（水工结构工程专业论文）连续体结构拓扑优化理论研究及其在水利工程中的应用.pdf

摘要 结构拓扑优化是近年来国际结构优化研究领域最热点的问题之一，它使复 杂结构在概念没汁阶段即可灵活理性地进行方案优选。随着其理论发展的日趋 成熟，将其从单纯理论研究发展到工程实践应用阶段的条件也目趋成熟。本文 在阅读大量外文文献的基础上，深入研究了拓扑优化的基本理沦，就其在水工 结构优化设计领域的应用进行了初步探讨，主要研究工作有： 1 使用结构拓扑优化方法中发展最成熟的方法一均匀化方法，探索性地研究 了利用结构拓扑优化技术进行水工结构优化设计的具体方法。以微结构单胞为 基础，解释了均匀化方法的数学模型和求解算式。 2 以有限元为工具，根据水工建筑物结构设计的具体情况，借助于体积分量 设计变量的空间分布来描述可选择的结构设计，将固体普通双材料混合小应变 算法改进发展成为v o i g t r e u s s 简化模型，使计算量显著缩减。利用a n s y s 软 件的a p d l 语言自行开发了拓扑优化程序，从技术角度实现了水工建筑物的结 构拓扑优化。 3 从偏微分方程反问题的角度解释了结构拓扑优化中棋盘格式、网格依赖 性等数值不稳定现象的本质。结合数字信号处理中的高斯函数滤波法和流体力 学中的多重网格法，提出了一种新的综合解决方案，同时引入了滤波半径延拓 法减少局部极值现象对结构优化全局的影响。 4 在减少了连续体结构拓扑优化方法的求解规模并成功解决数值不稳定现 象后，将该方法引入到混凝土重力坝的拓扑优化设计中，比较了拓扑优化方法 和传统优化方法的优化结果，计算结果表明连续体结构拓扑优化方法完全胜任 于水利工程的优化设计，应用前景较为广阔 关键词：结构拓扑优化、均匀化方法、v o i g t r e u s s 简化模型、数值不稳定现象、 a n s y s 、重力坝断面 a b s t r a c t r e c e n t l y ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n i st h eh o t t e s t p r o b e m s i ni n t e r n a t i o n a l s t r u c t u r eo p t i m i z a t i o nf i l e d ：t h r o u g hw h i c hb e t t m s c h e m e sc a nb ec h o s e ni n c o n c e p t d e s i g ns t a g ed e v e l o p m e n tb e c o m i n gr i p ew i t hi t s t h e o r y ，g r o wf r o mp u r et h e o r e t i c a l r e s e a r c ht op r o j e c tp r a c t i c et e r m so ft h ea p p l i c a t i o ns t a g er i p eb e c o m i n g a p p r o p r i a t e t h i s t e x ts t u d yt h e t o p o l o g i c a lb a s i ct h e o r i e sa n dd i s c u s st h ea p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do f h y d r a u l i c e n g i n e e r i n g o nt h eb a s i so f r e a d i n ga l a r g en u m b e ro f f o r e i g nr e p o r t s ，t h em o s t w o r k sa r e ： 1 t h i st h e s i s i n v e s t i g a t e s t h e d e s i g np r o b l e m s o fh y d r a u l i c e n g i n e e r i n gu s i n g h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ，w h i c hi st h em o s tm a t u r em e t h o di nt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n i t e x p l a i n st h em a t h e m a t i c sh o m o g e n i z a t i o nm e t h o dm o d e la n df o r m u l a o nt h eb a s eo f m i c r o s t r u c t u r e s 2 a l t e r n a t i v eh y d r a u l i ce n g i n e e r i n gs t r u c t u r a l d e s i g na r ed e s c r i b e dw i t ht h e a i do f s p a t i a l d i s t r i b u t i o n so fv o l u m ef r a c t i o n d e s i g n v a r i a b l e s t h r o u g h o u t a p r e s c r i b e dd e s i g nd o m a i n ，s m a l l s t r a i ni n t e g r a t i o na l g o r i t h m s f o r g e n e r a l t w o m a t e r i a lm i x t u r e so fs o l i d sa r ed e v e l o p e df o rt h ev o i g t r e u s sa s s u m p t i o n ，a n d t h en u m b e ro fc a l c u l a t i o n si sc u ts h o r t t h i st e x te m p o l d e r e d t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n p r o g r a mu s i n ga p d ll a n g u a g eo fa n s y s ，a n di tr e a l i z e dt o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f h y d r a u l i ce n g i n e e r i n gf o r mt h ep o i n to f t h ev i e wo f t e c h n i q u e 3 f o r mt h ep o i n tv i e wo fi n v e r s ep d e ，t h ee s s e n c eo fn u m e r i c a li n s t a b i l i t i e si n t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n i s g i v e n ，i n c l u d i n g c h e c k e r b o a r d p a t t e r n a n d m e s h - d e p e n d e n c e b a s e do nt h i se x p l a n a t i o n ，an o v e lm e t h o d g a u s s i a nm e t h o da n d m u l t i - g r i dm e t h o da r ep r o p o s e d ，t h e ne x t e n d e dr a d i u so f f i l t e rw a v ea r ei n t r o d u c e d t or e d u c et h ei n f l u e n c eo fl o c a le x t r e m u m p h e n o m e n a 4 a f t e r d e c r e a s i n g t h e c o m p u t a t i o n s c a l ea n d s o l v i n g t h en u m e r i c a l i n s t a b i l i t i e s ，w e u s et h ec o n t i n u u m t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n t o d e s i g nh y d r a u l i c e n g i n e e r i n g ，a n de o m p a r e dt h er e s u l t s i nt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nw i t ht h er e s u l t si n t r a d i t i o n a l o p t i m i z a t i o n ，t h eo u t c o m es h o w e dt h a tt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni s b e t t e r a n dt h ei ti sw i d e l yu s e k e y w o r d ：t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n 、h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d 、v o i g t r e u s s ，n u m e r i c a l i n s t a b i l i t yp h e n o m e n a 、a n s y s 、s e c t i o np l a n eo f g r a v i t yd a m 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下迸行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 篙戛黧，盟l 埘牡月和 ( 注：手写亲笔签名) 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 麓甍黧：弛l 埘年，月7 日 ( 注：手写亲笔签名) 河海大学硕上学位论史 第一章绪论 1 1背景及其研究意义 结构拓扑优化是结构形状优化的发展，是布局优化的一个方面。当形 状优化逐渐成熟后，结构拓扑优化这一+ 新的概念就开始发展，现在拓扑优 化正成为国际结构优化领域一个最新的热点研究课题。目前，所有国际知 名力学和结构优化方面的杂志都在刊登拓扑优化方面的最新进展和新的研 究成果。许多知名的力学专家如o l h o f f 【1 】，t a y l o r ”，k i r s c h l 2 1 4 1 ， b e n d s o e 仆i1 5 ，r o z v a n y 4 ，c h e r k a e v 6 】都在致力于将拓扑优化的理论进行 完善使其能够更好地应用于各类实际工程。实际上，在一些尖端领域，例 如飞机制造和汽车工业，都已经开始使用拓扑优化进行整体的布局优化。 这一研究热潮业很快在我国的相关领域引起重视，目前国内不少学者正在 进行相关研究，并提出了许多有建设性的理论和方法。从上世纪九十年代 开始，关于拓扑优化理论的问题在国内的许多主流刊物上不断进行讨论和 研究，使得拓扑优化的发展方向从纯理论的探讨逐渐向实际优化的需要发 展，成为结构优化的一个重要分支。 在形状优化过程中，初始的结构和最后的结构是同一拓扑结构。如原 来有三个开孔的板状结构经过形状优化之后，改变的只是开孔的边界形状， 开孔数目并没有增加或减少，仍然是三个。但是实际上，有可能存在这样 的一种情况，在满足相同设计约束条件下，开孔数目的改变有可能比开孔 形状的改变对降低板的重量更加有效。这就是拓扑结构优化最初的研究目 的。尽管利用有限元和边界元都可以自动划分网格，但对于一个拓扑结构 变化的模型数据处理却尚未有研究，所以在设计区域要自动产生开孔是很 困难的。为了突破这一局限，考虑利用“固定”的有限元模型，在此模型 中较小应力的单元被人为地指定具有很软的材料以近似地产生开孔。 结构拓扑优化能在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念性 设计，使结构在布局上采用最优方案，与截面优化和形状优化相比能取得 更大的经济效益，也更易被工程设计人员所接受，已经成为当今结构优化 设计研究的一个热点。但拓扑优化设计也被公认为是结构优化领域中更为 困难、更具有挑战性的课题。它探讨结构构件的相互联结方式，结构内有 无空洞、孔洞的数量、位置等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力、 位移等约束条件下将外荷载传递到支座，同时使结构的某种性态指标达到最 第一章绪论 优。b r e m i c k e r ，b e n d s o e d 8 1 , 1 9 1 等人由此认j , j 拓扑优化比尺寸优化和形状优化 更为重要。 前面已经提到，结构拓扑优化探讨的是结构构件的相互联结方式，包 括结构内有无空洞、孔洞的数量、位置等拓扑形式，使结构在满足有关平 衡、应力、位移等约束条件下，将外荷载传递到支座，同时使结构的某种 形态指标达到最优。拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓 扑具有很多中甚至是无穷多的形式，而目结构的这种拓扑形式难以定量描 述或参数化，同时由于需要设计的区域预先是未知的，更增添了问题求解 难度。严格的说，应该用逻辑性变量( 存在或不存在) 或整数变量来表示 节点之间是否有杆件相连，不过这样做会使优化模型变得复杂，因此人们 习惯从截面优化模型出发进行拓扑优化，简单来说，就是利用有限元的理 论，将拓扑优化转化为尺寸优化的形式进行计算。 正是由于结构拓扑优化的实现不得不实行这样的一种转化，所以出现 了很多种不同的结构拓扑优化方法，也正是这一暂时无法解决的问题，使 得这一研究还有很大的发展空间，促使越来越多的学者致力于拓扑优化方 法以及相关领域的研究。 1 2 研究的发展现状 结构拓扑优化在国外起步较早，上世纪初就有相关研究，而国内关于 结构拓扑优化的研究和使用则是从上世纪八十年代才开始。 结构拓扑优化最早可以追溯到1 9 0 4 年m i c h e l l 5 7 】提出的桁架理论，但 是这一理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，不能运用于工程 实际。1 9 6 4 年d o r n 、g o m o r y 、g r e e n b e r g 等人提出基结构法( g r o u n d s t r u c t u r e r o a c h ) ，将数值方法引入该领域，此后拓扑优化的研究重新活跃起来，陆续 有一些解析和数值方面的理论被提出。所谓基结构就是一个由结构节点、 荷载作用点和支承点组成的节点集合，集合中所有点之间用杆件相连的结 构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法( 数学规 划法或准则法) ，按照某种规划或约束，将一些不必要的杆件从基结构中删 除，并认为最终的杆件决定了结构的最优拓扑。 从基结构出发的拓扑优化方法，由于单工况、应力约束下使桁架结构 重量最轻的最优拓扑，必定是一个静定结构，因此早期研究者常忽略变形协 调条件，以杆件内力作为设计变量、节点平衡方程作为约束条件构造成线性 规划问题来处理。这种方法虽然计算效率高，但却无法推广到多工况和考虑 位移约束的情况，因为此时结构的虽优拓扑往往是超静定的，必须计及变 2 一 河海人学硕l 学位论文 形协调条件，并采用非线性规划法来求解。d o b b s 和f e t t o n 使用最速下降 法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化，s h e n 和s c h m i d t 采用分枝 定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓 扑。王光远等提出了结构拓扑优化的两相法。k i r s c h i 1 针对离散结构的拓扑 优化问题，提出了一种两阶段算法，即首先以赘余内力和杆件截面积为设计 变量，忽略变形协调条件和位移约束，将问题简化成容易求解的线性规划问 题，求出解的下界；第二阶段考虑全部约束，在已得到的拓扑下解非线性 规划，得到杆件的截面面积。针对大型结构的拓扑优化问题，z h o u ”1 和 r o z v a n y i l 4 1 发展了一种优化准则类算法，即d c o c 算法，认为采用这种算 法可使准则法求解拓扑优化的能力大为提高。 近年来，一些适合于并行计算且对函数性态要求较低的全局搜索算法， 如遗传算法( g a ) 【1 9 】、神经元网络算法和模拟退火算法( s a ) 等开始被应用于 拓扑优化上，但目前这些方法仅能解决较小规模的问题。g r i e r s o n 和p a k 、 h a j e l a l 6 0 等采用遗传算法对桁架结构拓扑优化设计进行了探索性研究。日本 的h k a w a r n u r a 【l 即使用改进的遗传算法来求解桁架结构拓扑优化问题。蔡文 学和程耿东”使用模拟退火算法求解桁架结构拓扑优化的全局最优解。高 峰等研究了遗传算法采用实数码及非一致变异对优化结果的影响效果，并 用g a 解决多工况、多约束离散变量桁架结构拓扑优化问题。刘光惠和韦 日钰针对桁架拓扑优化问题提出桁架拓扑和尺寸优化的协同演化算法。亦 有不少学者从离散变量优化设计角度来研究拓扑优化，孙焕纯【6 1 】等人提出 的离散变量拓扑优化的序列二重二级优化方法对此作了有益地探索。 o r t i z l 28 】，【2 9 l 等建立了包含截面和拓扑两类变量的离散变量结构拓扑优化设 计的数学模型，该模型考虑了截面变量与拓扑变量间的耦合关系，可以较 好地解决“极限应力”、“最优解的奇异性”等困扰结构拓扑优化设计的问题。 段宝岩和陈建军基于极大熵原理【6 2 】提出了一种新的杆系结构拓扑优化方 法。 应该指出，在采用基结构法无论以内力还是截面积为设计变量最终都 是将桁架拓扑优化问题转化为广义( 截面) 尺寸优化问题，这样做虽然简单， 但也带来了一些较难解决的困难，例如z h o u 和r o z v a n y 的研究指出考虑应 力、局部稳定( 屈曲) 约束时的特殊困难，“奇异最优解”【j2 ，f ”j 问题等。奇异 最优锯问题是s v e d 和g i n o s ( 1 9 6 8 ) 最早发现的，他们在采用广义截面优化模 型求解多工况应力约束下三杆桁架的拓扑优化算例时，始终无法求出全局 最优解，只能得到局部最优解从而猜测在某种情况下，拓扑优化的全局最优 解可能是设计空间中的一个孤立可行点，称为奇异最优解。k i r s c h ( 1 9 9 0 ) 指 3 第幸绪论 出，结构最优拓扑可能是设计空间的个奇异点，并绘制了设计域的图形。 h o b a c k ”引( 1 9 9 6 ) 对此做了详细说明，指出了应力约束函数在零截面处的不 连续性是造成奇异最优解的根本原因，结构拓扑优化的可行域不仅可能非 凸而且可能呈星形，全局最优解可能位于设计空问中非凸星形可行域的退 化低维子域的端点。因此采用传统的数学规划方法难以得到全局最优解。 h o b a c k 由此提出百分比法，程耿东和郭旭提出一种e r e l a x e d 川算法等都是 处理桁架结构奇异最优解问题很有意义的探索。 1 3 本文所做的主要工作 从国内外已建和拟建的水工建筑物看，水利工程都是大型工程，耗费 的材料量极大，投入巨大。随着人们对结构安全条件研究的深入，人们更 加注重在满足安全条件下尽可能节省材料以创造更多的经济效益。为了这 个目的，本文从拓扑这一数学理论入手，深入研究了有关结构拓扑优化的 理论，并将其应用于水利工程实践之中。主要工作有： 1 使用连续体结构拓扑优化方法中发展最成熟的方法一均匀化方法，探 索性地研究了利用结构拓扑优化技术进行水工建筑物优化设计的具体方 法，以微结构单胞为基础，解释了均匀化方法的数学模型和求解算式。系 统引入并深入研究了连续体结构拓扑优化的基本理论，详细介绍了拓扑优 化均匀化方法的数学模型和求解迭代算式，在有限元方法基础上利用结构 拓扑优化的均匀化方法对弹性壳单元迭代计算进行推导演示。 2 考虑到水工建筑物多为混凝土结构，其材料特性不能当作线弹性材料 考虑，因此对涉及复合材料的某些单元特性参数进行简化。以有限元为工 具，针对结构拓扑优化设计计算量巨大这一难点，根据水工建筑物结构设 计的具体情况，在建议使用的结构中，借助于体积分量设计变量的空间分布来 描述可选择的结构设计，将固体普通双材料混合小应变综合算法改进发展成为 v o i g t - r e u s s 简化模型，使结构优化在计算量显著减小的情况下可以顺利实现。 3 从偏微分方程反问题的角度解释了结构拓扑优化中棋盘格式、网格依 赖性等数值不稳定现象的本质，结合数字信号处理中的高斯函数滤波法和 流体力学中的多重网格法，利用高斯函数的卷积运算和可构造软化核函数 的性质，提出了综合使用滤波法和多重网格法来解决数值不稳定现象，并 配合使用滤波半径延拓法来减少局部极值现象对结构优化全局的影响。经 算例证明，该方案的选择是合理有效的，节省了大量的计算时间。 4 为了使结构拓扑优化的结果能够清晰明了，就需要一个直观的界面来 显示其最终的优化结果，同时这种实现方式必须不会占用太大的计算空间 河海大学硕士学位论文 和时间，只有这样结构拓扑优化才具有实用性，才能应用于实际i ：程。本 文选择了a n s y s 软件实现结构拓扑优化的计算，利用a p d l 语言开发出了 结构拓扑优化的计算程序，从技术角度实现了水工建筑物的结构拓扑优化。 5 在减少了连续体结构拓扑优化方法的求解规模并成功解决数值不稳 定现象后，将该方法引入到混凝土重力坝的拓扑优化设计中，利用参考资 料中用一般方法得到的重力坝优化剖面结构，在各项条件和参数相同情况 下进行拓扑优化，比较了拓扑优化方法和传统优化方法的优化结果，计算 结果证明结构拓扑优化更为先进合理。这说明连续体结构拓扑优化方法完 全胜任于水利工程的优化设计，应用前景较为广阔。 第二二章基奉理论 第二章结构拓扑优化基本理论 本章从结构优化设计入手，着重讨论了拓扑优化的基本理论，并结合 本文需要，介绍了拓扑优化中的有限元分析和实现结构拓扑优化的工具一 a n s y s 软件。连续体结构拓扑优化的方法虽然有很多，但是目前来说，均 匀化方法仍然是最主要也是最实用的一种方法。在这一章中，详细描述了 材料宏观性能参数的均匀化方法，并在均匀化方法数值解法的基础上，研 究了结构拓扑优化均匀化方法的数学模型，推导出拓扑优化问题的求解迭 代算式，并讨论了结构拓扑优化的均匀化方法和密度惩罚法的实质，结合 最优准则求解方法应用于具体算例，展示了这一主流拓扑优化方法的主要 特点。 2 1 结构优化设计 2 1 1 结构优化设计的基本概念 从广泛的意义来说，所谓的“优化”就是从完成某一任务的所有可能 方案中按照某一种标准找出最好的方案，对各种问题只要存在不同的解决 方法，就可以进行优化。“结构优化设计”就是在满足各种规范或某些特定 要求的条件下使结构的某种广义性能指标( 如重量，造价等) 为最佳。也就 是在所有可行的方案中，按照某一种标准找出最优方案。 结构优化的目的在于寻求既安全又经济的结构形式。对于产生超出设 计者经验的有效的新型结构来说，优化是一种很有价值的工具。结构优化 设计集计算力学、数学规划、计算机科学以及其他工程学科于一体。同时 结构优化设计也使得计算力学的任务由被动的分析校核上升为主动的设计 与优化，由此结构优化也具有更大的难度和复杂性。它不仅要求以有限元 等数值方法作为分析手段，而且还要进一步计算结构力学性态的导数值。 它要面向工程设计中的各种实际问题建立优化设计模型，根据结构与力学 的特点对数学规划方法进行必要的改进。因此，结构优化设计是一个综合 性和实用性都很强的理论和技术。 2 1 2 结构优化设计的数学模型 结构优化的基本步骤是：首先，将工程实际问题用数学表达式表示， 河海大学碗f 学位论文 即建立数学模型；然后采用适宜的优化方法使问题得以解决。建立结构优 化的数学模型是将实际工程中的结构优化设计问题转化为数学问题的个 非常重要的步骤。建立数学模型包括选定设计变量，选择目标函数，建立 约束方程。下面简单介绍一下结构优化设计的数学模型中常用的一些术语。 ( 1 ) 设计变量 在设计过程中要优选的量成为设计变量。任何一个结构的设计方案， 总是可以用若干个数来表示。在这些数中有些是给定的描述结构特性的参 数，其值是固定的，因此可以作为常数考虑，如弹性模量e ，材料容重p 等，这些在优化设计中保持不变的数称为给定参数。另一些数则随优化设 计方案的变更而改变，如结构各构件的尺寸，结构截面的几何参数等，这 些代表设计方案，而在设计中可调整的变化的基本参数称为设计变量。一 般说，设计变量取的越多，效果越好，但是工作量越大。在实际工作中， 总是把设计变量取得尽量地少，把那些对优化效果不太明显的参数作为给 定参数。 ( 2 ) 目标函数 目标函数是设计变量的函数，是优化设计追求的目标。这个目标可以 是结构总重量最小，或者是总造价最少，或承载能力最大，或自振周期最 大等等，是一个约定的广义性能指标 ( 3 ) 约束条件 在结构设计中应遵守的条件都属于约束条件。如保证正常工作的强度， 刚度和稳定的要求，还有规范中有关规定及构造上的要求等。常见的约束 条件有： 1 ) 几何约束即对设计变量的几何尺寸加以限制。诸如工艺上对尺寸 的限制，材料规格限制及构造上的要求等。这类约束是显约束，可表示成 方程式。 2 ) 应力约束如强度要求工作应力不能超过容许应力；稳定要求工作 应力不能超过临界应力。对于复杂结构，工作应力很难用一个数学表达式 表示出来，因此这类约束通常是隐约束。 3 ) 位移约束即某些结构的位移不能超过容许位移，它一般也是隐约 束。 4 ) 频率约束一些结构为了避免与激振频率襁合，必须对结构自振频 率加以限制。如大型天线结构为防止风激振动，规定了最低容许频率。 一般来说，结构优化设计的目标函数比较容易确定，而约束函数大多 是设i l 一变量的非线性函数，确定比较困难。优化设计的核心问题是如何建 7 第二章基本理隆 立约束方程，它也是结构优化设计的困难所在。 ( 4 ) 可行域 在一个结构优化设计问题中，全部约束的约束面联合起来把设计空间 分成两个区域，即可行域和不可行域。可行域内的任何一个设计点都满足 所有约束条件，而不可行域则相反。也就是说，只有可行域中的点才代表 可用的结构设计方案。 ( 5 ) 工况 在进行结构优化设计时，往往需要考虑结构使用期间所可能遇到的集 中荷载情况( 类似于所考虑的几种荷载组合) 。在设计中认为这些荷载情况 分别发生，互不影响。在结构优化设计中认为每一种荷载情况为一j f 中工况。 显然在建立约束方程时必须考虑所有的工况。 2 1 3 结构优化设计的分类和现状 六十年代初，有限元法的诞生和数学规划的引入，使得结构优化得以 蓬勃发展。经过广大力学工作者和工程技术人员的不懈努力，结构优化不 仅成为计算力学的一个重要分支，而且在工程设计中得到广泛应用。结构 优化设计现在普遍认为可以分为三个层次i 截面( 尺寸) 优化、形状优化、 拓扑优化( 布局优化) ，而这三种优化方法也是按照优化发展的顺序和难易 程度来划分的。在给定结构的类型、材料、布局拓扑和外形几何的情况下， 优化各个组成构件的截面尺寸，使结构最轻或最经济，称为尺寸优化，它 是结构优化设计中的最低层次；如果让结构的几何也可以变化，例如，把 桁架和刚架的节点位置或连续体边界形状的几何参数作为设计变量，优化 又进入了一个较高的层次，即所谓的结构形状优化；进而再允许对桁架节 点联结关系或连续体的布局进行优化，则优化又达到一个更高的层次一结 构拓扑优化。随着优化层次的提高，其难度越来越大。 经过近四十年的发展，目前结构构件的截面优化和结构形状优化已经 很成熟了。尺寸优化用有限元计算结构位移和应力时，不需要进行网格重 新划分，直接用敏度分析和合适的数学规划方法就可以完成。它虽然是结 构优化中的最低层次，却为加深对抗结构优化的认识提供了宝贵的经验。 形状优化起步较晚，在发展过程中逐渐形成了用边界形状参数化描写的方 法，后来又发展了设计元，边界元等方法，近二十年来，无论是在理论研 究还是工程实际中都取得了很大的成果。但是对丁二拓扑等更高层次的优化 设计问题，仍然处于基础研究阶段。主要的工作方向在理沦和方法的研究， 而在应用方面来说还比较少。其主要困难在丁二满足一定功能要求的结构拓 8 ， 河海大学硕士学位论文 扑有无穷多形式，并且这些拓扑形式难以定量描述，同时，由于需要设计 的区域事先是未知的。对于结构拓扑优化，国内外发表的研究论文也相对 比较少，进展缓慢一些。但是这些深层次的优化问题和截面优化设计相比， 其设计空问维数升高了，因而能得到更加优化的目标函数，获得更大的收 益。尤其是结构拓扑优化设计，已经成为近年来结构优化设计方面的研究 热点之一。 2 2 1 拓扑学简史 2 2 结构拓扑优化理论基础 结构拓扑优化的数学理论基础就是拓扑学。所以首先对拓扑学的发展 历史做一个简单介绍。 1 8 7 4 年高斯( g a u s s ) 的学生l i s t i n g 首次引进了拓扑学的概念。在此 之前数学家称拓扑学为位置分析。拓扑学是近代发展起来的高度抽象的 门学科。拓扑学起源于1 9 世纪中叶以前一些孤立问题的研究。早在1 7 世 纪e u l e r 发现了闭多面体的顶点个数d ，棱的个数e ，面的个数v 存在一个 关系：v e + d = 2 。这就是著名的e u l e r 多面体定理。e u l e r 当时并不知道， 2 是( 二维) 球面体的拓扑不变量，即后来的e u l e r p o i n c a r e 示性数。1 8 1 9 世纪，数学家研究了地图着色问题，即平面( 或球面) 上的地图着几种 颜色才能使每相邻国家有不同颜色，这个问题直到1 8 9 0 年才证明了用五个 颜色是可以的，并提出了四个颜色也可以的猜想，即著名的四色问题。球 面的色数是和球面的p o i n c a r e 示性数有关联的。此外，j o r d a n 曲线定理：平 面上简单闭曲线将平面分成两部分，高斯研究总结和二重积分的联系等等 是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。 拓扑学历史发展的转折点是r i e m a n n 关于闭曲面问的拓扑分类的结果。 1 9 世纪中叶，r i e m a n n 发现了多值复变解析函数可转化为闭曲面上的单值 函数，并得出闭越面的拓扑分类：闭曲面按同胚分类只有球面和若干个环 面的连通和( 或) 球面与若干个射影平面的连通和。此后拓扑学所应研究 的对象及其重要性逐渐清晰，更多的数学家致力于这方面的研究。 拓扑学形成一门学科是由p o i n c a r e 开始的。他在研究代数簇( 复变函 数，微分方程) 的基础上，通过将空问剖分成若干个单形的组合，得出空 间的b e t t i 数，挠系数的计算方法，还得出e u l e r 定理的般形式及基本群， 流形对偶定理等结果。他在18 9 4 1 9 1 2 年得出的这一系列成果，标志着组 合拓扑学的创立。 9 第二章基本理论 2 2 2 拓扑性质 拓扑学描述的是图形的一类特殊性质，即所谓的“拓扑性质”。然而， 尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却 很难用简单通俗的语言来准确的描述，它的确切定义是用抽象的语言叙述 的。在这里试着用拓扑性质来捅述拓扑学。 上文提到的e u l e r 定理和四色问题显示出几何图形的一类特别的几何性 质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是所谓的“拓扑性质”。显 然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，不 能用普通的几何方法来处理。拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性， 可以随意地把图形作变形( 如挤压、拉伸或扭曲等) ，只要不把它撕裂，不 发生粘连，从而不破坏其整体结构，拓扑性质保持不变。把上述那些变形 称为图形的“拓扑变换”，那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持 不变的性质。 如果用集合和映射的语言来描述拓扑学，拓扑学就是研究空间在拓扑 变换( 或同胚) 下的不变量或不变性质。所谓同胚的空间x 与y 是指x 与 y 之间存在双向连续( 即互逆且连续) 的对应，形象的说就是橡皮泥x 在 不允许隔断的情况下可以捏成y 。拓扑性质是同j | 丕图形共同具有的几何性 质，所以同胚的两个空间x 与y 可不加以区别。由于拓扑学研究的性质在 图形做弹性形变时是不会改变的，因此拓扑学被形象地称为“橡皮几何学”。 2 3 均匀化方法理论 2 3 1 连续体拓扑优化方法 连续体拓扑优化的方法主要有均匀化方法、变厚度法和变密度法【4 。 均匀化方法【3 0 l ，【3 6 】是由b e n d s o e 和k i k u c h i t o l 提出的，是连续体结构拓 扑优化中应用最为广泛的方法，属于材料描述方式。其基本思想是在拓扑 结构的材料中弓l 入微结构( 单胞) ，微结构的形式和尺寸参数决定了宏观材 料在此点处的弹性性质和密度，优化过程中以微结构的单胞尺寸为拓扑设 计变量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构 成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型 的统一和连续化。针对均匀化方法的工作主要包括微结构模型理论的研究 和均匀化模型实际应用的研究。微结构模型理论的研究主要有：提出了方 形守心微结构、两级排列分层微结构、长方形空洞微结构、三维分层排列 1 0 河海火学硕l 学位论文 微结构等模型；指出正交微结构假设必将导致错误结果。均匀化模型在连 续体拓扑优化设计中的应用研究，研究范围涉及多工况平面问题、三维连 续体问题、振动问题、弹性问题、屈曲问题、三维壳体问题、薄壳结构问 题及复合材料拓扑优化问题等众多方面的问题。 均匀化理论就是在设计区域划分许多不同孔洞的微结构( 见图2 1 ) 对 连续体进行拓扑优化。图2 ，1 中的单胞由三种形式：没有材料的孔洞( 孔尺 寸= 1 ) ；具有各向同性材料的实质介质( 孔尺寸= 0 ) ；具有正交各向异性 材料的开孔介质( o c 孔尺寸 1 ) 。空孔、实体和开孔的微结构分布显示出连 续体结构的形状和拓扑状态。 图2 1 设计区域及其微结构 l j _ 丑一一j 、7 1 1 _ b 图2 2 微结构单胞 给出一个简单的二维微结构单胞 示意图( 见图2 2 ) ，设计变量是开孔 尺寸a ，b 和开孔方位角0 。其中0 是 单胞材料主方向，它可以由坐标转换 矩阵体现在材料有效弹性模量上，通 ，过单胞的密度与有效弹性模量之间的 关系曲线，把设计变量与结构各处的 性态结合起来。优化过程中个微结构 在空孔与实体之间变化，即可以用连 续变量对设计问题进行描述，完备的 空间设计保证了最优解的存在。 第一章抟本理论 阻微结构单胞的几何尺寸及方位角为设计变量，通过某种优化算法， 确定结构的某种性能指标达到最优设计时设计区域各处的材料密度分布， 从而确定最优解。由于这方法涉及的设计变量很多，用的较多的优化算 法是准则法，本文也将利用这种优化算法进行结构拓扑优化计算。 变厚度法是较早采用的拓扑优化方法，属几何描述方式，其基本思想是 以基结构中单元厚度为拓扑设计变量，将连续体拓扑优化问题转化为广义尺 寸优化问题，通过删除厚度为尺寸下限的单元实现结构拓扑的变更。该方法 突出的特点是简单，适用于平面结构( 如膜、板、壳等) ，推广到三维问题有一 定的难度。代表性的工作有：t e n e k 和h a g i w a r a ”j 对薄壳结构的研究等等， 张东旭对平面膜结构和王健对薄板结构的研究。 变密度法是一种常用的拓扑优化方法，属材料描述方式，其基本思想是 人为地引入一种假想的密度可变的材料，材料物理参数( 如许用应力，弹性模 量) 与材料密度间的关系也是人为假定的。优化时以材料密度为拓扑设计变 量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布问题。代表性的工作有： m l e j n e k i 曲1 建立的变密度模型，张东旭对平面弹性体问题的研究，y a n g r j 2 0 对于车身拓扑优化的应用等。 无论是以上哪一种方法，删去的单元都不具备恢复性，还可能由于数 值的不稳定性而出现“棋盘”现象3 5 1 1 4 5 1 1 5 2 ，同时在结构分析时很可能会出 现整体刚度阵奇异的现象。这些问题都需要解决，才能将拓扑优化真正应 用于实践中。 除此以外x i e 和s t e v e n l 2 4 】， 3 7 】提出的“进化算法【3 9 1 ，e s c h e n a u e re 2 2 l 的“泡 泡法”，j o g 和h a b e r 4 4 l 【4 6 】等人的“等周方法”( p e r i m e t e rm e t h o d ) ；f l e u r y 和 b e c k e r l 5 酗提出的基于离散拓扑变量的对偶问题解法；r o z v m a y 和z h o u 提出的 s i m p 方法等等也是有前途的求解策略。m a u t e 和r a m m 5 9 1 提出的自适应网格 法也有一定的参考价值。 2 3 2 均匀化方法理论 为了预测复杂荷载条件下的复合材料的应力状态和变形，必须首先给 出它的材料参数，如弹性模量、热膨胀系数等，这些参数一般可以直接通 过实验来获得。但是，当复合材料是由基本的微结构单元通过周期拓延而 形成( 如图2 1 示) ，则其参数可通过摄动渐进分析来预测，其实质是将具 有快速周期波动系数的复合材料结构控制方程，用具有常系数的结构控制 方程来近似，使后者的解是原结构解的宏观近似，这种预测方程宏观系数 或复合材料宏观参数的方法，就是均匀化方法。 1 2 河海 学硕十学位论文 设y = 【0 ，k 】【o ，k 】【0 ，e 】表示微结构单元的定义域，h 。i 口) 表示具有y 周期的连续函数的集合，并分别用x 和y 表示材料宏观结构和微观结构单元 的坐标，它们的尺度关系满足y = ，占是一个小量，则在复合材料结构每 一点x 的邻域内，它的弹性张量e ( x ，y ) 、热应力张量口g ，y ) 和位移u ( x ，_ y ) 都 属于h ：。，p ) 。对位移场u ( x ，y ) 进行一阶渐进展开，可表示为： u ( x ，y ) = “g ) + 5 u ，( x ，y ) ( 2 - 1 ) 式中：u ( x ) - 宏观位移场或均匀化位移场 u 1 0 ，y ) e 日。1 ，( y ) 一参数5 的一阶渐进项 如果对式( 2 1 ) 进行微分运算，可以看到结构在点x 处的应变s 0 g ，y ) ) 可分解为宏观应变0 b ) ) 和具有小周期波动的应变q 0 b ，y ) ) 砟1 ，c y ) ，它 满足在微结构单元y 中的均值为零， s 0 g ，y ) ) = 0 g ) ) + qu m ( x ，_ y ) ) ( 2 2 ) 式中：一应变在宏观结构的应变微分算子 氏一应变在微观结构的应变微分算子 即： 川，= 骝+ 盼 ，= 骝+ 刳 那么，结构在点x 处的应力o ( x ，y ) 可以表示为 o b ，y ) = e ( x ，_ y ) ：k 0 g ) ) + q 0 ，( x ，y ) ) ) ( 2 3 ) 其中：“：”一张量的二阶并缩。 考虑到微结构单元内部应力必须满足平衡方程，则l 1x ，y ) 应满足下面的弱平 衡方程 第二章基奉理论 f t ) ，( 嵋0 ，y 涟州( x ，_ y 熄i ，p ) ) 地 = 一f ( 1 ，0 0 她。，0 ，) b b ( v 0 ) ) 她 v v e “y ) ( 2 4 ) 设位移场z ”满足f 式： j b ) ，”( y ) 战( x ，y ) b l d ) x 规 = j 铲易。肛，y 熄x ，p ) ) 艘 ( 2 - 5 ) v v ( y ) eh 。i ( y ) 式中：妒= i 1 ( + 毛屯) “瓯”一k r o n e c k e r ( 克罗内克) 符号 根据式( 2 4 ) 和( 2 - 5 ) ，式( 2 - 3 ) 可以改写为 o - i ，g ，j ，) = 岛。“，y ) ：旧一b 1 ，拓”p ) ) k l ，。0 0 ) ) ( 2 6 ) 将式( 2 6 ) 在微结构单元内作平均，即可得到均匀化表示的复合材料 弹性模量e ”( x ) e g , ( g = 南j b ，y 炖一“) d r 2 ( 2 _ ，) 根据式( 2 - 5 ) ，式( 2 - 7 ) 可以被写成下面的对称形式 嘞b ) = 高她一。p 她。b ，溉一“d r 2 ( 2 - 8 ) 由以上的叙述，对于具有微结构的复合材料，如果应用均匀化方法预 测其宏观材料的参数，可以将步骤归纳如下： 1 在微结构单元中，给定不同的初始应力场，求解满足式( 2 5 ) 的具 有周期边界条件的微结构单元位移场z 一【y ) ； 2 应用式( 2 7 ) 和式( 2 8 ) ，在微结构单元内作平均，计算材料的均匀 化参数，包括弹性张量e ”b ) 2 3 3 均匀化方法的数值算法 对于一般的微结构单元，方程( 2 - 5 ) 可能没有解析解，通常采用有限 元方法来求解。为了叙述方便，这里以具有j 下交对称性的二维微结构单元 - 1 4 - 酒海大学硕i 学位