（水工结构工程专业论文）连续体结构拓扑优化方法在拱式渡槽设计中的应用.pdf

摘要 连续体结构拓扑优化是近年来结构优化研究领域中难点和热点的问题。拓扑 优化属于结构优化的概念设计阶段，其优化结果使得复杂结构在概念设计阶段即可 获得方案优选。目前将拓扑优化理论应用到水工结构设计中的例子还不多，但是随着 拓扑优化理论的进一步发展和完善，拓扑优化理论应用于工程实践的条件也只趋成 熟。本文在阅读大量外文文献和国内相关论文的基础上，以连续体结构拓扑优化的基 本理论和方法为基础，对拱式渡槽系统结构优化设计提出了一些建议和方法。本文主 要探讨和研究的工作有： 1 、对连续体结构的拓扑优化方法作了较为深入地研究，对均匀化方法、变密度 方法以及变厚度方法等拓扑优化方法的数学模型分别做了探讨和分析，并且对各个方 法的优缺点也进行了分析和讨论。 2 、根据水工建筑物结构设计的具体情况，以a n s y s 中a p d l 语言为基础，二 次开发出拓扑优化程序；应用h y p e r w o r k 中o p t i s t r u c t 的拓扑优化功能，探 索性地利用结构拓扑优化设计技术进行水工结构的优化设计。 3 、利用开发的拓扑优化程序对拱式渡槽系统结构优化设计做了大胆的尝试。以 东深供水改造工程中旗岭渡槽为例，对渡槽拱轴线进行了拓扑优化设计。将拓扑优化 所得的拱轴线与传统常用设计方法而得的拱轴线进行比较，表明了拓扑优化方法在渡 槽拱轴线设计上的可行性和优越性。接着对拱轴线进行拱截面的尺寸优化，得到了较 为满意的结果。 4 、比较了u 形和矩形渡槽的断面过水能力，以及结构受力状况。为解决矩形渡 槽底板因拉应力较大而产生裂缝的问题，应用变密度法对矩形渡槽槽身底板下梁的布 局进行拓扑优化设计，以及应用狭长结构拓扑优化理论对梁结构进行拓扑优化设计。 通过对拓扑优化而得梁的轮廓布局进行应力分析，验证了该拓扑优化方案的可行性和 优越性。 关键词：连续体结构拓扑优化、拱式渡槽、优化设计、拱轴线、有限元仿真分析。 a b s t r a c t r e c e n t l y ，t h ec o n t i n u u mt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nh a sb e c o m ead i f f i c u l ta n d h o ts p o tt o p i ci nt h ef i e l do fs t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，w h i c hi si nt h e c o n c e p t i o nd e s i g np h a s eo ft h es t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，a n dw h o s er e s u l t sm a k e t h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r eo p t i m i z a t i o ni n i t i a l l y n o w a d a y s 。t h e r ea r ef e w a p p l i c a t i o ns a m p l e so ft h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni nt h eh y d r o s t r u c t u r e ， b u tw i t ht h ed e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n to ft h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nt h e o r y ， t h ec o n d it i o no fa p p l y i n gt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nt oe n g i n e e r i n gp r a c t i c ei s m a t u r eg r a d u a l l y a f t e rr e a d i n gn u m b e r so ff o r e i g nd o c u m e n t sa n dd o m e s t i c r e l a t i v ep a p e r s ，b a s e do nt h et h e o r ya n dm e t h o do ft h ec e n t i n u u mt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n ，as e r i e so fs u g g e s t i o na n dm e t h o d sw e r ep u tf o r w a r df o rt h e s t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nd e s i g no ft h ea r c i f o r ma q u e d u c t ss y s t e m i nt h i sp a p e r t h ec h i e fr e s e a r c ha n dw o r kw e r ea sf o l l o w s ： 1 、t h ec o n t i n u u mo p t i m i z a t i o nw a ss t u d i e dd e e p l y ，a n dt h em a t h e m a t i c a l m o d e l so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni nh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ， v a r i a b l e d e n s i t y m e t h o da n dv a r i a b l e - t h i c k n e s sm e t h o dw e r ed i s c u s s e da n da n a l y z e d ，b e s i d e s ， t h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sw e r ec o m p a r e da n dd i s c u s s e di n d e t a i l 2 、a c c o r d i n gt ot h es p e c i f i cs i t u a t i o no ft h eh y d r o s t r u c t u r e ，b a s e do n t h ea p d li nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r eo fa n s y s ，at o p o l o g yo p t i m i z a t i o n p r o g r a mw a se x p l o i t e d ：a n dt h ev a r i a b l e d e n s i t yt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o d o fo p t i s t r u c ti nh y p e r w o r kw a su s e dt od e s i g nt h eh y d r o s t r u c t u r e 3 、b yu s i n gt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o g r a m ，t h ea r c i f o r ma q u e d u c t s s y s t e mo p t i m i z a t i o nd e s i g nw a sa t t e m p t e db r a v e l y t a k e nt h eq i l i n ga q u e d u c t i nt h ed o n g s h e nr e b u i i d i n ge n g i n e e r i n go fw a t e rs u p p l ya s a ne x a m p l e ，t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fa r c i f o r ma q u e d u c t sa r c ha x e sw a sc a r r e do u t c o m p a r e d t h er e s u l t sw i t ht h eo n e sd e r i v e df r o mt r a d i t i o n a ld e s i g nm e t h o d s ，t h e f e a s i b i l i t ya n ds u p e r i o r i t yo ft h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nw a sm a d ek n o w n a n d t h e nas a t i s f i e dr e s u l tw a sg a i n e df r o mt h es i z eo p t i m i z a t i o no ft h ea r c h 4 、t h ed i s c h a r g ec a p a b i l i t vo ft h es e c t i o na n ds t r u c t u r a ls t r e s ss t a t e w e r ec o m p a r e db e t w e e nt h eu - t y p ea q u e d u c t sa n dr e c t a n g u l a ra q u e d u c t s i no r d e r t oc e n t r e lt h ec r a c kr e s u l t e df r o mt h et e n s i o ns t r e s s 。t h ev a r i a b l e d e n s i t y m e t h o dw a sa p p l i e dt ot o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni nt h eb e a mu n d e rt h es l o tb o t t o m b o a r d ，a n dt h eb e a mw a sd e s i g n e db yt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nt h e o r yo fn a r r o w s t r u c t u r e a n df i n a l l yt h ef e a s i b i l i t ya n ds u p e r i o r i t yo ft h et o p o l o g y o p t i m i z a t i o nw e r ep r o v e db ys t r e s sa n a l y s i so ft h ed e r i v e db e a m k e y w o r d s ：c o n t i n u u mt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n 、a r c i f o r ma q u e d u c t s 、o p t i m i z a t i o n d e s i g n 、a r c ha x e s 、t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) e m u l a t i o n a l a n a l y s e 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签 o 、) 年，月) 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 论文作者( 签名) ： 兹堂左 ( 注：手写亲笔签名) 年f 月日 j 河海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 结构优化的目的在于用最少的材料，最低的造价或最简单的工序实现结构的最佳 性能。按照结构类型、设计变量类型以及求解问题的难易程度，结构优化可以分为尺 寸优化、形状优化和拓扑优化【j j 三个层次。对应于三个不同的产品设计阶段：概念设计、 基本设计和详细设计。如图1 1 所示： 图1 1 结构优化设计的三个阶段 拓扑优化 2 1 ：在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体区域位置和数量的最 佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，使得结构在给定所受外力及 约束的情况下，结构的某种性念指标达到最优。对桁架结构的拓扑优化而言就是在给 定节点位置情况下，确定各节点的最佳连接关系。对连续体结构拓扑优化而言，不仅 要使结构的边界形状发生改变，而且对结构中的空洞个数及形状的分布也要进行优 化。通常满足一定要求的结构拓扑形式具有很多种，拓扑形式难以定量描述或参数化， 而需要设计的区域预先未知，大大增加了拓扑优化的求解难度。目前对桁架结构和二 维连续体结构的拓扑优化研究较多。形状优化：拟优化的结构拓扑关系保持不变，而 设计域的形状和边界发生变化，寻求结构最理想的边界和几何形状，在实体结构中表 现为对结构的边界形状进行优化。尺寸优化：在保持结构的形状和拓扑结构不变的前 提下，寻求结构组件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的组合关系。拓扑优化的结果 第一章绪论 主要作为概念设计阶段的参考，是为设计者提供最佳的拓扑形式。目前尺寸优化的理 论以及方法研究已经比较完善，并且广泛应用于实际当中。形状优化的理论和算法也 基本确立。结构拓扑优化又被称为广义形状优化和轮廓优化，是一种比尺寸优化和形 状优化更高层次的优化方法。拓扑优化处于结构的概念设计阶段，其优化结果是一切 后续设计的基础。当结构的初始拓扑不是最优拓扑时，尺寸优化和形状优化可能导致 次优结构的产生，因此在初始概念设计阶段需要确定结构的最佳拓扑形式。 按照研究对象的不同，可以把拓扑优化划分为离散体结构拓扑优化和连续体结构 拓扑优化两大类【3 】。只常生活中常见的桁架、刚架等属于离散体结构，二维板、壳实 体以及三维实体等则属于连续体。从拓扑优化整体研究发展的状况来看，目前桁架方 面的拓扑优化代表了离散体结构拓扑优化发展的主要方向，并且已经开始进入比较成 熟的阶段。但是连续体结构拓扑优化的发展速度较为缓慢。连续体结构拓扑优化是建 立在拓扑学、计算机技术和优化方法基础上的结构优化理论，涉及到应用数学、计算 力学、优化策略等领域，并不断融入优化算法、图像处理、科学计算可视化等新兴学 科和技术。随着拓扑优化理论和工程研究的逐步进展，拓扑优化将可能成为新产品设 计和开发的有力工具。拓扑优化技术自2 0 世纪8 0 年代末提出以来1 4 l ，在航空航天、 汽车、船舶、机械、微电子和新型材料设计等领域得到初步应用【5 】。尤其是汽车工业 领域，拓扑优化问题所覆盖的车辆类型有轿车、公共汽车、卡车等：优化对象包括车 身本体构件、白车身总体、底盘和发动机上的连杆和支撑部件，以及轴承结构等1 6 l 。 拓扑优化的发展方向正逐步从理论走向实际的需要，同益成为结构优化的一个重要分 支。连续体结构拓扑优化作为一个新兴的研究领域，要应用到水工结构设计中还有许 多问题亟待解决，相关的应用文章目前很少见到。本文尝试将连续体结构拓扑优化方 法应用到水工结构设计的实际工作中，研究的内容专注于：连续体结构拓扑优化方法 在拱式渡槽系统设计中的应用。 1 2 结构拓扑优化国内外研究进展 追溯拓扑优化研究的发展史，最早当属1 9 0 4 年m i e h e l l 7 提出的桁架理论，m i c h e l l 用解析方法得到了重量最轻的最优桁架应该满足的条件，即后来所谓的m i c h e l l 准则。 他研究的桁架则被称为m i c h e l l 桁架。这是结构拓扑优化研究领域的新开端，但这一 理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，不能用于实际工程。直到上个世纪 6 0 年代，拓扑优化的研究一直都是以m i c h e l l 准则为基础的，这个理论在桁架结构的 应用中得到了许多修j 下和发展。h e g e m i n e r l 8 】等在刚度、动力参数优化以及非线性弹性 等方面研究中用到了m i e h e l l 准则：c o x 9 1 对于m i c h e l l 桁架也是柔度最小设计做了证 明：r o z v a n y 1 0 - - 1 3 1 则分析了m i c h e l l 桁架的唯一性及杆件的正交性，进一步修正了 m i c h e l l 准则，并对多种边界条件下的m i e h e l l 桁架给出了不同的具体结构形式1 1 4 , 1 5 i ； h e m p 1 6 - 1 8 1 对于m i c h e l l 桁架在多种边界约束情况下的具体形式作了解释；周克民【”1 2 河海大学硕士学位论文 在m i c h e l l 桁架中融入了有限单元法。此后随着有限单元法、数学规划法以及计算机 科学的引入和发展，结构拓扑优化的研究得到了更进一步的发展。1 9 6 4 年d o n 、 g r e e n b e r g t 2 0 1 等人提出了基结构法，他们把数值方法引入到了结构优化领域，随之拓扑 优化的研究领域很快活跃起来，很多学者也陆续提出了一些新的理论和方法。并应用 到了离散体和连续体的结构拓扑优化研究当中。 离散体拓扑优化研究的代表主要是桁架结构。这方面的研究主要是以杆件截面面 积或杆件内力作为设计变量，以结构重量为优化目标函数，以结构平衡方程、刚度条 件、稳定性为约束条件建立优化数学模型。连续体结构的拓扑优化，其本质是0 、l 离散变量的组合优化问题【2 1 , 2 2 1 。这方面的研究，最早是在2 0 世纪8 0 年代初，程耿东 和o l h o 母2 2 - 2 5 1 对弹性板厚度最优分布所作的研究，正式载入史册则是1 9 8 8 年b e n d s o e 和k i k u c h i l 2 0 基于均匀化理论所做的拓扑优化工作，他们引入单胞微结构，研究了连 续体结构的拓扑优化，使结构的拓扑优化研究对象从离散体转入到连续体，开创了结 构拓扑优化领域的新局面。均匀化方法是以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结 构的消长来实现其增删。用数学中的奇异摄动技术将原有力学问题量化为互不耦合韵 微观问题和宏观问题，以一种近似的方法求得材料的弹性模量。此后b e n d s o e 等人 2 。- z s l 对这一方法做了修正和完善；h a s s a n i 和h i n t o n | 2 7 - 2 9 1 对于均匀化方法和数值的模拟分 析做了探讨和分析；吴长春和袁振则对复合材料周期性线弹性微结构的拓扑优化设 计做了研究；程耿东和刘书田剀】对复合材料的应力用均匀化方法做了分析。随着研究 的进一步深入，人们发现连续体结构的拓扑优化存在“奇异解”问题，这个问题最早 是被s v e d 和g i n o s t 3 4 在1 9 6 8 年的研究中发现的；1 9 7 2 年s h e u 和s o w a i t t z ”又对这个 问题做了详尽解释；此后k i r c h m l 指出是因为结构最优拓扑可能为设计空溺里的个 奇异点造成：程耿东则指出是因为在零截面处应力约束函数的不连续才是根本原因； 并提出了用占松弛法通过改进拓扑优化模型来消除奇异最优解1 3 “2 】。此外对于连续体 中的平面结构，如膜、板、壳等，研究者基于变厚度方法也提出了些有效的方法， 变厚度法是以基结构中单元厚度为设计变量，通过删除单元厚度的尺寸下限来实现结 构的最优拓扑。这方面代表性的研究也有很多。程耿东等h 2 】人基于此法研究了离散体 和连续体在局音s 应力约束下的强度拓扑优化；t e n e k 和h a g i w a r a | 4 】研究了薄壳结构： 程耿东和张东旭l 研究了平面膜结构；周克民和胡云昌 4 5 , 4 6 结合有限单元法分析了连 续体结构的拓扑优化，还将之与拓扑分析结合起来m ；1 9 9 6 年隋允康、杨德庆陋”l 和孙焕纯等提出了基于独立、连续、映射变量为一体的i c m 方法，建立了离散体和 连续体拓扑优化的统一模型：隋允康和于新哪- ”i 对基于有无复合体模型的应力约束条 件下的平面连续体拓扑优化做了研究。另外在均匀法的基础上又发展出了变密度法。 这种方法通过直接定义一个经验公式来表达密度和弹性模量之间的函数假定关系舯l ， 将结构的拓扑优化问题转化为材料的最优分布问题。很多学者就此做了一些很有意义 的工作。m l e j n e k t ”1 就此建立了变密度法模型：1 9 9 9 年b e n s o e 和s i g m u n d t “1 对该方法 物理意义的存在性做了证明；y a n 9 1 5 7 l 用于车身的拓扑优化；袁振等哪川人基于杂交元 第一章绪论 以及非协调元和变密度法研究了连续体的拓扑优化；程耿东和王健【舯1 则研究了平面弹 性体结构，解决了应力约束下的拓扑优化问题。 最早采用的结构优化算法是基于直觉的准则法，如满应力法、满应力准则法等。 2 0 世纪7 0 年代出现了优化准则法( 0 p t i m a l i t yc r i t e r i a ，o c ) ：根据物理条件及工程 要求来建立一系列约束条件下( 应力、位移、频率等) 结构需满足的最佳准则，从可 行的设计中找出最佳方案的方法，以充分发挥材料的强度、刚度和稳定性的潜力，实 现等强度、等应变能的最佳传力路径。s c h m i t 首先将数学规划法( m a t h e m a t i c s p r o g r a m m i n g ，m p ) 引进结构优化中。数学规划法指采用一定的数值分析方法搜索最速 下降的方向和最优极值点。7 0 年代，数学规划法和优化准则法得到统一。其代表方法 是由f l e u r y 和s c h m i t 提出的近似概念。其中的关键是有效的结构敏度分析，也就是 分析每个局部变量对结构整体性的影响。后来发展为系列二次规划代替系列线性规 划，可以解决优化问题中的某些难题。近来z h o u l 6 1 1 和r o z v a n y t 6 2 1 提出一种优化准则类 ( o c o c ) 的算法，这种算法可以使得准则算法用来求解拓扑优化的能力大为提高。此 后，遗传算法【6 3 i ( g a ) 、神经元网络算法以及模拟退火算法 6 4 , 6 5 i ( s a ) 等这些适合于并 行计算，而且对函数性态要求较低的全局性搜索算法，开始应用于拓扑优化当中，但 是这些方法有其局限性，仅仅只能用来求解较小规模的问题。g r i e r s o n 和p a k l 6 6 1 、许 素强以及夏人伟m 1 等采用了遗传算法，对桁架结构做了探索性的研究；日本的 h k a w a m u r a 删则使用了改进的遗传算法求解桁架结构的拓扑优化设计问题。m a y 和 b a i l i n g 。1 、蔡文学、程耿东刚1 等采用了模拟退火算法，求解桁架结构的全局最优解； 高峰研究了遗传算法，但是他是采用实数码及非一致变异来考虑对优化结果的影响效 果，并且对于多工况、多约束的离散变量的桁架结构的拓扑优化问题采用了遗传算法 来解决。o r t i z 等 7 0 f f l 贝u 建立起了包含截面和拓扑两类变量在内的离散变量结构的拓扑 优化设计的数学模型，这一模型把截面变量和拓扑变量间的耦合关系考虑了进去，能 够很好地解决“极限应力”、“最优解的奇异性”等结构拓扑优化中出现的不好解决的 难题。段宝岩和陈建军【7 2 1 贝0 在极大墒原理的基础上提出了一种新型的解决杆系结构的 拓扑优化算法。 除了上述以外，人们还提出了其他一些方法和策略。e s c h e n a n e r v 3 l 提出“泡泡法”， 这是将连续体形状优化中的边界变分法进行推广而得来的一种方法；j o g 和h a b e r p 4 7 5 1 提出“等周方法”；x i e 和s t e v e n t 5 7 川基于进化策略，在优化过程逐渐移去低应力结构 材料，提出了渐进结构优化法( 简称e s o 法) ：q u e r i n l 7 7 , 7 8 1 等提出了删除低应力单元和 增加高应力单元并行的双向渐进方法( b e s o 法) ；m a u t e 和r a m m 7 9 i 的自适应网格法； r o z v a n y 和z h o u 提出s i m p 法【“1 ；f l e u r y 和b e c k e d 8 5 1 提出以离散变量为拓扑设计变 量的对偶问题解法；w a n g 等”1 提出的水平集方法；郭旭和赵康【8 8 提出基于拓扑描述 函数的解决方法。这些方法和思想都是非常活跃的，在连续体拓扑优化的研究中具有 广阔的发展前景。 综合国内外研究现状，连续体结构的理论体系可总结归纳为图1 2 所示： 4 阿海大学硕士学位论文 1 3 问题的提出 我国水资源分布很不均匀，北方缺乏水资源，而南方水资源却很丰富。因此只有 进行地区间甚至跨流域的水资源调度，才能使水量平衡，改变我国水资源分布不均的 现状。为此，国家修建了大量的水利配套工程来进行水资源调度，例如引滦入津工程、 东深供水改造工程、南水北调工程等。在远距离输永工程中，使用最多的永工建筑物 是渠道和输水式建筑物，其中渡槽是运用较为广泛的结构型式之一。水利是工农业的 命脉，水利工程必不可少，而作为水利工程所必需的配套工程之一，渡槽又是必不可 少的。这就使工程设计人员必须面对大量的渡槽设计方面的工作。随着地形地质条件 的变化，渡槽的结构形式和布置方案也复杂多变。为了更经济合理地设计渡槽，降低 第一章绪论 渡槽的工程造价，寻求出合理的结构型式与各部分结构尺寸问的最优比例，以保证在 安全使用的前提下使结构的材料性能得以充分利用。有必要对渡槽的受力分析和结构 优化设计等问题进行研究和讨论。 目前水利工程中建筑物的优化已经发展使用了很多计算方法，在已有的方法中精 度较高的是三维有限元方法。对于渡槽来说，其形状优化和尺寸优化的工作已经被认 为是比较完善的。因此新理论方法一拓扑优化方法的研究及应用就显得很有必要，同 时也具备了一定的条件。 由于水工建筑物的几何形状及边界条件都相对比较复杂，且相关的建筑材料( 如 混凝土) 本身又都不是理想的线弹性材料，所以拓扑优化方法虽然在航空航天、汽车、 船舶等领域得到了广泛应用，但是还未能在水工结构优化设计中得到实际的运用。水 工结构的强度设计主要是控制应力，计算结构在各种工况下结构的变形情况。如果可 以对拓扑优化中的现有计算方法进行适当的简化，结构拓扑优化在水利工程中的应用 前景将会非常广阔。同时也将会使水工建筑物的结构优化设计达到一个更新、更高的 层次。 1 4 本文的主要工作 本论文结合实际工程中渡槽三维有限元仿真分析所涉及问题，以a n s y s 和 o p t i s t r u c t 为平台，尝试将连续体结构拓扑优化的基础理论及其应用引入到拱式渡槽 系统优化设计中去。本文主要工作为： 1 查阅大量国内外资料，综述连续体结构拓扑优化的基本理论、国内外研究现 状以及存在的问题。 2 利用a n s y s 中a p d l 语言为基础，二次开发连续体结构拓扑优化程序。尝试利 用开发的拓扑优化程序对拱式渡槽的拱轴线进行优化设计。将拓扑优化所得的拱轴线 与传统设计方法而得的拱轴线进行比较。二次开发拱截面优化程序，对拓扑优化所得 的拱轴线进一步进行拱截面的尺寸优化。 3 从结构有限元仿真分析和水力学角度分析比较了u 形和矩形钢筋混凝土渡槽 的槽身受力优劣状况。 4 为解决矩形渡槽底板因拉应力较大而产生裂缝的问题，结合连续体结构拓扑 优化中均匀化方法和变密度法，尝试对槽身底板中梁的布设方案以及梁结构进行三维 结构拓扑优化设计。 6 河海大学碗士学位论文 第二章连续体结构拓扑优化基本理论 本章主要探讨和研究连续体结构拓扑优化方法的基本理论。任何一个最优化设计 工作都包括两部分内容：( 1 ) 将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型 时要选择设计变量，列出目标函数，给出约束条件；( 2 ) 采用适当的最优化方法，求 解数学模型。连续体结构拓扑优化设计，就是在给定的荷载和约束条件下，选取设计 变量，来建立目标函数并使其获得最优值。优化的过程是确定连续体内有无孔洞，孔 洞的位置、数量和形状等。设计的目标是为了得到一个最佳材料分布结构。 在这一章里，主要介绍连续体结构拓扑优化数学模型建立和优化求解数值算法；分析 连续体结构拓扑优化中经常出现的问题以及解决的方法。 2 1 连续体结构拓扑优化理论基础 拓扑优化原理及方法是以拓扑学为基础建立起来的。拓扑的英文名是t o p o l o g y ， 其英文名来源于古希腊文，在希腊语里原意是地志，也就是地理位置的意思。所以拓 扑学就是研究与地理、地形、地貌相关的学科。拓扑学属于几何学的范畴，是数学的 一个分支，但拓扑学和几何学两者概念和内涵是完全不同的。在几何学里，在“放置” 一个图形时，仅仅允许图形做刚性平移、旋转、反射等，也就是组成图形的任意两点 的距离始终是不变的。而在拓扑中，图形可以做“弹性”平移、旋转、反射，就是图 形在移动时可以随意伸张、扭曲和拉折，则组成图形的任意两点的距离是可以变化的。 在这里图形只要保持它最基本的几何性质就可以了。因此拓扑学就是研究具有空间几 何性质不变的图形的一门数学学科。也即拓扑学研究空间在拓扑变换( 或同胚) 下的 不变量或不变的性质。类似如橡皮泥可以任意捏成随意的形状，而所得的图形和原来 的初始图形是同胚的，没有区别，因此拓扑学也俗称为橡皮几何学。 1 8 7 4 年高斯的学生l i s t i n g 首次正式提出了拓扑学的概念，此后还有多面体的欧 拉问题、四色问题都是拓扑学发展史上的重要事件。其中多面体定理是：如果一个凸 多面体的顶点个数是v ，棱边数为e ，面数为厂，欧拉经过研究发现，这些数目之间 总是存在有这样的关系，即v e + 厂= 2 。这里的2 是二维球面的拓扑不变量，这就是 著名的欧拉多面体定理。四色问题则是1 8 、1 9 世纪数学家研究的关于地图着色的问 题，即平面或球面上的地图需有几种颜色才能保证相邻的国家颜色不同，1 8 9 0 年证明 是五种颜色即可，并且提出四种颜色的设想，即著名的四色问题。 拓扑学历史发展的转折点是r i e m a n n 关于闭曲面问的拓扑分类的结果。1 9 世纪中叶，r i e m a n n 发现了多值复变解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并 7 第二章连续体结构拓扑优化基本理论 得出闭曲面的拓扑分类：闭曲面按同胚分类只有球面和若干个环面的连通和 ( 或) 球面与若干个射影平面的连通和。此后拓扑学所应研究的对象及其重要 性逐渐清晰，更多的数学家致力于这方面的研究。 拓扑学形成一门学科是由p o i n c a r e 开始的。他在研究代数簇( 复变函数， 微分方程) 的基础上，通过将空间剖分成若干个单形的组合，得出空间的b e t t i 数，挠系数的计算方法，还得出e u l e r 定理的一般形式及基本群，流形对偶定理 等结果。他在1 8 9 4 一1 9 1 2 年得出的这一系列成果，标志着组合拓扑学的创立。 要寻求结构的最优拓扑结构，一个比较直观的做法就是，先考虑一个固定的设计 区域，对之进行离散化后，构成单元的有限元分析模型。再对那些低应力区域人为地 指定为要进行软化的单元。在优化过程结束以后，那些很软的单元将被认为是孔洞， 就把这一部分材料从设计区域中“除去”，保留剩余的部分，这样可以得到最终结构 的最优拓扑。但是这种做法又存在一定的困难。首先，对“很软”单元的定义不是唯 一的，因此将要从设计区域中被删去的这一部分也不是唯一的，这样最后得到的最优 拓扑结果也就不是唯一的。其次，这种方法的收敛性比较强烈地依赖于有限单元法的 分析模型，因此这种直观方法有着太多模糊不定的因素。但是即便如此，这种方法也 给人们一个启发，那就是只要模型的构造适当，是可以把结构拓扑优化的问题转化为 尺寸优化的问题的。 b e n d s o e 和k i k u c h i 以带有孔洞的微结构来设计区域，因为该微结构的尺寸是固 定的，所以由整个微结构组成的设计区域也是固定不变的。并且把微结构的孔洞大小 设定为设计变量。则在整个的优化过程中，孔洞逐渐变大以致充满整个微结构时，就 令该微结构消失，成为完全的空洞；若是孔洞变小，直到消失，则该微结构就会成为 实体。在一般情况下，设计区域是由多孑l 介质所构成，由于在优化过程中可以产生空 洞，使得结构的拓扑发生了变更，因此就有可能产生结构的最优拓扑结构。 对带有孔洞的微结构所组成的设计区域进行有限单元分析，一般可以分两步来进 行：首先对微结构进行分析，以期可以求出用来表示微结构力学特性的物理量。因为 微结构带有孔洞，分析起来就不是很方便，倘若对之进行精确的力学分析的话，所花 代价非常昂贵，也就难以实现，因此可以采用某些类似“平均化”的过程，将实际带 有孔洞的微结构用一个理想的均匀、连续介质来代替。以微结构基础的“均匀化”方 法是可以实现这种“平均化”的过程的；其次在对微结构实现“平均化”之后，设计 区域就成为了比较理想的连续介质，这时就可以采取连续介质的分析方法来进行分 析，如有限单元法等。 综上所述，结构拓扑优化问题可以通过下述步骤来进行： 对要设计的区域进行恰当的选择；以若干带有孔洞的微结构组成设计区域， 并以孔洞的大小设立为设计变量，从而构造优化的设计模型；选择合适的方法对微 结构进行“平均化”，并且确立“均匀连续介质”的材料特性与微结构孔洞大小之间 8 河海大学硕士学位论文 的函数关系：将设计区域的拓扑优化问题转化为尺寸优化问题，对之进行优化设计， 寻求最优的拓扑；确定最优拓扑，并针对最优拓扑进行形状优化设计。 对连续体结构在进行拓扑优化时，要求在应力、位移、强度等约束条件均满足的 情况下，结构的边晃形状是可以发生改变的，而且结构内部存在的孔洞个数以及孔洞 位置分布情况也是要发生变化的。在此基础上要求缛到结构的最佳拓扑形式。连续体 结构的拓扑优化设计工作尚处于探讨研究阶段。结构拓扑优化用图解的形式理解很方 便，表达如下图2 1 。 ( a ) 初始设计可行域 ( b ) 拓扑优化后得到的最佳区域 图2 1拓扑优化示意图 结构拓扑优化理论之所以发展缓慢，其根本原因在于：工程设计入员在对结构进 行拓扑优化设计时，要求结构所要满足某种特定功能要求的拓扑形式有无穷多，但又 很难用一个确定的量来描述这些拓扑形式。此外，预先需要对结构进行拓扑优化设计 的可行区域也是未知的，这样就使得问题的难度进一步加大，所以拓扑优化研究领域 目前被公认是结构优化研究领域最富挑战性的课题。随着科学技术的进一步发展，如 果能在工程结构的初始阶段就得到结构的最佳拓扑形式，后续的优化工作就会变得相 当顺利和省时，所以拓扑优化愈来愈引起科技设计人员的重视。 2 2 连续体结构拓扑优化的模型和设计方法 2 2 1 连续体结构拓扑优化的数学模型 拓扑优化又称为结构布局优化。这种优化形式的数学模型的建立、优化方法的选 取，都要比尺寸优化和形状优化复杂的多。拓扑优化就是使工程结构的应力、位移条 件均能满足的前提下，寻找结构最佳的结构布局和节点的连接方式，在结构内部寻找 非实体区域的位置及使结构构件数量得到最优配置。即就是要在一个给定的连续可行 域内，所有的点集需满足能够将结构所受到的外界荷载准确传递到结构的支撑位置， 同时要求结构的某种性态指标达到最优状态。用数学概念来理解的话，就是在连续的 结构实体q 上找到一个子域q 。，并且使子域q 。内任意一点都能满足目标函数和约束 条件。 9 第二章连续体结构拓扑优化基本理论 工程设计人员在对结构进行拓扑优化设计时，不管工程结构是离散体还是连续 体，首先要做的是选择初始的优化设计区域。一般情况下，都是用基结构方法来描述 的。而所谓的基结构方法，就是对初始的优化设计区域先进行离散，把它分化成一个 个的子优化设计区域，例如采用有限单元法对初始设计区域进行离散，则一个个的有 限单元个体就是子优化设计区域。这样离散化后，就会形成了由予优化设计区域所组 成的基结构。然后在此基础上，选择合适的优化方法和准则，从基结构中删除某些无 用、多余的单元，最终形成结构的最佳拓扑形式。科学工作者多年的研究表明，基结 构完全可以包括结构优化时所需的所有可能的拓扑形式。当然前提是所采用的基结构 完全精确地描述了初始的优化设计区域。另外随着计算机科学的迸一步发展，采用有 限单元法可以得到基结构所需的网格单元，并且在整个优化过程中的网格单元都是不 变的，使得在整个优化过程中只需要对结构在初期进行一次网格剖分即可，这样基结 构方法使用起来就非常方便。因此目前在结构拓扑优化中使用较为广泛的就是基结构 方法。而后续发展起来的一系列方法都是在基结构方法的基础上进行拓展的。 对于工程结构的拓扑优化设计而言，无论是离散体结构还是连续体结构，从根本 上来说思想其实都是相同的，都是要在已经确定的初始设计区域内寻求工程结构材料 的最佳位置分布。就是要确定区域内究竟哪些是孔洞，哪些是材质。此外还要确定基 结构以及确定边界条件和荷载条件。 对于结构拓扑优化设计问题，需要先利用基结构方法确定设计变量e 枷( x ) 以及 初始设计区域。由弹性力学方法可以得到弹性体内力虚功的变分形式： a ( u ，v ) = j ( x ) 毛( 甜) ( v ) 擒 矗 拍) = 割差+ 玺 ( 2 - 1 ) l ( u ) = p 谢q + s t u d s 式中：a ( u ，v 1 一弹性体的内力虚功；甜一实位移； i t - - 虚位移； 毛( “) 一线应变； ， ) 一载荷线性形式的外力势能； r 一边界牵引力；尸一体力。 由弹性力学中的虚功原理，任何一个弹性体都满足： a ( u ，v ) = ，( v ) ( 2 2 ) 考虑工程结构的变形能最小，得到结构的最佳拓扑形式。综合式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) ， 可以得到工程结构拓扑优化的数学模型为： 1 0 河海大学硬士学位论文 求 m i n l ( u 1 豇u ，v ) = ，( v ) v e u ，e 岛 ( 2 3 ) “u e 式中：玩一所有弹性模量的集合，即包括了材质和空洞的弹性模量 对于连续体结构的拓扑优化则是采用了“连续化”方法，即在离散体优化的数学 模型中引入惩罚因子p ，并用连续变量叩( x ) 替代离散变量k ，得到连续体结构拓扑 优化的数学模型统一表达如下式： 罨o ) = 玎( x ) e op l ，r l ( x ) s r ( q ) b ( x 归y ( 2 4 ) 矗 o 卵赫玎( 工) 1 0 式中：卵( x ) 一连续设计变量； r ( q ) 一设计变量所属的连续函数空间。 对连续体进行刚度拓扑优化设计时，优化目标一般是结构刚度最大即柔度最小。 本文中对渡槽系统初始体形进行拓扑优化时，选择柔度最小为条件。2 般当外荷载给 定时，可以用系统结构的应变能来表示系统整体结构刚度的大小，系统结构应变能越 大则表示结构刚度越大，所以连续体结构拓扑优化刚性设计的数学模型表示为下式 ( 2 5 ) ： 求 m i n ，( 甜) j ， ( 甜，v ) = t f f ) u u 俳p 1 m m v v o 式中：u 一允许的位移场；仃一应力场： 占一应变场；p 一体力； f 一面力；矿一体积约束。 设定一个给定的区域q ，用i 1 个带有孔洞的微结构将该区域进行离散。为了研究 问题方便，取单位面积的矩形( 1 1 ) 为微结构，孔洞大小为a x a ，则设计区域的重量 为： = 0 - o ；) ， ( 2 6 ) 第二章连续体结构拓扑优化基本理论 设计变量取为微结构孔洞的大小岛，目标函数是重量矿，则拓扑优化的数学模型可以 表示成； m i n 形( x ) = m i n ( 1 一z ) ， ( 2 7 ) s 1 gj s 0 其中约束条件 毋0 同时考虑了应力约束和稳定约束。 2 2 2 连续体结构拓扑优化设计方法 拓扑优化理论在连续体结构的应用中，不是很理想。为了进一步解决连续体结构 拓扑优化当中的相关难题，广大科学工作者和工程设计人员做了大量的研究和探讨工 作，他们一面寻求对原有理论和方法的改进工作，另外针对连续体结构的拓扑优化， 根据对材料参数e 不同的定义得出不同的拓扑优化设计方法，诸如变厚度方法、均匀 化方法以及变密度方法等常用的理论。 1 、变厚度方法( v a 矗a b l et h i c k n e s sm e t h o d ) 变厚度方法较早被采用的拓扑优化方法。这种方法首先将薄板或者薄壳可能占据 的所有整个区域划分为有限个单元，并假定所有单元的厚度是均匀的，在此理念基础 上对所建立的整个初始模型进行拓扑优化。这样优化后所求得的最优设计会是一个带 有孔洞、厚度均匀的( 厚度为h ) 的薄板或薄壳，这样每个单元的厚度则只能取h 或 者0 这两个离散值。这是一个离散规划问题，因为在其中的设计变量只能取h 和0 两 个离散值。但是又由于在整个优化过程当中，厚度h 是不断变化的，并且需要通过优 化计算来确定，因此把这一方法形象地称为变厚度方法。 变厚度方法的优点是概念清晰，数学模型简单，求解时很方便，并且其实质是在 尺寸优化方法的基础上直接推广而来。但是由于受所要优化对象的限