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拱坝底缝的有限元分析 姓名：朱顺强 指导老师：刘焕芳 ( 水工结构工程) 教授 摘要 随着水利资源的不断开发，拱坝具有较强的抗震性和较高的超载能力，同时具有工 程量小，投资省，对环境影响小等优点而得到较快的发展。但由于混凝土温度荷载和强 大水压力的作用，坝踵部位容易被拉裂，有时拉断防渗帷幕，造成坝基渗水，影响大坝 的安全。为了减小坝踵拉应力，可在坝踵设置底缝，释放坝踵拉应力。 设置坝踵底缝，使坝踵过大的拉应力进行释放，是避免坝踵自然开裂而影响大坝安 全的一种有效措施。而目前设置坝踵底缝有过失败的教训和成功的例子，所以人们对设 置底缝是否会影响大坝安全仍存有疑虑。因此，拱坝设置底缝后的位移、应力进行分析 研究是很有必要的，研究结果可供工程设计、施工提供参考依据。所以本文以李仙江流 域石门坎拱坝为例，采用接触非线性分析方法对石门坎拱坝5 m 深的底缝进行模拟分析， 分析其接触面稳定状态，用d r u c k e r p r a g e 屈服准则对底缝尖端进行稳定性分析。 其结果表明：石门坎拱坝在设置5 m 深的底缝后，坝踵部位拉应力明显减小，拱冠 梁剖面上游坝踵拉应力区减小，在底缝附近上游两坝肩部位拉应力也有所降低，而底缝 尖端部位也处于稳定状态，这说明石门坎拱坝在设置底缝后不仅降低坝踵拉应力，同时 底缝也处于稳定状态，达到了设置坝踵底缝的目的。 本文的研究为高拱坝坝踵过大拉应力问题的设计和施工提供参考依据。 关键词：坝踵底缝；石门坎拱坝；接触非线性；底缝分析 f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so fb o t t o m j o i n to ft h e a r c hd a m n a m e ：z h us h u n q i a n g ( h y d r a u l i cs t r u c t u r ee n g i n e e r i n g ) a c a d e m i ca d v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u a n - f a n g a b s t r a c t ：w i t ht h ec o n t i n u o u sd e v e l o p m e n to fw a t e rr e s o u r c e s ，a r c hd a mh a ss t r o n ge a r t h q u a k ea n dt h e o v e r l o a d i n go fc a p a c i t y , a tt h es a m et i m e ，i th a sas m a l la m o u n to fp r o j e c ti n v e s t m e n ta n d t h el i t t l e e n v i r o n m e n t a li m p a c t i o n s oa r c hd a mg e t st o r a p i dd e v e l o p m e n t h o w e v e r ，d u et os t r o n g c o n c r e t et e m p e r a t u r el o a da n dt h er o l eo fw a t e rp r e s s u r e ，t h ed a mh e e ls i t ee a s i l yi sp u l l e d c r a c k e d ， s o m e t i m e si m p e r m e a b l ec u r t a i ni sp u l l e do f ft oc a u s ed a mf o u n d a t i o ns e e p a g e a n di m p a c td a m ss a f e t y i no r d e rt or e d u c et h ed a mh e e ls t r e s s ，b o t t o mj o i n tc a nb es e tu pa t d a mh e e ls i t et or e l e a s ed a mh e e ls t r e s s s e t t i n gt h eb o t t o mi o i n t sa td a mh e e ls i t ea n dm a k i n gt o om u c hs t r e s sa td a mh e e ls i t et o b er e l e a s e di s a ne f f e c t i v em e a s u r e st oa v o i dd a mh e e lc r e a k e dn a t u r a l l yt oi m p a c tad a m s e c u r i t y b e c a u s ew eh a v es o m ef a i l e da n dt h el e s s o n so fs u c c e s s f u le x a m p l e sb ys e t t i n g b o t t o mi o i n t sa tad a mh e e ls i t e ，w ew i l ls t i l lh a v es o m ew o r r i e st os e t t i n gb o t t o mj o i n t so fa d a mh e e l t h e r e f o r e ，a f t e rs e t t i n gu pb o t t o mj o i n ta n a l y z i n gad a ms t r e s sa n dd i s p a c e m e n ti sn e c e s s a r y s t u d y r e s u l t sc a np r o v i d er e f e r e n c e sf o ra r c hd a m sd e s i g na n dc o n s t r u c t i o n s ot h ep a p e ri st os h i m e n k a na r c h d a ma sae x a m p l ea n ds i m u l a t ea n da n a l y s i s5 md e e pb o t t o mj o i n to fs h i m e n k a na r c hd a m w i t hc o n t a c t i n gn o n 1 i n e a ra n a l y s i sm e t h o da n da n a l y s i so fi t sc o n t a c ts u r f a c es t a b i l i t y ， s o m e t i m e sw ea n a l y s i st h eb o r o mj o i n t st o ps i t es t a b i l i t yw i t hd r u c k e r - p r a g ey i e l dc r i t e r i a t h er e s u l t ss h o w e d ：a f t e rs h i m e n k a na r c hd a mi ss e ta5 md e e pb o t t o mj o i n t ，t h es t r e s s a t s i t et h ed a mh e e lr e d u c es i g n i f i c a n t l y ，t h es t r e s sz o n er e d u c e sa ta r c hb e a mc r o w ns e c t i o n o fu ps t r e a m ，t h es t r e s sr e d u c e sa tu p p e rt w oa b u t m e n ts i t eo ft h eb o t t o mj o i n t ，a tt h es a m e t i m e ，t h eb o t t o mj o i n tt o ps i t ei si nas t a b l es t a t e ，w h i c hw i l lr e a c ht h ep u r p o s eo fs e t t i n g b o t t o mj o i n t s k e y w o r d ：b o t t o mj o i n t so fad a mh e e l ；s h i m e n k a na r c hd a m ；c o n t a c t i n gn o n l i n e a ra n a l y s i s ； b o t t o mj o i n t sa n a l y s i s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知，除 文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明并表示谢意 碱攀：粜恨、致帆圳年，月厉日 学位论文版权授权书 本人完全了解石河子大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据进行检索有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 研究生签名：求恨致 导师签名： 刻嵫薯 时间：沙镌年，月形日 时问；枷f 年夕月7 日 拱坝底缝的有限元分析 第一章前言 1 1 问题的提出及研究的意义 在人类改造大自然、发展国民经济的事业中，水利水电建设占有突出重要的地位。 在狭窄河谷建设水坝，由于拱坝具有较强的抗震性和较高的超载能力，再加上工程量小、 投资省、对环境影响小等优点，常适用于地质条件好、狭窄的河谷。在覆盖层较浅的情 况下，其投资往往是重力坝的1 2 2 3 左右，特别是随着环保意识的提高，混凝土拱 坝因其优美的体形、对环境破坏小，环境恢复容易，有利于与旅游事业相结合而得到较 大的发展。拱坝正适应我国西南的峡谷地区，符合了我国开发西南水电资源的方针。而 且现在拱坝的发展趋势也不仅仅局限于狭窄的河谷，在宽河谷和地质条件差的地区也可 以建设拱坝。所以拱坝将会得到不断的发展。1 9 8 8 年以后全世界坝高超过1 5 m 的拱坝 1 5 9 2 座，其中我国为7 5 3 座，占4 7 。我国所建拱坝坝高也越来越大，到了8 0 年代， 我国已先后建成1 5 0 m 以上的白山、东江、龙羊峡等高拱坝，9 0 年代建成的二滩拱坝高 达2 4 0 m ，是世界目前建成的第三高拱坝。目前建设中的小湾拱坝高达2 9 2 m ，建成后将 是世界第一高拱坝。设计中的溪洛渡、锦屏一级不仅坝高达3 0 0 m 量级，而且按坝身体 积、泄洪能量和装机规模来衡量，都位于世界前列。随着我国水电资源的不断开发，在 四川、贵州、云南、广西的峡谷地带，将会建设更多的高拱坝。 随着西南水电资源的不断开发，高拱坝的不断建设，由于混凝土温度应力的存在， 大体积混凝土在施工过程中难免要出现裂缝，水利工程出现裂缝后容易产生渗流，这将 对工程造成危害。拱坝主要有三个部位易出现裂缝：1 ) 坝踵裂缝，主要是坝踵拉应方 过大以及边缘部位应力集中使混凝土出现裂缝；2 ) 拱圈上游面接近拱座部位裂缝，主 要是混凝土温降收缩产生的拉应力使混凝土出现裂缝；3 ) 上下游表面裂缝，主要是混 凝土表面温度骤降，表面干裂出现微小裂缝，在压力水的侵蚀下在大坝中形成的整体性 贯穿裂缝或深缝。平行于坝轴线方向的基础贯穿裂缝或深层裂缝，它将会危害大坝的安 全。这些裂缝不仅破坏了结构的整体性，改变了设计安排的应力分布图形，而且也改变 了混凝土建筑物的受力条件，从而可能使局部甚至整体结构发生破坏j 即使一般的表面 裂缝对混凝土的耐久性也是有害的n 3 。在大体积混凝土结构内一旦出现大的裂缝，要通 过修补以恢复结构的整体性实际上是很困难的。我国曾经有几个大型水电工程，由于出 现大量裂缝，被迫停工修补，费时数年才恢复正常施工，损失很大。因此，裂缝的控制 是很重要的。 国际坝工专家认为，超过2 0 0 米的拱坝和百米高的拱坝是不一样，2 0 0 米以上的高拱 坝与较低拱坝的区别在于：低拱坝总体应力水平较低，特别是压应力的安全储备较大， 高拱坝整体应力水平高，压应力的储备较小，一旦拱坝产生局部开裂，应力重分布，低 拱坝的调整余地较大，因此整个坝体是安全的；而对于高拱坝，就很可能造成应力普遍 拱坝底缝的有限元分析 超载，从而导致坝体的普遍破坏，因此主张在二滩这类拱坝上，不允许出现拉应力，尤 其坝踵部位( 实际上这是不可能的) 瞻1 。除拱坝高度不断增加外，拱坝的坝体厚度也不 断变薄，在强大水压力作用下，坝踵存在很大的拉应力，因此坝踵区域混凝土易被拉裂， 甚至拉断坝基防渗帷幕，使坝基出现渗漏，影响大坝的安全。 然而现代拱坝的发展趋势是坝的高度不断增加，随着坝高的增加，对于拱坝在外荷 载作用下开裂问题的研究就越来越显得重要。随着水资源的不断开发，水利工程的不断 建设，拱坝有其独特的优点，越来越受到坝工界的青睐，因为拱坝是高级超静定结构， 是拱和梁共同承担荷载的组合体，只要坝肩地质条件好，就具有很强的超载能力，然而 由于坝体不断变薄，在拱坝坝踵存在很大拉应力，造成坝踵被拉裂，有时拉断坝基防渗 帷幕，使坝基出现渗漏，影响大坝的安全。为了减少坝踵拉应力，专家提出在坝踵设置 底缝，释放坝踵拉应力，那么设置底缝是否会影响其他部位的应力分布情况，不得不引 起人们的关注。是否设置坝踵底缝也是水工工作者所关注的。 2 468 1 01 21 41 6 1 82 0 2 22 4 2 6 2 83 0 图1 一l 科思布赖拱坝上游面裂缝示意图( 高程：l d f i 9 1 1 ：u ps t r e a mc r e a ks k e t c ho fk e s i b u l a ia r c hd a m 大体积混凝土的水工结构，如大坝、船闸、泄水建筑物、电站厂房等具有体积大、 结构形式复杂的特点。混凝土浇筑后，由于在混凝土水化凝结过程中，散发出大量的热， 使混凝土体积膨胀，随着热量的散发，温度下降，混凝土收缩，使混凝土出现各种裂缝， 给水工建筑物造成一定的危害。拱坝是大体积水工建筑物的一种，在强大的水荷载作用 下，在坝踵和靠近拱座的拱圈上游以及上下游表面出现较多的裂缝。1 9 7 8 - - 1 9 8 2 年按现 代理论设计修建的高2 0 0 m 的科恩布赖( k o l n b r e i n ) 拱坝嘲，在首次蓄水时，上游坝踵突然 严重开裂，出现水平裂缝，长1 6 0 米，深入坝内斜向直达坝基，几乎发生重大事故，经 过三次修补，前后历经l o 年时间。俄罗斯的萨扬舒申斯克拱坝建于1 9 8 7 年，坝高2 4 2 0 米，施工期产生大量裂缝，当1 9 9 0 年水位首次达到正常水位时，河床坝段上游坝面靠近 坝基处产生水平裂缝，引起廊道内漏水旧。在瑞士的圣玛利亚坝、奥地利的什列盖斯坝、 法国的洛兹兰坝等坝基的原型观测资料中，记录了由于水库蓄水而在上游面一侧产生裂 缝并张开的情况，这些裂缝发生在混凝土坝与基岩接触面距离数米范围内，裂缝随水库 水位升降而开合，开度为5 - 1 5 m 。位于内蒙特利尔( 加拿大) 东北, s o ok m 处丹尼尔约 2 拱坝底缝的有限元分析 部的下倾裂缝 的下倾裂缝 图l 2 丹尼尔约翰逊坝5 6 号拱下倾裂缝断面图 f i 9 1 _ 2 ：t i l tc r e a ks e c t i o nf i go fn o 5 6a r c h e so f d a n n i e r y u e h a n x u nd a m 翰逊坝( 图l 2 ) ，刚完工后在坝的上下游面出现各种裂缝，在1 3 个拱中，有1 1 个拱 紧靠坝基处出现裂缝( 称下倾裂缝图1 2 ) 1 。我国6 0 年代的丹江口水电站初浇筑的1 0 0 万m 3 ，混凝土也出现大量的裂缝。位于蒙古自治区赤峰市克什克腾旗西拉木伦河支流沙 里漠河上的响水水电站建成后三年在下游面出现大量裂缝( 1 3 ) 。罗马尼亚的德拉根 ( d r a g a n ) 双曲拱坝】，高1 2 0 m ，1 9 7 9 年开始浇筑坝体混凝土，至1 9 8 2 年为止，产生了水平 裂缝4 4 条( 其中上，游面5 条，下游面3 9 条，图l 4 ) ，裂缝深度0 2 1 2 m ，开度o 卜0 3 m m ， 一 图1 3 响水拱坝下游面裂缝示意图 f i 9 3 ：d o w ns t r e a mc r e a ks k e t c ho fx i a n g s h u ia r c hd a m 长度等于坝体宽度，垂直裂缝1 5 条，长度延伸1 - 5 个浇筑层，裂缝开度卜1 5 m m 。以上各 种形式的裂缝，都不同程度的对大坝产生危害，人们必须采取一定的措施来避免或减少 裂缝的发生，这是作为水工者所必须考虑的。 3 拱坝底缝的有限元分析 j 1一i ，1 ，。i 卜ifl lil一l 腻l 归i 量裂1 i d ，一-i i 一，i ；。1 。) 廷# ； ， ，1 图l 4 德拉根( d r a g a n ) 拱坝裂缝 f i g l m 4 ：d r a g a na r c hd a mc r e a ks k e t c h 如何解决坝踵部位强大的拉应力问题，已引起了坝工界的重视。在拱坝结构中，拱 梁分载时梁分得的荷载占总荷载的比重是一项重要的指标。它反映了拱坝的拱向和梁向 相对刚度的关系。设置底缝的目的是为了减小梁的作用，从而释放拉应力区中的拉应力。 但有人认为拱坝是高次超静定结构，这种开裂是拱坝自适应特性的一种表现，通过开裂 从而放松约束，调整内力来适应外部的变化，因此，拱坝局部地区出现裂缝并不必然导 致拱坝失事。但是，如果这些裂缝中浸入了压力水，拱坝的抗裂稳定性就难于保证。既 然裂缝是不可避免的，如果用人工底缝来代替它们，一方面可以人工释放坝踵拉应力， 避免防渗帷幕被拉断造成坝基渗漏，同时可以避免裂缝的扩展或形成新的裂缝，在降低 梁作用的同时，增加了拱向应力，这样可以充分发挥混凝土材料的抗压性能，有利于材 料的充分利用，另一方面，设置人工底缝，即使侵入的压力水使缝面张开，缝面上的扬 压力也不会突然变化，而且正常运行时的缝面库水压对坝踵下的基岩区还会产生一定的 压应力，可以抵消坝踵一部分拉应力。另外，设置人工底缝，还可以人工控制裂缝的形 式，也可以计算到对其它部位的影响，可以在施工中就采取一些措施，避免坝基自己拉 裂后裂缝的不规则性。那么设置底缝是否会影响其它部位的应力分布情况，不得不引起 人们的关注，是否设置坝踵底缝也是水工工作者所关注的，所以分析人工底缝是必要 的。 1 2 裂缝国内外研究现状 1 2 1 国内研究 ( 1 ) 底缝研究：河海大学杜成斌、任青文、王超采用合适的缝单元、本构关系和 高效的非线性求解方法对底缝进行模拟口3 ，并得出这种模拟的合理性。清华大学王光纶、 张楚汉、郭志松、金锋采用边界元法从底缝的深度、干缝湿缝以及底缝的张开度进行分 析删。中国的张楚汉教授和冯令民博士以线弹性断裂力学为基础，用三维边界单元法分 析拱坝坝踵开裂机理，并计算了缝内水力劈裂力p 1 。中国的汝乃华教授提出了拱坝沿河 谷向上滑动失稳的特殊破坏模式。中国的黄文熙教授突破了拱坝只要满足应力及坝肩稳 定准则便能安全运行的传统观点，提出了基于薄壳理论的高拱坝抗屈折稳定分析法。朱 4 拱坝底缝的有限元分析 伯芳院士从k o l n b r e i n 拱坝裂缝的实际情况来分析拱坝底缝n 叭1 1 1 。 ( 2 ) 横缝研究：大连理工大学林高和胡志强从设置横缝对小湾拱坝抗震的影响进 行分析，得出设置横缝是拱坝抗震的一种有效措施n 羽。他采用二阶多次透射公式n 3 1 表示 的人工边界条件来模拟地震波向远处的传播。数值积分法与m t f 相结合波动分析时，要 满足稳定性和精度要求，因此采用了h u g e h e s 【l 铂提出的预报一校正方法和显式积分法。 其结果表明设置横缝对拱坝抗震非常有效。天津大学猴朝胜、赵代深、李梅杉对拱坝横 缝张开度进行分析，他们采用多层动态子结构法，分析横缝开度大小，从而确定设置横 缝的大小n 射。武汉大学徐昭光、王君星、王开治采用线弹性断裂力学模型n 町和弹塑性断 裂模型叫对东江拱坝裂缝的稳定性进行分析，其处理方法是把把带有裂缝的局部区域简 化为平面应变问题u 钔。 中国水电顾问集团陈观福，清华大学张楚汉、徐艳杰对小湾拱坝在强震作用下横缝 变形控制进行研究。考虑以下横缝变形原则n 钔胁m ：1 、拱坝整体性要求和拱梁应力的 均衡性要求；2 、经济性要求；3 、施工的便利要求；4 、混凝土冷却影响，结果表明小 湾拱坝顶拱拱冠部位是横缝变形控制的关键部位啪3 。清华大学寇晓东、周维垣应用无单 元法乜州2 4 儿捌对裂纹进行追踪扩展研究乜们。 1 2 2 国外坝踵开裂机理研究现状 瑞士龙巴迪博士采用柔度系数( c = f 2 v h ) 的方法来判别高拱坝坝踵开裂的敏感 性，这种方法以一定的经验和实例作基础，在欧洲被广泛采用。瑞士m h e r z o g 通过研究 影响拱坝承载能力特性的各种参数如河谷变形、地基约束等来讨论坝踵开裂的敏感性， 该方法较注重谷底拉应力对坝踵应力性态的影响。奥地利h n m n s b a u e r 和美国的 a r i n g r a f f e a 应用二维分离裂缝模型对拱冠梁断面分析了裂缝的扩展程，但此法未考 虑到拱坝的横向拱作用及裂缝横向扩展后的拱坝应力调整问题，因此结果有些粗略，不 够合理。奥地利h s t a u b l e 和r w i d m a n n 提出了拱坝的实际施工程序及地基变形模量 在初次加载和反复加载后的变化会导致坝踵开裂的观点，并提出了坝踵开裂是从坝基区 首先发生然后向上扩展至上游面。意大利m f a n e lli 等人提出了基于柔度系数c 、河 谷形状系数法，并注重剪力效应的大坝开裂安全区与潜在区的判别法来判别拱坝坝踵开 裂的敏感性。 以上是国内外学者对拱坝底缝的研究，他们主要是从坝踵开裂机理和底缝的作用来 进行研究，都没考虑设置底缝后底缝前沿的稳定性。 1 2 3 研究方法 结合模型试验人们提出了多种模拟裂缝面的数值方法，主要有薄层单元法汹】、简化 的薄层单元法1 、缝面单元法啪1 。缝面单元法就是沿缝设置薄层单元，单元呈各向异性， 且只能承受压应力而不能承受拉应力。这种单元的优点不需要引进特殊单元，可通过改 变单元的参数来调节缝的范围。对于拱坝系统的网格剖分及缝的变化较为方便。缺点是 一般缝只有几毫米，扁平单元的形态会影响结构分析的精度，同时也没考虑缝的滑移非 5 拱坝底缝的有限元分析 线性和缝的变形。另一种应用较多的是缝面单元。缝面单元是一种无厚度的特殊单元。 实际应用中有层状单元和节理单元d ，缝面单元的优点是考虑了滑移非线性和塑性变形 的影响，但缺点是缝面单元参数的确定较为困难，缺少相关经验，计算过程会发生相互 侵入现象。由于底缝面是一个人工设置的规则缝面，在计算的过程中，缝面可以处于张 开、闭合滑移、闭合稳定三种状态，如果单纯用薄层单元和节理单元是很难模拟裂缝面， 因为裂缝在闭合时接触面摩擦力是起作用的，会影响应力的传递，因此用节理单元和薄 层单元是无法模拟的，所以本文采用缝面接触单元来模拟底缝即非线性接触分析是比较 合理的。非线性接触分析可以分析接触面接触状态，使裂缝模拟更加真实，计算结果更 加精确。 1 3 本文主要工作 坝踵拉应力过大造成坝踵开裂破坏一直是设计者所关心的。设置底缝是解决这一问 题的一个措施，由于底缝尖端在结果上会带来应力集中，所以在进行底缝分析时采用了 有限元子模型。 本文主要工作：1 ) 通过有限元软件a n s y s 来对拱坝进行建模计算分析，分析设缝 拱坝与不缝拱坝应力场与位移场的变化情况，尤其是设缝后坝踵应力变化情况。2 ) 通 过a n s y s 非线性接触分析原理以及子模型来对底缝进行模拟计算，来分析底缝缝面以及 缝端的稳定性。 6 拱坝底缝的有限元分析 、 第二章接触分析原理 接触非线性就是在对有缝结构进行分析时，在缝面上间断的界面，位于这些界面上 的接触点对在加载过程中可能出现脱开、滑移或保持粘结的现象，这就使得接触面的范 围和界面上的应力和位移出现不断变化现象，而且这种变化往往是不可逆的，因而整个 结构的响应将不在与外荷载保持线性关系。在工程结构中，常常会遇到大量的接触问题， 如齿轮的啮合，机器轴承中接触，桩基与周围土体接触等。在分析和设计中，常常会遇 到两个或多个接触物体位移、接触区域大小和接触面应力分布。 由于接触物体在实际工程应用的重要性，人们开始对其研究。1 8 8 2 年，h h er t z 在 他的弹性接触问题一书中口，就较为系统地描述了弹性接触问题，并提出了经典的 h e r t z 接触理论。后来b o u s s i n e s g 和另外一些学者进一步发展了这一理论。这些理论公 式主要运用于一些形状简单、半无限大体以及接触状态不复杂的接触问题。 2 1 接触非线性问题的基本方程 2 1 1 接触条件 接触条件3 别，如2 一l 所示接触物体i 和i i 组成的接触问题。 图2 - 1 两物体接触不葸图 f i 9 2 1 - t - ot h i n g sc o n t a c ts k e t c h 上图中：q ，、q 接触体i 和； 。 、器接触体i 和i i 位移边界； 砖、接触体i 和n 应力边界； f ( 1 ) 、甩( 1 ) 接触体i 的界面上局部坐标系； 7 拱坝底缝的有限元分析 f ( 舶、忍( 2 ) 接触体i i 的界面上局部坐标系； & 可能的接触边界； 群初始间隙值； 由于接触是非线性，和加载路径有关故应用增量形式表示，令界面摩擦系数为f ， 则界面接触条件有以下三种类型： ( 1 ) 对于保持连续或粘结在一起的点对，有： j d 目一舢，磷k 硼2 1 ( 2 _ 1 1 一d 一，以d 一研2 1 ( 2 ) 对于界面脱开点对有： h + 钟一0 l q + 矿一0 ( 3 ) 对于界面发生滑移的点对有： f 一一，印一哦2 1 i q + z i = ，1 + 钟i 在上式中： 。 吒法向应力；q 切向应力；u 法向位移；q 切向位移； “0 ”作为右上角码的量为本级增量步的初始值； 不含“0 做右上角码的量为本级的增量值； 右上角码为( 1 ) 和( 2 ) 的量分别表示接触体在i 或i i 在界面上的量； 下标为r l 或f 的量表示界面法向或切向的量； n 、7 界面局部坐标系； 2 1 2 接触非线性的表示方程 此外对于上述三种接触状态还应满足以下条件： 卅+ 吼s 0 表示界面上所有点对的全应力不为拉应力 q d 一哦一s0 表示界面上所有点对不满足嵌入条件 s i n ( o m + q ) 】( q d + 哦2 ) o 8 拱坝底缝的有限元分析 表示发生滑移的界面点对，其相对滑移方向必须与界面剪应力方向相逆。 ( k 1 ) ( 2 - 巧) 所表示的接触面的边界条件表达式，从而可以写出具有初始 间隙，摩擦接触面物体小变形问题的微分方程组及各类边界条件。 ，j + a 。0 ( 在q 上)( 2 - 彳) 1 勺。主似，+ u ) ( 在q 上) + 。0 ( 在q 上) ( 2 - - 9 ) 应力及位移边界条件： 冗j 。互 ( 在& 上) ，( k 1 0 ) q _ ( 在品上)( 2 _ 1 1 ) 接触边界条件：式( 2 1 ) ( 2 - _ 6 j 其中：q 一接触物体；& 应力边界；品位移边界。 2 1 3 切向接触力的可逆性和不可逆性 在接触问题的接触面上，接触状态有可逆和不可逆【3 3 1 瞰1 之分。所谓可逆过程是指 当沿不同的加载路径，其最终结果是相同的。所谓不可逆过程是指对于不同的加载路径， 得到的最后结果是不一样的。引起不可逆过程的原因主要是在接触面上出现了滑动摩 擦。 。* i l i i * y a l _ b目 1 ， c 坛 f - t _ 弋王 。j i 一l 七1 图2 _ - 2 切向接触力加载图 f i g 参- 2 ；t a n g e n t i a lc o n t a c tl o a d i n gf i g 如图2 2 ( a ) 所示的是一个由a ，b ，c 三个物体组成的接触问题，它们之间的滑动 摩擦系数为f ，在它们上面分别作用了两个独立的分布外力p 和q ，现分三步加载。 第一步：作用荷载p ，并保持为常值p ， 第二步：加荷载q ，从零增至q o 第三步：消去荷载q o 9 拱坝底缝的有限元分析 在a 和b 物体的接触面上的任意一点s ，其切向力q 的不可逆现象如图2 - 2 ( b ) 所示。在 这里，第一步，假设q 为零，第二步让q 值增大，直到发生滑动的判别值- f p o ，即t 。点的 位置，q 保持这个滑动状态的值，直到外力q 的值达到q o 为止。第三步，随着外力q 的减小， q 也减小直到零，然后改变其符号向相反的方向增加，直至反方向滑动发生时的判别值 f p o ，即k 点的位置，最终回到终点( 即t 。点) 。由于接触面上滑动摩擦的存在，显然，最 终状态t 。点与初始状态t 。点是不同的，这也就是说在这种情况下，切向接触力是不可逆 的。对于接触问题求解的加载过程，可从上述的可逆和不可逆的概念来区分。即凡是在 接触面出现切向摩擦力，考虑滑动过程的加载称为复杂加载过程，反之，就称为简单加 载过程。对于不考虑摩擦的可逆过程，可以一步加载完成，而对于考虑切向摩擦并有滑 动过程的加载，必须通过增量加载的形式才能求解。 2 2 接触非线性问题的解法 五十年代后期，随着高速电子计算机的出现，利用新的数值计算方法来解决结构形 状复杂和接触状态复杂的接触问题成为可能，借助于电子计算机，在处理接触问题上出 现了多种实用而有效的数值计算方法，它们大致可分为三类：有限元法、边界元法和数 学规划法。啪1 边界元法啪3 是继有限元方法之后发展起来的一种新的计算方法。它经常被用来求解 弹性接触问题。数学规划法是一种优化方法，它也被用来求解接触问题。它是由接 触准则或变分不等式建立起数学模型，然后通过二次规划或惩罚方法 1 2 1 求其解答。 上面两种方法，用于求解比较复杂的接触非线性问题，从目前的研究状况来看，还 很不成熟。而有限元法是目前解决复杂工程结构间题的比较有效的方法，显然，在求解 接触问题上，它也是一种有效的方法。 2 2 1 接触问题的有限元法 有限元方程可写为： k u ) 一 号) ( k 1 2 ) 其中：k1 是对应于某中接触状态、反映接触条件的刚度矩阵； 矾 是结点位移向量； 足 是相应的荷载向量； 由( 2 1 2 ) 式求解，得， 似) 一k r 仁) ( 2 _ 1 3 ) 在求出结点位移 “) 后，在求出结点的接触内力 r ) ，然后将 吼) 和 r ) 代入对应 1 0 拱坝底缝的有限兀分析 接触状态的接触条件中去，如果不满足接触条件，则修改其接触状态，再进入下一次迭 代，按修改后的接触状态得到新的刚度方程为： 如) 【以 一 五) ( 2 - 1 4 ) 再有上式求得 u ：】，求出接触内力 恐) ，再代a 接触条件，判断和修改接触状态， 按照这样的循环进行下去，经过几次循环下后，当 以 和 尺 ) 满足接触条件时，这时的 解答就是所要求的接触状态的解答。 在上面的方法中，没有考虑接触面上的摩擦力，这时的接触过程是可逆的。因此只 需进行一次加载就能得到最终稳定解。但根据增量加载理论，由于接触面上的滑动摩擦 力的出现，接触过程是不可逆的，因此对接触面上有滑动摩擦力出现的接触问题，需要 用增量加载的办法来解决。 由于上述方法，在每次接触状态的修改迭代中，都需要重新形成和求解全部刚度方 程，而在整个总体刚度方程中，又只有与接触区域有关部分才需要作变动，因而形成整 个刚度阵就显得不必要和浪费机时。于是，z t st a d t e r 和r 0 w e i s s 系统地提出了间 隙元方法，并在理论上提出了依据。 2 2 2 间隙单元法 间隙单元瞄“是一种虚拟的、带有一定物理性质的特殊的接触单元，其接触状态由 这些间隙元的应力和应变来决定，同时，通过塑性力学中的“应力不变”准则来模拟接 触过程。 。 间隙元具有普通单元的形状，还可用与普通单元相同的方法来进行数值插值，这就 使它很容易和一般有限元模型相连。采用这种方法引入接触区域的是一些单元，因而它 能反映大面积接触的区域性特点。在接触区接触状态变化较为剧烈的地区，还应当相应 地细化间隙元，以便能更准确地反映这种变化。特别是在接触状态不同的过渡区域之间， 这一细化就更为必要。 由于间隙元本身所具有的特点，使得它在处理两物体接触和多物体接触时，具有更 大的优越性。 1 间隙元的几何形状 如图2 3 所示，在接触区域间隙元为很薄的薄膜形状，在未接触区域则为普通 单元形状。从图2 3 可以看出，间隙元起着连接两接触体的作用，因此，间隙元的形状 必须满足物体a 和物体b 无相互侵人这一实际情况。 由于接触是一个局部几何非线性问题，因此，我们通过局部坐标下的间隙元的特征 变量的变化来模拟接触过程。 拱坝底缝的有限元分析 图2 - 3 两物体接触间隙元图示 f i 9 2 _ 3 ：t w ot h i n g sc o n t a c tc l e a r a n c ee l e m e n tf i g 2 间隙元的刚度和接触元的模拟 间隙单元实际上是一种假想的、由气体组成的单元。这种单元具有一定的物理特性， 在未接触时，它不影响物体的自由运动，其刚度趋近于零，而在已接触的区域，间隙元 的刚度就变得足够大，能够阻止两物体的相互侵人。 为了分析这种间隙元的接触过程，先考察某个间隙单元i ，如图2 4 所示： y 图2 _ - 4 第i 个间隙单元图 f i 9 2 - 4 ：n o ic l e a r a n c ee l e m e n tf i g 定义一组局部的正交坐标系n 二- t 其中： n 二一接触面的外法向 嘶触面的切向 间隙元的关或开取决于接触物体的特性及荷载情况。当间拉开时，间隙元的外法向 拉伸正应变s 变大，此时间隙元不能阻止接触体间的自由运动，表明它的法向模e 很 小。当间隙关闭时，法向应变变为负值( 即压缩) ，并且，在完全关闭时，知等于一1 ， 此时意味着两物体a 和b 完全进人接触状态。所以，间隙元模的变化反映了不同的接触状 态。 为了更准确地描述两个接触体的相互滑动的特性，引人剪切模量g 。因此，可把间 隙元看成是具有变化模量e 和g 的非线性单元。同时，间隙元的刚度变化可通过改变间隙 元的弹性模量e 和剪切模量g 来实现。 3 接触状态的判定条件 引人间隙元之后，接触问题就转化为连续性问题，只是其中间隙元的材料特性不一 拱坝底缝的有限元分析 样。对于间隙元而言，有其相应的接触条件的表现形式。 如图2 5 所示，设已知局部坐标下间隙元的总的法向应变为占：，法向应力为吒，p - - 时还存在切向力k 、，其合力是： r t 厮 ( 扛1 5 ) 其方向如图所示： 有： 图k 5 局部坐标系下的剪应力图 f i 9 2 - 5 ：l o c a lc o o r d i n a t es y s t e ms h e a rs t r e s sf i g 若假定此时总的法向间隙为z 6 ，并根据法向间隙和间隙元内力可给出接触条件， ( 1 )自由边界 z 6 o ( x 7 ，y ) s( 扛1 6 ) s 为所考虑间隙元的接触区域。 ( 2 ) 连续边界 乙s 。，且z 一，i 吼i - 1 0 ：) ，7 ) a s ( 2 _ - 2 2 ) ( 2 ) 连续状态 占：- 1 0 ，且f 厂i i0 7 ，y ) e s ( 2 _ - 2 3 ) ( 3 ) 滑动状态 墨- 1 0 ，且f 2r i o ：l ( x ，y ) e s ( 2 彩) 对于：一一1 0 ，表示间隙元在其法向全部被压缩掉，没有厚度变为零。 4 间隙元模量及其修正原理 修改间隙元的模量是为了使下次的计算结果更接近实际情况。设本次接触迭代的间 隙元边界可能为自由、连续、滑动三种情况，则有： ( 1 ) 自由状态 这时间隙元的模量很小，为了控制间隙元的收敛过程，间隙元的模量减小应尽量平 缓以保证有效地对间隙元进行调整，一般两次迭代之间，拉伸间隙元模量的减z j 、1 2 和 3 4 之间变化。 ( 2 ) 连续状态 如果间隙元部分或完全侵人，此时： 一1 0 ，那就说明该处太“软 ，因此，需要 加大该处的模量。利用应力不变准则，假定第k 次接触迭代和第k + 1 次接触迭代的间隙元 1 4 拱坝底缝的有限元分析 的法向应力不发生太大变化，则有下式成立，即： e k 童i e k 一：n 如果此时两物体刚好接触，则理想值就是，所以，有： e t n e k s ： ( 2 _ 2 6 ) 但是，一个间隙元的模量修正还要取决于其它间隙元的情况，所以，这个过程需 要反复迭代，最后使物体刚好相互接触，满足接触状态条件的要求，即其法向应变为 一1 o 。 ( 3 ) 滑动状态 此时除利用式( 2 2 6 ) 修正e 而外，还应修正剪切模g 。由于在滑动状态下f ，l l ， 可以直观认为，z 7 很大的原因是该处的g 太大，因此，修正的办法是减小该处的g ，最终 使 f 7 一厂i l ，即有 ( 2 _ 2 7 ) q + 。一q ，l i f ( 2 _ 2 8 ) ( 5 ) 接触迭代的收敛性判断 接触迭代的收敛性判断【3 8 1 1 3 9 ，在进行了多次间隙元的模量修正迭代后，如果： a ) 拉伸间隙元的模量很小，相邻两次迭代的法向应变变化不大： b ) 接触边界没有相互侵人； c ) 滑动达到稳定状态。 这时就可以认为迭代收敛了，因此，接触迭代的收敛过程的判断有以下三条，即： ( 1 ) f ：- 1 0 ，即两物体无相互侵入，在计算时，允许有5 的误差，a l j - 占：- 1 0 5 ； ( 2 ) 设衄、a g 为前后两次接触迭代的模量相对变化量，即： 丛一皈+ 。一e ) 乓 ( 2 _ - 2 9 ) a g 一( q + 。一g ) q ( 2 _ - 3 0 ) 当l 业l 毛，i a g l o 时，表示该点破坏， f - ( 3 a a + i ) 一k = 0 时，表示该点开始屈服，f 一( 3 口+ i ) 一k 0 时，表示该 点没有屈服。如果大量结点发生屈服的话，那么该部位就不稳定，易发生破坏。 1 7 拱坝底缝的有限元分析 第三章接触分析在a n s y s 中的实现 3 1 接触模型及算法 3 1 1 非线性有限元接触模型 由于接触问题是一种高度的非线性问题，需要较大的计算资源，因此在求解之前必 需建立合理的计算模型。目前接触问题的求解方法主要是采用数值方法。一般利用变分 原理用有限元或边界元进行离散，然后构造合适的迭代格式进行迭代或者数学规划法求 解。迭代法常常采用分步加载，而只有在增量步很小的情况下才能保证算法收敛。数学 规划法中罚函数是一种广泛使用的方法，然而致命的弱点是计算结果对惩罚系数太敏 感，对复杂的接触问题容易导致收敛困难。由于有摩擦接触问题可以表示成一个标准的 凸二次规划模型【4 2 1 ，且某前已经有比较成熟的算法求解凸二次规划问题，所以本文在此 基础上采用一种基于扩展拉格朗日方法的序y u - - 次规划法( s o p ) 求解形如 h - - 次规划问 题的非线性接触问题。 弹塑性接触分析的最小位能原理：在所有满足求解区域内的应力应变关系和位移边 界条件的可能增量位移场中，其真实解使弹塑性系统的总位能取最小值： 1 一一 i i 一( ，“i ，a ) 一l ( 二d f h 一五蚝) a v 一cz f “f 反s a 2c u ( 孓_ 1 ) 二 式中，无为体积力，于；为边界上的面力，；c 为约束矩阵；a 为拉格朗日乘子向量。 将式3 1 用矩阵的方式表示为： ” 1 亿，a 1 。三“r 玉包一“r f a r c u( 3 _ 2 ) 式中，u 为变位；k 为刚度矩阵：f 为结点荷载向量。 由变分原理：硼 ，a ) 一0 可以得到：ku=f ( 瑚) ( 3 4 ) c u = o(3-5) 式和( 卜5 ) 就是由最小位能原理及变分原理得到的非线性接触分析的有限元 求解方程和接触边界条件，通过它们就可以采用迭代法获得问题的解。本文采用效率高 且收敛快的基于s q p 二次规划法建立非线性接触分析问题的数学模型。假设“? ，a 为 式( 3 - - 3 ) 的真实解，则基于式( 扣一2 ) 的弹塑性接触分析的最小位能原理可以表示为： ，a ) 一昙“r 妇_ u t f “白n n 则式( 3 - 一6 ) 通过有限元离散可以得到一个等价的二次规划问题【2 7 】： 1 8 拱坝底缝的有限元分析 三比r 缸f 一“r f a r 仇 2( ) c u 一0 3 1 2 基于扩展拉格朗日算法的非线性接触计算的实施 定义：f ( u ) 一tu 丁k u h r f ( 瑚) 其中，c ( u ) 表示约束向量函数，则二次规划问题式( 3 _ - 7 ) 的拉格朗日函数可以表示为： ，a ) 一，