（水利水电工程专业论文）清江流域某河段非恒定流洪水演进数值计算.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ( 经过漫长的地质时代和历史长河，长江流域原有生态平衡在自然演进中逐 渐失去，洪水泛滥等灾害已给两岸人民的生命财产造成严重损失，缓减和改 善这种生态危机已成为刻不容缓的历史责任。在现有三峡工程情况下，通过 对整个长江洪水演进模型的建立，能够对防洪预案进行仿真和方案评价，从 而确定三峡工程蓄泄对策及其他堤防、分蓄洪工程的决策，防止洪水灾害， 、，一 利用水资源为国民经济与社会发展服务。7 本文立足于原有一维非恒定流圣维南方程组的解决方法和长江中游模型 研究报告，在其基础上针对清江流域某河道的资料，建立洪水演进模型；在 洪水演进中，洪水多指河渠渐变非恒定流，是圣维南方程所适用的范畴；洪 水演进的分析与计算，基于一维非恒定流基本方程一圣维南方程，但即使是 一维问题，边界条件不同，计算也有不同的特点，因此本文在将计算断面资 料处理的基础上，首先简化圣维南方程组，然后用四点隐式差分法离散圣维 南方程，利用计算断面的初始条件以及边界条件进行数值计算，并对模型参 数进行率定、检验以提高模型精度，就变动糙率方式进一步提高模型精度的 可行性进行研究。 应用所建模型对四种典型的模拟结果与实测值作比较、分析，并将变化 反映到洪水过程中水位、流量随时间、沿程变化的图形上，计算结果与实测 结果比较表明：本模型能较准确、有效地模拟实际洪水过程，有工程应用前 ， 景；( 而且计算结果显示，利用该模型与实测结合可确定一些实测中难以率定 的计算参数的取值范围，并就某些参数对洪水演进的影响作一定的研究，为 1 工程实际应用提供了计算依据。d 关键词：非恒定流洪水演进数值计算 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h r o u g h t h e l o n gg e o l o g ya g e s a n dt h er i v e ro fh i s t o r y , t h eo r i g i n a l e c o s v s t e mo fy a n g t z er i v e rl o s e t h en a t u r a le q u i l i b r i u m f o rp e o p l e sl i f e a n d p r o p e r t y , d e l u g ea n do t h e r d i s a s t e ra l r e a d ym a k ee n o r m o u sl o s s r e d u c i n ga n d a r n e l i o r a t i n gt h i s k i n do fe c o s y s t e mh a v eb e c o m et h eu r g e n th i s t o r yd u t y w i t h e s t a b l i s h i n gp r o p e l l i n g f l o o dm o d e lo fw h o l ey a h g t z er i v e ru n d e rt h ec u r r e n t y a n g t s eg o r g e se n g i n e e r i n g ，w e c a ni m i t a t ea n de v a l u a t et h ed e c i s i o no f f l o o d c o n t r o lt h e r e b y , t h ec o u n t e r p l a no fy a n g t s eg o r g e sp r o j e c ta n d o t h e rp r o j e c t a b o u th o wt om a k eu s eo f d i k e a n dd i v i d ef l o o dw i l 】b em a d e t h i sp a p e ri sb a s e do nt h es a i n t v e n a n te q u a t i o n sm e t h o da n dp a p e r t h e p r o p e l l i n gf l o o d s e m u l a t i o nm o d e lr e s e a r c hp a p e r so ff l o o dc o n t r o ls y s t e mi n m i d d l er e a c ho f y a h 【g t z er i v e r ) ) o nt h ef o u n d a t i o no f w a t e rm a t e r i a l so f q i n g j i a n g d o m a i n w ee s t a b l i s ht h em o d e lo fp r o p e l l i n gf l o o d t h eu n s t e a d yf l o wi si nt h e m a j o r i t y , w h i c hb e l o n g s t o c a t e g o r y o fa p p l y i n gs a i n t v e n a n t e q u a t i o n f o r a n a l y z i n g a n d c a l c u l a t i n gp r o p e l l i n g f l o o d ，m e t h o d s a r eb a s e do no n e - d i m e n s i o n a lu n s t e a d yf l o w ss a i n t v e n a n te q u a t i o n w i t hd i f i e r e n tb o u n d a r y s c o n d i t i o n t h em e t h o df o rc o m p u t i n gi sd i f i e r e n t b a s e do ns e c t i o n sm a t e r i a l s ，w e f i r s tp r o c e s st h es a i n t v e n a n te q u a t i o n t h e nu s ep r e i s s m a n n sm e t h o dt od i s t r i b u t e i t u t i l i z es e c t i o n i n i t i a l i z e da n db o u n d a r yc o n d i t i o n st o i m p l e m e n tn u m e f i c a l c o m p u t a t i o n n e x ts t e pi st op r o c e s sn u m e r i c a ic o m p u t a t i o na n d t e s tt h ep r e c i s i o n o fm o d e l p a r a m e t e ri no r d e rt oi n c r e a s em o d e la c c u r a c y w ec o n t i n u et h er e s e a r c h t oc h a n g et h em e t h o do fa c h i e v i n gf r i c t i o nr a t i ot oi m p r o v em o d e lp r e c i s i o n w i 也t h ea b o v em o d e l w ea n a l y z ea n dc o n t r a s tf o u rt y p i c a ls i m u l a t e dr e s u l t s w i t ht r u t h t h ed i s t i n c t i o n sa r ed i s p l a y e do nt h ew a t e rl e v e la n df l u x sa l t e r a n t d i a g r a mw h i c hh a sa ni m p o r t a n tv a l u ej ne n g i n e e r i n g t h ec o m p a r i s o nb e t w e e n t h es i m u l a t i o na n dt r u er e s u l t ss h o w st h a tt h em o d e lc a na c c u r a t e l ys i m u l a t et h e 。 r e a lp r o c e s s c o m b i n e dw i 山t h ep r a c t i c a lm e a s u r e m e n t t h em o d e lc a nb eu s e dt o d e t e r m i n et h ev a l u e ss c o p eo fs o m ei m p o r t a n tp a r a m e t e r sw h i c ha r ed i m c u l tt o c o n f i r mb e f o r e ar e s e a r c ha b o u te f f e c t so f p a r a m e t e r so n p r o p e l l i n gf l o o dc a l la l s o + b ea c c o m p l i s h e d k e y w o r d s ：u n s t e a d yf l o wp r o p e l l i n gf l o o d n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n i i 华中科技大学硕士学位论文 i 绪论 1 1 工程背景 我国是一个水利大国、古国，从大禹治水到近代，治水害、兴水利历来是 治国兴邦的大事。长江自唐初到清末1 3 0 0 年间，发生水灾2 3 3 次，唐代平均 1 8 年一次，宋代5 - 6 年一次，明清4 年一次，本世纪以来，长江流域先后发 生了几次大洪水，最近一次是9 8 年长江洪水，给国民经济造成了严重影响， 人们付出了代价，经受住了考验，从中也得到了很多启示。 长江流域1 8 0 万h m 2 ，拥有全国l 3 人口，是政治、经济、文化、交通发 展所系，长江是世界上水量丰沛的河流之一，仅次于亚马逊河，同时也是水 量很大的雨洪水，中下游8 0 万h m 3 ，具有洪水基流流量大、大洪量与河道安 全泄量不平衡等特点。长江沿岸支流众多，由于暴雨和洪水时空分布的差异， 致使干流各河段的洪水组成极为复杂。长江中下游平原水网、湖区、平原 区内江、湖水面b e 降平缓，而且江、河、湖相互串通，洪水互相顶托影响， 水情十分复杂，中下游河道泄流能力与巨大的上游未水量很不适应，因为长 江这些特有特点，它的中下游地面高程多为5 0 m 以下，不像黄河小浪底多为 l o o m 以下，中下游再大洪水时也没有分蓄几百亿立方米这样大的分蓄洪区， 导致防洪问题突出，洪水威胁严重，不可能用简单的分流、多泄等方法解决， 问题最后集中在点：三峡工程，调蓄大洪水的希望在三峡，三峡是举世瞩 目的重大工程，有重大综合效益，对长江中下游防洪的作用是不可代替的。 三峡工程的建成，将使中下游防洪能力有根本性的提高，但如果暴雨中心位 于三峡以下，相应的洪水仍可能使用分蓄洪区。为了减少洪灾损失，必须根 据长江洪水的准确预报，控制运用分蓄洪区。只有掌握长江洪水的演变规律， 才能正确的进行流域综合规划，因此迫切需要建立长江洪水演进模型。 华中科技大学硕士学位论文 天然河道洪水演进实际情况非常复杂，流量和水位呈“绳套”关系，具有 多峰性与非单值性。如果再涉及到分流、河网、潮汐等因素，分析就会更加 困难，应该通过实验、实际观测与数值分析密切配合、相辅相成，才能获得 较为满意的成效。 随着计算机技术的飞速发展和数字化地球理论的不断完善，数字水利、 流域技术逐渐进入了应用领域。尽管作为“数字地球”技术基础的3 s ( r s ， g i s ，g p s ) 技术在水利行业的应用还远远没有发挥它们的潜力，但已经发挥 了重大作用。利用r s 和g i s 技术，快速准确地为决策部门提供有关灾害、资 源、水利规划与管理方面的调查统计数据。通过“数字流域”建设，可以提 供全流域统一的综合信息平台，实现流域各类信息的可视化查询，将整个流 域在计算机上虚拟再现。依托“数字流域”仿真系统，对全流域的水资源进 行动态分析和预测，对洪水进行预警和预报，综合指挥全流域的防洪抗旱， 优化调度和分配水资源，确保全流域堤坝与水库的安全运行和水生态环境的 保护等。除此之外为全流域经济开发的总体规划、优化配置和有效利用水土 资源，缓解水资源的供求矛盾，做好水资源和水生态环境的保护等提供现代 化的工具。 9 】【5 0 】有鉴于此，华中科技大学与清江水电开发公司联合组建“水 电能源综合研究中心”与“数字流域工程中心”。目前，正致力于“清江数 字流域工程”的开发研究。 “清江数字流域工程”总投资达2 0 0 0 多万元人民币，项目完成后，清江 流域的地形地貌、水文特征，尽收眼底；而且清江的洪灾预测与监控，水电 的梯级开发与利用尽在掌握之中，清江将变成一条由高科技驾驭的数字智能 河，基于数字流域的流域洪水演迸分析与仿真项目就是在此基础上，利用流 域全状态综合仿真系统，对整个流域进行洪水模拟预测，可预先了解该流域 的降水量及流量变化，及时进行水情控制，预警预报洪水，指挥防洪抗旱， 优化调度和分配水资源。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 洪水演进计算的现状 公元1 6 1 0 年，意大利人圣托里奥发明流速仪，使河道水流测量有了科学 的基础。此后雨量、水位、蒸发等水文测验技术得到迅速发展，为河道的洪 水演进技术提供了数据资料。2 0 世纪3 0 年代以来，谢尔曼的单位过程线方法、 马斯京根、圣维南河道洪水演进方法又给河道洪水演进技术提供了解决方法。 对于河道、库渠洪水演进技术的研究与应用，在国外已有几十年的历史；国 内这方面研究开展较晚，如8 0 年代初期提出了基于水文学方法的大湖演迸模 型：1 9 9 5 年南京水文水资源研究所与长江水利委员会规划处合作提出了利用 水文学与计算水力学相结合的途径解决复杂河网区的水流模拟模型等都在洪 水演进流域取得很大的进展，【1 6 | 但是与国外相比尚有差距。 长期以来，人们对洪水演进过程进行了大量研究，河道洪水演算可采用水 力学( 亦称简化计算法) 和水文学( 差分计算法) 两类方法，在水文学中马 斯京根( m u s k i n g u m ) 法是河道洪水演算中广泛应用的方法，这类方法以圣 维南的连续方程为理论基础，采用简单的槽蓄方程替代圣维南的动量方程。 马斯京根法有几种常用形式：基本马法、分段马法、变参数马法、非线性马 法、分层马法。目前人们最熟悉的是基本马法，其基本原理是以连续方程表 示的水量平衡方程和槽蓄方程代替的动量方程来描述【8 】： 警小q ， ：1 ) 【s = 【爿7 一( 1 一x ) q 】 其中，和9 分别为研究河段的上游入流和下游出流，s 为该河段内的蓄水量， k 和x 则为参数。k 值是槽蓄曲线的坡度，从物理意义上讲，k 值等于在相应 蓄水量s 下稳定流状态的河段传播时间；为流量比重因子，无因次，反映 水面曲线的形状和河段调蓄作用的大小。方程组( 卜2 - 1 ) 的差分解为： q + = c o l + m + c i + c 2 q ( 1 2 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 式中，c 。+ c + c ，= l ；其中 c o = 蔫，c 1 05 a t = 揣k x05 a t 一= 裟k0a t七一允y + 4 盘一+ 一盘y + 5 该方法的关键问题是参数k ，x 的估计。目前常用方法有试错法、最小二 乘法、最小面积法以及众多的修正方法，一旦参数k ，x 确定后，可根据式 ( 1 - 2 - 1 ) 、式( 1 - 2 2 ) 进行流量演算，然而估计的，工值是使w q 呈单一值 线的最优估计值，并不一定能保证演算的流量与实测流量的拟合误差最小， 并且带有定的盲目性和不确定性，还受到工作者实际经验和判断水准的制 约，即使所求参数准确无误差，但因该槽蓄方程是线性的，即七，石在定河 段内假定为常数：这在某些情况下是不切实际的，尤其在大中型河床的中下 游段，河流坡降小，水流速度随水位升高而增加很快，即存在非线性作用， 为此必须将线性槽蓄方程非线性化，才能更好地满足实际需要。这种非线性 马斯京根模型已由g i l l 和w i i s o n 提出，其非线性槽蓄方程为【1 3 1 ： w = k 陋+ ( 1 - x ) q r ( 1 2 3 ) = k k ，”+ ( 1 一x ) q j ( 1 2 4 ) 要用非线性马斯京根模型进行洪水演算，首先必须正确估计参数七，x ，脚。 有许多学者用各种不同方法对这三个参数进行估计，g il l 提出用试错法对式 ( 卜2 3 ) 的，x ，坍进行估计，但须花费大量的时间；t u n g 用非线性规划法 对式( 卜2 3 ) 的参数k ，x ，m 进行估计，所得结果比g i l l 的试错法要好，但 在求解时，必须假设合适的初值才能保证所得结果达到全局最优，否则会陷 于局部极值，g a v i l a n 和h o u c k 采用使目标函数的误差平方和最小以及最大绝 对误差最小的方法，对式( 1 2 4 ) 中的参数k ，x ，m 进行估计。在这两种情 况下，求解均需花费很长时间。y o o n 和p a d m a n a b b a n 采用m a r q u a r d i 算法进 行非线性最小二乘回归对参数k ，x ，m 进行估计，同样这种方法需要假设合适 的初值才能得出满意的结果。 华中科技大学硕士学位论文 随着计算机技术、各种交叉学科融合的飞速发展以及数学理论的不断完 善，遗传算法、人工智能等新型技术逐渐被引入洪水演进领域。数值模拟采用 数学方程和定解条件将洪水演化过程抽象成理论模型，利用计算机求得问题的 数值解。马斯京根模型参数估计问题实际上是一个非线性优化问题，基于自然 选择和自然基因机制的遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ，简称g a ) 是目前处理 一般非线性优化问题的一种新的优秀方法，对问题是否线性、连续、可微等不 作限制，也不受优化变量数目、约束条件的束缚，直接在优化准则函数引导下 为进行全局自适应寻优，该方法直观、简便、通用。在这些基础上又有很多方 法提出，比如加速遗传算法( a c c e l e r a t i n g g e n e t i c m g o r i t h m ，简化a g a ) 、混合 遗传算法( 以下简称蝣a ) 等都能很好地估计非线性马斯京根模型中的参数 k ，x ，m 之值，而且计算精度高，收敛速度好；j 使用基于遗传的模拟退火法 来估计马斯京根方程参数避免了简单遗传算法容易提前收敛的缺陷以及模拟 退火法搜索较盲目的缺点。 水力学方法以圣维南( s t v e r m a n t ) 方程组的求解为基础，洪水演进多指 河渠渐变非匾定流问题，也包括溃坝洪水，间断波急变非随定情形。洪水演 进的分析与计算，首先基于一维非恒定流基本方程：圣维南方程，但是即使 是一维问题，因为不同的边界条件，计算也有不同，目前关于分汊河道以及 河网的计算，即使使用一维非恒定流计算，也未完全解决。一维计算常用特 征线法或差分法( 少数采用有限元法) ，二维计算多用差分法和有限元法，目 前己成为洪水演进分析计算的一个主要攻关方向。至于圣维南方程的基本原 理，将在下面几章作详细报告，这里不再阐述。 1 3 一维圣维南方程组在天然河道中的应用 天然河道洪水演进中，波的传播并不像水槽中那样简单只需基本水力学 公式就能解决，因为水槽中波的传播只是单调的增减，而在天然河道中情况 就很复杂了，洪水在实际的江河中，水位流量关系呈“绳套”关系，同一个 华中科技大学硕士学位论文 水位，涨水与落水时流量不同；同样，对于同一个流量，它在涨水和落水时 水位又不一样，流量和水位呈多值对应关系。实际的洪水往往又具有多峰的 性质，如果再加上分流与支流入汇，就会变得更为复杂。除此之外，天然河 道蜿蜒曲折，过水断面形状呈极不规则形式，河床起伏不平而且不断发生冲 淤变化，糙率也因地质条件和河槽情况不同，而且糙率随着断面水深的变化 也会有较大的变化，一般情况下天然河道具有非均匀性、非恒定性、紊动性、 三维性，因此简单的使用水文的方法对洪水进行模拟，结果会很不正确，尤 其对于长江流域，在它的中下游段，河流坡降小，水流速度随水位的升高增 加很快，这样更加增添了计算的非线性和难度，采用马斯京根方法去解决， 难以分析计算出河道水流的各个水文特征值，圣维南方程组则是解决此类问 题的途径之一，大多数情况多半属于圣维南方程所解决的范畴。 根据河网、湖泊和堤境地形特征、水流特点以及洪水演变规律，建立一、 二维混合非恒定流计算模型，模型一、二维算法均是基于求解完全圣维南方 程组，一维算法主要采用p r e i s s m a n n 四点加权隐式差分格式( 除此之外，非 恒定流微分方程的差分格式还有蛙跳格式、l a x w e n d r o f f 格式、a b b o t t 隐式 格式，详情请参阅河海大学出版社出版的计算水力学理论与应用一书) 或者特征线法( 少数也用有限元法) ，二维计算多采用差分法和有限元法，也 有用控制体积法( 最典型的代表是著名的p i c ：p a r t i c l e i n c e l l 和 f l i c ：f l u i d i n c e l l 法) ，对于不规则区域形状，采用坐标变换技术与差分 结合，这两种格式具有守恒性、稳定性、收敛性好的特点，模型采用的计算 方法合理、正确。 圣维南方程，是1 8 7 1 年首先由法国学者圣维南建立，用以描述河渠非恒 定渐变流运动规律的偏微分方程： 连续方程：娶+ 罢：g ( 1 - 3 1 ) 华中科技大学硕士学位论文 动量方程：a a - t 9 t 。( 口 筹) 十g d 妻+ g s ，：。+ 。 。，一。一：， 式中g = 9 8 坍1 9 2 ，4 ，b ，q ，z 分别表示过水断面的过水面积，水面宽，流 量，水位；q 为旁侧入流，口为动量校正系数等于单位时间内，河道水流通 过过水面的滩地和主槽部分的总动量与断面平均动量的比值( a 1 o ) 口：等：善c 和k 2 反映断面的流速分布的不翰邮，为摩龇 降，用流量模数女和曼宁公式( 或谢才系数c ) 计算：s ，= 笔拿= 鼎， 考虑到河道水流的进退，根据流量的正负值，确定摩阻比降s ，的值；由于旁 侧入流g 的动量沿干流流向的分量相对较小，常忽略不计，即g + v 。= o 。 许多工程实例表明，以圣维南方程组为出发点，结合一种计算方法，即 直接差分法或特征线法进行数值计算，配合当前的计算机发展，可以有效地 模拟一维洪水演进过程，其成果精度完全可以达到工程精度要求。 由于圣维南方程属于阶拟线性双曲性偏微分方程，在一般的情况下是 无法求出其普遍的解析解。只能针对具体的河渠非恒定流问题，使用近似计 算方法求解。目前这些近似计算方法大致可以分为两种：简化求解法和数值 求解法。简化求解法是针对具体非恒定流问题作具体分析，以确定该问题中 的主要因素，略去次要因素，使圣维南方程组得到简化，然后对简化的圣维 南方程进行求解，这些方法有瞬态法、微幅波法、幂级数法以及我们之前提 到的马斯京根方法等等。这种方法多以手工计算为主，辅之于图表进行计算， 在计算机及计算机技术不发达的年代发挥着很大的作用，但又因为这些问题 的复杂性，简化方程时主要因素确立的准确性将受到很大的影响，从而影响 华中科技大学硕士学位论文 最后成果的精确度。同时因为圣维南方程本身的复杂性，尽管进行了简化， 计算工作量依然很大。目前这些方法已经逐步淘汰，接替的是数值求解法， 这种方法是针对具体的河渠非恒定流问题的计算区域，使用某种计算方法， 对偏微分方程的圣维南方程进行离散，转换为一组代数方程，并根据问题的 初始和边界条件，通过计算机编程求解这些代数方程，从而得到近似解的方 法，这种方法物理概念明确，数学分析严谨，计算结果精度较高。常用的方 法有直接差分法、特征线法、有限元法等等，特别随着计算机和计算技术的 发展，这了方法的应用已经替代了简化求解法。 1 4 本文研究内容 圣维南方程是由河渠非恒定流连续方程和河渠非恒定流渐变流运动方程 构成的一组偏微分方程组，由于方程的复杂性，数学上无法求出其普遍的解 析解，需根据水流的初始条件和边界条件解圣维南方程，求出水位z ( 或水深 h ) 和流量q ( 或流速v ) 随时间和流程的变化关系，但是在实际进行运行波的 数值计算时，常常不容易很快得到计算结果，因此在工程应用时，应根据实 际情况，抓住事物的主要因素，也就是水流的主要作用力，忽略次要影响因 素，对方程进行简化，然后对简化方程进行离散化，辅助计算机语言进行编 程计算得到结果，对天然河道进行洪水数值模拟：数值分析就是研究用计算 机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值 微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线代数、常微和偏微数值解等。口3 j 我们考察用计算机解决科学计算问题时一般经历一下几个过程： 图1 - 1 计算机解决计算问题步骤图 具体而言，本文主要内容如下： 华中科技大学硕士学位论文 ( 1j 明确洪水演进的发展现状，了解方程数篷离散的理论，对一维非恒定流圣 维南方程进行简化分析，采用四直加权有限差分法进行离散化，建立有效的 数学模型。 ( 2 ) 在清江流域某天然河段水文资料基础上，进行网络单元划分和边界处理， 针对长江中游防洪系统洪水演迸模拟模型研究报告中所提出的建议进一 步对模型参数进行率定、检验，以提高模型精度：对变动糙率方式进步提 高模型精度的可行性进行研究。 ( 3 ) 利用已经离散化的方程、根据清江流域某河段的初始、边界条件以及经过 精确处理的模型参数建立计算模型，进行数值模拟，编程得出计算结果并与 实验结果对照，以验证本模型的正确性、有效性。 ( 4 ) 虽然本文是针对天然河道进行洪水数值计算，但在计算断面、资料处理时， 对三峡库区、天然河道问题都进行了考虑，给出了相应的解决方法，为将来 三峡清江流域库区问题的解决提供了参考模型。 华中科技大学硕士学位论文 图1 - 2 项目进行步骤图 一l o - - 华中科技大学硕士学位论文 2 天然河道数值计算理论 天然洪水涉及到明渠水力学范畴，包括明渠恒定流与非恒定流，恒定流又 包括均匀流和非均匀流、渐变流与急变流。其主要研究水深h 、流量q 、流速 v 的变化，也涉及过流能力与断面形态之关系。水流运动要素( 如流量、流速 向量、压强、水深、密度等) 如果不随时间变化的流动就是恒定流，如果这 些运动要素中至少有一个随时间变化，则称为非恒定流。严格来讲明槽水流 很少是恒定的，如果水流随时间的变化常常缓慢到一定的标准，以致于可以 假定水流是恒定的，至少在相对较短的时间间隔内可以假定水流是恒定的。 在天然河道里，由于断面不规则，平面上的摆动、分汉现象无处不在，再加上 洪水水位流量关系呈现“绳套”关系，使得计算不像恒定流情况那样简单， 这些属于非恒定流的计算范畴【l 】【3 ”。 从物理实质的角度来说，河渠非恒定流属于某种扰动引起水中流速、流量、 水位等水力学要素变化，并沿河渠上下游发展的现象。这种扰动在介质中传 播现象的物理学学名叫做波，它是位移波，具有流量的迁移、增减的特性。 所到之处，破环原来的恒定流状态，使该处水力学要素发生显著的变化。由 于河渠非恒定流具有自由表面，液体密度p 一般是常量，这种波主要是以重 力波的形式传播，其主要作用力是惯性力和重力，主要表现形式为水位、流 量的变化和传播【3 9 1 。 2 1 河渠非恒定流的特性 河道中过水断面上的流量q 、平均流速v 以及水位z 等水力学要素随时间 t 不断变化的流动称为河渠非恒定流。其基本特性是过水断面上的水力学要素 即是时间t 的函数也是流程s 的函数，属于非恒定的非均匀流动，这里我们只 研究维非恒定流的特点，至于二维的情况，读者可以察看相关资料进行了解。 对于一维河渠非恒定流来说： 华中科技大学硕士学位论文 f v = v ( s ，) 或q = q ( s ，) ih = a ( s ，f ) 或：= z ( s ，) ( 2 一l 1 ) 式中，v ，q ， 和= 分别代表过水断面上的流速、流量、水深和水位。 2 1 1 河渠非恒定流波的特性 如前所述，河渠非恒定流是一种自由表面的波动现象，属于重力波范畴。 这种波的主要作用力是重力、惯性力以及摩擦阻力。了解这些，可以在将来 构造河渠非恒定流渐变流运动方程时，略去次要因素，对方程进行简化。河 渠非恒定流不同于其它重力波，它属于运行波或者称为位移波。在河渠非恒 定流中，由于某种原因产生的水位、流量变化，将形成一种波动向上、下游 传播，同时质点随着这种波动而移动，流量也随之传递，将会引起水力学要 素产生变化。河渠非恒定流波动从另一方面上讲属于长波，因为此波动的水 深与波长之比小于1 2 0 ，流动时整个水体都能被波动干扰，这样其基本方程 将会因为受到这种干扰阻力而呈现非线性状态【1 1 1 3 5 1 。 2 1 2 河渠非恒定流波动的分类 由于波动的初始条件和形成的过程不同，河渠非恒定流可以分成不同的 波动类型。根据波动的变化激烈程度和波动的涨落及传播方向划分以下几种 ( t l ( 3 1 l 口2 1 ：a 连续波和不连续波：如果波动发生的过程比较缓慢，瞬时水面坡 度较缓，波高相对波长很少，瞬时流线近似于平行直线，其水力学要素随时 间和流程变化相应也很缓慢，在计算上可以看成是时间，和流程j 的连续函 数。这种波动称为连续波，这样的流动称为非恒定渐变流。反之，变化快， 瞬时水面坡度陡，计算上不能视为时间，和流程j 的连续函数，则称为不连续 波，这样的流动称为非恒定急变流，但对于不连续波，在波峰以外的区域可 以近似作为连续波处理。b 顺行波和逆行波、涨水波和落水波：根据波的传 播方向可分为顺行波，即波的传播方向与水流方向相同；逆行波，即波的传 播方向与水流方向相反。根据波所到之处引起的涨落情况可以分为：涨水波 华中科技大学硕士学位论文 和落水波。在实际工程中，将这两类型的波组成四种类型的运行波：顺行涨 水波、逆行落水波、顺行落水波、逆行涨水波。 2 1 3 水力学要素及其影响 我们知道常用的水力学要素是流量q 、流速向量y 、压强p 、水深h 、 密度p 。在河渠非恒定流中，它们是互相影响的，某个量出现最大值，另一 个量也将随后出现最大值，一般不会有各种量同时出现最大值的情况。在洪 水期间，一般情况下，首先是水面坡度出现最大值，髓后出现速度最大值， 再接着出现流量最大值，最后水位将出现最大值。通过对河渠非恒定流中各 个参数之间关系的分析，我们可以知道，在波涉及的区域，各过水断面的水 位一流量关系不是单一稳定的关系。对于恒定流，由于水面坡度不随时间变 化，其过水断面上的水位一流量关系，即o = q ( z ) 为单值函数，而当水流为 非恒定流时，过水断面上的水位一流量关系，则为复杂的多值关系，在图上 表现为“绳套”关系曲线【l 】，也就是说相对于同一个水位有两个流量，形成 “绳套”曲线的原因有很多，最主要是因为河床变形因素和水力学本身因素 的影响。 z z m qq ( b ) f 梦卜二 t，。，。ia豇 华中科技大学硕士学位论文 2 2 圣维南方程 q9 ( c ) 图2 - 1 水力要素关系图 对于一维非恒定流，用常规的水文学方法难以分析计算出河道水流的各个 水文特征值，圣维南方程组则是解决此类问题的途径之一。下面以总流为基 础的一维分析法推导适合河渠非恒定渐变流的圣维南方程3 4 心】 36 1 。 2 2 1 连续性方程 对于恒定流，连续性方程为q = v + a 图2 - 2 ( 2 - 2 - 1 ) 华中科技大学硕士学位论文 对于非叵定流，在有旁侧入流g 的情况下，沿液体流动方向任取相距d j 的a a 和b b 两断面的微小片断，如图所示( 图22 2 ，设a a 断面的面积 为a ，流速为v ，液体密度为p ，坐标s 的方向与液体流动方向一致，在d 5 的微小流段上，设在单位长度旁侧入流量为g ，当流量g o 时为入流，反之 为出流。 假设在d t 时段内，从断面a - - a 流入此流段的液体质量为。= p 倒出而 在同一时刻内，从段面卜b 流出的液体质量为 m 。2 州出+ o ( p 办v a d t ) d s + 所以出，流入流出此流段出的液体质量差为 2 咖s2 研a m b = 一羔( 叫西) 出+ p q d s d t ( 2 2 - 2 ) 式中，p q d s d t 为d t 时段的旁侧量。在另一方面，此流段在西时段初瞬时 液体的质量为m 。= p a d s 。在d t 时段末瞬时液体的质量为 m 22 p a d s + 云( 剧出) 出，由此得到d t 时段内液体质量的变化为 a m r 2 m 2 一i n i2 云( f 以出) 出，根据质量守恒原理，d t 时段内流入和流出此流 段的液体质量差应等于同一时段内液体的质量的变化率，即锄。：m ，也就 是：昙( p 妇击) 出+ , o q d s d t = 昙( 西) 出整理得： 学+ 学谢半+ 挈= 脚( 2 - 2 - 3 ， 如果没有旁侧入流，即q = o ，则有 掣+ 竿珊半+ 挈= 。( 2 - 2 - 4 ) 这两个方程是非恒定流连续性方程，适用于管道非恒定流和明槽非恒定 流。对于明槽非恒定流这样可视为不可压缩液体的情况，密度不随时间变化， 一1 5 一 华中科技大学硕士学位论文 也就是说翌：0 ，式可以写成 a t 丝+ 旦业：口或丝十塑；q ( 2 - 2 - 5 ) e |e s0 t0 s 此式为有旁侧入流的河渠非恒定流连续性方程，说明在单位长度上、单位时 间内，过水断面面积随时间的变化率与流量沿流程的变化率值和等于旁侧入 流量。如果g = 0 ，也就说明是无旁侧入流的情况，方程式相应就变为 掣+ a y _ _ ，a ：o 或罢+ 墨g ：0 ，说明单位流段内流量的变化与单位时间内该 o to so to s 流段中水量的变化有相互消长的关系。还可写成有过水段面面积a 和流速v 表 示的连续方程：要+ v 豢+ 爿尝：g ，如果没有旁侧入流方程式就变为 豢+ v 掣+ 爿尝：0 。为使上述方程便于应用，将方程中的过水断面面积爿由 水深 和水位z 分别表示。根据上述关系，可改写为用变量z 和q ，h 和q ，z 和v ，h 和v ，表示的连续性方程： ( 1 ) z 和q ( 2 ) h 和9 ( 3 ) z 和v ( 4 ) 和v ： 曰鱼+ 箜：口： o to s 1 曰罢+ 挈：g ； 6 t钒 3 鱼o t + v 鱼a s + 兰b 象= 去( g b 加一v 丝a s l h8 sb ” 丝+v丝+兰罢=三(gvoaota sbba s 。) ：出 ” ” ( 2 2 6 ) ( 2 2 - 7 ) ( 2 2 - 8 ) ( 2 2 - 9 ) 2 2 2 运动方程 为了推导出非恒定流运动方程，遵照一维分析法的思想，我们根据总流推 导出维非恒定流的运动方程，然后将其推广到适合天然河道的一维非恒定 流运动方程中。 首先取段长为出的微小流段进行研究，取与液体流动方向一致的方向为 坐标轴s 方向，如图所示( 图2 3 ) ，根据牛顿第二定律建立运动方程；前面提 到影响天然河道水体流动的主要外分力为各个断面的动水压力、重力、侧壁 华中科技大学硕士学位论文 面上的阻力。忽略其他影响因素，由牛顿第二定律，公式f = d m a ，即： p a 一( p + 要d s ) a 一脚出罢一7 a d d s = p a d s ( v v + v s ( 2 2 t o ) u 3o sc tu s 对上式等号两边同除列西得： _ o z + 昙( 旦) + 三宴+ 兰宴十j ；o 或呈o + 旦) + 三拿+ 兰宴+ j ：0 ( 2 2 1 1 ) c so s 7g ( t t go s o s y g8 tg o s 1 s 图2 - 3 上式为非恒定流运动方程的一般形式，它适合于河渠非恒定流，也适用于管 道非恒定流。此式反映了作用在出微小流段上所有作用力：重力、压力、惯 性力及阻力的平衡关系。 根据己推出的总流非恒定流运动方程，针对河渠中非恒定无压流的特点， 推导河渠非恒定流渐变流运动方程。对于河渠非恒定流渐变流流动，水面的 波动是渐变的，过水断面的动水压强分布、静水压强分布符合压强分布规律， 同时局部水头损失可忽略不计，仅需考虑沿程损失，使用恒定流阻力公式计 算。假定河床为定床，河床坡度f 0 1 。 根据上面的假定条件以及考虑谢才公式：，= 击= 暑；式中流量模数， k = a c 4 r ，则由上式可以得到河渠非恒定渐变流运动方程为： 华中科技大学硕士学位论文 g 寨+ t 加t + v t 加s + g 高= 。或者g 寨+ 害+ v 寨+ g 譬= og 面+ w + 石丽2o 或着g i + 百+ v 瓦+ g 紊2 o 河渠非恒定流的连续性方程和运动方程可构成一组偏微分方程组，称为河渠 非恒定渐变流圣维南方程组，也是河渠非恒定流问题的控制方程，这一方程 组的自变量是流程j 和时间f ，因变量是表征非恒定流动的两个水力学要素。 根据水力学不同的要素( z 和q ，h 和q ，z 和v ，h 和v 等) ，分别可以组成 不同的河渠非恒定流方程式。 圣维南方程属于一阶拟线性双曲线型偏微分方程。目前数学上还是无法 求出其普遍的解析解。实际求解时，需根据水流的初始条件、边界条件以及 各种参数的选定，对方程进行简化求解得出水力学元素随时间和流程变化的 关系。 2 2 3 圣维南方程的简化分析 前面我们分析了圣维南方程的基本原理，同时了解到方程的复杂性，目前 这种方程还没有可以普遍适用的解析解，在实际运用中即使能够进行数值计 算，也不能很快得出所需的计算结果，为了方便、快速的得到计算结果，必 须抓住水流的主要作用力，忽略次要作用力，对方程进行简化。 在实际简化当中，主要是针对圣维南方程组中的运动方程进行研究，运动 方程可以写成下列形式【1 1 3 8 i ： 1o vvo vo h 一 一+ 一+ = l j go tg o so s 其中，方程式等号左边第一项为当地惯性力项，第二项为对流惯性力项，第 三项为压力项，等号右边第一项为重力项( 底坡) ，第二项为阻力项( 摩擦坡 度) 。根据有关资料提供的数值大小情况，可对方程进行简化，得到描述下列 波动类型的简化方程；这里只给出具体方程方式，至于各种方程相应求解过 程这里不做叙述： 华中科技大学硕士学位论文 ( 1 ) 运动波 ( 2 ) 扩散波 ( 3 ) 准恒定动力波： ( 4 ) 惯性波 ( 5 ) 动力波 i j = o 或f = j ； 丝：f _ ，： 一一一j ： 西 三堡十一a h ：i - j ： g 西a s 1 土生十三堡+ 丝：o go tga s o s 土鱼+ 兰堡+ 丝：f 一 ga tga s a s ( 2 2 一1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 这些运动方程分别加上连续性方程，则可以得到这些波型相应的圣维南简 化方程；当圣维南方程化成代数方程组后，因为其为拟线性方程组，各个系 数中都含有与未知函数水位流量等有关的量如面积、湿周等量：在计算求解 时，需用迭代法。这是因为在计算未知时刻的量时，需用己知时刻的量。从 方程的性质来看，因为各个系数中的量应用于同时刻的未知量进行计算，这 就需要进行多次迭代。当两次迭代值满足给定精度的时候，则可以结束此次 迭代，进入下一个计算时段。 2 2 4 圣维南方程的几种求解法 目前处理圣维南方程的差分计算可分为两种情况：一种是将圣维南方程组 直接化为差分形式求解( 称为直接差分法) ；另一种是将圣维南方程组先化为 特征线方程，然后再将特征线方程化为差分形式求解( 或称为特征差分法) 。 川1 4 5 j 此两种方法的差分格式又有显函数形式和隐函数形式之分，根据不同形 式的差商逼近圣维南方程组中的偏微商，可得到不同的差分方程，所得到的 方程都必须满足相容性、收敛性以及稳定性的要求，才能保证获得有效解的 可能，所谓相容性指的是步长血和出趋近于零时，差分方程的截断误差也趋 近于零，则所得差分方程趋近于微分方程。而收敛性是步长血和f 趋近于零 时，差分方程的解应收敛于微分方程的解。对于稳定性则是指在计算中，若 华中科技大学硕士学位论文 舍入误差和初始误差始终被控制在一个有限范围内，而不是有限增长，使计 算的数值解近似于差分方程的真解。收敛性和相容性是两个不同的概念，前 者是最终目标，后者是必备条件。按照拉克斯等价定理，如果问题是适定的， 并且差分方程满足相容条件，则其收敛性的充分必要条件是该差分方程的稳 定性。根据拉克斯等价定理，可以通过分析其相容性和证明其稳定性来证明 某种差分方程的收敛性。 一直接差分法：其基本思路是将方程中的偏微商用差商代替，把原方程离散 为差分方程，并在自变量域s f 平面差分网格上对各结点求近似解。如下图 所示构造以流程距离5 为横坐标，时间f 为纵坐标的坐标系，根据原始资料情 况、计算精度和稳定性的要求，选取距离步长血和岔的矩形网格进行分析， 平行于j 轴的直线表示某时刻，此直线在f 轴上的位置编号为，( 1 ，2 ，j ) ，相应 此时刻的量以，为上标表示：平行于r 轴的直线表示某距离位置，此直线在s 轴上的位置编号为j ( 1 ，2 ，i ，n )