（电工理论与新技术专业论文）vfto下大型变压器绕组电位分布的快速算法研究.pdf

声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文 v f t o 下大型变压器绕组电位分 布的快速算法研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的 研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：至渣日期：墨垒堡z ! 互2 0 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：至j 夤二 日 期：b 曰2 o 导师签名：三鍪盐导师签名：釜哆丝 日 期：知0 7 彭伽 华北电力大学硕士学位论文 1 1 陡波前过电压( v f t 0 ) 第一章绪论 随着电力系统规模的增大以及复杂化程度的提高，影响变压器安全可靠运行的 因素变得更加复杂。造成变压器线圈过电压绝缘击穿的情况可分成两大类【l 】： 1 、陡波前冲击电压侵入线圈，形成沿线圈极不均匀的电压分布。少数线圈承 受了大部分冲击电压，从而造成匝间或段间过电压。雷电冲击电压波、陡波前过电 压( v e r y f a s t t r a n s i e n to v e r v o l t a g e 简称v f t o ，又称特快速暂态过电压) 均属于此 类。v f t o 多发生在气体绝缘变电站( g a si n s u l a t e ds u b s t a t i o n ，简称g i s ) 中，这种 暂态电压波有着几十甚至几纳秒的上升沿、几兆甚至上百兆赫兹振荡频率。由于g i s 结构紧凑、设备间电气距离较小，v f t o 信号传播到变压器时，衰减率会比较小。 虽然其幅值可能并不大，以至于变压器的过电压保护装置并不能阻挡它进入变压 器，但是由于这种陡波电压几乎全部将落在线圈靠近线端的一小部分线圈上，从而 引起绝缘击穿。另外，在脉冲功率调制系统中，脉冲变压器在短脉宽、高频率的电 压作用下，高压绕组匝间电压分布不均匀，容易导致匝间或对地绝缘击穿。 2 、电力系统中由于开断操作或线路故障产生的暂态电压波到达变压器线端时， 如果其电压水平没有达到变压器保护装置动作的水平，从而可以侵入变压器线圈。 当该暂态电压波的主要谐波频率与变压器线圈的固有频率一致时，就会引起谐振。 变压器的绝缘设计已经对雷电波以及一些线路故障情况考虑的比较周全，因此 变压器在这些情况下发生绝缘故障的几率很小。v f t o 对变压器影响的研究目前尚 处在起步阶段，因此v f t o 信号对变压器影响的机理还不是很清楚。在绝缘设计时， 对v f t o 信号的考虑也不够充分。从实际运行的情况上看，已经发生了特快速暂态 过电压对变压器绝缘造成损坏的实例。如：1 9 9 2 年大亚湾核电站一个g i s 变电站的 三相有载调压变压器发生了击穿、短路事故。 因此研究变压器在v f t o 作用下的电压分布是必要的。它可以在变压器的设计 阶段就对其绝缘设计提出指导意见，也可以对g i s 变电站的布置、设备的选型及事 故分析提供可靠依据。 1 1 1v f t 0 的产生 随着科学技术的不断发展，近年以来，以s f 6 气体为绝缘介质的气体绝缘封闭 式开关设备在g i s 中得到了广泛的应用。由于s f 6 气体的绝缘性能和灭弧性能良好， 使得s f 6 开关在结构上完全不同于传统意义上的空气绝缘开关设备，它具有结构紧 凑、体积小、占地少、不受周围环境条件影响，对环境污染小等优点，而且运行起 1 华北电力大学硕士学位论文 来安全可靠，一旦安装调试完毕投入运行，几乎可以达到免维护的优良状态。 g i s 变电站在过电压保护和绝缘配合方面与常规变电站相比有些独特之处，隔 离开关( d s ) 、断路器( c b ) 和接地刀闸的操作，以及现场试验或运行过程中的接 地故障，都会在g i s 内部产生v f t o ，并传播到其连接的设备上，对电感类设备可 能会造成比较大的影响。与敞开式空气绝缘变电站相似，g i s 中的隔离开关也具有 切合小电容电流的能力。在切合小电容电流时由于隔离开关触头的分合速度太慢， 加之隔离开关没有专门的灭弧室，所以会不可避免的造成重击穿和预击穿的多次重 燃现象。在每一次重燃过程中都有可能产生很高的v f t o 信号。而g i s 中的断路器 因为在开断电流的过程中速度非常快，所以电弧重燃的概率很小，形成v f t o 的可 能性就小。在3 3 0 k v 及以上电压等级的o l s 中，本身的绝缘裕度在降低，而v f t o 的幅值随运行电压升高而升高，这会引起暂态地电位的升高，对二次设备产生电磁 干扰。另一方面，g i s 的母线短，v f t o 信号传播时会产生多次的折反射。会产生 较复杂的瞬变过程，导致v f t o 的频率高( o 1 1 0 0 m h z t 2 】) 、波头陡( 3 2 0 0 n s ) ， 过电压幅值( 标幺值) 可达2 3 p u 1 1 2 影响v e t o 的因素 影响暂态过电压水平的因素很多，从隔离开关本身来说，有触头的分合速度、 触头形状和电极不对称度等。分合速度越慢，出现高暂态过电压的几率就越高。试 验结果表明，分合速度对过电压的倍数影响并不显著【3 】。 运行中隔离开关操作引起的暂态过电压与g i s 的接线、隔离开关的位置和操作 方式、存在的残余电荷的数量和极性等许多因素有关。而这些因素之间又相互影响， 因此实际的g i s 中的情况是非常复杂的，只能通过模拟计算，得出一些仅供参考的 规律1 4 】： 1 、最高过电压发生在负载侧断路器的断开端。 2 、接线简单的g i s 中发生v f t o 的概率较高。 3 、管道母线较长时出现v f t o 的概率较高。 4 、混合式g i s t 5 l 比全封闭式g i s 发生v f t o 的概率高。 5 、连接到长架空线或电缆线路的g i s 发生v f t o 的概率较低。 1 1 3 v f t 0 对变压器的影响 根据国内外多年的g i s 运行维护经验，v f t o 引发的故障，主要是在3 0 0 k v 电 压等级以上的g i s 中出现。由于v f t o 的产生，或多或少地导致g i s 内部故障以及 g i s 外接设备的事故。如：g i s 内部导体的对地击穿、绝缘支撑和套管的闪络等事故f 6 1 、 变压器绝缘损坏用、避雷器的误动作等嗍。 2 华北电力大学硕士学位论文 变压器是重要的电力设备，相对来说变压器受v f t o 的影响比较大。其最主要 的方面就是对变压器绝缘的影响。很多情况下，v f t o 信号的幅值并不能高到足以 令避雷器动作的程度，这样v f t o 信号就可以轻松的进入到变压器内部，造成内部 绝缘的损坏( 主要是匝间绝缘) 。其主要的影响可归结为以下三个方面【9 】： l 、对仅有几十埘上升时间的v f t o 信号来说，它入侵变压器的直接结果就是 在绕组上产生极不均匀的电压分布，绕组端部尤为明显。 2 、v f t o 信号有着很宽的频率范围，很容易和变压器的固有频率匹配而产生谐 振。此谐振过电压会对匝间绝缘造成威胁，此时匝间绝缘承受的电压比雷 电冲击时的电压至少要高2 5 孵1 0 l 。 3 、隔离开关切合容性电流时会在短时间内产生多个v f t o 信号。变压器在短 时间内面对多次冲击，会加速绝缘的老化。 1 2 本课题国内外研究概况 从研究方法上说，不外乎以下两种【1 1 】： l 、实验研究：对某一实际的变压器产品或仿照实际变压器制作的绕组模型外 加冲击电压，并用仪器测量需要的响应数据，再对测量数据进行分析研究以便得到 规律性的研究结论。 2 、仿真研究：根据研究对象( 变压器) 的特性，建立合理的电路模型，再通 过计算机技术对该电路模型分析求解。 第一种方法是一种直接方法，在测量精度足够的情况下，测量数据就是想要知 道的响应，这是一种实践的方法。第二种方法的结论无论如何都要经过第一种方法 或其它已被证明为正确的方法的检验才能令人信服。但是第一种方法对研究条件的 要求比较高，无论是实际的变压器还是绕组模型都需要雄厚的资金支持，而仿真法 所需要的不过是一台性能好一点的计算机。另外对于实际的变压器或绕组模型来说 并不是任意一个位置的响应都可以测量，比如每一匝上各个点的响应由于变压器构 造的原因是很难测量的。而仿真法则可以计算出任意一点的响应。 1 2 1 变压器的电路模型 早期的应用简单等值电路模型的研究方法难以满足特快速暂态分析的需要，这 里不作讨论。由于研究的频率较高，因此人们的研究开始吸取电磁场计算的一些技 术。即出现了介于场与路之间的传输线的方法，也出现了完全应用电磁场计算的方 法。国内方面，1 9 9 3 年，王赞基建立了一个适合于大型变压器线圈的多导线模型， 推导了该模型的b e r g e r o n 解的形式【“。1 9 9 9 年，邓晖等利用多导体传输线原理，建 华北电力大学硕士学位论文 立大型汽轮发电机定子绕组的脉冲传播模型，模型参数是基于似稳电磁场的有限元 数值计算方法，根据电容、电感、电导、阻抗、传播速度间的关系求得。文中详细 描述了单根线棒、单相绕组及考虑相间耦合的绕组仿真模型【1 2 】。1 9 9 8 年，毛一之以 单个线圈为基础用集中参数的链型网络作为变压器绕组的等值电路，并在各个线圈 的等值网络中加入各线圈的互感和电容，从而组成多线圈等值网络【1 3 】。国外方面， 1 9 8 6 年，r h u d y 等把绕组看作多个饼的级联，每个饼用集中参数等值电路表示。这 种模型不能求解绕组中的波过程d 4 。w r i g h t 等把每饼看作多导体传输线，应用平行 板电容模型计算电容参数1 1 5 1 。m el a r e n 等利用有限元软件包计算多导体传输线的参 数矩阵i i 。1 9 9 7 2 0 0 2 年，y s h i b u y a ，s f u i i t a ，n h o s o k a w a 等人根据g i s 产生 的特快速暂态过电压分布特点，基于多导体传输线理论开发一种用于计算变压器线 圈内部快速暂态电压分布的方法1 1 7 1 。该方法在频域中分两步完成：第一步，用单根 传输线模型计算整个变压器绕组的电压分布；第二步，用多导体传输线 ( m u l t i c o n d u c t o r t r a n s m i s s i o nl i n e 简称m t l ) 模型，以线匝为单位计算第一段线饼中 各匝之间的快速暂态电压分布。2 0 0 2 年，gl u p o 等提出了电动机绕组的多导体传 输线模型，利用有限元软件包计算多导体传输线的电容参数矩阵，再基于t e m 波 假设导出电感参数，并提出了一种利用对称阵的光谱摄动原理的时域求解技术【1 3 1 。 2 0 0 2 年，y o s h i k a z us h i b u y a 等对纠结式绕组提出了一种感容网络模型，此模型将几 个线匝组成一组以降阶，模型参数直接通过设计参数求出【l9 】。2 0 0 4 年，王晓晖提出 了基于散射参数的v f t o 下变压器绕组模型，先测得绕组的电压传输函数表达式， 降阶后再综合出变压器绕组的高频电路模型t 2 0 j 。孙海峰依据混合m t l 模型采用矢 量匹配和递归卷积相结合的方法计算变压器电压分布i l l l 。 将变压器用集中参数电路来描述会遇到元件数过多的问题，这样建立出来的方 程组数目会过大。很明显直接使用电磁场的分析方法，计算量也将是非常庞大的。 直接测量的方法在实际使用中，也会遇到设备上的问题。因此采用m t l 模型是比 较合理的。 1 2 2 电路模型的降阶算法 对给定的电路系统，如果它的网络比较庞大的话，直接求解一定会遇到计算量 过大的问题。因此人们就希望能够把大网络化简称为小网络，高阶的方程化为低阶 的方程，同时还能够保证足够的计算精度。 从数值的方法上说，主要有以下几种常用的降阶方法。把函数展开为泰勒级数， 级数的每一项的系数称为矩量。该方法的思路为找到降阶函数，使该函数的前几阶 矩量和原函数相等，因此被称为矩量匹配法。根据具体算法的不同，可分为渐进波 形估计法( a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n 简称a w e ) 1 2 1 1 、a m o l d i 方法【2 2 】、p v l 4 华北电力大学硕士学位论文 ( p a d ea p p r o x i m a t i o nv i a t h el a n c z o sp r o c e s s ) 方法【2 3 i 、p r i m a ( p a s s i v er e d u c e d o r d e r i n t e r c o n n e c tm a e r o m o d e l i n ga l g o r i t h m ) 方法f 2 4 】等。单点a w e 只能在较小的频率范 围内进行匹配，而且在匹配阶数较高时会遇到严重的数值病态问题。a m o l d i 方法和 p v l 方法都有较好的数值稳定性，但它们不能保持无源性。p r i m a 方法在改进节 点法的基础上进行降阶，能保证较好的数值稳定性也能保持无源性。 平衡截断实现法( t r u n c a t e d b a l a n c e d r e a l i z a t i o n ) 2 f l 是降阶模型技术发展的另外 一个方向。它能产生一个接近优化的h a n k e l n o r m 近似f 2 6 1 。但是它需要解两个 l y a p u n o v 方程，计算量非常大。 1 3 本文完成的主要工作 本文主要研究了v f t o 信号作用下，变压器绕组内部暂态电压的分布情况。在 绕组的传输线模型基础上研究了其频域降阶算法。这对于改进变压器的绝缘设计， 从而提高电力系统的稳定运行将起到积极作用。 本文的具体工作包括以下内容： l 、系统总结了各种降阶算法，比较了它们的优缺点和适用范围。 2 、直接从变压器传输线模型解的形式入手，应用k r y l o v 子空间的方法实现了 降阶；并根据变压器和输入信号的频谱分布特点，进一步简化了计算过程。 3 、在m a t l a b 中编程实现了算法，对一个试验线圈模型和一个8 0 0 k v 的实际 变压器分别进行了仿真计算、绝缘水平分析。仿真结果表明，在保证精度 的基础上，大幅度的减少了计算时间。 5 华北电力大学硕士学位论文 2 1 变压器线圈 第二章基础知识 线圈是变压器的心脏，是变压器变换和输配电能的中枢。要保证变压器长期可 靠运行，对变压器线圈，必须保证以下基本要求1 2 7 1 ： 1 、电气强度。变压器长期运行必须能可靠的承受大气过电压、操作过电压， 暂态过电压和长期工作电压。 2 、耐热强度。在长期工作电流产生的热作用下，线圈绝缘的使用寿命应不少 于二十年；运行条件下，任意线端发生突然短路，线圈应能承受住此短路电流所产 生的热作用。 3 、机械强度。线圈应能承受突然短路电流所产生的电动力的瞬时作用。 4 、经济技术性能。即重量小、损耗低、工艺简单、维修方便等要求。 2 1 1 变压器线圈基本结构 2 1 1 1 圆筒式线圈的基本结构 圆筒式线圈每层如筒状，连续绕成。多层圆筒式是由若干个这样的层同心排列 组成，层间导线通常亦连续绕制。有以下几种常见的结构： 1 、双层圆筒式和多层圆筒式：其结构简单，生产效率高，常用于3 5 k v 级及以 下的中小型油浸式变压器。 2 、两段圆筒式：常用于6 0 k v 级，容量为2 0 0 0 k v a 及以下的变压器。 3 、分段圆筒式：常用于试验变压器的高压线圈和电压互感器等高电压小容量 的产品中。 4 、铝箔筒式：与多层圆筒式相似，但每层为一匝。其空间利用率高，便于自 动绕制，可用于中小型变压器。 5 、单层圆筒式：常用于有载调压变压器的调压线圈。 2 ，1 1 2 饼式线圈的基本结构 饼式线圈一般用扁线绕成，线段如饼状，其散热性能好，机械强度高，适用范 围很大。 1 、连续式 线段数为3 0 至1 0 0 段，一般为偶数或4 的倍数，这样，线圈的线端出头和尾 6 华北电力大学硕士学位论文 头均同时在线圈的外侧或内侧引出，示意图如图1 所示。这种线圈结构简单，制造 方便，但冲击特性较差，尤其是小容量的冲击特性更差。因此，通常只用于3 5 k v 级及以下的线圈和大容量的6 0 k v 级的线圈。 j si ，j 6 s l j 3i z l l ，l t oi - 小z it ，it | 1 5f ， 2 3l 2 2 f 2 1 2 0 1 9 f 2 5 l 2 6l ”l2 82 9 i 3 0l ，1 1 3 图l 连续式 i 1 2 f i i ，l 1 0 i ：l ，i l s i ，i s lt i ，l - ，1 8 卜 i 2 82 0 l 2 7 i 1 9 f 2 6f 叫2 5l l i 2 12 9 l 2 2 j 3 0i2 3i ，小一i ， 图2 纠结式 2 、纠结式 如图2 所示，与连续式一匝挨一匝的绕制方式不圊，纠结式在绕制过程中人为 地改变线圈的位置，以求在冲击电压作用时较好的电位分布。常用纠结式是二段为 一个纠结单元，称为双饼纠结。其内部换位称底位，外部连续绕制导线的换位称连 位，外部纠结线的换位称纠位。纠结线需要进行焊接，因此纠结式线圈的焊头较多。 全纠结式线圈的冲击特性较好，一般用于2 2 0 k v 级或更高电压等级的线田。纠结一 连续式一般用于6 0 l l o k v 级的线圈。 3 、内屏蔽式 屏蔽线t 1 2 i4f “i3 1 0 i2 纠9 纠l 5 1 3 i6l1 4 7 1 5 以8 阴1 6 2 s 12 0 i2 7 l1 9 2 6 i1 8 纠2 5 例1 7 2 1f2 9 l2 2 l 3 0 l 2 3 i3 i 明2 4 明3 2 图3 内屏蔽式 内屏蔽式绕组是连续式线段内部插入增加纵向电容的屏蔽线绕制而成的，又称 为插入电容式，示意图如图3 所示。每段插入屏蔽线的匝数可视需要自由改变。屏 蔽线上无工作电流，因此常采用很薄的导线，甚至铜皮。工作电流流过的导线称为 工作线，工作线为连续绕成，比纠结式减少了大量焊头。屏蔽线匝数可以自由调节， 从而可以按需调节纵向电容。与纠结式相同屏蔽式线圈广泛的用于1 l o k v 级及以上 7 华北电力大学硕士学位论文 的高压线圈。 4 、螺旋式 螺旋式用于低电压、大电流的线圈结构，其导线为多根扁线并联。全部并绕扁 线重叠组成一个线饼，每绕一匝前进一个线饼，称为单螺旋；全部并绕扁线组成两 个重叠线饼，每绕一匝前进两个线饼，称双螺旋。 5 、交叠式 交叠式又称交错式，主要用于电炉变压器、整流变压器等特种变压器。又可分 为直绕式( 高低压线圈依次直接绕成) 和套装式( 高压线圈绕成双饼线段，低压线 圈绕成短螺旋式，再套装在一起) 。 6 、“8 ”字线圈 常用于大容量、有载调压的特种变压器的低压线圈。“8 ”字线圈是由许多绕成 “8 ”字的双饼套装而成，每个线圈全部“8 ”字双饼并联焊接，因此可通过数万至 十几万安培的电流。 2 1 2 变压器线圈的绝缘 变压器的绝缘分为内绝缘和外绝缘。 外绝缘是指变压器外部套管之间以及套管对接地部分之间的空气绝缘。内绝缘 是指变压器油箱内部引线、引出线、组件和外壳的绝缘，其中最主要的是线圈的绝 缘。 线圈的绝缘分为主绝缘和纵绝缘。 主绝缘是指线圈对它本身以外的其它结构部分的绝缘。包括对油箱的绝缘，对 铁心、夹件和压板的绝缘，对同一相内其它线圈的绝缘，以及对不同相线圈的绝缘。 线圈端部至铁轭或相邻线圈端部间的绝缘称为端绝缘，它是主绝缘的范畴。 纵绝缘是指线圈本身内部的绝缘。它包括匝间绝缘、层间绝缘、线段间绝缘以 及线段与静电板问的绝缘。 2 2 变压器的传输线模型 2 2 1 传输线基本理论 当实际电路的尺寸，与电路工作频率所对应的波长五之间的比值( 称为电长度) 大于o 0 1 的时候，信号从电路的一端传输到另一端所用的时间就不能够再被忽略。 这时电路中的信号不仅是时间t 的函数，而且还是空间变量x 的函数。这种电路被称 为分布参数电路。传输线是一种典型的分布参数电路，可以使用传输线理论2 8 1 来分 8 华北电力大学硕士学位论文 析它，描述它的方程为电报方程。最简单的传输线是双线传输线( 单导体传输线) ， 如图4 所示 虬。兰三三 图4 单导体传输线模型 其电报方程为 一_ o u ：r i + 上里 瓠a t 一旦：c - u + c 丝 氟西 其中甜和i 分别为沿线电压和电流，r 、l 、g 和c 分别为单位长度的电阻、电感、 电导和电容。方程( 1 ) 的频域形式为 掣：- ( r + j c o l ) l ：一z i 出 粤；- - ( g + j o ) c ) u ：一y u m 其中【，和1 分别为“和f 在频域中的形式，z = r + j c o l ，y = g + j c o c ，= 2 万。方程 ( 2 ) 的解为 p = q e 一”+ 【i = y o ( u i e 一”一p ”) 式中，= z y ，k = r z 。 2 2 2 变压器的传输线模型 将变压器的线圈沿纵面剖开，把所有的线匝展开为直线。由于变压器线圈的直 径比较大。而每个绕组的线匝厚度比较小，因此可以近似的认为展开后的所有线匝 是一样长的，长度取为所有线匝的平均值。这样变压器的线圈就可以被看作是多根 传输线的组合，可建立多导体传输线模型来仿真。下面以连续式线圈为例来说明变压 器传输线模型的建立。如图5 所示，展开后的线匝在电气上是个挨一个首尾相连的， 即第i 根线末端的电压、电流分别等于第h l 根线首端的电压、电流。最后一根线匝末 端一般为直接接地。这些就是多导体传输线的边界条件，总共有2 n 个，是传输线的 根数，即线圈的总匝数。 9 华北电力大学硕士学位论文 吲。掣 _ j 三磐哪， 姒2 ) 生坚二三岁哪， ，一一一一一一 u 5 ( n - ，i 耄器= 东 ( ) 土丝二二二二二二生塑2 图5 多导体传输线模型 u z ( 一1 ) ( ) 多导体传输线的电报方程形式和单导体的一样，只是其中所有的变量和系数都 是矩阵。下面是时域形式的电报方程 其中u 和i 是l 的电压、电流列向量。r ，l ，c ，g 分别是单位长度上的电阻、 电感、电容和电导参数矩阵，它们的阶数都是n x n 。 把式( 3 ) 变换到频域有 d v ( - x 一, s ) ：一( r + s l ) l ( x ，5 ) ：一z ( s ) i ( x ，j ) 甜 d i ( _ = x 一, s ) ：- ( g + s c ) u ( x ，s ) ；- y ( s ) u ( 石，j ) 西 式中z 和y 分别是n n 的串联阻抗阵和并联导纳阵。 利用边界条件求解电报方程，即可得到每一个线匝上的电压、电流分布。 2 2 3 传输线模型的参数计算 1 、电容参数 分布电容参数可以由如下公式计算1 1 耙a u f 2 = l l 在每根导线上依次加电压= l v ，利用电磁学有限元软件f e m m 计算静电场中变压器 线匝问储存的能量肜。可得一组方程，解此方程组可得匝间、饼间电容，从而形成 线圈的电容矩阵c 。 2 、电阻参数 m 掣掣襄 华北电力大学硕士学位论文 计算分布电阻参数，必须考虑高频下的集肤效应。单位长度电阻的计算式为 2 8 】 矗= 民+ 忍 r 是静态电阻，即直流电阻；足表示集肤效应产生的与频率相关的电阻。 r 2 赤，置= 赤j 孚 其中4 、吃分别为矩形导体横截面的长和宽，为导体的磁导率，盯为导体的电导 率，为对应的频率。单位长度的电阻矩阵表示为 r = ( r + 足) l 其中1 为单位矩阵。 3 、电感参数 分布电感参数也要考虑高频下的频变效应【2 扪。将电感参数矩阵分为两部分，一 部分表示低频下的电感，一部分表示高频下透入导体的磁通由于集肤效应产生的电 感。 l = l o + l ， 其中l 。表示低频下的电感，l ，表示高频下的电感。 由单位长度的电容矩阵c 和电感矩阵l o 的基本关系：l o c = c l o = 肛l ，可得l 。 的表达式为 l 。= 鲁c 。1 其中c 为电容矩阵，鼻为绝缘材料的相对介电常数，c 为真空中的光速，取 f = 3 x 1 0 8 m s 。 l 的表达式如下【冽 l ，：里 j 2 a 1 4 、电导参数 分布电导参数矩阵g 是根据绝缘材料的容性损耗得到的，与工作频率厂、电容 参数矩阵c 以及损耗因数m n 8 有关，其表达式为【2 。1 g = 2 石声t a i l 万 其中绝缘纸的损耗因数t , z m 8 可以表示为 t a n 8 = o 0 7 ( - 7 6 ( o 州目) 华北电力大学硕士学位论文 第三章模型降阶方法总结 3 1 基于等效电路结构的降阶方法 在求解各种电路模型时，改进节点电压法被广泛应用。该方法以电路的节点电 压和附加电流为解变量列写方程。对于大型电路，改进节点电压方程的数目过大， 给求解带来了困难。从电路的结构上直接分析，利用等效变换的方法，逐步化简电 路、减少节点个数，从而起到降阶的作用。这种直接化简电路结构的方法和后边要 提到的数值降阶方法不同，基于结构的方法是在列写电路方程之前化简电路以降 阶，而数值降阶方法是先列写出电路方程然后使用纯数学的方法去逼近。从降阶的 形式上说，直接化简电路的方式更能够为人所接受，特别是电气工程师。纯数学的 方法有时候得到的降阶模型不能直接用成熟的电路计算软件求解，还需要进一步找 到能够为通用软件所接受的模型，应用起来稍显繁复。 3 1 1 支路融合法 。i q i 亡 一亡 一 m l q z l m n z 2 ，m h 一 匕 图6 节点n 的相关支路 2 i q l r m 一 如， 匕 图7 支路融合后的电路 2 q ： 支路融合法p o j 是一种节点移去法。如果在一个节点相关联的所有支路中，只 有两条支路包含电感( 可以包含互感) ，则该节点可被融合掉。而如果融合掉关联i 条、2 条或更多条r l 支路的节点，则会移除掉网络中重要的拓扑特性，还可能增加 网络的复杂程度( 这本身就不是化简电路了) 。图6 所示为节点的相关支路，其 中z l = 焉+ 鸡、z 2 = 兄+ 鸭，m 。、m 、鸩，表示互感。前提假设：节点相关联 的电容支路中的电流远远小于节点相关联的电感支路中的电流。基于此假设，可 以认为= 一l ，同时认为和点相连接的电容支路上的电流为零，这样可以把节点 去掉。根据条件五= 吐可得移去点后的阻抗值，z = z l + z 一2 s m 。变换电容 1 2 华北电力大学硕士学位论文 支路所依据的原理为：转换前后电容支路中的净电荷相等。以电容为例，变换 前存储的净电荷为 q _ - ( 一巧) ( 4 ) 在系统频率不高时，支路1 、2 上的互感电压与电阻上的压降相比可以忽略不计， 则有 = 等等 将式( 5 ) 代入公式( 4 ) 得到 g = ( 等等一瓦r 2 + + 如r i ，r p ) = 器( ) + 雨c p n r i ( ) 比较上式和式( 4 ) 可得变换后的电容 铲器铲器 变换后的电路如图7 所示，这样就移掉了电路中的一个节点。对一个大型网络， 在其中寻找符合变换条件的节点，使用上边的方法进行支路融合，就可以降低电网 络的规模。 这种方法执行的效率比较高，可以处理含有互感的电路，尤其适用于含有较多 电磁耦合的低损耗时钟总线。根据推理过程中的假设，可以知道，该方法对于高频 电路并不适用。 3 1 2 广义y 一变换法 + 一墨： j 图8 耦合电路图9 去耦等效电路 该方法【3 1 1 要处理的第一个问题就是互感，如果一个节点的相关联的支路中包含 互感，那就无法消去这个节点，因为包含互感的支路还和其它支路发生耦合，即该 1 3 凼 剐 一。 生。 ，i；invi! + 矿， 一 华北电力大学硕士学位论文 支路电压与其它多条支路的电流有关系。用k 元件来处理这个问题，k 元件和电感 元件之间的关系就像是电导和电阻之间的关系，前者是用压控方程描述元件的伏安 关系，后者是用流控方程描述元件的伏安关系。先去耦等效，耦合电路如图8 所示， 它的去耦等效电路如图9 所示。这两个电路的k c l 方程都是 争k + 争= 争k + 争k = 五 虽然图9 中有的元件的参数值为负数，但整个电路仍然是无源的。再对不含互感的 电路进行y 一变换。 下面用一个简单的例子来说明这种方法的思路。 啊 图l o 二阶网络 惕 图l l 第一步化简后 图1 0 所示为一个二阶网络，对节点应用广义y a 变换公式 p 硝卅絮磐，v _ 钟 处理后得到图1 1 ，其中 曩1 ) - 2 s罐) - 譬璎) - ! c fc fc | 礤l j - 堡础) - 三璎) - 坐 【f【|c f c ，= l + 7 s + 2 s 2 ，c ，是共同分母( 共同因子) 。再次应用y 一变换得到图1 2 。这样就 把一个包含5 个节点的网络等效化简成了只包含3 个节点的网络。注意到图1 2 中的元 件参数中也包含图i i 中的共同因子，而且共同因子同时出现在了分母和分子中。第一 步化简时出现的共同因子是显式出现的，称之为一类共同因子，第二步在化简的第一 临近节点的时候出现的共同因子是隐式出现的，称之为二类共同因子。需要及时的消 华北电力大学硕士学位论文 掉这些共同因子，否则将会使后续的化简计算量迅速增大。 惕 堵 图1 2 第二步化衙后 在应用y 一变换消掉内部节点后，得到的元件参数是复频率j 相关的有理式， 可以使用正实函数【3 2 1 来逼近。只取分子、分母中s 的前几阶低次项，综合出实际的 电路模型，这样最后化简得到的网络就可供通用电路分析软件直接计算了。例如， 只取分子、分母的前两项，参数表示为 = q 6 0 0 + + 6 l a i j $ 可以用图1 3 所示的电路来实现它。 兄 哥 图1 3 低阶实现电路 其中 墨：垒局：a , b o - a o t c ：互一 。q 口o q a , b o 一口。岛 3 2 数值降阶方法 3 2 1 数值降阶方法的总体思路 一般的r l c 线性电路系统都可以用一阶微分方程( 组) 来描述 e 窘地( f ) + b u ( f ) ( 6 ) 曲 。 6 ) y ( f ) = c f ) + d u ( t ) 其中e 、a 、x r ”，b r “9 ，c r ”，d r ”9 ，y ( ，) 、u ( f ) e r 7 。模型降阶算法 的目的是寻找一个低阶的系统 1 5 华北电力大学硕士学位论文 血象= x i ( t ) 妇u ( f )( 7 )讲 1 7 ) 多( r ) = c i ( t ) + d u ( t ) 其中盂、五e r ”，豆瞅”，e r ”，西r ”p 。它的阶数为q ，q 要远小于一，而 y o ) 和夕( f ) 则近似相等。即求解系统( 7 ) 的代价要远小于求解原系统，而求解结果的 差异可以忽略。系统( 6 ) 和( 7 ) 的传输函数矩阵分别为 h ( j ) = d + c ( s e - a ) 。b h ( s ) = 1 ) + c ( s e - ) i ) 1 b 它们常被用作衡量逼近效果的判据。在一定的频率范围内，对于给定的允许误差8 - ， 如果! i h ( s ) 一矗( s ) 0 0 这种情况下，只需要对矩阵t 进行一次l u 分解，同样可以快速得到解变量x 的各阶 矩量，特别是在输入信号发生变化的时候，矩阵t 并不会发生变化，以前求得的l u 分解现在仍然可以使用。p a d e 方法是希望找到一个低阶的有理逼近式 雄) = 器= 等兰芳 华北电力大学硕士学位论文 当l 、m 取不同的值时构成不同的逼近式，将这些逼近式按照l 、m 的数值排列成 表格，这个表格就是p a d e 表。p a d e 表中的某一项常用【l u 】表示。常用的是 l = m 一1 = q 的情况，下边以这种情况为例来说明p a d e 逼近式的求法。 令 圭孚兰二圭筝乒：+ ，+ ，：+ + 州p 一 1 了i i _ 干乏厂2 + 5 + 矿+ “+ r 一 整理上式，比较方程两边j 幂次相等的项，可得 砚鸭m q 一1 r a 2 ： n h - i m 2 f 一2 t , o = 6 l = 码+ q ， 疗k + l 拧0 2 ： 一l2 一i + q m e 一2 + + 一i m o 求解此2 9 个方程，就可以得到近似解文( j ) 。为了得到时域的解，还需要求得文( s ) 的 极点和留数。令1 + q j + + f l q $ 9 = o 即可求得极点见，在极点没有重根时殳( s ) 可表 示为 j ：j l + 土+ l s p l s p 1 s p q 令其等于x 的前2 盯个矩量， 土+ 土+ l ：+ 玛s + j ：+ + ，。j ：- 一 j p lj p 2 j p q 在上式两边首先令s = 0 ，再在s = 0 点逐次求各阶导数直至：q - 1 阶，可得到g 个方程。 将这些方程写成矩阵形式 所 p , 2 ： 成q 毛 岛 ； 吒 m 0 ，儿 ： m q - 1 极点有重根时，先用部分分式展开，再展开成幂级数，最后比较s 幂次相等的项构成方 程，求得留数。以极点存在2 重根为例： 厕= 志i sp l + 志 一 ) 。 p a ) 1 9 w 譬；譬 华北电力大学硕士学位论文 将其展开为幂级数的形式 硒= 舡署+ 署+ 争 + 小云+ 嘉音 比较上式中j 的同次项可得 2 厅p i - 3 张m n h l玎2 j l 岛jlj 求解上可得留数。当极点存在多重根时，用同样的方法即可处理。 求得极点和留数之后，就能很容易的反变换到时域，从而得到时域的解 x ( f ) = 咖 p a d e 算法的特点如下： l 、计算效率上有明显提高。 2 、不能反映延时效应，容易产生较大的误差。对集中参数网络的处理成功率 较高，而对分布参数网络则常常遇到问题。 3 、p a d e 逼近不能保证稳定性或无源性。 4 、误差难以控制和判定。 基于p a d e 算法的问题，m i c h e ls n a k h l a 等人提出了复频率跳跃法( c o m p l e x f r e q u e n c y h o p p i n g 简称c f h ) 3 7 1 。c f h 是一种基于p a d e 算法的多点矩量匹配方法， 只在特定的频率点利用p a d e 算法进行匹配。该算法解决的主要问题是：l 、展开点 的选择：2 、各展开点信息的加工处理。 要想准确的选择展开点，首先要尽量准确的求得展开点的各个极点。利用p a d e 表的水平序列来求展开点的极点。所谓p a d e 表的水平序列，就是对于逼近式上m 1 ， 增大上而m 固定不变。p a d e 的一个重要性质是p a d e 表水平序列中的p a d e 逼近式的 极点是收敛的，取三= 1 5 2 0 、m = 7 左右能够得到比较好的计算效果。因为m 太 小的话，不能得到足够多的极点数：肘太大的话，在求解逼近式分母系数的方程中， 系数矩阵病态情况很严重。再根据泰勒级数在某点展开的性质，可知距离展开点越 远的点准确性越差( p a d e 逼近也是同样的性质) 。因此当一个极点已经被确定为准 确时，该极点到展开点的距离可以被定义为准确半径。以展开点为圆心，以准确半 径为半径在复平面内做圆( 准确圆) ，则所有落在此圆内的极点都可以被认为是准 确的。准确极点的确定如图1 4 所示 华北电力大学硕士学位论文 。展开点1 的极点 展开点2 的极点 准确半径7 一。：、) ( 不准确极点 ! ， ：展开点2 ； 同极点、j，一 一? v 7 7 瑭半径j 、- - 一j !复平日 展开点1 7 j 、oo 卜上一，一- ， 准确极点 图1 4 准确极点的确定 它是通过两个展开点来决定的，即当一个极点同时在两个展开点的极点组中出现的 话，则该极点被认为是准确的。留数的判断是依附于极点的，当一个极点被认为是 准确的之后，则其对应的留数也被认为是准确的。 展开点的寻找依照以下步骤： 1 、把零点s = s o = o 和关心的最大频率点s = 展开。 2 、检查这两个展开点的极点组中有没有共同极点，如果有则停止，没有则进 行第3 步。 3 、在中间点s m ( + ) 2 点展开。 4 、检查和( s o + ) 2 还有( s o + ) 2 和的极点组之间是否含有共同极点， 有则停止，没有则再次找中间点展开。 这样，找到所有的展开点之后，关心的频率范围都已经被准确圆覆盖。此时利 用得到的所有极点及其对应的留数就可以较精确的描述原系统的响应。这就是c f h 法，其实就是多点a w e 法。 3 2 4 2 k r y l o v 子空间方法 k r y l o v 子空间方法，又被称为空间映射法。其主体思路是寻找降阶矩阵u 。，使 得原解变量x 和降阶后的解变量童之间有下边映射 2 l 华北电力大学硕士学位论文 x= 五 ： ： ： ： ： h f 暑 i ；i = u q 金 削 为达到降阶的目的，要求q 0 华北电力大学硕士学位论文 z 7 ( 童( s ) + 妒( s ) ) z = z * t ( 矿( a + 正) 一1 6 + 舻( 五+ s 妒i 5 ) z = z ”6 7 ( a + 娩) 。1 ( ( + s 壹) + ( 五+ s 壹) 7 1 ( a + s 丘) 一7 f i z 令w = ( 五十s + 宅) f i z 、s = _ ，+ 口有 z ”( 叠o ) + 它7 。) ) z = w ”l ( a + ( 盯+ ，国) 竞) + ( a + ( 盯一_ ，) 丘) 71 w = w 7 u q r e a + a 7 + 仃( e + e 7 ) u 。w - - w ”u q r o ( e + e 7 ) w + w 町a + a 7 ) u 。w 对上式，由于e 是对称的非负定矩阵，因此 w r u q r a ( e + e 7 ) u g w o 由于a + a 7 也是对称的非负定矩阵，因此 w * r u q r ( a + a 7 ) u 口w 0 现在就可得到条件2 ：z * t ( 叠( s ) + 它7 ( 5 + ) 1 z o 。 满足条件1 、2 ，就说明了叠的正定性，即p r i m a 方法能够保持无源性。 a r n o l d i 方法中，变换阵u 。= k ，这时变换为相合变换。相合变换能够保持矩阵的 半正定性质。 系统方程中的矩阵e 、a 都是半正定的，而a 一1 e 就不一定了。这是a r n o l d i 方法和 p v l 方法不能保持无源性的根源所在。 3 2 4 3 基：f , - f 交基的系数匹配法 3 4 1 矩量匹配法匹配的是幂级数前边的系数，把这种思路推广，可以把幂级数换成 其它的函数，如：c h e b y s h e v 多项式、有理分式，指数函数等。针对不同的问题， 选择合适的函数，再去匹配这些函数各展开项之前的系数。这里，以c h e b y s h e v 多 项式为例进行说明。 对于给定的系统，令s = m ，则系统的频域状态方程可以表示为 嚣竺c 芝j o , i b ， y ( 弘) = 。x ( ) 、。 根据关心的频率范围，找到国的最大值，并用此最大值把国归一化，令 国= 一 一 缈 q 。 则面 一1 ，1 】，这是c h e b y s h e v 多项式的定义域。再令g = c o u g ，x = a ， 又( _ ，回= x ( ，m ) ，零( 同= y ( j c o ) ，则系统的频域状态方程可以写为 2 7 华北电力大学硕士学位论文 ( ，面e + a ) x ( _ ，司= b y ( j o - - - ) = c 7 叉u 历) 把又( 厕展开为k 阶c h e b y s h e v 多项式 。 r ( j r x ) = c ，z ( 历) ( 1 4 ) 把c ，称为第i 阶c h e b y s h e v 系数。根据c h e b y s h e v 多项式的关系，可以得到求解c 的方法 弼( 司= 五( 回 历z ( 回：昙( ( 回+ i + 。( 司) f 0 1 5 把式( 1 5 ) 代入到式( 1 4 ) 中 历爻( ，司：丢己瓦( 回+ ( 己。+ 吾已：) 五( 司+ 乙k - i i i 【c - - 。+ 己，。) z ( 回+ 吾。矗( 回 ( 1 6 ) 二厶 1 = 2 把式( 1 6 ) 代入到式( 1 3 ) 中，比较z ( 回前边的系数，可得到关于c ，的方程组 o 5 皿 a 0 5 皿 0 5 皿a c 0 c l ： c 膏 由于该方程组的系数阵是三对角阵，因此在求解的过程中如果希望提高逼近的精度 而增加k 值的时候，没必要重新求解整个方程组，只需要在方程组中增加相应的行 和列继续求解即可，还可通过比较c 间的关系来判断逼近