（计算机应用技术专业论文）人工智能中若干模糊问题的研究.pdf

华中科技大学博士学位论文 的推理运用于模糊决策，强调从整体上去考虑对各个评价指标的满足程度。将评 价指标和侯选方案之间的关系用一组基于v a g u e 集的推理规则来表示，将决策者 的要求用一组v a g u e 集来表示，经过模糊推理等过程最后得到决策结果， ( 3 ) 在知识学习和数据挖掘方面，提出了基于r o u g h 集差异矩阵的数据挖掘 算法，这种方法在比较信息系统中记录的属性值的差异的基础上，获得各种确定 性知识和可能性知识，并给出量信度j 这种算法分为3 个学 - - - j 阶段，有初始学习 l 阶段、增量学习阶段、规则约简阶段；于不完整的信息系统数据挖掘困难的现 状，也提出了新的方法解决这个问题，提出了利用条件属性不完整等价划分关于 决策属性等价划分的上、下不完整近似集计算的算法，能够从数据不完攘的信息 、厂 系统中获得知识，并且同时能预计数据不完整属性的值。j ， 关键词：人工暂能；模 晌题；模糊摧螽；模糊滨7 数 自囊蠢 华中科技大学博士学位论文 = = = ；= = = ；= = # = ；= = ；= = = = ；= = 目= ；= ；= 一 a b s t r a c t f u z z yt h e o r yi sb e i n gi m p o r t a n t l ya p p l i e di nt h ef i e l do f a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e o n eo f t h ei m p o r t a n tp r o j e c t so f a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c ei st or e s e a r c ht h ec a p a b i l i t yh o w t op r o c e s si n e x a c tu n i n t e g r i t yu n c e r t a i ni n f o r m a t i o ne f f i c i e n t l y b e c a u s et h er u l e so f f u z z yq u e s t i o n si nm i n dc a l ln o tb er e c o g n i z e dv e r yc l e a r l y , t h e r ea r en o tu n i q u e m o d e lf o rt h e s eq u e s t i o n si nh u m a nb e i n g sm i n d e v e nt h o u g hn o w t h e r ea r em a n y d i f f e r e n tm e t h o d sf o rf u z z yq u e s t i o n s ，w h i c hh a v eo w np r o p e r t i e s ，b u tt h e r ee x i s t s l i m i ta n df a u l ti ni ts oc a nn o tm e e tw i d e l yr e q u i r e m e n t t h eg o a li st op r o p o s e b e t t e r a r i t h m e t i ct og e tm o r es a t i s f y i n gr e s u ku n d e rm o r ew i d e l yc o n d i t i o n s 。 t h i sp a p e rr e s e a r c h e dd e e p l yt h r e ei m p o r t a n tf i e l d sa b o u tf u z z yq u e s t i o n s ： ( 1 ) f o ra p p r o x i m a t er e a s o n i n g , t h i sp a p e rp r o p o s e s a l l i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n g a p p r o a c ho fm u l t i p l ei m p l i c a t i o n sa p p r o x i m a t er e a s o n i n g a tf i r s t , i n t r o d u c e t h ec r r e a s o n i n gm e t h o d s ，a n dc o n s t r a i n t c o n d i t i o n so ft h e m a p p r o x i m a t er e a s o n i n gi s p r o v e d a n i n t e r p o l a t o r t h i sp a p e ra n a l y s e s m a r s a l aa n db o u c h o n - m e u n i e r i n t e r p o l a t i v er e a s o n i n g a n di t sr e s t r i c tu n d e r m u l t i p l ei m p l i c a t i o n s r u l e sc o n d i t i o n , a n d t h e np r o p o s ean e wl i n e a ri n t e r p o l a t i v er e a s o n i n gm e t h o d ，w h i c ho v e r c o m e s t h ef a u l t o f m bl i n e a ri n t e r p o l a t i v er e a s o n i n ga n dk e e pr e s u l tc o n v e xa n ds h a p i n g ( 2 ) f o rf u z z y d e c i s i o nm a k i n g ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e df u z z yd e c i s i o nm a k i n gm e t h o d b a s e do nv a g u es e t ，a n dp r o p o s e dt h r e ed e c i s i o nm a k i n gm e t h o d ：i t h ec o n c e p to f i d e a la l t e r n a t i v ea n dt h ec o n c e p to fu n c e r t a i n t yf o ra l t e r n a t i v et os a t i s f ym u l t i c r i t e r i a a r ep r o p o s e da n dt h eb e s tc h o i c ec a nb eg o t t e nb yc a l c u l a t i n gt h ed i s t a n c eb e t w e e n a l t e r n a t i v ea n di d e a la l t e r n a t i v e 2 f o rc o n s t r a i n tc o n d i t i o n ，t h r e ea s p e c t st h a tt h e p r o b a b i l i t i e so f a p p e a r a n c e ，d i s a p p e a r a n c eo f s i t u a t i o n sa n d t h ep r o b a b i l i t yt h a tw ed o n o tk n o ww h e t h e ri tw i l la p p e a ra r ep r o c e s s e dt o g e t h e rs ot h a td e c i s i o nm a k i n gi s i i i 华中科技大学博士学位论文 m o r ee x a c ta n de f f e c t i v eb yu s i n gi t 3 t h e r e l a t i o nb e t w e e nm u l t i e r i t e r i aa n d a l t e r n a t i v ei sr e p r e s e n t e dt oag r o u po f r e a s o n i n gr u l e s ，r e q u i r e m e n t s o fd e c i s i o n m a k e ri sr e p r e s e n t e dt oav a g u es e t t h r o u g ha p p r o x i m a t er e a s o n i n ga n ds o m e o t h e r p r o c e d u r e sw e c a ng e tb e s tc h o i c ef r o mt h ea l t e r n a t i v e s ( 3 ) f o rk n o w l e d g el e a r n i n ga n dd a t am i n i n g ，t h i sp a p e rp r o p o s e d ad a t am i n i n g m e t h o db a s e do i ld i s c e r n i b i l i t ym a t r i xw h i c hc a ng e te x a c tk n o w l e d g ea n dp o s s i b l e k n o w l e d g e a n dg i v eac o n f i d e n c ef a c t o rb a s e do nc o m p a r i n gt h e d i f f e r e n c eo f p r o p e r t i e sr e c o r d e d i ni n f o r m a t i o ns y s t e m t h em e t h o di n c l u d e dt h r e el e a r n i n gp h a s e s i n i t i a ll e a r n i n g ，i n c r e m e n tl e a r n i n ga n dr u l es i m p l i f y i n g a n df o r t h e a c t u a l i t yo f t h a t i ti sd i f f i c u l tt om i n ed a t af r o mi n c o m p l e t ei n f o r m a t i o ns y s t e m ，t h i sp a p e ra l s o p r o p o s e d an e wm e t h o dw h i c hc a ng e tk n o w l e d g ef r o mi n f o r m a t i o ns y s t e mo f i n c o m p l e t ed a t aa n dc a nf o r e c a s tp r o p e r t yv a l u eo f i n c o m p l e t ed a t au s i n gu p p e ra n d l o w e ri n c o m p l e t ea p p r o x i m a t es e tc a l c u l a t i o na b o u tc o n d i t i o np r o p e r t yi n c o m p l e t e e q u i v a l e n c ep a r t i t i o n i n g k e yw o r d s ：a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ；a p p r o x i m a t ep r o b l e m s ；f u z z yr e a s o n i n g ；f u z z y d e c i s i o n m a k i n g ；d a t a - m i n i n g ； i v 华中科技大学博士学位论文 1 1 模糊理论的产生和发展 1 绪论 数学是关于物质世界的空间形式和数量的科学。长期以来，人们都认为：任何 一类知识，如果称其为科学，就必须用严格的数学方法来处理。这种观念使人们养 成了尊重精确、严格、定量的东西，轻视模糊、定性的东西的习惯。 近代数学的创始人之一c a n t o r 建立了经典集合理论，其实质就是：一个对象对 于一个集合来说，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一，绝不允许 模棱两可。一个集合到底包含哪些对象，即集合的外延必须是明确的。由此可以看 出，经典集会论处理的是“非此即彼”的对象，每一个数学概念都反映了具有确定 性质的对象的集合；每一个判断都反映了集合之间的某种关系：每步数学推理都 反映了集合之间的某种运算f l - 3 j 。经典数学是确定性的清晰数学。长期以来。经典集 合论以形式逻辑的同一律、矛盾律、排中律为基础，提供了数学研究的普遍工具。 然而，精确的经典数学并非尽善尽美，在现实大量复杂的不确定的事物面前， 有时它也会显得无能为力。于是，概率论应运而生，不仅已被普遍地承认和接受， 而且广泛地运用于几乎所有的科学领域f 1 】，是研究和处理随机性问题时的有效工具。 随着时代的前进和科学的深化，特别是计算机技术的普遍使用，使要处理的事 物变得极高度复杂和不确定，更广泛的领域要求系统具有智能，要能处理不确定性 问题。系统的不兼容原理说明：一个系统的复杂性与分析它能达到的精度之间服从 一个反比关系4 羽。复杂性意味着要考虑的因素众多，因素之间的影响极为复杂，人 们无法对系统的全部因素及它们之间的关系逐一精确考察。通常，人们在处理这类 复杂问题时，只抓住其中的主要部分，而忽略掉次要部分，就会使本身十分明确的 概念变得模糊起来，产生模糊性。另外，一个大系统，如果采用传统的方法，有时 可能需要解数千个微分方程，由于误差的积累，也使模糊性不可忽略。 华中科技大学博士学位论文 1 1 模糊理论的产生和发展 1 绪论 数学是关于物质世界的空间形式和数量的科学。长期以来，人们都认为：任何 一类知识，如果称其为科学，就必须用严格的数学方法来处理。这种观念使人们养 成了尊重精确、严格、定量的东西，轻视模糊、定性的东西的习惯。 近代数学的创始人之一c a n t o r 建立了经典集合理论，其实质就是：一个对象对 于一个集合来说，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一，绝不允许 模棱两可。一个集合到底包含哪些对象，即集合的外延必须是明确的。由此可以看 出，经典集会论处理的是“非此即彼”的对象，每一个数学概念都反映了具有确定 性质的对象的集合；每一个判断都反映了集合之间的某种关系：每步数学推理都 反映了集合之间的某种运算f l - 3 j 。经典数学是确定性的清晰数学。长期以来。经典集 合论以形式逻辑的同一律、矛盾律、排中律为基础，提供了数学研究的普遍工具。 然而，精确的经典数学并非尽善尽美，在现实大量复杂的不确定的事物面前， 有时它也会显得无能为力。于是，概率论应运而生，不仅已被普遍地承认和接受， 而且广泛地运用于几乎所有的科学领域f 1 】，是研究和处理随机性问题时的有效工具。 随着时代的前进和科学的深化，特别是计算机技术的普遍使用，使要处理的事 物变得极高度复杂和不确定，更广泛的领域要求系统具有智能，要能处理不确定性 问题。系统的不兼容原理说明：一个系统的复杂性与分析它能达到的精度之间服从 一个反比关系4 羽。复杂性意味着要考虑的因素众多，因素之间的影响极为复杂，人 们无法对系统的全部因素及它们之间的关系逐一精确考察。通常，人们在处理这类 复杂问题时，只抓住其中的主要部分，而忽略掉次要部分，就会使本身十分明确的 概念变得模糊起来，产生模糊性。另外，一个大系统，如果采用传统的方法，有时 可能需要解数千个微分方程，由于误差的积累，也使模糊性不可忽略。 华中科技大学博士学位论文 模糊概念和模糊现象，在日常人们的自然语言里也大量存在，在某些科学技术 领域中也很常见。人的语言具有多义和不特定的特点 7 9 】。例如：“好”和“坏”，“冷” 和“热”，“快”和“慢”，“清洁”和“污染”，“高兴”和“悲伤”等等。这些对立 概念的本身具有不确定性，没有明确的界限，其模糊性也显而易见。利用c a n t o r 的 经典集合理论无法处理这类事物。 为了突破c a n t o r 的经典集合论的束缚，许多学者对这一问题展开了深入研究。 1 9 6 5 年，模糊理论的创始人，美国加州大学柏克菜分校的l a z a d e h 教授发表了名 为模糊集合的开创性论文【1 0 1 。他在研究人类思维、判断过程的建模中，提出了 用模糊集作为定量化的手段，标志着模糊数学这门学科的诞生。 目前，模糊技术在工程领域得到了非常广泛的运用。特别是在日本，许多日本 公司依靠模糊技术获得了巨大的商业利益，从而在发达和发展中国家掀起了研究高 潮。模糊技术在许多工程领域，特别是在控制领域和模式识别中取代了传统的技术 i t l 。在计算机领域，先后出现了模糊数据库、模糊专家系统、模糊决策系统、模糊 数字硬件系统、模糊计算机等很多新技术( 4 】。与此同时，在学术界也受到不同专业的 研究工作者的重视。1 9 8 4 年国际模糊系统学会( i f s a ) 正式成立，并于1 9 8 5 年在西 班牙召开了第一次国际年会。目前，有关模糊理论和应用的杂志、特刊有数十种， 论文数干篇；另外还有数以百计的应用实例，超过数百件以上的商品【i i - 1 2 。模糊理 论得到了广泛而深入的研究与发展【1 3 - t 5 。 但是，模糊理论仍然是一项正在发展中的理论和技术，还远未达到完善的地步a 其主要存在的问题就是还没有形成完整的理论体系。这还需要不断地研究，还有很 长的路要走。 1 2 模糊集合及其基本运算 一个概念有其内涵和外延。内涵是指区别于其它概念的全体本质属性；而符合 某概念的那些对象的全体则称为该概念的外延。从集合论的观点来说，一个概念的 外延就是一个集合。然而，概念的外延经常具有不确定性。例如，要确定“胖人” 的集合时，某人到底是胖还是不胖，不能作出准确判断。形容词“胖”具有模糊性， 2 华中科技大学博士学位论文 模糊概念和模糊现象，在日常人们的自然语言里也大量存在，在某些科学技术 领域中也很常见。人的语言具有多义和不特定的特点 7 9 】。例如：“好”和“坏”，“冷” 和“热”，“快”和“慢”，“清洁”和“污染”，“高兴”和“悲伤”等等。这些对立 概念的本身具有不确定性，没有明确的界限，其模糊性也显而易见。利用c a n t o r 的 经典集合理论无法处理这类事物。 为了突破c a n t o r 的经典集合论的束缚，许多学者对这一问题展开了深入研究。 1 9 6 5 年，模糊理论的创始人，美国加州大学柏克菜分校的l a z a d e h 教授发表了名 为模糊集合的开创性论文【1 0 1 。他在研究人类思维、判断过程的建模中，提出了 用模糊集作为定量化的手段，标志着模糊数学这门学科的诞生。 目前，模糊技术在工程领域得到了非常广泛的运用。特别是在日本，许多日本 公司依靠模糊技术获得了巨大的商业利益，从而在发达和发展中国家掀起了研究高 潮。模糊技术在许多工程领域，特别是在控制领域和模式识别中取代了传统的技术 i t l 。在计算机领域，先后出现了模糊数据库、模糊专家系统、模糊决策系统、模糊 数字硬件系统、模糊计算机等很多新技术( 4 】。与此同时，在学术界也受到不同专业的 研究工作者的重视。1 9 8 4 年国际模糊系统学会( i f s a ) 正式成立，并于1 9 8 5 年在西 班牙召开了第一次国际年会。目前，有关模糊理论和应用的杂志、特刊有数十种， 论文数干篇；另外还有数以百计的应用实例，超过数百件以上的商品【i i - 1 2 。模糊理 论得到了广泛而深入的研究与发展【1 3 - t 5 。 但是，模糊理论仍然是一项正在发展中的理论和技术，还远未达到完善的地步a 其主要存在的问题就是还没有形成完整的理论体系。这还需要不断地研究，还有很 长的路要走。 1 2 模糊集合及其基本运算 一个概念有其内涵和外延。内涵是指区别于其它概念的全体本质属性；而符合 某概念的那些对象的全体则称为该概念的外延。从集合论的观点来说，一个概念的 外延就是一个集合。然而，概念的外延经常具有不确定性。例如，要确定“胖人” 的集合时，某人到底是胖还是不胖，不能作出准确判断。形容词“胖”具有模糊性， 2 华中科技大学博士学位论文 因为多大体重是胖的定义不明确。具有模糊性外延的概念，称之为模糊概念，要定 量地表现模糊概念的客观规律性，就必须把普通集合的概念加以扩展。 z a d e h 于1 9 6 5 年引入了模糊集合的概念，其基本思想就是：把普通集合中的绝 对隶属关系加以扩充，使元素对“集合”的隶属度只能取0 和1 这两个值推广到可 以取单位区间 o ，l 】中任意一数值，从而实现定量地描述模糊性事物。现在，在确定 “胖人”的集合时可以说：“某人属于胖人的程度是0 9 ”。一般地，将形容词描述的 模糊程度定量化时，必须在指定的定义域内进行。 定义1 2 1 模糊集 如果论域u 中的任意一元素对a 的隶属函数u 。在“上都对应着一个值“。( “) t 且u ( “) 满足： 0s u a ( “) sl ，即“ ( “) e 0 , 1 】 则说隶属函数“。确定了论域u 上的一个模糊子集一，简称模糊集。称似) 为模糊 集a 的隶属度。u a ( ) 越接近l ，表示“隶属于a 的程度越高。“。) 越接近0 ，表示 “隶属于a 的程度越低。 当u 是连续的时候。模糊集a 可以表示成： a 。儿( “) ，“ “u ， 当u 为离散的时候，模糊集a 可以表示成： a = 儿( 嘶) 蚝 “f e u t - i 由模糊集的定义可以看出，一个模糊集a 由其隶属函数“。( “) 来刻划。由于它把 普通集合的特征值从 0 ，l 两个值扩展到了 o ，1 整个区间，从而能够很好的表示 模糊概念。而反过来，当隶属函数“( “) 的值域由 o ，1 变为 o ，”时，隶属函数”。( “) 就演变为普通集合的特征函数，模糊集合a 也就演变为普通集合。因此可以认为， 模糊集合是普通集合的一般化，而普通集合是模糊集合的特例。 华中科技大学博士学位论文 定义1 2 2 正规模糊集 模糊集4 中，如果至少有一个元素“a ，其隶属度“。( “) 为l ，则4 称为正规模 糊集；否则爿称为非正规模糊集。 在实践中，经常使用甜j ( “) = “。( u ) m a x u ( “) 的办法将非正规模糊集正规化。 定义l2 3 凸模糊集 模糊集a 中，当且仅当对所有的x 1x ：r ，以及所有的五 0 ，l 】，有： 4 ( a x l + ( 1 一, d x 2 ) m a x l u ( ) ，( x o ) 图1 1 给出了凸正规模糊集的示意图： 图1 1 凸正规模糊榘 在绝大多数智能控制系统中，都要求模糊集合的隶属函数是凸的。 考虑论域( ，中的模糊集丘b ，c ： a = ( “，“ ( “) ) ，“ ( “) 【0 , 1 】 b = ( “，i , 日( 甜) ) ，“a ( “) e o ，1 1 c = ( “，“c ( “) ) ) ，l f c ( 甜) 0 , 1 】 a 和占之间的运算可用它们的隶属函数( “) 和( u ) z f s q 的运算来表示a 相等爿= b 付i d a ( ) = ( “) ，v u u ( 1 2 1 ) 子集爿b 争甜( “) 甜日( “) ，v ue u ( 1 2 2 ) 并集彳u b 付u 4 t 3 8 ( “) = , 4 ( ”) v b ( “) ，v u u ( 1 2 3 ) 华中科技大学博士学位论文 交集4 n b ! “a n b ( “) = “_ ( “) “日( “) ，v u u 补集爿“j ( “) = l 一“ ( “) ，v u u ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 代数和a + b + 口 ) = 卢( “) + d ( u ) 一声 ) 4 ( “) ，v u u ( 1 2 6 ) 直和 a + b + “_ ( “) + “日( “) 一“( “) “日( “) ，v u u 代数积 a b u a , b ( “) = “_ ( m ) “b ( “) ，v u u 幸手界年口 a o b 争“审口( “) = ( “( “) + “8 ( “) ) 1 ，v u u 有晃积 a o 占h “。口( “) = ( “j ( “) + “日( “) 一1 ) v 0 ，v u u 模糊集合具有如下性质： 交换率a n b = b n a ，彳u b = 口u 4 结合率( a n b ) n c = a n ( b nc ) ( 爿u b ) u c = a u ( b uc ) 分配率a n ( b u c ) = ( 一n b ) u ( 彳nc ) a u ( b nc ) = ( a u 曰) n ( a uc ) 吸收率爿u ( a n b ) = a ，a n ( a u b ) = a 幂等率a n a = 爿，4 u 爿= 4 同一率a n u = a ，a n u = u 爿n = ，a u g = a 二重补律i ：a 摩根律a u b ：一a n b ，而= j u 否 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 _ 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 i ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 2 1 8 ) 但对于经典集合中成立的排中律和矛盾律，对模糊集却不成立，即 a u j u ，一n j 矿 华中科技大学博士学位论文 这里论域u 和空子集的隶属函数分别定义为 , u ( “) = 1 ，“( “) = 0 ，v u u 1 3 模糊关系及其基本运算 ( 1 2 1 9 ) 正如模糊集合由经典集合扩展出一样，模糊关系也是从经典集合论中的关系扩 展而来。 定义1 3 1 模糊关系 集合u 和矿之间的模糊关系r 是指定义在直积u v 上的模糊子集，其隶属函数 如下： “ ( “，v ) ：u v 。- 【0 ，1 】，u ，y e v “。( “，v ) 为“u 和v 矿具有关系r 的程度。当c ，和矿相同时，r 称为【，上的模糊关 系。一般地，直积u ，乩的一个模糊予集矗，称为u ，u 间的一个n 元 模糊关系。如果 。，“：，“) e ux u 2 u i ，则称( 蚝，“：，“) 为具有关系r 的 程度。 定义1 3 2 模糊矩阵 设u = ，“：，) ，v = “，v ：，v 均为有限集，u v 上的模糊关系r 可以由 m n 阶矩阵来表示： r = 0 l ，v 1 ) a r ( “2 ，v 1 ) 0 。，v i ) 声r l ，v 2 ) r ( “2 ，v 2 ) t ，v 2 ) l ，v ) “2 ，v 嚣) ，) 其中，“r ( “。，v ) 0 ，1 】，1 s 州，1 s 以 茵为u 和v 之间的模糊关系是定义在u v 上的模糊子集，因此模糊集之间的 运算能够直接应用到模糊关系的运算上【1 6 】。 华中科技大学博士学位论文 这里论域u 和空子集的隶属函数分别定义为 , u ( “) = 1 ，“( “) = 0 ，v u u 1 3 模糊关系及其基本运算 ( 1 2 1 9 ) 正如模糊集合由经典集合扩展出一样，模糊关系也是从经典集合论中的关系扩 展而来。 定义1 3 1 模糊关系 集合u 和矿之间的模糊关系r 是指定义在直积u v 上的模糊子集，其隶属函数 如下： “ ( “，v ) ：u v 。- 【0 ，1 】，u ，y e v “。( “，v ) 为“u 和v 矿具有关系r 的程度。当c ，和矿相同时，r 称为【，上的模糊关 系。一般地，直积u ，乩的一个模糊予集矗，称为u ，u 间的一个n 元 模糊关系。如果 。，“：，“) e ux u 2 u i ，则称( 蚝，“：，“) 为具有关系r 的 程度。 定义1 3 2 模糊矩阵 设u = ，“：，) ，v = “，v ：，v 均为有限集，u v 上的模糊关系r 可以由 m n 阶矩阵来表示： r = 0 l ，v 1 ) a r ( “2 ，v 1 ) 0 。，v i ) 声r l ，v 2 ) r ( “2 ，v 2 ) t ，v 2 ) l ，v ) “2 ，v 嚣) ，) 其中，“r ( “。，v ) 0 ，1 】，1 s 州，1 s 以 茵为u 和v 之间的模糊关系是定义在u v 上的模糊子集，因此模糊集之间的 运算能够直接应用到模糊关系的运算上【1 6 】。 华中科技大学博士学位论文 例如，设r 和s 是u v 上的两个模糊关系，则有 相等关系r = s “r ( “，v ) = “s ( “，v ) v u u ，v v v ( 1 3 1 ) 包含关系r s 手“ ( “，y ) u 5 ( “，v ) v u 6 u ，v v v ( 1 3 2 ) 并关系 r u s + u r k ) s ( “，v ) = “ ( “，v ) v “s ( “，v ) v u u ，v v v ( 1 3 3 ) 交关系 r n s 争“ n s ( “，v ) = “ ( “，v ) “s ( “，v ) v u u ，v v v ( 1 3 4 ) 补关系 r h 作 ，= 1 一胁 ，v ) v u 瘩u ，v v e 矿 ( 1 3 5 ) 模糊关系上除了能执行模糊集上的各种运算外，还定义了专对模糊关系的运算， 合成运算。 定义1 3 3 设尺和s 分别为u x 矿和矿矿上的模糊关系。尺和s 的合成是指下 面定义的在u x 矽上的模糊关系，记作ro s ，“o ”为合成运算符。 眦( “，w ) = m a x m i n r ( “，v ) ，如( v ，”) = v ， 胁( m ， 心( v ，w ) ) ( 1 3 6 ) 其中，v 和八代表一合适的并型运算和交型运算。特别当u ，v ，w 都是有限集时， 合成运算变成了模糊矩阵的“乘法”。 下面是一些最基本的模糊关系： 恒等关系( i d e n t i t yr e l a t i o n ) ，付聃，v ) = 任= 3 7 ) 零关系( z e r or e l a t i o n ) 0 h 胁 ，力= 0 ，v u ，y ( 1 3 8 ) 普遍关系( u n i v e r s er e l a t i o n ) e 付e ，v ) = 1 ，v u ，v ( 1 3 9 ) 模糊关系就是模糊集，所以模糊集的包括补、交、并等些性质对模糊关系也 是适合。对模糊关系设置一些约束，可以得到各种不同的模糊关系，例如模糊等价 关系、模糊偏序关系。 华中科技大学博士学位论文 1 4 模糊逻辑和模糊命题 逻辑是研究人的思维形式和思维规律的- - i 学科。逻辑学与数学相互渗透，形 成了数理逻辑。经典数理逻辑是一种“非此即彼”的逻辑，不承认有任何中间过渡。 后来有学者提出三值逻辑和多值逻辑，同样也是界限分明的逻辑。模糊逻辑是在多 值逻辑的基础上发展起来的，采用模糊集理论作为主要工具，其基本数学思想是由 无限值逻辑演变而来，把渐进的隶属度引入到模糊集合中来，为描述不精确、不确 定的模糊信息和进行模糊推理提供了有利武器。 所谓模糊命题，就是一个具有模糊性的陈述句，即含有模糊谓词的表达式。一 般用大写字母来表示模糊命题，如： a ：张三是胖人。 模糊命题没有绝对真假可言，只能讨论其真假程度如何。根据张三的具体情况， 可取其真值为 o ，1 中的数( 例如0 8 ) ，记为t ( a ( 张三) ) ，称为a 对张三的真值。 模糊逻辑的分类有许多，常见的有： 广义模糊逻辑【1 7 】：模糊命题及逻辑计算的真值取任意模糊子集； 狭义模糊逻辑【1 8 l ：模糊命题及逻辑计算的真值可取【o ，l 】区间上的任意值； 区间值模糊逻辑悖】：模糊命题及逻辑计算的真值可取 o ，l 】区间上的任意区间； 语言值模糊逻辑2 0 】：模糊命题及逻辑计算的真值取“语畜真值”。 在二值逻辑中，命题的真值在 0 ，1 ) 中取值。而在模糊逻辑中，真值在区间 0 ， 1 上取值，称为模糊真值或语言真值，如t r u e ，f a l s e ，v e r yt r u e ，r a t h e rt r u e ，n o t r a i s e ，n o tv e r yt r u e ，a b s o l u t e l yt r u e 等。模糊真值是最重要的语言变量，可用 隶属函数为u 讥。( x ) 的一个模糊集来描述，见图1 2 。则： u 。o t t 。c ( x ) = “f a l s c ( x ) = 1 一x ( 1 4 1 ) “，。( x ) = ( u 仃u 。( x ) ) 2 = x 2 ( 1 4 2 ) um ，“。( x ) = ( un 。( x ) ) 1 彪= ( x ) 1 ，2 ( 1 4 3 ) u 。h l s 。( x ) = ( u f a l s e ( x ) ) 2 = ( 卜x ) 2 ( 1 4 4 ) “f a ，n ，蹦s 。( x ) = ( 斗f a l s e ( x ) ) 1 佗= ( 1 一x ) 1 彪 ( 1 4 5 ) 华中科技大学博士学位论文 图1 2 各种模糊真值的图不 如同经典逻辑运算一样，模糊逻辑也引进模糊逻辑非、合取、析取和蕴涵等典 型的逻辑运算。 若“。( x ) ，“。( y ) 是 0 ，1 上的两个模糊子集， h ( x ) = 口l + 口2 如+ + 口以 u 8 q n = p k + p ：i k + + ；b 。| 九。 非：石_ 丽= 口。( 1 一 ) + 口2 “1 一五) + + 口0 - , t ) ( 1 4 6 ) 合取： “( 功a 口( j ，) = m i n ( u ( 曲，“ ( ) 7 ) ) = ( 口， 岛) ( o j j ) ( 1 4 7 ) i ， 析取： “j ( 工) v “口( y ) = m a x ( u ( x ) “口( ) ，) ) = ( 口fv 岛) 能vo j j ) ( 1 4 8 ) f 蕴涵：“( 工) “口( y ) = ”j ( 工) v j ( 曲 “口( 肋 = ( 嘶 岛) ，( 1 一 ) v ( q ) ( 1 4 9 ) ， 1 5 模糊推理和模糊决策 推理是从已知的知识推出蕴含着的知识，或归纳和发现新知识的重要方法【2 1 2 3 l 。 华中科技大学博士学位论文 图1 2 各种模糊真值的图不 如同经典逻辑运算一样，模糊逻辑也引进模糊逻辑非、合取、析取和蕴涵等典 型的逻辑运算。 若“。( x ) ，“。( y ) 是 0 ，1 上的两个模糊子集， h ( x ) = 口l + 口2 如+ + 口以 u 8 q n = p k + p ：i k + + ；b 。| 九。 非：石_ 丽= 口。( 1 一 ) + 口2 “1 一五) + + 口0 - , t ) ( 1 4 6 ) 合取： “( 功a 口( j ，) = m i n ( u ( 曲，“ ( ) 7 ) ) = ( 口， 岛) ( o j j ) ( 1 4 7 ) i ， 析取： “j ( 工) v “口( y ) = m a x ( u ( x ) “口( ) ，) ) = ( 口fv 岛) 能vo j j ) ( 1 4 8 ) f 蕴涵：“( 工) “口( y ) = ”j ( 工) v j ( 曲 “口( 肋 = ( 嘶 岛) ，( 1 一 ) v ( q ) ( 1 4 9 ) ， 1 5 模糊推理和模糊决策 推理是从已知的知识推出蕴含着的知识，或归纳和发现新知识的重要方法【2 1 2 3 l 。 华中科技大学博士学位论文 在传统的逻辑中，推理的基本规则是假言推理。按照这一规则，能够由命题p 的真 假和蕴涵式p q 推断出命题q 的真假。例如，若p 看成“某人住院”，q 看成“某 人生病了”，由蕴涵式p q 可知，若p 为真，则q 为真。 人们在日常生活中所进行的推理，使用的多数是假言推理的近似形式而非精确 形式。例如蕴涵式p q 为：“如果某人肥胖则应控制饮食。”由于肥胖和控制饮食都 是模糊概念，不能用简单的真、假来衡量，因此，其推理过程是模糊的，即p q 的 真值在 0 ，1 区间上取值，即t ( p q ) 0 ，1 。令r f ( x ) ， r ( x ) = t ( p q ( x ) )( 1 5 1 ) 称r 为p q 的集合表示或真域。在普通情况下，r = p - - q = - ip v q = np v ( p a q ) ，但是 在模糊的情况下，- ip v q 和- ip v ( p a q ) 不一定相等。所以，可以有两种不同的定义 真值的方法： t i ( p - q ( x ) ) = ( 1 一p ( x ) ) v q ( x )( 1 5 2 ) t 2 ( p q ( x ) ) = ( 卜p ( x ) ) v ( p ( x ) 八q ( x ) ) ( 1 5 3 ) 对模糊推理句p q ，因为真值不限于0 和l ，所以x 不一定绝对真或绝对假。 1 只有真值 专时，称p - - q 模糊真：真值 雪) 删，记为 r 。，则有： r c = ) 9 b ( v ) ( u ，v ) ( 2 1 7 ) u x v 他对合成运算“o ”定义了三种算法；可取“v ，八”：“v ，o ”和“v ，o ” “o ”运算定义为： a ( d b = 0 v ( a + b 1 )( 2 1 8 ) “圆”运算定义为： f a( b = 1 ) 口固b ； b ( 口= 1 ) ( 2 1 ，9 ) 1 0( 4 ，b 1 ) 若合成运算选择“v ， ”推理结果如下( 如果选用另两种合成运算时，只需 将式中对应的运算符变换一下即可) ： 占( v ) = y ，阻( “) ( r 。0 。v ) ) 】 ( 2 1 1 0 ) h “ 其拒取式的结果为： ( y ) = ，乡【( 矗c ( 以y ) 卢雪( ”) ) 】 ( 2 1 1 1 ) 2 i 3m i z u m o t o 的合成推理方法 m i z u m o t o 等人依据多值逻辑中不同的蕴含关系，提出了一组确定u x v 上的模 1 6 华中科技大学博士学位论文 糊关系r ( a b ) 的方法 3 l 】，这些模糊关系分别记为r s ，r g ，r s g ，r 鹞，r 鲈，r s s ，r b ， r 。，r ，r ，r # ，r o 。它们方别定义为 ，龇咖“，弘；代然譬z 高( 2 1 1 2 ， z 蹦州脚小，p = 。，z ：剃高 3 ( “，2 2 a ( “) ：心( 叻2 ( 心( “) ? 饰( v ) ) ( ( 1 一心o ) ) 一心( v ) ) ) ( 2 1 1 4 ) 4 r g g ( u ，v ) = 鳓( _ + 砌( v ) = ( 心( “) _ 鳓( v ) ) ( ( 1 一心( “) ) d 1 一脚( v ) ) ) ( 2 i 1 5 ) g ggg 5 ( “，= 心( “) 斗砌( v ) = ( u ) - - - a b ( v ) ) ( 0 一2 a u ) ) 一卜砌( y ) ) ) ( 2 1 1 6 ) 一 g sg j 6 i g ( u , v ) 2 ( ：砌( v ) = o 啊( ? 砌( v ) ) ( ( 1 一心) 卜地( v ) ) ) ( 2 1 1 7 ) 7 如( “，”) 2 ( “) ? 口( ”) = ( 卜( “) ) v 曾( ) ( 2