0 ，3 1 ；两小波函数妒。，妒： 的支撑均为【o ，3 1 。s a 4 多小波滤波器系数矩阵为： u 压 力o2 _ 二 一 压 “o2 f 1 口24 - 1 1 口2 + 1 1 a 24 - 1 1 口2 + 1 m ；譬 ，g ，：鱼2 肌s 5 e0 1 4 + 瓜。 时域图： ，h 2 = s h l s ，h 3 一s h o s ，g 2 = s g l s ，g 3 = s g o s 图2 2s a 4 多小波时域图 南南 矿一加。一加 南焉 扩一矿一 扩矿一 生“l “焉嘉南南 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 3 、c l 多小波 在区间【0 ，2 a 2 的c l 多小波中，两尺度函数识，九和两小波函数妒。，妒： 的支撑均为【0 ，2 】，其滤波器长度为3 ，因此称之为c l 3 多小波1 6 2 j ；在区间 【0 ，3 】上的c l 多小波中，两尺度函数呶，妒：和两小波函数妒，妒：的支撑均 为【o ，3 1 ，其滤波器长度为4 ，因此称之为c i a 多小波【4 9 。 ( 1 ) c l 3 多小波滤波器系数矩阵： 1 h o 2 三 时域图： 门 1 “o2 五 1 2 一打 4 1 2 1 4 1 2 一矗。 4 1 2 1 4 m 部弘畦 ，11 1 川1 _ _ 【o 门 1 “z 2 三 11 22 打一矗 44 11 2 2 11 44 图2 - 3c l 3 多小波时域图 ( 2 ) c i a 多小波滤波器系数矩阵： 耻矗 淼5 萋期m = 乩3 函0 + 3 , 压插- 6 一：击参2瓜东二3俪1，一=嘉f-5f6一+2,fi5uo 3 ：i - 63 4 i g i i i 1 53 4 i - d 2 丽l 一5 +5 拓一i ，。丽i h 2 = s h l s ，h 3 = s h o s ，g 2 = s g l s ，g ，；s g o s 时域图： 西南交通