（机械电子工程专业论文）基于倒立摆系统的控制方法研究.pdf

摘要 牲于倒立摆这样一个典型的多变量、非线性、强耦合的实验平台，可以验证 各种控制理论和控制方法的有效性。在明确被控对象运动模态及运动规律的基础 f ：，可进行基于各种控制理论方面的控制器的设计，并实现对倒立摆的稳定控制， 进而掌握控制系统设计的基本方法。 本文主要采用了极点配置法、l q r 、模糊控制、变结构控制、能量控制等方 法进行控制器的设计。在实现稳定控制的原则下，分析控制算法的特点，并利用 各算法优势解决实际应用中遇到的问题，如现代控制理论与模糊控制的结合，解 决模糊控制“规则爆炸 问题；基于t - s 模糊模型，将神经网络的自学习与l q r 最优性能的特点融合，训练隶属函数和控制规则，克服了线性控制理论面对非线 性系统控制时的瓶颈和复杂系统模糊规则提取难的问题；将线性控制方法与非线 性控制相结合，实现变结构控制，提高对系统非线性的适应能力等。通过控制理 论之问的融合，简化各种控制器设计与分析的的繁琐，拓宽了控制器的设计思路， 同时改善了控制器的性能，为控制理论应用在实际控制系统中提供了方法和途径。 通过倒立摆控制方法的研究，认识到每种控制方法都有各自的优势和使用范 围，不同控制方法的结合同样是控制理论发展的表现。在控制系统的设计中，只 有综合考虑系统的各方面性能，才能获得最优状态的控制器。 关键字：倒立摆模糊控制变结构控制自适应模糊神经网络起摆 a b s t r a c t i n v e r t e dp e n d u l u mi sm u l t i v a r i a b l e ，n o n l i n e a r , s t r o n g c o u p l i n ga n di n s t a b i l i t y n a t u r a l l y a l s oi t sc o n t r o l l e rc a nr e f l e c tr e l i a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so f c o n t r o lt h e o r y u n d e rc o n d i t i o n so fu n d e r s t a n d i n gi n v e r t e dp e n d u l u m sm o v e m e n tr u l e sa n dm o d e l c o n t r o l l e ri sd e s i g n e db yu s i n gt h ek n o w nt h e o r yt om a k ep e n d u l u ms t a yu p w a r dt h a ti s c a l l e ds t a b i l i z a t i o n t h i sp r o c e s sh e l p su sm a s t e rt h eb a s i ci d e a so fa u t o m a t i cc o n t r o l s y s t e m i nt h i sp a p e r ，c o n t r o l l e r sa r eb a s e do np o l e p l a c e ，l q r ，f u z z yl o g i cs y s t e m ， v a r i a b l e s t r u c t u r ec o n t r o la n de n e r g ym a n a g e m e n t o nt h ep r e m i s eo fp e n d u l u ms t a y s t a b i l i t y , m a j o rt a s ki s t oa n a l y z ea d v a n t a g e sa n dc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e na l g o r i s m s ， a l s ou s e i n gt h e s et oh e l po t h e rt h e o r i e st od e a lw i t hp r o b l e m st h a tt h e yf a c e i tr e d u c e s t h ei n p u tv a r i a b l ed i m e n s i o no ff u z z yl o g i cc o n t r o l l e rb yd e s i g n i n gaf u s i o nf u n c t i o n a p l l y i n go p t i m i z a t i o nc o n t r o lt h e o r y ，a n ds o l v e st h ep r o b l e mo f ”r u l ee x p l o s i o n ” s u c c e s s f u l l y u s i n gl e a r n i n gc a p a b i l i t yo fn e r v en e t w o r kt ot r a i nm e m b e r s h i pf u n c t i o n a n df u z z yr u l e si na d a p t i v en e r o - f u z z yi n f e r e n c es y s t e m ( a n f i s ) ，f u z z yc o n t r o l l e r o fi n v e r t e dp e n d u l u mi se s t a b l i s h e da n db yt h i sw a yi ts o l v e st h ep r o b l e mt h a tf u z z y r u l e so b t a i nd i f f i c u l t y w h a t sm o r e ，i to p t i m i z e sp a r a m e t e r so ff u z z yc o n t r o l l e ra n d p r o m o t e si t sp e r f o r m a n c e f i n a l l yi tr e a l i z e si n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m sp r a c t i c a l i t y c o n t r o lb a s e do nc o n t r o la l g o r i t h m st h r o u g hs i m u l i n k r t w ，a n do b t a i n ss a t i s f y i n g e f f e c t s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tc o m b i n a t i o no fd i f f e r e n ta l g o r i t h m sc a nr e d u c et h e c o n t r o l l e r sc o m p l e x i t y , i m p r o v et h ep e r f o r m a n c e ，a l s ob ean e wt h o u g h tt od e s i g n s u i t a b l ec o n t r o l l e r t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n sa n dr e a lt i m ec o n t r o lo nt h es y s t e ma r e p e r f o r m e da n ds h o wt h a t a l la b o v et h e o r i e sc a l lm a n a g es t a b i l i t yc o n t r o lo fi n v e r t e d p e n d u l u me f f i c i e n t l y a i li na 1 1 c o m b i n a t i o no ft h e o r i e sc a r lb el o o k e da sat r e n do fc o n t r o l d e v e l o p m e n t m o r ef a c t o r sb ec o n s i d e r e d ，b e s tc o n t r o l l e rb ed e s i g n e d k e y w o r d ：i n v e r t e dp e n d u l u mf u z z yc o n t r o l v a r i a b l e s t r u c t u r e a n f i s s w i n g - u p 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学i x l 和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 同朗兰塑：! ：2 r 期主翌1 2 ：! ：2 第一章绪论 1 1 i 控制理论发展概述 第一章绪论弟一早珀t 匕 i i 问题的提出及背景 自动控制理论发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工 业控制。二战后，形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经 典控制理论，它主要研究单输入一单输出、线性定常系统的分析和设计问题。一 般处理的系统为单变量系统，数学模型简单，基本分析和结合的方法是基于频率 法、根轨迹法、相平面法等，描述系统的数学模型是微分方程或传递函数。然而 经典控制理论对于非线性时变系统却难以奏效。5 0 年代中期，由于空间技术的发 展，现代控制理论应运而生。现代控制理论主要是基于系统内部描述的状态方程 进行时域分析。其运用状态空间理论解决了多输入多输出问题，对象的模型采用 内部模型以解析运算为主要手段，实现某个或某几个性能指标的最优。所研究的 对象可以为线性定常系统，也可以为非线性时变系统。现代控制理论也要求建立 系统的数学模型，但随着工业过程同趋复杂，过程严重的非线性和不确定性，使 许多系统无法用数学模型精确描述，而且随着科学技术的突飞猛进，不仅要求控 制精确，而且更注重控制的鲁棒性、实时性、容错性及对控制参数的自适应和自 学习能力。这样建立在数学模型基础上的古典和现代控制方法将面临空前的挑战， 同时也给智能控制方法的发展带来了良好的机遇。自动控制理论已经过八十余年 的历程，具备了从经典到现代严谨的理论体系【i j l 2 j 。 但如同其他理论一样，自动控制理论也有其局限性，即仅当所研究的被控对 象数学模型存在解析解时，才能求得控制律。而目前的数学只能求出线性和一些 典型非线性情况的解析解。对于简单的被控对象，即使存在非线性，若控制要求 不高，也可通过相对平衡点的小偏离线性化将所讨论问题划归到线性范畴，或采 用相平面等非线性理论加以解决。 目前，自动控制理论正向以控制论、信息论、仿生学为基础的智能控制理论 深入。智能控制利用人工智能实现控制目的，具有能够处理高度非线性和复杂性 的被控对象并对系统和环境的不确定性变化具有动态适应能力的自主系统，其本 质是对动态的感知、学习和自适应能力。现在最有潜力的控制方法主要有模糊控 制系统，神经网络控制系统以及基于知识的专家控制系统。 基于倒立摆系统的控制方法研究 1 1 2 倒立摆系统作为控制理论研究平台的意义 控制理论的正确性及在实际应用中的可行性需要个基于此理论设计的控制 器来具体控制一个典型的被控对象来验证。倒立摆系统j 下是这样一个典型的对象， 它是一个高阶次、多变量、非线性，强耦合的快速性系统，只有采取有效的控制 方法才能使之稳定。在对其进行控制过程中可以有效的研究控制领域中许多关键 性问题，如稳定问题、非线性问题、鲁棒性问题、跟踪问题和随动问题等。许多 抽象的控制概念，如稳定性、能控性、快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆的摆 动角度、位移和稳定时间直观反映。倒立摆尤其适合用于多种控制理沦和方法的 研究，如p l d 控制、自适应控制、状态反馈控制、模糊控制、遗传算法控制及人 工神经网络控制等。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制理论中的理论 和技术实现问题，还能将控制理论所涉及到的三个学科：力学、数学和电学有机 的结合起来，并在倒立摆系统中得到综合的应用。 倒立摆系统的控制研究也具有重要的工程背景。单级倒立摆与火箭的飞行有 关，而二级倒立摆与双足机器人的行走有相似性。r 常生活中重心在上、支点在 下的问题都与倒立摆有极大的相似性，故其稳定控制在实际中有广泛的应用，如 海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着 陆，化工过程控制等。 总之，倒立摆为控制理论的研究提供了一个平台，在同一基准和同一框架下， 对不同的理论方法进行比较和融合。在工程实践中，它也是较完备的试验设备， 可对控制理论及方法进行有效的检验，从而提供一个从控制理论通往实践的桥梁。 1 2 控制理论在倒立摆系统的应用及发展 倒立摆的研究可以归结为以下两个问题： ( 1 ) 如何快速使倒立摆从初始位置达到竖直位置的起摆控制。 ( 2 ) 在工作平衡点处的稳定控制问题。 随着i n t e m e t 的发展，一些研究机构已将倒立摆纳入远程控制实验室，希望 能够让更多的人通过远程实验来验证他们的控制算法。 i 2 1 起摆控制方法的研究 倒立摆的起摆控制主要集中在基于能量、最优控制、智能控制等方面。基于 能量的控制简单地来说就是控制摆杆的能量而不是控制摆杆的位置和速度。采用 最优控制的数值算法，在状态变量较少时可实现最优控制率的计算，但对于状态 第一章绪论 变量较多，尤其是具有终点约束的问题却难以实现。模糊控制倒立摆起摆控制器 的设计容易理解，但对控制规则要求考虑的因素较多。 1 2 2 稳定控制的研究 在研究控制系统稳定控制的过程中，需要不断发现新的控制方法、探索新的 控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和 方法都呵以在实际的控制系统中得到充分应用，并且将各种控制方法进行有机的 结合。 1 倒立摆系统的线性控制方法 应用现代控制理论的方法实现倒立摆系统的稳定控制，必须将倒立摆系统的 非线性模型进行线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再根掘 对系统控制所提出的性能指标进行分析与综合，得到期望的控制器。 状态反馈控制原理可以解决倒立摆系统的控制问题，已经有不少结论。 a f b r y s o n 等p j 在1 9 7 0 年对一级倒立摆系统进行控制获得成功。s m o i l 等1 4 j 在 1 9 7 8 年和1 9 8 0 年完成了对二级倒立摆系统和倾斜导轨上的二级倒立摆系统的控 制。k f u r u t a ，h m m e i e r 等1 5 】1 6 1 应用最优状态调节器实现了具有双电机的三级倒 立摆系统的控制。但状态反馈稳定控制的范围有限。因此对于倒立摆这样的非线 性较强、模型较为复杂的多变量系统，线性系统设计方法的局限性十分明显。 2 倒立摆系统非线性控制方法 由于现代控制理论与倒立摆系统非线性之间存在的矛盾，使人们意识到采用 具有非线性特性的控制器是解决非线性系统控制问题的必由之路。 变结构控制又称为滑动模态控制，是一种非连续控制，可将控制对象从任意 位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，即依靠其自身具有的滑 动模态，通过改变切换时间或切换次数的方法来抵御不确定性。变结构控制最突 出的一个优点是系统的滑动模态对系统扰动及外干扰具有不变性，即理想的、完 全的鲁棒性，其主要缺点是系统存在抖振。g g u a n g 等实现了一级倒立摆系统的 模糊变结构控制；k k d y o n g 和j j e s l o t i o n 分别应用变结构控制方法与二自由 度操作手( 其结构与二级倒立摆很相似) 和一级倒立摆系统，系统的滑动模态消除 了操作手关节间的非线性耦合，实现起来比一般强调非线性补偿的控制方法简单。 3 倒立摆系统的智能控制方法 基丁：倒立摆系统的控制方法研究 智能控制为倒立摆系统提供了简单有效的处理方法。采用智能控制中基于特 征模型的多模态控制方式、启发式逻辑和知识推理机制来实现非线性处理。在倒 立摆系统中用到的智能控制方法主要有模糊控制、神经网络控制、云模型控制和 拟人智能控制等。 ( 1 ) 模糊控制 经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言 规则直接转化为自动控制策略( 专家模糊规则查询表) ，其设计不依靠对象精确数 学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。程福雁等1 7 l 运用模 糊规则控制，将现代控制理论与模糊控制理论相结合，成功稳定住了二级倒立摆 系统。研究结果证明，将成熟的现代控制理论用于模糊控制器中处理多变量问题， 是一种可行的方法和思路。从这些文献中可以看出，常规的模糊控制器的设计方 法有很大的局限性。首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则。针对以上 问题，r l a n g a r i 应用双层多变量模糊控制器与解耦的二级倒立摆系统，低层子系 统的模糊控制器构成执行器，高层子系统的模糊控制器起协调作用；张乃尧等1 8 】 采用模糊双闭环的方案，成功稳定住了单级倒立摆。另外一种方法是基于模糊模 型的模糊控制器。m ax i a o j u n 等1 9 j 引入单级倒立摆的模糊状态空间模型，该模型 建模方法的本质在于：一个整体非线性的动力学模型可以看成是许多个局部线性 模型的模糊逼近。并证明了适用于线性系统的分离原理同样适用于模糊系统，独 立设计的模糊控制器和观测器成功稳定单级倒立摆。 ( 2 ) 神经网络控制 8 0 年代以来，神经网络逐渐被运用于倒立摆系统的研究，c h a r i e sw a n d o r s o n 在1 9 8 8 年应用自学习模糊神经网络控制单摆获得成功。周建波等采用基于b p 网 络的规则控制也解决了倒立摆的稳定控制问题。徐红兵等提出了基于变结构的模 糊神经网络控制方法，实现了二级倒立摆系统的控制。神经网络控制方法存在的 主要问题是：缺乏一种专门适用于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层 数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则以及如何迸行动态 网络的稳定性分析等。 ( 3 ) 模糊神经网络控制 与传统的神经网络不同，模糊神经网络中的结构和权值有定的物理意义， 它的结构和初始权值可根据先验知识人为的加以选择。这样网络的学习速度大大 加快，泛化能力增加，并在一定程度上回避了梯度优化算法带来的局部极小值问 题。j r j a n g 采用反向传播方法实现模糊神经网络的自学习，形成模糊控制器。 试验结果证明这一方法的有效性和控制器较强的鲁棒性。 ( 4 ) 基于遗传算法的控制方法 遗传算法g a 是一种自适应启发式的全局性搜索优化方法，是基于自然选择 第一章绪论 和进化遗传等生物进化机制的迭代自适应概率性搜索方法。其优点是简单、鲁棒 性强，是一种随机优化技术。 ( 5 ) 拟人智能控制u j 张明廉等运用问题规约原理，成功地解决了从一级到三级倒立摆系统的稳定 控制。该原理是将一个复杂的问题进行层层分析，得到一系列的子问题，如粜能 够找到这些子问题的解决方法，然后进行逆向求解，贝i j 原阀题也就迎刃而解。问 题规约原理提出了一种很好的思想，很值得在其他问题研究【f j 加以借鉴。 ( 6 ) 利用云模型实现智能控制倒立摆 用云模型实现智能控制倒立摆的定性控制机理，给出定性定量之问转换的云 模型的形式化表示，以反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，依此理论进行智能 控制倒立摆的机理探讨及不确定性推理方法研究。 1 3 论文的主要工作 1 为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学模 型，并在平衡点附近对系统进行了线性化处理，得到了系统的线性化模型；基于 此模型，分析系统的稳定性、能控性和能观性；阐述了倒立摆系统的运动规律和 各个变量之间的相互关系。 2 目前已有多种控制方法实现了倒立摆的稳定控制，本文综述了血种主要的 控制方法，它们包括极点配置、二次型线性性能指标最优控制、模糊控制、自适 应模糊神经网络和变结构控制，基于上述理论方法设计了控制器，并实现了对倒 立摆的半实物仿真，分析了它们的特点。 3 针对倒立摆的起摆问题，应用了能量反馈和模糊控制两种方法实现了一级 倒立摆起摆控制器设计。 4 对倒立摆系统的非线性进行分析，总结控制系统设计的经验，深入讨论了 对控制思想的认识。 5 论文工作总结及研究工作的展望。 第二章倒立摆系统平台建模与分析 第二章倒立摆系统平台建模与分析 21 倒立摆系统结构及工作原理 例立摆系统是二阶非完整约束动力学系统由于系统带有重力项，可以在平 衡位置将系统线性化进而在平衡位置实现指数收敛稳定。在倒立摆系统中，只 有一个小车的控制输入，需要控制的输出则有摆丰t 角度以及小车位移，所以倒立 摆系统属于欠驱动系统，一个输入控制多个输出量。 倒立摆系统具有如下特性【1 i l ： ( 1 ) 欠冗余性。倒立摆采用单电机驱动，因而它有冗余机构。 ( 2 ) 典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。 f 3 ) 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、盘测噪声以及机械 传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。 ( 4 ) 耦合特性。摆杆和小车之日】，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强 耦合的。这是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也使控制系统的设计、 控制器参数调节变得复杂。 ( 5 ) 开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂 直向下的状态是系统稳定的平衡点( 考虑摩擦力的影响) ，而垂直向上的状卷是系 统不稳定的平衡点，f 环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到 垂直向下的状态中。 鲑 厂丁一梦 幽2 1 倒立摆系统框图 倒立摆实物系统如图2 1 所示，包括p c 机( 装有p c i 接口的高性能通用运动 控制卡g t - 4 0 0 - s v ) ，一个乜岔电机驱动器及各种i o 电路的电控箱，倒立摆本体 和光电码盘反馈测量元件等儿大部分，组成一个闭环系统。系统采用d s p 专用运 动控制茁片的运动控制器；交流伺服电机作为驱动；检测元件采用光电编码器， 基于倒立摆系统的控制方法研究 从而系统的数据传输、处理全部采用数字处理，避免了模拟系统的零点漂移、噪 声干扰等缺点。实际控制时，主要是控制系统的构建和控制器参数的调节。 曲22 制立攥奉伴 如图2 2 所示，对于倒立摆本体而言，可以通过对光电码盘的反馈进行换算获 得小车的位移，摆杆的角度出光电码盘检测并直接反馈到i o 设备，小车的速度信 号、角速度信号通过差分法得到。计算机从i o 设备中实时读取数据，根据控制算 法确定控制镱略，实际上是电机的输出力矩，并发送给i o 设备产生相应的控制量， 传送给伺服驱动器处理。驱动电机带动小车运动，保持摆杆不倒，达到动态平衡 状态。稳定的具体表现是倒立摆系统不会震荡发散或突然倒下。倒立摆的偏角和 电机的电压之问存在一定的关系，偏角大时，所施加的控制力就越丈。 2 2 倒立摆系统的相平面分析 倒立摆成功稳定时，摆杆偏离其铅垂方向的角位移口一般保持在2 。左右，采 用线性化处理分析是可行的。 1 一级倒立摆系统的运动方程 ， ( a ) 小车受力图( 吣一级捏受力图 图2 3 一级摆系统受力分析 如图2 3 所示，将摆l l 解除约束后可得到一级倒立摆系统受力分析。在略 去阻尼情况下由图2 3 ( b ) 可得一绒倒立摆的运动方程为( 略去摆l = 2 l 重量在水 拄 z 第_ 二章倒立摆系统平台建模与分析 9 平方向分量) ： s , 4 = 聊l g l ls i n 岛一彳，c o s 岛 式( 2 一1 ) 经过线性化后变为： 以巨一m g l , o , = 一彳， 式( 2 2 ) 式( 2 2 ) 为一级倒立摆数学运动方程。显然，它是一个强迫运动方程。 2 一级倒立摆的自由运动 令式( 2 2 ) 中的石= 0 ，得到一级倒立摆自由运动方程： 氓一q = 0 式( 2 3 ) 其中蠕= m j , ，它为典型的不稳定方程。 ( 1 ) 一级倒立摆运动的相平面表示n 习 对式( 2 3 ) 进行分离变量积分后得： 盟一乓= 1式( 2 - 4 ) a a 蝣1 式( 2 4 ) 为双曲线方程。其中a = o , 2 0 一簖o , 2 0 是由初始条件和系统参数决定的常 数。在不同的初始条件( q 。，碗。) ，可在相平面( q ，碗) 上得到相应的相轨迹。它在相 平面上能表示出一级倒立摆在各种初始条件下的自由运动。图2 4 中的奇点臼= 曰= o 为鞍点，它所对应的平衡状态是不稳定的平衡状态。当a - - 0 时，在相平面上得到 2 条特殊的相迹尸尸，和9 q ( 直线) ；当a o 和a o ，就能保证q 2 0 。由式( 2 5 ) 可知，该方程在形式上表 征了一种无阻尼的强迫运动，其相应的相轨迹方程为： ? 乓+ 翼= l b 2 簖2 。b 2 式( 2 6 ) 其中b = 以再i 虿万云是由初始条件和系统参数决定的常数。不同初始条件相 平面上的相迹是一簇椭圆，其奇点为中心型，如图2 5 ( a ) 所示。 jl p 厂。、。 1 0 7 q ( f ) 门| | v 7 ( a ) 倒摆强迫运动相迹( b ) 1 9 l ( ，) 响应曲线 图2 5 倒立摆强迫运动相轨迹及其响应曲线 第二章倒立摆系统平台建模与分析 图2 5 ( a ) 所示的相迹图上，每个椭圆相应于一种简谐运动。因此，在某个初始 条件下，倒摆在铅垂位置附近的运动是一种简谐运动，其角位移鼠( ，) 的响应曲线 如图2 5 ( b ) 所示。小车的位移“，) 也是一种简谐运动，它与鼠( ，) 在相位上下好相反。 这表明在稳定控制过程中，倒立摆的运动方向与小车运动方向始终是相反的，也 正因为如此，小车的运动j 下好能够起到减小鼠的作用。这就是倒立摆在外界控制 作用下，能够在其平衡位置附近维持一种动态平衡运动的最根本原因。 3 一级倒立摆系统控制规律 小车与摆杆之间力的传递是通过轴连接实现的，外加控制e 能通过它施加于 摆厶，使其处于动态稳定。由前面分析可知，外作用力e 、强迫力彳与小车的运 动存在一种确定的关系，根据上述分析以及人们的直觉经验可得出以下几点： ( 1 ) 倒立摆受到的强迫力z 应与其偏角幺和角速度馥大小有关，其中磅是为了 改善系统的动态性能，起阻尼作用。由于处在小范围内，故可表示为： 石= 七0 q + 吒谚 式( 2 7 ) 其中足工，颤为2 个待定的常数，可通过参数估算或实验方法来确定。 ( 2 ) 倒立摆受到的强迫力一是通过小车施加的，为了保证控制过程中，倒立摆 具有稳定在某点附近的良好性能，外加控制f 也应与小车在导轨上的位移x 、速度 贾相关，即有f = 群x + k 戈。 在综合考虑了倒立摆和小车的运动特性之后，由图2 2 ( b ) 所示的小车系统中， 可得到一级倒立摆系统的控制律为： 石= 墨( x + 文+ 彳) 式( 2 8 ) 将式( 2 7 ) 中的彳代入式( 2 - 8 ) 得： e = k 。( k x + 童+ 七二q + 七二馥) 式( 2 9 ) 其中_ ( f - l ，2 ，3 ，4 ) 为待定常数。 4 二级倒立摆系统控制规律 将第二级摆杆厶连接在一级摆厶上而形成二级倒立摆系统，如图2 6 所示。 它的控制机理与一级倒立摆系统类似，不同的是一级摆的强迫力z 是由小车直接 施加的，而二级摆乙所受强迫力不是通过一级摆厶施加其上的，这个力对小车来 说是间接控制力，因此小车对摆厶的控制是一种间接控制。为便于用相平面分析， 这罩引入了“等效小车”的概念，即将一级倒立摆系统( 包括摆厶和小车所) 看 成一个整体，如图2 6 中的虚线框所示。这样，由一级摆厶向二级摆乞施加的强 基于倒立摆系统的控制方法研究 迫力厶，可视为由等效小车在点o ，直接施加其上，实际是由小车m 在点o 。施加一 个与之大小相等方向相反的力( 图中虚线所示) 而得到的。这是因为对倒立摆 的控制是通过绕其质心施加控制力矩，所以上摆的控制是由小车通过下摆厶绕其 质心，l 的力矩，使上摆厶能够稳定，从而厶和构成一对力偶。二级摆厶旦 有了偏角0 2 之后，小车便通过摆厶在点o ，产生一个间接的强迫力疋。它将绕摆厶 的质心m 2 产生个转矩l c o s0 2 使摆厶回到其平衡位置，这就是小车能够间接控 n - 级倒立摆稳定的基本原理。 图2 6 带有“等效小车”的二二级摆系统 2 3 倒立摆系统的运动模态 在倒立摆系统控制实验过程中发现，其在受控稳定状态下，可以出现多种不 同的稳定运动模态。这些运动模态与控制律参数之间存在着明显的关联。这些问 题实际上也可以被看作是一种姿态控制研究。这里所说的运动模态是指倒立摆系 统在受控稳定状态下各级摆杆的一组具体运动模式。 1 一级倒立摆系统的运动模态 一级倒立摆系统只有一根摆杆，直观判断可知其基本稳定状态有2 种：其一 是摆卡t 和小车在导轨上一点的邻近位置保持稳定；其二是小车在导轨的一段区间 内较大幅度摆动而摆杼仍然保持稳定不倒。进一步考虑2 种基本模态的组合又可 能产生另外2 种稳定运动模态。一是倒立摆在漂移中平衡，即摆杆保持铅直稳定， 而小车和摆杆一起在导轨的一段区间内往复漂移运动；二是摆杆在铅直稳定状态 下出现抖动，即摆杆在保持小幅高频稳定振荡的同时，间歇性地出现较大幅度的 摆动。于是一级倒立摆系统存在4 种典型的稳定运动模态。 2 二级倒立摆系统的运动模态1 1 3 1 1 1 4 1 对于二级倒立摆进行类似的分析可知其基本的稳定运动模态有2 种i 川，即整 第二章倒立摆系统平台建模与分析 个系统保持一体稳定在导轨某一位置的极小邻域内或者是下动上静的摆动平衡状 态。由于二级倒立摆系统的2 根摆杆之间由轴承链接，因此其摆动平衡状态还可 能出现2 种情况。一种是2 根摆杆保持在一条线上整体摆动，即2 根摆杆在链接 点处的相对转动很小，小车的摆动幅度较大，而上摆杆顶端的位移很小。另外一种 是上摆杆整体相对移动较小，小车带动下摆杆的摆动幅度较大，于是在2 根摆杆 之间链接点处下摆杆有明显的相对转动，即下动上静状态，如图2 7 所示。 图2 7 二级倒立摆基本延动状态 以上3 种基本稳定运动模态组合又可生成3 种常见的复合稳定运动模态： ( 1 ) 2 根摆杆保持铅直并随小车一起在导轨的一定区间内稳定漂移振荡： ( 2 ) 保持下动上静的摆动模式并同时在导轨的某区f a j 内来回漂移； ( 3 ) 2 根摆杆保持铅直并稳定于导轨某一点邻近，伴随间歇性较大幅度的振荡。 综合上述二级倒立摆系统基本运动状态的分析可知，稳定的出发点在于下动 上静的原则。因为二级倒立摆系统是单电机控制，能量从小车到各级摆杆由下至 上传递，并由于能量消耗而逐渐衰减。所以由下而上各环节的动作幅度只能越来 越小。也就自然产生以上各种基本运动状态，并在实验中被证实。 倒立摆的控制目标就是使其在不稳定平衡点附近的运动成为一个稳定的运 动，控制央角和位置在各自的位置零点附近变化，而摆处于垂直状态，整个过程 是一个动态平衡。要使摆静止直立在平衡位置是不可能的，只能是在平衡位置处 的振荡，因此系统存在误差。 2 4 倒立摆建模及线性化处理 2 4 1 一级倒立摆系统建模 在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀 质杆组成的系统，如图2 8 所示。下面采用牛顿一欧拉方法建立其数学模型。 图2 8 一级倒立摆力学模裂i 玺i 1 4基于倒立摆系统的控制方法研究 假设：m 为小车质量，m 为摆杆质量，b 为小车摩擦系数，为摆杆转动轴心 到杆质心的长度，i 为摆杆惯量，f 为加在小车上的力，x 为小车位置，矽为摆杆 与垂直向上方向的夹角，口为摆杆与垂直向下方向的夹角( 考虑到摆杆初始位置为 竖直向下) ，系统中小车和摆杆的受力分析【1 5 峙口图2 9 、2 1 0 所示( 图中方向为矢 量j 下方向) 。其中，和p 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 n 图2 9 小车隔离受力图图2 1 0 摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 膨= f 一掀一 式( 2 1 0 ) 由摆杆水平方向的受力进行分析得到式( 2 1 1 ) ： j 2 = 历告( x + ，s i n 9 ) 式( 2 11 ) 刃 7 。、 即： n = ，l 舅+ m l o c o s 0 一m l o s i n 秒 式( 2 - 1 2 ) 将式( 2 1 2 ) 代入式( 2 l o ) 中，得到系统的第一个运动方程： ( 肘+ 删弦+ 橛+ 朋胯c o s o r a t a 2s i n 0 = f式( 2 1 3 ) 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，如式( 2 1 4 ) 所示： 2 户一啷= 册备( 1 c o s 0 ) 式( 2 1 4 ) 口f 即：p m g = 一m l o s i n o r a t a 2 c o s 0 式( 2 1 5 ) 力矩平衡方程如式( 2 1 6 ) 所示： 一p is i n 0 一n l c o s o = j 痧 式( 2 1 6 ) 注意：式( 2 1 6 ) 中力矩的方向，由于0 = 石+ 痧，c o s = 一c o s ? ，s i n = 一s i n 0 ， 故等式前面有负号。 合并式( 2 1 5 ) 、( 2 - 1 6 ) ，约去p 和，得到第二个运动方程： ( ，+ m 1 2 ) 0 + m g l s i n 0 = 一m 芏c o s o式( 2 - 1 7 ) 设秒= 万+ 矽( 矽是摆杆与垂直方向之间的央角) ，假设矽与l ( 单位是弧度) 相 比很小，即 l ，则可以进行近似处理：c o s 口= 一1 ，s i n 0 = 一矽，( 辈) ：= o ，用 口l 甜来代表被控对象的输入力f ，线性化后两个运动方程如式( 2 1 8 ) 所示： 第二章倒立摆系统平台建模与分析 f ( i + m 1 2 ) 多一m g l c k = 优反 【( m + m ) s i + b 2 - m l 口k = u 对式( 2 一1 8 ) 进行拉普拉斯变换，得到： i ( i + m 1 2 ) 中( s ) s 2 一m g l ( s ) = m l x ( s ) s 2 i ( m + 研) x ( s ) s 2 + b x ( s ) s m l ( s ) s 2 = u ( s ) 注意：推导传递函数时假设条件为0 。 由于输出角度矽，求解式( 2 1 9 ) 的第一个方程，可以得到： 一f 掣一外 把式( 2 2 0 ) 代入式( 2 1 9 ) 6 7 的第二个方程得到： c 肘圳 学一牛- 1 咖2 + 6 学+ 小咖刊吣2 州 整理式( 2 2 1 ) ，得到传递函数： ( s ) u ( s ) 型s ： q s 4 + b ( i + m 1 2 ) s 2 一 g 式( 2 1 8 ) 式( 2 1 9 ) 式( 2 2 0 ) 式( 2 2 1 ) 式( 2 2 2 ) 其中q = + 聊) ( ，+ 历，2 ) 一( m 矿 。 求取状态空间方程，设系统状态空间方程为j x = 似+ b “，式( 2 1 8 ) 对戈， i ) ，= c x + d u 、。 解代数方程【1 6 1 ，得到解如下： 碧：一二垡丛塑一丁戈+ - 一一塑：； x = jx 十= 一 i ( m + ，竹) + m m l 2 i ( m + ，胛) + m m l 2 = 彩= 一m b l 二m g l ( m + m ) - 1 一 x ( m + 小) + m m l 2i ( m + 肌) + m m l 2 整理后得到系统状态空间方程为： 0l o二! ! 笙堕： i ( m + ，以) + m m l 2 0o 0 二竺丝 ： i ( m + 朋) + m m l 2 痧+器i(m m m l 甜妣3 ， + m ) + 2 式r ，7 孙 uu 竺鲨 =o ( m + 研) + m m l o1 型! 丝! ! = 0 式( 2 2 4 ) 1 6基于倒立摆系统的控制方法研究 r x lr l0 0o l 胪剀2 l oo o j懵 实际系统的模型参数如下： m小车质量1 0 9 6k g m摆杆质量0109 k g b小车摩擦系数0 1 n m s e c ，摆杆转动轴心到杆质心的长度0 2 5 m ， 摆杆惯量0 0 0 3 4 k g * m * m 丁采样频率0005秒 则一级倒立摆的状态方程为：戈= 朋+ 召u ，其中 x =a = o1 o 0 0 8 8 3 2 o0 o - 0 2 3 5 6 6 00 0 6 2 9 3 20 01 2 7 8 3 o 2 4 2 一级倒立摆系统在m a t l a b s i m u l i n k 中的封装 b = o 0 8 8 3 2 o 2 3 5 6 6 将由牛顿第二定律所得的运动方程式( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 整理，得： ，+ m 1 2 9 s i n 0 c o s 0 + m 1 0 2s i n p 一妊 m + 肌一m 2 1 2c o s 2 0 + m l 痧：-m2cos0-mglsin 0 式( 2 2 5 ) 式( 2 2 6 ) 式( 2 2 7 ) 作为小车倒立摆动力学模型的一种模拟，仿真模型应尽量与真实系统特性接 近，所以在仿真模型中本文采用了系统的、完全的、非线性的模型【1 7 】。 式( 2 2 6 ) 中，令u 1 】_ f ，u 2 】= s i n0 ，u 3 = c o s 9 ，u 4 】- 0 ，砸5 卜i c 则： f c n l = 竺 ! ! 竺：! ：竺：! ：星：竺【! ! ! 竺 ! ! ! 垡竺：! ：! ! 竺：! ：竺【兰! ：竺【鱼：竺【! ! 二垒：竺【! ! m + m - m 宰m 木，宰，幸”【3 】木u 3 1 ( 1 + m 幸，木，) 式( 2 - 2 8 ) 式( 2 2 7 ) 中，令u 1 】= j ，u 2 】_ c o s l 9 ，u 3 - s i n 0 则： f c n 2 = ( 一m 幸，幸“【l 】牛u 2 l - m g ，幸u 3 1 ) ( i + 所，) 式( 2 2 9 ) 倒立摆系统在m a t l a b 环境下的动力学模型封装如图2 1 1 所示。 第二章倒立摆系统平台建模与分析 幽2 1 1 倒立摆动力学模型 封装时应注意，在“m a s ke d i t o r ”对话框中，“p a r a m e t e r s v a r i a b l e ”设定的变 量“s p e c s ”需要在“i n i t i a l i z a t i o n ”属性页中为模型的参数( ，m , m , g , b ，j ) 赋值： = s p e c s ( i ) ，r e = s p e c s ( 2 ) ，m = s p e c s ( 3 ) ，g = s p e c s ( 4 ) ，b = s p e c s ( 5 ) ，i = s p e c s ( 6 ) 。已知模 型参数( l m , m ，g , b ，d 为【o 2 5 ，0 1 0 9 ，1 0 9 6 ，9 8 ，0 1 ，0 0 0 3 4 ，初始状态设为【o ，0 ，0 ，o 】。 经过封装后的倒立摆数学模型包含了一定的非线性因素，可以在m a t l a b 环 境中进行方便的操作。利用函数“【口，b c ，d = l i n m o d ( i n v e r t e dp e n d u l u m ， x , x d o t t h e t a ，t h e t a d o t ) ”，可以求出在任意状态点的状态空间方程，将系统线性化。 其中i n v e r t e dp e n d u l u m 为文件名，i x 。x 咖f t h e t a , t h e t a d o t 为所求取的状态变量， 改善了人为线性化过程的繁琐。 2 4 3 二级倒立摆系统建模及s i m u l i n k 下的封装 利用拉格朗同方程推9 - 级倒立摆运动学方程【1 8 1 ，详细推导过程参见附录a 。 二级倒立摆模型在s i m u l i n k 中封装如图2 1 2 所示。 图2 1 2 二级倒立摆封装框