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1 回顾与思考回顾与思考 1二次根式的定义和性质二次根式的定义和性质 (1)定义：形如定义：形如(a0)的式子叫做二次根式，的式子叫做二次根式， “”称为二次根号，称为二次根号，a 叫做被开方数叫做被开方数 a 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 (2)性质：性质：(a0)是一个非负数，即是一个非负数，即 0 a0)；()2= (a0)；= aaaa2 ； (1) （a0） ；(2) 0(a0)；(3) 2 )( aa )0_( )0_( )0_( _ 2 a a a a (3)()2与与的区别：的区别：运算顺序不同：运算顺序不同：()2先先 ，后，后 先先 ，后，后 aa2aa2 ；字母取值范围不同：字母取值范围不同：()2中的中的 a ，中的中的 a ；运算结果不同：运算结果不同：()2= aa2a ，= a2 r(a2) 2二次根式的乘除法二次根式的乘除法 (1)二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变，即二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变，即= (a0，b0) ab (2)二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即 = (a0，b0) 3二次根式的乘除：二次根式的乘除： (1)计算公式：计算公式： (2)化简公式：化简公式： )0, 0_( )0, 0_( ba b a baba 除法运算： 乘法运算： )0, 0_( )0, 0_( ba b a baba 当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便二次根式的除法运算，当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便二次根式的除法运算， 通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的 4二次根式的加减：二次根式的加减：(1)法则：法则： . (2)概念：概念： 同类二次根式： 最简二次根式： . 2 . 1 二次根式的加减步骤：二次根式的加减步骤：(1)化简；化简；(2)判断；判断；(3)分类；分类；(4)合并合并。 3最简二次根式最简二次根式 (1)被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式 (2)化二次根式为最简二次根式的步骤：一分：分解因数（因式）化二次根式为最简二次根式的步骤：一分：分解因数（因式） 、平方数（式）、平方数（式） ；二移：根据算术平；二移：根据算术平 方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；三化：化去被开方数中的分母方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；三化：化去被开方数中的分母 4分母有理化分母有理化 (1)概念：概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为 有理化因式常用有互为有理化因式有以下几种：有理化因式常用有互为有理化因式有以下几种：与与(这这里的里的为为最最简简二次根式二次根式)互为有理化因互为有理化因 aaa 式；式；a+与与 a互为有理化因式；互为有理化因式；+与与或或 m+n与与 mn互为有理化因式互为有理化因式 bbabababab (2)分母有理化的方法有两种：直接约分化去分母中的根号；根据分式的基本性质，分子和分母都乘分母有理化的方法有两种：直接约分化去分母中的根号；根据分式的基本性质，分子和分母都乘 以分母的有理化因式，可以使分母不含根号以分母的有理化因式，可以使分母不含根号 5. 二次根式化简求值步骤：二次根式化简求值步骤： (1)“一分一分”：分解因数（因式）：分解因数（因式） 、平方数（式）、平方数（式） ；(2)“二移二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平：根据算术平方根的概念，把根号内的平 2 方数或者平方式移到根号外面；方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化三化”：化去被开方数中的分母。：化去被开方数中的分母。 6二次根式的混合运算：二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最 后算加减，有括号先算括号里面的后算加减，有括号先算括号里面的(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则 及乘法公式仍然适用及乘法公式仍然适用 方法与技能方法与技能 一一题型方法题型方法 【例例 1】(1)下列各式中，哪些是二次根式？下列各式中，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5)(a3) (6) 0.015425ma32x2 + 1 思路启迪：判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是思路启迪：判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是 2；最后；最后 看被开方数是不是非负数若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式不满足三个条件中看被开方数是不是非负数若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式不满足三个条件中 的任何一个，就不是二次根式的任何一个，就不是二次根式 例例 2 (1)当当 x 为怎样的实数时，下列各式有意义？为怎样的实数时，下列各式有意义？ + x2x11x3x2 + 4 思路启迪：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数思路启迪：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数 (2)下列二次根式中，哪些是同类二次根式？下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ 2， ，x，3， 753 1 3 x3y 思路启迪：先化二次根式为最简二次根式最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，思路启迪：先化二次根式为最简二次根式最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式， 与根号外面的因式无关与根号外面的因式无关 (3)若若+=0，求，求 a2010+b2010的值的值 a + 1b1 思路启迪：思路启迪：利用二次根式的非负性；利用二次根式的非负性；根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将 问题转化为解方程组的问题问题转化为解方程组的问题 【例例 3】化简化简 (4) (a0) 8a2b3c4 (5) (6)x2 (7) (8)(00) ba3bb3 2 a a3b 9ab 思路启迪：思路启迪： 先化简二次根式，再合并同类二次根式先化简二次根式，再合并同类二次根式 【例例 6】计算：计算： (1)(35) (2)(3xy+) 1 2 1015 6x3yxy3xy (3) (2+) (4)(25)(+)2 1233623 思路启迪：思路启迪： 这里可以把二次根式看成是一个这里可以把二次根式看成是一个“单项式单项式”或者或者“多项式多项式”利用整式乘法或除法法则进行利用整式乘法或除法法则进行 运算运算 二思想方法：二思想方法： 1.整体思想：整体思想： 【例例 7】化简下列各式：化简下列各式： (1)(m0,n0) (2)(xy0) (3)(a0,b0) 2.分类思想：分类思想： 【例例 8】化简：化简：+ x2x22x + 1 3.二次根式的非负性：二次根式的非负性： 【例例 9】(1)已知已知 y=+3，求，求 xy的值的值. 2x112x 4 (2)已知：已知： ABC 的三边长的三边长 a、b、c，a、b 满足满足 b2+4=4b 求求 c 的取值范围的取值范围. a1 三三.方法与技能方法与技能 【例例 1】计算计算 (1)(3)2+(2)2 (2)+()2 (3)26 (4) 23(5)252661015 (5)3 (6)() (7)6 (8)36 278 f(5) 324x18x33a2b2 1 563 (9) (10)9 (11) (12)52 3 212275018053 (13)3 (14)(3)(3) 7 3 2ab32a 思路启迪：思路启迪：(1)二次根式的乘除法运算就是利用公式二次根式的乘除法运算就是利用公式=(a0,b0)和和=(a0,b0)进行进行 abab 的，二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式的，二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式 (2)二次根式的乘法运算，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相二次根式的乘法运算，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相 乘有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算乘有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算 【例例 2】把根号外面的因式移到根号里面：把根号外面的因式移到根号里面：(1)4 (2)x (3)(2a) 2x 思路启迪：思路启迪： 因式内移，是把根号外面的非负因式或因数平方后移到根号内，与根号内的被开方因式内移，是把根号外面的非负因式或因数平方后移到根号内，与根号内的被开方 数相乘运用公式数相乘运用公式 a=(a0)及公式及公式=(a0,b0)，可将根号外面的非负因式移到根号里，可将根号外面的非负因式移到根号里 a2abab 面面 【例例 6】比较下列两个数的大小：比较下列两个数的大小：(1)与与 3 (2)6与与7 19276 思路启迪：思路启迪： 一般地，当一般地，当 ab0 时，时，根据这个性质，根号外面的非负因式移到根号内，就根据这个性质，根号外面的非负因式移到根号内，就 ab 可以比较二次根式的大小可以比较二次根式的大小 演练与反馈演练与反馈 一、慎重抉择一、慎重抉择(每小题每小题 4 分，共分，共 24 分分) 5 1在式子在式子(x0)， ，（x0） ， ，(y=2)，x+y 中，二次根式有（中，二次根式有（ ） 23x 3 3y + 1x2 + y2 A. 2 个个 B. 3 个个 C. 4 个个 D. 5 个个 2下列各式不是最简二次根式的是（下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. a2 + 12x10.2y 3如果如果=2x，那么，那么 x 取值范围是（取值范围是（ ） (x2)2 A、x 2 B. x 2 C. x 2 D. x2 4如果如果是二次根式，那么是二次根式，那么应满足的条件是（应满足的条件是（ ） 32x x A、x= B、x C、x D、x 3 2 3 2 3 2 3 2 5 若若 x0，则，则的结果为（的结果为（ ） A、2 B、0 C、0 或或2 D、2 6.下列根式中，是最简二次根式的是（下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 0.2a8a + 8ba2b23ab2 7在二次根式：在二次根式：，；中，与中，与是同类二次根式的是（是同类二次根式的是（ ） 1223273 A和和 B和和 C和和 D和和 8下列计算中正确的是（下列计算中正确的是（ ） A. = B. =2 C. = D. =3 5 3 1 52182 9若若 b0，则化简，则化简的结果是（的结果是（ ） ab3 A.b B.b C.b D.b abababab 10下列各式计算正确的是（下列各式计算正确的是（ ） A、82=16 B、55=5 C、42=8 D、42=8 333326326325 11若若+2+x=10，则，则 x 的值等于（的值等于（ ） 18x A. 4 B.2 C. 2 D.4 12若若的整数部分为的整数部分为 x，小数部分为，小数部分为 y，则，则xy 的值是（的值是（ ） 33 A.33 B. C. 1 D. 3 33 13等式等式=成立的条件是（成立的条件是（ ） (a + 1)(a1)a + 1a1 A、a1 B、a1 C、1a1 D、a1 或或 a1 14当当 a0,y0) (4) = 32a4 + a4b2 9分母有理化：分母有理化：(1)= (2)= 三、知识理解三、知识理解(每小题每小题 10 分，共分，共 20 分分) 11计算：计算：(1) (2) (3)23 (4) 5428105 12. 计算：计算：(1)(3) (2)(54)3 1 3 2724 12632 (3)(2)(2) (4)(32) 3232667 17计算计算 : (1)()()； (2)3()； 3 2 2015 1 3 48 1 8 15 1 2 (3)+； (4)(+3+) 45108125 3 2 6 5 17 10 6 (5) (6)()(4) 812 2 5 四、技能掌握四、技能掌握(每小题每小题 10 分，共分，共 20 分分) 13已知已知 a，b 为实数，且为实数，且=(b1)，求，求 a2009+b2010的值。的值。 a + 11b 7 14已知已知 a、b、c 为为 ABC 的三边为化简的三边为化简+ (a + b + c)2(abc)2(bca)2(cab)2 15已知已知 a=+，b=，求，求 a2ab+b2的值的值. 3232 16已知已知 A=，B=，求，求+的值。的值。 1 A1 1 B1 17已知已知 x+y=5，xy=3，计算，计算+的值的值. 18(1)化简：化简：+ (x1)2(x + 2)2 (2)设设 y=+，试解答下面的问题：，试解答下面的问题： (x1)2(x + 2)2 在直角坐标系内画出在直角坐标系内画出 y 关于关于 x 的函数图象；的函数图象； 问问 y 有最大值还是最小值，并求当有最大值还是最小值，并求当 x 为何值时，为何值时，y 有最有最 大大(小小)值？值？ 一、二次根式的有关概念及二次根式有意义的条件一、二次根式的有关概念及二次根式有意义的条件 1 2 3 4 5 12345 5 4 3 2 1 12 3 4 5x y O 8 1若在实数范围内有意义，则的取值范围是36x x ABCD2x2x 2x2x 2若代数式有意义，则的取值范围是 2 1 x x x A B C D21xx且1x2x21xx且 3要使有意义，则 x 应满足（ ） 12 1 3 x x Ax3 Bx3 且 x Cx3 Dx3 2 1 2 1 2 1 2 1 4 的算术平方根是: 2 4 A. 4 B. C. D. 422 5 的值等于9 A3BCD333 6 27 的立方根是（ ） A3 B3 C9 D9 7已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 1 2 y x 1 8 mynx nymx nm 2 A4B2CD 2 2 8下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2 1 438 9计算的结果是 2 ( 3) A3 B C D 933 10若 a1，化简（ ） 2 (1)1a Aa2B2aCaDa 11如图，下列各数中，数轴上点 A 表示的可能是 A.4 的算术平方根 B.4 的立方根 C.8 的算术平方根 D.8 的立方根 12下列说法错误的是（ ） A的平方根是2 B是无理数 C是有理数 D是分数162 3 27 2 2 二、二次根式的化简及运算二、二次根式的化简及运算 1设、，则下列运算中错误的是（ ）0a0b 9 （A） （B） （C） （D）baabbabaaa 2 )( b a b a 2化简的结果是( )33(13) A3 B3 C D33 3下列运算错误的是 A. B. C. D.235236623 2 (2)2 4与最接近的两个整数是 10 A. 1 和 2 B. 2 和 3 C. 3 和 4 D. 4 和 5 5若 a、b 为实数，且满足a2+=0，则ba的值为 2 b A2B0C2D以上都不对 6下列运算正确的是（ ） A B C D63 2 a a 2 2 3( 2)3 2 1 aa a 1882 7