（计算机应用技术专业论文）关于铸件冷却与数值模拟的研究.pdf

摘要 摘要 铸造业是个产品质量不易保证的行业，废品率很高。铸造生产中出现的各种 现象严重影响了产品性能( 比如机械性能与物理性能等) 和质量。提高铸件质量， 降低制造成本，缩短试制时问，一直是国内外技术人员追求的共同目标。凝固与 铸造过程的数值模拟为铸造工艺的计算机辅助设计提供了基础，为解决这些问题 提供了可能。它涉及到铸造理论、凝固理论、传热学、工程力学、数值分析、计 算机图形学等多种学科的交叉知识，是一门综合性的复杂的学科。 本文重点研究铸件冷却数值模拟的方法和技术及其在实际模拟过程中的应 用。目标是分析比较各种算法的性能优劣，采用合适的算法对铸件冷却过程进行 模拟，要求得到较好的符合实际的模拟效果，而且人机交互简单、界面清晰明了。 本课题主要从以下五个方面对当前铸件冷却数值模拟算法进行了深入研究， 分别是：( 1 ) 分析讨论数学模型的建立，并推导出有限差分导热方程，编程实现了 铸件冷却的快速模拟动态算法。( 2 ) 分析了各种潜热处理的优缺点，采纳并实现了 温度回复算法。( 3 ) 讨论了各种缩孔缩松的预测算法，对其中的g 、k 法进行了优 化，并将其应用到铸件冷却数值模拟过程中。( 4 ) 分析了宏观偏析的处理方法，实 现了浓化时间算法。( 5 ) 研究分析了铸件冷却过程中出现热裂的预测方法。( 6 ) 最 后，采用可视化技术编写程序对铸件冷却过程作了模拟，模拟过程具有运行速度 较快，结果较为准确，过程动态化，操作简便实用，界面清晰明快等特点。 关键词：固相率有限差分( f d m ) 法缩孔缩松热物性参数不稳定导热稳定性 潜热 a b s t r a c t a b s t r a c t f o u n d r yt e c h n o l o g yb e l o n g st oa ni n d u s t r yw h i c hq u a l i t yi sv e r yd i f f i c u l t yt o g u a r a n t e e ，a n dt h ew a s t e rr a t e i s v e r yh i g h a l l k i n d so ft h ep h e n o m e n o nc o m eo n d u r i n g t h ef o u n d r y p r o d u c i n g a f f e c tt h ep r o d u c t i o n sp e r f o r m a n c es u c ha sm e c h a n i ca n d p h y s i c a lp e r f o r m a n c e ，a n dq u a l i t yh e a v i l y i tb e c o m e sac o m m o na i mi n c l u d e d i m p r o v i n gt h ec a s tq u a l i t y ，r e d u c i n gt h ep r o d u c ec o s ta n ds h o r t e n i n gt r i a l t i m e t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fs o l i d i f i c a t i o na n dc a s t i n gp r o v i d eb a s i sf o rt h ec a d o f f o u n d r y t e c h n o l o g y t h i sp r o v i d e sc a p a b i l i t yf o rd e a l i n go f t h ep r o b l e m i ti n v o l v e dc a s tt h e o r y , s o l i d i f i c a t i o nt h e o r y , d i a t h e r m a n o u ss c i e n c e ，e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ，n u m e r i c a la n a l y s i s ， c o m p u t e rg r a p h i c sa n d s oo n i ti sas y n t h e t i ca n d c o m p l e xm a j o r t h em e t h o da n dt e c h n o l o g ya b o u te a s ts o l i d i f i c a t i o nn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni s s t r e s ss t u d i e di nt h i sp a p e r , a n dt h ea p p l i c a t i o no ft h e s ei nr e a l i s t i c p r o c e d u r e t h e r e s e a r c ha i mi n c l u d i n ga n a l y s i sa n dc o m p a r ea l lk i n d so fm e t h o d sp e r f o r m a n c e ，m a k e u s eo fs u i tw a y s i m u l n i n g t h ec a s ts o l i d i f i c a t i o n ，r e q u i r eg e t t i n gg o o ds i m u l a t i o ne f f e c t ， a n d s i m p l em u t u a lr e l a t i o n t h i sp a p e rh a ss t u d i e dt h ec u r r e n tc a s ts o l i d i f i c a t i o nn u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o r m f i v ea s p e c t f i r s t ，a n a l y s e sa n dd i s c u s s e st h em a t h e m a t i cm o d e l ，c o m p u t et h ef d m e q u a t i o n ，a n dp r o g r a m r e a l i z et h er a p i dc a s ts o l i d i f i c a t i o nc o m p u t e rs i m u l a t i o nd y n a m i c m e t h o d s e c o n d ，c o m p a r ea l lk i n d so fm e t h o d sp e r f o r m a n c et h a td e a lo fh i d d e nh e a t ， a d o p ta n di m p l e m e n tt h et e m p e r a t u r er e s t o r i n gm e t h o d t h i r d ，d i s c u s s a l lk i n d so f s h r i n kh o l ef o r e c a s tm e t h o d ，o p t i m i z et h e g , v c m e t h o d ，a n df i n a l l ya p p l yi td u r i n g t h ec a s ts o l i d i f i c a t i o np r o c e d u r e f o r t h ，a n a l y s e st h em a c r os e g r e g a t i o n sd e a l i n gm e t h o d ， i m p l e m e n t at h i c k e n i n gt i m em e t h o d f i f t h ，s t u d ya n da n a l y s e sm e t h o d sa b o u tt h eh e a tc r a c k c o m eo nd u r i n gc a s ts o l i d i f i c a t i o n s i x t h ，f i n a l l yd e v e l o pap r o g r a mb yu s i n g v i s u a l i z a t i o n t e c h n o l o g yt os i m u l a t et h ec a s ts o l i d i f i c a t i o np r o c e d u r e ，i th a sar a p i dr u n n i n gv e l o c i t y m o r e s p e c i f i cr e s u l t ，d y n a m i cp r o c e d u r e ，s i m p l eo p e r a t i o na n d ac l e a ri n t e r f a c e k e y w o r d ：s o l i d i f i c a t i o np h a s er a t e ，f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) ，s h r i n k i n gh o l e ， s h r i n k i n gl o o s e n e s s ，t h e r m a la n df e a t u r ep a r a m e t e r o f s o m e t h i n g ，i n s t a b i l i t yt r a n s f e r r i n g t h e r m a l ，s t a b i l i t y , l a t e n tt h e r m a l 独创性( 或创新- 陛) 声明 v 。 6 9 5 5 0 0 本人声明所晕交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育 j ! l 构的学位或汪书两使用过的利料。与我一1 同l ：作的同志刈本i i j ：究所做 的任何贡献均已在沧文中做了明确的说明并表示了谢意。 中请学位泛文与资料若有不实之处，本人承担切棚关责任。 f 蠢 本人签名：多形r 娲。9 。s 。f | 。q 关于论文使用授权的说明 本人完全了解幽安电子科技大学有关保留毒u 使用学位论文的规定，即：研究 牛在校攻读掌他期州论文工作的知识产权单位属西安f 也了科技大学。本人保证毕 、l k 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为鸡安f 【_ l 子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允 ：查阅和借阅沦文；学校可以公巾、沦文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 机解密后遵守此规定) 苯萼镣 本人签 导师签 倒密后适用本授权f s 。 旧i ：苏加。彩 第一章绪论 第一章绪论 铸造业是个产品质量不易保证的行业，废品率很高。随着我国经济发展的要 求，以及国际市场的激烈竞争，提高铸件质量，降低制造成本，缩短试制时间， 己成为刻不容缓急需解决的问题。近年来，随着计算机技术不断应用于生产实践， 铸件凝固过程数值模拟等新技术越来越频繁的应用于实际生产中。计算机模拟仿 真技术已经逐步有取代传统的试锗法等经验性研究方法的趋势。铸件凝固过程数 值模拟，是计算机在铸造生产中应用的核心内容，涉及铸造凝固理论、传热学、 工程力学、数值分析、计算机图形学等多种学科，是用计算机等高新技术丌拓铸 造学科向前发展的前沿领域。目前，国内外已从实验科学发展到进入工厂实用阶 段，并已能做到以铸造凝固理论为指导，以计算机数值模拟为手段，控制凝固过 程及预测铸件的缩孔缩松等缺陷，达到优化工艺方案，确保铸件质量，缩短试制 周期，降低生产成本，取得明显经济效益。 随着计算机技术与模拟技术的发展，一些具有较强处理能力与相对成熟的商 业化通用软件也陆续问世。这种状况为数值模拟研究的进一步深入提供了有利条 件。国内以沈阳铸造研究所、大连理工大学、哈尔滨工业大学等院所为代表，模 拟研究的对象十分广泛，内容不断深入，并相应开发了一系列的应用软件。但迄 今通用性较强的商业化软件包仍较缺乏，对进一步推动此项研究的广泛与深入丌 展十分不利。 凝固与铸造过程的数值模拟为铸造工艺的计算机辅助设计提供了基础，它与 几何模拟、数据库或专家系统等技术相结合，即可形成完整的铸造工艺c a d 系统 或软件包，从而成为推动我国铸造工业迅速发展的强大动力。 本文用数值模拟方法与实际生产工艺相结合，研究各工艺参数对铸件冷却温 度变化的影响，包括：结构尺寸、热物性参数、铸造的外部条件等等。这对于掌 握铸件冷却温度变化和对铸件外形结构变化规律，提高工艺设计水平具有指导意 义。 1 1 背景 作为铸造技术的核心环节，金属的浇注与凝固过程包含着各种传递现象，如热 量、质量及动量的传递，以及其他复杂过程。数值模拟的任务即在于建立正确的 数学模型，通过恰当的数值方法，利用计算机来求解这些模型，从而得到能反映 过程规律、指导实践的结果。 在此过程中，中心环节无疑是求解各种支配凝固与铸造过程的基本方程，并与 关于铸件冷却与数值模拟的研究 各类判据函数相结合，预测过程中的各种现象或优化工艺设计。 但要达到达个目的并不容易。求解基本方程需有适当的边界条件配合，方能得 到针对某个具体问题或系统的确定解而金属的铸造及随后的冷却与凝固是一个 相当复杂的过程，精确的边界条件很难定义。这至少与以下一些因素有关：首先， 金属的流动情况极为复杂，且与时间有关。其次，复杂的铸件形状及多元材料系 统使热流情况也变得极为复杂。再次，金属与铸型的热物性都是温度的函数，这 种函数关系目前尚有很多不很清楚。最后，在凝固的金属外壳与铸型之间可能产 生气隙，这将显著影响传热及随后的凝固过程，但是气隙何时形成，在哪里形成， 程度如何，怎样将它纳入计算过程中去，这些都是问题。 实现成功的模拟还必须为金属铸型系统提供各种工艺条件下精确的边界条 件，测定金属与铸型的热物性及其随温度或其他条件变化的规律。这是一项基础 性工作，与方兴末艾的数值模拟研究本身相比，仍是薄弱环节。 对铸件或铸型进行离散化或网格剖分的方法与所使用的数值方法及计算格式 有关，有时也与几何模拟一起作为整个软件的前置处理部分。不同的网格剖分方 法涉及对物体表面形状的近似处理或修正，从而会对模拟结果的精度带来影响。 除了对空间领域的离散外，对时间领域同样也要作离散处理。 整个软件系统的后处理部分，主要是输出或显示数值模拟的结果。随着计算 机软硬件技术的发展，包括彩色显示在内的各种功能日益增强，成功的后处理程 序应能结合模拟对象选用最能揭示过程规律的模拟结果输出或显示方式。 1 2 综述 金属的浇注与凝固过程包含着各种传递现象，如热量、质量及动量的传递， 以及其他复杂过程。数值模拟的任务在于建立e 确的数学模型，通过恰当的数值 方法，利用计算机来求解这些模型，从而得到能反映过程规律、指导实践的结果。 1 2 1 建立数学模型的方法 金属的凝固与铸造过程无论从传热、传质或其他传递过程来看，都是非稳态 过程。描述这类过程的偏微分方程绝大部分都无法通过解析法来求解，只能应用 数值法得到具有一定精度的近似解。 数值法求解实际工程问题的一般步骤大致为：分析实际问题，建立能反映此 问题的物理模型；根据物理模型，找出支配过程的主要参数并建立能描述实际过 程的基本方程或称数学模型，寻求说明此实际过程的各项单值性条件，如几何条 件，物性条件，时间条件，边界条件等；将基本方程所涉及的区域在空间上和时 第一章绪论 间上进行离散化处理( 对空间域的离散又常称网格剖分) ，使之形成一系列的微小单 元或节点：在所有的单元( 节点) 包括内部单元( 节点) 和边界单元( 节点) 上建立由基 本方程及定解条件转换而来的数值计算方程组：选用适当的计算方法求解此方程 组并将求解过程编制成可供计算机执行的程序，求得计算结果；对计算结果作适 当处理以得到我们需要的各种数据、图形或其他文件。 在根据基本方程建立相应的数值计算方程时，可以有不同方法，从而便有不 同的求解方法及计算格式。针对凝固与铸造过程的基本方程，常用的数值计算方 法有：有限差分法( f d m ) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( b e m ) 等。 有限差分法以差分代替微分来处理各类微分方程，概念清晰直观，易于计算、 其中的显式格式更在占用内存量与计算时间上具有优点，但其稳定性要求决定了 在离散化时对距离步长与时间步长的选用受到一定制约。同时，一般来说，典型 的有限差分格式要求对物体作有规则的( 通常为正交等距离) 网格剖分，使它在模拟 复杂或不规则的几何形状时精度受到影响。同属于有限差分范畴的直接差分法突 破了这个限制，可对物体作不规则剖分，是其一大优点。 有限元法是基于古典变分法而发展起来的一种计算方法。它可作不规则网格剖 分，故能用比f d m 更少的网格来再现复杂的物体形状。目前有较多的商业化软件 可供借鉴或移植也是它的一大优点。由于涉及时间域的离散，它在一定条件下也 同样存在稳定性问题。此外，有限元法的计算过程较为复杂，物理概念不如有限 差分法明确。 边界元法是使微分方程乘以某个权函数后再对求解空间进行积分。利用边界 元法可将实际问题降低一维来处理，它也同样对网格剖分没有严格限制，对于稳 态问题甚至无须处理内部区域，只须对边界进行分割即可。但边界元法的公式推 导及运算过程都比较复杂，计算工作量也较大。尤其对非稳态问题，内部区域仍 需网格剖分。总的来说，边界元法仍处于发展阶段，在凝固过程的数值模拟中它 的应用不如上述两法广泛。 1 2 2 研究现状及存在的问题 对金属凝固与铸造的数值模拟研究，在其初期或在较为简化的条件下常以求 解支配凝固传热过程的导热微分方程为主要内容。但实际上凝固过程极其复杂， 为了描述这一过程，需要求解连续性方程与动量传递方程，以确定在传热的同时 铸件内的流动场分布。其次，由于凝固过程中的溶质再分配现象，还必须同时揭 示成分分布的规律，这就要求解扩散方程。再次，传热过程导致铸件的温度不断 下降，从而产生凝固现象，在由液态金属转变为完全固态的过程中液、固相各自 的成分及比例变化非扩散方程所能完全涵盖，还需要求得凝固过程中固相率或液 关于铸件冷却与数值模拟的研究 相率的分布规律。最后，成形铸件的凝固还同时伴随着残留应力与应变的发生， 为描述这一过程，引入诸如热弹性方程这样的支配方程显然是必要的。除了这些 方面，还有金属液内晶核生成与晶粒生长问题，这也是与传热过程有联系，但又 有自身规律的一个过程。 如暂不考虑形核与晶粒生长的微观过程，则以二维问题为例，金属凝固与铸 造过程的完整描述需同时求解下述基本方程：能量方程( 非稳态导热微分方程即能 量方程的一种简化形式) 、连续性方程、动量方程( 纳维一斯托克斯方程) 、扩散方 程( 包括对流传质) 、热弹性方程。 对凝固过程及其数值模拟的进一步深入研究提出了如何将这些基本方程耦合 起来以建立描述凝固过程的统一模型的问题。孤立的去求解上述基本方程仍然无 法真实地描述凝固过程中的各种传输现象及其相互联系及制约关系。而统一模型 应该不仅能正确地反映凝固过程中诸多现象的机理，且不论铸件中任何部位是处 于液态、固态或固液共存状态，均可作出恰当的定量描述。基于这一要求并对凝 固过程作详尽的考察后可以认为、如将形核与生长的微观过程以及铸件完全凝固 后的应力一应变问题暂时不予考虑，则对金属凝固与铸造过程的定量描述需要确 定5 个基本的物理场，即：凝固温度场t ( t ，x ，y ，z ) 、凝固区内的液相浓度场 c 。( f ，x ，y ，z ) 、凝固区内的固相率场工( ，x ，y ，z ) 、枝晶间的液相流动场v ( t ，x ，y ，z ) 、 枝晶间的液相压力场p ( t ，x ，y ，z ) 。用于确定这些物理场分师的相应的基本方程与上 述方程内涵相近，但在形式上则有明显区别，在这里考虑了液相区、固相区及液 圃相共存区等不同的凝固区域并以固相率f 作为贯穿整个凝固过程，统一能量、 质量与动量传递的控制参数，这些基本方程分别为：传热方程、溶质传输方程、 质量守恒方程( 连续性方程) 、液相流动方程。 金属凝固与铸造过程的数值模拟己得到蓬勃发展与广泛应用，但无论在物理 过程方面、还是在计算方法方面尚存在许多有待进一步探索的问题。这里列举若 干如下。 1 描述凝固与铸造过程的物理、数学模型问题尚须不断充实与深化。 2 各种计算方法的适用性，精度控制与误差分析，网格剖分的优化等工作开 展得较少，许多模型有实验结果的初步验证，但缺乏进一步的分析与改进。 3 作为基本方程定解条件的许多问题尚有待深入研究。 4 使数值模拟与生产实际密切结合以形成能指导实际生产过程的铸造工艺 c a d 软件无疑是今后的方向。 第一章绪论 1 3 论文的主要内容及结构 以计算机为代表的高新技术促进了铸造学科的高速发展，为提高和确保铸件质 量开创了新局面。凝固过程数值模拟涉及到铸造理论、凝固理论、传热学、工程 力学、数值分析、计算机图形学等多种学科的交叉知识。 文章主要从五个方面对当前铸件冷却数值模拟算法进行了研究，分别是： ( 1 )进行铸件冷却数值模拟的关键在于分析物体内部的温度场，傅立叶定 律反映了传导传热或导热过程的基本规律，揭示了连续温度场内各点上温度梯度 与热流的关系。有限差分法的物理基础是能量守恒定律，它可以直接从已有的导 热方程及其边界条件来得到差分方程。本论文使用傅立叶导热微分方程推导出有 限差分方程，其基本思想是把求解物体内温度随空间、时间连续分布的问题，转 化为在空间领域与在时间领域的有限个离散点上求温度值的问题，并用这些离散 点上的温度值去逼近连续的温度分布。在这种思想的指导下，利用了m a d a b 系统 中的一些函数和v c 系统中的c m s f l e x g r i d 控件将铸件进行网格剖分，对每个网 格进行温度计算处理，对铸件冷却进行温度的数值模拟。并使模拟过程能够实时 显示，解决了运算速度慢的技术难题。 ( 2 )高温金属随着热量散失，温度下降，进而发生凝固，逐渐由液相转变 为固相。在物相转变的过程中，同时将释放凝固潜热。潜热的释放是凝固过程区 别于一般导热过程的显著特点。对此有二点必须引起注意：首先是对凝固现象这 一物理过程的本身，由于潜热释放，将明显降低铸件的冷却与凝固速度。其次对 支配导热过程的傅立叶方程，由于潜热释放，实质上变成了具有内热源的温度场。 这样，不考虑内热源的各种形式的傅立时方程均不再适用。本论文对潜热的释放 深入进行了分析，由于热量的多少可以用单元体的温度或其变化来表示，所以使 用了温度回复法对铸件冷却过程的潜热释放进行处理，对铸件潜热释放做出了模 拟。这种方法的物理意义明确，容易与数值计算过程相结合。 ( 3 )高温金属液在型腔内由于热量不断散失而逐渐冷却，随后发生凝固。 在此过程中体积收缩，并有可能因得不到及时的补充而在最后凝固的部位形成孔 洞，一般称为缩孑l 。如果孔洞很细小分散，则又称缩松。本论文采用g ，t 法预 计模拟了铸件冷却后产生的缩孔和缩松，并对此算法进行了优化。 ( 4 )在一般的凝固与铸造条件下偏析几乎是不可避免的，先行析出的固相 与残留液相在成分上的差异，溶质再分配过程与凝固速度相比肯定较慢的事实， 造成偏析的必然结果。对宏观偏析的预测以温度场模拟为基础，本论文用浓化时 间法预计宏观偏析的产生部位，即在温度场数值模拟的基础上，求出各单元的浓 化时间，在最大的等浓化时间曲线内将产生宏观偏析。 6关于铸件冷却与数值模拟的研究 ( 5 )利用数值计算法进行凝固过程应力、应变和热裂纹的数值模拟以预计 并采取工艺措施来防止热裂纹产生，一直是铸造和冶金行业努力的方向。可是， 目前在这个方面的研究还未取得令人满意的进展，其原因不仅是由于铸件凝固过 程以及在凝固过程中的力学行为极为复杂，人们对此还未完全掌握，而且还因为 铸件结构和与铸件的凝固过程密切相关的铸型条件差别很大使铸件温度分布以及 由此产生的收缩和应力应变难以确定。本论文最后对铸件热裂的产生原因进行了 相关研究，提出了相应的算法分析。 ( 6 )最后，利用v c 环境编写了模拟程序模拟了铸件冷却过程，程序运行 速度较快，模拟结果比较符合实际，效果较好。 本论文共分为六章，其结构安排如下：第一章概括性地介绍了铸件冷却数值 模拟的技术背景和国内、外研究发展现状，指出了问题所在，简述了本文的研究 目的及研究成果。第二章介绍了具体的有限差分算法及其推导过程，同时进行了 分析讨论。第三章实现了一种潜热算法并将其运用到铸件冷却过程中去。第四章 实现了一种缩松和缩孔的预测算法，并对其进行了优化。第五章对铸件偏析的现 象进行了分析，实现了偏析部位的预测和模拟。第六章对铸件冷却过程中可能出 现的热裂算法进行了初步的探讨和研究，提出了评价的准则。第六章对本论文进 行了总结，并对进一步研究的方法进行了展望。 第二章铸件冷却数学模型的建立 第二章铸件冷却数学模型的建立 在金属凝固与铸件成形过程中，高温液态金属所含有的热量通过各种途径向 铸型和周围环境传递，从而才得以逐步冷却并发生凝固，最终形成铸锭或成形铸 件。与此同时其周围的环境与介质，尤其是铸型，则吸收热量，从而温度不断上 升。在此过程中，高温金属的热量以多种方式向外传递，包括凝固前后高温金属 向型砂空隙和大气的辐射传热，浇注时及凝固之前液体金属内部、被加热后的铸 型内部不同部位及铸型和大气间的对流传热，凝固前后的金属内部、外部向铸型 及铸型材料内部的热传导等，实际上包含了自然界所有的三种基本传热方式。其 中尤以凝固过程中铸件与铸型之间气隙中的传热过程更为复杂，其成因和规律迄 今尚未被完全掌握，一般认为其间的热交换是传导、对流、辐射三种传热方式的 综合结果，只是在金属铸型系统的不同阶段，由于温度分布不同而有所侧重而 己。 尽管如此，一般以金属铸型系统为主要研究对象时，可以认为发生在高温 金属与铸型之间的热交换过程中占主导作用的是传导传热，或简称导热。对大多 数金属材料热加工过程的数值模拟也是从研究其导热过程的不同特点来展开的。 本章即从有关导热的若干基本概念着手，推导出导热过程的基本数学方程，亦即 作为凝固与铸造过程数值模拟计算依据的不稳定导热偏微分方程。 在根据基本方程建立相应的数值计算方程时，可以有不同方法，从而便有不 同的求解方法及计算格式。针对凝固与铸造过程的基本方程，常用的数值计算方 法有：有限差分法( f d m ) 、有限元法( b e m ) 、边界元法( b e m ) 等。在这些方法中， 以有限差分法和有限元法应用较多。有限差分法以差分代替微分来处理各类微分 方程，概念清晰直观，易于计算，其中的显式格式更在占用内存量与计算时间上 具有优势，所以这里以有限差分法为基础进行运算推导，并用来模拟铸件的冷却 过程。 2 1导热过程与傅立叶定律 当物体或系统的各个部位温度不同时，热量就会从高温的物体( 或物体内的高 温部位) 传递到低温的物体( 或物体内的低温部位) 。温度的高低并非物质所固有 的，因而它是物质的一种状态量。物体内各点温度的分布就构成该物体的温度场。 由于温度是一种标量，它没有方向性，因而物体的温度场也是一个标量场。 物体内部各点温度不同，在直角坐标系中即可表述为在某一时刻，各点温度丁是空 间坐标x ，y ，= 的函数，如果这个温度场不随时间而变，则又可称为稳态温度场，反 关于铸件冷却与数值模拟的研究 之，如果温度场随时间而变，即各点温度不仅是空间坐标的函数，而且还是时间 的函数，则称为非稳态温度场。 均匀物体内部的温度场一般都是连续的。所谓温度场连续的意义是指当场内 相邻二点的距离趋近于零时，其温度差办趋近于零。但是，当一个系统由不同材 料的二部分组成，如铸件与铸型，或者物体内部有缝隙，如铸件内部的缩孔处， 这时温度在二部分的交界面上或间隙处就会发生突变，这些部位上的温度场不再 连续。 在同一瞬间，由温度场中温度相同的各点所组成的面称为等温面。它可以是 平面，也可以是曲面。可以理解，在一个二维温度场中，所形成的将是等温线。 物体内的温度场通常即可用等温面( 线) 来表示，对于规则形状的物体，它们的等 温面( 线) 很容易得到。但对于不规则物体内部的等温面( 线) ，一般往往只能由实 测来求得。设法求得铸件内的等温面( 线) ，能直观地了解铸件的凝固进程与不同 时刻铸件内的温度分布情况，进而判断铸件各个部位或断面上的凝固顺序，推断 可能发生收缩缺陷的位鼹，因此具有很大的实用意义。 从物体内部任一点出发，除了沿等温面外，显然在其他方向上温度都是变化 的。这时必然存在着一个方向，在这个方向上温度的变化率( 单位距离上温度变化 的大小) 比其他任何方向都大，因此，我们在该点定义一个向量，它的方向朝向最 大温度增长率的方向( 即此时符号为正) ，而其大小即单位距离上温度的变化，称 这个向量为该点的温度梯度，一般以g r a d t 表示，它的方向就是该点等温面的法线 方向： g r a d t = l i ma t 。= f i 鼍 上式中取偏导数的原因是因为温度的变化不仅与距离和方向有关，而且也与时 问有关。在同一瞬问，如果温度场内的等温线密集，说明该处的温度梯度较大， 反之，等温线稀疏处温度梯度较小。 同时，沿非等温面方向上既然有温度变化，当然也就有热量的传递。如果把 单位时间、单位面积上传递的热量称为热流，那么在不同方向上显然也存在着不 同大小的热流。因此我们又可以在这一点上定义一个向量，它的方向是热流最大 的方向，它的大小即沿着这个方向单位时间、单位面积上流过的热量，这就是热 流向量，通常以口表示。温度场内各点热流向量的总和称为热流场，显然它是一个 向量场。 傅立叶( f o u r i e r ) 定律反映的就是传导传热或导热过程的基本规律。可用数学 形式表述为 第二章铸件冷却数学模型的建立9 牙：小g r a d t ：小开婴 册 ( 2 1 ) 傅立叶定律说明了在物体内部各点上热流与温度梯度的关系，亦即热流与温 度梯度成正比。式中的负号表示q 的方向始终与g r a d t 相反，但是在一般的热量计 算中，这样的正负规则并不方便，因为我们主要关心的是物体的吸热或放热，而 不是热流取什么方向的问题，因而习惯上总是把计算得到的热量取正值。 式( 2 1 ) 中的系数k 称为导热系数( t h e r m a lc o n d u c t i v i t y ) ，这是表征物体导 热能力的一个物性量。它主要取决于物体的种类和温度，也与压力和密度等因素 有关。不同物质的导热系数不同，一般来说，金属的导热系数较大，而非金属材 料的导热系数较小。物质处于不同物态时，由于微观结构的巨大差别，导热能力 也有很大差别，所以它们的导热系数也各不相同。此外，不同物质的导热系数与 温度之间的关系也不尽相同。 从式( 2 1 ) 可以看到，当物体的温度场确定后，热流场也就被唯一地确定下来 了，因为当温度为空间的确定函数时，这个函数对空间坐标的偏导数也是确定的。 反之，在已知热流场的情况下，温度场还不能唯一地被确定下来。因此，在实际 问题中尽管人们也很关心热流的计算，但计算热流的前提是求得温度场。正因为 这样，在导热问题的研究中，人们总是把注意力更多的集中在分析物体内部的温 度场上。 铸件内部的温度分布随时间而变化。从传热方式看，这一散热过程是按辐射、 对流和导热三种方式综合进行的，对流和辐射主要发生在边界上。当液态金属浇 入铸型，假定凝固过程液态金属中不发生对流，它在型腔内的冷却过程是一个通 过铸型向环境散热的过程。在这个过程中，铸件和铸型传热过程基本上是一个不 稳定导热过程。数值方程正是根据不稳定导热偏微分方程数学模型建立的。 在金属凝固与铸造中遇到的导热过程主要是非稳态导热，因此对差分方程的 讨论也围绕这个主题进行，即如何把描述非稳态导热过程的傅立叶方程转化为差 分方程。非稳念导热问题的特点是增加了时间因素，从而出现了一阶微商，因此， 从同一微分方程出发可以建立起不同的差分方程。 前面已经提到，有限差分法的实质是把连续的空间与时间早的温度场问题转 化为一系列离散点上不同时刻的温度值，因此在实际求解时，首先必须将物体离 散化，时间亦然。其次，实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中它们 也必须差分化。所以我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部 区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。后者又称为差分格式。我们 下面的讨论即以差分格式为对象，其中包含的边值条件以组最简单的情况为代 表。 关于铸件冷却与数值模拟的研究 由上，建立一个完整的差分格式以求解非稳态导热方程的步骤大致可归纳如 下： 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。所谓离散化，就是把实际上连续的 物体划分为一系列微小的单元，单元的中心称为节点。时间也同样划分为许多小 区间。可以认为节点集中了它周围微小区域的热容，因而节点温度就是这个微小 区域( 单元) 温度的平均值。这样，所有节点温度集合在一起就代表了这个连续区 域内的温度分布。一般称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边界节 点。 2 在所有内节点( 内单元) 上建立差分方程。这种差分方程的建立，可以由前 述差商代替微商来得到。在建立差分方程时，为了尽量减小差分方程本身所带来 的截断误差，选择适当的差分公式是很重要的。 3 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来表示，并与内节点一起组成 完整的差分格式。所谓边界条件的差分化实质就是建立边界节点的差分方程。 4 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组。 5 将求解的过程编制成计算机程序，则上机运行后所得结果即为非稳态导热 过程中物体的温度场。 在进行区域和时间离散化时，有一些惯用的表示方法和符号。以一维的情况 为例，区域经划分成一系列的微小单元后，二个节点间的距离触称为距离步长， 显然x = ( i 一1 ) 缸。一般在剖分时可取等步长。同理，时间离散化后二个时刻之间 的间隔f 称为时间步长，显然r 。= n a t ，经这样处理后，原来的连续区域( 0sx s f ) 和时间( f 0 ) 变成了一系列离散的点x ，( i = 1 , 2 ，n ) 和r 。= o ，1 ，2 ，) 。为叙述和书 写的方便，将z ，记为i ，f 。记为n ，而z ，在r 。时刻的温度t ( x ，t 。) 则记为甲，即以 下标表示空间位置，以上标表示所处时刻。 2 _ 2 热传导方程 铸件通过六个面的导热时间在时间占，内所获得的能量，与在正时间内产生的 热量加在一起，其和等于微元体积内物质在正时间内积蓄热量的改变，后者用温 度的升高来表示。热传导引起的传热过程遵从下述的傅立叶定律，即“在单位时 间内由于热传导而通过单位断面积的热量( 比热流量) 与温度梯度成正比。” 对于一个微元控制体，尺寸为坑，瓯和疋，该微元控制体在三维坐标系( x ，y ， 第二章铸件冷却数学模型的建立 z ) 中，在x 方向流入微元体左表面的热流可表示为 a q , 一婀t ) 嚣( 2 - 2 ) 式中， 比热流量( w m 2 ) ； f 一温度( k 。c ) ； f 一坐标值( i r i 或c m ) ； 温度梯度( k m ) ： 为导热系数 w ( m k ) 。 流出微元体右表面的热流，应用泰勒级数展开 d q 。+ = d q l + d q x 6 x + ( 2 - 3 ) 在x 方向热传导传递的净热流为 想一蛾m = 面o 【兄面o t ) t 占，正( 2 - 4 ) 同样可得出y ，z 方向的热传递净热流方程式 蛾一d q y 啼= a u l ( z a 7 r i ) 88 ,8：(2-5) d qz d q z 。= - u 。- a ( aa o r l ) 5 , g 8 ：( 2 - 6 ) 三个坐标方向净热流的总和为 岳0 【 面a t ) + 嘉( 丑o t + 昙( a 参】疋坑( 2 - 7 ) 微元体的发热量为q 。，微元体内能增大表现在微元体能量存储随时问的变化 上，即p c 。函印出芸，式中p 密度； c 。比热( 原本为材料的定压比热，由于一般凝固与铸 造技术中所涉及的大多为定压即常压过程，故又常简化为c ，并统称为比热) ； r 时问。 微元体能量守恒，能量存储的时间变化率与热传导引起的流入微元体净热流 和微元体内产生的热量之和相等，可得下式： p 印蠡印& 罢= 面3 ( 面o t ) + 昙( 五旁o t + 夏o 。0 t ) i g g s + 鲰母。 ( 2 - 8 ) 如果物体内没有热源，则上式可简化为 脚署= 昙c 五昙，+ 昙c 五罟，+ 壶c 五笔， c z 剐 此式即为凝固过程温度场分析所依据的数学模型。 关于旃件冷却1 i 数值模拟的研究 有时也写为另外种形式： 罢叫窘+ 斋十矿0 2 t ，( 2 - 1 0 )瓦一帑+ 萨十矿) 其中 p c 。 式中的口称为导温系数，象导热系数这样由材料本身固有性质所决定的物理量 称为物性量。除了五之外，象比热c 。、密度尸也都是物性量。又因这类参数大多 与温度变化的过程有关，在实践中这类过程又大多涉及高温，故它们又常被称为 热物性量。a 是p ，c ，a 等热物性量的组合，所以它也是一个热物性量。 2 3 有限差分方程 有限差分法的物理基础是能量守恒定律。基本思想是把本来求解物体内温度 随空间、时间连续分布的问题，转化为在空间领域与在时间领域的有限个离散点 上求温度值的问题，进而用这些离散点上的温度值去逼近连续的温度分布。其基 础是用差商代替微商。为使问题简化，假定热物性值为常数。 二维导热偏微分方程为 廊署= 面0 【 丽o t ) + 面a ( 面o t ) ( 2 _ 1 1 ) _ j 差商代替微商建立差分方程式 a 2 r z 三，一2 z ：+ z 三。， 而一1 7 一 a 2 r 丁i , j + 。一2 z ：+ z ：一 a y 2v 2 一o t ：三：1 1 二生p a ff ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 采用均匀网格，缸= 衄= d ，整理上述二维导热偏微分方程( 2 9 ) ，可得 z 岁1 = 岛【z 二。+ 正三+ 正：一，+ z ：。】+ ( 1 4 f o ) r , ： ( 2 1 5 ) 第二章铸件冷却数学模型的建立 这里，傅立叶数r = 笳。 2 4 差分方程的稳定性 所谓差分格式的稳定性，其一般概念可描述为：如果初始条件和边界条件有 微小的变化，最后的解是否也只有微小的变化? 如果变化微小，则称解是稳定的， 亦即差分格式是稳定的，否则就是不稳定的。 保证求解结果的稳定性在实际计算中极其重要，这是因为：1 ) 初始条件与边 界条件中有很多是实测数据或经验数据，测量误差难以避免，如果这种测量数据 的分散性会导致解的不稳定，则整个求解过程就失败了。2 ) 计算机进行数值计算 时不可避免的会有舍入误差、同样，如果这种舍入误差在计算过程中由于被不断 积累放大而导致解不稳定，则最后得到的结果也是不可靠的。 对各种差分格式，可推导出一个统一的稳定性判据为 0 ! 二! ! ! 二墨坚1 1 + 2 刀 其中，= 等，五为加权系数。下面即据此来讨论显式差分格式的稳定性。 此时 = 0 ，可得稳定性条件为 0 0 ， 复到瓦，因此有 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 求出微小时间f 内的温度降低量 就产生凝固，由于释放潜热，温度回 q ，= p c 。v a t ( 4 5 ) 甑= c ，a t i l 如果，累计馘= 1 ，体积v 凝固结束。 步骤： ( 1 ) 先不考虑潜热l 计算温度i 川 a t = 瓦一z ” ( 4 6 ) l )工 一 0 +打 p ，p + 0 h = h 第四章潜热处理 ( 2 ) 计算固相率t = c ，a t i l ( 3 ) 温度回复 ( 4 ) 累计甑= 1 时，单元i 凝固结束，否则继续第( 1 ) 步n 4 2 算法分析 由前所述，等价比热法对于凝固温度区间较小的合金处理潜热，当通过液相 线温度和同相线温度时会产生显著的误差。 用热焓法处理潜热，即使是等温凝固的金属和合金，也很容易求出固相率， 而不会产生等价比热法那样的问题。 通过讨论可以看出，温度回复法的物理意义更为明确，同样也很容易与数值 计算过程相结合，实验表明，温度回复法比较好的符合了实际的铸件冷却模拟过 程，是一种比较好的切实可行的方法。 4 3 本章小结 本章对三种处理潜热的常用方法分别进行了比较分析，发现用温度回复法， 与上述两种方法相比，其物理意义更明确，适合于数值计算。由此得出结论，温 度回升法是一种比较好的切实可行的方法。 第五章铸件中的偏析预计 第五章铸件中的偏析预计 在一般的凝固与铸造条件下偏析几乎是不可避免的。先行析出的固相与残留 液相在成分上的差异，溶质再分配过程与凝固速度相比肯定较慢的事实，造成偏 析的必然结果。由于偏析对性能( 主要是机械性能与腐蚀性能) 的严重影响，人们一 直十分关注这个问题。利用数值模拟来预测其行为也就具有极大意义。 可以把偏析分为宏观偏析和微观偏析两大类，它们的特征、成因与对策均有 很大区别。前者称为长程偏析，它表现在铸件内外或上下各部位之间化学成分的 差异。宏观偏析主要是凝固过程中液体的流动所造成，它对铸件的质量有很大的 影响，要想消除宏观偏析是很困难的，只有堵绝它的形成或减轻它的程度。微观 偏析又称短程偏析，按其形成不同可分为胞状偏析，枝晶偏析和晶界偏析等。 宏观偏析的成因要复杂得多，这从典型的钢锭断面上宏观偏析类型的示意说明 上可见一斑。显然，除了溶质再分配及扩散现象以外，金属液的流动在此起了关 键作用。其中有几个现象被公认与宏观偏析的形成有密切关系： 1 固相的收缩及由此引发的运动