（水力学及河流动力学专业论文）应用mike对河流一、二维的数值模拟.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断进步，对流体的性质及运动规律的研究也会不断深入。同时， 由于流体运动的极度复杂，人们对它的认识还存有很大的局限。物理模型试验虽是研究 流体运动的常用手段，但对于实际工程中大量存在的边界形状复杂的区段内的流动，鉴 于其复杂性和测量困难性，实验往往只能给出总流的参数，而对区段内的流场的信息却 不能详细给出，而数值模拟则能给出相关流场的具体信息。正是因为数值模拟具有较多 的优点，渐己成为研究流体力学强有力的手段。 本文应用在世界范围内得到大量应用的丹麦d h i 公司开发的m i k e 软件，对以下 几个问题进行可数值模拟，取得了一些有价值的成果。本文的主要工作主要包括。 ( 1 ) 应用m i k e l1 水动力学模块，计算碧流河水库坝下至河口，包括途经的9 条支 流。支流是根据真实情况以及计算需要而选定的具有代表性的支流，进行了碧流河二十 年一遇洪水加年大潮和二十年一遇加历史大潮两种工况的计算。 ( 2 ) m i k e l l 水动力学模块计算的结果和采用库群一河网系统流动分析通用程序 h y d r o l n f o 计算的结果( 已经应用到实际工程) 进行了比较，结果得到了很好的吻合。 ( 3 ) 应有m i k e 2 1 水动力学模块对经典的部分二维溃坝进行了数值模拟，结果与文 献比较好的吻合，可以得出m i k e 2 1 可以解决强间断点的问题。再次研究了运用m i k e 2 1 水动力学模块进行了一河道的数值模拟，得到了河流的流场、等深线等一些可视化的结 果。 关键词：数值模拟；m i k e ；河网；非恒定流；平面二维 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 t h en u m e r i e a ls i m u l a t i o l lo f1 - da n d2 dr i v e l o nm 匝k e b s t r a e t a l o n gw i t ht h ep r o g r e s so f t l a et e e l a n o l o g y ，t h es t u d y o l lt h ec h a r a c t e ra n dm o v 翻f 1 3 e n tr u l e o ff l u i di sg o i n gr n o l ea n dm o l ed e a st h ef l u i di si nt h es e c t i o nw i t l ac o m p l e xb o u n d a r y f i g u r e ，t h el l l c a s u l 世f o ri ti sv e r yh a r d i na d d i t i o n , d u et ot h el i m i t a t i o no f p h y s i c a lm o d e lt e s t , t h ee x p e r i m e a tc a l lo n l ya f f o r dt h ep a r a m e t e rf o rw h o l ef l o w , w h i l et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n c a l lo f f e rt h ed e t a i l e di n f o r m a t i o nf o rc o r r e l a t i v ef l o w b e c a u s eo ft h es t r o n g p o i n t si n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n , i th a sb e c o m e 觚e r i e e t i v em e a n sf o rh y d r o d y n a m i c s m p a p e rs t l k t i e $ t h em 江s o f t w a r ew h i c hh a saw o r l d w i d ea p p l i c a t i o ne x p l o i t e db y d 碰e o r l r a t i o no fd a n m a r k s e v e r a li s s u e sa l es i m u l a t e d s o m ev a l u e dr e s u l t sa 陀 a c q u i r e d 力鹭m a i n 毋西to f t h ep a p e ri sc o n s i s t e db y ： ( 1 ) 1 1 1 ch y d r o d y n a m i cm o d u l eo fm i k e l ls i m u l a t e st h eb i l i u h ef r o mt h ed o w n s t r e a m d a mt ot h ee s t t l a t yi n c l u d i n gn i n eb r a n c h e s 而eb r a n c h e sa r ee h o o s e dw h i e h 眦b a s e d0 1 3 t h e i z l l ec i r c u m s t a n c ea n dt h ed e m a n do ft h ec o m p u t a t i o n 耵1 ec a s e s1 1 1 ec o m p u t e dw h i c h 躺 c o n s i s t e db yt w e n t yy e a r sf l o o do n c ep l u st h em a x i m a lt i d eo f t h ey e a ra n dt w e n t yy e a r sf l o o d o n c ep l u st h em a x i m a lt i d eo f h i s t o r y ( 2 ) mr e s u l t sc o m p u t e db ym 忑1 la c o n s i s t e n tw i t hh y d r o i n f o mc o n c l u s i o n o b t a i n e d e db yh y d r o i n f o 黜a p p l i e dt ot h ea c t u a lp r o j e c t ( 3 ) t h eh y d r o d y n a m i cm o d u l eo f m 刀陋2 1s i m u l a t e st h ep l a o f a2 一dp a r t i a ld a m - b r e a k n 蛇r e s u l t sa g r e ew e l lw i t hl i t e r a t u r e s i tc o n c l u d e s 江2 1c a l ls o l v es t r o n gd i s c o n t i n u i t y s e c o n d ，t h el a y d r o d y n a m i em o d u l eo fm e 2 ls i m u l a t e so n er i v e r p o s td r o c c s sc a l ls h o wt h e w t t t 盯d e p t hc o n t o u r sa n df l o w 丘e l de t e k e yw o r d s ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；m i k e ；：r i v e rn e t w o r k ；u n s t e a d yf l o w , h o r i z o n t a l t w o - d i m e n s i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：幽堕，_ 日期： 应用i v l k e 对河流一、二维的数值模拟 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名： 熊汐 导师签名：金丝 卫年月羔日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 问题的提出 由于数学模型理论的不断发展，以及其廉价和易操作等特点，逐步取代物理模型实 验而成为研究水流运动规律的重要手段。数学模型是一门综合性的模拟技术，它采用数 学的手段来抽象模拟复杂的物理现象，并通过计算机数值计算方法进行近似求解，籍以 重现自然演变的过程的总称。数学模型从最初的研究，发展到现在的广泛应用，己经渗 入到各个自然科学领域，航天科技，气象预报，水文预报，水环境监测等领域，到处都 可以见到数学模型的应用。现代河网水流数值模拟也是其中一个相当重要的方而，它是 一门以水流为研究对象，以水动力学为基础，采用偏微分方程数值解等数学理论为支撑 并结合具体工程而发展起来的新型应用科学。 我国河流众多，流域面积大于l o o k m 2 的有5 万多条，流域面积在1 0 0 0 k m 3 以上的 河流有1 5 0 0 多条，其中最著名的七大江河为黄河、长江、海河、滦河、淮河、辽河、 松花江及珠江：全国水利资源丰富，正常年径流量达2 7 1 1 5 亿m 3 ，水能蕴藏量为5 8 亿 千瓦。要真正实现这些宝贵水利资源的可持续化利用及现代化管理，对其洪水准确实时 的预报分析是一个很核心的问题。 1 2 一维河网水流数值模拟的研究方法及目前的发展水平 简单地说，一维河网就是由河道及分汉点组成的系统，每个分汉点至少由三个河道 与其相连或有上下游边界相连通。一维河网可以分为树状河网及环状河网两种，树状一 维河网包括一系列分汉点，其中可能包括一级或多级分汉，但内部不形成环状：环状河 网就是内部成环的一类河网。河网问题虽然也是一维问题，但由于在分汊点处要考虑水 流的衔接情况，增加了问题复杂性，所以人们一般把河网问题单独提出来加以研究i ”。 一维河网非恒定流计算是在水利、航运等部门经常要进行的工作，例如，河道疏浚、 截湾、分流等工程设计需进行天然河道水面曲线及流量的计算：在沿河防洪工程规划设 计中需计算各设计流量对应的洪水水面曲线：根据河道的预报流量推求相应的水面曲 线，为堤防的防洪抗洪措施提供重要的决策支持：要管理和治理航道泥沙淤积问题需要 了解和掌握航道水流泥沙变化的基本情况和基本规律即河网非恒定流计算具有重 要的实际应用价值。 1 2 1 一维河网水流数值计算方法及河网非恒定流计算进展 2 0 世纪5 0 年代以前，数学模拟的基本理论已经建立，运用这些理论也曾解决过 应用m 眦对河流一、二维的数值模拟 一些简单的工程问题。但是这些基本理论真正运用于解决工程问题是在电予计算机发明 以后。1 9 5 2 年一1 9 5 4 年，i s a a c s o n 和t w e s h 首次建立了俄亥俄河、密西西比部分河段 的数学模型，并进行了实际的洪水过程模拟。到6 0 年代中期，为了解决各式各样河流 的设计规划问题水动力数学模型再次得到重视，随着计算机技术的发展，水动力数学模 型的模拟功能也大大增强，可以对整个流域、洪泛区、已建或规划中的水利工程进行数 值模拟【“。 水动力模型是其它模型( 如水质模型、水环境容量模型等) 的基础和前提。水动力 学模型的建立涉及控制方程的简化、方程组的离散和求解、初边值条件的确定、模型的 率定和验证等一系列问题。 河网模型河网不同于单一河流的特点，而在于河网错杂复杂性，以及由此带来方程 组离散和求解上的困难，这是多年来人们研究河网问题的一大难题。 河网水动力学模型常用的求解方法有特征线法、有限差分法、有限元法、有限体积 法等，其中以有限差分法运用最为广泛。 1 2 1 1 控制方程 以表示成如下形式”】： i 丝+ 丝：口 西 西 1 ，ii ( 1 1 ) 1 ；l a 西a + 西al z + 升器= 。 u 。u 式中：z 、q 、a 、“和r 分别表示某一时刻r 及在某一空间位置s 断面的水位、流 量、过水断面平均流速和水力半径，c 为谢才系数，q 为单位长度河长旁侧入流。 汉点处的衔接条件目前用的最广泛的是水流连续和能量守恒两个条件。下面就对这 两个衔接条件分别予以介绍【2 , 6 , 7 1 。 1 、水流连续条件 水流连续条件可表示成： 喜钟= 警 ( 1 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 式中：一，肌分别表示与某一汉点相连的河段数和汉点号，q 。表示m 汉点的蓄 水量。在假设汇合区很小，水位变化引起的汇合区水体积的变化不计的情况下，可以 简化成如下形式： 、 刃= o j l l 2 、能量衔接条件 在考虑流速水头的影响及断面能量损失情况下， 程： ( 1 3 ) 可以得到如下形式的能量衔接方 矿+ 譬何- 譬叫+ 譬僻一譬 m4 ， 方程( 1 4 ) 可作一般线性化处理，计算时也可作一些简化，表示成流量和水位改正 值的形式。 1 2 1 3 解的方法 前面己经讲到，河网非恒定流问题最后都归结为一维圣维南方程组的求解。在选择 差分格式时将圣维南方程组关于时问和空间进行差分离散时，有显格式和隐格式两种不 同的方法【纠j ，7 朋。 l 、显格式差分法 显式差分法用于解河网非恒定流的文献比较少。在具有岔道支流的明渠不恒定 流计算一文中，作者首先将圣维南方程组转化为相应的特征方程，写成特征对角形式 为： 詈 - i - 刎- t - ) 昙 - i 珈- 9 2 罄b 日塑d x 昙( “一2 c ) + ( 甜叫昙 一2 c ) = - 9 2 罄+ c 盖h 警 ( 1 5 ) 其中。2 、砂，再用不等距偏心插值特征线格式对特征方程差分离散，可以得到， 内点和边点的差分格式。在汉点处，再利用司托克条件( s t o r kj j ) 条件，使计算连续 进行下去。 2 、隐式差分法 目前用隐式差分法解河网方程组，可以分为直接解法和分级解法两大类。为便于以 后的说明，我们假设一个河网的计算断面总数为n s ，河段数n r ，汉点数n j ，边点数， 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 有n s n r 个微段。 ( 1 ) 直接解法 这类解法是早期河网计算中常用的方法，它的基本思想是直接求解由内断面方程和 边界方程组成的方程组。具体过程简述如下：在这里选用p r e i s s m a n n 格式进行差分，可 以得到计算每一节点的流量和水位值的递推公式为： 厶q = e , a z , + 4 a z i = 县缸+ l + 墨f + i + m ( 1 6 ) 公式中，循环系数置、4 、e 、k 和m 可递推求出，其一般关系如下： 巨= e ( 置。) 4 = 彳( e 置一) h i = h 幔) k = k ( 巨) m = m ( e ，4 ) ( 1 7 ) 由上式可知，有了骂。和4 - l ，即可以求出互和4 汊点处的互和4 ，可以根据衔接 条件求出，并可进一步求出马、k 和m ，有了各循环系数后，即可利用方程组( 1 6 ) 结合末端边界条件，求出各断面。，和q 。我国中山大学从河网矩阵的特点出发， 提出了“网河隐格式的稀疏矩阵解法”，能够有效地节省计算机内存，提高计算速度。 ( 2 ) 分级解法 分级解法是近期发展起来的方法，该方法首先由荷兰学者提出。分级解法的基本思 想是先将未知数集中到汉点上，待汉点未知数求出后，再将各河段作为单一河段求解。 分级解法按方程组的连接形式，又可以分为：二级解法、三级解法、四级解法、汉点分 组解法和树型河网分组解法。 二级解法 二级解法的基本思想是将所有的边界方程和河段方程一起构成一个封闭的方程组， 也即是二级连接方程组，求解这样的方程组，便可以求得河网各河端未知数，然后再利 用微段方程，求出全部内部计算断面的未知数。具体过程可以简述如下：设在一个河道 中，首断面编号为k ，共有m 个计算断面，则有2 m 个变量，n 1 个微段，计算该河道的差 分方程仍然采用递推公式( 1 6 ) ，则可以根据这个递推公式推算出该河道首尾断面的方 程组如下： 幺= e , a z , + 4 大连理工大学硕士学位论文 气= h i + 。1 z 七+ ，1 + 砭+ 。- 1 绞+ ，- 1 + + ，- l ( 1 8 ) 它们表示河段首断面变量缸、乓厶q 和末断面变量a 气+ 。、鲰。之间的关系， 因此称之为河段方程。如对所有河段首尾断面另行独立编号，则对于第n 河段，其河段 方程可以写成如下形式： q l 4 = 巨。- l a z 2 。一i + 呜。1 z 2 。- l = 曰厶z 五+ 局。q 2 。+ 么 ( 1 9 ) 在一个河网中，可以列出上述河段方程2 n r 个，再加上2 n r - n 个汉点方程，n b 个 边点方程共4 n r 个，恰好等于河段边点未知数的总数，因此可以独立解出河段首尾断面 的未知量。在该方法中，汉点的处理和直接解法相同。求出河段首尾断面的未知量以后， 然后根据式( 1 6 ) 对每一河段进行自下游而上游的回代，求出全部内断面未知数。 三级解法 三级解法是在二级解法的基础上提出来的。它的基本思想是在二级解法的基础上， 将所得到的河段方程自相消元，可以得到一对以水位或流量为隐函数的方程组，当以水 位改正值为隐函数时，方程组( 1 9 ) 可以转化为： a q 2 ，- l = e 2 。- l z 2 t | _ 1 + 4 。- 1 1 如= 手一i 钙。- l 一马。一鸩一 ( 1 1 0 ) a 2 方程组( 1 1 0 ) 可以直接代入相应的汉点和边点方程，消去其中的流量改正值，则剩 余的2 n r 个方程就只含有2 n r 个未知的水位改正值变量，求解连接矩阵得到各汉点上各 断面的水位改正值，回代河段方( 1 9 ) 得到汉点各断面的流量改正值，再回代微段方程 ( 1 6 ) ，得到所有各断面上的水位和流量改正值，从而可以得出各断面的水位和流量。 四级解法 四级解法是在三级解法的基础上，进一步从三级连接方程组中分离出外边界方程和 汉点能量衔接方程，最后由剩下的方程构成四级连接方程组。然后，将第一步所得结果 和汉点能量方程代入汉点水量平衡方程中，消除去各汉点第一断面水位改正值以外的全 部未知数。我们可以得到一个方程组，简单地表示成矩阵形式： 【4 】 垃 = 磅 ( 1 1 1 ) 这样形成的方程组即是所谓的四级连接方程组，四级连接方程组共含有m 个方程， n i 个未知数，可以求解。四级连接方程组一经解出，将其乘上相应的系数，便可以得 到三级解，再按三级解法相同的方法求出各断面的水位和流量值。 汉点分组解法 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 汉点分组解法首先由我国学者李义天提出。该方法首先将河网中的汉点分为n g 组， 用n g 表示汉点组的序号( 1 s n g n g ) ，分组时，要求每一汉点组最多与两个汉点组相 连。每组汉点中的河段，可以是连接本组汉点的河段，也可以是一端连接本组汉点，另 一端连接前一组或后一组汊点的河段，对每一组汉点均可以形成分组后的汉点方程组， 也即是方程组( 1 1 1 ) 。一般地第馏组( 第一组与最后一组除外) 汊点的方程组为： 【r l 喀 q 。+ p 】。 斟。+ 【叱 z ) 州】噌 ( 1 1 2 ) 相应地，若为第一组或最后一组，则分别没有上式的第一项和第三项。f 形l 是矢量 讲的子矢量，式( 1 1 2 ) 是式( 1 1 1 ) 的子方程组。对于分组汊点方程组的求解我们可以 用式( 卜1 3 ) 逐步递推，对第糟组汊点，可以得出递推式如下： 刁。= 上) 。 刁。+ p 。 ( ，培= l ，2 ) ( 1 1 3 ) 【三】蜡和 p k 可以由【r l 喀、【s l 。和【r k 得出递推系数。则第g 一1 组汊点的递推 式为： 缸 删= q 鹏 斟。+ 户) 懈 ( 1 1 4 ) 将n g 汉点组的方程组与式( 1 1 4 ) 联解，可以求出f z ) 。，再由式( 1 1 2 ) 逐步回代， 可以求出各汉点组的水位增量，再根据各河段端点水位增量与流量增量之间的关系，可 求出各河段端点流量增量，再由微段方程求出河段内部各断面的水位和流量增量。 树型河网分组解法 印度学者b j n a i d 等人提出了树型河网分组解法，这种解法式基于以下原理提出 的：首先将河网分成尽可能小的组，再用一种较合理的方法解分组后的河网，最后用打 靶法将每组连接起来从而解出整个河网。如图1 1 所示河网，己知节点1 的流量值和节 点4 、5 、7 、8 的水位置。我们可以先假设节点7 的流量值，推算出节点6 的水位值和 流量值，节点2 的水位值z 2 也可以求出。再假设节点4 的流量值，用同样的方法可以 算出节点2 的另一个水位值2 ，若z 2 和z 2 相差不在所要求的精度范围内，则重新假 设节点4 的流量，重复上述计算，直到满足要求，再算出节点2 的流量值，进而算出节 点l 的流量值，与已知值对比，相差不在所要求的精度范围内，重新假设节点7 的流量 值，重复上述所有计算，直到二者相差在所要求的精度范围内，结束计算。 大连理工大学硕士学位论文 1 4 o i ；矿5 t 一纩3 曼一8 飞7 图1 1 树型河网 f i g 1 1 t r e e - t y p ef i v e r n e t w o r k 。 1 3 二维水流数值计算方法及其计算进展 人们依据普适的物理规律一质量守恒恒定律以及动量守恒定律建立了著名的非恒 定流运动规律的理论方程组n a v i e r - s t o c k e s 方程组。由于n a v i e r - s t o c k e s 方程组是偏 微分方程组，在数学上的复杂性限制了它的求解，在此后的八十多年中只能根据各种假 设将其简化为便于求解的方程组，极大的限制了它的使用，只是到了最近的五十年，随 着高性能计机硬件以及软件的发展，对完整的n a v i e r - s t o c k e s 方程组的求解变为可能。 1 3 1 = 维水流数值计算方法 二维水动力学数值计算方法与其它水流的计算方法类似，主要有有限差分法 f f d m ) 、有限单元法( f e m ) 、有限体积法( f v m ) - - - 大类。这三种计算方各有优缺点，三 者的主要差别在于它们的计算精度和速度不同，对研究对象的适用性也不同m j ”。下面 就常见计算方法介绍如下： 1 、特征线法 该方法是根据数学理论将偏微分方程转化为常微分方程求解，以及通过坐标的转换 寻找可以将偏微分方程转化为常微分方程的一组特征线，然后沿特征线积分求解。特征 线法推导严谨，数值解法中精度较高，对其他方法的研究还能取得指导作用，因此是一 种基本的解法。在实际计算中，由于特征线计算网格不规则需要同时存储节点在平面上 的位置坐标和节点上的水利参数，需求的存储量较大。所以实际计算中一般采用特征线 差分方法，网格节点的位置按差分方法布置，但解点之间关系按特征线方法原理建立。 特征线法在具体计算中，具有精度高，不受稳定条件的制约等优点。其最大的优点是能 用于涌潮地区，这是其它方法不能比拟的。但是特征线法也有其不足，其缺点是：特征 方程为非守恒形式，用差分方程离散特征方程时，会带来守恒性误差；特征线法多用于 二维和一维问题。 2 、有限差分法 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 有限差分法是一种传统的数值离散方法，其基本思路是：在矩形网格上采用差商近 似代替微分方程的微商，用网格节点的差分方程逼连续函数的微分方程。从而连续函数 的微分方程求解变为离散节点值的代数方程组的求解。有限差分方程可以用于各种类型 的微分方程，数学概念清晰，计算模式易于拟定，便于编写程序。误差估计、收敛性 和稳定性成熟，是运用广泛的一种方法。运用差分离散时，可以采用不同的差分格式， 如：显格式、隐格式等。从理论上说，高阶差分格式可以减小误差，但也会造成边界条 件处理上的困难。传统差分方法最大的缺点是：网格布置不灵活，网格无法与不规则的 边界充分贴和，从而降低了计算精度。为克服其局限性，许多学者致力于不规则边界处 理问题的研究。诸如美国的j f t h o m p s o n 等人提出的边界拟和坐标系( b o u n d a r yf i t t e d c o o r d i n a t es y s t e m ) 方法，赵士清利用三角网格原理提出的有限节点方法，l 谢里曼提 出的任意网格有限方法等，利用这些方法在原则上可以将任意复杂的几何边界变成为规 则的几何边界求解。然而计算区域的规则化是以控制方程的复杂化为代价的，并且当边 界存在尖角的时，会出现局部奇异现象，使计算不收敛f l l 4 1 删。 3 、有限分析法 有限分析法是七十年代末，美籍华人陈景仁提出的一种新的求解微分方程的数值方 法。有限分析法的基本思路是将待求解的总体区域划分为有限个子区域。在这些区域内 做一些简化，然后求解偏微分方程方程在该区域的解析解，再从解析解导出一个代数方 程，将子区域上的内节点和相邻的节点联系起来。汇总所有的子区域，便得到流动区域 内各网格节点上因变量的未知数与边界点已知值之间的线性代数方程，在求得其数值 解，有限分析法是一种局部精确求解得方法，它使得方程中对流、扩散特性确切的反映 到计算过程中。其优点是：计算量小，稳定性好，精度高。 4 、边界元法 边界元法又称为边界积分方程法，在流体力学中称为有限基点法或有限基本法，它 是七十年代中期发展起来的一种数值方法。其实质是解数学物理方程中的格林函数法， 据此给出解的积分表达式，利用定解条件建立边界积分方程，由于所有的边界积分方程 不可能求出其解析界，因此，利用有限元离散，将其转化为边界节点上的未知量表示的 代数方程组，求解该代数方程组，便可以得到边界节点上的所有未知量。以上过程可以 求得边界物理量得变化。若要求解计算区域内物理量的变化问题，则应该求得的边界节 点上的未知量连同定解条件一起代入解的积分表达式，计算相应的积分，得出区域内部 节点上的数值。边界元法最大的特点是可以使求解问题的空间降维，从而使计算工作量 与所需要的内存明显减小。边界元是计算椭圆形问题的有效方法。由于求解过程中需要 大连理工大学硕士学位论文 控制方程的基本解，而对于复杂问题( 如求解完整的n - s 方程) 难以给出基本解，所以 该方法运用有一定的限制。 5 、有限体积法 有限体积法又称控制体积法，是七十年代由s p a l d i n g 和p a t a n k a r 等人提出和发展来 的一种离散方法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列连续但互不重叠的控制体积， 并使每个控制体积包围一个网格节点，假定各变量在网格节点间的变化规律，将待求解 的微分方程对每一个控制体积积分，得出一组离散方程，未知数是网格节点上因变量的 数值，有限体积法物理概念清晰，实际上反映了物理量在有限体积内守恒原理，正如微 分方程表示的物理量在无限小的体积内的守恒一样。此方法对任意控制体积都体现出准 确的守恒原则，且能拟和不规则边界。目前这种方法得到很广泛的应用。 6 、有限单元法 有限单元法是以变分原理或加权余量法为基础的单元插值离散方法。有限单元法的 基本原理是将求解区域分解成相互连接而又不重叠的几何单元( 如三角形、四边形等) 。 在各单元内部选取适当的点( 即节点) 作为插值点，把微分方程中的变量写成经过合理 选择的插值函数( 逼近函数) 与其导数在节点上的线性拟和。求解的手段则是应用变分 原理或加权余量法，将问题的控制微分方程转化为可以控制所有孤立单元的有限方程， 最后将这些局部单元进行总体合成，可以得到满足初始和边界条件的有限元代数方程 组，求解得到各节点上的函数值。 有限单元法的优点是：具有几何形状拟和的灵活性；具有丰富的数学结构和较为完 整、统一的算法，更加适用于模块化编程，且算法程序具有通用性；网格剖分灵活，能 以较少的网格获得较高的精度，有限元的精度取决于单元插值函数或控制节点之间的函 数分布假设。有限元的确定是：有限单元法计算内存大，形成的矩阵不总是稀疏的，计 算工作量大，程序编著复杂。传统的有限单元方法强调整体存储，因而占用的内存大， 而直接单元系数矩阵存储及拓扑调用的方法，则可以大大地节省内存i ”。 1 3 2 = 维水流数值计算方法进展 n a v i c r - s t o c k e s 方程组是三维的偏微分方程组，鉴于天然河道由于其深度与广度相 比较起来很小，水流状况在深度方向的变化率远远小于广度方向的变化率小故可以采 用深度方向均化的方法来简化n a v i e r s t o c k e s 方程组，由此产生平面二维浅水运动方 程。关于平面二维非恒定流的研究已经有相当长的历史，国内外的许多专家和学者做出 了大量的研究成果。a b b o t t 及s t e l l i n g ( 1 9 8 4 ) 曾对平面二维浅水方程作出了仔细的 分析，更有l e e n d e r t s e s 将有限差分法以及a d i 法成功地应用于河口与海岸的平面二维、 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 三维的水力学模型中，随后p a t a n k a r 和s p a l d i n 提出了s i m p l e 算法，该方法现在被广 泛地应用于不可压缩流体的流动数值模拟。在此基础上有了迸一步的改进，主要有 s i m p l e r 算法、s i m p l e c 算法、s i m p l e x 算法和s i m p l e t 算法等，这些模型都成功的应 用于速度势耦合的流场模拟，深度均化的浅水流动模型是在静压下导出的，故一般 流体模型中的速度一势耦合的问题也就转化成了速度一水深的藕合【l ”。h o l t m ”1 采用 “逆风”格式离散平面浅水波的守恒型方程进行水流模拟计算。王船海、程文辉1 提 出了天然河道非恒定流场的通用数学模型，采用正交曲线拟合坐标来克服天然河道复杂 的边界给有限差分带来的困难，克服了天然河道边界形状复杂，长宽尺度相差悬殊等问 题，采用露滩处理方法一“冻结法”，在计算过程中对“动边界”进行追踪，确定非 恒定流时因水位引起的计算区域的变化，从而解决了由水位波动引起的计算边界变化等 困难，并采用全隐式方法离散计算，极大地克服了分裂法时间步长的限制。周建军、林 秉南和王连样h 卅应用破开算子法原理，将平面二维非恒定流方程按不同的物理意义破 开成对流、扩散和传播三个子方程，对对流方程，采用特征线的迭代解法，对扩散和传 播方程，引入有限差分法求解，用“动边界”技术追踪在非恒定流时因水位的变化而引 起的计算区域边界的变化。大连理工大学吴修广、沈永明 2 6 1 等采用l a p l a c e 方程坐标 变换方法生成正交曲线网格，并对浅水流动的控制方程进行坐标变化，方程离散时采用 b 型交错网格。方春明 2 7 1 针对河道平面形状窄长的特点，采用全隐式差分法求解河道平 面二维恒定水流运动方程。邓家泉【1 s 】以b g k 波尔兹曼方程为基本方程，利用有限体积 法，建立了满足墒原理的二维明渠非恒定水流的b g k 数值模型。邵颂东、王光谦和费详 俊【1 9 】在分析总结有关l e 法、m a c 法及p i c 法等优越性的基础上，建立了适合于计算类 似分洪区水流运动的平面二维l e 法的数学模型魏文礼、沈永明 2 0 1 等采用基于 m a c c o r m a c k 预测一校正技术的隐式数值格式，求解控制水流运动的二、三维浅水方程， 建立了模拟大坝瞬间全溃或局部渍坝所致的洪水演进进程数学模型。 1 4 本论文研究的主要指导思想和主要工作 论文运用丹麦水力研究所开发的m i i 旺i1 平面一维水动力学模块对碧流河下游防 洪能力进行数值模拟。模拟的结果和运用库群一河网系统流动分析通用程序h y d r o i n f 对 碧流河下游行洪能力进行数值模拟的结果( 此结果得到实际的应用) 对比分析。再次运 用m i k e 2 1 水动力学模块对部分溃坝和一河道进行模拟、分析和演示。 大连理工大学硕士学位论文 2m i k e l l 水动力学模块及h y d r o i n f o 简介 2 1m i k e l l 水动力模块简介 m i k e l l 河流模型系统是丹麦水力研究所开发的应用于模拟河口、河流、河网、灌 溉系统的水流、水质、泥沙输运等一维问题的专业软件包瞄”。其核心是水动力模型 ( 皿) ，册模块利用a b o r t 六点隐式格式求解一维河流非恒定流方程( 圣维南方程组) ， 还可处理分汉河道、环状河网以及冲积平原的准二维水流模拟。这一子系统除了标准的 皿模型外，还包括5 个专用模型( 1 ) 洪水预报模型( f f ) ；( 2 ) 溃坝模型( d b ) ；( 3 ) 城市排洪模型( u d ) ；( 4 ) 降雨径流模型( n a m 和u 删) ；( 5 ) 控制构筑物模块( s 0 ) 。 m 珏 1 1 是一个结构清晰、界面友好i 应用广泛的模拟系统，可以被广泛的应用于 以下研究领域：河口、河流、河网的水量模拟；排水系统的区域分析和地面排水方案的 优化；渠网优化布置以及灌区运行系统优化控制；潮汐、风暴潮、洪水分析与预报。以 下仅对河道水动力学模型简要介绍。 2 2m l k i e l l 河网水动力模型数值求解 2 2 1 一维明渠非恒定流基本方程组 一维明渠非恒定流的基本方程组是圣维南方程组i ”l ： 触a d 一+ 2 = 口 办缸 1 警+ 丢c 等，+ 鲥瓦o h + g 掣墨= 。 式中：工为距离坐标；r 为时间坐标；a 为过水断面面积；q 为流量： 为旁测入流量；c 为谢才系数；r 为水力半径：g 为重力加速度。 2 2 2 方程组的离散 ( 2 1 ) h 为水位；q 利用a b b o t t 六点隐式格式笠1 离散上述控制方程组，该离散格式在每一个网格节 点并不同时计算水位和流量，而是按顺序交替计算水位和流量，分别称为h 点和q 点( 如 图2 1 和图2 2 ) 该格式为无条件稳定，可以在相当大的c o u r a n t 数下保持计算稳定， 可以取较长的时间步长以节省计算时间1 4 2 1 。 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 图2 1a b b o t t 格式水位点、流量点交替布置 f i g 2 1 t h ea l t e r n a t i v el a y o u to f w a t e rl e v e la n df l u xi na b o r = ；：鬟王 时间步| + 鱼孓一 ，! 。j，穆 水位点一了 i - jj 蛰 图2 2a b b o t t 六点中心差分格式 f i g 2 2 s i xp o i n tc e n t r a ld i f f e n e n c es c h e m ei na b o t t 引入蓄存觅厦e ，连绥方程写为： e 等+ 詈_ g 罢= 鲣2 盟一鲣2 盥1 k 缸li 一丝b t = ( 垆1 一嘭) 肚 e = ( 以j + 4 川) a 2 x 式中，以为网格点，一1 和，之间的水表面面积； 表面面积；2 为网格点，一1 和，之间的距离。 则方程( 2 2 ) 写为 ( 2 2 ) 以。为网格点，和，+ 1 之间的水 大连理工大学硕士学位论文 e 华+ 鲥蔓丝型必一 (23)a2 。 址x,aj 一 式( 2 3 ) 整理后可以简化为： 哆嗡+ 只彤“+ 乃姘= 色 ( 2 4 ) 式中，a ，卢，是忍和占的函数，并且依赖于矿，和和“彪。 同样动量方程各项在流量节点上差分形式为： i o q ；( g “一彰) 加 掌锅q 2n 一酾，2 ) z 巧 罢= c 唑塑一唰码 动量方程离散格式写为： 学n + l n + 地 q 2 1 + 蔷, t 2 _ r q 也2 - e , + m 制r ：鳢等笋业亿。， + 哼g 石严跳= 当在某个时间步长内，某网格点流速的方向发生变化时，q 2 的离散形式可以写为：j q 2 * p 砑“g 一 一1 ) g 鳄 ( 2 6 ) 其中：0 5 口1 式( 2 4 ) 整理后可以简化为： a j 域竺+ p | q + 7 i 嚼= 6j 嘧补 式中，q = f c a ) ，岛= 厂( 研，a t , a x , c , a ，固，乃= 厂( p 乞= f ( a , a x , a t ，口，q ，d ，0 ，蠕，q 知，确，q 盟胆) 1 、河道方程 2 2 , 4 2 如前面所述，河道内任一点的水力参数z 力参数的关系可以表示为一线性方程： a i z - n + l l + pj z + 7j z 舞= 6 i ( 水位h 或流量q ) 与相邻网网格点的水 ( 2 8 ) 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 上式中的系数可以分别由式( 2 6 ) 式( 2 7 ) 计算。 假设一河道由以个网格点，因为河道的首末网格点总是水位点，所以一是奇数。对 于河道的所有网格点写出式( 2 8 ) ，可以得到万个线性方程。 a l h - + 1 + 届w “+ n 鳞“= 磊 研“+ 届霹“+ n 骘“= 龟 ( 2 9 ) a j ；5 瓮+ 尾，( 猫+ 一，蟛“= 瓦- l 口。( 猫+ 成w “+ n 王学1 = 瓦 式中，第一个方程组中的只。和最后一个方程中的目西分别是上、下游汉点的水位。 某一河道第一个网格点的水位等于与之相连河段上游端汉点水位：啊= 王乙，即口。= - 1 ， 届= l ，n = o ，最= 0 。同样，= 玩，即a 。= o ，成= 1 ，= 一l ，瓦= 0 。 对于单一河道，只要给上、下游水位边界，即z 0 和月2 为已知，就可用消元法求 解方程组( 2 9 ) 。 对于河网问题，由方程组( 2 9 ) ，通过消元法可以将河道内任意点的水力参数( 水 位或流量) 表示为上下游汉点水位的函数： z ? “= 巳一哆，月：1 一础 ( 2 1 0 ) 只要先求出河网各汉点的水位，就可用式( 2 1 0 ) 求解任一河段，任一网格点的水力 参数。 2 、汉点方程组 如图2 2 所示，对于围绕汊点的控制体应用连续性方程得到： 号等4 = 扭一鲱川一线) + 三( 略+ 站一列) ( 2 1 1 ) 将上述方程中右边的第二式的第三项分别以( 2 1 0 ) 代替，可以得到： 罨笋4 = 5 9 2 l d + 跣q - - 黝+ 丢( c 纠一缸盆一m 押州一4 上j - 1 日器一乜争一。1 一c + 4 日。+ 1 + 磁 ( 2 1 2 ) 其中，日为汉点的水位，只伽，点，分别为支流a ，b 上游端汉点水位，也曲为 支流c 下游端汊点水位。 在式( 2 1 2 ) 中，将某个汉点的水位表示为与之相连接的河道的汉点水位的线性函 数。同样，对于河网所有的汊点( 假设为n 个) ，可以得到n 个类似的方程( 汉点方程 大连理工大学硕士学位论文 组) 。在边界水位或流量为已知的情况下，可以利用高斯消元直接求解汉点方程组，得 到各个汉点的水位，进而回带式( 2 1 0 ) 求解任意河道，任意网格点的水位或流量。 图2 3 河网汊点( 以三汉点为例) f i g 2 3 j u n c t i o n so f r i v e rn e t w o r k ( t h r e ej u n c t i o n s ) 原则上汊点可以任意编码，但对于大型复杂河网，这样得到的汉点方程组的系数矩 阵将是一阶数很高的稀疏矩阵。尽管对于大型稀疏矩阵提出了许多特殊的求解方法，但 仍然是难以克服其存贮量大，运算耗时的特点嘲。 大型稀疏矩阵求解计算时间主要取决于矩阵主对角线非零元素的宽度。网格节点进 行优化编码的方法来降低汉点方程组系数矩阵的带宽，使之成为主对角线元素占优的矩 阵，从而方便了方程组的求解，并大大减少了计算耗时1 2 4 , ”1 。 3 、外边界条件 若在河道边界点上给出水位的时间变化过程：h = ( f ) 。此时，假设边界所在河道编 号为_ ，边界上的汉点方程为：材= 1 ，或而篇= 硝 若在河道边界点上给出流量的时间变化过程：q = q ( t ) 。 对如图2 4 所示的控制体，应用连续方程可以得到： 里之兰白；吾( 饼一鳞) + - l 1 t q 7 - ) 应用m i k e 对河流一、二维的数值模拟 图2 4 流量边界 f i g 2 4 t h eb o u n d a r yo f f l u x 若在河道节点上给出的是流量、水位关系q = q ( 砂，其处理方法同流量边界条件， 得到与式( 2 1 5 ) 类似的方程，只是方程中的g 和饼“由流量水位关系计算得到。 2 3 库群一河网系统流动分析通用程序h y d r o ln 卞。简介 库群河网系统流动分析通用程序h y d r o i n f o 包括：水库调洪、河道流动的圣维南方 程组，河网连接关系以及闸堰水工建筑物等多部分组成。以下仅对河道水动力学模型简要 介绍【”。 2 3 1 基本原理 河道流动方程为圣维南方程组：