（水工结构工程专业论文）结构体系可靠度分析方法研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 基于可靠度的思想进行结构设计和评价是近几十年来结构工程中的一大进步，但是 目前的应用还主要停留在构件可靠度水平，而工程中的结构大都是由许多构件组成的结 构体系，如何对结构体系进行可靠度分析是近年来可靠度研究的一个热点，而寻求结构 体系的主要失效模式与计算体系失效概率又是体系可靠度分析的两大难点。本文针对体 系可靠度分析中的这两大难点开展研究，取得以下主要成果： l 、针对功能函数没有明确表达式的可靠度问题，提出了一种新的计算方法。此方 法以差分代替微分，利用近似的线性函数或非线性方程求解可靠指标和验算点。如果当 前迭代点距极限状态曲面较远，则通过非线性方程求解可靠指标和验算点，反之，通过 近似的线性函数求解可靠指标和验算点，以保证计算过程中迭代点距极限状态曲面越来 越近。此方法无需拟合响应面，计算过程简单，在保证计算精度的同时，提高了计算效 率。一般情况下，可比传统方法计算量少3 0 4 0 ，从而为大型结构的可靠度分析提供 了条件。 2 、提出了一种计算体系失效概率的新方法。将条件失效模式等价为线性失效模式， 推导了等价线性失效模式的解析表达式，在此基础上，逐次利用条件概率的基本原理， 最后将一个并联体系的失效概率变成一系列等价线性失效模式失效概率的乘积，从而使 一个高维积分问题转换为一组简单的代数运算问题。此方法既适用于并联体系，又适用 于串联体系；精度高；计算量小，不存在不收敛现象。 3 、提出了改进的微分等价递归算法。对传统的微分等价递归算法进行了改进，首 先推导了等价失效模式的解析表达式，克服了传统微分等价递归算法利用数值方法求解 等价失效模式的缺点：在此基础上，分析了用等价失效模式求解体系失效概率时产生误 差的原因，并提出了修正公式，从而提高了计算精度高并降低了计算量，为微分等价递 归算法在体系失效模式识别以及体系失效概率计算中的广泛应用奠定了良好的基础。 4 、提出了识别体系主要失效模式的广义约界法。以概率评估体系为基础，通过下 述原则判断失效候选元件。( 1 ) 阶段失效路的联合失效概率应满足阶段约界条件，以使 失效概率较大的元件进入主要失效模式；( 2 ) 阶段失效路的失效概率应满足整体约界条 件，以删除对体系整体失效概率影响较小的失效路；( 3 ) 元件失效时的荷载增量为正值， 大连理工大学博士学位论文 以删除具有相同功能函数的失效路。此方法识别效率高，一般不会遗漏主要失效模式。 关键词：可靠度：结构体系；可靠指标；隐式功能函数；失效模式；体系失效概率 i 】 查垄翌兰盔堂竖主堂垡堡壅 一 一 a b s t r a c t i ti sag r e a ta d v a n c et od e s i g na n de v a l u a t ee n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sb a s e d0 1 1t h er e l i a b i l i t y t h e o r y b u t ，t h i sa p p l i c a t i o n i so n l yl i m i t e dt ot h ec o m p o n e n tl e v e li nt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s i ti sc o m m o nk n o w l e d g et h a tm o s to ft h e s t r u c t u r e sa r es t r u c t u r a l s y s t e m s w h i c ha r e c o m p o s e d o fm a n yc o m p o n e n t s s o ，r e c e n t l y , m o r ea n dm o r ea t t e n t i o n i s p a i d t ot h e c a l c u l a t i o no fs y s t e mr e l i a b i l i t y h o wt of i n dt h ef a i l u r em o d e sa n dh o w t oc a l c u l a t et h e f a i l u r ep r o b a b i l i t ya r et w ok e yp o i n t si nt h es t r u c t u r a ls y s t e mr e l i a b i l i t ya n a l y s i s t h es e a r c h w o r ki nt h i sp a p e rw a sm a d ea r o u n dt h ea b o v et w ok e yp o i n t s ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r ea s f o l l o w s ： an e wn u m e r i c a la l g o r i t h mi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r , w h i c hi sa p p l i c a b l et ot h o s er e l i a b i l i t y p r o b l e m sw h e n t h ep e r f o r m a n c ef u n c t i o nh a sn oe x p l i c i te x p r e s s i o n ，i nt h i sm e t h o d ，i ft h e d e s i g np o i n ti sc l o s et ot h el i m i ts t a t es u r f a c e ，t h ec u r r e n tr e l i a b i l i t yi n d e xa n dd e s i g np o i n t c a nb ef o u n db y s o l v i n g n o n l i n e a re q u a t i o n s ，o t h e r w i s e b ys o l v i n ga p p r o x i m a t e l i n e a r f u n c t i o n s i nt h i sw a y , t h ed e s i g n p o i n tb e c o m e s m o r ea n dm o r ec l o s et ot h el i m i ts t a t es u r f a c e b e c a u s et h er e s p o n s es u r f a c ef u n c t i o nd o e sn o tn e e dt ob ec o n s t r u c t e di nt h i sm e t h o d ，t h e c a l c u l a t i o nb e c o m e sv e r ys i m p l e b yt h i sm e t h o d ，t h ec a l c u l a t i o na m o u n ti sd e c r e a s e db y 3 0 4 0p e r c e n tc o m p a r e dt ot h et r a d i t i o n a lm e t l l o d t h ec a l c u l a t i o ne f f i c i e n c yj si n c r e a s e d q u i t e al o t s o ，t h i sn e wm e t h o di s a p p l i c a b l e f o rt h e r e l i a b i l i t ya n a l y s i so fl a r g ea n d c o m p l i c a t e de n g i n e e r i n g s t r u c t u r e s an e wm e t h o df o rc a l c u l a t i n gs y s t e mf a i l u r ep r o b a b i l i t yi sa d v a n c e di nt h i sp a p e r , i nw h i c h t h ec o n d i t i o n a lf a i l u r em o d ei sa p p r o x i m a t e dt oal i n e a re q u i v a l e n tf a i l u r em o d e b a s e do nt h e a n a l y t i c a le x p r e s s i o no ft h e l i n e a r e q u i v a l e n t f a i l u r em o d ea n dp r i n c i p l eo fc o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y , t h i sn e w m e t h o di sd e r i v e d ，b yw h i c ht h em u l t i n o r m a li n t e g r a t i o ni ss i m p l i f i e dt o as i m p l ea l g e b r ac a l c u l a t i o n t h i sm e t h o di ss u i t a b l en o t o n l yf o rt h ep a r a l l e ls y s t e m sb u ta l s o f o rt h es e r i e s s y s t e m s b y t h i s m e t h o d ，t h ec a l c u l a t i o n a c c u r a c y i si n c r e a s e da n dt h e c a l c u l a t i o na m o u n ti sd e c r e a s e d ，a n dt h en o n c o n v e r g e n c e p r o b l e m d o e sn o te x i s t a n i m p r o v e dd i f f e r e n t i a le q u i v a l e n tr e c u r s i o na l g o r i t h mi sg i v e ni nt h i sa r t i c l e f i r s t l y , t h e a n a l y t i c a ie x p r e s s i o no f t h ee q u i v a l e n tf a i l u r em o d ei sd e r i v e d ；s e c o n d l y , t h er e a s o n so fe r r o r o c c u r r e di nt h ep r o c e s so ff i n d i n gs y s t e mf a i l u r ep r o b a b i l i t yb yu s i n gt h ee q u i v a l e n tf a i l u r e m o d ea r ea n a l y z e d ；f i n a l l y , ac o r r e s p o n d i n gr e v i s e df o r m u l ai sp r o p o s e d t h i sa l g o r i t h mh a s h i g ha c c u r a c ya n dl e s s c a l c u l a t i o na m o u n t s o ，i t l a y s av e r y g o o df o u n d a t i o n f o rt h e d i f f e r e n t i a le q u i v a l e n tr e c u r s i o na l g o r i t t a nt ob eu s e di nf i n d i n gs y s t e mf a i l u r em o d e sa n di n c a l c u l a t i n gs y s t e mf a i l u r ep r o b a b i l i t y b a s e do nt h ep r o b a b i l i t ye v a l u a t i o ns y s t e m ，an e w a l g o r i t h mn a m e dg e n e r a l i z e db o u n d i n g m e t h o df o rf i n d i n gm a i nf a i l u r em o d e si sp r o p o s e d ( 1 ) i no r d e rt ol e tt h ec o m p o n e n t sw i t h l a r g ef a i l u r ep r o b a b i l i t i e si n v o l v e di nt h em a i nf a i l u r em o d e s ，t h e o i n tf a i l u r ep r o b a b i l i t i e so i i 大连理工大学博士学位论文 s t a g ef a i l u r ep a t h ss h o u l db e s a t i s f i e dw i t ht h ec o n d i t i o no fs t a g eb o u n d ；( 2 ) i no r d e rt od e l e t e t h et h i l u r ep a t h sw i t hl e s si n f l u e n c e st of a i l u r ep r o b a b i l i t y o fw h o l es y s t e m ，t h ef a i l u r e p r o b a b i l i t yo fs t a g ef a i l u r ep a t h ss h o u l db es a t i s f i e dw i t h t h ec o n d i t i o no f w h o l eb o u n d ；( 3 ) i n o r d e rt od e l e t et h ei a i l u r ep a t h sw i t ht h es a m ep e r f o r m a n c ef u n c t i o n s ，t h ei n c r e m e n to fl o a d s s h o u l db ep o s i t i v ev a l u ew h e nc o m p o n e n t sa r ef a i l u r e t h i sm e t h o dh a sh i g ha c c u r a c ya n d s i g n i f i c a n te f f i c i e n c y , a n dt h em a i n f a i l u r em o d e so f s y s t e mu s u a l l y c o u l dn o tb em i s s e d k e y w o r d s ：r e l i a b i l i t y ；s t r u c t u r a ls y s t e m ；r e l i a b i l i t yi n d e x ，i m p l i c i tp e r f o r m a n c ef u n c t i o n ； f a i l u r em o d e ；f a i l u r ep r o b a b i l i t yo f s y s t e m i v 大连理1 二大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 工程结构是由钢、木、砖石、混凝土及钢筋混凝土等建造的各种建筑物和构筑物。 工程结构在相当长的使用期内需要承受设备、人群、车辆等使用荷载，经受风、雪、冰、 雨、日照或波浪、水流、土压力、地震等环境荷载的作用，它们安全可靠与否，不仅影 响工农业生产，而且还常常关系到人身安危。2 0 世纪8 0 年代以来，北美、欧洲和亚洲 的许多国家和地区，相继发生了一些大型桥梁、高层建筑和海上石油钻井平台的突然性 断裂和倾覆事件，这些灾难性事故不仅引起了公众舆论的严重关注，也使各国政府和科 研机构意识到，对大型重要工程结构的可靠性状况进行分析和评估已刻不容缓。 工程结构在设计、施工、使用过程中存在大量的不确定性，例如材料力学性能的不 确定性、构件尺寸的不确定性以及制造误差和建造不完善性、焊接残余应力的不确定性、 荷载不确定性等。对于这些不确定性，很早以前人们就非常重视。早期，人们提出了用 安全系数来笼统考虑不确定因素的确定性设计方法一容许应力法。容许应力法的主要优 点是应用方便，各种结构按容许应力法进行设计，一般认为可以满足使用要求；该方法 的缺点是，安全系数完全按经验选取，缺乏科学依据，并且安全系数与结构的安全性之 间没有明确的函数关系，对于具有相同安全系数的构件，其可靠性水准不一定相同。利 用结构可靠度理论处理不确定性，克服了传统确定性设计方法的缺点，更符合客观实际。 基于可靠度的思想进行结构设计和评价是近几十年来结构工程中的一大进步，但是 目前的应用还主要停留在构件可靠度水平，而工程中的结构往往是由许多构件组成的结 构体系，一个构件或多个构件失效后，剩下的结构仍能完成规定的功能，只有当失效构 件达到一定数量后，整个结构才会失效，因此，大型结构的可靠度问题往往是体系可靠 度问题。 在结构可靠度理论发展的早期阶段，人们就开始了结构体系可靠度的研究，但在很 长一段时间内，由于数学和力学上的困难，研究进展缓慢。截至目前，有关成果并不多。 由于结构体系可靠度在结构设计决策和评估中的重要性，我国工程结构可靠度设计统 一标准( g b 5 0 1 5 3 - - 9 2 ) 已明确提出“当有条件时，工程结构宜按结构体系进行可靠度 设计”t u 。0 d i t l e v e s e n 和h o m a d s e n 在国际可靠度联合委员会( j c s s ) 的一份工作报告 中，也提出了基于体系可靠度的结构设计和评估方案 2 1 。总的来说，结构体系可靠度设 计的概念和思想己被人们接受，而目前突出的问题是结构体系可靠度的研究现状与工程 实际的迫切要求不相适应。如何快速、简单、准确地搜寻结构的主要失效模式，并在此 基础上计算体系失效概率是体系可靠度分析中的两大难点，也是目前研究的热点。 第一章绪论 1 2 隐式功能函数可靠度问题的研究现状 大型结构的体系可靠度分析过程中，伴随着大量的构件可靠度分析，而一般情况下， 实际工程中的结构构造非常复杂，既使对其进行确定性分析，都需要借助于有限元等数 值分析工具。在这种情况下，进行构件可靠度分析时，常不能给出功能函数的明确表达 式，因此对大型结构的体系可靠度分析，必须首先解决隐式功能函数的可靠度分析问题。 对于功能函数不能直接明确表达的结构可靠度问题，可以用蒙特卡罗法结合有限元 方法加以解决，也可以用随机有限元或响应面法进行求解。 蒙特卡罗法( m o n t e c a r l o ) 是一种随机模拟方法，被广泛用来处理具有随机性的问 题。此方法易于被人们理解、接受，并有概率论中的中心极限定理来保证其可靠性与准 确性，因而很自然地被引入到以概率论为基础的结构可靠度理论中，用来计算结构的失 效概率。我国港口工程结构可靠度设计统标准1 3 1 ( g b 5 0 1 5 8 9 2 ) 已将其作为种 计算方法列入。蒙特卡罗法的优点是：在结构可靠度的数值模拟中，模拟的收敛速度与 基本变量的维数、极限状态函数的复杂程度以及模拟过程无关：并且不管随机变量服从 正态分布还是其它分布，不管是构件可靠度问题还是体系可靠度问题，其求解过程同样 简单。蒙特卡罗法由于具有这些优越特性，因而引起了人们的广泛关注。但是，蒙特卡 罗法需要成千上万次的模拟，对于隐式功能函数问题，也就需要成千上万次的有限元分 析计算，工作量大，很不经济，因此蒙特卡罗法常被用于检验和校核各种近似方法的计 算精度，很少用于大型结构的可靠度分析。 随机有限元法( s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e mm e t h o d ，简记为s f e m ) 是一种将有限元 与概率论相结合的可靠度分析方法。该方法能够考虑随机性因素对结构的影响，给出结 构位移与内力响应量的统计参数( 均值与方差) 。在计算中并不涉及随机变量的概率分 布，只需知道其一、二阶矩( 均值、协方差) 。其理论经过二十多年的研究已取得很大 进展，并在多种特定工程结构领域内得到应用。但随机有限元法需要对确定性的有限元 程序加以改造，而形成一个能够描述结构中存在的各种随机性的通用随机有限元分析程 序尚有不少困难。 响应面法是试验设计和分析中的一个基本方法，1 9 8 4 年，w o n g 【4 1 将其引入可靠度 分析中，其思想是选用一个适当的、明确表达的函数来近似代替不能明确表达的函数， 也就是通过一系列有限元数值计算拟台一个响应面以代替未知的、真实的极限状态曲 面。它的优点是可以直接利用已经广泛应用的确定性有限元分析程序进行可靠度分析， 而无需任何改动。国内外学者在响应面法上做了大量工作：f a r a v e l l i 5 1 以最小二乘法来 估算响应面函数中的系数，建立了以试验设计为基础的响应面法；b u c h e r 和b o t t r g u n d 6 1 以插值技术来估算响应面函数中的系数，建立了早期的迭代响应面法；文献 7 提出的迭 代序列响应面法大大提高了计算效率和计算精度；文献 8 】对迭代序列响应面法中参数的 大连理工大学博士学位论文 取值进行了讨沦。 1 3 体系失效模式识别的研究现状一。0 6 7 1 体系可靠度分析主要包括两方面的内容：主要失效模式的识别和体系失效概率的计 算。失效模式的识别是体系可靠度分析的一个重要环节。 体系失效模式的识别方法，按所采用的判别依据可以分为两大类：极限状态体系和 概率评估体系。 1 3 1 极限状态体系 极限状态体系是根据元件受力的严重程度识别结构主要失效模式。按处理过程的不 同又可以分为：荷载增量法，矩阵力法和线性规划法。 1 荷载增量法 荷载增量法包括m o s e s 的广义承力比最大准则法 1 2 ，1 3 、优化准则法、荷载增量最 小准则法 1 5 1 以及阶段临界强度分枝约界法【1 6 】和全局临界强度分枝约界法m 18 1 。 ( 1 ) 广义承力比最大准则 m o s e s 的承力比准则的主要思想为：由n 个元件组成的结构系统中，设，1 ，以，珞。共 ( k 一1 ) 个元件已相继失效，在失效历程的第k 阶段，定义结构元件 r t k ( 1 , 2 ， ) ，珞甓( _ ，r 2 ，“一1 ) 的承力比箴和承力比之比碟( a 2 ) 为 胛，：望 轷爵畔 - 拳 ， 。1 其中，r 。为元件的承载强度，口为对0 + 1 一k ) 个残余元件组成的结构系统，在外 载作用处施加广义荷载而求得的元件吒的内应力。 m o s e s 认为，元件的承力比越大，该元件受荷载情况就越严重，相应的失效可能性 就越大：元件的承力比之比越大，则该元件对上一级元件的失效就越敏感，也就越容易 失效。m o s e s 提出的承力比准则可描述为：定义约界参数c 。( 0 c 。兰1 ) ，满足 群吼m a x 嘴) 】的元件k 将有资格成为该阶段的侯选失效元件。此方法计算简单，但 是利用承力比之比作为准则的正确性值得怀疑，并且此准则在识别主要失效模式时效率 不高。另外，从m o s e s 对于承力比的定义方式可以看出，他没有考虑加载过程中元件有 效承载力的变化。 ( 2 ) 优化准则法 设元件 ，恐，k 一失效时对应的荷载增量因子分别是叫”，a f ，( “，碟? 。在失 效历程的第k 阶段，定义结构元件，。阮( 1 ，2 ，咒) ，吒g ( n ，吒，珞一。) 的有效强度r ，和 第一章绪论 有效承力比旌蜘分别为 r lr 。- i a d 叫o 望 。飞 r 椎兰= m a x 】 ( 1 2 ) f e n g 认为，满足餐”靠m a x 2 ： 的元件吮将有资格成为该阶段的失效候选元件。 显然，在式( 1 2 ) 中，当取，。= l 时，r 譬为元件r k 在失效历程第k 阶段可用于承受 外荷载增量的有效强度。当取1 。= 0 时，尺为元件r k 的原始强度。可见，f e n g 的优化 准则法和m o s e s 的广义承力比最大准则的显著区别在于，f e n g 根据荷载累积情况，对 元件心的有效承载力进行了实时修正。 ( 3 ) 荷载增量最小准则 在使用优化准则的过程中，f e n g 和董聪( 1 9 8 8 ) 发现了优化准则法的物理依据：在结 构失效历程的每一阶段，以“使系统失效的荷载增量最小化”为准则来选取本阶段的侯 选失效元件。基于此思想，f e n g 和董聪提出了识别结构系统主要失效模式的荷载增量最 小准则。 = s i g n a # r = 月0 一，。：曩。肌。 蚪= 筹 a f 。( k ：= m i n a f ：1 ( 1 3 1 其中，月：4 为考虑拉压差异时元件靠的强度，o 表示在失效历程第i 阶段对应于元件 l 失效的外荷载增量因子，m 。为材料选择参数。当失效元件由理想弹塑性材料组成时 m 。= 1 ；当失效元件l 由理想脆性材料组成时m 。= 0 。i 。为算法选择参数。 给定分枝约界参数c k ( 1 s c k o o ) ，满足式( 1 - 4 ) 的元件将成为第k 阶段的失效侯选 元件。 露”以r a i n 曩” ( 1 - 4 ) 由于曩对应的是沿着失效路n - - + r 2 - jr k ，由失效历程的第( k 一1 ) 阶段演变到失 效历程第k 阶段的荷载增量因子，当唯取满足条件= m i n a f ： 所对应的元件时， 系统的外载增量取值最小。显然，式( 1 - 4 ) 保证了在失效历程的任意阶段，总是使系统外 载增量取值较小的那些元件进入主要失效模式。 荷载增量最小准则将m o s e s 创立的失效模式识别准则由经验体系提升到理性体系。 从物理关系出发容易看出，由于系统失效过程中结构元件的有效承载力发生了变化，因 人连理工大学博士学位论文 此，对于理想弹塑性材料组成的结构系统，m o s e s 将承力l 9 2 _ l e 作为失效模式识别准则 是不合理的。 ( 4 1 阶段、全局i 临界强度分枝约界法 荷载增量最小准则避免了m o s e s 的广义承力比最大准则存在的物理缺陷，但是在缺 乏类似结构可靠性分析经验时，约界参数唧很难选择。产生这一现象的根本原因在于， 荷载增量最小准则中的约界，是针对每一阶段的荷载增量进行的，它只考虑了失效历程 的当前阶段，各潜在失效元件的荷载增加量之间的相对大小关系，并没有考虑到达此阶 段的过程时，系统临界强度累积量的影响。对于高冗余度的常规结构，后者往往是构成 系统临界强度的主要成分。董聪的阶段临界强度分枝一约界法解决了此问题。定义失效 历程第k 阶段，元件唯所对应的系统阶段临界强度r ：、为 女一1 尺蹴) = 碟+ 厶曩“m 。 ( i _ 5 ) j d 满足式( 1 6 ) 的元件吒成为失效历程第k 阶段的失效候选元件 r 蹴) f & m i n 陋萤：、1 ( 1 6 ) 此时的约界参数咏类似于工程设计中的安全系数，其合理的取值区间是1 唧2 ，一般 情况下取1 2 就可以满足要求。系统阶段临界强度分枝- 约界法不仅克服了约界参数难于 选择的缺点，而且使约界更加合理。 阶段临界强度分枝- 约界法的约界是在系统失效历程的各个阶段独立进行的，它只 考虑了同一阶段具有相同前序失效元件的那些元件之间的相互关系，而未考虑在失效历 程的不同阶段，或虽处于失效历程的同一阶段，但具有不同前序失效元件的那些元件之 间的相互关系。定义已有的完整失效模式中，系统临界强度的最小值为，那么全局 临界强度分枝一约界法相当于在选择候选失效元件时使用复合约界条件 r 薪：1 _ 0 6 ) ，窄界限法的上下限会明显拉宽，在这种情况下很难获得结构体系失 效概率的准确估算值；另外，区间估计法的界限公式不具有通用性，串联体系的界限公 式不适合于并联体系1 3 9 1 。 2 点估计法 目前，常用的点估计法可以分为三类，即蒙特卡罗法、直接数值积分法和近似数值 计算法。 ( 1 ) 蒙特卡罗法 蒙特卡罗法可用于计算体系失效概率。它回避了结构可靠度分析中的数学困难，计 算简单，精度高；缺点是计算量大。分析表明 4 0 1 ，m o n t e c a r l o 法的模拟次数与结构失 效概率以及要求模拟的精度( 变异系数) 的平方成反比。降低估计值的方差是减少模拟次 数提高计算精度的有效手段之一。缩减方差的技术有对偶抽样法、条件期望抽样法、重 丌一 ，j飞 大连理工大学博士学位论文 要抽样法、分层抽样法、控制变数法和相关抽样法【4 ”。重要抽样法是应用最多、最为有 效的方法。重要抽样法有一般重要抽样法、渐进重要抽样法、更新重要抽样法、方向重 要抽样法等 4 。重要抽样法是通过选取一个新的概率分布函数来改变抽样重心，从而增 加抽取的样本点落入失效域的机会。一般将抽样中心选取为失效域内对失效概率贡献最 大的一点。对于构件可靠度，可选取验算点为抽样“中心”，在体系可靠度中，对于并 联体系，由于极限状态曲面上只有一个最重要的区域，因此抽样中心应该在并联体系的 联合验算点处；对于串联体系，由于每一个各失效模式的极限状态曲面上都有一个重要 区域，因而每一个验算点都应取作抽样中心，在确定总的抽样次数后，按每个重要区 域对结构体系失效概率的影响程度，来决定以每一个验算点作为抽样分布中心时的模拟 次数，最后再根据影响程度合成结构体系的失效概率。 然而，即使采用各种抽样措施，蒙塔卡罗法的计算量仍然非常巨大，不适合于大型 结构的可靠度分析。 ( 2 ) 直接数值积分法 体系失效概率的计算实际上是一个多维的数值积分问题。对于具有n 个失效模式的 并联体系，其失效概率可以表示为如下形式口5 1 p = m 。( 一万；p ) = rr 2 r 仇( 己细z 。d z ：d z 。( 1 - j t ) 式中卢= 掘属尾r 为并联体系的各失效模式的可靠指标，p = ( p 。) 为各失 效模式间的线性相关系数矩阵，o 。( ) 表示胛维标准正态分布的累积分布函数，p 。o ) 是 栉维标准正态分布的概率密度函数，其表达式为 1 l 一， 吼( 孑，声) = 再习土= e j 7 。( 1 - 1 8 ) i 2 厅jf f d e t ( ；) 式中，d e f t , ) 表示行列式的值，p 。为参的逆矩阵。 当各模式间的相关系数n ，= p 0 ( f _ 1 , 2 ，；，= 1 , 2 ，f _ ，) ，即相关系数矩 阵为 d = 1 p p 1 ： ： p p p p ： 1 f 1 1 9 、 可以证明【4 3 ，此时 味聃肤功冉等卜 m ： 当各失效模式的可靠指标相同时，即属= 展( f = 1 ，2 ，n ) 时，式( 1 2 0 ) 可以进一步 简化为 第一章绪论 吼 咖h 与乎卅 m ：， 当p ，= 乃，i - 1 ，l l l q p = 1 , 2 ，n ；j = 1 , 2 ， 1 如 兄2 ： 。矗五2 ，h ，i j ) 时，也就是 旯2 五。 ： 1 ( 1 - 2 2 ) 式( 1 一1 7 ) 所表达的体系的失效概率可以简化为j 。r、 吣歹脚= o ( z ) i ! i 。i 等卜( 1 - 2 3 ) 扫1 lv l 一 根据相关系数矩阵求解相应的丑( i = 1 , 2 ，n ) 时建立的方程，通常是带有约束条件 ( 1 ) 的矛盾方程组( 有1 1 个未知数，n ( n i ) 2 个联立方程，当且仅当 = 3 时，联立 方程组可能存在准确解) 。 串联体系的失效概率可以用并联体系的失效概率来表示，因此，一般情况下，由n 个失效模式所组成的结构体系，其失效概率是一个”维积分问题。此积分必须采用数值 方法进行求解，因而很难应用于实际工程。并且当n 5 时，庞大的计算量和界限截断 所带来的误差，使得积分方法根本不可行。另外，当失效模式数目多于随机变量的个数 时，相关系数矩阵奇异，此时式( 1 1 7 ) 没有意义，因此对于此类问题不能利用积分法进 行求解。 由于一维标准正态分布累积分布函数的近似计算方法计算