（水力学及河流动力学专业论文）明渠弯道水流的水力特性研究.pdf

摘要 明渠弯道水流的水力特性研究 专业：水力学及河流动力学 硕士研究生：万俊指导老师：王韦教授 摘要 水在流动的时候，受边界条件的影响很大。边界条件的些微变化，就可能 引起水流形态的巨大变化。明渠弯道水流是工程实际中经常碰到的一种水流形 式。 按照弯道在空间中的分布型式，可将明渠弯道分为平面、垂向和复合型弯 道。本文从微元水体的动力学方程出发，在总结前人成果的基础上，对三种弯 道形式下的水流进行了研究。 存在转弯，就必然存在向心力。平面弯道中，由于没有在水平方向上能够 提供向心力的旌力物体，故在水平转弯时，水流只能以形成水面超高的形式来 形成水平方向的压力差，从而提供转弯时所需的向心力。这个超高的具体计算 公式前人已经做了推导，本文给出了另一种较为简洁的推导方法。 垂向弯道的向心力由水的自重和底板压力的合力来提供。在凸面上，底面 压力变小，向心力与水的自重方向一致；在凹面上，底面压力变大，向心力与 水的自重方向相反。这个相对于不转弯的直线底板增大或者减小的部分，在本 文中被命名为“转弯附加压力”。本文从微元水体在弯道中的动力学方程出发， 给出了这个附加压力的表达式，并将附加压力全水深平均后代入能量方程，引 入水流垂线流速的幂指率，联立连续方程，给出了水深沿程变化的控制方程， 即适合于急变流的能量方程。利用v i s u a lb a s i c 程序语言编程计算，得到了与试 验值相符良好的计算结果。该程序能够适应不同的计算模型，只要在边初值输 入窗口输入具体问题的值，就可以得到需要的解答。 根据矢量合成定理，将复合型弯道分为水平的和垂向的弯道来考虑。本文 着重研究了复合型弯道的具体工程实例：扭曲挑坎。从垂向弯道的水面线控制 方程中的附加压力公式出发，讨论了挑坎底板垂向上的曲率半径变化规律对附 t 一塑墨 加压力系数的影响，研究了挑坎中水流压力对挑射水流挑距的影响。结合工程 实际，对某大型水电站泄洪洞的挑坎型式进行了优化。从平面弯道的水面超高 公式出发，讨论了扭曲挑坎内外侧底板高差的估算公式，本方法对工程中扭曲 挑坎的体型设计有一定的参考价值。 根据附加压力表达式的特点，应用它对曲面急变流的特定问题进行了求解， 结果与试验值相符较好。 关键词：弯道急变流明渠能量方程水面线动水压力挑坎 附加压力 一苎里一 s t u d y o nt h eh y d r a u l i c sc h a r a c t e r i s t i c so ff l o w i n o p e n c h a n n e lb e n d s m a j o r ：h y d r a u l i c sa n d r i v e rd y n a m i c s p o s t g r a d u a t e ：w a n j u n s u p e r v i s o r ：w a n gw e i a b s t r a c t t h eh y d r a u l i c sc h a r a c t e r i s t i c so ff l o w i n gw a t e ra r ea f f e c t e db yb o u n d a r y c o n d i t i o n se n o r m o u s l y t h ec h a n g eo fb o u n d a r yc o n d i t i o n sm a y b ec a u s e so b v i o u s c h a n g eo ff l o ws t a t e t h ef l o wi no p e nc h a n n e lb e n d si s o n eo ft h em o s tf a m i l i a r f o r m si nh y d r o p o w e rp r o j e c t s a c c o r d i n gt ot h et u r n i n gf o r mo ns p a c e ，o p e nc h a n n e lb e n d sc a nh es o r t e d a s t h el e v e lb e n d ，t h eu p t i g h tb e n da n dt h em u l t i p l eb e n d s o m e r e s e a r c ha n ds t u d yo n t h e s et h r e ec h a n n e lb e n d s b a s e do ns u m m a r i z i n gt h ee x i s t i n ga c h i e v e m e n t sa n d a n a l y z i n gt h ed y n a m i c se q u a t i o nf o ram i c r oc e l l ，a n a l y s i s a r ec a r r i e do u ti nt h i s p a p e r b e c a u s eo ft h et u r n i n g ，t h e r em u s tb eac e n t r i p e t a lf o r c ei na l lb e n d s f o ra l e v e l b e n d ，t h ec e n t r i p e t a lf o r c ew i l lb ep r o v i d e db yt h ep r e s s u r ed i f f e r e n c eb e t w e e n b o t h s i d e so ft h em i c r oc e l la n dt h ee x p r e s s i o n so fa hi s a l s o g i v e nb y a n o t h e r c o m p a r a t i v e l ys u c c i n c tm e t h o di nt h i sp a p e r f o rt h eu p r i g h tc h a n n e lb e n d ，t h ec e n t r i p e t a lf o r c ei sj u s tt h ec o m p o s i t i o no ft h e g r a v i t ya n dt h ep r e s s u r eo nt h eb o t t o m o n ac o n v e xs u r f a c e ，t h ep r e s s u r ei sl e s st h a n n t 摘要 t h a to nt h es t r a i g h ts u r f a c e ，a n dt h ec e n t r i p e t a lf o r c ek e e p st h es a m ed i r e c t i o nw i t h t h eg r a v i t y ；o nac o n c a v es u r f a c e ，t h ep r e s s u r ei sl a r g e ra n dt h e d i r e c t i o no ft h e c e n t r i p e t a lf o r c ei sc o n t r a r yt ot h eg r a v i t y t h i si n c r e a s e do rr e d u c e dp a r t ，c o m p a r e d w i t ht h a to ns t r a i g h tb o t t o m ，i sn a m e dt h ea d d i t i o n a lp r e s s u r ei nt h i sp a p e r t h e e x p r e s s i o no ft h ea d d i t i o n a lp r e s s u r ei sg i v e nb a s e do nt h ed y n a m i c se q u a t i o no ft h e m i c r oc e l la n a l y s i s a l s o ，i n t r o d u c i n gt h ev e l o c i t yd i s t r i b u t i o na n dt h ec o n t i n u o u s e q u a t i o n ，t h ee n e r g ye q u a t i o nf o rr a p i d l yv a r y i n gf l o wi s g i v e n u t i l i z i n gv i s u a l b a s i cl a n g u a g e ，n e wr e s u l t so fc a l c u l a t i o na r eg o t t e n ，w h i c ha g r e ew e l lw i t ht h e e x p e r i m e n t a ld a t a t h i sp r o c e d u r ec a nb eu s e df o rc a l c u l a t i o no fd i f f e r e n tu p t i g h t c h a n n e lb e n d s a f t e rf i n i s h i n gt h ei n i t i a lc o n d i t i o n si nt h ei n p u tw i n d o w , t h ea n s w e r n e e d e dc a nb ea c h i e v e d a c c o r d i n g t ot h ev e c t o r c o m p o u n d i n g ，t h em u l t i p l e c h a n n e lb e n di s i n v e s t i g a t e db yc o m b i n i n gt h el e v e lb e n da n dt h eu p r i g h tb e n d t h ec o n t o r t e db a f f l e ， w h i c hl o c a t e sa tt h ee n do fas p i l lt u n n e l ，i ss t u d i e di nt h i sp a p e r b a s e do nt h e a d d i t i o n a lp r e s s u r ee x p r e s s i o n ，t h er u l e so ft h ea d d i t i o n a lp r e s s u r ea f f e c t e db yt h e c h a n g i n go ft h ec u r v a t u r er a d i u sa l ed i s c u s s e da n dc a nb ear e f e r e n c ef o ro t h e r s i m i l a rp r o j e c t s k e yw o r d s ：c h a n n e lb e n d ；r a p i d l yv a r y i n gf l o w ；o p e nc h a n n e l ；e n e r g ye q u a t i o n ； w a t e rs u r f a c e ；f l i pb u c k e t ；a d d i t i o n a lp r e s s u r e 主要符号表 字母 q h 吃 b 尺 r z p y ， 七 ，l u c v 口 f f 主要符号表 表示的意义 弯道中的水流总流量 总水深 弯道附加压力 明渠宽度 弯道曲率半径( 定量) 弯道曲率半径( 变量) 研究断面的位能 相当于基准面的高差 压能 水的容重 附加压力系数 相对物面的水深 幂指率指数 糙率系数 断面最大流速 断面平均流速 物面方程对应点的倾角 微元水体的受力 动力粘滞系数 v 主要符号表 相对水深 卡门常数 谢才系数 局部水头损失系数 水流空化数 程序计算精度控制系数 混合长度 溢流坝的流速系数 单宽流量 动水压力修正系数 v i 踞 k c 盯 糯 妒 g 口 四川大学工学硕士论文 1 1 问题的提出 第一章概述 水作为一种最常见的液体，具有易流动的特点。水不能保持固定的形状， 它的形状与它所处容器的形状有关。同样，水在流动的时候，受边界条件的影 响较大。边界条件微小的变化，可能引起水流形态的巨大变化。 明渠弯道水流( 本文中所说的弯道水流都是指的明渠无压弯道水流，以后 不再赘述) 是一种工程实际中经常碰到的水流形式。在本文中，弯道水流既包 括的水平的转弯形式，也包括垂向的转弯形式。 弯道在实际工程中有很多值得利用的地方，同时也会产生一些不利的水力 学现象。比如，溢洪道扭曲挑坎出口或者泄洪洞的龙落尾( 龙抬头) 段，我们 都是利用了弯道的水力特性，从而使水流能够平顺过渡。但在溢洪道曲线段或 者泄洪洞龙落尾段出现的负压，则是一种可能引起空蚀破坏的不利水流情况。 此外，取水口位置的选择，或排沙设施的设定，往往要充分研究平面弯道中的 水沙运动特性。 1 1 1 垂向弯道 在工程实践中，水流边界的坡度一般不是固定的，而是具有一定的倾角或 曲率。比如泄洪洞的直坡段、泄洪洞出1 2 1 与挑坎间的反弧段、溢流面上的曲线 段等等。 水流的垂向转弯，导致水流的流线急剧变化，从而形成急变流。大多数情 况下，我们接触的实际的明渠中的水流流动都是非均匀流。非均匀流，又可以 分为急变流和渐变流，但是又不能完全将两者完全孤立起来考虑。在工程应用 中，急变流和渐变流之间往往没有严格的界限。这是因为我们讨论是急变流还 是渐变流，其中一个重要的目的就是看是否能够直接应用总流的能量方程。在 工程上，只要满足精度要求，即使是急变流，我们仍然可以近似地应用总流能 四川大学工学硕士论文 量方程。我们知道，物体做圆周运动时，是存在向心力的。而根据急变流的定 义，急变流流线的曲率半径相对较小，这样向心力就相对较大，不能忽略。正 是由于向心力的存在，就使得水流中的压强不符合静水压强的分布规律，从而 丧失了一般的总流能量方程的适用条件。这样带来的最直接的影响就是关于急 变流的一些水力特性较难求得。 ( 1 ) 急变流与渐变流 水力学中指出，按照流线的不平行和弯曲程度，可以将非均匀流分 为渐变流和急变流两种情形。 对于渐变流来说，水流的流线虽然不是平行的直线，但是夹角不大；或者 流线虽然弯曲，但曲率不大。渐变流的继续发展就是急变流。如果一个实际水 流，其流线之间夹角较小，或者流线曲率较小，则可将其视为渐变流；若水流 的流线之间的夹角较大，或者流线的曲率较大，则可将其视为急变流。 图1 1急变流动水及静水压强分布示意图 布 如图1 1 所示凹曲面急变流中，由于液体质点所受的惯性离心力方向与重 力作用方向相同，因此过水断面上动水压强比按静水压强计算所得的数值要大； 对凸曲线急变流而言则恰恰相反，动水压强比静水压强要小，特殊情况下甚至 出现负压。如果实际水流的流线弯曲程度太大，在过水断面上，沿垂直于流线 2 四川大学工学硕士论文 方向就存在着惯性离心力，这时，再把过水断面上的动水压强分布规律按静水 压强分布规律看待就会引起较大的偏差。 ( 2 ) 急变流中主要的水力学现象和研究方法 急变流的水力学问题很复杂，而且在工程实际和生活中碰到的问题较多的 都是急变流问题，比如：泄洪洞的龙落尾部分，溢流坝的w e s 曲线部分和反 弧段部分，泄洪洞出口的挑坎部分等等。 解决急变流的最大麻烦就是压强的分布问题。由于转弯部分向心力的存在， 使得压强不再满足静水压强分布规律，能量方程难以直接应用。这样给直接求 解急变流水力要素带来了一定的麻烦。 现阶段，解决急变流问题一般有两种考虑：l 、在工程允许的条件下，将急 变流看成渐变流或者均匀流；2 、计算上采用数值计算，并且辅助模型试验。 ( 3 ) 急变流现阶段的研究成果 李大劐2 】研究急变流过水断面时，把急变流分为两种形态进行研究：( 一) 流线之间存在较大夹角的；( 二) 曲面流动，即具有较小转弯半径的。研究结果 表明，第一种形式的急变流的压强分布近似符合静水压强分布规律，而第二种 则不符合静水压强分布规律。作者用总流分析方法对曲面急变流进行了研究， 并且给出了曲面急变流的压强计算公式： 旦：z 。一z 一竺1 nr o(1-1) y 。 g r 式中，p 为被研究点的动水压强，z 。为参考断面的高程，z 为被研究点的高程， 及为动水压力的修正系数，r n 为参考面的曲率半径，为研究点的曲率半径。 对于上式，作者给出了大量的实验资料进行验证，证明了该公式的正确性。 吕文舫【3 】探讨了曼宁公式在急变流中的应用情况，通过理论分析与实验证 明，曼宁公式不仅适用于明渠均匀流和非均匀流的渐变流，而且在考虑壁面影 响后也适用于急变流的水力计算中。 田忠，王韦【4 1 等给出了一个实用、有效的曲面急变流水面线及床面压力的 计算方法。经理论分析，充分考虑了曲率、水流重力等因素的影响，建立了水 四川大学工学硕士论文 流的连续方程和动量积分方程j 应用四阶龙格库塔法求解，得出了水深、压强 和流速等水力要素。计算结果表明，计算值与实测值吻合较好。 综上所述，现阶段对明渠急变流的能量方程的理论及应用情况的探讨比较 少，而恰恰在明渠急变流中，能量方程是一个关键的问题。如果能够很好地加 以解决，然后与模型试验或者原型观测进行相互印证，将是解决明渠急变流问 题，特别是明渠曲面急变流问题的一种比较理想的方式。 1 1 2 平面弯道 张红武，吕呼叫认为：水流方向的任何改变都会伴随着产生惯性离心力。 作曲线运动的弯道水流，在重力及离心力的共同作用下，形成了一系列特有地 水力学现象。 当水流由直段进入弯道后，由于离心力的存在而使自由水面的平衡状态遭 到破坏。由实验可知，进入弯段后水面即有从凸岸向凹岸倾斜的横比降出现( 通 过凸岸水位降低及凹岸水位上升来实现) 。最大横比降发生在弯顶以下，继而逐 渐减小( 通过凸岸水位回升及凹岸水位下落来实现) ，但直至弯段出口处仍有一 定数值，出弯段后迅速消失。 同时，吴持恭所著水力学【5 】中介绍，平面弯道水流由于受到重力和惯 性离心力的作用，形成自由水面凹岸高，凸岸低。这样就会引起弯道副流。 如图1 2 所示，作用在微分水柱上的横向作用力由惯性离心力和静水压力 叠加而成。由图中可以很直观的看出，水柱所受合力形成一个力矩，这个力矩 将使水流产生横向旋转运动，这就是弯道副流的成因。 图1 2 弯道副流成因压力分布 四川大学工学硕士论文 平面弯道水流对实际工程和人们生活的影响很大。在泥石流研究中，王韦 在最大或然弯道在泥石流排导沟中的应用p 1 一文中利用流体流过弯道的特 点，提出了最大或然弯道的概念，并给出了该种类型的弯道的解析方程。 而弯道副流，则对泥沙沉积等具有很大的影响。在实际工程中，取水1 2 1 的 地址选择等都要考虑弯道副流的影响。 1 2 本文的研究内容 目前，国内外对于本文中所说的平面弯道的研究甚多，基本理论推导和各 种公式的建立也基本趋于成熟，所以，在本文中对平面弯道的理论推导较少涉 及。 至于本文中所述的垂向弯道，国内外的研究很少，只有少数专家学者进行 了比较深入的研究，但是也还没有像平面弯道那样，具有较成熟的理论，更加 没有国内外比较统一的公式可以借鉴。 本文对于垂向弯道进行了着重的研究：对于垂向弯道中的水流，作者加以 简化，研究沿程不变的矩形断面，从微元水体入手，直接从牛顿第二定律出发， 分析微元水体的受力情况，建立了微元水体的微分方程并进行积分，得到了垂 向弯道中水面线的控制方程： a z + 日o + 坠= 石；嘉十h c o sp + h 。+ h 2 ” g2 邸i h l 。 _ 其中，h。=竺岛(坐一巡arctan729n b9 h 9 h 4 h摆一q 为总媳口为明渠 “ v 尺2 7 宽度；日为计算断面的水深；日d 为初始断面水深；a z 为计算断面与参考断面 的高差；h 为附加压力；6 为计算断面物面倾角。 此方程虽然还是比较复杂，而且不是显式的，但是它毕竟已经不是一个微 分或者积分方程，只需要用二分法进行求解，求解起来十分方便。 另外，现在工程中常常碰到泄洪洞挑坎的问题。事实上，挑坎就是一种由 平面弯道和垂向弯道复合起来的一种复合弯道。挑坎的作用在于把水流按照人 们的意愿挑射到需要的位置，并且达到一定的消能效果。挑坎中的水深问题直 四川大学工学硕士论文 接控制着水舌的厚度，最终将影响消能的效果。本文就平面弯道的水面超高问 题和弯道副流问题也进行了一些研究。 参考文献 1 李大美，连续急变流动水压强分布规律的总流分析法，水电能源科学，v 0 1 1 2n o 2 j u n 1 9 9 4 。 【2 吕文舫，曼宁公式应用在急变流的探讨，给水排水，1 9 9 4 ，n o 4 。 【3 】李素霞，魏恩甲，何文学，李茶青，明渠非恒定急变流短波要素的计算，西北农林科技 大学学报( 自然科学版) ，v 0 1 2 9 ，n o 5 ，o c t 2 0 0 1 。 4 】田忠，王韦，刘善均，许唯临，曲面急变流水面线及床面压力的计算，四川大学学报( 工 程科学版) 。2 0 0 2 年1 1 月，第3 4 卷第6 期。 5 吴持恭，水力学( 上册) 第二版，高等教育出版社。1 9 8 2 年1 1 月。 6 张红武，吕昕，弯道水力学第一版，水利电力出版社。 7 王韦，许唯临，最大或然弯道在泥石流排导沟中的应用，i 1 ) q 联合大学学报( 3 2 程科学 版) ，第3 卷第3 期，1 9 9 9 年5 月。 6 四川大学工学硕士论文 第二章弯道水力特性的有关公式推导 2 1 垂向弯道水力计算 在文献 2 1 【2 l 】中，对弯道的一些水力学特征分别用不同的方法，从不同的 角度进行了研究，本文直接从水流微团的动力学方程出发，对弯道水流的水力 特性进行了探讨。 梁曾相1 1 在假定水深不变的情况下，得到如下公式： z4 - p = h c o s 0 - 4 - k v z1 2 9 = h c o s o + k q z1 2 9 h 式中k 为反映水流相对弯曲程度r h 对z + p i y 的影响的系数，且， 书h 丽r i h 一卜2 挣器一 此公式的不足之处是没有考虑流速的断面分布，只是对半径不变的圆弧进行了 讨论，但求解收缩断面水深很方便。 田忠嘲应用动量方程和连续方程联立得到q d _ h + e 2 _ d u e = 岛，应用数值方 法求解，也得到了与试验吻合比较好的水力学参数。 2 i i 基本方程的建立 如图2 一i 所示，取水深h 处的微元体进行受力分析，由于具有转弯半径， 必然有向心力存在。故： 疵4 ( p + d p 1 2 ) 一( p - d p 2 ) - - u h 2 d r g r ， ，y 式中r 为流线曲率半径，出为水的重力产生的水头，u 为水深 处的流速。并 且z 表示以底面为基准的重力势能。即， d ( z + p l 力= “ d r l g r 四川大学工学硕士论文 对上式积分得 图2 1 受力分析示意图 2 z + p l y = 兰l l n ( r + 矗) + c g 式中，c 为积分常数，z + p ，为在水深h 处这一点的测压管水头。 由边界条件，在水深 = h ( 即表面处) ，z = h c o s 6 ，p ，= 0 1 1 1 即 z + p i ) = h c o s 6 ，所以， 故 2 c = 一u h1 n ( r + 日) + 日c o s 0 ， g z 驯y = 譬n 等础 同理，对于凹面来说， z + p y ：芷l n 盟+ 日c 。s 口 z + 晰= 生gh 筹帽c 0 s 口 k 一爿 8 ( 2 1 ) ( 2 2 ) i 四) 1 1 大学工学硕士论文 2 1 2 公式推导 为方便起见，先利用凸回进行公式推导。 设速度分布满足幂指率分布规律嘲： “一。( 争f ， 式中，虬为表面最大流速，七为指数。将的分布函数代入( 2 1 ) 式后得， z + p y = 7 u , 2 百h 川；- 丽r + h + 日c 。s 口 ( 2 3 ) 由急变流测压管水头公式得， 丽：噬u e 垫ni 盏1 ：= 噬垫。：刊 “( 告) 协 式中，i 而为所研究断面平均测压管水头。 关于( 2 - - 4 ) 式的化简过程如下： 首先对于分母来说 n 寺砒= 备。日 c z 吲 其次对于分子来说： 蜉c 矿h ! - n 雨r + h y c o s 鲫。烈 = 搴庙静训百1 m 1 c o s p 如( 2 - - 6 ) 对上式的处理：流速分布的幂指率中的指数k 的取值范围一般是6 l o ， 而且在6 1 0 的范围内，计算表明，不同的t 对流速的计算结果影响不大。i t 是出于这个基础和积分方便的考虑，在本文中，k 取6 。 积分限的确定为h ：0 一日( 以单宽流量的形式对全水深进行积分) 四川大学工学硕士论文 因此， 寺砒= 缶。日= 缸h c 2 卅 且， 蜉c 鲁) ；1 n r + h + h c o s 0 u 烈 = 孚tc m 静托( h 1 - - ) g h c o s0 肛1 砌( 2 - - 7 ) 将( 2 - - 7 ) 式继续进行分项计算： f h i 1l n 3 0 r + h ：r ；l n ( 尺+ ) 砌一l n ( r + 日) r ；砒 ：r n r 圳砒一知r + 跚； 若令 = t 2 ，l j t e ( o ，百) 则r ；l n + ) 砒：r “。( r + t 2 ) 出： = 2 o r t 2l n ( r + t 2 ) 出 = 争2 ) f 弓r 丽t 4 疵( 分部积分法则) 又， r 寿出= r 堕笋毛 = r ”( f 2 悯- r + r r - r - t z 出 = i t - r r 一尺、f r a r c t a n 而t 。4 - f f 婴删奎兰三兰堡圭堡茎一 ：三日；一r 4 - f f r 瓦。，。t 。型坚 34 r 所以： 陌1 1 。坞 “ rj _ h _ - 扣r 圳肌3 扣n c r 圳+ 三c 3 一尺佰一r 瓶蝴n 祭 = 1 9 日；一争厢一三r 瓶删a n 等 又： “。( 百1 ) c 1hc 。s 日 i 1 跏 氆c 胁s p 砌 毡( s p 焉呐7 = 一u f 日2c o s 口 故( 2 - - 6 ) 式为： 譬c 告) ；l n r + h + hc o s o u , ( 以 = 譬c 一争厄一号r 瓶等肿c o s p c z 删 将( 2 8 ) 式和( 2 - - 5 ) 式代入( 2 4 ) 式得： 万而= 等c 等一筹a r c t a n 居一+ 胁s 臼 c z 吲 上式是利用凸面推导的平均压力表达式，事实上，利用凹面即( 2 - - 2 ) 式 讲行积分得h 来的五而项的表达式为 四川大学工学硕士论文 丽= 一u 。( 1 4 r g9 h 一巡9 h 、ha r c t a n 旦r 一竺2 7 ) + h c 。s 臼 v 7 对于( 2 - - 9 ) 式，在应用之前应先检验其在特殊边界条件下的正确性：水 流流过直线段边界处即rj 。0 时，应有下式成立： z + p ，= h c o s 0 事实上，令簧_ f r 鹕叭j o 时 烛面1 4 r 一1 4 r - v 面质 a r 万c t a n 一) _ 1 姆坠等型 上式由洛比达法则得， 】4 一j l ， l 姆丝兰参堕生= l 姆二杀# = l 鲫赫= 茜 很显然，( 2 - - 9 ) 式当r _ 一时， z + p i t _ h c o s o 。 根据( 2 - - 6 ) 式，有， 2 i ” 式中，v 为断面平均速度。 为了使概念更加明确，令 7 2 斋b ( 坐9 h 一巡9 h 4 ha r c t a n 旦r 一旦2 7 ) = 吃( 2 一l o )g h i 。 、 。 。 那么，h a 表示的就是流体流过转弯处时产生的弯道附加压力。关于上式中“” 号：凸面取“+ ”，凹面取“一”。此式有明确的物理含义：当水流流过凹面时， 除了水深造成的hc o s 6 外，还应该有向心力所额外产生的正的附加压力；当水 流流过凸面时，在水深造成的hc o s 6 基础上，还应该有向心力所额外产生的负 的附加压力。 将( 2 - - 9 ) 式代入到能量方程中，并取断面平均速度v 作为能量计算的依 四川大学工学硕士论文 据。 z 。+ 等+ 瓦v o = z - + 号+ 茜+ h 一 ( 能量方程 而= 譬等一筹n 层一删力学 a = v b h 一( 连续方程) ( 2 1 1 ) 方程组中，日2 旯_ 三4 r l i1 2 9 为沿程水头损失若记糙率系数为n ，物面方程为 z = 中( 工) ，由谢才公式得到， h ，0 = 盟等乒， 代入( 2 - - 1 1 ) ，得到下式： 面0 可2 + s p + k + h a - h o 一面可2 一了p o 一z _ i - ( 2 - - 1 2 ) 式中：a 为总流量；b 为明渠宽度；h 为计算断面的水深；f 如为初始断面水深； z 为计算断面与参考断面的高差；k 为附加压力；6 为计算断面物面倾角。 式( 2 - - 1 2 ) 就是方程组( 2 - - 1 1 ) 求解后的水面线控制方程。 2 1 3 公式求解 ( 1 ) 求根公式的选择【2 4 1 首先对( 2 1 2 ) 式进行分析，该式中，只有一个未知数日，最高次数为2 次，并且带有根式，不能化为显式的方程，这样给这个方程进行定性为高次并 且含无理式的一元方程。 现在考察现有的各种求根公式的优劣性以进行选择： a 二分法 1 四川大学工学硕士论文 二分法的基本求根思想：首先考察有根区间 口，6 】，取中点x 。= ( a + b ) 2 ， 将其分为两半，然后进行根的搜索，即检查f ( x 。) 与f ( a ) 是否同号，如果确系 同号，说明所求的根x + 在的右侧，这时令a 。= 口，b l = b ；否则x 必在的左 侧，这时令a 。= 口，b l = x 0 ( 如图2 2 ) 。不管出现哪一种情况，新的有根区间 a l , b l 】 的长度仅为陋，b 】的一半。 对压缩了的有根区间【a ，b 1 又可实行同样的手续，即用中点x l = ( a 。+ 岛) 2 将区间【a 。，b l 】再分为两半，然后通过根的搜索判定所求根在 的哪一侧，从而 确定又一个新的有根区间陋：，如】，其长度是 n 。，岛】的一半。 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 k ，b 3 a l ，岛 【a z , b 2 3 a t ，b 】 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 吼，b 。】的长度 b i a 女= ( 6 一a ) 1 2 当k _ 一时趋于零，就是说，如果二分过程无限的继续下去，这些区间最终必 收缩于一点x ，该点显然就是所求的根。 每次二分后 作为根的近似值 y d m ) q 厂 。小x 。 b： 图2 - 2 二分法求解示意图 设取有根n i n a 。，b 。】的中点， x 女= ( a + b t ) 1 2 则在二分过程中可以获得一个近似根的数列 1 4 婴型奎兰三堂堡主笙壅 x 0 x 1 x 2 ， t 该数列的极限必定为方程的根x 。 根的精度及收敛性：在实际计算中，我们不可能完成这个无限的过程， 其实也没有这种必要，因为数值分析的结果允许有一定的误差。由于 1 工+ 一x 女l ( 6 t 一女) 2 = ( b - a ) 1 2 “ 只要二分足够多次( 即k 充分大) ，便有 p 一i 这里的为预定的精度。 从上面的分析还可以看出，二分法的优点是算法简单，收敛不管快慢，但 是收敛性一定能够得到保证。 8 迭代法 迭代法求根的基本思想：对于方程工= 垆( z ) ，这种方程显然是隐式的， 因而不能直接的出他的根。但如果给出根的某个猜测值，将他代入上式的右 端，即可求得， x l = 妒( x o ) 然后，我们又可取玉作为猜测值，进一步得到， x 2 = 妒( 工1 ) 如此反复迭代。如果按公式 + l = 妒o 女) 确定的数列x k ) 有极限 工= l i m x k 则称迭代过程x ：= 妒( 工。) 收敛。这时极限值x + 显然就是方程工= 妒( 工) 的根。 y 0 四川大学工学硕士论文 图2 - 3 迭代法求解示意图 上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程工= 伊( x ) 归结为 一组显示的计算公式x 2 = 9 ( 玉) ，也就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化 的过程。 如图2 - - 3 所示，方程工= 9 ( 工) 的求根问题在x o y 平面上就是要确定曲线 y = 妒( x ) 与直线) ，= x 的交点p 。对于x + 的某个近似值，在曲线y = 9 ( z ) 上 可确定一点p o ，它以x 。为横坐标，而纵坐标则等于妒( ) = x 。过p 0 引平行于z 轴的直线，设交直线y = z 于点q 1 ，然后过q 1 再做平行于y 轴的直线，它与曲 线y = 伊( x ) 的交点记做墨，则墨点的横坐标为x l ，纵坐标则为妒( 一) = 石：。如果 按图2 3 中的箭头所示的路径继续做下去，在曲线y = 妒( x ) 上得到点列e ，只， 弓，只，其横坐标分别依公式x = 垆( 以) ，求得的迭代值石。，x 2 ，x ，x 。， 如果点列位) 趋向于点p ，则相应的迭代值 收敛到所求的根x 。 ( d 根的精度及收敛性：对于任意的正整数p 有 i x t + p + 戈i i ( l p - 1 + j 酽- 2 + + 1 ) l x + l + 工i i 1 i o s 7 2 7 1 z 女+ l o t i 由此可以看出，只要相邻两次计算结果的偏差k 。一& i 足够小，即可保证 近似值k 具有足够的精度，因之可以通过检查k 。一也l 来判断迭代过程是否中 止。 但是，迭代法应用在本文中的收敛性不好保证，因为不容易找到合适的迭 代式子，否则，收敛性将得不到保证。 c 牛顿法 牛顿法求根的基本思想： 对于方程f ( x ) = 0 ，为要应用迭代法，必须先将它改写成 x = 妒( 互) 的形式，即需要针对所给的函数，( z ) 构造合适的迭代函数妒( z ) 。 1 6 砟 一 +坼 ，一l k 一 知 1 、 p 令中式 匕在 四川大学工学硕士论文 迭代函数妒( x ) 可以是各种各样的。例如，显然可令 伊( x ) = x + f ( x ) 这时相应的迭代公式是 一般的说，这种公式不一定收敛，或者说收敛的速度很慢。 d x + t 图2 - - 4 牛顿法求解示意图 我们应用加速技巧，对迭代过程x 。= + ，( & ) ，其加速公式的形式为 f夏+ l = x i + f ( x i ) k 。= x k + l + 西l ( 碥- x k ) 卜t2 + 西u “ 贴一一等 需要注意的是，由于l 是妒( 工) 的估计值，而伊( x ) = x + ，( 工) ，这里的m = l - i 实际上是，( z ) 的估计值。如果用，( x ) 代替妒( 工) = 工一气字式中的肘，则得到 如下形式的迭代函数 贴一一罴 四川大学工学硕士论文 其相应的迭代公式 札t 一怒 上面的公式就是著名的牛顿公式。 对于方程f ( x ) = 0 ，如果f ( x ) 是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法 实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f ( x ) = o 逐步归结为某 种线性方程来求解。 设已知方程，( x ) = 0 有近似根x 。，将函数，( 上) 在点x 。展开，有 ，( z ) = f ( x i ) + ，。( x ) ( z x t ) 于是方程f ( x ) = 0 可近似的表示为 f ( x t ) + ，( z 女) ( x z t ) = 0 这是个线性方程，记其根为x 。，贝, t j x k 。的计算公式就是牛顿公式。 如图2 - - 4 ，方程f ( x ) = 0 的根x 可解释为曲线y = f ( x ) 与x 轴的交点的横 坐标。设 是根工+ 的某个近似值，过曲线y = ，( z ) 上横坐标为也的点只引切线， 并将该切线与x 轴的交点的横坐标x 。作为x + 的新的近似值，则切线方程为 y = f ( x t ) + ，( j i ) ( 工一x t ) 这样求得的值x 。一定满足，( ) + f ( x d ( x z 。) = 0 ，也就是公式 x k 4 - 1 ：以一 竽唼的计算结果。 jt x kj 根的精度及收敛性：牛顿法的迭代过程属于局部收敛，并且依赖于迭 代函数妒( 工) 的选取。对于本文中的方程，由于h 的次数很多种，这样求导极其 困难，即使牛顿法收敛很快，也不适合。 综上所述，本文的公式求根采用二分法比较适合。 ( 2 ) 水面线计算 对于( 2 1 2 ) 式的求解，可采用如下方法： 建立如图2 5 所示平面直角坐标系，设物面方程为y = 巾( 力，这里巾( x ) 是 一个分段函数。为了统一起见，设每一段的方程形式都为 四川大学工学硕士论文 ( ) ，+ 口) 。= b x z + c x + d ，( 式中的，b ，c ，d ，e ，f 均为参数，z ，y 分别为自变量和变 量。 d 根据上述假设，d a 段对应的参数为a l , b i ，c 。，d ，e 。，1 ，依此类推可以根据 实际物面情况定出a b ，b c 段的参数。参数确定后，对各个大段进行细分，并且 以第一个初始断面为参考断面，计算第二个，第三个断面的水深。其中， 沿程阻力水头损失逐段累加。直到末尾为止，这样，水面线就计算出来了。 例：0 嘎段，将0 吗段的各种物面参数计算出来，然后代入式2 1 2 ，应用 二分法进行编程计算，得到a 断面的水深，并计算出o a l 段的沿程水头损失； 然后按照上述方法计算屯断面的水深和水头损失在计算时，a x 的取值可 以根据要求自由选择，a x 越小，精度越高。 ( 3 ) 根据水深计算断面流速分布 如图2 - - 6 所示，水深按幂指率分布： 水深计算出来之后，应用公式q = b “d y = 争。枷，式中的q ，口均为 已 知，心= 考刍，根据流速的幂指率分布假设，“。为断面最大( 即表面) 流速， 四川大学工学硕士论文 图2 - 6 曲面上水流流速垂线分布示意图 那么，“= ( 台) ”，由此可以得出断面流速分布。 2 2 平面弯道水力计算 2 2 1 平面弯道中的水面超高问题 横向自由水面方程及超高估算公式 图2 - - 7 为一弯曲河道横断面图，弯道的曲率中心在d 点，把坐标原点取在 该点上，设凸岸曲率半径为，凹岸曲率半径为r 2 ，水面上一质点a ，质量为d m ， 它具有纵向流速“，曲率半径为) ，质点所受重力为据= d m g ，方向垂直向 下；与此同时，质点所受离心惯性力为d f ：d m 堑，其方向水平指向凹岸。 过a 点作一直线与水面相切，其直线斜率睾恰好等于该水流质点a 所受离心惯 性力和重力之比堡。 “2 于是 睾：竺uz 棚c f z ：由， 于是 堕：一，即c f z ：堑西， d m g甜列j 四川大学工学硕士论文 由上式可以看出，若能找到纵向流速沿横向分布的规律，代入上式积分， 便能得到横向自由水面方程式，但由于弯道水流的复杂性，目前只是近似的采 用断面平均流速v 来代替“，积分上式得， z = ! 1 1 1 y + c 式中，c 为积分常数。当y = 时，z ：o n c ：一! l n 于是，z ：兰1 n 羔 该方程便是横向自由水面的近似方程，其自由水面线近似为对数曲线。横 断面的水面超高a h 为 助= - - 菩l n 詈l gn 每。鲁g1 ，一旦 g r c 式中r c 为河道中心曲率半径，b 为河道水面宽。 d 0 球矿7 一 一- 蟛 ，2 l| | 夕 l ， 图2 7 横向自由水面方程及超高估算示意图 2 1 四川大学工学硕士论文 关于平面弯道中水流的水面超高问题，还有很多文献中都作了详细的推导。 本文利用基本的物理知识进行推导，与其它文献中的结果一致，但是物理过程 简单，容易看懂。 如图2 8 所示，水流转弯中心为0 点，建立如图所示坐标系，对图中阴 影部分的微元水柱进行受力分析。 靠近圆心的e ：e = ：1 脂 2( e 的受力点在水深的1 2 处) 远离圆心的巴： 巴= 丢昭( + 出) 2 ( 疋的受力点在水深的1 2 处) 向心力c ： d l 只：m 兰：p h + h + d z a y r7 - ,v 岳d z y + 一一 l 矗 上 咖 图2 - 8 平面弯道微元水柱受力示意图 应用牛顿第二定律：a f = e 即：e e = j 三店( + 改) 2 一j 1 昭n z = 尸t 2 h + d z 咖导 化简得：d z ：兰咖 ( 2 1 3 ) g y 对上式进行积分得：z ：兰1 n y + c ( 2 1 4 ) g