压轴训练：全等三角形（多解、动点、新定义型压轴）（原卷版）

全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴）题型一利用三角形全等求时间或线段长的多解问题例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若与全等，则t的值为．2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，垂足为C，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动时间t为秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）．3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t=秒时，与全等．4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则秒．题型二与全等三角形有关的多结论问题例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）

A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④巩固训练1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（

）．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④题型三全等三角形中的动点最值问题例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是．巩固训练1.（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为．

2.（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为．题型四全等三角形中的动点综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点．以为边向右作正方形，作于点H．(1)填空：；(2)若点G在点B的右边．①求证：；②试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由．巩固训练1．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点在线段上，且时，那么度；(2)设，．①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接．(1)如图1，当时，线段与相等吗?请说明理由．(2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值．3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由．(3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值．题型五全等三角形中的新定义型综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．巩固训练1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．【迁移运用】

(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是；(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是；(3)若是的“边垂角”，且．①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，，求证：；对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样