（电工理论与新技术专业论文）电力系统可靠性评估中的抽样方法研究.pdf

山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t p o w e rs y s t e mr e l i a b i l i t yi so n eo ft h ei m p o r t a n tr o d sf o rt h ep l a n ，d e s i g n ， o p e r a t i o na n dm a i n t e n a n c eo fp o w e rs y s t e m t h e r ea t et w ob a s i cm e t h o d sf o rt h e r e l i a b i l i t ye v a l u a t i o no fp o w e rs y s t e m t h e s et w om e t h o d sa r et h ea n a l y t i c a lm e t h o d a n dm o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，r e s p e c t i v e l y t h ea n a l y t i c a lm e t h o di so ft h eh i g h e r p r e c i s i o n ，b u ti t sc o m p u t a t i o n a ls c a l eb e c o m e sl a r g ei nt h ei n d e xr u l ew i t hi n c r e a s i n g s y s t e mp a r tn u m b e r s t h ea n a l y t i c a lm e t h o di s ，t h e r e f o r e , s u i t a b l ef o rt h er e l i a b i l i t y e v a l u a t i o no fs m a l l - s c a l ep o w e rs y s t e mw i t hs i m p l es t r u c t u r e m o n t ec a r l os i m u l a t i o n c a nb ef a v o r a b l yu s e dt oe v a l u a t et h er e l i a b i l i t yo fl a r g e - s c a l ep o w e rs y s t e mb e c a u s e o fi t s c o m p u t a t i o n a lq u a n t i t i e sb e i n gi n d e p e n d e n to ft h es y s t e ms c a l e t h e s h o r t c o m i n go fm o n t ec a r l om e t h o di st h a ti tw i l lt a k eag r e a td e a lo ft h ec o m p u t a t i o n t i m ew h e nt h eh i g hc o m p u t a t i o np r e c i s i o ni sr e q u k e d d u et ot h er e q u i r e m e n tf o r i n c r e a s i n gt h ea c c u r a c yo fe v a l u a t i o na l g o r i t h mi nt h ep r o j e c tp r a c t i c e ，t oi m p r o v e s a m p l i n ga l g o r i t h ms o 雒t oe n h a n c ee f f i c i e n c yo ft h ee v a l u a t i o nh a sb e c o m ea n i m p o r t a n tt o p i cw i t hc e r t a i nt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e i nt h i sp a p e r , t h eg e n e r a lp r i n c i p l e sa n da l g o r i t h mo fm o n t ec a r l om e t h o du s e df o rt h er e l i a b i l i t y e v a l u a t i o no fp o w e rs y s t e mh a v eb e e nd e s c r i b e di nd e t a i la n dt h es e v e r a lm e t h o d s a p p l i e du s u a l l yt or e l i a b i l i t ye v a l u a t i o no fp o w e rs y s t e ma t ep r e s e n t e d t h e s em e t h o d s a t ea v e r a g e s c a t t e r e ds a m p l i n gm e t h o d ，i m p o r t a n c es a m p l i n gm e t h o da n da d a p t i v e a l g o r i t h m ，r e s p e c t i v e l y , a n dt h e i rp r i n c i p l e sa n da l g o r i t h m sh a v eb e e na l s oo u t l i n e d s y s t e m a t i c a l l y t h ea n a l y s e s o nt h ec h a r a c t e r i s t i c sa n d a p p l i c a b l ec o m p u t i n g c i r c u m s t a n c eo fa b o v ea l g o r i t h m sh a v eb e e nm a d e t a k i n gi e e e r t s 硒a ne x a m p l e w h i c hi sr e g a r d e d 弱t h es t a n d a r dt e s t i n gs y s t e m t h es t a t eo fs y s t e mh a sb e e n s i m u l a t e db a s e do nt h ea b o v em e t h o d s t h es i m u l a t i o np r o g r a mh a sb e e nc o n s t m c t e d u s i n gc c o d ea n dt h el a r g en u m b e ro ft h ec a l c u l a t i o n sh a sb e e np e r f o r m e d a l lt h e m e t h o d sm e n t i o n e da b o v ew e r ec o m p a r e ds y s t e m a t i c a l l y , a c c o r d i n gt ov a r i o u s c a l c u l a t e dr e s u l t s a l s o ，t h em i x e dm e t h o dw i t ht h ec o m b i n a t i o no ft h ea n a l y t i c a l 山东大学硕士学位论文 m e t h o da n dm o n t ec a r l os i m u l a t i o na r ep r o p o s e df o rt h er e l i a b i l i t ye v a l u a t i o no f g e n e r a t i n gs y s t e m t h em i x e dm e t h o di sas i m p l ea n d i so fs t r o n gt r a n s p l a n t f r o mt h e s t a n d a r dt e s t i n gs y s t e mi e e e r t s ，t h ee v a l u a t e dr e s u l t so fr e l i a b i l i t ys h o wt h e e f f i c i e n c yo ft h em i x e dm e t h o df o rs p e e d i n gu pt h ec o n v e r g e n c eo ft h es i m u l a t e d i n d e x e su n d e rt h er e q u i r e dp r e c i s i o n f u r t h e r , ac o m b i n a t i o no fa v e r a g e s c a t t e r e d s a m p l i n gt e c h n i q u ew i t hm i x e d m e t h o d i s g i v e nf o rr e l i a b i l i t ye v a l u a t i o no f g e n e r a t i n gs y s t e m b yt h ee v a l u a t e dr e s u l t sf o ri e e e - r t ss y s t e m ，i ti sc l e a rt h a tt h i s n c wm e t h o di su s e a b l ef o rr e d u c i n gt h e s a m p l i n gv a r i a n c ea n da c c e l e r a t i n gt h e c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o nc a l c u l a t i o n i ns u m m a r y , t o a d o p tt h ei m p r o v e da p p r o a c ho fs a m p l e c a l li n c r e a s e st h e s i m u l a t i o ns p e e do fm o n t ec a r l om e t h o di nt h er e l i a b i l i t ye v a l u a t i o no fp o w e r s y s t e m t h em e t h o d sg i v e ni nt h i sp a p e rc a nb ew i d e l yu s e df o rl a r g e s c a l ep o w e rs y s t e m k e yw o r d s ： p o w e rs y s t e mr e l i a b i l i t y m o n t ec a r l om e t h o d i m p o r t a n c es a m p l i n ga d a p t i v ea l g o r i t h m a v e r a g es c a t t e r e ds a m p l i n g m i x e dm e t h o d v 山东大学硕士学位论文 v i 符号说明 蒙特卡罗法 系统停电概率 系统停电功率期望值 总的抽样次数 元件强迫停运率 状态x 的实验函数 与状态j 相应的概率 实验函数的期望值 实验函数的方差 e ( d 估计值 坎目的估计值 计算精度 i e e e 标准测试系统 一一一嬲五聃艄聃旧聊 啪p 一 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：塞置望日期：鲨z 丝坌 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：量矗导师签名： 举 山东大学硕士学位论文 1 、绪论 i i 电力系统可靠性评估的意义【1 1 在日常生活和科学技术研究领域中，人们经常要对事物是否可靠进行评论， 这种评论总是关心事物能否达到某一预期的功能( 或指标) 。第二次世界大战时 期，德国首先提出了可靠性理论。随后，在电子、核物理、空间技术领域，可靠 性理论得到越来越广泛的应用。现在，能为大家认可的可靠性定义为：元件、设 备、系统等在规定的条件下和预定的时间内，完成其规定功能的概率。在该定义 中，科学地运用了“概率”这一数学概念，使得可靠性的预测和计算有了一个定量 标准。 随着生产力的飞速发展，现代社会对电力的依赖性日益增加，这对电力系统 本身的发展也提出了更高的要求。电力系统可靠性研究正是从电力系统规划、设 计和运行等社会实践活动中提出来的课题。经济的发展，使人们对供电质量的要 求越来越高，这就迫使电力部门寻求提高供电可靠性的途径，电力系统可靠性也 随之成为电力工程技术人员最关心的问题。 电力系统的可靠性定义为电力系统的元件设备、系统等在规定的条件下和预 定的时间内，完成其规定功能的概率。电力系统由发电机、变压器、输电线路、 开关等电气设备组成。这些设备统称为元件。在研究系统可靠性时，通常把元件 看作是一个不再分割的整体，根据使用的情况，一般划分为可修复元件和不可修 复元件两大类。研究中通常分为发电系统、输电系统和配电系统三部分。电力系 统的任务是向用户提供连续不断的合乎质量的电能，不论是工业用电或生活用电 都要求有很高的可靠性。为此，电力系统的规划、设计、运行和维修均把可靠性 列为重要标尺之一。所以电力系统可靠性研究有两个目的，一是为电力系统的长 期发展规划进行长期可靠性估计，二是为制定短期的运行调度计划进行短期可靠 性预测。在电力系统中应用可靠性技术的过程也是不断提高经济效益的过程。 用户对供电的要求是保证电能的质量( 频率和电压必须保持在规定的偏差之 内) 和能连续不断地供电。前者一般通过潮流计算解决，后者主要是在可靠性计 算和分析中确定。因此，电力系统可靠性指标主要是以负荷是否得到充分的电力 山东大学硕士学位论文 供应作为判据。根据电力系统的特点，已经提出并得到应用的可靠性指标有： 电力不足概率( l o l p ) 指系统负荷( 一天中最大负荷) 超过系统中有效 发电容量的概率； 电力不足频率( 咒d l ) 单位时间( 一般为一年) 系统用户平均停电的次 数； 电力不足持续时间( d l o l ) 在指定的时期内，用户停电的平均持续时 间： 电力不足期望值( l 0 哟在研究的时间内，由于供电不足而产生的负荷 停电时间( d ) 的均值； 电量不足期望值( e e n s ) 在研究的时间内，由于设备随机停运所造成负 荷损失的电量期望值。 在分析可靠性时，往往不是固定使用一个指标，而是根据问题的性质选择其 中一个或两个以上的指标。 1 2 电力系统可靠性研究的现状 目前研究电力系统可靠性有两种基本方法：一种是解析法，另一神是蒙特卡 罗法( m o n t ec a r l o 法) 。蒙特卡罗法在欧洲比较流行，解析法在美国、加拿大和 英国等国的应用比较广泛。但是，对大型电力系统来说，蒙特卡罗法更富有成效。 1 2 1 蒙特卡罗法和解析法概述 在电力系统的可靠性评估中，分析过程一般由3 个步骤组成：( 1 ) 状态选择； ( 2 ) 状态估计；( 3 ) 计算指标。对于蒙特卡罗法和解析法而言，状态估计过程在这 两种方法中都是相同的，即对被检验的系统状态进行潮流计算，确定线路是否有 过负荷出现，母线电压是否在允许的范围之内，判断系统是否出现故障以及采取 补救措施后系统的故障状态是否得以缓解。蒙特卡罗法和解析法的差异在于第1 步和第3 步，即蒙特卡罗法用抽样的方法进行状态选择，用统计的方法得到可靠 性指标；而解析法用故障枚举法进行状态选择，用解析的方法计算出可靠性指标。 ( 一) 蒙特卡罗法 蒙特卡罗法又称模拟法。蒙特卡罗法是在计算机上模拟上述寿命过程的实际 2 山东大学硕士学位论文 现实，并通过对此模拟过程进行若干时间的观察，估计所要求的可靠性指标。即 蒙特卡罗法是把模拟当作一系列真实实验来处理，事件发生的时间是由服从预定 概率分布的随机过程来确定的。 在蒙特卡罗法中，首先要对系统内各个元件的状态抽样，其中系统元件包括 各种系统设备( 如发电机、线路、变压器等) 以及不同的负荷水平，系统的状态 是从设备概率分布函数中抽样确定的，然后对产生的状态进行状态估计。一个模 拟序列表示一个实际的样本，系统的可靠性指标是在累积了足够数目的样本后i 对每次状态估计的结果进行统计而得到的。蒙特卡罗法的突出特点是它的计算量 ( 抽样次数) 几乎不受系统规模或复杂程度的影响，因此，该方法非常适用于处 理各种复杂因素，如相关负荷、共同模式故障以及各种运行控制策略等。此外， 蒙特卡罗法的计算量与估计精度的平方成反比，也就是说，在一定的精度下，减 少抽样次数的唯一途径就是减小方差，即减小方差是提高蒙特卡罗法收敛速度的 关键。基于这样一个原因，研究减小方差的技巧已成为应用蒙特卡罗法评估电力 系统可靠性的一个重要课题。 ( 二) 解析法1 1 l 解析法将元件或系统的寿命过程加以合理的理想化，并用一个数学模型来描 述这一寿命过程，而后通过计算机运行程序求解，得出所要求的可靠性指标。 在解析法中，故障状态的选择是通过故障枚举法来实现。首先通过故障枚举 法选择一个停运状态，对此停运状态进行评价( 潮流计算) ；然后用预先建立的 事故准则判断该状态是否属于事故状态，如果属于事故状态就进行优化校正控 制，采用相应的补救措施，再进行判断，若仍然属于事故状态，则估计该事故状 态可能引起的后果；最后，计算该状态对可靠性指标的影响。重复所有的故障状 态，就能得到所求的可靠性指标。一般情况下，系统故障停运状态选择是按某种 逻辑逐个地选择，例如可以首先检验所有单重偶发事故，继而是双重偶发事故， 直至所有状态检验完毕。但是，由于系统状态的数目随着系统内元件数且的增加 成指数增长，所以，当系统很大时，要检验所有的状态，计算量相当可观。因此， 实用中可采取一些减少计算量的技术。例如：状态空间截断法、根据故障严重程 度对故障状态排序等。 解析法又分为网络法、故障树分析法和状态空间法。目前，在解析法中应用 3 山东大学硕士学位论文 较普遍的是网络法和状态空间法两类。一般地，选择哪种方法计算最恰当与一系 列因素有关，其中主要取决于：系统的结构和规模、元件的独立性和可修复性、 故障时间及修复时间的概率分布( 指数或非指数分布) 、故障模式( 独立、相关 或共同模式故障) 以及运行方式和环境的影响等。 1 2 2 蒙特卡罗法与解析法的比较【2 】 蒙特卡罗法和解析法是可靠性评估的两种方法，不存在谁优谁劣的问题，两 者各有其优缺点和适用范围。 解析法的主要优点是： 物理概念清楚； 模型精度高。 它的主要不足在于： 计算量随系统规模的增大而急剧增大，例如，系统由个两状态的元件 组成，那么系统的状态数为2 n ； 不易处理相关事件； 只能考虑一个或有限个负荷水平； 不易模拟实际的校正控制策略。 蒙特卡罗法的优点是： 该方法属于统计试验方法，比较直观，易于被工程技术人员掌握和理解； 可以发现一些人们难以预料的事故； 便于处理负荷的随机变化特性； 容易处理各种实际运行控制策略； 采样次数与系统的规模无关，在进行复杂系统的可靠性评估时更具有优 越性： 该方法易于处理系统按时间顺序进行的操作，例如水库的容量、复杂相 关的负荷模型等。 它的主要不足在于计算时问与计算精度的紧密相关性，即为了获取精度较高 的可靠性指标，往往需要很长的计算时间。 两种方法的不同特点决定了它们不同的适用范围。解析法在系统组合故障数 4 山东大学硕士学位论文 目比较少时更加有效，这就是当元件故障比较稀少但有重大影响，且元件数目不 太多时，解析法可以发挥其物理概念清楚，模型准确的优点。一般来说解析法适 合于网络规模较小而网络结构较强的系统。相反，蒙特卡罗法更适于涉及到大量 低可靠性的元件，且多重故障影响又不容忽视的系统。比如在发输电组合系统的 可靠性评估中，系统包括的元件数目很多，而且发电机的强迫停运率比较高，多 、- 一一 重严重故障出现的概率又比较大，所以蒙特卡罗法非常适合应用于发输电组合系 统的可靠性评估。因此，一般当网络的规模比较大，且电网结构比较薄弱时，蒙 特卡罗法更富有成效。此外，这两种方法可以得到相同的可靠性指标，如：l o l p 、 e p n $ 等等。但是，应用蒙特卡罗法还可以得到我们感兴趣的一些变量的概率分 布，从而为工程技术人员提供更多的信息，为他们的决策提供更准确的依据。 我国的电网近年来发展很快，系统的容量不断增加，网络的规模越来越大， 但整个网络的运行水平还不是很高，电网的结构还比较薄弱，因此，蒙特卡罗法 更适合我国电网的实际情况。此外，蒙特卡罗法也比解析法灵活，更加适合模拟 各种复杂的运行控制策略和随机变化的负荷特性。它的主要不足就在于计算时间 与计算精度密切相关，计算精度与计算时间的平方成反比。如果能采取一定的方 法与技巧，在不损失精度的前提下，有效地减少计算时问，那么蒙特卡罗法就更 易被接受。 1 2 3 加快蒙特卡罗法收敛速度的方法 基于电力系统可靠性模型的复杂性，蒙特卡罗法比解析法更能反映电力系统 的实际情况，近年来，在电力系统可靠性评估中对蒙特卡罗法的研究越来越受到 重视。那么如何有效地解决计算精度与计算规模之间的矛盾，一直是各国学者关 注的焦点。目前，已有的应用蒙特卡罗法对电力系统可靠性进行评估的软件包， 都无一例外地采用了减少方差的技术来提高蒙特卡罗法的速度。通常减小方差的 方法有分层抽样法【竭、重要抽样法f 阍、对偶变数法f 2 4 l 和控制变量法1 5 , 2 1 捌等几种。 现分别简述如下： ( 1 ) 分层抽样法【2 2 ，2 5 】的基本思想是可以根据发出的发电总功率亨只来分 一 层，对每一层次的概率有所估计后，就可以通过对每一层次上运行状态的抽样来 计算所需的指标。更为一般地说，该方法就是希望从一个变量得到的信息来 5 山东大学硕士学位论文 改进对另一个变量f 的估计。该方法的关键在于如何合理地分配每一层次上的抽 样点数n 。，使得估计的方差最小。研究表明，可以由下式求出： ”簧警 m d 。商 u j 其中n s 为总的抽样次数， 为第k 层上的概率，圪为第k 层上脚q 方差。 根据文献【2 2 】和【2 5 1 报道，对于一个有2 0 0 个节点、6 0 0 条支路的超高压电力系 统而言，这种方法可以使计算时间缩短大约5 0 左右。 ( 2 ) 重要抽样法【1 5 l 的思想就是在保持原样本期望值不变的条件下，改变现 有样本空间的概率分布，使其方差减少，以达到降低运算时间的目的。这种方法 的关键在于构造最优的分布函数，使得我们在对可靠性指标影响比较大的地方多 采样，在影响比较小的地方少采样，从而最大程度地减少方差。如何构造最优的 分布函数是重要抽样法的关键。 ( 3 ) 对偶变数法【2 4 1 的主要思想为：通过变量f 与f 按如下关系定义新变 量兄： 疋委( f + f ) ( 1 2 ) 则 e ( 兄) l 委【e ( f ) + e ( f ) 】 ( 1 3 ) y ( 兄) 一三杪( 即+ v ( v 2 e ( 1 e 一e ( f 铆一e ( f 铷) 一三杪( f ) + v ( f 2 【e ( f 即一e ( 砷e ( 卵】 一 f ) + v ( f ”) + 2 c o v ( f , f ”) 】( 1 4 ) 若e ( f7 ) 一e ( f ”) ，那么 e ( 只) te ( f7 ) ae ( f ”)( 1 5 ) 如果变量f 与f ”负相关，则变量f7 与f 4 的协方差小于零，即c o v ( f ，f ) c0 ， 则艺的方差就小于f 的方差，变量f 4 就称为f 的对偶变数，该方法就称为对 偶变数法。 对偶变数法的关键是如何确定与f 负相关的f ”。根据文献【2 4 】报道，在 6 山东大学硕士学位论文 个具有两种负荷水平的系统中，可以对高负荷水平和低负荷水平时的系统交替采 样，从而相应地得到两列负相关的变量，此时应用对偶变数法方差减少的效果较 好。但在对比利时s s e ( s o u t h e r n - s o u t h e a s t e r n ) 系统的可靠性评估中，对偶变数 法就几乎不起作用。可见，何时应用、如何应用对偶变数法是一个值得探讨的问 题。 ( 4 ) 控制变量法【5 ，2 1 ，2 3 j 主要思想为：通过与f 强正相关的控制变量z ，按如 下关系定义新变量y y - f z + e ( z )( 1 6 ) 则变量y 的期望值和方差为： e 0 0 - e 伊) 一( z ) + e 但( z ”e )( 1 7 ) g o t ) - v ( f ) + v ( z ) - 2 c o v ( f ，z )( 1 8 ) 由于z 与f 强正相关，所以y t v 但) 。从以上讨论，我们可以看出控制 变量法的两个特点：第一，它是一个复式估计，即是两个随机变量的线性组合； 第二，这两个随机变量是强正相关的，并且其中一个随机变量的期望值要己知。 该方法的难点在于如何有效地选取控制变量，上面的两个特点就是我们选取控制 变量的依据。文献 2 3 1 给出了发输电组合系统可靠性评估中可以选取的两种控制 变量：一是当负荷给定，由于发电容量不足而引起的切负荷量【国g ；二是由于 纯输电线路故障而引起的切负荷量u d t , 。这两个控制变量的数学期望值用解析 法都很容易求得，不会增加太多的计算负担，因此选它们作为控制变量比较合适。 总之，以上各种方法的应用，使得蒙特卡罗法有了更广阔的应用前景。 1 3 本文的研究工作 综上所述，电力系统可靠性评估的研究具有重大的现实意义和理论意义。论 文综合地讨论了应用于电力系统可靠性评估中的不同抽样方法。 本文的主要工作有： ( 1 ) 介绍了蒙特卡罗抽样的原理，系统地综述了等分散抽样法、重要抽样法、 自适应算法等几种改进的蒙特卡罗方法的基本原理、算法实现并根据i e e e 标准 7 山东大学硕士学位论文 测试系统r t s 的原始数据进行了算例分析。 ( 2 ) 提出将混合法应用于发电系统的可靠性评估，详细阐述了其基本原理、 算法实现，并根据i e e e 标准测试系统r t s 的原始数据进行了算例分析，证明了其 有效性。 ( 3 ) 通过算例结果，并结合相关文献资料对上述电力系统可靠性评估中的抽 样方法进行了系统的比较研究，分析了不同方法的思路及应用效果，提出将混合 法和等分散抽样结合的模拟方法，并根据i e e e 标准测试系统r t s 的原始数据进行 了算例分析，验证其有效性。 8 山东大学硕士学位论文 蒙特卡罗法( m o n t ec a r l o ) 科学计算是继实验和理论两大工具后研究物质世界的第三大工具。蒙特卡罗 ( m o n t ec a r l o ) 模拟是科学计算中的一种重要方法，又称为计算机随机模拟。它是 随着电子计算机的发明和科学技术的发展而作为一种独立的方法被提出来的。它 解决多维或复杂因素的问题较为简便，在近几十年来发展很快，已成为科学和工 程问题中不可缺少的一个重要的研究方法。蒙特卡罗法用来解决可靠性问题在近 几十年得到迅速发展，尤其是用于电力系统可靠性的研究方面。 2 1 蒙特卡罗法的基本思想 蒙特卡罗的基本思想是通过某种“实验”的方法，求出某一事件出现的频率。 或者某一随机事件的平均值，并用此作为所求事件出现的概率或所论随机变量的 期望值。也就是说，蒙特卡罗法的基本思想是人为的造出一种概率模型，使它的 某些参数恰好就是所考虑的问题的解，并用实验的方法求出它们。这可由下面的 例子加以说明。 例：设尺为某射击运动员射击时其弹着点到靶心的距离，g 俾) 表示弹着点 到靶心距离为r 时应得的环数。若该运动员射击的靶心距r 的概率密度为，( r ) ， 则运动员的设计成绩可用 4 。工g ( ，) ，( r 沙 ( 2 1 ) 来描述。爿就是g ( r ) 的期望值，即 a 一【占僻) 】( 2 2 ) 如果在射击中，这个运动员共射击了次，记录得靶心距依次是 ，2 ，”j r ， 则可以认为这个运动员射击所得的平均环数是 j 。专艺地) ( 2 3 ) 惫” 、 二就是a 的一个近似值。 9 山东大学硕士学位论文 2 2 蒙特卡罗法的解题步骤 用蒙特卡罗方法解题，不是通过真实试验来完成的，而是抓住事物运动过程 的数量和几何特征，在电子计算机上加以模拟完成的。其步骤如下： ( 1 ) 构造或描述概率过程对本身就具有随机性质的问题，要正确地 描述模拟这一概率过程。对于本来不是随机性的确定性问题，要用蒙特卡罗法求 解，就要人为构造一个概率过程，使它的某些参数恰好是所求问题的解； ( 2 ) 已知分布的母体中抽样构造了概率模型以后，要考虑的问题是 如何从己知分布的母体中抽样，即如何进行数学模型试验。 下面同样以打靶为例来说明。 求式子( 2 3 ) 中的夤值，关键在于求出和实际情况基本一致的一个序列r l ，r 2 ， 或者序列g “) ，g 也) ，g ( r ) 。反映射击运动员的射击水平的是r 的概率密 度函数，( ，) ，它是已知的。因此，尽管每次射击r 的取值有所不同，但服从分 布f ( r ) ，所以，r m 是随机变量尺的具体实现，是概率密度函数的母体的一 个简单子样。寻求序列，厂2 ，就是从概率密度f ( r ) 的总体中抽样，换句话 说，就是产生具有己知概率密度f ( o 的随机变量问题。 由于各种概率模型都可以看作是由有关随机变量的概率分布构成的，因此产 生服从已知概率分布的随机变量( 或随机向量) ，就成为实现蒙特卡罗模拟试验 的基本手段。 ( 3 ) 建立各种估计量当模拟实现后，就要确定一个随机变量，作为 所要求问题的估计量，若这个随机变量的期望值就是所求问题的解，则称此估计 量为无偏估计量。 以上三个步骤中，占主要地位的是由具有已知分布的母体中抽取简单的子 样。在连续分布中，最简单的一个分布是( 0 ，1 ) 上的均匀分布。在蒙特卡罗法中， 将由( o ，1 ) 上的均匀分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其中每一个体称 为随机数。用专门的符号表示，即身，岛，昴，它们很容易从计算机上直接产生， 现已有很多成熟的计算方法和程序。随机数序列岛，岛，昴是相互独立的具有相 山东大学硕士学位论文 同均匀分布的随机变量序列。 2 3 如何在计算机上产生随机数 2 3 1 “伪”随机数 应用蒙特卡罗法进行各种问题的分析时，会遇到不同类型的随机变量。在计 算机上直接产生任意一种随机量，一般比较困难，但是服从非均匀分布的随机数 都可以通过服从均匀分布的随机数交换而获得。因此产生在( o ，1 ) 上服从均匀分 布的随机数是蒙特卡罗法的一个基本问题。 产生均匀分布随机数有很多方法，目前主要利用电子计算机产生伪随机数。 它之所以称为“伪”随机数，因为它是由数学递推公式所产生的随机数。递推公式 可以一般的表示为 缸棚。r ( 龟，乞，埘一2 ，缸+ 雄_ 1 ) ( 2 4 ) 只要给定初始值龟，乞，就可以确定缸棚，万一1 ，2 ，当七j 1 时，递 推公式为 乞“r ( 知) ( 2 5 ) 即给定初始值岛就可以确定钆苊，厅- 1 , 2 , 。 用递推法产生伪随机数有一下两个问题。 ( 1 ) 递归公式和初始值气，乞，缸确定后整个随机序列便被唯一确定了 即随机数序列中除前k 个随机数是选定的外，任意一个随机数邑。均被前面的随 机数唯一确定，因此它不满足随机数相互独立的要求。 ( 2 ) 由于随机数序列是用递推公式确定的，而在计算机上能表示( o ，1 ) 上的 数又不是无限多的，因此随机数序列就有可能重复地无限继续下去，即随机序列 出现周期性的循环现象。 尽管如此，由于它不必在计算机内贮存数量极大的随机数表，而且只用很少 几条程序就可获得大量均匀分布的随机数，不少计算机还把产生伪随机数的函数 作为计算机的标准函数，使用时只需调用即可。因此，伪随机数仍然被广泛地在 1 1 山东大学硕士学位论文 计算机上使用。它是在计算机上产生伪随机数的最主要的方法。对于所存在的问 题，只要能正确的选择比较好的产生伪随机数的递推公式，就能使得产生的随机 数有较好的相互独立性，随机性和均匀性，亦即能通过数理统计中的独立性与均 匀性检验。 2 3 2 均匀随机数的产生【3 0 】 均匀随机数产生的方法中目前应用最广泛的方法是线性同余法，简称l c g ， 它是利用数论中的同余运算来产生随机数，故称为同余发生器，包括同余与线性 同余法、混合同余法、乘同余法和素数模乘同余法。 ( 1 ) 同余与线性同余法 同余与线性同余法的一般递推公式为 z 。- ( 盯。- l + c x m o d m ) ， 一x m ， n = l ，2 ， ( 2 6 ) 初值 其中，m 为模数，口为乘子，c 为增量，且x 。，m ，g ，c 均为非负整数。由( 2 6 ) 式产生的0 = 1 ，2 ，) 满足：o m 。从而a o a l 。 ( 2 ) 混合同余法 同余与线性同余法产生的随机数有一个缺点就是周期不长，统计性质也没 有那么好，混合同余法就是适当的选取参数a ，c ，使产生的均匀随机数有较 好的相互独立性、随机性和均匀性。 乱满周期混合式l c g 为使混合l c g 达到满周期，参数可取为 m 一2 l 但为整数的尾数字长) ， 口* 4 a + 1 ， ( 2 7 ) c 一2 口+ 1 ， 为任意非负整数。 此时混合l c g 的递推公式可写成 山东大学硕士学位论文 k 一( ( 缸+ 1 k 1 + ( 2 f l + 1 ) x m o d 2 l ) , - x , 1 2 ， n = l 。2 ， ( 2 8 ) l 蚋任意非负整数。 m 2 ，j f o 为任意非负整数； a - 8 x m 6 4 x ，r 】+ 5 1 c - 2 x m 2 x 0 2 1 1 3 2 4 8 6 5 】+ l ( 3 ) 乘同余法 在式( 2 6 ) 中当c - 0 时的u c g 方法成为乘同余法，即 ( 2 9 ) - - l ( m o d m ) ， (工o，)一1，(210) 为非负整数。 其中，口一5 “，m = 2 。 ( 4 ) 素数模乘同余法 乘同余法中，取膨- 2 并不是更好的方法，它与满周期相差较大。素数模 乘同余法是精心挑选肘和a ，比如取m 为小于2 的最大素数，将会得到 f 材一1 且统计性能优的乘同余发生器。 递推公式如( 2 1 0 ) ，实验中选取的参数如下： 当工3 5 ，取m - 2 ”一3 1 3 4 3 5 9 7 3 8 3 7 ，a 一2 5 - 3 1 2 5 ；当工- 3 1 时，取 肘。2 ”一3 1 - 2 1 4 7 4 8 3 6 4 7 ，a 取1 6 8 0 7 ，3 9 7 2 0 4 0 9 4 ，7 6 4 2 6 1 1 2 3 ，6 3 0 6 3 0 0 1 6 中 的任意一个。 本文采用素数模乘同余法产生均匀随机数，参数取为 a ( 2 3 + 毛一1 ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 r - x 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 2 1 1 ) - 4 7 5 9 4 1 1 8 山东大学硕士学位论文 2 4 蒙特卡罗抽样【2 1 2 4 1 蒙特卡罗抽样的基本思想 用蒙特卡罗法评估电力系统可靠性，首先要对系统内各个元件的状态抽样， 其中系统元件包括各种系统设备，如发电机、变压器、线路、保护等以及不同的 负荷水平。 对于系统中的任一元件f ，设其强迫停运率为五，x 。是它的一个运行状态， 设r 为( o ，1 ) 区间均匀分布的随机数，则有 斗 1 0 眙r 嚣黧 刁 f，五 元件工作 、 五的概率函数p ( 置) 为 一硝一三：0 1 黧 1 1 一无，t - 元件工作 对任何一个包含肼个元件的系统，船( 而，噩，j ，m ) 是系统运行状态的一 个状态矢量，工= g l ，x 2 ，“_ m ) 是该矢量的数值。当x 一0 时，系统为正常状态， 否则系统为故障状态。根据各个元件的强迫停运率和相互关系，可以确定其联合 概率分布函数p 僻) ，当各个元件故障相互独立时有 e ( x 一小兀p ) ( 2 1 4 ) 从理论上讲，对状态空间口中的所有样本进行抽样后，即可用下式计算系 统可靠性指标的均值和方差： e 俨) 一f 俾) p ( x ) ( 2 1 5 ) 怠 y ( f ) 暑墨【f ( x ) 一e ( f ) 阳x ) ( 2 1 6 ) 式中f ( x ) 为实验函数( 或标志函数) ，可以是系统停电标志( 取0 或1 ) 或停电 功率等；e ( f ) 为实验函数的期望值，v ( f ) 为实验函数的方差。 但在实际抽样中，由于抽样次数的限制，得到的只是e ( f ) 和v ( f ) 的估计值： 1 4 山东大学硕士学位论文 蛔一击耋e 仁) ( 2 1 7 ) 式v o n s 为抽样次数，e ( x ) 为第f 次抽样的实验函数，营( ，) 为e ( f ) 的估计值， 其误差由方差决定。 矿【应但) 卜y ( f ) ( 2 1 8 ) y ( f ) 的估计值矿( ，) 则由下式给出： 矿( f ) - 忐耋【e 僻) 一童( ，) 】2 ( 2 1 9 ) 2 4 2 蒙特卡罗抽样的收敛判据 蒙特卡罗法的收敛判据是基于( f ) l d i b h 直e ( f ) 的误差。这个误差通常用方 差系数( 计算精度) 表示，即 卢。粤( 2 锄 。 e ( f ) 、。 将式( 2 1 8 ) 代入式( 2 2 0 ) ，整理后得 虮。器 式( 2 2 1 ) 表明了可靠性指标的准确估计与该系统性能的关系。系统越安全，营伊) 越小，就越难对其进行估计，所需要的抽样次数越多。蒙特卡罗法的计算量与估 计精度的平方成反比，即在一定的精度下，减少抽样次数的唯一途径就是减少方 差。 2 4 3 可靠性评估的指标 本文对电力系统可靠性的研究主要是对充裕度的评估，也就是对电力系统满 足用户用电需求能力的评估，重点考虑的是电力系统运行的充裕度问题，采用的 可靠性指标是系统停电概率现p 和系统停电功率期望f f t e e n s 。 记c 为系统的有效容量，为最大负荷，系统停电概率定义为系统有效容量 山东大学硕士学位论文 不能满足负荷要求的时间概率，并写为 l o l p p ( x r ) ( 2 2 2 ) 其中，x 表示系统停运容量，r - c l 表示系统的备用容量，e ( x ，励表示系 统所有状态中x ，r 的概率。 系统停电功率期望值定义为由于供电不足而造成对用户停电损失电量的期 望值，可表示为 e p n s e ( x - r ) ，x r 时( 2 2 3 ) 本文所涉及的可靠性评估的指标皆为系统停电概率d ? 和停电功率期望值 e p n s 。 2 4 4 蒙特卡罗抽样的算法实现 根搬所计，鼻的口j 罪住猎杯为糸统停电鞭翠l o l p 丰口俘电功率明里值e p n s , 足 义实验函数如下： 计算系统停电概率o l p f i e f 嘲一 ：柔荔嚣 计算系统停电功率期望值娜时 f ( x ) ，j 萃乞一莩饧 系统有切负荷 ( 2 2 5 ) 【0 系统无切负荷 式中了只，和了足分别为负荷和发电出力总量。 - 。 一 风的期望值估计公式为 耵) 一耋f ， ( 2 2 6 ) f ( 习方差估计公式为 啦) 一笋蠢旷 ( 2 2 7 ) 1 6 山东大学硕士学位论文 2 5 算例及分析 计算采用i e e e 标准测试系统r t s 。r t s 系统共有2 4 个节点，其中1 0 个发 电机节点，1 7 个负荷节点，支路数为3 8 条，机组数为3 2 台，总装机容量为 3 0 4 5 m w ，最大负荷为2 8 5 0 m w ( e e r t s 系统的具体参数见附录) 。 应用蒙特卡罗抽样法对i e e e - r t s 系统的发电部分进行可靠性评估，计算指 标为系统停电概率l o l p 和停电功率期望值e p n s ，采用节点峰值负荷作为计算 负荷，以e p n s 的方差系数作为收敛判据( 由于e p n s 的收敛速度较l o l p 的收 敛速度慢) ，以兼顾两者的计算精度。 1 、计算流程框图 蒙特卡罗抽样的流程图如图2 1 所示。 图2 1 蒙特卡罗抽样的算法流程图 蒙特卡罗抽样需要输入的原始数据分别是：利用乘同余法产生的随机数初值 、系统发电机组容量尼、系统元件( 各发电机) 的强迫停运率，、系统