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大连理工大学专业学位硕士学位论文 摘要 光要发生衍射必须具备一个条件，即：发生衍射的孔径必须接近光的波长。而可见 光的波长很短，大约在l o 和1 0 。m 之间，所以要获得线度与之在同等数量级上的孔径 非常困难。这就给衍射的理论分析与实验室实现带来了很大的难度。随着计算机的出现， 用计算机对研究系统的结构、功能和行为进行动态的比较和模仿，利用建立的模拟模型 对系统进行研究和分析，并将系统过程演示出来的方法成为科学发展的潮流。计算机不 仅可帮助我们求出已经建立的数学模型的最后结果，还可以帮助我们选择合理的模型， 定量地评价模型，改进现有的模型。计算机模拟引入光学研究是现代光学发展的趋势。 本文首先阐述了惠更斯一菲涅耳衍射原理，然后将菲涅耳衍射积分进行了瑞利一索 末菲近似，并进一步实现了傅立叶变换；借助于改进后的基于标量衍射理论的g s 算法， 对衍射效率进行了计算机模拟；以蒙特卡罗方法的统计概率为指导思想，利用c 语言进 行计算机编程，产生出适当多的伪随机数，并对孔径边界的参数进行了设定，从而建立 了一个光的衍射的数学模型，对光的多种多边形衍射现象进行了模拟演示。模拟衍射结 果与已知仅有的几种衍射图案相比较，结果非常接近，比已知实验观察到的图像更接近 理论分析的结果，同时也进一步证实了“孔径的边越多，其衍射图案越接近于同心圆环” 的结论。模拟结果也验证了本文的所采用的方法是切实可行的。 关键词：光的衍射；计算机模拟；多边形衍射 大连理工大学专业学位硕士学位论文 t h e c o m p u t e rs i m u l a t i o nf o rp o l y g o nd i f f r a c t i o no fl i g h t a b s t r a c t i tm u s th a v eac o n d i t i o nt oa p p e a rl i g h td i f f r a c t i o n , t h a ti s ：t h ed i f f r a c t i o na p e r t u r eh a s t om e e tt h ew a v el e n g t ho fl i 龇b u tt h ev i s i b l el i g h tw a v el e n g t hi sv e r ys h o r t , i ti s a p p r o x i m a t e l yb 时w 钟乱1 0 6 ma n dl o m t h e r e f o r ei ti sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i nt h es a m el e v e i m a g n i t u d ea p e r t u r e , a n di th a sb r o u g h tg r e a td i f f i c u l t yf o rt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h e l a b o r a t o r yr e a l i z a t i o no fl i g h td i f f r a c t o n a o n g 埘t l lt h ec o m p u t e ra p p e a r a n c e ，t h em e t h o d b d ) m e st h es c i e n c ed e v e l o p m e n tt i d et oc a r r yo nd y n a m i cc o m p a r i s o na n di m i t a t i o nt ot h e s t n l c t u r e ，t h ef u n c t i o na n dt h eb e h a v i o ro f t h es y s t e mw i t hc o m p t l t e r , t or e s e a r c ha n da n a l y s e t h es y s t e mu s i n gt h ea n a l o gm o d e l i n go ft h es y s t e ma n dt od e m o n s t r a t et h es y s t e m p r o c e s s t h ec o m p u t e rn o to n l yc a nh e l pu st om a k eo u tt h ef i n a lr e s u l to ft h em a t h e m a t i c a l m o d e lw h i c hw ea l r e a d ye s t a b l i s h e d , b u ta l s oh e l pu st oc h o o s et h er e a s o n a b l em o d e l ，t o a p p r a i s et h em o d e lq u a n t i t a t i v e l y , t oi m p r o v et h ee x i s t i n gm o d e l t 撤sa r t i c l ef i r s te l a b o r a t e sh u y g e n s - f r e s n e ld i f f r a c t i o np r i n c i p l e t h e nc a r r i e so na s u m m e r f i e l da p p r o x i m a t et of r e s n e ld i f f r a c t i o ni n t e g r a l ，a n df u r t h e rr e a l i z e sf o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n , t h u st h ec o m p l e xm u l t i d i m e n s i o n a li n t e g r a l sw i l lc h a n g ei n t ot h e a n i d i m e u s i o n a li n t e g r a l ；t h e nt a k et h em o n t ec a r l om e t h o ds t a t i s t i ca l p r o b a b i l i t ya st h e g u i d i n gi d e o l o g y , c a r r i e so nt h ec o m p u t e rp r o g r a m m i n gu s i n gt h ecl a n g u a g e , p r o d u c e st h e s u i t a b l ea m o u n t so fp s e u d o - r a n d o n m u m b e r s ，a n ds e t st h ea p e r t u r eb o u n d a r yp a r a m e t e r , t h u s e s t a b l i s h e sal i g h td i f f r a c t i o nm a t h e m a t i c a lm o d e l ，c a r r i e so nt h es i m u l a t i o nd e m o n s t r a t i o nt o m a n yk i n d so fp o l y g o nd i f f r a c t i o np h e n o m e n o no fl i g h t n es i m u l a t i o nd i f f r a c t i o nr e s u l t c o m p a r e sw i t hs e v e r a lk i n d so fd i f f r a c t i o nd e s i g n s ，t h er e s u l te x t r e m e l ya p p r o a c h e s ，o b s e r v e s t h ep i c t u r ec o m p a r e dt ot h ek n o w ne x p e r i m e n tt oa p p r o a c ht h e t h e o r e t i c a la n a l y s i st h er e s i l l l s i m u l t a n e o u s l ya l s of u r t h e rc o n f i r m e dt h ec o n c l u s i o n , t h a ti s ：”t h em o r t h ea p e r t u r es i d e t h e m o r ea p p r o a c h i n gt ot h ec o n c e n t r i cr i n gi t sd i f f r a c t i o nd e s i g ni s ”t h ea n a l o gr e s u l ta l s o c o n f i r m e dt h a tt h em e t h o do f w o r ki nt h i sa r t i c l ei sf e a s i b l e k e yw o r d s ：l i g h td i f f r a c t i o n ；c o m p u t e rs i m u l a t i o n ：p o l y g o nd i f f r a c t i o n - i i i - 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名： 主丝玺 盖遗年月丘 大连理工大学专业学位硕士学位论文 1 绪论 1 1 课题的目的与意义 光的衍射现象是光学研究中的一个重要组成部分。光的衍射现象的发现和研究带动 了整个光学的发展，使得古老的光学由经典光学向现代光学挺进。自上世纪六十年代， 激光的发现、全息照相术的发明、x 射线在晶体中的衍射带来的材料学的发展，特别是 将数学里的傅立叶变换和通讯中的线性系统理论引入光学以来，结合了计算机应用技术 的光学研究更加成为了现代科技的一个前沿阵地0 3 。但是，由于光是一系列带着空间性 和时间性的电磁波。它的衍射现象非常复杂，特别是在实验现象的实现方面。光要发生 衍射必须具备一个条件，即：发生衍射的孔径必须接近光的波长。而可见光的波长很短， 大约在1 0 1 m 和1 0 7 之间，所以要获得线度与之在同等数量级上的孔径非常困难。这就 给衍射的理论分析与实验室实现带来了很大的难度。所以不管是理论计算还是实验研 究，都只是停留在对几个简单图形的层面上来进行的。但对于光波通过规则或不规则的 多边形孔径或障碍物后，其在任点的光强分布及衍射图样则没有迸一步的研究。实验 室里，我们需要更多的衍射花样供学生去探究；在工程上，衍射现象正广泛用于工件探 伤；微观世界里，衍射图样的不同，会使我们对晶体的结构有更新的认识。衍射现象的 广泛应用使我们有理由相信，对衍射现象的进一步研究非常必要。 波的传播中通常表现出衍射现象，即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。声波、 水波、无线电波等都能发生衍射现象。而光的传播通常看来是沿着直线进行的。粗看起 来，衍射和直线传播似乎是彼此矛盾的现象。实际上，光波同机械波一样，也能够产生 衍射现象。根据机械波的知识可知，衍射现象是否明显，主要决定于障碍物线度和波长 大小之间的关系。只有障碍物的线度和波长可比拟时，衍射现象才明显地表现出来。声 波的波长可达到几十米，无线电波的波长可达几百米，它们遇到的障碍物的线度通常要 小于波长，因而观察到的衍射现象较为明显。光波的波长很小，与我们周围的物体相比， 物体的尺寸远大于光的波长，因此人们的直观感觉是光沿直线传播。在几何光学中，把 光看成是沿直线传播的“光线”，是在障碍物尺度远大于光波波长时的近似。 光在传播过程中，除反射、折射外，偏离直线的现象称为光的衍射。从广义上说， 偏离几何光学传播规律的现象都称为衍射。它是光的波动性的主要标志之一。衍射理论 最初是1 6 7 8 年惠更斯提出的。他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个 次级波源发出的八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。1 8 1 8 年菲涅耳引入 干涉的概念补充了惠更斯原次级球面波的原理，考虑到子波源是相干的，空间光场即是 光的多边形衍射的计算机模拟 子波干涉的结果。而后1 8 8 2 年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程 的格林函数，导出了严格的衍射公式。在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的纂 元函数。由于任意光波场可以展为平面波的叠加，因此，用平面波作为基元函数也可以 用来描述衍射现象。基尔霍夫衍射理论在于用空甸频谱的观点分析光信息和解释衍射现 象。 1 2 国内外发展现状 1 2 1 理论研究的发展与现状 关于光发生衍射的具体机理及规律，惠更斯提出了次波说”。惠更斯认为：任何时 刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有 这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。由于惠更斯次波说不涉及波的时 空周期特性啵长、振幅和位相，因而不能说明在障碍物边缘波的传播方向偏离直线 的现象。菲涅耳对惠更斯的原理进行了改进，补充描述了次波的基本特征振幅和位 相的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，他以严密的数学推理导出了菲涅 耳衍射积分，发展成为惠更斯菲涅耳原理0 1 。但是由于此积分式相当复杂，历史上 对于此积分的一步研究，只是选取了几种几何形状较简单的开孔和障碍物并且是在相对 于孔径法线对称的前提下来进行推导和演示，如：单缝、咽孔、圆屏等，结果能圆满地 解释光的衍射现象。而对于多边形的开孔及障碍物，它们的光衍射条纹及光强分布规律 如何，则一是受限于计算的太过繁复，二是受限于孔径的线度要求接近光波波长，现实 的实验条件达不到，所以在理论和实验上都无法进一步深入探究，后人亦少有述及。 麦克斯韦在1 8 6 5 年的理论研究中指出，电场和磁场的改变不会局限在空间的某一 部分，而是以数值等于电荷的电磁单位与静电单位的比值的速度传播的，即电磁波以光 速传播，这说明光是一种电磁现象“1 。这个理论在1 8 8 8 年被赫兹的实验所证实。至此， 就确立了光的电磁理论基础。在光的电磁理论发展起来以后，基尔霍夫( ( k i r c h h o f ) 从 波动的微分方程出发，利用场论中的格林( g r e e n ) 函数作了理论推导，得到了更精确的 数学公式，即基尔霍夫衍射公式： 一一 一、 u ( 只1 ：上州g o u u 型k ( 1 1 ) 4 ，f 掣l 锄 锄 基尔霍夫衍射公式可以给出与实际符合很好的结果，因而在实际中得到了广泛的应 用。 上世纪六十年代激光出现以后，将数学中的傅立叶变换和通讯中的线性系统理论引 入光学，是现代光学的一个重要特点。傅立叶光学讨论的物理内容，尽管仍然是光的传 大连理工大学专业学位硕士学位论文 播、干涉、衍射和成像所遵循的规律，但傅立叶分析方法的引入，使我们对许多光学现 象的内在联系从理论上及数学方法上获得更加系统的理解。尤其重要的是，由此引入的 空间频率和频谱的概念，己成为目前迅速发展的光学信息处理、像质评价、成像理论的 基础。 1 2 2 实验演示的发展现状及其局限性 光学研究的发展完全符合如下的认知规律：实验假说一理论一实验。一方面，正 确的理论对实验具有指导意义；另一方面，理论通过实验又获得进一步的发展。光的衍 射实验研究大体上经历了两个发展时期。 第一时期为波动时期。主要以惠更斯一菲涅耳原理为基础，以点光源和平行光束为 实验对象，通过调整衍射孔径的尺寸、物面与像面到衍射面的距离达到衍射现象的实现。 由于衍射面孔径线度的难于获得，使得此时期的实验只停留在对几种简单的规则形状的 衍射面的演示。如：狭缝衍射、圆孔衍射、圆屏衍射等。对于光在通过不规则形状的衍 射孔径后的实验现象，则由于衍射面孔径线度的难于获得而未能实现。 第二时期为计算机模拟时期。主要体现为光学理论、数学算法与计算机技术的结合。 特别是傅立叶分析方法和蒙特卡洛方法的引入，使我们对许多光学现象的内在联系从理 论上及数学方法上获得更加系统的理解。也使得将复杂的衍射积分变换为较为简单的数 学表述式进而能编制成计算机能理解的语言从而实现计算机模拟成为可能。随着计算机 的出现，用计算机对研究系统的结构、功能和行为进行动态的比较和模仿，利用建立的 模拟模型对系统进行研究和分析，并将系统过程演示出来的方法成为科学发展的潮流。 计算机不仅可帮助我们求出已经建立的数学模型的最后结果，还可以帮助我们选择合理 的模型，定量地评价模型，改进现有的模型。计算机模拟引入光学研究是现代光学发展 的趋势。 计算机模拟亦称为计算机仿真，从2 0 世纪4 0 年代末开始，系统仿真开始兴起并逐 步发展起来，随着计算机技术的发展，利用计算机对系统进行仿真越来越受到人们的重 视，对系统仿真的理论方法和应用技术的研究也逐步深入，应用的领域越来越广。计算 机仿真技术是一门利用计算机软件模拟实际环境进行科学实验的技术。它具有经济、可 靠、实用、安全、灵活、可多次重复使用的优点，已经成为对许多复杂系统( 工程的、 非工程的) 进行分析、设计、试验、评估的必不可少的手段。它是以数学理论为基础， 以计算机和各种物理设施为设备工具，利用系统模型对实际的或设想的系统进行试验仿 真研究的一门综合技术。应用早期仅局限在国防科技和军工部门，而如今深入到科学研 究、工程设计、辅助决策、系统优化等各个方面，使人们的许多传统观念和方法产生了 光的多边形衍射的计算机模拟 重大变革。计算机仿真技术被称为继科学理论和实验研究后的第三种认识和改进世界的 工具旧。 7 国外在计算机模拟( 仿真) 技术方面起步早，领先于国内，我国的大部分模拟理论 大都来源于国外。现在，大学教学课程中引入计算机模拟技术正目益受到重视。国内常 见的几种利用计算机模拟衍射问题的方法有： ( 1 ) c a i 课件 丛( q 婴匹丛i 亟鲤i 堂! 竖i i 业，让簋圭! 摘助教堂) 是在盐簋扭辅助下进行的各 种教学活动，是以对话方式与学生讨论教学内容、安排教学进程、进行教学训练的方法 与技术。c a i 系统工程核心是课件。由课件设计者根据教学要求用c a i 写作工具或计算 机语言编制而成。目前c a i 系统通常采用的教学模式之一为模拟：用计算机模仿真实现 象( 自然的或人为的现象) ，并加以控制，如模拟化学或物理实验和飞机、车船驾驶训练 等。p o w e r p o i n t 以其兼容性强、操作步骤简单、可添加许多自定义动画的显著优点，成 为大众喜欢的多媒体集成工具软件。它是一个以页式或卡片式为基础的工具软件。 目前，可看到许多用该方法做成的有关光的衍射现象的课件。如图1 1 所示。 图1 1 蓝、白、红光的衍射图样 f i g 1 1t h e d i f f r a c d o no f b l u ew h i ma n dr o dl i g h t 一4 一 大连理工大学专业学位硕士学位论文 图样分析： ( 1 ) 波长一定时，单缝窄的中央条纹宽，各条纹间距大 ( 2 ) 单缝不变时，光波波长的( 红光) 中央亮纹越宽，条纹间隔越大 ( 3 ) 白炽灯的单缝衍射条纹为中央亮，两侧为彩色条纹，且外侧呈红色，靠近光源 的内侧为紫色 其优点是：对于光的衍射现象可简单明了地进行图示，这对提高教学的可示性有很 大的帮助。但是，该方法只是单纯的把理论与实验上已有的东西根据教学要求用c a i 写 作工具或计算机语言编制成图像加以生动的演示，并不能真正的揭示实验现象发生的过 程，更不能深入研究现象背后的规律及本质。该方法本质上还只是对理论知识的平面演 示。 ( 2 ) m t l a b 编程模拟 美国m a t h w o r k s 公司推出t t a t l a b ，是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、仿 真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件嘲。m a t l a b 是在c 语言等的基础上为 了简化计算而成的编程语言，适合于矩阵计算，用矢量法作的图较为充实，显示图象接 近真实。目前只有少数研究者用该软件制作了光的圆孔衍射图样，图形很接近理论分析 值。这说明该方法是一个行之有效的研究方向。如图1 2 所示。 图1 2 光的圆孔衍射图样 f i g 1 2 t h ed i f f r a c t i o no f h o l e 1 3 本文的主要工作 本文在分析前人已有工作的基础上，将惠更斯菲涅耳衍射原理与现代的光的电 磁理论相结合，对惠更斯一菲涅耳衍射积分进行了瑞利一索末菲近似，实现了傅立叶 光的多边形衍射的计算机模拟 变换，进行了空间滤波；借助于改进后的基于标量衍射理论的g s 算法，对物面和像面 到衍射面的线度、光的波长与衍射效率的高低关系进行了设定，对衍射强度进行了计算 机模拟；以蒙特卡罗方法的统计概率为指导思想，利用c 语言进行计算机编程，产生出 适当多的伪随机数，并对孔径边界的参数进行设定，从而建立了一个光的衍射的数学模 型，实现了对光的多种规则与不规则多边形衍射现象的模拟演示。 大连理工大学专业学位硕士学位论文 2 光的衍射理论 光在传播过程中，除反射、折射外，偏离直线传播的现象称为光的衍射，它是光的 波动性的主要标志之一。通常将光的衍射分为三种类型：瑞利一索末菲( s o 唧e r f e l d ) 衍 射、菲涅耳( f r e s n a l ) 衍射和夫琅和费( f r a u n h o f e r ) 衍射。三个衍射区的划分如图 2 1 所示。 麓弱一鬃謇孳射簸 r o | 。 b ； ，； 斗i 州 )； r t静挺豁蕺时区 囊箍鞠簧衬麟 ： 图2 1 衍射区的划分示意图 f i g 2 1t h ed i v i s i o ns c h e m a t i cd r a w i n go f d i f f r a c t i o nr e g i o n 光通过衍射后的区域均可称为瑞利一索末菲衍射区；达到菲涅耳近似以后的区域称 为菲涅耳衍射区；达到夫琅和费近似条件以后的区域称为夫琅和费衍射区。在夫琅和费 衍射区衍射条纹的相对强度分布不再改变。 2 1 惠更斯的次波假设 在研究波的传播时，总可以找到同位相各点的几何位置，这些点的轨迹是一个等相 面，叫做波面，我们通常要把要考查的波面称为波前。惠更斯曾提出次波的假设来阐述 波的传播现象，从而建立了惠更斯原理。惠更斯原理可表述如下：任何时刻波面上的每 一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面 的包络面形成整个波在该时刻的新波面。如图2 2 所示 s 图2 2 次波波面图 f i g , 2 2 s c h e m a t i cd r a w i n go f i n f e r i o rw a v e 光的多边形衍射的计算机模拟 根据这一原理，可以从某一时刻已知的波面位置求出另一时刻波面的位置，图2 2 为该原理的示意图。图中，5 s 是某一时刻( t = 0 ) 的波面，箭头表示光的传播方向。若光 速为i i , 为了求得另一时刻r 的波面的位置，可以把原波面上的每一点作为次波源，各 点均发出次波，经时间r 后，次波传播的距离为，= 矽r ，于是各次波的包络面s 7s 7 就是在时刻r 的波面。光的直线传播、反射、折射等都能以此来进行较好的解释。此外， 惠更斯原理还可解释晶体的双折射现象。但是，原始的惠更斯原理是十分粗糙的，用它 不能说明衍射的存在，更不能解释波的干涉和衍射现象。由于惠更斯原理的次波假设不 涉及波的时空周期特性波长、振幅和位相，因而不能说明在障碍物边缘波的传播方 向偏离直线的现象。事实上，光的衍射现象要细微得多。例如还有明暗相间的条纹出现， 表明各点的振幅大小不等。因此必须能够定量计算光所到达的空间范围内任何一点的振 幅，才能更精确地解释衍射现象。 2 2 菲涅耳对惠更斯原理的改进 菲涅耳根据惠更斯的“次波”假设，补充了描述次波的基本特征位相和振幅的 定量表示式，并增加了“次波相干迭加”的原理，从而发展成为惠更斯一菲涅耳原理。 如图2 3 所示 图2 3 惠更斯一菲涅耳原理 f i g 2 3f l u y g e n s f r e s n e | p r i n c i p l e ， 波面罗上每个面积元凼都可以看成新的波源，它们均发出次波。波面前方空间某 一点p 的振动可以由s 面上所有面积元所发出的次波在该点迭加后的合振幅来表示。面 积元凼所发出的各次波的振幅和位相符合下列四个假设： ( 1 ) 在波动理论中，波面是一个等位相面。因而可以认为出面上各点所发出的所有 次波都有相同的初位相( 可令庐0 _ o ) 。 ( 2 ) 次波在p 点处所引起的振动的振幅与，成反比。这相当于表明次波是球面波。 一8 一 大连理工大学专业学位硕士学位论文 ( 3 ) 从面元d s 所发次波在p 处的振幅正比于d s 的面积，且与倾角口有关，其中0 为d s 的法线与d s 到p 点的连线，之间的夹角，即从d s 发出的次波到达p 点时的振 幅随0 的增大而减小( 倾斜因数) 。 ( 4 ) 次波在尸点处的位相，由光程= 胛决定 = 2 哆) 根据以上的假设，可知面积元d s 发出的次波在p 点的合振动可表示为 以掣c o 妇一。 ( 2 ，) 或 a a = c s r ( s ) c 0 浙廿泅 ( 2 2 ) 其中“为随口角增大而减小的函数，c 为l t 例系数。 如果波面上各点的振幅有一定的分布，则面元d s 发出次波到达尸点的振幅与该面 元上的振幅成正比，若分布函数为扇( 纺，则波面在尸点所产生的振动为 d 4 = c 掣c o 妇一泅眩。) 如果将波面s 上所有面积元在p 点的作用加起来，即可求得波面s 在p 点所产生的 合振动 彳= 扣j 或写成复数形式 彳= p 删。融一泅 ， ( 2 4 ) 趟丛翊。，t 您 ， ( 2 5 ) ( 2 4 ) 称为菲涅耳衍射积分，一般说来计算此积分式是相当复杂的，但在波面对于通 过p 点的波面法线具有旋转对称性的情况下，上项积分就比较简单，并可用代数加法或 矢量加法来代替积分。 借助于惠更斯一菲涅耳原理可以解释和描述光束通过各种形状的障碍物时所产生的 衍射现象。 2 3 菲涅耳衍射 因为菲涅耳衍射积分相当复杂，所以人们在研究衍射规律时，通常为了研究方便， 采用两种不同的方法。将衍射现象分为两类：菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。菲涅耳衍射 光的多边形衍射的计算机模拟 是障碍物离光源和考察点的距离都是有限的，或其中之一的距离是有限的，往往以点光 源为研究对象，以波面对于通过尸点的波面法线具有旋转对称性为研究前提。夫琅和费 衍射是光源和考察点到障碍物的距离可以认为是无限远，即实际上使用的是平行光束， 这类衍射由于使用的是平行光束，故可以用简化以后的积分法来计算衍射花样的光强分 布。 2 3 1 菲涅耳半波带 菲涅耳采用半波带法研究光的衍射。如图2 4 所示。图中，q 为一点光源向空间发 出球面波。取任一瞬时的波面s 研究该波面在对称轴上任一点p 上的作用。连接q p 交5 于昂，我们称昂点为波面s 的极点。设昂点到尸点的距离为蜀，由图可知最历届 等各点到p 点的光程依次变大。我们划取五= 蜀尸= + 尝在s 面上傲圆，并依次取 二 吃= + 2 鲁，吩= + 3 等分别在s 面上做一系列同心圆。它们将s 面分成许多环形 二上 带。因为相邻各带的边缘点到p 点的光程差均为 2 ，故称此环形带为菲涅耳半波带。 若分别以a i ，疡，岛a - 表示各半波带所发出的次波在尸点所产生的振幅，由于相邻两个半 波带所发次波到达尸点时位相恰恰相反，所以个带所发次波到达p 点时叠加的结果， 其合振幅爿( 西为 a ( p ) = 口l a 2 + 口3 一口4 + 口5 + + ( 一1 ) + 1 a k ( 2 6 ) 图2 4 菲涅耳半波带法 f i g 2 4t h em a t h o do f f r e s n e lh a l f w a v e 对a i ，岛、函a ，各振幅的大小进行比较，按惠更斯一菲涅耳原理，得第k 个带所发 次波到达尸点时的振幅为 大连理工大学专业学位硕士学位论文 q 巾。) 生 气 ( 2 7 ) 式中为第k 个半波带的面积，是它到p 点的距离，( 口0 为其倾斜因子。为了计算分式， 考察球冠面积为：如图2 5 所示 图2 5 球冠面积图 f i g 2 5t h ed r a w i n go f b a l la r e a s = 2 ，：r r r ( 1 一c o s 妒) = 2 靠r 2 ( 1 - c o s , ) ( 2 8 ) 其中c o s 西：墨! 噬= 互( 2 9 ) 2 r ( g + ，0 ) 将上列两式分别微分，得 西= 2 a r 2 血嘶 ( 2 1 0 ) 和s i n # d # 一啦 ( 2 1 1 ) r ( 矗+ ) 将2 1 1 式代入2 1 0 式，得 查：呈塑血 (212)e a t t , - - 因为五a ，可将2 1 2 式中的微分出k 视作相邻半波带问，的差值 2 ，出视作半波 带的面积，于是得： 丝：z r ；t ( 2 1 3 ) r kk + r o 由2 。1 3 式可知，& 与k 无关即它对每个半波带都是相同的。这样影响a 大小 光的多边形衍射的计算机模拟 的因素中只剩下倾斜因子，( 口k ) 。从一个半波带到邻近一个半波带，口。的数值变化甚 微，因而，( 口。) 和反随七的增加而缓慢地减小。所以，各个半波带在p 点处产生振动的 振幅a 随k 的增大而缓慢减小，其位相逐个相反。各带在p 点引起振幅的大小近似看 成递减的等差数列，故可认为 q = 虹2 + 粤 ( 2 1 4 ) 因此( 2 6 ) 式可以变为 们= 号+ 睦一呸+ 号) + 睦一q + 考) + - + 譬一唧+ 警h + ( + 鲁) 。， 括号中的各项之和为零。当波带为奇数项时， 么：鱼+ 垒 、7 当波带为偶数时， 彳( 户) = 鲁一每 将上两式统一写成： z = 丑2 + “亿1 6 ) 由此可见，应用惠更斯菲涅耳原理来计算从点光源发出的光在传播到任一观察点p 时的振幅，只要把球形波面相对于p 点分成若干个半波带。并将第一带和最末一个带所 发的次波在p 点处产生的振幅相加或相减再除2 即可。 2 3 2 矢量图解法 如果光波波面传播过程中受到光阑的限制，暴露的波面所包含的半波带数不是整 数，或不足一个，就需要对每一个半波带再进一步细分。我们将每一个半波带分割成四 个更窄的小环带，相邻小环带在尸点的位相差为互。振动的合成可用图( 2 6 ) 中的矢量 图来表示。通过0 点的水平线表示以波前顶点岛为中心的小环带对p 的贡献，位相为零。 矢量4 、4 分别代表各小环带对尸点的贡献t 若暂时不考虑倾斜因子的影响t 将它 们首尾相接，方向逐个转过互角度，当连接到第廖个小环带时，其位相刚好与中心顶点 大连理工大学专业学位硕士学位论文 口的位相相差j 。因此这1 1 1 个矢量的合成矢量即为第一个半波带的合振幅。当脚一一时， 折线逐渐变成半园形曲线。第二半波带、第三半波带做同样的分析。由于倾斜因子的影 响，使得它们的半径逐渐缩小，当口一一时，此螺旋线的终点趋归于园心c 。如图( 2 7 ) 所示o c 的长度就是尸点的振幅。即当，7 一一时，彳( 力= 丘2 图2 6 矢量图解法 f i 昏2 6 t h em e t h o do f v e c t o rg r a p h i c 2 3 3 菲涅耳圜孔衍射 图2 7 矢量图解法 f i g 2 7t h em e t h o do f v e c t o rg r a p h i c ； 卜p 卜 图2 8 圆孔衍射 f i g 2 8 t h eh o l ed i f f r a c t i o n 光源所发出的光通过圆孔时的衍射现象如图2 3 所示，该图为菲涅耳圆孔衍射的实 验原理图。图中口为光源。光通过光阑上的圆孔，p 为圆孔的半径，s 为光通过圆孔时 的波面。现在先计算到达垂直于圆孔面的对称轴上一点p 时的振幅。_ p 点与波面上极点 届之间的距离为如。首先考虑通过圆孔部分波面的面积所含有的完整的菲涅耳带的数目。 这个整数女与圆孔的半径( p = p 。) 、光的波长以及圆孔的位置( 即厅和如) 有关。由图 2 8 可知。 一 一 右 一 t i | 彬雄七扣 e 一 小 光的多边形衍射的计算机模拟 因h 比r o d , 待多，所以上式中厅一项可略去。其中 # 一名= k + ( 舰2 汗一右m k a r o 式中略去了髟 2 4 。又由图2 8 可知 p ；= 胄2 一似一功2 = 一( r 0 恤) z整理后得 拈褊 将c 一孑= k z r o 和h 的表达式代入( 2 1 7 ) 式，得 p 2 2 p ；= k 丘r 。+ r a 竞= 掣= 譬( 丢+ 訇1 r a ，o r alr o ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 如果用平行光照射圆孔，肛一，则 = 一 p k2 、m r o ( 2 2 2 ) 尸点合振幅的大小取决于露出的带数止当波长及圆孔的位置和大小都给定时，k 取 决于观察点尸的位置。与k 为奇数相对应的那些户点，合振幅丘较大：与k 为偶数相对 应的那些p 点，a 。较小。以上仅考虑到通过圆孔部分波面的面积含有完整的菲涅耳带数 的情况。如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大值和最小值之间。这个结果很容 易用实验来证实。当置于p 处的屏沿着圆孔的对称轴线前进时，屏上将看到光强不断地 变化。在某些点较强，某些点较弱。改变圆孔的位置和改变圆孔的半径，在给定观察点 的光强也将发生变化。 如果不用光阑，即相当于圆孔的半径为无限大，也就是整个波面完全不被遮蔽，则 由最末一个带所发次波在到达p 点时的振幅鱼为无限小，此时p 点的合振幅为 a ：丑 。 2 ( 2 2 3 ) 2 2 3 式表明，没有遮蔽的整个波面对p 点的作用等于第一个波带在该点的作用的一 半。因为波带的面积非常小，所以，没有遮蔽的整个波面的光能的传播，几乎可看作0 大连理工大学专业学位硕士学位论文 直线进行，这也是一般把光看作直线传播的原由。若圆孔具有一定大小的半径，观察点 p 的位置仅使波面上露出第一个半波带，则在p 点的光强要比没有任何遮蔽时到达p 点 的光强大四倍。这个结论似乎很难被人所接受，其实这正是光的衍射的很好例证，是光 的波动性质的必然结果。 所以光在通过圆孔以后到达任一点的光强，不能够单独由光源到该点的距离来定， 还取决于圆孔的位置和大小。 本文根据上述理论，通过反复的模拟实验，最终确定了多边形衍射孔径的合理线度。 如图2 9 所示 图2 9 菲涅耳圆孔衍射的图样 f i g 2 9f r e s n e lh o l ed i f f r a c t i o np a t t e r n 2 3 4 圆屏衍射 点光源通过园屏边缘时也将发生衍射现象。如图2 1 0 所示： 图2 1 0 园屏边缘的衍射现象 f i g 2 1 0 s c r e e ne d g ed i f f r a c t i o n p h e n o m e n o n 口为点光源，磊为不透明的园屏。光波向右传播时被磊遮了k 个半波带。于是从第 盼1 个半波带开始，所有其余的波带所发的次波都能到达p 点。把所有这些带的次波叠 加起来，可得p 点的合振幅为 a ：纽 2 ( 2 2 4 ) 光的多边形衍射的计算机模拟 此时即不问圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光。不过圆屏的面积愈 小时，被遮蔽的带的数目七就愈少，因而a + 。愈大，到达尸点的光愈强。变更圆屏和光 源之间或圆屏和光屏之间的距离时，七也将因之改变，因而也将影响尸点的光强。如果 圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则光看起来可完全绕过它，除了圆屏影子中心 有亮点外没有其它影子。 据上述理论制成的各种菲涅耳波带片如图2 1 1 不仅给惠更斯一菲涅耳原理提供了 使人信服的论据，而且在近代全息照相术等方面也获得了应用。 图2 1 1 菲涅耳波带片 f i g 2 1 1 f r e s n e lz o n ep l a t e 2 4 夫琅和费狭缝衍射 当观察点和光源距离障碍物都是无限远时的衍射称夫琅和费衍射。所谓光源为无限 远，即光源为一束平行光；而观察点在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察 衍射图样。在这种情况下计算衍射花样的光强分布时，数学运算比较简单。而且由于透 镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加m ，如图2 1 2 所示。 氨三三s 光曩扩l e z 豪羞_ _ 。i l 0 氨聂光曩2 l 0 f 图2 1 2 夫琅和费单缝衍射图 f 培2 1 2f r a u n h o f 日s i n g l es l i td i f f r a c t i o ns c h e m a t i cc h a r t 上图为单狭缝夫琅和费衍射图，它包含着衍射现象的许多主要特征。来自光源s 的 光经扩束器l t 扩束投射到狭缝b ，b 。透镜上，在狭缝后放一透镜k ，那么在透镜l 2 的焦平 大连理工大学专业学位硕士学位论文 面上放置的屏幕f 上将产生明暗交替的衍射花样，其特点是在中央具有一特别明亮的亮 条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹，相邻的亮条纹之间有一暗条纹。如以相邻暗 条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧亮条纹为等宽的，而中央亮条纹的宽度为其 它亮条纹的两倍。如图2 1 3 所示。 图2 1 3 夫琅和费单缝衍射图 f i g 2 1 3 f r a m 也o f e r s i n # es l i td i f f r a c t i o n c h a r t 平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合。将缝的面积分为一组平行于 缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波，其振幅正比与窄带的宽度纸设光波的初 位相为零，6 为缝b ，b ：的宽度，a 为整个狭缝所发次波在口等于零方向上的总振幅，狭 缝上单位宽度的振幅为6 ，而宽度幽的窄条上次波的振幅为爿。d 髓则狭缝处各窄 带所发次波的振动可用下式表示： 蛾= 竽c o s 罐 考虑到各次波的位相关系， 叠加起来的合振幅为 ( 2 2 5 ) 最后可得沿着衍射角口方向传播的所有次波在观察点尸 s i i l ( 掣s i n 日) 铲4 右 q 2 6 当光屏放置在透镜l 2 的焦平面上时，屏上衍射花样的光强分布可由( 2 2 6 ) 式决定。 在焦点p 0 处，光强最大； 满足s i n 吼= 七詈 ( 量= + 1 ：2 ，) 的位置，光强最小( 2 2 7 ) 2 5 瑞利一索末菲衍射 在光的电磁理论发展起来以后，基尔霍夫和瑞利一索末菲创立了标量衍射理论，就 是把光场视作标量来处理，面忽略了电磁场的基本的矢量本性呻。即只考虑电场的一个 光的多边形衍射的计算机模拟 横向分量的标量振幅，而假定任何别的有关分量都可用同样方式独立处理，从而忽略电 矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系叫。实验证明：当衍射孔径比照明 光波长大得多并且观察点离衍射孔径不太近时，由这种近似处理的方法所得的结果是很 精确的。 基尔霍夫( ( k i r c h h o f ) 从波动的微分方程出发，利用场论中的格林( g r e e n ) 函数对光 的衍射作了理论推导，得到了精确的数学公式，即基尔霍夫衍射公式： = 去颤g 署一u 鬻) 西 _ 基尔霍夫衍射公式可以给出与实际符合很好的结果，因而在实际中得到了广泛的应用。 然而，从理论上讲，这个公式被认为存在内在的不一致性。这引起了许多讨论与研究， 人们试图探讨一个更令人满意的结果。 这个公式的主要困难来源于关于边界条件的假设。在基尔霍夫边界条件假设中，对 场u 和它的导数a u 都人为地作了规定，这和波动方程解的性质是不一致的。瑞利索 末菲改用了另一种格林函数，而不需要同时对和! 兰都做出边界值规定，从而由公式 ( 2 2 8 ) 导出瑞利一索末菲衍射公式。 叱) = 击垆( # ) 竺半蜥焉渺 ( 2 z 9 ) 如图2 1 4 所示。平面屏幕衍射的瑞利一索末菲表述 =e 愧丁 大连理工大学专业学位硕士学位论文 3 基于标量理论的衍射效率的计算机模拟 3 1 菲涅耳衍射的近似处理 在第2 章的2 5 中得到了普遍形式的基尔霍夫衍射公式，用该公式来解决实际的 衍射问题时，数学上往往又是很困难的，需要做出某些近似处理，以便可以用比较简单 的数学运算来得到衍射图样，而且所作的近似处理，在具体的衍射问题中又是允许的“”。 下面讨论菲涅耳近似的情况。