（水工结构工程专业论文）结构拓扑和布局优化及工程应用研究.pdf

摘要 摘要 结构优化设计能够在满足结构性能要求的前提下，节约使用材料，降低工程 造价，具有显著的经济效益。论文主要研究了结构的重分析，优化算法，及桁架 结构和连续体结构的拓扑布局优化等热点和难点问题。主要内容如下： ( 1 ) 定义基内力的概念，导出伴随结构拓扑生成过程而动态生成的基内力 的计算公式，提出了利用基内力进行桁架结构分析的拓扑变化法，给出通过基内 力的修正来实现的重分析计算过程。 ( 2 ) 通过分析混沌特性和基本混沌优化算法优缺点，建立基于种群搜索的 变空间混沌优化算法。利用由多组设计变量构成的种群并行搜索的结果，不断地 缩减、移动寻优空间，加快搜索进程、提高算法精度。 ( 3 ) 将相对差商法和混沌优化结合起来，形成求解离散变量结构拓扑优化 设计的混合算法，可以有效跳出局部最优解，并且降低了重分析次数，提高了求 解效率。 ( 4 ) 提出一个基于多个初始基结构的布局优化方法。在克服传统基结构法 限制求解空间的局限性的同时，将形状和拓扑优化设计有效分离，并且结合拓扑 变化法，实现了桁架结构从选型生成、分析计算到优化设计的一体化智能设计过 程。 ( 5 ) 建立连续体结构在设计相关荷载作用下的拓扑优化模型，并以渐进拓 扑优化法为基础，通过引进流动参数和灵敏度分析等手段实现模型的求解。推导 出目标函数关于设计变量的灵敏度计算公式。以重力坝横截面和拱坝水平截面的 拓扑优化设计为例，考虑水荷载和自重荷载的设计相关特性，将拓扑优化设计应 用于水工结构设计中。 关键词：拓扑变化；重分析；混沌；优化算法；拓扑布局优化：设计相关荷载 a b s t r a c t a b s t r a c t s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g nc a no b t a i ng r e a te c o n o m i cb e n e f i tb ys a v i n gt h e m a t e r i a la n dr e d u c i n gt h ee n g i n e e r i n gc o s t ，w h i l es a t i s f y i n gt h er e q u i r e m e n to f s t r u c t u r a lp e r f o r m a n c e s o m ek e yp r o b l e m so fs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o na r ed i s c u s s e d i nt h i sp a p e r t h es t u d i e sa r em a i n l yc o n n e c t e dw i t ht h er e a n a l y s i so fs t r u c t u r e ，t h e o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ， t h e t o p o l o g y a n dl a y o u t o p t i m i z a t i o n o ft r u s s e sa n d c o n t i n u u ms t r u c t u r e s t h em a i nc o n t e n t si n t h i sd i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： ( 1 ) t h ec o n c e p to fb a s ei n t e r n a lf o r c ei 矿d e n n e d t h ef o r m u l a so fb a s ei n t e r n a l f o r c e ，w h i c ha r ef o r m e dt o p o l o g i c a l l yw i t hs t r u c t u r ed e v e l o p i n g ，a r ed e d u c e d t h e m e t h o do ft o p o l o g i c a lv a r i a t i o no ft r u s s e si s p r e s e n t e d t h ep r o c e s so fr e a n a l y s i s u s i n gm o d i f y i n gb a s ei n t e r n a lf o r c ei sd e v e l o p e d ( 2 )t h ec h a r a c t e r i s t i co fc h a o s ， t h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo fc h a o t i c o p t i m i z a t i o na l g o r i t h ma r ea n a l y z e d t h ec h a o t i co p t i m i z a t i o na l g o r i t h mw i t h v a r i a b l es p a c eb a s e do ns e a r c h i n go fg r o u p si s p r o p o s e d ， t h es e a r c hs p a c ei s d e c r e a s e da n dm o v e da c c o r d i n gt ot h er e s u l t so fs e a r c h i n go fg r o u p sc o n s i s t i n go f m a n yd e s i g nv a r i a b l e s t h es e a r c hs p e e di sa c c e l e r a t e da n dt h ep r e c i s i o no fs o l u t i o n i si m p r o v e dg r e a t l y ( 3 ) c o m b i n i n gr e l a t i v ed i f f e r e n c eq u o t i e n ta l g o r i t h mw i t hc h a o so p t i m i z a t i o n ，a h y b r i da l g o r i t h mf o rt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no ft r u s s e sw i t hd i s c r e t e v a r i a b l e si s d e v e l o p e d t h ep o s s i b i l i t yo fb e i n gt r a p p e di nal o c a lo p t i m u mc a nb er e d u c e dg r e a t l y t h en u m b e ro fr e a n a l y s i si sd e c r e a s e d t h es o l v i n ge f n c i e n ti si m p r o v e d ( 4 ) a na l t e r n a t i v ea p p r o a c ho fs t r u c t u r a ll a y o u to p t i m i z a t i o nb a s e do nm o r e g r o u n ds t r u c t u r e sf o rt r u s s e si sp r e s e n t e d t h el i m i t a t i o no fm i s s i n gt h eo p t i m a l s o l u t i o nd u et oc o n f i n i n gt h es o l v i n gs p a c eb yt r a d i t i o n a lg r o u n ds t r u c t u r em e t h o di s o v e r c o m e t h es h a p ea n dt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n i s s e p a r a t e dc o m b i n i n g w i t h t o p o l o g yv a r i a t i o nm e t h o d ， a ni n t e l l i g e n t d e s i g np r o c e s si n c l u d i n gc o l l o c a t i o n ， g e n e r a t i o n ，a n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no ft r u s s e sc a nb ec o m p l e t e d ( 5 ) t h et o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o nm o d e lo fc o n t i n u u ms t r u c t u r e ss u b j e c t e dt o d e s i g n d e p e n d e n tl o a d si sp r e s e n t e d b a s e do ne s o ，t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mi s s o l v e d b yi n t r o d u c i n g t h ef l o w p a r a m e t e r a n dt h es e n s i t i v i t ya n a l y s i s t h e s e n s i t i v i t i e so fo b j e c tf u n c t i o nw i t h r e s p e c tt od e s i g n v a r i a b l e sa r ei n d u c e d c o n s i d e r i n gt h ed e s i g n d e p e n d e n tc h a r a c t e ro fw a t e ra n dg r a v i t yl o a d ，t h et o p o i o g y a b s t r a c t o p t i m i z a t i o nd e s i g n so fs e c t i o no fg r a v i t yd a ma n da r c hd a ma r ep r o p o s e d t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni sa p p l i e dt ot h eh y d r a u l i cs t r u c t u r ed e s i g n 1 ( e yw o r d s ：t o p o l o g yv a r i a t i o n ；r e a n a l y s i s ；c h a o s ；o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ；t o p o l o g y l a y o u to p t i m i z a t i o n ；d e s i g n d e p e n d e n tl o a d 前言 - _ o _ j 一 月i j舌 结构优化学科的出现，使得人类在结构设计领域产生了一次质的飞跃，由传 统的被动的可行性设计转变为积极主动的最优化设计。随着优化设计理论和应用 的不断发展，优化思想的深度和难度在不断递增，优化的效益也日渐显著，尤其 是拓扑和布局优化以探究结构的受力本质特性入手，给设计领域带来了全新的概 念，也带来了尺寸和形状优化所无法比拟的经济效益。在全球资源日益匮乏的现 状下，节约材料和能源的需求也日显突出，拓扑和布局优化设计的思想和理念必 将受到广泛的关注，其应用也必将渗透到工程设计中的方方面面。 拓扑和布局优化的困难在于其设计思想挑战了结构的初始构型，使得赖以分 析的结构模式不再固定，传统的求解方法难以胜任。本文从寻求便捷的分析方法、 建立现代优化算法以及改变设计模型的角度出发，解决桁架结构拓扑和布局优化 存在的困难：并考虑到实际工程应用，进行伴随结构拓扑变化而变化的设计相关 荷载作用下连续体结构拓扑优化的研究探讨。主要创新之处如下： ( 1 ) 定义基内力的概念，推导相应的计算公式。结合桁架结构的拓扑生成 过程，建立用于桁架结构分析的拓扑变化法。给出利用基内力分析的便捷重分析 方法。 ( 2 ) 建立基于种群搜索的变空间混沌优化算法。在有效利用混沌搜索遍历 性的同时，着重解决基本混沌优化算法存在的受初值影响大，大范围求解效率低 的问题。 ( 3 ) 将相对差商法和混沌优化结合起来，形成求解离散变量桁架结构拓扑 优化设计的混合算法。解决拓扑优化离散变量求解困难及易陷于局部最优解的困 难。 ( 4 ) 建立基于多个初始任意基结构的布局优化模型。在克服传统基结构法 有可能限制求解空间而丢失最优解这一局限性的同时，将形状和拓扑优化设计有 效分离，降低求解的难度，实现桁架结构从选型生成、分析计算到优化设计的一 体化智能设计过程。 ( 5 ) 考虑到水荷载和自重荷载的设计相关特性，进行设计相关荷载作用下 连续体结构的拓扑优化研究，建立相应的求解模型和求解方法。并以重力坝和拱 坝的截面设计为例，将拓扑优化应用于水工结构设计中。 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负 全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明： a 矿年月舌日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文 全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： d i ，年乡月，厶日 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 结构设计一般根据结构的功能要求和可利用材料等情况，首先确定结构类 型、布局、拓扑，再确定几何形状，最后确定构件的尺寸。最早期的设计是经验 性的产品，甚至是任意性的，没有任何计算分析。学会进行力学分析是结构设计 的第一次飞跃。工程设计人员凭借工程理论和经验提出初始设计方案，然后进行 结构分析，并在此基础上判断方案的可行性和优劣程度，必要时反复修改方案直 到满意为止。因此这是一种试验一修正式的设计方法。很明显，随着生产力的发 展和社会的进步，这种基于人的主观经验和直觉的设计方法难以满足现代工程设 计要求。 结构设计的第二次飞跃则发生于结构优化的理论发展和实际应用阶段，力学 分析和优化思想开始介入设计。在满足结构使用性能的需求下，追求结构设计的 经济效益的最大化，由可行性设计达到最优化设计，这就是结构优化设计所研究 的内容。 由于结构优化设计要在准确的结构分析的基础上才能够进行，所以其发展必 然受结构分析发展的制约。第二次世界大战结束以来，电子计算机的问世给结构 分析带来了历史性的突破，同时运筹学和数学规划法也获得了前所未有的发展， 各门学科和技术的相互渗透和融合，使结构优化设计这一交叉学科得以产生和发 展。与传统设计方法不同的是，结构优化设计运用了成熟的数学手段，在给定的 条件下从众多的可行方案中寻求最优设计方案，因此它是一种综合的、理性的设 计方法。由于结构优化设计可以最大限度地利用资源和材料，因此越来越受到人 们的重视，并已在很多实际工程设计中得到推广应用，获得了良好的效益。 与结构设计的过程相对应，结构优化大体上分为这样几个层次：尺寸优化、 形状优化、拓扑优化、布局优化和选型优化等。其中尺寸优化是给定结构型式、 拓扑和形状等条件下进行有关构件尺寸的合理设计，这方面的工作是最早的优化 研究工作，已相对成熟：形状优化是在给定结构类型、拓扑的基础上，对结构的 边界形状进行优化。对于连续体结构，通常用一组参数可以变化的几何曲线( 如 直线、圆弧、样条等) 描述结构的边界，通过调整这些参数来改变边界形状。对 于桁架结构，则往往以结点的位置为设计变量。在形状优化的同时，一般都包含 尺寸优化，也就是同时进行截面面积( 杆件) 和厚度( 连续体) 等优化，有关这 方面的优化工作也取得了很多成果。结构拓扑可以定义为构成结构区域的空间安 河海大学博士学位论文 排。对于桁架结构，拓扑就是桁架中杆件和结点的数量、位置和连接方式；对于 连续体结构，就是确定结构的外边界形状及内部有无孔洞和孔洞分布等拓扑特 性。因此，结构拓扑优化就是在给定的外荷载和边界条件下，改变结构的拓扑以 使结构在满足约束的前提下，达到最优目标。尺寸、形状和拓扑这三个层次的联 合优化就是所谓的布局优化。拓扑和布局优化与尺寸、形状优化相比拥有更大的 自由度，因此能带来尺寸优化和形状优化无法比拟的效益，但难度也更大。它被 公认为当前结构优化领域内最具有挑战性的课题，是近期优化工作的研究热点。 结构选型优化是根据结构的功能要求下，确定所设计结构的类型，如桁架、刚架、 拱、连续体等类型的选择。结构选型是一个非常复杂的决策问题，具有强烈的综 合性，包含大量不确定信息，传统的建模和求解很难奏效，目前尚处于概念阶段， 具体的研究几乎还没有展开。结构优化设计的最高层次应该是一个高级智能专家 决策系统，它可以根据使用功能和性能要求及施工、工艺、场地等条件，自动设 计出满足人们所追求目标的最佳结构( 包括类型、布局、尺寸等所有阶段的设计) 。 这个理想的最高层次的实现，依赖于结构优化理论和应用的发展和完善。 目前，结构优化设计正处于拓扑和布局优化的发展研究阶段，其研究成果对 后继的选型优化直至最高层次优化的实现起着重要的桥梁纽带作用。而作为一个 独立层次的应用，拓扑和布局优化可以突破传统的经验设计，构造出新颖的结构 构型，更大程度地节约材料，在全球资源日益匮乏的现状下，其优越性和重要性 将更为显著。随着拓扑、布局优化理论和方法的逐渐发展和完善，拓扑和布局优 化设计将在航空、航天器、机械、水工、建筑、海洋工程及船舶制造等多个领域 得到越来越广泛的应用，具有很好的发展前景。 结构拓扑和布局优化的研究工作最早可以追溯到1 8 5 4 年m a x w e l l 对应力约 束下最小重量桁架的基本拓扑分析。之后，p r a n g e r 于1 9 7 7 年建立了经典的布局 理论i lj ，m i c h e l l l 2 j 在1 9 0 4 年用解析法研究了在单个荷载作用下、受应力约束的结 构拓扑的理论解，被称为m i c h e l l 桁架，为结构拓扑、布局优化研究奠定了理论 基础，提供了最优解的下限，建立了拓扑优化设计研究的第一个里程碑。但真正 的拓扑优化研究工作是从1 9 6 4 年由d o m 等提出基结构1 3 】的概念后开始的，并在 近十几年来才得以迅速的发展。目前结构的拓扑布局优化主要针对桁架结构和连 续体结构，以有限元分析为基础，建立并求解拓扑布局优化的参数化模型，利用 数值分析的方法进行问题的研究。 1 2 桁架结构拓扑和布局优化发展综述 骨架类结构在工程中得到广泛的应用，尤其是早期的结构设计以骨架类为 主，这是源于工程师们对承载体传力路径的感性认识。因此研究结构的拓扑布局 第一章绪论 优化，从骨架结构入手成为自然。在骨架类结构的拓扑布局优化中，目前的研究 成果主要集中在桁架结构方面，而对于框架类结构的拓扑布局研究相对较少。下 面主要从设计变量、优化模型和求解算法等方面对桁架结构的拓扑布局优化工作 进行总结概述。 1 2 1 设计变量和优化模型 桁架结构的拓扑和布局优化模型大都建立在基结构的基础上。所谓的基结构 是指，在由荷载作用点、支承点和其它可能结点组成的结点集中用杆件两两将其 连接起来所形成的初始结构。通过确定基结构中杆件的有无来实现结构的拓扑变 化，进一步结合结点位置的改变实现结构的布局改变。根据所取设计变量的不同， 已有的基于基结构法的优化模型可分为基于尺寸优化的拓扑优化、独立拓扑变量 的拓扑优化以及集尺寸、形状和拓扑为一体的布局优化设计。另外，近几年随着 一些现代理论的发展和各个学科的交叉，又发展起了不依靠基结构的智能类方法 进行的拓扑布局优化设计。 ( 1 ) 基于尺寸优化的拓扑优化 关于结构尺寸优化的研究工作已经比较成熟，因此，研究者们很自然地采用 了在尺寸优化的基础上进行拓扑优化的研究思想。即取杆件的截面面积为设计变 量，通过杆件面积取零值来达到结构的拓扑变化。目标函数一般取结构重量最轻 或体积最小。基于尺寸优化的拓扑优化模型为 求 a = ( 4 ，彳：，以) 7 晌 形。善硝 ( 1 1 ) j j 彰，( a ) 0 ( - ，= 1 ，j ) ，( ，= 1 ，小 o 4 4 u 目以so = l ，m ) 式中，a = ( 4 ，4 ，彳。) 7 为单元截面设计变量；为结构的重量；p 和分别为第f 杆单元的密度和杆长，朋为杆件数；g 为约束条件函数，g ，表示在第，工况下第 个约束条件函数；j 为约束个数；三为工况数；4 u 为连续变量的上限值； s = ( s ，最，s 脚，o ) 为离散变量的可取离散集，。为离散集的元素个数。 这种将设计变量“挂靠一在截面面积的拓扑优化，概念简单，操作方便，可 以成功地利用已有较成熟的连续或离散变量的求解算法进行问题的求解，实现拓 扑和尺寸的同步优化，使得最初“无从下手 的拓扑优化问题有了初步的探索， 并取得了一定的成果。但由于对实际拓扑情况描述的差异，这类模型仍存在一些 问题，如存在奇异最优解的现象【4 “】，以及尺寸优化中的求解效率很难延伸到拓 扑优化的求解当中这一困难。 结构拓扑优化的奇异最优解的现象最初由s v e d 和g i o n s 在求解三杆桁架结 河海大学博士学位论文 构时发现，通过删除面积为零的杆件始终只能得到拓扑优化的局部最优解i ，1 ；之 后，k r i s c h 等研究者也均指出这一现象，并认为奇异最优解是孤立于可行区域外 的最优解【8 1 0 】； c h e n g 和j i a n g 】的进一步研究指出，出现这一现象的本质是由 于杆单元的应力约束函数具有不连续性，结构拓扑优化的可行域不仅可能非凸而 且可能呈星形，全局最优解可能位于设计空间中非凸星形可行域的退化子区域 中，而非孤立点。这一观点后来得到了r o z v a n y 和b e n d s o e 等研究者的认可【i 川。 为了改善传统模型中由于拓扑的出现而产生的应力函数表达不确切这一现象， c h e n g 等相继提出用内力约束代替应力约束的s 放松模型和占延拓算法等l l 弘j ， 能够高效率地搜索到奇异最优解，m a r t i n 【r 7 】对此方法的有效性进行了证明。 b e n d s o e 等采用以最小柔顺度为目标函数，体积和平衡条件等为约束的优化模型 进行求解，在避免奇异最优解的同时，也提高了求解效率，对于桁架结构的拓扑 优化，是一种有效的方法和途径。m a r t i n 对该模型的建立、求解及应用等方面进 行了全面的总结【1 7 。9 1 。其它一些学者也对优化模型进行了改进，如将杆件( 或结 点) 删除后，相应的应力( 或位移) 约束随之取消这一约束直接引入到拓扑优化 模型中【2 0 】；谭中富等构造以内力为设计变量的拓扑优化模型【2 1 ，2 2 】；h o b a c k 在以 截面面积为设计变量的同时，引入一百分数变量作为杆件是否存在的标识，但主 要缺点设计变量过多2 3 】；段宝岩等【2 4 1 从信息处理的角度提出了基于极大熵的杆系 结构拓扑优化方法，通过应变能和截面分布的交替寻优求结构的最优拓扑，为拓扑 优化工作开拓了新视角。另外，有文献取结构的结点费用和杆件费用作为优化模 型的目标函数【2 5 】；或取结点位移为设计变量【2 6 】；也有学者考虑通过形状优化解决 拓扑优化问题，但由于难度太大而没有成功。 目前，已有大量的基于尺寸优化的拓扑优化模型研究，其中设计空间由二维 到三维，设计工况由单个到多个，设计约束可涉及应力、位移、稳定、动荷载下 的频率及体系可靠性等多个方面【2 7 。4 。 ( 2 ) 基于独立拓扑变量的拓扑优化 要解决拓扑优化工作中存在的各种问题和困难，就必须从描述拓扑本质的角 度建立数学优化模型。桁架结构拓扑优化问题实际上是要解决在满足约束条件的 前提下使目标函数最小的杆件布置问题，即为确定基结构中杆件的“有或“无一。 奇异最优解和求解效率相对较低的现象正是由于以尺寸变量为基础的拓扑优化 对实际拓扑本质的描述不确切而导致的。为此，一些学者开始了以独立的拓扑变 量进行的拓扑优化研究【4 2 5 4 1 。采用基结构法，以基结构中杆件的“有“或 无 为拓扑设计变量，同时考虑杆件截面尺寸变化，建立基于独立拓扑变量的拓扑优 化模型为 第一章绪论 求 m l n s 1 t a = ，j 肛4 g ，( 1 ；：i a ) o ( ：1 ，) ，( ，：1 ，三) ( 1 2 ) g j ，( t ，a ) o ( = 1 ，) ，( ，= 1 ，三) 一 o 篓4 4 瓤s ( 离散集) ( f = 1 ，研) f f = o d ，1 ( 待1 ，朋) 式中，t = ( f 1 ，：，f 。) 7 为结构的拓扑设计变量，以“o 表示杆件不存在，以“1 ” 表示杆件存在，其余符号的含义同式( 1 1 ) 。 显然，根据设计变量允许取值范围的不同，这类模型是一个离散连续型混合 优化问题或是离散变量优化问题。虽然这类模型不能直接应用已成熟的基于导数 的求解算法，并且对于离散变量的求解存在“组合爆炸 问题，但却将拓扑优化 从尺寸、形状优化中独立出来，概念更清晰，更能反映问题的实质。只要采用适 当的求解算法，就能有效地提高求解效率，并且从根本上避免奇异最优解的现象。 这类模型的提出与应用，使拓扑优化研究工作有了突破性的进展。 ( 3 ) 集尺寸、形状和拓扑为一体的布局优化 纵观已取得的研究成果，可以发现，尺寸优化是基础，隐含于形状、拓扑优 化中，而形状优化和拓扑优化相互关联、相互耦合，不可能各自完全独立。因此， 要想获得真正的具有最佳性能特性，同时又能满足经济等实用要求的结构形式， 必须进行布局优化，即将尺寸、形状与拓扑优化统筹起来综合考虑1 5 孓6 。j 。其优化 模型为 求a ，c ，t m i n 形= 尼4 ( c ) f = l s ， g ，( t ，a ，c ) 0 u = 1 ，- ，) ，( ，= 1 ，三) ( 1 3 ) o 4 4 u 瓤s ( 离散集)( 扛1 ，朋) t = o d r l ( f = l ，朋) 0 c q u 或g d ( 离散集) ( 七= l ，刀) 式中，c = 【c l ，c 2 ，e r 为形状优化设计变量，通常取结点坐标，力为结构的结点 数；g u 为形状优化设计变量g 的上限，d 为形状设计变量的可取离散集：其余 符号含义同式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 。根据设计变量取值范围的不同，该模型也可分为离散 型或连续离散混合型。可见，布局优化考虑了尺寸、形状和拓扑优化三者之间的 耦合关系，对优化实质的描述更贴切，但问题的维数和非线性程度更高，求解也 更加困难。 河海大学博士学位论文 ( 4 ) 非基结构法的智能拓扑、布局优化 目前，大多数拓扑、布局优化工作仍都是采用基结构法展开的，因此最优解 实际上是给定基结构中的一个子结构。也就是说，基结构的采用从优化开始就限 定了解的范围，而真正的最优解可能没有被包含在内( 除非基结构中包含所有可 能的布局构型而趋于无限，这是不可能的) ，从而被遗失或只能得到近似最优解。 所以真正意义上的拓扑、布局优化应该摆脱基结构的影响在任意给定的区域内寻 优。 目前基于进化、模糊和神经网络等理论系统的智能优化模型正被引用到拓扑 和布局优化中，并且有着巨大的潜力和良好的发展前景。r u l e 和m r o z 等借鉴了 生物的生长模式，由简单结构出发，通过不断增添杆件拓扑地生成最优结构，其 优化目标可以是最小化结构重量或最小化结构柔度【6 2 6 3 l 。a z i d 等采用遗传算法的 基本思想，在给定荷载作用点和支承位置的前提下进行桁架结构布局优化设计， 完全突破了基结构的束缚，实现了比较理想的智能优化设计，同时也克服了采用 基结构时由于杆件或结点的删减而引起的奇异最优解问题i “，6 5 1 。胡云昌、李吴则 从人工智能概念出发，集模糊、混沌、神经网络等当前比较先进的理论为一体， 建立了桁架结构的智能布局优化系统【6 6 1 ，突破了传统的数学优化模式，为实现结 构智能优化设计【67 】做出了初步的探索。 进一步将拓扑、布局优化工作与材料、物理和控制等研究工作结合起来，进 行最优控制的自适应结构研究【6 8 ，6 9 】这方面工作也已经开始，结构在运行期间随着 外界环境的变化自动调整其适用性的主动控制功能也将随着这方面研究工作的 深入而得以实现。 1 2 2 求解算法 建立一个能够正确描述问题实质的数学模型，对于问题的解决起着决定性的 作用，而相应的一个好的求解算法的实施，同样有着不可替代的作用。按照发展 的先后，拓扑和布局优化的求解方法主要可分为两大类，即以准则法和数学规划 法为代表的传统类方法和以遗传算法等为代表的智能类方法。 ( 1 ) 传统的数学优化求解算法 在早期的拓扑和布局优化工作中，对于变量连续的模型，大多数都采用传统 的数学优化方法进行求解。根据对优化模型建立和处理方式的不同，这类方法主 要可以分为准则法和数学规划法( 包括线性和非线性规划) 两大类。对于离散变 量，有采用将其处理成连续变量再求解的策略，也有构造针对离散变量的启发式 算法的求解方式。 对式( 1 1 ) 所示的连续变量的拓扑优化模型，d o r n 等人在基结构的基础上 第一章绪论 利用满应力法求解l 引，由x i e 等提出的进化法也采取了满应力求解准则1 27 1 ，z h o u 和r o z v a n y 利用变分原理推导出优化准则用于拓扑优化的求解【2 8 j 。为了求解的方 便，一些学者将式( 1 1 ) 中设计变量处理成内力，利用线性规划类方法求解。如 r i n g e r t z 、k i r s c h 和段宝岩等人的工作【2 9 - 3 4 1 ；另外，程耿东等考虑应力和局部稳 定( 单工况) 时采用单纯形法求解【圳；谭中富等先后采用二次规划的对偶逼近求 解i z l j 和利用k t 条件构造线性互补问题，利用修正的单纯形法求解【2 引。对于多 工况及位移约束条件等复杂情况，许多研究者将拓扑优化问题构造成非线性规划 求解，如s v e d 和g i o s 【7 】，d o b b s 和f e l t o n f 36 1 ，k i r s c h 【37 1 ，程耿东和蒋诤1 1 1 等。以 上各种求解算法都是针对连续变量问题的求解，要求目标函数具有连续、可微等 性质，对于设计变量是离散型的优化模型的求解则显得无能为力。因此，相对于 连续变量的研究，早期的离散变量的拓扑优化由于求解的困难而研究较少。其中 针对式( 1 1 ) 的部分工作有，孙焕纯、王跃方构造了基于内力评价的启发式算法 用于求解离散变量的桁架结构的拓扑优化问题【3 8 j ，m a k o t o 采用随机搜索法求解 离散变量拓扑优化问题【3 9 】等。后来，由于独立拓扑变量的提出，使离散变量成为 拓扑优化模型中必不可少的部分，同时又基于拓扑优化工作的研究深入，关于离 散问题的研究广泛开展起来，并取得了系列成果，主要是基于全局随机搜索的智 能求解算法等。 对于连续离散型设计变量的优化问题，可以通过适当的变换将其处理成同一 类型进行求解。如隋允康和杨德庆等【4 2 l 利用r m i 原则重新构建式( 1 2 ) ，通过磨 光函数和过滤函数将变量由离散到连续化，利用非线性规划求解之后再回到离散 状态，成功地处理了多工况、应力位移约束下的杆系结构拓扑优化问题；同时隋 允康和于新等【4 3 j 在此基础上采用建立有无复合体模型的途径来实现从离散变量 到连续变量的映射，利用已有的连续变量的求解方法求解，最后由自适应算法反 演到离散状态，具有较高的求解效率和精度，但对于某些参数的确定需要试算， 存在经验性。孙焕纯、柴山等【4 4 】则基于对连续变量求解的启发，采用相对差商法 直接进行式( 1 2 ) 的离散型问题求解，但也存在可能陷于局部最优解的缺点。这 些算法的提出和成功应用，都对拓扑优化的研究工作起到了积极的推动作用。 布局优化涉及截面面积，形状及拓扑三种变量，优化模型具有高度非线性， 相应的求解也更加困难，被称为结构力学问题中最具挑战性的一类【5 引。采用布局 优化设计的思想在很早以前就被提出，但由于设计的难度而发展缓慢。l9 7 7 年 l i p s o n 和g w i n 研究了离散截面变量的空间桁架布局优化问题，利用复形法求解， 存在杆件删除后不能恢复的缺点，容易丢失最优解5 5 1 。r o z v a n y 和b i r k e r 【5 6 5 8 】 研究了平面桁架的布局优化理论，并主要以两杆桁架为例进行了理论和数值计 算，得出了一些有意义的结论，具有指导作用。孙焕纯，。王跃方等采用形状一截 河海大学博士学位论文 面优化和拓扑优化交替进行的序列两级算法求解离散变量的布局优化问题【59 。，谭 中富分别采用线性规划和非线性规划模型进行了先拓扑后形状和尺寸的布局优 化理论和方法的探讨【6 0 l 。这种分级求解的策略减小了问题的规模，降低了求解的 难度，但可能得到的不是全局最优解。 ( 2 ) 基于全局随机搜索的智能求解算法 桁架结构拓扑优化存在奇异最优解的问题，许多算法都只收敛到局部最优 解，其主要原因在于拓扑优化问题的可行域往往是非凸、非连通的，甚至是退化 的、完全分离的】，利用一般梯度类非线性规划算法难以得到全局最优解。因此， 全局类随机搜索算法被引进了拓扑优化的求解中，其中使用较多的如遗传算法 ( g e n e t i ca l g o r i t h m ，简称g a ) 【2 0 ，4 5 - 4 9 1 。这类方法主要依据自然界中生存进化的 原则，利用对设计变量编码模拟染色体，采用再生、交叉、及变异等手段达到全 局搜索的目的。另外一种用得较多的全局算法是模拟退火法( s i m u l a t e d a n n e a l i n g ，简称s a ) ，它主要通过对固体物理中退火现象的模拟来求解组合优化 问题，具有从局部最优解中摆脱出来的能力。继在尺寸优化和具有非连通可行域 的动力优化问题的应用之后，又被应用于拓扑和布局优化等高层领域p 啦5 2 6 。相 比较而言，g a 算法具有较强的大范围搜索和并行计算的能力，而s a 算法的局 部搜索能力较强，所以有的学者将两种算法联合起来应用。另外，为了减少计算 量，加快求解速度，也有将g a 或s a 与其它求解算法联合起来的应用1 5 瓦”6 w 。 文【6 9 】将数学规划、g a 、s a 及它们的联合应用进行了综合比较，并指出g a 算 法的求解效果较好而s a 与序列线性规划结合的混合算法求解效率最高。较一般 的算法而言，这类全局算法对于搜索复杂区域( 如具有退化低维子域、不连通的、 不可微的，或是离散的区域) ，具有较高的求解效率，一般都能够得到全局最优 解或近似全局最优解。克服了奇异最优解的求解困难，并且在很大程度上缓解了 离散或组合问题的求解难度，开辟了求解新途径。但算法中的一些参数的确定还 需要确定的指导规则，对于某些问题，编、解码之间的映射还存在一定的困难， 同时对于规模较大的问题都存在计算量过大的缺点，尤其是对于结构设计问题， 反复的重分析过程往往是令人难以接受的。设法减少重分析的次数，或构建简便 有效的重分析技术，或采用与并行技术等联合应用的手段提高求解效率，这种全 局搜索算法在结构拓扑布局优化中的应用具有较好发展前景。 1 3 连续体结构拓扑优化发展综述 连续体结构的拓扑优化又称为广义形状优化，主要是确定连续体结构的拓扑 分布及内、外边界的范围和形状等，以达到某种目标与要求下的最优布局。根据 对连续体结构拓扑形式的描述，拓扑优化方法可以分为基结构描述法、边界几何 第一章绪论 描述法以及变结构描述法等。其中，基结构描述法应用最早，也最广泛；边界几 何描述法是一种形状与拓扑优化相结合的方法，以形状优化见长；而变结构描述 法是最近发展起来的方法，具有较好的发展前景。 1 3 1 基结构描述法 基结构描述方法就是把给定的初始设计域离散成适当的、足够多的子设计域 ( 通常利用有限元网格剖分来离散，每个单元当成一个设计域) ，形成由若干子 设计域( 单元) 构成的基结构，再按某种策略和准则从这个基结构中删除某些单 元，用保留下来的单元来描述结构的最优拓扑。 ( 1 ) 基结构单元模型 基于各设计子域( 单元) 所采用形式的不同，基结构描述法的模型主要有以 下几种分类：有无各向同性实体模型( i s o t r o p i c s o l i d e m p t y ，简称i s e ) ，有无各 向异性实体模型( a n i s o t r o p i c s o l i d e m p t y ，简称a s e ) ，以及有无各向同性实体多 孔模型( i s o t r o p i c s o l i d e m p t y 、p o r o u s ，简称i s e p ) 等。 i s e 模型：i s e 拓扑优化模型，包括各向同性的实体单元和空洞单元，即 最后的拓扑形式为一系列空洞单元和一种或几种各向同性实体单元组成。若实体 单元分别由几种各向同性材料所填充，则此模型又称为n i s e 。最简单、最常见的 这类模型为1 i s e ( 黑白模型或0 1 模型) ，如通过单元厚度变化( 0 或1 ) 来决定拓 扑形状的变厚度法就属于此类模型。代表性的工作有r o s s o w 和t a y l o r 【7 0 】对变厚 度应力膜的最优设计研究，在程耿东院士指导下张东旭1 7 1 1 对平面膜结构和王健7 2 1 对薄板结构的研究，t e n e k 和h a g i w a r a 【7 3 1 对薄壳结构的研究等等。 a s e 模型：a s e 拓扑优化模型，包括各向异性的实体单元和空洞单元。主 要用于解决包括各向异性材料的拓扑优化。由于在a s e 拓扑优化中，一般采用将 各单元的弹性模量表示为其密度( 或重量、花费等) 的关系函数，故属于连续变 量的拓扑优化问题。这类方法主要有r o d r i g u e s ( 1 9 9 9 ) 【7 4 1 、g u e d e s 和t a y l o r ( 1 9 9 7 ) 【7 5 1 及t a y l o r ( 1 9 9 8 ) 【7 6 1 等开展开来。 i s e p 模型：i s e p 拓扑优化模型，主要包括实体单元、空洞单元以及有孔 单元三种单元形式。对于这类问题，原结构是由空洞及几种各向同性材料组成， 属于非均匀问题。使用i s e p 模型求解时，采用均匀化了的各向异性单元来模拟 原结构。主要的工作有方型空心微结构【7 7 ，7 引、长方形空心微结构【7 9 】等。 其他模型：另外，若i s e p 模型中的有孔单元由复合材料单元所替代，则 此模型称为i s e c ( i s o t r o p i c s o l i d e m p t y c o m p o s i t e ) 【8 0 8 1 1 。若模型中同时包括实体 河海大学博士学位论文 单元、空洞单元、有孔单元及复合材料单元等，则称为i s e p c 拓扑优化模型。具 体各种模型的特性及对比等可参见r o z v a n y 的综述( 2 0 0 1 ) 【8 2 1 。 ( 2 ) 基结构描述法分类 基结构描述法主要包括三大类拓扑优化法，分别为均匀化类方法 ( h o m o g e n i z a t i o n m e t h o d s ) 、渐进化类方法( e v o l u t i o n a r y m e t h o d s ) 及两者的混 合类方法( h e m e t h o d s ) 。 均匀化类方法 均匀化类方法中最典型的一类是源于程耿东和 o l h o 8 3 彤1 在最小柔顺性实心弹性薄板的形状优化 设计中所采用的微结构( 无限细无限密的肋骨) 模 型，后来由b e n d o s 等于l9 8 8 年首次引入到连续体 结构的拓扑优化研究中，并提出均匀化理论【86 。即 在设计区域划分许多具有不同孔洞的微结构( 图1 1 ) 对连续体进行拓扑优化，以微结构细胞的几何尺寸 图1 1 微结构单胞 f i g 1 1u n i tc e l lo fm i c r o s t r u c t u r e s 及方位角为设计变量，利用b e n s o u s s a n l 盯1 等人发展的一套基于摄动理论的关于周 期性结构分析方法，建立材料微结构尺寸与材料宏观弹性常数之间的关系，通过 某些优化算法，确定出使结构的某种性能指标达到最优时设计区域各处的材料分 布，从而得到最优的拓扑结构。自该方法提出以来，得到了广泛的研究和发展， 涉及到振动、热弹性、屈曲等多方面的问题，应用于三维连续体、壳体结构、薄 壳结构及微小型柔性结构等诸多对象【8 弘9 4 j 。 虽然均匀化理论涉及范围广泛，具有严格的数学理论基础，但推导严谨繁 难，阻碍了它在实际工程