（计算机应用技术专业论文）不规则物体模拟——基于物理的烟雾、纹理模拟.pdf

摘要 摘要 虚拟各种自然现象是计算机图形学的一个重要探索领域，特别是对不规则物体的模 拟十分困难。在科技高速发展的今天，随着计算机性能的提高，从而使计算机对世界的 模拟达到了新的境界。 计算机流体模拟的方法大致分为三种：粒子系统方法、数学物理方法和纹理技术方 法；其中比较成熟的是数学物理方法。 流体模拟作为计算机模拟的重要一项，是逼真展现世界的不可或缺的一部分。它的 应用无所不在，是很多模拟的基础，如升腾的烟，飘动的云，弥漫的薄雾，潺潺的河流， 奔腾的大海都是以它为基础的，甚至可以说，它的潜在应用无穷无尽。 在这里，我们将讨论一种快速、稳定的流体模拟方法。包括对流体动力学和相关的 数学模型的介绍，以及在c p u 上的实现过程。通过对理想流体模型的模拟，进而再拓展 出对更多不同类型的应用的模拟技术。 本文算法的主要贡献和创新点在于如下工作： ( 1 )在求解纳维斯托克斯流体运动方程组时，实现了流体的实时流动。 求解过程中采用半拉格朗日方法求解对流项，结合雅可比迭代求解压力泊松方程 和扩散项以获得相对稳定的格式，从而满足比较大的时问步长。另外，为了能灵 活地处理复杂边界，我们引入了修正因子。 ( 2 )在处理后期结果时，我们引入了“涡流限制 和克里格插值方法，使得 结果更加自然。 关键字：流体模拟纳维斯托克斯方程不规则 a b s t r a c t ab s t r a c t t oh y p o t h e s i z ee a c hk i n do fn a t u r a lp h e n o m e n o ni sa ni m p o r t a n te x p l o r a t i o nc o m p u t e r g r a p h i c sd o m a i n ，e s p e c i a l l y f o rt h o s ei r r e g u l a ro b j e c t si sad i f f i c u l tp r o b l e m w i t ht h e d e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g ya n d t h ei m p r o v e m e n to ft h ep e r f o r m a n c eo fc o m p u t e r ，c o m p u t e r g r a p h i cp r o c e s s o r sc a ns i m u l a t et h er e a lw o r l dm o r ea n dm o r er e a l is t i c a l l y t h e r ew e r et h r e em e t h o d sf o rf l u i ds i m u l a t i o ni nc o m p u t e rg r a p h i c s ：p a r t i c l es y s t e m m e t h o d ，m a t h e m a t i ca n dp h y s i c s b a s e dm e t h o da n dt h em e t h o d o ft e x t u r et e c h n i q u e m a t h e m a t i ca n dp h y s i c s - b a s e dm e t h o di sam o r em a t u r em e t h o d p h y s i c s b a s e d f l u i df l o ws i m u l a t i o ni s c o m m o n p l a c e i n m a n y s c i e n t i f i ca n d m a t h e m a t i c a lc o m p u t a t i o n s i ta l s og r e a t l yi m p r o v e st h ev i s u a lf i d e l i t yo fc o m u t e rg r a p h i c s a p p l i c a t i o n s f l u i de f f e c t sa r ee v e r y w h e r e ，f r o mr i s i n gs m o k e ，c l o u d s ，a n d m i s tt ot h ef l o w o fr i v e r sa n do c e a n s w ec o u l ds a yt h a tt h ep o t e n t i a la p p li c a t i o n so fi ta r ee n dle s s t h i sr e p o r tw i l ld e s c r i b eam e t h o df o rf a s t ，s t a b l ef l u i ds i m u l a t i o n i tw i l li n t r o d u c ef l u i d d y n a m i c sa n da s s o c i a t e dm a t h e m a t i c s ，a n dd e m o n s t r a t eh o wt oi m p l e m e n tt h e m o na c p u a f t e rf i n i s h i n gi m p l e m e n t a t i o no ft h em o d e lf l u i ds i m u l a t i o n ，w ec a nf u r t h e re x t e n dt h e s i m u l a t i o nf o rd i f f e r e n ta p p l i c a t i o n s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h i st h e s i sa r em a i n l yi nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： ( 1 ) b a s e do nt h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，w es i m u l a t et h es m o k ef l o w i n g t om a k e s u r es t a b i l i t yw i t hl a r g et i m e s t e p ，t h es e m i l a g r a n g i a nm e t h o di su s e dt oc o m p u t et h e a d v e c t i o nt e r ma n dt h ej a c o b ii t e r a t i o nm e t h o di su s e dt oc o m p u t et h ep r e s s u r e p o i s s o n e q u a t i o na n dt h ed i f f u s i o nt e r m t op r o c e s st h ec o m p l e x0 b s t a c l e s ，w ei n t r o d u c e t h e m o d i f i c a t i o nt e x t u r ew h i c hi su s e dt oe m b o d yv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( 2 ) t om a k et h er e s u l tm o r en a t u r a l ，w h e nd e a l i n gw i t ht h er e s u l t ，w ei n t r o d u c et h e v o r t i c i t yc o n f i n e m e n tt om a k eu pt h ed i s s i p a t i o na n d u s et h ek r i g i n gi n t e r p o l a t i o nm e t h o d t oi m p r o v et h er e s u l t k e yw o r d s ：f l u i ds i m u l a t e n a v i e r - - s t o k e s i r r e g u l a r i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签 名：王函宝 日 期：丕! 墨：垒：2 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构迭交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签 名：五丕i 导师签名：期： 五眺艿幺1 广 第一章绪论 第一章绪论 1 1 计算机不规则物体模拟简介 随着计算机技术的飞速发展，计算机的应用领域正以空前的规模扩展着。特别是最 近十几年来，计算机日益普及，迅速进入千家万户；计算机与人们的日常生活也日益贴 近。计算机图形学，在计算机的这种大力推广中起到了很大的推动作用；使得人们足不 出户就可以体验到充满现代气息的全新的工作方式和休闲娱乐方式。尤其在工业生产、 军事演练、影视制作、媒体广告还有娱乐游戏等领域，计算机图形学发挥了中流砥柱的 巨大作用。用计算机来模拟真实的物理世界，也逐渐成为计算机图形学工作者们所面临 的最为艰巨和最具有挑战意义的工作之一；无论在理论上还是在实际应用上都有着十分 重要的意义。 在人们用计算机模拟真实世界的进程中，有一类物体越来越多的受到了人们的关注 无规则形状的物体：如火焰、烟雾、云、水流等等。这类物体的一个非常明显的特 征是：其外在的表现形式无法用数学工具加以准确的描述，因而给计算机的模拟工作带 来了极大的困难。而在诸多应用领域之中，人们又提出了越来越多的模拟上述不规则物 体的要求和愿望。如何更加准确和真实地在计算机屏幕上展现出上面这些物体的迷人的 风采，已经成为计算机工作者们的不可推卸的责任；同时它也吸引了众多的研究者们为 之而努力。 无规则的物体如：云、烟、雾一样，具有实时的多变性和无规则性；它们的外观形 状极不规则、没有光滑的表丽；这使得经典的欧几里得几何学对其描述就显得无能为力。 正因如此，在计算机上生成具有真实感的动态的不规则物体效果，一直都是计算机图形 学的最具挑战性的工作之一。近几十年来人们已经逐步发展出了很多不规则物体模拟的 方法，其中的一些模型正在逐渐趋于成熟；应用的领域也不断地延伸。但由于利1 乖 ，原因， 目前普遍认为比较满意的使用方法还比较有限，通用性都或多或少地受到了一定地限 制，很难说哪一种方法更加适合人们的需要。因而对于计算机工作人员，特别是计算机 图形学的研究者和制作者来说，不断探索和改进目前的模拟方法和理论、发展出新的更 加便于人们使用的模拟方法：把现有的各种方法的优点有机地结合起来，更好地满足时 代发展的需要；仍然是摆在我们面前的重要课题，也是需要人们长期进行探索的重要方 向。 在最近的研究当中，人们提出基于视觉效果的模拟思路；就是根据计算机现有的软 硬件水平，人们可以从模拟的视觉效果出发，来进一步提高计算机模拟的速度；尽量减 少和优化计算过程的复杂度。目前，基于数学物理基础的计算流体动力学( c f d ) 已经 成为计算机动画领域中的一个研究热点；如何进一步开拓c f d 的应用范围、结合传统的 模拟方法生成比较准确的、实时的动画效果；依然是摆在人们面前的难题之一。 江南大学硕士学位论文 1 2 选题背景及意义 虚拟现实是目前计算机应用的一个热点，而计算机生成真实感图形一直是计算机图 形学中最具有挑战性的研究方向之一，特别是对自然界中不规则物体的模拟更是十分困 难，主要原因在于：火焰、烟雾、纹理、云等都是流体，没有固定的外观和形状，没有 光滑的表面，边界极其复杂与随意，并可能随时间而发生变化。这使得使用经典的欧几 里德几何学对其描述显得无能为力，因为它们无法用多边形或曲面、曲线等简单地去建 模，更由于它的数据量庞大，因此，在建模和实时显示方面都有更高得要求：火焰、烟 云、地形等是人们熟知的自然现象，但却很少有人能够准确地将其形状描述出来：火焰 等气体现象的运动十分复杂，如火焰忽隐忽现，烟雾袅袅上升，云则虚无飘渺，同时， 在火焰燃烧、烟雾扩散以及云层飘动过程中，还会受到风力的作用，使其发生捉摸不定 的变化。任何两次火焰、烟雾都是完全不同的，对空气运动形成的风场的模型是很难精 确建立的，这样，人们建立其运动模型很困难，而且逼真度非常差。 纹理是一种人工制作的花纹。它需要人们把颜料滴在密度比较大的液体上，然后使 用特殊的工具搅动液体，使其自然形成一定的纹理。这种方法的凼难是所有工作都要靠 人工完成，而人们并不能准确把握颜料的多少，甚至在搅动液体时同一个人在不同时刻 也不可能做出完全相同的动作，这就使得做成一定的纹理非常困难。 烟雾是一种燃烧时产生的自然现象。它具有非常大的随意性，其浓度、大小、形状 和温度都在时刻不停的变化，而让一个人具体来描述一种烟雾几乎时不可能，这就需要 我们找出一种方法来对烟雾进行精确描述。 利用高性能的计算机和计算机图形学的方法，模拟纹理和烟雾就是一种不错的选 择。这种方法具有成本低、无危险、科技含量高等特点，这种可视化的研究方式，通过 动画来呈现，有助于研究者掌握其内在变化趋势，对制作大理石纹理，模拟烟雾具有非 常重要的现实意义，并有广泛的应用前景。例如，可应用于游戏、电影和电视节目的虚 拟场景中。 1 3 不规则物体模拟方法的分类 无论是从视觉效果上还是从实际的模拟情况来看，我们可以把计算机不规则物体模 拟的方法大体分为三种类型：基于粒子系统的模拟方法、基于数学物理模型的模拟方法 和基于纹理的模拟方法。基于粒子系统的模拟方法几乎已经成为最为成熟、最能经得起 时间考验的重要模拟思想之一。基于数学物理模型的不规则物体模拟起源更早，早期的 方法请参阅文献n 一1 。近些年，由于其模拟的精确性和计算机技术的发展，这种方法得 到人们极大的重视，并逐渐成为人们考虑问题的出发点和进行模拟的重要目标。基于纹 理技术的不规则物体模拟是人们从视觉角度出发所采用的简化快速算法。下面我们分别 探讨三种方法的研究与应用( 主要是上世纪9 0 年代中后期至今的研究动向与成果) 1 3 1 基于粒子系统的模拟方法 w t r e e v e s 于1 9 8 3 年提出粒子系统作为模糊物体的建模方法啼1 。其基本思想是把无 2 第一章绪论 规则形状的物体看作是众多粒子所组成的粒子团；各个粒子都有自己的属性：如颜色、 形状、大小、生存期、速度等。粒子随时间的推移而不断地改变状态，从而模拟出无规 则的物体及其运动变化。从粒子系统方法诞生到现在，它已经逐步成为计算机图形学中 应用最广，应用时间最长的方法之一；人们仍然在积极地对这种方法进行研究和扩展， 不断地加以改进和完善，不断地拓展其应用的领域。 1 9 9 0 年c h e n h 。等利用粒子系统结合流体动力学模型和行为模拟技术模拟了车轮扬 起的尘土。首先，他们分析了影响尘土的因素和尘土粒子产生后的运动行为，然后建立 基于物理的经验模型来生成尘土粒子和控制尘土粒子的运动行为。他们把尘土粒子的运 动行为分为三个阶段，各个阶段分别建立简化的粒子系统模型，这样就可以减少计算量， 提高系统的时间性能。 1 9 9 9 年谢剑斌等哺3 运用粒子系统的一般原理，分析了雨点和雪花的静态和动态的属 性特点，提出了基于粒子系统的雨点和雪花降落的实时模拟生成算法，并根据一定的原 则对算法进行了一定的简化。从而实现了粒子系统在雨点和雪花模拟上的应用。1 9 9 9 年 j x c h e n 等障1 从计算流体动力学( c f d ) 的角度对灰尘的运动行为进行的三个阶段的细致 分析；并且运用粒子系统的方法和图形学的其他相关技术加以实现；生成了较好的车轮 灰尘效果。2 0 0 0 年n a d a ba l a 等阿3 在粒子系统方法中引入涡流元素方法( v e m ) 作为模拟 的动力学基础，在气体体积里面估计粒子的密度；运用蒙地卡罗光线追踪来估计粒子的 光辉，最后贴上粒子图，模拟气体的运动变化过程。 2 0 0 1 年南京理工大学的张芹针对虚拟战场中的特殊需求，研究了火焰效应的建模 理论哺3 ，引入了火苗粒子，建立了基于结构化粒子系统的火焰模型，将粒子系统建模方 法和分形几何的建模方法相结合，提出了分形粒子理论。2 0 0 2 年王治刚等人分析了结 合粒子系统和纹理映射对火焰模拟的过程旧3 ，以及在对火焰模拟实践中，为求达到实时 性和真实感效果要注意控制的因素。2 0 0 3 年武汉理工大学周丽馄基于粒子系统理论建立 自然界中不规则模糊物体的模型州，采用粒子系统生成火焰、烟云等不同利，类模糊物体 的三维模型，根据各物体自身的物理及几何特点，调整粒子系统产生时的参数，通过软 件实验，摸索出对上述每种物体合适的参数值，以及粒子系统在外界作用力( 如风或者 磁场等) 的作用下，如何适当地对其参数进行调整。2 0 0 4 年北京理工大学的赵春霞等人 设汁了粒子系统火焰模型，详细讨论了模型中粒子的属性及其变化，实现了具有较强 真实感的颜色变化和动态摇曳等火焰特性，采用纹理映射和视线跟踪技术进行三维火焰 渲染。 2 0 0 4 年罗维佳等m 1 从基于粒子系统的基本原理分析并提出了适用的雨粒子系统和 雨粒子的属性，采用了把雨粒子产生区域定义为一个视图体顶部的外接长方体；用象素 点和直线作为雨粒子的形状，降落过程的重力作用模拟；用粒子组实现雨粒子的连续补 充和雨粒子的降落高度检测等新的方法及算法。2 0 0 4 年刘耀周等n 3 1 运用粒子系统模拟了 导弹飞行航迹及烟雾。他们通过对粒子系统的具体控制和修改，利用0 p e n g l 强大的纹理 和融合功能，实现了特效的实时生成。这种方法能实现对特效的随意控制，对某些有特 殊要求的效果能手工实现，有较大的灵活性，对粒子系统的多样性是一次进一步的补充。 3 江南大学硕士学位论文 用j 糟颗粒纹理的三角平面代替粒子，提高了模拟的速度。 湖南大学的周洁琼在2 0 0 5 年提出了基于粒子系统的火焰模拟口制，通过对火焰外观的 分析，采用高斯随机数为新的火焰粒子的初始位置赋值，这样，火焰粒子在生成时密度 满足高斯分布，燃点中心的粒子密集，边界稀疏，体现出了火焰的团簇性。2 0 0 5 年费少 梅等u 副引入粒子系统作为可视化建模的基本方法，建立了包含火焰粒子子模型、湍流流 场子模型和燃料属性子模型的湍流燃烧火焰可视化模型；通过将温度场与湍流流场的有 机结合及燃烧室内网格体单元的颜色与透明度的显示，实现了湍流燃烧火焰的三维动态 传播可视化。2 0 0 5 年s s o m a s e k a r a n 等n 6 1 比较系统而全面地总结了粒子系统的数据结构、 使j 玎过程以及模拟的各种效果；从不同的视觉特征上比较了模拟的结果；可以说是粒子 系统二十年来的一次比较系统的总结。 综上所述，粒子系统方法已经走过了二十多个年头；取得了辉煌的业绩。粒子系统 以最接近目标本身的方式来进行物体的模拟，而且对模拟的对象也没有局限，因而静态 和动态的模拟结果都令人满意。它的应用领域已经得到了很大限度的扩充，已经成为计 算机图形学中的一个重要手段和工具。然而我们看到，这种方法也有缺陷：粒子系统本 身并没发生太大的变化；只是其辅助手段得到了相应的增强；运算量和存储量都比较大， 当处于生存期的粒子数超过一定的数量( 例如千数量级) ，系统的性能将有所下降，所 以在实时性方面受到了一定的制约，一些场景用粒子难以建模。这是由其本身的一些局 限性所决定的。这就要求我们在今后的研究工作中，进一步发挥粒子系统的优势、改进 和克服它的不足；使其更好地发挥作用。 1 3 2 基于数学物理模型的模拟方法 在计算机图形学领域，人们一直试图利用计算机再现周围的真实世界，然而现实世 界虽然看上去简单，却极其复杂。对于一些自然现象，人们可以采用过程描述的方式 来获得某种特定的效果，但是对于有些现象人们无法找到一个简单的模型来描述它，这 个时候只有去追溯该现象本身的物理根源，只有借助其本身较为精确的物理描述才能真 实再现其外在的视觉现象。随着计算机硬件的不断发展，计算能力不断增强，p c 机能 够完成的算法复杂度不断上升，使得基于物理的计算机动画的迅速发展成为可能。在 市场方面，不管是电影特效，还是视频游戏，人们对于基于物理的计算机动画的需求也 很强烈。这些因素使得基于物理的计算机动画成为目前一个研究热点，也成为一个当 前和未来计算机图形学发展的一个重点方向。 1 3 2 1 传统的数学物理模型 基于数学物理模型的方法，其中一个主要思想是把纹理，烟雾看成是一种特殊的流 体或特殊的物理过程，通过求解连续的n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程，从而实现对纹理，烟 雾发展变化的模拟。 v 甜= 0 ( 1 1 ) 粤：一( v ) z ，一! 印+ v v 2 u + 优p ( 1 2 ) 4 第一覃绪论 其中：口是速度场，p 是压力场，y 是流体的动力学粘稠度，p 是密度，v 是空问散 度算符，是外力。式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 分别代表的是流体运动时的质量与动量守恒定 律。该方法能够精确地求解流体过程，对于流体运动变化的描述比较准确；它的计算比 较复杂、计算量比较大，难以满足计算机图形学对模拟效果的实时性的要求。但是由于 其精确地反映了物体或现象的真实物理过程，能够带来准确的模拟效果；因而人们始终 在尝试上述方程的计算机快速解法，以满足人们不断增长的需求。 k a j i y a n 7 3 早在1 9 8 4 年就首次利用n s 方程组尝试对炯雾运动进行建模，并在二维动画 模拟上取得了一些成果。但由于当时计算机性能的限制，这方面的研究在2 0 世纪8 0 年代 到9 0 年代中期进展缓慢。1 9 9 5 年j s t a m 等n 踟从热力学定律出发，提出了用扩散过程描述 烟雾和其它气体现象及其传播的方法。他们的基本思想是认为气体的物理特征需用随时 间和空间变化的物理量来表示，这些量包括气体粒子的密度、扩散的速度、温度以及辐 射性能，通常这些量之间的关系由著名n s 方程表示。直到1 9 9 6 年f o s t e r 吼2 对三维空间 的烟和气流进行了模拟，并生成栩栩如生的漩涡状烟雾运动效果。但他们在求解流体力 学方程组时采用了种显式的方法，只有时间步长足够小的时候才能保证运算稳定性， 从而也导致运算速度很慢，影响模拟实时性。 1 9 9 9 年s t a m 瞻在模拟三维流体运动时，引入了一种无条件稳定的方法来近似求解流 体物理方程。由于求解方法结合了半拉格朗日( s e m i l a g r a n g i a n ) 方法和隐式求解方法， 因此能获得稳定实时的模拟结果，但半拉格朗日法会带来大量的数值耗散，从而导致一 些典型的小尺度漩涡消失太快。基于s t a m 的工作，2 0 0 1 年f e d k i w 曙副提出使用 m o n o t o n i cc u b i ci n t e r p o l a t i o n 方法进行插值，并采用漩涡限制( v o r t i c i t yc o n f i n e m e n t ) 将由于速度矢量投射而损失的流体旋度补充回去，从而维持了流体所特有的漩涡性质。 2 0 0 2 年e n r i g h t 等噜33 对复杂水面的动画与渲染时，对液面混合模型进行了改进：为了 增加水面和烟雾的细节效果，2 0 0 4 年，l o s a s s o 等心刮采用八叉树结构在局部区域细化网 格。不同于上述所有的文献，2 0 0 4 年w e i 等晗副采用l b m ( 1 a t t i c e b o l t z m a nm e t h o d ) 方法 来求解流体运动方程，且用g p u ( g r a p h i c sp r o c e s s i n gu n i t ) 来加速计算，使得整个模拟过 程可以达到实时。 2 0 0 5 年杨志凌等眩酣通过n a v i e r s t o k e s 方程建立烟雾流体场的物理模型，为了保证运 算的实时性，烟雾流体场以二维网格空间( 奶蚴为基础，在每个网格单元的中心点，采 用简化的流体方程求解算法计算烟雾的速度场分布和浓度场分布，然后通过双线性插值 得到整幅图像中每个像素的浓度，该方法得到了比较满意的模拟效果。 2 0 0 6 年周永霞等口刀通过量纲分析，简化了n s 方程，在求解对流项时采用半拉格朗日 方法，为弥补该方法带来的数值耗散，引入了高阶精度紧致格式，在较粗的网格上亦可得 到较高精度的导数值。实验结果表明：该算法效果比较真实，速度较快。 纵观十几年来不规则物体模拟的令人眼花缭乱的各种各样的方法，我们可以发现： 基于数学物理的模型占据着重要的地位。这种方法不仅拥有相当数量的可选方案和坚实 的理论基础，而且能够带来令人心悦诚服的模拟效果。 江南大学硕士学位论文 1 3 2 2l b m ( l a t t i c e - b o l t z m a n nm e t h o d ) 方法 数学物理方法的一条基本核心就是流体动力学方程，其连续性求解对于计算机动画 来说简直是无法承受的，因此人们开始了不断的新的尝试：随着人们开始应用离散的方 法来求解复杂的n s 微分方程；逐渐出现了许多优秀的解决方案。l b m 就是其中的一种。 这种方法是从最早的细胞自动机逐步演化而来的一种比较优良的方法，目前已经为人们 所广泛使用于流体模拟等领域。 l a t t i c e - b o l t z m a n n 方法从微观角度考虑问题，在满足n s 方程的基础上对宏观流体、 相变等物理现象进行科学地把握和控制。1 9 9 8 年s c h e n 等乜鲥对l b m 在流体模拟中的应 用进行了全面的分析和总结，详细论述了l b m 的理论基础、推导过程和在流体模拟中的 边界条件问题。其精确严谨而有效的运算法则，为多相流和穿越复杂障碍问题的解决提 供了强大的理沦武器和行之有效的模拟方案。1 9 9 9 年b d k a n d h a i 瞳们在他论文里面也对 l a t t i c e b o l t z m a n n 方法的发展历程、理论基础、数学论证等都作了更加详细地介绍，并 对该方法的模拟应用进行了进一步的扩充。 2 0 0 4 年x w e i 等b 们利用l b m 模拟了瞬息万变的烟雾运动，蒸汽的流动等气体现象， 核心运算方程如下： p = z ， ( 1 3 ) 1 材= 一1y b e i ( 1 4 ) p 气 z 叼2p ( a + b ( e f 材) + c ( p ，。“) 2 + d ( 甜) 2 ) ( 1 5 ) 1 z ( x - t - 巳，f + 1 ) 一z ( x ，) = 一二( z ( x ，) 一z 8 9 ( p ，z ，) ) z ( 1 6 ) 它们分别是：密度、速度方程、平衡分布方程和运动方程，其中a 、及g 刃在特 定的模型中代表不同的常数，e ，是单位矢量。 1 3 3 基于纹理技术的模拟方法 基于纹理的模拟方法，是在整体和局部上采j j 纹理贴图的方法进行模拟。这种方法 由于人们担心会留下人工制作的痕迹而较少使用；但是近些年来，纹理技术也逐步显现 出其一定的优越性而逐渐为人们所认识、接受和运用。事实证明：任何一种方法只要我 们对它的控制机理进行合理的调配，都应该是可以达到一定的预期的目的和效果的。在 本节中，我们将简要介绍一下纹理技术的使用情况和现状。 纹理映射技术1 最早是由c a t m u l l 在1 9 7 9 年率先提出的，c a t m u l 首先找到了以( l 1 ，v ) 表示的双变量实数空间( 纹理空间) 和以参数( s ，t ) 表示的三维曲面之间的对应关系( 映 射关系) 。1 9 8 9 生1 3 i n a k a g e 协2 3 提出了二维火焰的简单模型，既需要绘制出表面上点时，通 过将三维点转换为二维纹理图案中的点来确定起点的颜色，此点的颜色被输入阴影模型 来确定表面的颜色。 1 9 9 9 年严涛b 3 1 研究了飞行模拟系统中导弹尾焰的实时生成，他首先使用了规则的三 6 第一章绪论 维几何定义出尾焰的轮廓，然后对几何体尾部进行透明度扰动产生火焰的喷射效果，使 用分段函数定义几何体各区间的颜色以求得色彩逼真。2 0 0 0 年，于金辉m 3 首先根据需要 手工绘制的卡通烟雾进行分析提出它的静态结构与动态结构，然后在此基础上构造一个 计算机卡通烟雾模型的过程。 林夕伟等b 朝在2 0 0 4 年运用粒子系统方法和纹理技术相结合，模拟了火焰燃烧的情 景。首先用粒子系统的方法确定出一条变化的轮廓中心线，然后根据这条曲线向两边进 行扩展；在大致确定了燃烧的范围之后，再进行一定规则的划分并填充纹理。林夕伟婚5 3 在2 0 0 6 年又使用纹理合成技术模拟了火焰燃烧的动态效果，既利用了真实火焰纹理的真 实感，又避免粒子系统的大量运算，并能体现火焰动态纹理的一致性和连续性 纹理影射技术的应用使得自然场景更趋于真实，其实现过程如下，其中：( 以力是 纹理空间坐标系；( 臼，矽) 是参数空间坐标系。从纹理空间到参数空间的映射为： 0 = f ( u ，v )矽= g ( u ，) ( 1 7 ) 从参数空间到纹理空间的逆映射为： z ，= r ( o ，痧)v = s ( o ，矽) ( 1 8 ) 由最近几年的研究可以看出：纹理技术在计算机上模拟无规则物体方面还没有达到 其他方法那样成熟的地步；但是另一方面我们也能够清醒地看n - 纹理方法也具有其他 方法所无可替代的优势；只不过现在这种优势还没有被充分地发挥出来。总之，纹理技 术必将在越来越多的领域发挥越来越重要的作用。 1 3 4 不同方法的结合及其他的不规则物体模拟方法 1 9 9 9 年童若峰等b 铂提出利用粒子系统和浓度场相结合的方法来模拟炯雾的运动与 扩散。在粒子属性中加入一个浓度函数，通过粒子作用半径及浓度函数的变化模拟烟 雾的扩散，还通过粒子的运动及分裂反映风力场的作用。这是粒子系统方法与数学物理 方法相结合的模拟方法。 2 0 0 2 年王治刚等硌羽提出利用粒子系统和纹理影射相结合的方法来模拟火焰的燃烧。 文中通过采用纹理映射来近似模拟大量的粒子，形成通过计算大量粒子光亮值才能得到 的效果，减少了粒子光亮值的计算，提高了火焰显示的实时性。 2 0 0 7 年訾玲玲等嘧们提出了一种新的烟雾模拟的方法，即在流体运动控制方程组的基 础上，通过增加形状控制力来使烟雾迅速形成指定的形状。采用这种方法，人们只要指定 烟雾的形状，系统就可产生烟雾逐步形成给定形状的动画。 总之，多种方法的配合使用能够最大程度地发挥各种模型的优点，也给人们提供了 现实可选的方案；因此将越来越受到人们的重视。 1 4 本文的主要工作及内容组织 本文对传统的模拟不规则物体的数学物理方法进行了改进，以纳维一斯托克斯方程 和粘性流体方程为基础，提出多尺度流体模型，通过引入“涡流限制”技术对质量守恒 方程解法和方程离散方法进行改进，我们可以实时的模拟出流场变化，平均化向量，并 可把该技术应用到纹理中，非常方便的模拟纹理。 7 江南大学硕士学位论文 基于数学物理的方法比较精确性，本文介绍了多尺度流体方法的数学和物理理论基 础，在此基础上改进了多尺度流体模型，并把这种方法应用到烟雾的模拟。 各章节内容分布如下： 第一章是绪论，主要介绍了课题的相关背景。我们按照模拟方法和思路的不同，对 不规则物体模拟的方法进行了合理的分类；既介绍了早期模型的一些特征，也重点对最 近十几年来的最薪发展情况进行了详尽的介绍。本文详细讨论了数学物理方法同时自然 而然地引入了本文所要解决的问题和所采用的方法的理论依据。在列举和分析了国内外 已有的最新研究成果的基础上，提出了本文的技术思路。 第二章介绍了基于数学物理方法的理论基础，基于数学物理模型的方法自1 9 8 4 年 出现以来，经过多年发展，在模拟不规则物体( 纹理，烟雾等) 方面的技术方法也已经 比较成熟。但是在方程的求解方面又有其不足之处，我们通过改进求解方法，使之更适 应模拟流体的需要。 第三章在数学物理模型的基础上，对n s 方程进行求解，提出多尺度流体模型，通过 引入“涡流限制 技术对质量守恒方程解法和方程离散方法的进行改进，我们可以实时 的模拟出流场变化，平均化向量，并可把该技术应用到纹理中，非常方便的模拟纹理和 炯雾。 第四章是实现和应用，我们通过简单的程序实现了n s 方程的求解，并且把本文中的 方法应用到纹理和烟雾的模拟中。 第五章研究动向与展望，列举了各种不规则物体( 纹理，烟雾等) 模拟的方法其自 身的特征和使用的范围；立足于合理地促进各方法的进一步发展和拓展其应用领域，以 及各种方法之间的相互配合；重点关注了未来的研究过程当中需要重点加以关切的方 面。同时也介绍了今后需要进一步努力和完善的工作。 8 第二章基于物理的数学模型方法 第二章基于物理的数学模型方法 流体力学中，有两种方式来描述无穷多连续分布微团的运动的方法。第一种方法是 最常用的的场描述方法，这种方法的基本思想是：在任意制定的时间逐点描述当地的运 动特征量( 如速度) 以及其他的物理量分布( 如压力，密度等) ，这种方法称为( e u l e r ) 描述法。第二种方法是跟踪质点的描述法，这种方法的基本思想是：从某个时刻开始跟 踪每一个质点，记录这些质点的位置，速度，加速度和物理参数的变化，这利- 方法是离 散质点运动描述方法在流体力学中的推广，称为拉格朗日( l a g r a n g e ) 描述法。为了模 拟流体，我们必须对在任何给定时问的流体的状态有一个数学描述。所要表示的最重要 的特性是流体的速度场，因为速度决定了流体如何使自己以及其中的物体进行移动。流 体的速度在时间和空间上都是有变化的，所以我们用矢量场来表示它。 我们可以把速度域定义在一个标准的4 个体素的网格上，d 代表了域的维度，每 个体素的中心来分配速度，实际上，我们的算法可以在任意d 维空间上工作。本文中我 们用二维来说明。这里我们使用一个二维的笛卡尔网格( c a r t e s i a ng r i d ) ，大小为m * n 。 每个单元的中心分配速度，当然，其他一些空间参数也是可能存在的。于是，我们的流 体的矢量场被定义为任意位置x = ( y ，y ) ，相应的在时间，的速度u ( x ，) = ( i t ( x ，f ) ，v ( x ，) ) ， 如图 o 。瓣。童 蠢，瓣一1 咎。瓣- l l 、叼移- - - o l 釉，乏l 乃弦，奎 野、 - - o 转，)妻，薹)辖0 ， 声 _ 叫0 ” o ，o ) l 为) 2 ，貉 批 _ 婚 1 1 ” r f l l 渺l t 2 , 1 l l 秘1 ，3 l 、 i |m - j 霄 ；、协 图2 - 1 流体的速度网格 f i 9 2 1s p e e dg r i d d i n go ff l u i d 在m 术n 网格上模拟流体时候的状态如上所示，其中箭头代表速度 4 叫。 2 1 流体的物理模型 在流体力学中，对流体的研究有着悠久的历史。1 8 世纪中叶以前是流体力学的萌芽 0 江南大学硕士学位论文 和发展初期，主要运用初等数学解决流体静力学与运动学问题，涉及到少量的流体动力 学问题。1 8 世纪中叶之后开始形成流体力学这一门独立的学科，此时开始运用高等数学， 采用理论分析方法研究流体的平衡与机械运动规律，建立了流体运动的力学模型u h n s 方 程组，用这组n s 偏微分方程组来描述流体的运动规律，方程组包括连续性方程和动量方 程等。对于不同的流体，根据其流动特性，可采用不同的假发和流动条件化简n s 方程组， 得到不同版本的n s 方程组。比如对于不可压缩的流体可得到不可压缩的n s 方程组，对于 无粘性的流体可得到无粘性的n s 方程组。 2 1 1 连续性方程 亦称为质量守恒方程，因为这个方程是从质量守恒定律出发推导而得到的，推导过 程可以参考杨本洛h 等流体力学文献。设流体的密度为p ，速度矢量为z ，= u ( u ，e w ) ， 时间为t ，则直角坐标系下流体运动的连续性方程的一般形式： 害+ v ( ) = 0 ( 2 1 ) 它表达了任何可能存在的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件。式中 “v o 为敖度算子， v 咖) ：掣+ 掣+ 掣 o c y o g 对于定常运动，字：0 ，连续性方程变为： v ( 明) = 0 ( 2 2 ) 对于不可压缩流体，p = 常数，则连续性方程可化简为： v 甜= 0( 2 3 ) 2 1 2 动量方程 亦称为动量守恒方程，由牛顿第二定律即动量守恒定律推导而得到的。假设质量力 密度函数为厶应力张量为仃，流体密度为p ，则流体的动量方程可表示为： 孚+ ( u - v ) 却= f + z v 仃 仞p 式中“v 为梯度算子，标量矽的梯度是一个矢量。 v 矽= ( 差，影，警 ( ”奶材：f 甜i o u + v 要+ w 罢，甜妻+ v 宴+ w j 加- 2 , u i o w + v i o w + w 掣1 l 优劣 比优 o y 出 钟o z 如果流体是满足线性应变应力关系假设的牛顿流体，则由牛顿流体本构方程可得应 力张量的散度为： v 仃= v ( 一p + 名目) + 2 v ( 2 d ) 式中p 为速度向量的散度，五和分别为牛顿流体的第一、第二粘性系数，p 为压 1 0 第二覃基于物理的数学模型方法 力，代入前式可得牛顿流体动量方程的一般形式： 詈+ 忉z ，= + 吉( v ( - p + 2 0 ) + 2 v 心d ) ) 如果粘性系数可视为常量，则有 2 v ( d ) = v ( v z ，+ ”v ) = ( v 2 + v 矽) 式中算子“v 2 = v ( v ) 等价t l a p l a c e 算子“ ，( 也等于梯度的散度) ， v = v 巾舻矽= 窘+ 等+ 警 v 乞= ( 窘+ 参窘，窘+ 争+ 窘，窘+ 雾+ 窘 牛顿流体动量方程的一般形式变为： 詈忡v 肛一吉 跏m 栅) v 8 + v 2 u 进一步如果流体满足体粘性系数等于零酐 s t o k e s 假设，应力张量只用一个剪 切粘性系数表示，则动量方程为： 害怕州+ 吉 v ( _ p 一纠删删) 如果粘性系数可视为常数，则 鲁+ c z ，奶甜= + 吉 。 + 1 0 ，：0 万。 ( 3 1 6 ) 其中r 表示点之间的距离，p 表示范围。在这个函数里，s 和p 控制影响的范围， c 。表示连续性。总之，克里格在相同的一组方程里提供了数据的滤波和插值。近似的 稳定性和平滑性，执行的灵活性都是使它符合纹理模型的因素。 ， 对于滤波数据，该文使用了块金效应。块金值是由极小化时误差变化的影响引 起的。它对近似具有滤波的作用。如果块金值为零，克里格就是一种精确的插值。否则， 预测就需要滤波。使用这种方法，增加块金值正符合通过一个误差值缓和极小化过程。 这也正好解释了因为块金值的增加而使计算时间减少。协方差的跳跃表明在数据点处起 于精确值的预测的变化。 至此，一个时间步的计算已经完成，整个模拟过程的求解，从n = o 开始，循环往 复地进行迭代计算，直至l j n - - m a x t i m e 结束，其流程如图3 5 所示 2 4 第三章数值求解及方法改进 图3 5 求解n s 方程的流程图 f i 9 3 5t h ef l o wc h a r to ft h es o l v i n go f n se q u a t i o n 3 5 本章小结 在数值求解偏微分方程的方法中，本章主要介绍了几种基本求解方法的优缺点，在 求解n s 的过程中，我们主要应用了差分方程。使用半拉格朗日方法求解对流项，并且使 用了隐格式，保证了方程在任意步长的稳定性。使用克里格插值方法对结果进行滤波， 使结果更加锐化和符合实际的自然现象。虽然计算量较大，但仍可实时模拟，并且具有 较高的精确性。 2 5 江南大学硕士学位论文 第四章实现和应用 不规则物体的模拟效果好坏的关键因素有物理模型、数值求解方法等。其中物理模 型是基础，数值求解的精度越高，得到的数值解就越接近物理模型方程表示的理论解。 现在我们已经理解了这些要解决的问题，也知道了如何解决的基本做法，现在我们来看 看如何实现这些算法。 4 1 所用工具软件简介 在这一章，我们将实现在第3 章提出的不规则物体模拟的演示。为此，我们采用众 所周知的编程工具v i s u a lc + + 6 0 $ 1 o p e n g l ( o p e ng r a p h i c sl i b r a r y ) 图形库。 w i n d o w s 平台下的c + + 编程工具，首推m i c r o s o f t 的v i s u a l c + + 。编写w i n d o w s 应用程序 只熟悉c + + 的语法是远远不够的，还必须掌握m f c ，其全称为m i c r o s o f t f o u d a m e n t a l c l a s s ， 即微软基础类库。 一个完整的w i n d o w s 应用程序首先必须有用户界面、窗体、各种对话框、按钮、菜 单等，开发者可以通过调用w