（水文学及水资源专业论文）半满管流的格子boltzmann数值模拟.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 本文研究了格子b o l t z m a n n 方程及其边界条件、自由表面追踪方法、修正的着 色模型及其数值仿真。主要内容如下： 首先，从l b 方程出发，得到l b g k 方程所对应的宏观方程，即n s 方程，并介 绍了几种边界处理格式和自由边界追踪方法。其次，采用二维基本模型中的d 2 q 9 模型模拟了不同的松驰时间的泊松流。流速模拟结果与解析值相吻合，且松驰时间 对精度有较大的影响。同时，应用l e v e ls e t 方法进行了层流中的气泡的跟踪模拟， 应用v o f 方法完成了均匀流中的旋转流中的自由界面的模拟，得出其相应运动界面 形状保持不变的结论。 最后，采用了修正的着色模型进行了半满管流的数值模拟，得到的流速分布与 经验解相一致。本文为进一步课题研究奠定了基础。 关键词：数值模拟，格子b o l t z m a n n 方法，多相流，着色模型 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，t h em a c r oe q u a t i o nn se q u a t i o nw h i c hi sc o r r e s p o n d i n gt ot h e l b g ke q u a t i o nw a sg i v e n ，a n da l lo ft h i sw a sf r o ml be q u a t i o n a n ds e v e r a ls u r f a c e t r a c k i n gm e t h o d sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sw e r ei n t r o d u c e d i no r d e rt ot e s t i f yl bm e t h o d ，o n eo ft h eb a s i ct w o d i m e n s i o n a lm o d e l s ( d 2 q 9 m o d e l ) w a su s e dt os i m u l a t ep o i s s o n sf l o ww i t hd i f f e r e n tr e l a x a t i o nt i m e a n df l o w s i m u l a t i o nr e s u l t sa n de x p e h e n c ev a l u ew a sa c c o r d a n tt oe a c ho t h e r , a n dt h ea c c u r a c y w a s g r e a t l ya f f e c t e db yt h er e l a x a t i o nt i m e a tt h es a m et i m e ，t h el e v e ls e tm e t h o dw a s a p p l i e d i nl a m i n a rf l o ww i t hb u b b l e s ，t h ev o fm e t h o dw a sa p p l i e dt os i m u l a t eu n i f o r m f l o wf i e l da n dt h er o t a t i n gf l o wf i e l dw i t hf l e ei n t e r f a c e a n dt h es h a p eo ft h em o v e m e n t i n t e r f a c er e m a i n e du n c h a n g e d f i n a l l y , t h er e c o l o rm e t h o dw a su s e dt os i m u l a t et h eh a l f - f u l lp i p ef l o wa n dt h ef l o w s i m u l a t i o nr e s u l ta n dt h ee x p e r i e n c ev a l u ew e r ec o r r e s p o n d i n g t h i sp a p e rm a d e f o u n d a t i o nf o rf u r t h e rr e s e a r c h s h e nh a i l i a n ( h y d r o l o g ya n dw a t e rr e s o u r c e se n g i n e e r i n g ) directed b yp r o f z h a n gh u a k e yw o r d s ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，l bm e t h o d ，m u l t i p h a s e ，r e c o l o rm e t h o d i 华北电力大学硕士学位论文 摘要 本文研究了格子b o l t z m a n n 方程及其边界条件、自由表面追踪方法、修正的着 色模型及其数值仿真。主要内容如下： 首先，从l b 方程出发，得到l b g k 方程所对应的宏观方程，即n s 方程，并介 绍了几种边界处理格式和自由边界追踪方法。其次，采用二维基本模型中的d 2 q 9 模型模拟了不同的松驰时间的泊松流。流速模拟结果与解析值相吻合，且松驰时间 对精度有较大的影响。同时，应用l e v e ls e t 方法进行了层流中的气泡的跟踪模拟， 应用v o f 方法完成了均匀流中的旋转流中的自由界面的模拟，得出其相应运动界面 形状保持不变的结论。 最后，采用了修正的着色模型进行了半满管流的数值模拟，得到的流速分布与 经验解相一致。本文为进一步课题研究奠定了基础。 关键词：数值模拟，格子b o l t z m a n n 方法，多相流，着色模型 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，t h em a c r oe q u a t i o nn se q u a t i o nw h i c hi sc o r r e s p o n d i n gt ot h e l b g ke q u a t i o nw a sg i v e n ，a n da l lo ft h i sw a sf r o ml be q u a t i o n a n ds e v e r a ls u r f a c e t r a c k i n gm e t h o d sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sw e r ei n t r o d u c e d i no r d e rt ot e s t i f yl bm e t h o d ，o n eo ft h eb a s i ct w o d i m e n s i o n a lm o d e l s ( d 2 q 9 m o d e l ) w a su s e dt os i m u l a t ep o i s s o n sf l o ww i t hd i f f e r e n tr e l a x a t i o nt i m e a n df l o w s i m u l a t i o nr e s u l t sa n de x p e h e n c ev a l u ew a sa c c o r d a n tt oe a c ho t h e r , a n dt h ea c c u r a c y w a s g r e a t l ya f f e c t e db yt h er e l a x a t i o nt i m e a tt h es a m et i m e ，t h el e v e ls e tm e t h o dw a s a p p l i e d i nl a m i n a rf l o ww i t hb u b b l e s ，t h ev o fm e t h o dw a sa p p l i e dt os i m u l a t eu n i f o r m f l o wf i e l da n dt h er o t a t i n gf l o wf i e l dw i t hf l e ei n t e r f a c e a n dt h es h a p eo ft h em o v e m e n t i n t e r f a c er e m a i n e du n c h a n g e d f i n a l l y , t h er e c o l o rm e t h o dw a su s e dt os i m u l a t et h eh a l f - f u l lp i p ef l o wa n dt h ef l o w s i m u l a t i o nr e s u l ta n dt h ee x p e r i e n c ev a l u ew e r ec o r r e s p o n d i n g t h i sp a p e rm a d e f o u n d a t i o nf o rf u r t h e rr e s e a r c h s h e nh a i l i a n ( h y d r o l o g ya n dw a t e rr e s o u r c e se n g i n e e r i n g ) directed b yp r o f z h a n gh u a k e yw o r d s ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，l bm e t h o d ，m u l t i p h a s e ，r e c o l o rm e t h o d i 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文 1 1 2 ；气为空间尺度。可将粒 子分布函数在局部平衡分布函数附近分为两个部分： mt 盱+ 胪 ( 3 6 ) 式中胛称为局部平衡分布函数，它仅依赖于宏观变量密度p 和流速h ，并满足约束 条件： mt 妒一p ，m e 一卵e p u ( 3 7 ) 胛称为非平衡态函数，写成： 胪= 卅d + 州2 + d ( 2 ) ( 3 8 ) 华北电力大学硕士学位论文 并且满足约束条件( 其中k = l ，2 ) ： 畔- 0 , 畔g - 0 ( 3 9 ) 将方程式( 3 - 8 ) 代入方程式( 3 - 6 ) 中，得到分布函数m 的多尺度表达式： m - n ? + e 研+ 2 砰+ d ( 2 ) ( 3 1 0 ) 对碰撞项q ( ) 进行泰勒级数展开，代入方程式( 3 1 0 ) ，得： q ( ) iq 0 v 砂f 半伽2 警疗+ 紫枷咿) ( 3 - 1 1 ) 当流场达到平衡状态时，粒子的迁移过程已经满足质量、动量和能量守恒规则，碰 撞过程将消失，即q ( n 叼) 一o 。略去高阶以上的微量，导出线性化的碰撞过程： q ( 聊- m u ( n j 一岬) ( 3 1 2 ) 式中，m 。称为碰撞矩阵1 ： m 孽i i ia 乌( 呵) a ， ( 3 1 3 ) 它决定了粒子在方向i 和f 之间的传播速率，对于一个给定的网格m 妤，仅依赖于f 和 j 方向之间的角度，且是有限数值的集合。根据质量和动量守恒规则，帆须满足约 束条件m 1 ： - 0 , m c 一0 ( 3 - 1 4 ) 同时，假设粒子运动以单一的速率松弛到平衡状态，即： m oi - 岛 将方程式( 3 - 1 4 ) 代入方程式( 3 - 1 1 ) 中，得到： q ( ，) i i i 一二 一盱) ( 3 1 5 ) 方程式( 3 1 5 ) 即为b g k 碰撞式，把方程式( 3 - 1 5 ) 代入方程式( 3 2 1 ) 中，得到常用的 l b g k 方程，即 m ( 厂+ c i 6 t ，t + 6 t ) - mr ，t ) 一一三( f ( r ，f ) 一j 呵( r ，f ) ) ( 3 1 6 ) 3 1 2 平衡态分布函数 l b 方法建模的核心问题是根据网格形式确定与之相对应的平衡分布函数表达 式口引。从方程式( 3 - 1 6 ) 可知，只有在平衡分布函数己知的条件下才能进一步演进l b 方法的动力方程，按照它的计算过程使整个流场达到平衡状态。 在l b g k 模型中最常用的是o i a n 提出的d n o b 模型h 引，这里n 代表空间的维数， b 代表离散速度数目。平衡分布函数有一个统一的形式。 1 2 华北电力大学硕士学位论文 删唧降+ 譬一骘】 其中，c i 是声速，q 是权系数，可以通过待定系数法确定权系数。 3 1 3d 2 q 9 模型 一般情况下，l b 方法各种模型所剖分的网格具有物理对称性，其中包括了平衡 分布函数中权重组合的对称和各个参数的选择。因此，不同的网格剖分形式有着不 同的平衡分布函数。 c c 2 o 、- 夕 爸。 一 一 ， c 1 & c 3 图3 1d 2 q 9 模型 图3 - 1 是正方形网格二维9 速度( d 2 q 9 ) 模型。整个流场剖分为正方形网格，每 个节点与周围8 个节点相邻。加上零速度，粒子共有9 个运动方向，所有9 个方向 上的速度矢量构成一个集合c 口，根据速率的大小将其分为3 类( 假设粒子速度 c - 1 ) ： c ：fl i b ( o ，0 ) ， i b i b0 ； c ：芝( c o s 了i - 1 石，s i n i - 1 ，石) ， f 1 , 2 , 3 ，4 ； g 一佃s 洋斛血洋孙秘 江5 ，6 , 7 ，8 ； 由于网格具有对称性，所以一阶、三阶等奇数阶张量都为0 ，而二阶张量满足： c a i - 2c 0 1 , 5 0 ， g - 2 ，3( 3 1 8 ) 式中，口，卢- 1 , 2 ，表示x ，y 两个方向；是单位张量；当= 2 时，i c i - 1 ， 当o = 3 时，i 乞i i 2 ，分别表示两个速度矢量的模。四阶张量表示为： ；叫嚣，= 式中，当口= 声a ) ，一a 时，6 槲- , 1 ；否贝06 。m = 0 ；6 叩竹= 声叩6 竹+ 6 。，6 雕+ 屯a 6 卢， 1 3 华北电力大学硕士学位论文 在求解l b 方程时，采用的c h a p m a n e n s k o g 多尺度展开是一种渐进的展开方法。 网格单元的尺度与流场宏观的特征尺度相比是很小的，因此在物理单元中网格时间 研也是很小的。将所记为单位时间1 ，将l b g k 方程式( 3 - 1 6 ) 改写为下列形式： j ( r + q ，t + 1 ) 一m ( ，f ) 一二( j ( r ，f ) 一( 厂，f ”， o o ，1 ，2 ，b m ) ( 3 2 0 ) 平衡分布函数( 3 5 ) 可以写成如下形式： 盱 ) 一4 + 彳乏( q 以) + 彳3 i ( c | ) 2 + a 4 i u 2 ( 3 2 1 ) 式中，以、a 2 , 、a 3 , 、彳4 j 为待定常数，它们仅依赖于变量密度p ，而与速 度无关。明显的有a 2 。一, 4 3 0 0 。 对方程式( 3 - 1 6 ) 的左端用t a y l o r 级数展开，略去高阶小量，得： 6 瞄+ ( g v ) 卜+ 譬瞄+ ( c v ) 】2 m + 0 ( 6 2 ) 一昙( ，力一岬( r 瑚( 3 - 2 2 ) 由上文知，可认为6 与k n u d s e n 数s 同阶，于是将方程式( 3 - 1 0 ) 写成 | 一岬+ 6 研+ 6 2 砰+ d ( 6 2 ) ( 3 2 3 ) 根据式( 3 7 ) 以及式( 3 9 ) ，可得。 x l o + 4 月1 1 + 4 彳1 2 - p 2 彳3 b + 4 a 3 , + 彳4 0 + 4 x 4 , + 4 彳4 2 - 0 拟2 l + 钏2 2 一p 为了讨论不同时间尺度内的变化，引入f o - t , ，f 1 - 6 t ，从而有： 旦。旦+ 6 旦+ 一l 一+ ，一+ 8 t o t oo r , 将方程式( 3 - 2 3 ) 和( 3 - 2 7 ) 代入方程式( 3 - 2 2 ) 中，得到： 6 即e v ) 卜6 2 陛+ c i 咖州去+ c ：f v ) ( 0 ： + j 詈鼍l + 。( 6 2 ) a 一吾( 6 ( 1 + 6 z n l 2 ：) 根据待定系数对应相等的准则，从方程式( 3 - 2 8 ) 中得到与6 同阶的方程： 唼竹v ”一一抑 及与6 2 同阶的方程： 1 4 ( 3 - 2 4 ) ( 3 - 2 5 ) ( 3 - 2 6 ) ( 3 - 2 7 ) ( 3 - 2 8 ) ( 3 - 2 9 ) 华北电力大学硕士学位论文 三圣竹v ) 2 鼍+ 圣竹v ) ( 1 ) + 旦a t , 卜1 f n ( 2 ) ( 3 _ 3 。) 将方程式( 3 - 2 9 ) 代入方程式( 3 - 3 0 ) 之中，得到： 素盱+ ( 1 一石1 k a + g v ) 砰- 一昙研动 ( 3 3 1 ) 将式( 3 - 7 ) 和( 3 - 9 ) 代入式( 3 - 2 9 ) 和( 3 - 3 1 ) 之中，然后对f 求和，有： 薏v 1 0 ( 3 - 3 2 ) 望0 ( 3 3 3 ) a t l 用e 乘以方程式( 3 2 9 ) 和( 3 3 1 ) ，再代入方程式( 3 7 ) 和( 3 9 ) 中，然后对f 求和， 得到： 等门。i - 哪- 。 ( 3 - 3 4 ) 百a ( p u ) + ( 1 一去) v ”) o ( 3 - 3 5 ) 式中，兀，兀1 分别为一阶、二阶动量通量张量( m o m e n t u mf l u xt e n s o r ) n 霉。巳a ： ( 3 3 6 ) 咄。a o i a1 1 - 印( o ) + a r 军气c i r ( 3 - 3 7 ) 将平衡分布函数代入方程式( 3 3 6 ) 中，n 2 可写成： n 2 - 2 a 1 + 钳1 2 + ( 4 a 3 ：+ 纠4 1 + “4 z 2 】6 筇+ ( 3 - 3 8 ) 8 a 3 2 比。比，+ ( 2 a 3 1 8 , 4 3 2 弘。比卢6 印 式中，右边的第一项是压力项，另外两项是非线性项。为了使压力不再与速度耦合， 比2 的系数应满足： 4 a 3 2 + 2 4 4 1 + 4 4 4 2a 0 ( 3 3 9 ) 为了消除各向异性而达到各向同性，令： 拟3 1 一跗3 ：一0 ( 3 - 4 0 ) 于是方程式( 3 3 8 ) 变成： 兀2 一( 2 彳1 1 + 4 a 1 = ) 6 叩+ 4 3 2 h 。h 卢 ( 3 4 1 ) 1 5 华北电力大学硕士学位论文 如果令 8 a 3 , i ip ( 3 4 2 ) 2 鸽+ 乱鸣- c ；p ( 3 4 3 ) 则得到n 2 的最终表达式： 咄一乞2 心+ p u 。h ， ( 3 4 4 ) 将方程式( 3 - 4 5 ) 代入方程式( 3 - 3 5 ) 中，有 a i ( p _ u ) + v ( p u v ) 一v ( c ；p ) ( 3 - 4 5 ) 0 1 0 方程式( 3 - 3 2 ) 和( 3 - 4 6 ) 是在l b 方程展开式的6 阶尺度上导出的e u l e r 方程，得到 状态方程：压力p e p 。 为了导出6 2 阶尺度上的方程，需要计算v 兀o 的大小。将非平衡分布函数，嗍 代入兀2 并利用方程式( 3 3 2 ) 和( 3 4 4 ) ，得到： n 茹一呵【a ( c p + 肛。) + a r 彳2 1 筋叩竹+ a ，a 2 2 ( 4 硼一鼢槲) 】 i i 呵【e a ，咖，) + a f ( 肛。) + a 。( “2 l 一跗2 ：) i 卢+ ( 3 4 6 ) 4 8 ，( a 2 2 “r ) + 4 8 。( a 2 2 “卢) + 4 a 卢( a 2 2 “。) 】 式中利用了爱因斯坦求和规则。为了保持各向同性，令： 2 爿2 l 一8 a 2 2 0 ( 3 4 7 ) 方程式( 3 - 4 7 ) 联立方程式( 3 2 6 ) ，可以解出： 彳2 l - j p ，a 2 2 - p 1 2 ( 3 - 4 8 ) 因此方程式( 3 4 9 ) 可以写成： 兀茹一叫b ( p u ，) + 弘i ( p u 卢) + 弘1 ( p u 。) 一以( p u ，) + a ( p u 。u p ) 】( 3 - 4 9 ) 同时最后一项利用方程式( 3 - 4 6 ) 加以简化： a 1 ( 。球卢) a 叫。a 卢孵p ) 一“卢a 。僻p ) 一a ，( 。口卢h r ) ( 3 5 0 ) 则方程式( 2 - 5 0 ) 可变成： 兀茹一叫弓一) a ，( p u t ) + 弘1 ( p u 芦) + 弘1 ( p u 。) 一 ( 3 _ 5 1 ) 口。a ，( j d ) 一口声a 。( p ) 一a r ( p u 口“卢“，) 将与6 和6 2 同阶的方程，即方程式( 3 3 2 ) ，( 3 4 5 ) ，( 3 3 3 ) ，( 3 3 5 ) 和( 3 5 1 ) 联立， 得到连续方程( 略去误差项0 2 ) ) ： 1 6 华北电力大学硕士学位论文 a , p + v ( 肛) 一0 ( 3 - 5 2 ) 和动量方程 a f ( 肛。) + a ，( 艘。口，) 一一a 。e p ) + 6 a 。p 一三) 专一e ) a ，( 刖，) 】 + a 声 一- ) 1j 1p ( a 。“卢+ a ，比。) ( 3 - 5 3 ) + 咕一e 。a ，p - i - = p a 。p ) 一a r 。“，) 】- + o ( 6 2 ) 考虑到方程式( 3 - 2 4 ) 和( 3 - 4 3 ) 中皿的约束条件，若选择： 他一吾p ，鸽一吾p ，鸽一i p ( 3 - 5 4 ) 那么在满足方程式( 3 - 2 4 ) 的同时，得到声速： e - 1 3 且方程式( 3 - 5 3 ) 简化为： o t ( p u 。) + a ，( p u 。“，) 一- 0 。( p ) + a ，( 2 v p s 。p ) 一国户p 一瓤肛摊“，) + 3 5 5 式中，一( a 。+ a ，“口) 2 是应变速率张量；运动粘性系数： ，一( 2 r 一1 ) 6 6 ( 3 - 5 6 ) 雷诺数r e u l i v ，u 是特征流速，l 是特征长度。在二维不可压缩流体中宏观n - s 方程为： o t ( p u 。) + a p ( p u 。h 声) 一- 0 。p + a 声( 2 妒) ( 3 5 7 ) vm一0(3-58) 比较方程式( 3 - 5 5 ) 和( 3 - 5 7 ) 可知，如果忽略方程式( 3 - 5 5 ) 中的微量o ( 6 u 2 ) 和o ( 6 2 ) ， 那么方程式( 3 5 5 ) 就与方程式( 3 5 7 ) 完全相同；如果忽略密度p 的变化，那么方程 式( 3 - 5 2 ) 就近似于方程式( 3 - 5 8 ) 。因此，d 2 q 9 模型在接近不可压缩的条件下完全可 以模拟n - s 方程m 1 。 未确定出的系数为彳4 0 ，a 4 1 ，a 4 ：，它们只与方程式( 3 2 5 ) 和( 3 3 9 ) 相关，故存在 一个自由参数。因第3 类粒子的系数是第2 类粒子系数的1 4 ，可以认为彳4 | 一鲥4 ：， 于是解出： 彳4 。一一吾p ，彳4 。一一l p , a 4 2 = 1 i p 将所有的系数代入方程式( 3 - 2 2 ) 中，得到d 2 q 9 模型的平衡分布函数： 1 7 华北电力大学硕士学位论文 n i 计2 】， 吾p 【1 + 3 ( c ：口，+ 兰c c ：“，2 一三口2 】 针+ 粥叫+ 兰m ) 2 - 纠 i - 0 i l 2 ，3 ，4 ( 3 5 9 ) f - 5 ，6 ，7 ，8 可将方程式( 3 - 5 9 ) 写成统一的表达式： 胛喇1 懈+ 妒2 】 ( 3 _ 6 0 ) 式中，当i 0 时，鸭- , 4 9 ；当i - 1 , 2 , 3 , 4 ，峨- 1 9 当口一5 , 6 ，7 ，8 时，q - 1 3 6 另外，h e l u o 从连续的b o l t z m a n n 方程式( 3 2 2 ) 出发，略去6 2 阶以上微量， 得到： _ o n , + g v n i ! 一j ) ( 3 6 1 ) 西8z、 ” 然后构造m a x w e l l b o l t z m a n n 分布函数：gi p ( 2 万r r ) 驯2 e x p 一皓一“) 2 ( 2 r t ) ，式 中，r 为理想气体常数；d 为维数；p ，u ，t 分别为宏观密度，速度和温度；亭为 微观粒子运动速度。质量、动量和能量守恒方程为： p - f n d 亭, p u 。卢m 亭庐。，( 宇一口) 2 n d # ， ( 3 6 2 ) 式中，n 为粒子分布函数；占一d o r t 2 ，矾为自由粒子数；p c 表示能量。经过代 数变换，得到： 胛- 高匆c x 畎一盖肌詈+ 掰一为 伊6 3 ， 然后积分： j - ，e x p ( 一手2 扯t ) 妒皓y 宇一形e x p ( 一袅2 放r 渺( 岛) ( 3 6 4 ) 式中，形一2 , t r te x p ( 言, z 2 r t ) t o l ；当i - 0 时，q - 4 9 ；当i - 1 , 2 ，3 ，4 ，q - 1 9 当 a 5 ，6 ，7 ，8 时，q - 1 3 6 。确定出平衡分布函数为： 砰。彬飞缸h 卅孚+ + 警一刻3 u 2 ( 3 6 5 ) 式中，c ；6 x 6 t ，r t e = 1 7 2 3 。比较方程式( 3 6 0 ) 和( 3 - 6 5 ) 可知，当6 x 一6 f 时， 两种方法导出的平衡分布函数是一样的。 3 2l b 模拟步骤及程序设计流程图 ( 1 ) 设定初始密度和初始动量来计算平衡分布函数。 1 8 华北电力大学硕士学位论文 ( 2 ) 选定松弛时间，由l b 方程得出碰撞后的分布函数，流动分布函数。 ( 3 ) 重新计算各格点密度和动量。 ( 4 ) 计算此时的平衡分布，重复第二步。 ( 5 ) 这种过程的循环最终实现了由局部平衡到达整体平衡。 团 d b 图3 - 2l b 方法程序设计流程图 1 9 华北电力大学硕士学位论文 3 3 算例一d 2 q 9 模拟二维泊松流 ：冲 二、： ? _ ， ，卿 l ，j ， x 图3 - 3 泊松流示意图 考虑二维管道内受压力驱动的定常泊松流( 泊松流) 这种模型以压力p 作为独 立变量，压力分布函数用粒子分布函数表示为： = 等譬一争o = o ，惦，6 ) ( 3 _ 6 6 ) 数值模拟是在6 0 * 3 0 格子上采用d 2 q 9 模型进行的，松弛参数的为o 5 ，密度为 l ，流体粘度为0 5 ，重力梯度g = o 0 1 2 5 ，运行了5 0 0 0 时步。初态设为静态流场， 以平衡分布函数赋值获得。在运行了5 0 0 0 时步后可得到如下的结果： 图3 4 给出了x = 3 0 所在断面的x 向速度分量随y 方向变化的理论解和模拟结 果。模拟给出的x 向速度分量呈抛物线分布与理论解相符。 表3 1 给出了x = 3 0 所在断面，不同松驰时间，m ，“一的理论值与数值模拟解间 的误差。 u x t m a x 的解析值与数值模拟解对比图 、j 、 一 一 。 二 、 、 ，一红色：解析值 一 ；= ；_ 等色：数值? 拟解 图3 - 4 泊松流流速模拟结果图 华北电力大学硕士学位论文 缈 y 坐标 0 30 5o 7 5o 811 2 51 51 7 5 理论解 o 0 o o o o o o o 0 0 0 0o 0 0 o 0 0 0 1 数值解0 0 0 o o o o 0 0 0 0o 0 o o 0 0 0 0 0 误差 o 0 0 o o o o 0 0 0 0o 0 0 0 0o 0 0 0 00 理论解 0 3 5 1 9o 2 1 2 9 0 1 7 2 9 o 1 7 2 90 1 3 2 9 o 1 7 2 9 0 1 7 2 9o 1 7 2 9 2数值解o 2 6 2 10 2 3 7 80 1 6 7 10 1 5 7 70 1 2 9 2o 1 0 5 6o 0 8 9 60 0 7 7 9 误差o 0 8 9 8_ o 0 2 4 90 5 9- 0 0 1 5 2m 0 0 3 7- o 0 6 7 3- 0 0 8 3 4旬0 9 5 1 理论解 0 5 9 6 20 4 9 6 2 0 4 9 6 2 o 4 9 6 20 4 9 6 2 0 4 9 6 2o 4 9 6 20 4 9 6 2 5 数值解0 6 1 2 70 5 3 5 30 4 9 2 40 4 8 6 8o 4 7 0 10 4 5 6 80 4 4 8 0o 。4 4 1 9 误差 - 0 0 1 6 60 0 3 9 1田0 0 3 7m 0 0 9 3m 0 2 6 0- o 0 3 9 4_ 0 0 4 8 2m 0 5 4 3 理论解 0 7 4 2 5 0 7 4 2 50 7 4 2 5 0 7 4 2 5 0 7 4 2 50 7 影巧0 7 4 ，笛0 7 4 2 5 8 数值解o 8 0 2 50 7 6 2 30 7 4 0 6o 7 3 7 7o 7 2 9 5o 7 2 2 90 7 1 8 70 7 1 5 7 误差o 0 5 9 9o 0 1 9 8m 1 9m 0 0 牾m 0 1 3 1_ o 0 1 9 6旬0 2 3 9m 0 2 6 8 理论解 o 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 9o 9 0 7 9o 9 0 7 90 9 0 7 9 1 1 数值解 o 9 2 9 4 o 9 1 4 90 9 0 7 3o 9 0 6 2o 9 0 3 2o 9 0 1 0o 8 9 9 50 8 9 8 4 误差o 0 2 1 50 0 0 7 0_ 0 嘶m 1 7_ o 0 0 4 7加6 9- 0 8 40 0 0 9 5 理论解 0 9 9 0 8o 钙1 0 8o 9 9 吣0 9 9 鸺o 9 9 o 9 9 嘴0 9 9 i 鸣o 9 9 鸺 1 4 数值解0 9 9 2 9o 9 9 1 50 9 9 0 9 0 9 9 0 6o 9 9 0 30 9 9 0 1o 9 8 9 9 o 9 8 9 8 误差0 2 1o 0 70 - 0 0 2旬0 0 0 5_ o 0 7- 0 o 9m 1 0 理论解 o 9 9 0 80 9 9 0 8o 9 9 0 8o 9 9 吣0 9 9 吣0 9 9 1 0 80 9 9 0 80 9 9 0 8 1 7 数值解 0 9 9 2 9 0 9 9 1 5o 9 9 0 90 9 9 0 6 o 9 9 0 30 9 9 0 10 9 8 9 9 o 9 8 9 8 误差o 2 1o 0 0 0 70 0 2- 0 0 0 q 5o 0 0 0 r 7- o o 9m 0 0 1 0 理论解 0 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 9o 9 0 7 9o 9 0 7 90 9 0 7 90 9 0 7 9 2 0 数值解0 9 2 9 40 9 1 4 90 9 0 7 3 o 纠口6 20 9 0 3 20 9 0 1 0 o 8 9 9 1 50 8 9 8 4 误差0 0 2 1 50 7 0旬o 6旬1 7- 0 0 0 4 7_ 0 6 9m 0 0 8 4旬0 0 9 5 理论解 0 7 4 2 50 7 4 2 5o 7 4 2 5o j 4 二5o 7 影蕴0 7 4 2 5o 7 4 ，巧0 7 4 2 5 2 3 数值解 o 8 0 2 5o 7 6 2 30 7 4 0 6o 7 3 7 7o 7 2 9 5o 7 2 2 90 7 1 8 70 7 1 5 7 误差0 0 5 9 90 0 1 9 8_ o 1 9旬4 8- 0 0 1 3 1o 0 1 9 6加0 2 3 9_ o 0 2 6 8 理论解 o 5 9 6 20 4 9 6 20 4 9 6 20 4 9 6 2o 4 9 6 20 4 9 6 20 4 9 6 20 4 9 6 2 2 6 数值解 o 6 1 2 7o 5 3 5 30 4 9 2 40 。4 8 6 80 4 7 0 10 4 5 6 80 4 4 8 00 i 4 4 1 9 误差0 1 1 6 60 0 3 9 1- o 3 7 m 伽 o 0 2 6 0_ 0 0 3 9 4o 0 4 8 20 0 5 4 3 理论解0 3 5 1 90 2 1 2 9o 1 7 2 9o 1 7 2 9o 1 3 2 90 1 7 2 90 1 7 2 90 1 7 2 9 2 9 数值解0 2 6 2 1o 2 3 7 80 1 6 7 1 0 1 5 7 7 0 1 2 9 20 1 0 5 60 0 8 9 60 0 7 7 9 误差o 0 8 9 80 0 2 4 9m 0 0 5 9o 0 1 5 2o 0 0 3 7- 0 0 6 7 3_ 0 0 8 3 4_ o 0 9 5 1 理论解 o 0 0 0 0o 0 0 0 0o 0 0 0 0o 0 0 0 0 0 0 0 0 00 o o o o o 0 0 0 0o 0 0 0 0 3 0 数值解 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 0 0 0 00 o 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 误差o 0 0 0 00 0 0 0 0o o d o oo 0 0 0 0 0 0 00 o o o oo 0 0 0 00 0 0 0 0 同时进一步计算了不同松驰时间下，x = 3 0 断面的“，的分布图( 见图3 5 ) ， 并对其误差进行了计算，得到松驰时间对模拟精度有很大的影响的结论。当 2 1 华北电力大学硕士学位论文 0 5 墨s 1 0 时，模拟结果较好。而 1 0 时，效果却不够好，从表3 1 可 以看出，在这个区域内误差相对较大。 十m a e g a = o 3 舭o m e g a = o 5 渺o m e g a = o 7 5 伊o l e g a = o 8 _ 帆e c 荦1 0 - m a e g a = 1 2 5 卜嘎e g a = 1 5 0 一弧e 髓；1 7 5 图3 - 5 泊松流数值模拟与松驰系数的关系图 通过图3 5 和表3 - 1 的分析可以看出，l b 方法可以较为成功的模拟泊松流，但 松驰时间对模拟精度有较大的影响。 3 4 小结 。本章首先以常用的d 2 q 9 模型为例，对l b 方法的模型进行了详细地推导。在推 导过程中，引入数学工具t a y l o r 级数展开和c h a p m a n e n s k o g 多尺度展开，以质量 守恒、动量守恒和能量守恒为限制条件，得到l b g k 方程；然后根据宏观的n s 方 程确定出平衡分布函数的各个参数；最后通过一阶和二阶