（检测技术与自动化装置专业论文）基于平均停留时间的脉冲切换系统的稳定性分析.pdf

摘要 切换系统作为一类重要的混合动态系统，它是由几个连续时间子系统或离散时 间子系统及作用在其中的切换规则构成的。切换系统在现实生产中有着广泛的应用 背景，如通讯网络、电力系统、机器人行走控制系统以及采样数字系统的控制等。 切换系统不同于一般的连续时问系统或离散时间系统，它具有一些特殊的性质，因 此切换系统的研究是非常必要的。在过去几十年中，控制界对切换系统的建模、分 析、综合与控制的研究兴趣不断升高，切换系统分析和切换控制的研究越来越受到 人们的关注。 本文主要研究基于平均停留时间的脉冲切换系统的指数稳定性，全文的主要内 容概括如下： 首先研究了连续切换系统在脉冲作用下的稳定性，切换系统包括h u r w i t z 稳定 子系统和不稳定子系统。应用平均停留时间方法，通过将切换系统的激励时间划分 为稳定子系统的激励时间和不稳定子系统的激励时间，证明了只要切换系统的平均 停留时间以及稳定子系统与不稳定子系统的激励时间之比适当大，所设计的切换规 则就可以保证切换系统是指数稳定的，并具有期望的稳定裕度。在此基础上，我们 又研究该系统在非线性扰动下的稳定性。当非线性部分满足一定要求时，通过设计 合适的切换律，可以使系统达到全局指数稳定。 接下来分析了离散脉冲切换系统的稳定性。该切换系统包括s c h u r 稳定子系统 与不稳定子系统。在构造的特定切换律下，当平均停留时间取得合适，而且稳定子系 统激活的时间与不稳定子系统激活的时间比充分大，则切换系统是指数稳定的。 最后，进一步讨论了脉冲切换系统包含连续子系统和离散子系统的稳定性。在 假设所有的子系统都是h u r w i t z 和s c h u r 稳定的前提下，如果平均停留时问足够大， 则切换系统就可以达到指数稳定。当切换系统包含不稳定的子系统时，我们需要设 计合适的切换律以保证整个切换系统的指数稳定性。 关键词：切换系统；指数稳定性；h u r w i t z 稳定，s c h u r 稳定，脉冲作用 a b s t r a c t a sa l li m p o r t a n tc l a s so fh y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s ，as w i t c h e ds y s t e mi sc o m p o s e d o fs e v e r a lc o n t i n u o u s - t i m es u b s y s t e m so rd i s c r e t e t i m es u b s y s t e m sa n dt h es w i t c h i n gs i g - n a l sa m o n gt h e m s w i t c h e ds y s t e m sa r ew i d e l yu s e di nm a n yp r a c t i c a lp r o b l e m s ，s u c ha s c o m m u n i c a t i o nn e t w o r k s ，p o w e rs y s t e m s ，r o b o t i cw a l k i n gc o n t r o ls y s t e m sa n ds a m p l e d - d a t ac o n t r o ls y s t e m sa n ds oo n w i t hi t so w np a r t i c u l a r i t y , i td i f f e r sf r o mt h et r a d i t i o n a l c o n t i n u o u s t i m es y s t e m so rd i s c r e t e t i m es y s t e m s t h e r e f o r e ，t h ei n v e s t i g a t i o no fs w i t c h e d s y s t e m si sn e c e s s a r y d u r i n gt h el a s ts e v e r a ld e c a d e s ，t h e r ei sa ni n c r e a s i n gi n t e r e s to nt h e m o d e l i n g ，a n a l y s i sa n dc o n t r o lo fs w i t c h e ds y s t e m s n o w a d a y sm o r ea n d m o r ea t t e n t i o n h a sb e e np a i dt ot h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h es w i t c h e ds y s t e m sa n dt h es t u d yo ft h es w i t c h i n g c o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n a l y s i si sc o n s i d e rf o rac l a s so f i m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e m sw i t ha v e r a g ed w e l lt i m e t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r a r et h e f o l l o w i n g s ： f i r s t l y ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i sf o rac l a s so fc o n t i n u o u s t i m es w i t c h e ds y s t e mw i t hi m 。 p u l s i v ee f f e c ti ss t u d i e d t h es w i t c h e ds y s t e mi sc o m p o s e do fb o t hh u r w i t zs t a b l ea n d u n s t a b l es u b s y s t e m s b a s e do nt h ea v e r a g ed w e l lt i m em e t h o da n db yd i v i d i n gt h et o t a l a c t i v a t i o nt i m ei n t ot h et i m ew i t hs t a b l es u b s y s t e m sa n dt h et i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m s ， i ti ss h o w nt h a ti ft h ea v e r a g ed w e l lt i m ea n dt h er a t i oo ft h ea c t i v a t i o nt i m ew i t hs t a b l e s u b s y s t e m st ot h ea c t i v a t i o nt i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m sa r ep r o p e r l yl a r g e ，t h eg i v e n s w i t c h e ds y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l ew i t had e s i r e ds t a b i l i t ym a r g i n b a s e do nt h i s ，t h e s w i t c h e ds y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni si n v e s t i g a t e d w h e nt h en o n l i n e a rp e r t u r - b a t i o ns a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n ，t h es y s t e mi sg l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ew i t had e s i r e d s t a b i l i t ym a r g i nb yd e s i g n i n ga s u i t a b l es w i t c h e dl a w s e c o n d l y , t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t ya n a l y s i si sc o n s i d e r e df o rd i s c r e t e t i m ei m p u l s i v e s w i t c h e ds y s t e m s t h es w i t c h e ds y s t e mi sc o m p o s e do fs c h u rs t a b l ea n du n s t a b l es u b s y s 。 t e r n s u n d e rs o m es p e c i f i cs w i t c h e dl a w , i ft h ea v e r a g ed w e l lt i m ea n dt h er a t i oo ft h e a c t i v a t i o nt i m ew i t hs t a b l es u b s y s t e m st ot h ea c t i v a t i o nt i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m sa r e p r o p e r l yl a r g e ，t h eg i v e nd i s c r e t e t i m es w i t c h e ds y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l e f i n a l l y , an e wt y p eo fs w i t c h e ds y s t e m sw h i c ha l ec o m p o s e do fb o t hc o n t i n u o u s 。t i m e s u b s y s t e m sa n dd i s c r e t e t i m es u b s y s t e m sw i t hi m p u l s i v ee f f e c ti sc o n s i d e r e d w i t ht h ea s - s u m p t i o nt h a tt h es u b s y s t e m sa r eh u r w i t zs t a b l ea n ds c h u rs t a b l e ，i ft h ea v e r a g ed w e l l t i m ei sp r o p e r l yl a r g e ，t h es w i t c h e ds y s t e mc a nb em a d es t a b l e i fu n s t a b l es u b s y s t e r n s a r ei n v o l v e d ，w ed e s i g ns u i t a b l es w i s h i n gl a wt og u a r a n t e et h ee x p o n e n t i ms t a b i l i t yo ft h e s w i t c h e ds y s t e m s k e yw o r d s ：s w i s h e ds y s t e m s ；e x p o n e n t i ms t a b i l i t y ；h u r w i t zs t a b l e ；s c h u rs t a b l e ： i m p u l s i v ee f f e c t 符号表 所有实数的集合 正实数的集合 ，l 维向量空间 m x 咒阶矩阵空间 向量范数 脉冲作用 切换信号 矩阵a 的逆矩阵 单位矩阵 矩阵a 是一个对称负定矩阵 矩阵a 是一个对称半负定矩阵 “对所有的”或“对给定的” “元素属于” “集合属于” 矩阵的特征值 对角矩阵 离散系统的矩阵 连续系统的矩阵 ： ： 0 o ：0 ： ：ii l ，、 ，、一、， g m n肌凡出一爪蜓)；龟巳咖既缸 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：赵世砍 签字日期：加7 r年，月盯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞姿盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：赵世欠 签字日期：2 叫年于月竹日 一 丑 导师签名：j ，一一侈日 签字日期：2 口夕年岁月巧日 第一章绪论 第一章绪论 a n t s a k l i s 和n e r o d e 在混合动态系统专刊【1j 的导引中给出了混合动态系统的三种 类型，其中之- - h o 是切换系统。现在，切换系统理论已经成为自动控制理论中比较 活跃的一个研究领域。切换系统可以用来描述与分析许多实际系统，具有广泛的工 业背景。近几年，无论是国外还是国内有关切换系统的文献愈来愈多，关于切换系 统分析和切换控制设计的研究越来越受到关注。 1 1 切换系统的研究背景与意义 随着社会的发展，现实世界中遇到的各种管理和控制的问题更加复杂，在实际 大量的复杂系统中，连续动态与离散动态经常同时存在并相互作用，传统的控制系 统模型已经不能满足高精度的控制目的要求。切换系统可以同时描述连续动态和离 散动态，因而较为科学合理地反映了众多的实际问题，受到人们的普遍重视。 如果一个混合动态系统的离散事件状态的某次转移只与所对应的离散事件是否 发生有关，而与当前的离散事件状态无关，即离散事件状态是静止的，则称混合动 态系统为切换系统。 切换系统可以看作是由组连续微分方程子系统以及作用在其中的切换规则 构成的。切换系统在切换的过程中，每一时刻系统的状态只符合其中一个系统的规 律，即切换规则确定每一时刻系统切换到哪一个子系统，系统的状态就在相应时刻 切换到相应的子系统。切换系统用多个控制器按切换方式控制一个连续对象。切换 通常分为基于时间切换、基于空间切换和基于逻辑切换三种方式。基于时间的切换 系统处理比较简单，基于空间的切换系统涉及状态空间划分、稳定性以及滑模控制 等诸多问题。切换系统与一般的系统相比较具有一定的复杂胜和特殊性，切换系统 并不是各个子系统的简单迭加，它可以具有子系统所不具有的性质。 由于切换系统中切换规则的存在，使得切换系统与一般系统相比有其特殊性。 比如切换系统的稳定性具有这样的性质：子系统的稳定性不等于整个系统的稳定 性，即可能存在这样的情形，切换系统的每一个子系统都不稳定，但是通过构造一 个适当的切换序列仍然可能使整个切换系统稳定，从而实现一般系统不能实现的性 能；相反的，即使每一个子系统是稳定的，如果切换序列选择的不恰当，也可能造 成整个系统是不稳定的。 第一章绪论 切换的应用很广泛，在5 0 年代初，在航空航天领域，为节省宝贵的燃料，提出 了时间最优控制和燃料最优控制问题。并由此产生了著名的b a n g b a n g 控制原理， 即控制量在可控输入上下边界值之间“切换”，或者取上界，或者取下界。 受继电系统的相平面方法启发而发展和完善起来的变结构控制，可以说是一种 较为典型的切换控制。通过设计变结构控制器和切换面，使得系统状态在切换面两 侧来回切换，从而保证动态系统的渐近稳定性或者有限时问收敛性等性能，达到最 终控制目的。 在利用计算机控制连续过程( 如手工制造、化工过程、运输系统、网络通讯 等) 时，往往会用到监督控蒂1 ( s u p e r v i s o r yc o n t r 0 1 ) 。它包含一个连续系统、一个离散 事件发生器和一个控制界面。它正是基于了逻辑切换的思想产生和发展起来的。 另外，模糊控制和神经网控制等智能控制也正是基于了切换思想而发展起来 的。可以说，“切换”在控制界的各个领域都有着广泛的应用。 近几年来，关于切换系统分析和控制设计的研究越来越受到关注 1u 一【1 0 。人 们研究切换系统和切换控制的主要原因在于以下几个方面：( 1 ) 由于环境的改变或 者参数变化等因素使得许多实际系统本质上就是多模态的 1 驯1 4 】；( 2 ) 现代智能控 制( 如模糊控制等) 的许多思想正是基于了切换控制的思想【l 跏， 1 5 1 ；( 3 ) 应用切换控 制器可以获得比传统的反馈控制器更好的性能。 由于人们对连续动态与离散动态之问的相互作用机理的认识还不够清楚，加之 缺乏合适的工具，切换系统的研究困难很大，很多具有挑战性的问题有待解决。如 对切换系统的切换策略的构造，控制策略的选取以及在什么样的切换策略下，切换 系统的性能更优等问题，是控制领域科技工作者所面临的重大课题。 1 2 切换系统的应用 “切换”作为一种思想，其实早己引入到控制理论中，在经典控制理论中，为 解决非线性系统出现的周期性振荡，特别是伺服系统的稳定性问题，提出了开关伺 服系统，即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统。这种开关系统的最大优点是 用非常简单的“开”与“关”操作很大的功率。这可以看作是“切换”作为一种思 想最早被引入到控制系统中。 切换系统之所以得到的重视，首先是因为它有广泛的实际应用背景，如在计算 机磁盘驱动器、受约束机器人控制、人工智能、工业自动化和高速公路控制等许多 实际问题中有着广泛的应用。其次是它还满足了智能控制飞速发展的需要，因为智 能控制的实际方法是基于在不同的控制器之间切换的思想。这些控制技术在近年来 得到了广泛的应用吼 3 】，尤其在自适应领域，既实现了系统的稳定性，又改善了传 递响应h ，【) 。在物理现象模型化( m o d e l i n gp h y s i c a lp h e n o m e n a ) 方法中，为避免直接 2 第一章绪论 处理非线性方程，通常选择简单的线性方程，并在这些简单模型之间进行切换来实 现预期的目的，而在控制领域，这种在简单动态系统中切换的方法在实践中已成功 地运用了几十年。最后，切换系统这种技术的重要性还在于确实存在不能由单一光 滑的反馈控制器渐近镇定的系统。 下面，我们引入一些来自于实际中的例子，来说明切换系统控制的理论意义和 蔓用价值。 ( 1 ) 运动机械手搬运工件过程【o ：一个运动的机械手要从传送带上取下一个工件 ：将其搬运到存放工件的平台上，随后再从平台上返回到传送带搬取下一个工件， 舌统的工作过程包括一连串的指令和动作。在此工作过程中，所涉及到的连续时间 支量有：小车的位置和速度，工件在传送带上的位置，以及传送带的速度；所涉及 到的离散事件有：对应于“工件是否到达”机械手的抓取位置，小车到达的定位位 置；连续时间变量和离散事件的相互作用有：小车通过连续运动后到达，触发“到 达事件”，机械手才被允许工作，并且装载工件的小车与空载小车的运动分别服从 不同的微分方程描述。 ( 2 ) 汽车引擎控制：汽车中，每个档位对应于不同的传动比，其对应的引擎的 运动可视为不同的连续动态系统，自动变速箱通过对车速，油门等状态的信息在各 个档位间进行切换，以保证汽车平稳舒适地运行。 ( 3 ) 电力系统：电网控制系统中，有成百上千台机组同时工作，每个机组是一 个连续动态模型。整个系统对稳定性要求是非常严格的，系统失稳将导致灾难性的 后果。系统检测不同的机组，对应不同的动态过程，因此可以看成在多个甚至是大 量的动态过程中进行切换。这种切换可以是循环的，也可以是自由选择的，也可以 被某一离散时问系统驱动。 ( 4 ) 机器人控制：机器人有两条腿，可以像人一样行走、拐弯、上下楼梯等。 机器人不同的基本动作对应不同的动态阶段，当机器人要完成一个连续动作的时 候，就经历了多个不同的动态阶段，于是可以利用切换系统来描述整个的过程。 在上述的例子中，有一个共同的特点，即整个系统的结构参数和模式不固定， 系统的运动往往对应多个模式，无法用一个简单的运动方程来描述，单纯的采用针 对连续系统的控制方法或针对离散事件系统的控制方法都无法得到良好的控制效 果。因此，运用切换控制，并且选择适当的切换策略才能达到满意的控制效果。 1 3 本文的主要工作和结构安排 本文主要是用平均停留时间的方法来分析切换系统在脉冲作用下的稳定性。 第一章绪论部分，简要介绍了切换系统的工程背景、特点、在现实中的应用， 以及本文的内容。 3 第一章绪论 第二章介绍了切换系统的模型以及以后章节中将要用的的一些结论和方法。 第三章研究了连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析，切换系统包括h u r w i t z 稳定子系统和不稳定子系统。基于平均停留时问的方法，通过将切换系统的激励时 间划分为稳定子系统的激励时间和不稳定子系统的激励时间，证明了只要切换系统 的平均停留时间以及稳定子系统与不稳定子系统的激励时问之比适当大，所设计的 切换规则就可以保证切换系统是指数稳定的，并具有期望的稳定裕度。在此基础 上，我们又研究该系统在非线性扰动下的稳定性。当非线性部分满足一定的要求 时，通过设计特定的切换律，可以使系统达到指数稳定。 第四章主要研究了离散切换系统在脉冲作用下的指数稳定性及在非线性扰动下 的指数稳定性，该切换系统包括s c h u r 稳定子系统与不稳定子系统。在构造的切换 律下，当平均停留时间取得合适，而且稳定子系统激活的时问与不稳定子系统激活 的时间比够大，切换系统是指数稳定的。 第五章则在以上工作的基础上进一步讨论了切换系统在同时包含连续子系统和 离散子系统时的稳定性。该章分为两部分，第一部分假设各子系统都是稳定的，在 这种情况下只要系统平均停留时间取得合适，切换系统就可以达到指数稳定。第二 部分则考虑子系统含有稳定与不稳定子系统，在这种情况下需要设计合适的切换律 才能使得整个系统稳定。 结束语部分总结了本文的主要内容，并展望以后研究的方向。 4 第二章切换系统研究现状及相关理论 第二章切换系统研究现状及相关理论 切换系统与一般的系统相比较具有复杂性和特殊性，切换系统的性质不是各个 子系统性质的简单迭加，它可以具有子系统所不具备的性质。因此切换系统的研究 是非常必要的，在理论和实践上都有很重要的意义。 切换系统可以看作是由一组连续微分方程子系统和作用在其中的切换规则构成 的。在切换过程中，系统状态可以看作是连续的，但也可以将其扩展到在连续状态 中有跳跃现象存在，甚至可以是对不同的状态空间具有不同的向量场。切换系统在 切换过程中，切换规则将确定在每一时刻切换系统切换到哪一个子系统，每一时刻 系统的状态只对应其中的一个子系统。 2 1 切换系统的数学模型 在有些系统中，由于各种约束条件的限制，系统只允许使用有限个事先指定的 控制器，而每个单一的控制器往往不能满足性能要求，因此就需要设计一个切换规 则，使得系统在这有限个控制器之间进行切换来达到性能要求。 下面给出了一个具有多个控制器的切换系统的简单示意图( 如图2 1 ) ： r 一切换决策晷l o 1一 外部环境 下 1 到- ，一 卜( 至叵) 上：_ j ( 受堕弘 卜 0 ，假设相邻 切换时刻相差不小于f 的切换信号( 即每次在子系统的逗留时间不小于f ) ，我们 考虑在这样一类切换信号下系统的稳定性。对于线性切换系统，文献 1 9 给出了这样 的结果：如果各个子系统均渐近稳定，那么只要切换信号满足在各个子系统内的停 留时间足够长，即只要z 足够大，就可以保证线性切换系统全局指数稳定，并且还 可以定量计算出停留时间的下限。在一定条件下，还可以将上述结论推广到非线性 切换系统【6 2 1 。 在这里，我们仅以一对全局指数稳定的非线性系统贾= 五0 ) ，f = 1 ，2 为 例来说明基于停留时间的稳定性条件。两个子系统均存在各自的l y a p u n o v i 垂i 数v ，i = l ，2 ，以及常数口i ，b i ，c i ，( f = 1 ，2 ) ；满足 a i x 2 v i ( x ) b i l x 2v v ( x ) 五( x ) 一c i l x 2 容易推得： v v i ) 五 ) 一九 ) ，i = l ，2 9 第二章切换系统研究现状及相关理论 其中九= c i b i ，从而得知，只要t r ( t ) = f ，v t 1 0 ，t o + 叫，i = l ，2 ，则 o ( 幻+ f ) ) e - & z ( 埯) ) 假设初始状态为 ) ，o r ( t o ) ) = ( x o ，1 ) ，在t l ，t 2 发生切换，有仃( f 产) = 2 ，仃( 才) = 1 以及t l t o lt 2 - - t l f 。 由以上分析我们可推出 v 2 ( t i ) 丝( f 1 ) 一b 2 e - 籼f v ( t o ) a la l 由此得 v - ( t 2 ) 笔啪) 笔e - x 2 z v 2 ( q ) 蓑e - ( k l + z 2 弦v , ( t o ) 只要f 足够大，就可以保证m ( t 2 ) 0 假设2 3 2 睁u p 器舻旭刚 如果用“平均停留时间”的概念，则有如下结论：如果假设2 3 1 和假设2 3 2 成 立，当平均停留时间f 足够大时，f z d g 弘九，那么切换系统( 2 1 ) 全局渐近稳定。 2 4 本文常用的几个结论和引理 结论1 ： 对于连续时间系统戈= a i x ，f = l ，2 ，假设a l 为h u r w i t z 稳定的，a 2 是不 稳定的，则存在九，恐 0 和口1 ，眈 0 使得 i l e a , l l a l p 一知 ii e a = l l o e 2 e ；t 2 结论2 ： 对于离散系统z 阵+ 1 】= 召嘲，f = 1 ，2 ，假设b l 为s c h u r 稳定的，召2 是 不稳定的，则存在0 0 使得 l l 磷l l a l 砰 i i 磋f | o r 2 硝 1 n 第二章切换系统研究现状及相关理论 引理2 4 1 3 1 i ( g r o n w a l lb e l l m a ni n e q u a l i t y )当t o t t o + h ，如果i x ( f ) i m ( 1 + k i x ( z ) l l f ( z ) l d z ) ，则i x ( t ) l 曼m e x p 幢m 囊 f ( x ) l d z ) ，其中m 、k 为非负数。 引理2 4 2 p 刁对于一个非负序歹! ) ，( 咒) 以o ，崽存在两个常数j l z o ，h j 0 使得对于 每个n n o 不等式：y ( n ) h o + h l ( y ( n 一1 ) + ) ， 一2 ) + + ) ，( ，z o + 1 ) ) 成立，则 有y ( n ) b o o + h i ) 矗一n o 一1 ( r l n o + 1 ) 。 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 由于逻辑切换的存在使得切换系统的稳定性分析变得十分复杂。本章针对一类 同时包含稳定子系统和不稳定子系统的连续时间脉冲切换系统，研究了其指数稳定 性。基于平均停留时间的概念，给出了切换系统在脉冲作用下，系统指数稳定的充 分条件。在此基础上进一步研究了带有非线性扰动和脉冲作用的切换系统的指数稳 定性，证明了只要切换律满足本章所给定的条件，就可以保证给定切换系统是指数 稳定的并具有期望的稳定裕度。仿真结果验证了结论的正确性。 3 1问题描述 近年来，切换系统的稳定性分析以及切换控制器设计的研究得到了广泛重视。 针对切换系统的特点，b r a n i c k y 1 0 提出了用多李雅普诺夫函数方法研究其稳定性。 尽管多李雅普诺夫函数方法对于研究切换系统的稳定性有着极大的优越性，但是对 于一组由不稳定的子系统所组成的切换系统而言，我们很难去找出其相应的多个李 雅普诺夫函数。为了保证切换系统的指数稳定性，基于停留时间的分段李雅普诺夫 函数方法应运而生。文献i j 研究了一类仅包含稳定子系统的连续时间切换系统的 指数稳定性，证明了当切换信号的停留时问( 连续两次切换之间的时间) 充分大时， 整个切换系统是指数稳定的。文献【埔j 进一步拓展了文献【 中停留时间的概念，提 出了平均停留时间的概念，并证明了当平均停留时间充分大时，文献【j 中的系统 仍然是指数稳定的。文献【j i i l 冽仅仅研究了系统包含稳定子系统时的情况。在此基 础上，文献瞄jj 和文献【鹪】考虑了更为一般的情况，研究了切换系统包含稳定子系统 和不稳定子系统的情况，通过将整个切换系统的激励时间划分为稳定子系统的激励 时间和不稳定子系统的激励时问两部分，证明了当平均停留时间和稳定子系统的激 励时间与不稳定子系统的激励时间之比充分大时，切换系统是指数稳定的。但文 献【卜i j 都没有考虑系统切换时状态发生跳跃的情况。 本章在上述工作的基础上，进一步研究连续时间切换系统带有脉冲作用时系统 的指数稳定性。首先研究一类带有脉冲作用的线性时不变切换系统的指数稳定性。 脉冲作用，即系统在每一个切换点，状态都发生跳变。本文基于平均停留时问的方 法提出了一种切换信号设计方法，保证了整个切换系统的指数稳定性。基于上述思 想和方法，本章还考虑了一类带有非线性扰动的切换系统的指数稳定性问题。 1 2 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 对于连续时间切换系统而言，切换可以发生在任意时刻，从而系统状态的跳变 也就可能发生在任意时刻。因此，连续时间脉冲切换系统的稳定性分析比较复杂。 3 2 线性连续脉冲切换系统的指数稳定性 在本节中，我们考虑如下的线性连续切换系统 y c ( t ) = a 仃( r ) x ( f ) ，t t k 血( f ) = x ( t ) 一工( ) = f k x ( t ) ，t = t k ( 3 1 ) 工( 才) = x 0 其中x ( f ) r n 是系统的状态，t o 0 是初始时间。切换信号c r ( t ) ： t o ，o o ) 一人= 1 ，2 ，3 ，) 是由时间确定的分段恒值函数。a i ( i 人) 是具有合适维数的子系统的 系统矩阵：f i ( i 人) 是一个常数矩阵，表示在切换点t k ( k = 1 ，2 ，n ) 切换时系统 状态的脉冲作用。工陬) = x ( 曩) 2 矗1 i m o + 戈( t k 一 ) 。 3 2 1主要结果及证明 定义3 21 对于任意切换信号c r ( t ) ，如果存在一个正的常数和a ，使得在t t o 时，li x ( t ) li o t e - z ( t 一o ) ll x o lt ，x ( t o ) = x 0 ，则切换系统 7 ) 是全局指数稳定的，并 且稳定裕度为九。 因为我们考虑的系统包含h u r w i t z 稳定子系统和不稳定子系统，不失一般性， 我们假设a l 一，a 掰。( m l 0 和啦 0 使得 l i f l l t , 砂， l i m l ( 3 2 ) f f f | | f i e 一知，m l i m 其中，参数九，嘶可以很容易根据a 的具体形式得到。 在这里，我们作如下定义： 九+ ：婴努 九) 1 i m l 、 7 九一= m l 畏妥m 九 ( f 、 在时间区间【f ，f ) ，令丁+ ( f ，t ) 表示在这个时问段内不稳定子系统被激活的总时 间，而，一( 石，t ) 表示h u r w i t z 稳定子系统被激活的总时间。 对于任意给定的稳定裕度a ( 0 豸 时切换系统( 3 ，1 ) 是全局指数稳定的且稳定裕度为九。相应的平均停密时间 和振颤界n o 可以亩式喀= ；南，n o = 吾求出。其中口是满足( 1 + o ) a e a 的任何 常数o ( 8 ，v 和o 的定义将在t 瑶的证明中给出) 证强设t i , 砭，是切换时刻，当t 【t k ，t k + 1 ) 时，我们可以把系统描述为j = a 肌x ( f ) ，( 七= 0 ，1 ，2 ，) ，肌 1 ，2 ，m ) ，x o 是初始状态。 当t t o ，t 1 ) 时，有 x ( t ) = 矿_ 口o ( 卜t o ) x o ( 3 4 ) 进而可以得出 x ( t 1 ) = e a p o ( l - t o ) x o ( 3 5 ) 在f = t l 时，在脉冲作用下，系统状态发生跳变，于是有 由( 3 5 ) ，式( 3 6 ) 等价于 相似的，当t i t l ，f 2 ) 时，有 x ( t - 产) = ( j + 局) 工( f 1 ) ( 3 6 ) x ( f f ) = ( ，+ 五) 加( t ，- t o ) x o 依次类推，当粕 珩+ 1 时，可得下式 工( f ) ：e a 州( 卜f ) f if f f + f n + l 一之) t = l e a t , v _ k ( t v + l - k - - t _ k ) ) x 0 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 由不等式( 3 2 ) ，上式可写为 n 懈) 1 1 昌( 1 + o n + l - 七) 饰- ( 3 1 0 )膏= li j 1 v ， x e 一九一r 一+ j l + r + i l x o l 4 1 4 d“：， 舶 一 、l ，目 寸+ p 、，、， o 广 p “p p p 西一 = | l 幻 “ 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 其中o k = i i f k l i ，我们令0 0 = 0 ，则上式可变为 懒) i i 矿和振颤界n d2n o = 詈，切换系统( 3 1 ) 是全 局指数稳定的并且有有稳定裕度a 。 口 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 注3 21 在定理3 ，2 1 中我们选取切换信号的条件很容易得到满足。例如，我们 可以首先激活日k 刑讹稳定子系统2 ( 九+ + a + ) 乃长的时问，然后再激活不稳定子系 统( 九一一妒、弱长的时间。这里t o 0 是一个满足平均停留时间要求的时间段。 注3 22 尽管 3 ) 只不过是一个切换条件，但是也可以视为一种时间依赖的切换 # t ( t i m e d e p e n d e n ts w i t c h i n gl a w ) o 因为r 要系统满足该切换条件，给定的切换系统 就是全局指数稳定的o 3 2 2 数值算例 例3 1 研究由以下两个子系统构成的切换系统 a - = ：习，a 2 = 1 2二2 其中可以明显看出a i 是不稳定的，而a 2 是h u r w i t z 稳定的。其参数嘶和九可以 求出，口l = 1 ，a 2 = 1 而九+ = 九一= 1 ，则口= 1 。 我们设脉冲作用的矩阵如下 蜀书斗尼书墨 e l 表示由子系统a l 切换到a 2 ，f 2 表示由子系统a 2 切换到a l ，于是0 = 0 5 。 切换系统初始状态为 和= 2 r 由不等式( 1 + 9 ) g e a ，我们可算出a = 0 4 1 。 我们取稳定裕度为九= o 4 5 ，九+ = 0 6 。则由不等式( 3 3 ) 可得：而t - ( t o t ) 而1 + 0 石6 = 4 ，而平均停留时间为露= 方与= 砺0 面4 1 写= 2 7 。首先，我们先设定自系 统a l ，a 2 的激活时问分别为1 秒和5 秒，系统状态轨迹如图3 1 所示，可以看出切换 系统是稳定的。 1 6 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 图3 1 例3 1 中平均停留时间 2 7 时切换系统的状态图 如果我们设定子系统a l ，a 2 的激活时间分别为0 8 秒和3 5 秒，此时虽然满足不 等式( 3 3 ) ，但系统的平均停留时间 c a 呓，系统状态轨迹如图3 2 ，由图3 2 可以 看出切换系统是不稳定的。 图3 2 例3 1 中平均停留时间 0 是一个常数，3 ( t ) 0 ：是l e b e s g u e 可积函数满层岳e x f 卢( f ) d 彳 。 3 3 1主要结果及证明 由于切换系统引入了非线性扰动，因此我们构造的切换信号要比上一节要有更 多限制。 ( s 1 ) 设幻= 南 西 ( 1 i m f 一西= ) 为一序列，满足s 叩 毋+ 1 一岛) = t 0 ，我们定义t o t l 矗 t t i + 1 ，t j 为切换时刻，当t t o ，t 1 ) ，有 q ) = p o ( f 一幻) 翔+ 甓( 。一f ( f ，z ( f ) ) 矗f ( 3 2 1 ) 由一e 式我们可以得到 x ( t 1 ) = x p o ( t 1 ) = e a o ( t l - t o ) 和+ 层t le a 矗o l 卜f ( l x ( f ) ) d f ( 3 2 2 ) 在t = t l 时，系统发生切换，在脉冲作用下，可得 工。产三f f ，+ + 局r j 苌e a o p l o ) ( ，。一，。) x o + f f + f 。) 詹e a p o ( ，。一f ) f p o ( c ，工( f ) ) d f ( 3 2 3 ) = ) ( 力一幻 + ) 詹 ”f ，工( f ) ) d f 、。 1 8 第三章连续切换系统在脉冲作用下的稳定性分析 当t i t , ，t 2 ) 时，有 从而 x ( ) = e a 尹- ( h 1 ) x ( f - ) + e p ，( h 而( f ，x ( 暑) ) d f = e a p l ( h 1 ) ( ，+ 局) 加( l t o ) x o + e a _ p l ( f _ f i ) ( j + 而) 届e a p o ( t l - - 彳氐( f ，工( f ) ) d f + 丘n ( 厶，( f ，z ( f ) ) d f x ( t 2 ) ：已f 4 p l ( t 2 - - t 1 ) z ( f 产) + 臂p