（固体力学专业论文）基于MSCNASTRAN的离散变量结构优化分析及非线性随机响应探讨.pdf

| l 摘要 一3 6 8 8 0 本文的第一部分主要针对结构优化设计中的塞敛变量优化问题作了探讨。 曲于通用的有限元计算软件只有连续变量优化的功能，而一般的专用结构优化 软件的离散变量优化模块的计算能力和效率不高。本为通过自行编制程序，依 托m s c n a s t r a n 这样一个高效的计算平台，实现了工程中复杂框架结构的 ， 结构优化自动化。f 而且根据不同的专用结构，通过修改模型样板数据库，可以 使用户输入最少的数据，程序自动生成n a s t r a n 计算模型，然后调用 n a s t r a n 计算，根据生成结果，自动选择截面的型钢类型和尺寸，并进行结 、 果的比较和拟合，直至最后达到截面最小、结构最轻的优化目标厂、 作为典型算例，定义了一个电除尘器的模型，通过实际的计算表明，结构 优化效率在1 0 以上，达到了较好的效果。 在本文的第二部分对基于n a s t r 趔的结构非线性响应谱分扭问题作理论 ， 上的探讨。f 由振动理论可知，线性系统的响应谱与激励谱之间存在着简单的线 性关系，而非线性系统的响应谱分析则困难的多，仍然是该领域的研究热点。 、7 1 一一 本列首先将输入荷载谱化为系列的时间历程样本序列，然后利用n a s t r a n 程序的非线性动力响应的功能计算该结构的动力响应，最后利用快速富氏变换 将结构的动力响应化为结构的响应谱该程序可不受自由度的限制可用于广泛 、 的工程实际问题，在理论上是切实可行的。卜、 1 1 + 、 ， 一 浙江大学硕士学位论文2 0 0 1 a b s t r a c t i nt 1 1 ef i r s tp a r to f t h et h e s i s t h em e t h o db a s e do nm s c n a s t r a nf o rs t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nw i t hd i s c o n t i n u o u sv a r i a b l ei sd i s c u s s e d b e c a u s co n l yo p t i m i z a t i o no f c o n t i n u o u sv a r i a b l ec a l lb ep e r f o r m e di nn a s t ra na n dt h el o we f f i c i e n c yo fm o s t d i s t r i b u t e dv a r i a b l e o p t i m i z a t i o n s o f t w a r e s o t t w a r eb a s e do nt h e o p t i m i z a t i o n m o d u l e so fn a s t ra nw a sd e v e l o p e dt os o l y et h i s q u e s t i o n u s e rc a l l e d i tt h e t e m p l a t eo fm o d e lf i l et om a k et h ep r o g l ：锄f i tf o rs p e c i a ls t r u c t u r e sa n dm a k et h e p r o c e s s o fd a t a i m p u t i n g l e a s t n e p r o g r a m c a l l g e n e r a t e t h em o d e lf i l eo f n a s t r a n ，c a l ln a s t ra n t oc o m p u t e ，c h o s e 也ec r o s s s e c t i o no fs t r u c t u r a ls t e e l ， c o m p a r e t h er e s u l ta n df i td a t a a u t o m a t i c a l l y t h e l ld e c i d et h eb e s tr e s u l tw h i c hc a n m a k ec r o s s - s e c t i o ns m a l l e s ta n dm a k et h ew h o l es t r u c t u r el i g h t e s t i nt h es e c o n dp a r to f t h et h e s i s t h em e t h o df o rt h ea n a l y s i so f r e s p o n s es p e c t r u m o nn o n l i n e a rs t r u c t u r ei sd i s c u s s e d a sw ek n o wf r o mt h et h e o r yo fr a n d o m v i b r a t i o n ， t h e r ei sas i m p l el i n e a rr e l a t i o nb e t w e e nt h er e s p o n s es p e c t r u ma n dt h em o t i v a t i o n s p e c t r u m a sf o rn o n l i n e a rs y s t e m ，t h er e l a t i o n i sm u c hd i f f i c u l ta n di ss t i l lt h e h o t s p o ti n t h i sf i e l d i nt h i s p a r t ，w e f i r s t c h a n g et h ei n p u t t e d l o a ds p e c t r u mt oa s a m p l es e q u e n c eo ft i m eh i s t o r y a n dt h e nc o m p u t et h ed y n a m i cr e s p o n s eo ft h e s t m c t l l r ew i mt h em o d u l eo fn o n l i n e a rd y n a m i cr e s p o n s ei nn a s t r a n a tl a s tw e c h a n g et h er e s u l tt ot h er e s p o n s es p e c t r u mo f t h es t r u c t u r e t h em o t h o di s n tb o u n d e d t ot h ef r e e d o ma n dc a nb e w i d e l yu s e d i np r a c t i c a lp r o j e c t t h em e t h o di sp r o v e dt ob e t h e o r e t i c a l l yf e a s i b l e 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 结构优化理论发展 优化设计是用系统的、目标定向的和有良好标准的过程与方法来替代传统 的试验纠错的手工方法。它的出现突破了传统的设计思想，是设计方法和设计 思想的一次重大变革。优化设计是寻求最好或最合理的设计方案。而优化方法 则是达到这一目的唯一的手段。虽然对大多数现实问题而言，由于耗费资源过 于巨大，“最好”不一定能够实现，但是它提供了一种指导思想与标准，形成了 概念框架( 问题识别、定义、模型化、求解与评价) 和具体操作手段。优化方 法还能被应用于处理其他问题上，只要该问题存在多种解决方案，故它是求解 问题和帮助决策的手段与工具。 结构优化设计从麦克斯维尔理论( m a x w e l l ) 和米歇尔( m i c h e l l ) 桁架出 现起已有百年历史，从史密特( s c h m i t ) 用数学规划来解决结构优化设计算起 也有4 0 年历史，特别是过去3 0 年内，在理论、算法和应用等方面都取得了长 足的进展。仅从专业期刊( j o u r n a lo f o p t i m i z a t i o nt h e o r y a n d a p p l i c a t i o n ，e n g i n e e r i n go p t i m i z a t i o n ，s 仃u c t u r a lo p t i m i z a t i o n 等) 、有关学术会议 和公开出版的著作等方面不完全统计，已发表的综述性论文达5 0 余篇，专著1 5 0 余本。有关优化论文超过2 5 0 0 篇 6 】，其中大约5 0 0 篇探讨基于可靠度的优化 和优化程序，应用优化的领域涉及航空航天、机械、土木、水利、桥梁、汽车、 铁路、轻工纺织、能源工业、以及军事工业等诸多方面。主要处理那些具有复 杂结构系统的设计，如飞机、卫星、机器人、射电望远镜灯，或者大规模的工 程建设，如大坝、桥梁、核电站、或者产量大的汽车、机械和轻工产品以及创 新型的产品设计。 优化的应用研究还扩大到国土开发与资源利用、环境监控与生态保护，以 及海洋工程等领域，并且作为一种技术手段用于解决诸如系统辨识、工程反分 析等方面。 但是。目前优化应用面与实际成效远落后于优化理论的发展，与其他相关 学科( 如有限元分析) 的应用相比更是相形见绌。应用与理论差距较大的原因 是多方面的，诸如本身的性质、理论研究存在的不足，实际应用中的问题等等。 实际结构问题，往往十分复杂，涉及各种因素，比如环境、荷载、几何特 浙江大学硕士学位论文 征、材料、施工、费用的制约。因此必须抓住问题的主要方面和主要矛盾，删 繁就简，进行抽象，形成数学模型，才能实施优化。因此优化设计的价值与有 效性取决于所用的数学模型和相应的寻优算法，特别是与所选用的设计变量， 所考虑的约束条件和规定的目标或评价函数有密切的关系。优化提供的最优解 或最优设计只是一个相对的最优结构，它仅仅是在所选用的约束与评价函数下 才是最优的。 由于理论上的局限，很多算法仅当模型性态良好时，才能获得稳定的收敛 解，因此大量的文献都限于讨论连续性设计变量( 实数集上的变量) 、单一目标 和确定问题的优化，而客观世界中的现实问题常包含有离散变量、评价设计的 标准不是一个而是多个，模型和相关参数也不是完全确定的而是随机的、模糊 的。可见模型与现实之间存在较大的差距，有些甚至是根本性的，而忽略这些， 过分简化，即使得到了理论上的最优解也很难回归到真实世界中去。另外作为 工程设计往往积累有很多经验与知识，形成的规范与常识来指导设计过程，其 中有些是难于进行数学描述的。 数学所作的工作是发展算法，以及有关方法的效率、稳定性和收敛性的讨 论，文献中的算例验证以及有些应用实例也是从已有的数学解出发去寻找适合 模型的工程问题，这种过程称为：s o l u t i o n - 争s e e k m o d e l 方式 3 】。对于设计 者而言，数学优化仅是从结构问题到优化设计过程中的一个手段，因此工程优 化应是从现实中实际问题开始，寻找能应用的优化设计，是一种 p r o b l e m - ) s e e k - 争d e s i g n 【3 】方式。 工程设计者关心的是安全、可靠与经济，往往寻求满意解而不一定是最优 的，数学工作者和研究人员兴趣在于寻求问题的精确最优解。这在广义上反映 了科学界与工程解观念上的差异和价值的不同。 如何从实际问题中提取出合适的模型，这是工程设计者的任务。由于实际 问题的多样性，且各具特色，还缺乏具体的系统的方法与规则，以及简化的尺 度，因此只有加深对优化理论与方法的理解，才能掌握有关辨识闯题、模型抽 象、选择合适算法与求解的技能，当然这需要发展的时间。 还应指出，优化设计是一种“综合”，它要综合各方面的因素、要求和约束， 以产生一个尽可能理想和满意的设计方案，显然其复杂和困难程度比单纯的分 2 浙江大学硕士学位论文 析大得多，计算工作量有量级上的差别，需要有高速、大容量的计算机和完善 的软件支持，才能取得成效。 1 2m s c n a s t r n a 中结构优化模块概述 以上这些问题目前正在得到改进与克服，研究人员更加注意了在离散变量、 多目标问题和非确定性优化的研究与应用，模型塑造也更加切合实际要求，形 成若干程序。随着计算机硬件软件的飞速发展，出现了更为灵活的适应性更广 的算法，优化技术提高与完善了计算机辅助设计辅助制造( c a d c a m ) 的水 平的提高与性能。而c a d c a m 的发展与普及反过来又促使优化设计的深化与 实际应用。在工程设计中人们对优化方法的应用正逐渐深入普及。 m s c 悄a s t 础n 作为c a d c a m 领域的权威软件，以其完善的功能、稳定 性和高精度得到了广泛的应用。它的优化设计模块也有强大的功能，但是只能 进行连续变量优化的缺点限制了它在实际工程中的应用，本文就是依托这样一 个稳定可靠的计算平台，对它的优化算法进行离散化改进，从而为工程实际应 用提供了一个强有力的设计工具。 1 3 本文主要工作 本文主要采用v i s u a lc + + 编程，设计了一套具有通用性的离散变量结构优化 软件，该软件主要针对工程中经常遇到的复杂框架钢结构，程序自动生成模型， 离散变量连续化、调用n a s t r a n 优化模块计算、结果校核，最后从材料数据 库中选择最优型材，产生型材用量和结构总重量。大大减轻了结构重量的同时 也保证了结构的稳定性和可靠度。 以上对优化设计和结构优化的大致发展和进展情况作了概述，在后面的章 节中将着重对m s c n a s t r a n 中的优化性能和本文对其中的优化求解算法所 作的改进工作作详细的介绍。 浙江大学硕士学位论文 第二章数学优化理论和寻优方法 2 1 无约束条件下的多变量函数的寻优方法 对于目标函数具有简单而明确的数学形式的多变量函数寻优问题，应用极值理 论可以间接地求出最优点来，即所谓的间接法。但是，多变量函数一般都比较复 杂，有时甚至没有明确的数学表达式，这个时候间接法就无能为力了，往往借助于 所谓的直接法。 直接法，主要包括两大类，消去法和爬山法。其中消去法对解决单变量函数的 寻优问题是十分有效的。但是对于多变量函数，由于消去平面、立体、甚至多维空 间的一部分比消去一条直线的部分要复杂得多。因此，消去法对多变量函数的寻 优来说不是一个有效的方法，解决多变量函数的寻优问题主要是爬山法。 爬山法就是利用已有的信息，通过点的直接移动，逐步改善目标函数而达到最 优。因此每一次爬山计算有两个目的： ( 1 )获得目标函数的改进值； ( 2 )为进一步计算给出有用的信息； 爬山法的搜索过程实质上由两部分组成：一是选定搜索方向；二是在确定的方 向上爬山搜索。由于选取搜索方向与爬山前进方式的不同，构成了各种不同的 爬山法。下面给予介绍。 一阶梯度法 梯度法的基本思想： 从上面的分析可以看到，求多变量目标函数，( z ) ，x = ，工：) 7 的极小点 x + = ( 一，x 2 * 屯+ x 。) 的过程通常是这样的： 从给定的起始点x ( o 出发，沿某个有利的方向户( o 进行一维搜索，求得f ( z ) 在 p ( 方向上的近似极小点z ”，然后再从x 1 出发，沿某个新的有利方向p ( 1 进 行搜索，求得f ( x ) 在p m 方向上的近似最小点z 。，如此继续，直到满足给定的 精度时为止。 梯度法有一阶梯度法和二阶梯度法，下面介绍前者。 4 浙江大学硕士学位论文 一阶梯度法的计算方法： 一阶梯度法是用梯度方向作为探索极值的方向的。由于梯度方向是该点函数变 化率最大的方向，因此一阶梯度法又称为最速下降法( 对于求最小值) 或最速上升 法( 对于求最大值) 。其计算步骤如下： 设目标函数f ( x ) ，x 为n 维向量。求目标函数f ( x ) 的最小值。 现从给定的x ( o 点出发，先求该点的梯度：g ( o ) = v f ( x o ) 及梯度方向的单位 向量e ( ”。从此方向的反方向作为搜索方向，进行一维搜索以寻求最优的步长 ( o 使在此方向的目标函数值最小，即：f ( x ”一ho e o ) = m i n f ( x o 一h e o ) ，式 中，h 为正数。之所以采用梯度的反方向，是由于要保证搜索的最小值，一旦找到 了 ( 。就得一新点x 1 ；z ( 1 ) = x ( ”一厅o e ”，然后以z 1 点作为新的起点，重复 以上的步骤，直到满足给定的收敛要求为止。 一般的计算式为： 若出发点为x “) ，则 g 。= v f ( z ( 1 2 1 ) e ( = g 圳g 叫l( 1 2 2 ) f ( x 川) = f ( x ”一 1 e ) ) = m i n f ( x ”一h e ) ( 1 2 _ 3 ) x ( j “) ：xc j ) 一h ( g ) e c j ) ( 1 2 4 ) 其中，g 为梯度向量；l g i i 为梯度向量的模，其值为 | 1 g | | = ( ) 2 ( 1 2 5 ) y ， 控制迭代的收敛要求可以为 i ig u 临毛 或jf ( x “) - f ( x 喀占2( 1 2 - 6 ) 但是，一阶梯度法虽然看上去是一种很好的方法，即它不仅每次都以上一次 得到的最好点为出发点，而且每次都选择了最速下降的方向。但实际上并不 然，大量的计算实践表明，一阶梯度法收敛的速度并不快。这主要因为一般来 说最速下降方向仅仅是指某点附近而言的，是一个局部的性质。一旦离开了该 浙江大学硕士学位论文 点，原先的方向就不再保证是最速下降方向了。因此，对整个过程来说，它并 不总是具有最速下降的性质。特别当变量间有较强的交互作用时，一阶梯度法 与变量轮换法类似，也不是一个有效的方法。但是，尽管如此，一阶梯度法仍 不失为一种基本的寻优方法，这不仅因为一阶梯度法具有每次迭代计算比较简 单、内存容量小、适于计算机计算，以及在计算中对初值( 起始点的位置) 的 要求低，远离极值点时收敛较快等优点，而且也是其他一些方法的基础。 共轭梯度法 上节中已说明，当起始点z ( 离极值点x 较远时，一阶梯度法是十分有效 的，它可以较快地接近极值点，目标函数的下降也很快。但是当接近极值点 时，进展就缓慢下来，而且越靠近极值点，效果越差。此时所谓的“最速下降 方向”其实并不是一个理想的搜索方向。所以，问题的关键是：在极值点附近 如何加快收敛的速度。这就需要对函数在极值点附近的性质作一番考察。 对于任意形式的目标函数s = f ( x ) ，若将它在极值点x 附近展开成泰勒级 数【1 】，且只取n - - 阶导数项，则得 1 厂( x ) f ( x + ) + v f ( x ) ，z + 去r 7 爿z( 1 2 7 ) 二 其中，a 是f ( x ) 在x 处的二阶偏导数矩阵，即赫森矩阵。因为在极值点 处，v ( x ) 7 = o ，故 1 f ( x ) zf ( x ) + 圭a x 7 一z( 1 2 8 ) 二 此时表示函数为二次函数，由此可以看出：任意形式函数f ( x ) 在极值点附近 的特性都近似于一个二次函数。 共轭梯度法计算方法： 设n 元函数f ( x ) 在极值点附近可用一个二次函数逼近： 厂( x ) = 口+ 6 7 x + 圭x 7 似 ( 1 2 9 ) 6 浙江大学硕士学位论文 其中，a 为 n 对称正定矩阵。 _ a f ( 丁x ) ： 可( x ) 】r ：【6 + a x r 凹“ ( 1 2 1 0 ) 设从某点x ( 出发以p ( o 的方向搜索，使f ( x ) 达到极小点为x ”，则x 1 必 为该处等高线的切点。此点的梯度方向为等高线的法线方向。因此 【可1 ) 】7 j d ( o ) = p + 1 7 p r o ) = 0( 1 2 1 1 ) 若从另一点出发x “，也从p ( o 方向搜索，又得一极小点x ( ”，同理也应有： v ，( x 2 ) 7 p o 叫b + a x 2 7 p o = 0( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 1 ) 之差为： 。r ”一r 2 】7 彳尸o ；0( 1 2 1 3 ) 若令pc 1 ) = xc ”一( ”，则 p m 】7 彳尸= 0( 1 2 1 4 ) 这就说明尸( 1 与p ( o 是对a 共轭的。而尸( 1 正是x ( ”、x ( 1 两切点连线的方 向，此方向上的极小点即f ( x 1 的极小点。可以证明，对以一个二元的二次函 数来说，只要搜索两个方向尸( 1 p ( o 就可以达到极值点；而对于n 维欧氏空间 上的非负定的二次函数，可以用不超过n 次的搜索达到极小点。而一般函数在 极值点附近时，都有近似于二次函数的性质。这就是共轭梯度法的优点所在。 因此，共轭梯度法是具有二次收敛型的算法。这样，我们通过其他方法达到 极值点附近，然后把此时的函数近似地看成二次函数，此时用共轭梯度法，一 般通过有限次迭代可以达到精度要求极值点。其收敛速度还是很快的。 共轭方向的计算： 共轭方向是由式( 1 2 1 4 ) 的二次型来定义的，因此计算中要用到矩阵a ， 如果已知a 则计算共轭方向是很容易的。例如当函数为二次函数时，a 为二 次项的常系数矩阵。但当函数为非二次时，a 为二阶偏导数矩阵( 即赫森矩 阵) ，求起来相当麻烦，尤其当维数很高时更加麻烦。一般使用f r 法确定共 轭方向。 设目标函数为n 元的二次函数： 浙江大学硕士学位论文 厂( x ) = 口+ 6 7 x + 去x 7 崩 ( 1 2 1 5 ) 二 其中x 为n 维向量，x ( o 为任意给定的起始点。户( “，p ( ”p ( 7 为1 次迭代 中要寻求的对a 的共轭方向。x ( ”、z ( ”x ( ”1 依次为沿这些方向求得的 近似极小点。因此有： g 。= v f ( x ) = b + a x 7 ( 1 2 1 6 ) x 。+ 1 = x + p 7 r 1 2 1 7 ) 其中最优步长 ( “，满足： f ( x ) = f ( x + h o p ) = m i n f ( x + h p ) ( 1 2 1 8 ) 当然，对x ( ”，也有 g ( + 1 ) = b + a x ( + 1 ) ( 1 2 1 9 ) ( 1 2 1 6 ) 相减，并把( 1 2 1 7 ) 代入 g + ”一g = a ( x “一x 、= a h ( 0 p 。 根据共轭定义，应有： ， ( 1 2 1 9 ) ( 1 2 2 0 ) 【p ( o 】a p 。= 0 ( f ，j = 0 ，1 2 i j )( 1 2 2 1 ) ( 1 2 2 0 ) 式代入( 1 2 2 1 ) 中，得： p o 7 ( g “一g ) = 0 ( f ，j = 0 , i ，2 ，f - ，) ( 1 2 2 2 ) 在上面的关系式中，不显含矩阵a ，只用到相应各点的梯度，因此可以不计算矩阵 a 而求出共轭的方向p ( ”。 现从z ( o 点开始进行搜索，在确定第一个搜索方向尸( o 时，因为除了梯度 g ( 0 可以直接计算外，没有其他可用的信息，因此可取： p o = 一g o = - ( b + 丘z o 1 ( 1 2 2 3 ) 沿p ( o 方向作一维搜索，求最优步长 ( ”，使： f ( x m ) = f ( x o + h ( o p o ) = m i n f ( x o + 舻o ) ( 1 2 2 4 ) 8 浙江大学硕士学位论文 由此得一新的点工”，并计算出g 1 = w ( x 1 ) 。因为梯度方向与原搜索方向正 交，故g ( 1 正交于户”，从而也和g ( o 正交，即： p o 】7 g 1 = 卜g o 】7 g ( 1 = 0 ( 1 2 2 5 ) 为在g ( 1 和g ( 构成的正交系中寻求共轭方向户( ”，可令： 尸1 = 一g 1 + 口o p o ( 1 2 2 6 ) 即共轭方向为该次的反梯度方向( 最速下降方向) 与上次搜索方向的线性组合。这 里的关键是选择一个口”，使p ( o p ( 1 共轭，根据式( 1 2 2 3 ) 有： 【尸1 】7 ( g ”一g ( o ) = 0 ( 1 2 2 7 ) 将( 1 2 2 6 ) ( 1 2 2 5 ) 代入，并考虑到( 1 2 2 3 ) ，化简得 g ”o p o 7 ( g ”一g o ) = 0( 1 2 2 8 ) f g 1 】7 g 1 ) 一o g o 】7 g ( o ) = 0 叫g 1 7 g 1 ( 【g ( o 7 g o ) ( 1 2 2 9 ) 这里假定g o 0 ，否则x o 即为极值点，无需搜索了。把( 1 2 2 9 ) 代入式 ( 1 2 2 7 ) 得： p 1 = 一g 1 + g 1 r g 1 ( 【g o 】r g o ) p o ( 1 2 3 0 ) 由此可见，通过g 1 与g ”，即可求出共轭p ”。沿此p ( 1 方向再进行一维搜索求 最优步长h ”，得到x ”，如此进行下去，一般来说有如下的迭代关系： p ”1 = g + p ( i = o ，1 ，2 )( 1 2 3 1 ) 卢= 【g ”1 】7g “1 ，( 【g 】7g 4 ) ( f = 0 ，1 ，2 )( 1 2 3 2 ) 所得的p ( “1 即为共轭方向。 按照( 1 2 3 1 ) 、( 1 2 3 2 ) 确定搜索方向的算法就称为共轭梯度法，因此他 不必计算矩阵a ，可以简单地用于一般的目标函数，而且公式结构简单，仅需存储 三个向量，占内存单元少，非常适合于计算机迭代计算。 另外，还有几点对共轭梯度法的说明： ( 1 ) 若r l 维目标函数为二次函数，则用共轭梯度法，理论上最多只要1 1 次迭代即 可达到极小点。但在实际计算中，由于舍入误差的原因，总要进行1 3 _ 次以上 9 浙江大学硕士学位论文 才能得到满意的结果。对于非二次函数，迭代的次数当然更多。但n 维问题 的共轭方向最多只有n 个，在迭代1 1 次后，继续进行是没有意义的。同时舍 入误差的积累也越来越多，对收敛不利。因此在实际应用中，当计算了n 次，得到x ( ”后，采用重新开始迭代的办法。由于算法的第一个搜索方向为 最速下方向。因此有利于突破目标函数的非二次性，同时减小误差的积累。 ( 2 ) 共轭梯度法是一个二次收敛算法，在目标函数二次性较强的区域中有较好的 效果，而梯度法，如前所述，却在非二次性较强的区域收敛较快。因此，如 果在计算的开始阶段用梯度法，当搜索点接近极值点，目标函数显示出较强 的二次性时，改用共轭梯度法，就可以发挥各自的特长，弥补彼此不足，缩 短计算时间。 2 2 约束条件下的寻优方法 在前面，我们讨论了无约束条件时非线性函数的寻优方法，但是在实际工程中 这种没有条件限制的情况几乎是没有的，绝大多数变量的取值范围都是有限制的。 也就是说，我们遇到的问题大部分都是约束条件下的寻优问题。而我们遇到的约束 条件不外乎两种：等式约束和不等式约束。下面对他们作一下简单的介绍。 等式约束下的消元法基本原理 1 】 仍从二元函数的寻优问题开始，设目标函数f ( x ) 为凸函数，x = ( x ，x 2 ) 7 ， 约束条件为g ( x ) = 0 ，要求最小值。 在上面的条件中，如果能把g ( x ) = o 改写成x ，= h ( x ：) ，就可以代入厂( x ) 中消 去x ，使成为无约束的且只有一个变量的函数z ( x ：) 的寻优问题，于是，只要 对z ( x ：) 求极小，即得原问题的解，这就是消元法的基本原理。 拉格朗日( l a g r a n g i a n ) 乘予法 要求解上述问题，可以用消元法，但是一般情况下那种方法很难实现，所以在 实际应用中一般使用拉格朗日( l a g r a n g i a n ) 乘子法来计算( 在 m s c n a s t r a n 中也是使用这种算法) 1 0 浙江大学硕士学位论文 对于二元函数，设目标函数为f ( x ，x ：) ，等式约束为：g ( x ，屯) = 0 ，在无约束 时，极值点存在的必要条件为： 誓= 篆= 。，即= 篆 幽+ ( 缸彭- - 。 ) d x ：= 。 线俄，l 喁k 掰， 当有等式约束时，除了以上的关系式仍成立外，还必须满足 妇= ( 鼍卜，+ ( 篆 妒。 ( 1 2 3 3 ) ( 1 2 3 4 ) 这就是说，在等式约束条件下，使厂为极小的出，出：已不能任意选取，必 须满足( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，由( 3 3 ) ，( 3 4 ) 可得： 量：要( a f 耍l a x , ) d x l ( a f l a x 2 ) 玑( 誓 ( 篆 一( 篆 鼍 _ 。2 琊， 亟一一熊垡，。：( 誓j 篆 一( 篆 鼍j _ l 2 3 s ， d x l( a g a x 2 这就是在等式约束下使目标函数厂为极小的必要条件 下面介绍拉格朗日( l a g r a n g i a n ) 乘子法的计算方法和步骤： 闸以改虢黜= 鬻， 令( 堑：。型一( a f l a x 2 ) 兄( 1 2 3 6 ) 。( 堙a x l ) 嚣+ a x 2 ) 旯为常数，称为拉格朗日待定系数，或简称为拉格朗日乘子。于是由( 3 6 ) 连 同g ( x l ，x 2 ) = 0 ，得到： a f 一x a g 堑 ：o 缸l缸l a f 一旯竖：0( 1 2 3 7 ) c 舅，c 舅， g ( x l ，x 2 ) = 0 然后，解此联立方程可得x ，x ：，刀，即可求出极值点。方程组( 3 7 ) 相当于 求解一个无约束的函数三= f 一豫： l ( x l ，x 2 ，五) = f ( x l ，z 2 ) 一五g ( 工1 ，x 2 ) 的极值点，此函数极值点存在的必要条件为： 丝：旦：丝：o( 1 2 3 8 ) 苏l苏2 觐 这就是( 3 7 ) 的结果，这个新定义的函数l 称为拉格朗日函数。将( 3 7 ) 代入 ( 3 3 ) 中，得到： 咿= 兄( 等 出。+ a ( 篆 出：= 磁 ：， 这表明，在极值点附近，五为目标函数厂随约束条件g 的微小变化而变化的比 率。 综上所述，通过应用拉格朗日乘子，可使求等式约束条件下函数厂的极小 点，成为求拉格朗日函数l 的驻点。这就是拉格朗日乘子法的原理。 浙江大学硕士学位论文 第三章结构优化设计理论及m s c n a s t r a n 中 优化模块介绍 3 1m s c n a s t r a n 的结构优化方法 在前面我们介绍了优化方面的知识，尤其对m s c n a s t r a n 中常用的梯度 法进行了比较详细的说明。但是要说明的是，这些数学方法只限于对评价函数数目 很少的时候。当评价函数很多，尤其是在对结构进行有限元的结构分析的时候，直 接用这种方法计算几乎不可能。 结构优化中的难点 最早，数字寻优和结构优化是用一种“黑盒”理论联系起来的，当优化求解 器需要评价函数信息时，有限元分析就被激活来提供所需信息。但是这种方法 很快就被淘汰，因为优化器不仅仅需要设计变量的一些相关量，而且在每一步 的一维搜索中都要执行大量的评价函数，而这将会花费大量的分析时间。 结构优化中的另外一个困难是：结构响应是设计变量的隐函数。比如：板单 元的应力随厚度的变化只有在进行了有限元分析之后才能全部确定。所以，我 们可以想象，我们不可能在每一次优化的迭代中都进行全面的有限元分析，因 为我们在实际工程中将面对的是上千个设计变量和上千个约束条件。所以，为 了避免这样的问题，m s c 瓜a s t r a n 中使用了一种称为“近似”f 4 l ( a p p r o x i m a t i o n s ) 来减少计算量。 结构优化中的近似概念 这里的“近似”其实和工程师遇到的近似情况非常类似，工程师要做出对工 程的改进计划的时候，总是拿到大量数据，他就是要从这些之中选出对决策最 有决定性的少量数据来做出判断。 第一步：简化设计变量，合并非必要变量； 第二步：简化约束，去除不必要多余约束； 第三步：进行参变量分析，找出约束随设计的改变情况： 浙江大学硕士学位论文 第四步：进一步参变量分析，进行正规近似化，找出在工程实际条件下的变 化关系： 关系图如下： 从上面可以看出，有限元分析是基础，它建立近似模型，而近似模型又随后被 优化器调用。近似模型中包括：设计变量连接、约束精简、正规近似。 一旦优化器做出了一次的优化设计，下一步就是要进行一次详细分析看这个 设计是否满足全部的设计约束，是否使目标函数减小。如果满足，那么这一次 的有限元分析结果就作为下次的分析基准线( 初始参数) ，上面的循环直到 结果满足要求的精度要求为止，上面的循环就称为设计周期。 变量连接、约束精简、正规近似构成了m s c 小a s t 融n 优化中的基本概 念，我们将在下面简要介绍： 变量连接：为了减少计算量，我们尽量把有相互依赖关系的变量简化。一种方 法是直接使用分析模型的属性值，属性值在分析模型中定义，并被很多单元使 用，在设计模型中，设计变量和属性值有联系，这样达到了简化的目的： 约束精简：m s c n a s t r a n 中使用绝对值来对优化时的荷载情况进行一般化 操作，然后划定一般化后的基线( 或称为阀值) ，这个值以下的被认为对现在 的计算没有影响而暂时抛弃。或者另一种办法，把约束分区从每个分区中按照 n s t r 值选出最大的几个约束。 1 4 浙江大学硕士学位论文 正规近似： 虽然已经对约束进行了分区和缩减，从而使约束减少到能控制设计的 最小限度。但是，我们仍然希望把隐性的有限元分析替换成显性的目标的近 似函数。 m s c 悄a s t 刚州中的函数近似是基于对函数的t a y l o r 展开，在设计优化 中，我们不仅关心单个的独立交量，而且还关心某些设计变量的向量x o ，因 此，目标函数和约束函数的近似形式可以写成： f ( x o + a x ) = f ( x o ) + ( 即) i a x( 1 3 1 ) g j ( x o + x ) = g j ( 工o ) + ( v g j ) j a x ( 1 _ 3 2 ) 上式中需要确定的量有梯度，这些是通过灵敏度分析来得到的。 以上，我们简要描述了n a s t r a n 中的结构优化原理，具体的细节在下面 用到的时候还有详细讨论。 3 2 m s c n a s t r a n 优化方法的进一步讨论 对于约束和目标函数的计算需要对设计变量的函数的导数进行计算，这在大 多数情况下会非常复杂。这里面包括：变量到属性的变换关系 ( d v p r e l l ，d v p r e l 2 ) 和响应( d r e s p l ，d r e s p 2 ) 【4 】， 注： d v p r e l i ：定义了线性属性变量，仅需要输入设计变量 d v p r e l 2 ：配合数据表输入非线性属性值。 d r e s p l ：定义第一类响应，这些可以从n a s t r a n 的直接分析中得到，如：结构重量、节点位 移、单元应力等： d r e s p 2 ：定义第二类响应，也称为用户自定义响应，如：出错函数、平均应力等； 对于i 约束，可以得到 浙江丈学硕士学位论文 引x 。+ a x ) 。g j ( x o ) + 军剖咄( d v p r e l l ) ( 1 3 3 ) 蜀( + 马2 邑( ) + 7 z o a p g _ ，i l _ ，+ 卸。 ( 。v p r e l 2 )( 1 - 3 4 ) a p 。伊+ ； - p , ( )( 1 对于目标函数我们也可一种类似的形式写出新的表达式，这种写法的好处是( 1 3 5 ) 对于设计变量的变化可以给出精确的计算，所以( 1 3 4 ) 可以对所有的d v p r e l 2 中 的非线性情况做出精确的计算。 对于第一类响应，有下面算式 o f ：j o f f + 一l c o t ( 1 ) ( d v p r e l i ) (i36，0 x ，争o r 1 o x 7 _ o f ：，而o f + - 妒t y - - ( 1 印，争a ，”jv ，( d v p r e l 2 ) 7 对于第二类响应，有下面算式 c o y ：而o f 。竖( d v p r e l l ) ( 1 0 x 。争o r o jo x ，7 7 i o f ：五o f f + o r ( 2 ) ( d v p r e l 2 ) (1-39，o 印，午r ”，印， 7 其中的r ( 1 表示第一类响应，r ( 2 表示第二类响应。通常，( 2 是设计变量、数 据表常量、第一类响应、节点坐标系的函数，表示为 尸= ( x ，c ，”， g ) ) ( 1 3 1 0 ) 由( 1 3 1 0 ) 等=等+莩筹百cork。)0 xo x + 莩籍c o g 等o x 。川， ，蠡。午钆o 。争j ， 其中的置或者表示设计变量或者“设计属性”( d v p r e l 2 ) 。 存n a s t r a n 中。髯项由以下过程得蛰l 1 6 浙江大学硕士学位论文 1 罢竺，尝2 由灵敏度分析中得到 靠，c 觏 2 暑，嘉此式的计算依赖于f 是目标函数还是约束函数 目标溅暑= 嘉：1 ： ( 1 3 1 2 ) 练溅：毒2 蒂一南m o u n ( 1 3 1 3 ， 豢2 豢一南c 叩p e r - b o u n d ，( 1 3 1 4 ， 3 譬用下面求解 掣：望：丝生盟芏鲨兰! !( 1 3 1 5 ) 蠡a x 2 a x 、。 其中 a x ，= f d c h x 。o ，如果f d c h x ，o f d c h m ，缸，= f d c h m 。 。筹可以近似用下式表示 蝶。娑! 堕型二婴! 二型 ， 仉1 衄1 2 a r k 1 衄1 得确定方法和( 3 ) 中相同。 5 妄；知用下面等式近似求得 d l ， ， 望。业：g 里：! 丝! ! l 坐蛭：! 二丝! j ( 1 3 1 7 ) z x g ，表示在第，节点坐标上的变化， g o ) 表示这些点的基准坐标。 1 7 浙江大学硕士学位论文 g ) ，= f d c h * g o ) l ，f d c h m 用法和前面相同。 6 曼堕五可以直接从外形优化中得到。 出 以上，我们介绍了m s c n a s t 融n 中有关优化算法的问题，在n a s t r a n 中有 两种优化类型：截面优化和拓扑优化。它们分别是用不同的方法，适用于不同的领 域的优化设计计算中。由于拓扑优化和本文讨论的内容无关，下面我们将介绍截面 优化。 3 3m s c n a s t r a n 中的设计( 截面) 优化 什么是设计优化： 设计优化是一种优化设计方法，这里的优化设计指：在达到一定的设计要求 的情况下，使某些因素达到最小( 比如：重量、表面积、体积、应力、费用等) 。 换句话说，就是尽量使设计高效经济。 一般的通用软件对这种优化提供了两种方法：s u b p r o b l e ma p p r o x i m a t i o n 4 懈 法和f i r s t o r d e r 解法。前者是一种高级的零阶方法，可广泛用在大量的工程问题 中；后者基于设计灵敏度分析，适用在高精度分析中。 对上述两种方法，一般都是采用分析专评价专修改设计的循环进行的。即： 先进行初始分析，然后对结果依据一系列的设计标准作评价，再对设计进行修改， 如此循环，直到设计标准满足为止。 设计优化的一般步骤： 1 8 下面我们用一个小算例说明这个过程和步骤，在这里我们对模型进行静力分析，目 的是使重量( 体积) 达到最小。模型一端固定，约束条件为盯，。3 0 ，0 0 0 p s i ， 氏。0 5 i n 模型参数如下表： 材料参数； 几何参数： e = 1 0 1 0 p s i z =1 0 加 y ；0 3 b = 1m t=03加 载荷： m = 4 5 0 i n l b 模型图和某截面节点图如下 ! f l3 足二 图1 1 9 1。 r l ， t 浙江大学硕士学位论文 分析结果见表3 1 表3 1 分析结果 s u b p r o b l e ma p p r o x i m a t i o nm e t h o d 目标要求分析结果比率 i t v o l 】体积 3 6 03 6 21 0 0 4 d e f l 】最大位移 05 0 0 0 0 4 9 90