定积分.doc

（人教B版）高中数学课程标准实验教科书数学（选修2-2）第一章第四节第一课1.4.1 曲边梯形的面积与定积分说课稿一教材分析 1、地位与作用在前面的课程中，我们学习了导数也就是微分，并利用导数研究函数的单调性、极值等问题，对“割线逼近切线”已有了初步体验，同时有了一定的解决问题的能力.我今天主要讲的是导数的逆运算也就是积分，这是一节概念课，编者的意图在哪里呢？教材借助求曲边梯形的面积和变力做功两个直观具体的实例抽象出定积分的概念，深刻揭示了定积分的本质即，以直代曲，局部线性化定积分既是一种求值的高级运算方法，又是今后定义函数的一种工具。从更高的观点来看，定积分最重要的功能是应用定积分解决实际问题的思想方法。学生对定积分的学习，不仅仅是知识的学习，也是难得的辨证思维能力的培养和高层次数学方法的培养。因此，定积分概念的教学应该突出魅力四射的定积分思想。2、教材的主体知识结构与内容的剖析教材的主体知识结构从四个层面进行揭示，(投影)1、求曲边梯形的面积，渗透了极限的思想2、定积分的概念3、定积分的几何意义，其中体现了数学结合的思想4、定积分的应用，增强了数学的应用意识。这四个层次是一个递进发展又相互联系的过程，1是概念的来由，2、3是概念的数学诠释，4是概念的去脉，是知识发展后的自然回归，这是一个从特殊到一般的、完整的知识体系。3、重难点分析： 本课的教学重点是了解定积分的基本思想方法，初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”“分割、近似代替、求和、取极限”但由于学生容易忽视定积分概念的形成过程而只重计算结果，因此掌握“以直代曲”的极限思想的形成过程是本节课的教学难点。4、三维目标的提出：在知识上，了解定积分的实际背景，理解和领悟“以直代曲”“逼近”的思想方法，能求简单的曲边梯形的面积，在能力上，培养学生抽象归纳正确地规范地使用数学符号的能力，分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，从情感上，希望学生体验和认同“有限与无限的对立统一”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。5、从例题的设置来看，鉴于定积分思想的高度抽象性，编者力图通过两个实例，降低知识难度，加强直观理解，首先选用了古老的阿基米德问题作为实例讨论一；设置此例，我想首先是考虑到这是求特殊的简单的曲边梯形面积，由简单到复杂符合学生的认知规律，同时有助于学生思维的构建和方法的形成，易于激发学生的学习兴趣，有利于实现本课的知识目标。另一方面，归纳与提炼不应该是只解决一个问题就可以做到的，应该是几个事物的共同特征的探求；同时，考虑到例1是数学上的面积问题，比较生硬，而变力做功，既有其生动的物理意义，又接近学生的学习（学生是全面的学习，老师反而是单一学科），可以用熟悉的物理情景实现知识的正迁移，由此，设置了课本中的例2. 变力做功的问题。这两个例题不仅提供了知识背景，在引课时发挥重要的作用，事实上，这两个例题的本身就涵盖了本课的重点，深刻地理解了它们，就已经达成了本课的教学目的，同时她也提供了规范的书写过程和解题步骤。在对例题的处理上，编者更是精心备至，为了分散难点，设置了层次清晰的四步阶梯，引领学生逐步行走。由此可见，对于难度较大的章节，我们的教材编者用心良苦，以高度的责任感构建了教材体系，无论是知识的前后衔接还是后续的理解应用，基本上是以“扶着学生走”的方式呈现二、教学方法与手段教学是教师的导、学生的学和教学中的悟相结合的多要素的一个整体。由于定积分思想的高度抽象性，针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索为辅的探究式教学方法，教师启发诱导评价激励学生，为学生的学习搭建空间，把学习任务转给学生，学生接受任务探究问题完成任务。什么是教学是教与学的完美结合。那就是以问题为核心，通过对知识的发生发展和运用过程的演绎解释和探究来组织和推动教学。在教学手段上采用黑板和多媒体相结合的灵活的教学手段直观地展现面积的逼近过程，加深其对极限思想的理解，化解难点，保证重点。三、学法指导我是怎样指导学生的学习呢？新知与旧知在本质上、数学语言上都有相似之处，我选用类比发现法解决第一个案例，通过类比、分析、探索、尝试、验证、解决这几个步骤，使学生的探究过程更加简洁高效。模仿法解决第二个案例，归纳法总结出概念，练习法巩固加深理解。四、教学过程设计设计环节教学内容师生互动设计意图探究阶段概念引入阶段创设情境 抛砖引玉问题一：如何求解图两个多边形的面积？ 问题二：我们是怎样计算圆的面积的问题三：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？学生能够很快用“分割”方法对图形进行分解。图分为两个三角形；图方法较多，寻找最简便的方法。教师引导学生回顾刘微的“割圆术”求圆的面积的“以直代曲”和无限“逼近”思想。用一个学生熟知的问题情境，激活旧有的方法，化不规范为规范、化未知为可知，置学生的思维于“问题情境”之中。oabxyy=f(x)定义：由直线x=a，x=b,（ab）x轴与曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。（如图）直接给出概念，引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。引导、引出曲边梯形（三角形）的定义。了解曲边梯形的结构特征，理解概念。思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜 实例探究一：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求？（阿基米德问题）探究1：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？在学生已有知识的基础上，提出问题，体现化归的数学方法。学生讨论，交流得出结论：可能导致误差过大。教材中设置此例，首先考虑到这是求特殊的曲边梯形面积。由简单到复杂符合学生的认知规律，也有助于学生思维的构建和方法的形成。类比求圆面积的方法，启发学生思维活动。让学生意识到该作法存在缺陷。探究2：怎样才能尽量减小误差？怎样分割？ （分割）oxAyB1、学生提出自己的看法，同伴之间进行交流、合作。教师利用多媒体课件演示。探究解决途径：在局部小范围内“以直代曲”。2、深入讨论具体的分割方法，教师将大家达成一致的结论简单地写在黑板上，即由与横轴垂直的直线进行分割；分割线横坐标为区间等分点较好循序渐进，因势利导，引导学生寻求既减小误差又便于计算的方法途径。探究3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？采用哪种好？（近似代替）(1)O(2)(3)图4组织学生讨论、分析各种方案的利弊及可操作性。通过以上三种方案的对比，概括出最佳的求面积方法 (2)(3)不足近似 过剩近似分配学生任务，分组合作，尝试计算两种近似代替的结果。（求和）最后教师给出计算结果。（忽略计算过程，对于用到的计算公式加以简单说明。）通过类比，得到一般曲边梯形的面积表达，解决本课开始提出的问题，起到前后呼应的作用。体现由特殊上升到一般，由具体到抽象的认识提升，进一步为定积分概念作铺垫。同时培养学生团结合作的精神。探究4：如何从曲边梯形面积的近似值求出曲边梯形的面积？ （取极限）不足近似：过剩近似：具体方案中虽然面积会有差异，但是（1）在不足近似中，随着n的增大，近似值逐渐增大，并趋近实际面积。（2）在过剩近似中，随着n的增大，近似值逐渐减小，并也趋近实际面积。 一方面通过电脑操作让学生感受，同时借助公式简单推导从而强化认识.从几何角度直观感知、体会“无限逼近”思想。并引导学生阅读教材中相关内容，结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想。体现数形结合的数学方法。通过两种近似代替的探究，形成左右夹逼，最后得到曲边梯形的面积，突破了难点。循序渐进归结阶段提炼概念阶段类比探究数学建模定义阶段抓本质建立概念深化概念解题示范巩固理解概念阶段归纳总结1、对于一般函数求相应曲边梯形的面积的方法：1分割 2近似代替3求和4取极限实例探究二：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k为常数），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。定积分的概念（1）y=f(x)在区间a,b上有定义是一般化的前提；（2）任意取n个分点，即小区间不一定等长；(3)“ ”的含义是：小矩形面积不一定选左右端点对应纵坐标为高；（4）“ ”与所有小区间长度都趋近于0不一定等价。疑问:不同的分割方法，不同的矩形的高度计算，对曲边梯形的面积有何影响？练习1.根据定义，将上面两个实例中结果用定积分表示。学生发表自己的看法，概括方法，进行思考，讨论，归纳、总结。 引领学生将变力做功转化为恒力做功问题。分析（1）恒力做功为w=Fs ，此题是变力做功，无法套用公式；（2）类比实例1，可否将平衡位置到拉伸b的过程分割成n个小拉伸过程？即：当n很大时，小拉伸过程很短，每个分段的做功可近似为恒力做功；（3）如果可以，如何借用例1的四个步骤解决此问题？1、指导学生阅读教材第38页，理解定积分、被积函数、积分上限、积分下限的概念2、以教师讲解为主,教师将文字与图形变化配合的一步步演示，理解定积分这一抽象概念具备“求和式极限”的特征。 放手学生独立完成教师的作用在于组织、引导和点拨。在交流中引导学生认真观察、思索，将隐含在数学知识发生过程中的数学思想方法源源不断地流入学生的头脑中；最终找出共性，加以概括提炼，形成概念；这种方式对揭示规律，认识本质有很好的帮助考虑到例1是数学上的面积问题，比较生硬，而变力做功，既有其生动的物理意义，又接近学生的学习（学生是全面的学习，老师反而是单一学科），可以用熟悉的物理情景实现知识的正迁移。此环节的设置利于深度剖析教材：让学生比较实例与定义的异同，学习从特殊向一般转化过程中的思维方法认识到近似代替的方式不惟一性，循序渐进，有助于发散学生思维空间。为定积分概念作初步铺垫。体现由形到数再到形的数学思维过程，也凸显了由特殊到一般再到特殊的认知过程。属于符号认知层面，旨在对新符号的写法和新名词“上，下限”、“被积函数”的认读进行熟悉和同化，另外也有将实例问题收尾的作用。练习2.利用定积分表示图中四个图形的面积xOay = x2 l (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOl y = 1(4)yy在不同背景下对概念的重复认知层面，需要明确函数解析式、区间等问题，在这个过程中，概念和思维过程得以重复，并在重复中得以完善和深化 练习训练巩固阶段意义应用概念阶段概念具体化练习3：教材第39页练习A1、4、B3 几何意义 分f(x)0, f(x)0和f(x)符号不定三种情况。利用图形直观即可得出（关键要说明代数和的含义及原因）。各组学生分派代表板书完成，各组互评。教师巡视，个别纠正。借助上述两例与学生一起分析积分定义中的的值可以是正数、负数或零，积分的值也是实数而不一定是正数。巩固新知，进一步应用新知小结反思深化认识1 回顾四个步骤：分割近似求和取极限2回顾定积分作为和式极限的概念3加深概念理解的几个注意点4几何意义以学生叙述为主。不足之处，教师加以补充。归纳总结本课所学的知识和思想方法，在认识上进一步深化，升华课后评价陶冶情操作业：1、教材第39页练习A3、B1、22、求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。学生课后独立完成。巩固提高，拓展延伸。培养学生的自学能力。实习作业：查阅资料，收集牛顿和莱布尼茨的生平资料，以及在创立微积分时所做的开创性的工作？学生分工合作，共享成果。体会微积分的建立在人类文明发展中的意义和价值。板书设计1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 分割 n个小曲边梯形的面积和取极限（无限逼近）（以直代曲）五、教学设计说明本节课力求体现的教学特色有5个:1.以问题为教学主线2.概念教学按“五流程、四阶段”设计3.重视学生的参与4.重视思想教育5.使用现代教育技术1.以问题为教学主线问题是数学的心脏,本节课的教学终始以问题的解决为线索。在教师的引导下,使学生的思维从问题开始到问题深化。 2.概念教学按“五流程、四阶段”设计五流程：概念的体验、概念的提炼、概念的形成、 概念的巩固、概念的应用。 四阶段：感知阶段、理性认识阶段、概括阶段、运用阶段3.重视学生的参与重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学生积极思维,大胆思考, 动手实践。 4.重视思想教育定积分的思想是一种重要的数学思想，它体现了量变到质变的观点，体现了数形结合等数学思想方法，展现了数学解决问题的新思维、新方法！5.使用现代教育技术使学生能突破认知局限，掌握知识。六