（应用数学专业论文）三角模的构造及其相关算子性质的研究.pdf

摘要 三角模是单位区间 0 ，1 】上的以1 为单位元的交换序半群，它广泛地应用在统 计度量空间理论、模糊逻辑、模糊集理论、信息聚合及人工智能各领域中长 期以来，三角模理论及其应用也一直是人们的研究热点之一作为一类特殊的 代数结构，三角模的构造是认识三角模结构的关键所在；此外为了更好的应用， 人们也十分关注与三角模相关的函数方程本文将基于这两方面，讨论三角模 的构造以及三角模相关算子性质的研究 第1 章介绍了三角模及其相关算子的基本概念、基本性质以及本文涉及 到的三角模构造方法 第2 章主要讨论弱否定上的旋转法和旋转零化法构造首先分析了弱否定 算子的基本性质；接着给出了弱否定上的旋转法构造，所涉及到的弱否定只有 一个可能的不连续点t = s u p s 0 ，1 】l ( s ) 8 ) ；作为j e n e i 的旋转法的一种部分 推广形式，并非所有的弱否定都适合于旋转法构造，在第三节给出了具体的例 子来说明这一点；然后给出了弱否定上的旋转零化法构造，其中的弱否定要求 其对合点集包含区间陋，1 】( 口 s ) ；a sap a r t i a l g e n e r a l i z a t i o no fj e n c i sr o t a t i o nc o n s t r u c t i o n ，n o ta l lo ft h ew e a kn e g a t i o n sa r es u i t a b l ef o rt h e r o t a t i o nc o n s t r u c t i o n ，w h i c hi ss h o w nw i t hc o u n t e r e x a m p l e si ns e c t i o n 2 3 t h e nt h er o t a t i o n - a n n i h i l a t i o nc o n s t r u c t i o nb a s e do nw e a kn e g a t i o n sa r eg i v e n ，w h e r et h ei n v o l u t i v es e to ft h ei n v o l v e d w e a kn e g a t i o n sa r er e q u i r e dt oh a v eas u b s e ta ，q ( a 1 ) a tt h ee n d ，aq u e s t i o ni n 1i sa n s w e r e d a n ds e v e r a lo p e nq u e s t i o n so nt h ec o n s t r u c t i o na n dd e c o m p o s i t i o no f t r i a n g u l a rn o r n 噶a r ep r o p o s e d c h a p t e r3m a i n l yd i s c u s s e st h ep r o p e r t i e so ft r i a n g u l a rn o r n 塔a n di t sr e l a t e do p e r a t o r s f i r s t l y , t h ei t e r a t i v eb o o l e a n - l i k el a wj r ( z ，! ，) = ，( z ，( z ，! ，) ) o fs o ( t o ) 一o l i m p l i c a t i o n si sd i n - c u s s e da n dt h em l f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs o ( t o ) 一q l - i m p l i c a t i o n st os a t i s f yi t e r - a t i v eb o o l e a n - l i k el a wa r eg i v e n ；t h e nt h ei t e r a t i v eb o o l e a n - l i k el a ws ( a ，b ) = s ( t ( a ，6 ) ，t ( s ( a ，6 ) ， n ( t ( a 油) ) ) ) i si n v e s t i g a t e da n dt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n st os a t i s f yt h ei t e r a t i v eb o o l e a n - l i k el a w a r eg o t t e n k e yw o r d s ：f u z z yl o g i c ；t r i a n g l f l a rn o r m s ；c o n s t r u c t i o n so ft r i a n g u l a rn o r m s ；r o t a t i o n m e t h o d ；r o t a t i o n - a n n i h i l a t i o nm e t h o d ；l m z z yi m p l i c a t i o n s ；r - i m p l i c a t i o n s ；s - i m p l i c a t i o n s ；q l - i m p l i c a t i o n s ；b o o l e a ni t e r a t i v e - l i k el a w s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：易磐1 良 签字日期：埘年7 月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：名走阪 签字e l 期：伽莎年石月岁日 椭名：镥霸 导师签名： 签字日期：力万年钠岁日 前言 三角模( t r i a n g u l a rn o r l n s ，也称为b 范数、t - 模) 的引入可追溯到1 9 4 2 年，当时 k a r lm e n g e r 在构造概率度量空间【2 】时，为了推广经典的三角不等式，提出了三 角函数( t r i a n g l ef u n c t i o n s ) 这一概念这是三角模的雏形，到1 9 5 8 年s c h w e i z e rb 和 s l d a ra 提出了三角模的详细的定义，即三角模为【0 ，1 】上以1 为单位元的交换 幺半群运算 三角模的提出首先在概率度量空间( 1 9 6 4 年后称为统计度量空间) 理论方 面得到成功地应用，如著名的s k l a r 定理与此同时，三角模在其他领域的应用 还体现在如下几个方面： 模糊逻辑：基于连续三角模和左连续三角模的逻辑一直是模糊逻辑i s , 4 1 的研究热点，如h d j e k 的b l 逻辑系统【5 j 、e s t e 、，a 和g o d o 的m t l 逻辑系统【6 j 以及 王国俊教授的矽逻辑系统【7 一在这些逻辑系统中，三角模t 作为合取联结词 的解释，并由此还可以解释其它命题联结词，如由三角模t 诱导的剩余蕴涵算 子厅解释蕴涵联结词- + 模糊集理论：三角模是与模糊集相关的算子之一【9 1 1 9 7 9 年在澳大利亚 l i n z 召开的首届模糊集理论研讨会( 年会) 上，u l r i c hh i = ：；h l e 提出用三角模来定义 两个模糊集之间的交运算此后每一年的研讨会上都有人直接或间接地讨论 三角模2 0 0 3 年，第2 4 届模糊集研讨会主要讨论三角模及多值逻辑中的相关算 子事实上，三角模在模糊系统、模糊控制【o ，- ，】等相关的领域有着广泛地应 用 信息聚合：三角模是一类重要的信息聚合算子若命题日由多片证据 的可信度决定且希望可信度小的证据产生影响，则此时可以采用三角模作为 信息聚合函数而且在聚合算子理论中三角模有着十分重要的地位，如一致模 ( u n i n o r m s ) 和空模( n u n n o r m ) 很多关于聚合算子i 挖】方面的研究都是基于三角模 理论，如一致模关于分配性方程的研究【墙】等 广泛地实际应用引起人们对三角模的密切关注，因此三角模理论及其应用 得到系统地发展在1 9 8 3 年，s c h w e i z e rb 和s l d a ra 在文【1 4 】中总结了三角模的二 些基本理论近来，在i f s a 官方杂志 f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ) ) 上出现了大量有关 三角模的文献2 0 0 0 年，k l e m e n te p 等出版了首部关于三角模理论的专著【1 5 1 ， 书中系统地介绍了三角模理论及其应用另外还有a l s i n ac 等著的a s s o c i a t i v e n l n c t i o n so ni n t e r v a l s ：ap r i m e ro ft r i a n g l f l a rn o r r l 1 s ) ) ( 2 0 0 3 ) 及k l e m e n te p 等编著的论 文集 l o g i c a j ，a l g e b r a i c ，a n a l y t i c a la n dp r o b a b i l i s t i ca s p e c t so ft r i a n 9 1 f l a rn o r m s ( 2 0 0 5 ) 三 角模理论的研究已成为一个方兴未艾的研究方向 三角模是【0 ，1 】上的以1 为单位元的交换幺半群，作为一类特殊的代数结构， 三角模的结构和构造一直倍受关注由于一般的三角模的结构比较复杂，这方 面的研究主要集中在连续三角模而连续三角模可以表示成某些阿基米德三 1 江西师范大学硕：学位论文 角模的序和( o r d i n a ls u m ) t 1 6 形式，因此研究主要围绕阿基米德三角模展开，大致 可以分为两方面： 关于阿基米德三角模的表示【捌这方面的理论较为完善，事实上，阿基米 德三角模可以由其加法生成子( a d d i t i v eg e n e r a t o r s ) 生成而得。根据其加法生成 子的分类，可以将阿基米德三角模分为两类：幂零三角模( m l p o t e n t ) 和严格三 角模( s t r i c t ) ，这两类三角模分别与l u k a s i e w i c z 三角模死和乘积三角模昂同构 关于阿基米德三角模能否由f 0 ，1 2 上的某- - d 部分唯一确定如取小三角 模就可以由1 0 ，1 2 上的对角线上的值唯一确定这一问题首先由c k i m b e r l i n g 【l7 】。在1 9 7 3 年提出1 9 8 1 年，b u r g u e s 证明了幂零三角模t 可由其在 ( z ，z ) i z 【o ，1 u r 一1 ( o ) 上的值唯一确定，1 9 9 3 年b e z i v i n 和t o m d s i s 证明了严格三角模可由其在 ( 毛z ) l z 【o ，1 】) u ( z ，3 ，) i = ，( z ) ) 上的值唯一确定( 其中，为【0 ，1 】上的递减双射) 最近，关于左连续三角模的结构理论研究有了很大的突破2 0 0 3 年j e n e i 证 明了某些特殊的左连续三角模也可由其自身的某一小部分唯一确定【均l ，即对 于左连续三角模t ， i ) 若存在数列c ，i 】o ，1 】，l i mc n = 0 且b ( z ，) = m i n ( 1 ，1 + 一z ) ，则t = t l ； i i ) 若存在数列】o ，1 】 l i r ac ，i = 0 ，i i m 号= 1 且厅( 毛) = m i n ( 1 ，譬) ，则t = t p 此外，j e n e i 和m a e s 还分别借助旋转法和三旋法构造发现旋转不变三角模有良 好的分解性质 2 0 2 1 瑚t2 3 构造三角模是三角模应用及其结构理论的关键所在一方面人们常根据实 际应用构造一些特殊的三角模；另一方面，通过具体的构造方法可以探究三角 模的结构性质如在n m t l 逻辑系统中，由于有一ph p ，则要求其对应的左连 续三角模t 具有对合的零等高线( 也称为旋转不变【驯三角模) 针对这类三角 模的构造，j e n e i 基于空间旋转的思想，提出了旋转法【驯和旋转零化法1 2 而后 m a e s 进一步推广了旋转法，提出了三旋法渊这两种方法对认识旋转不变三角 模的结构 2 2 2 3 都有很大的促进作用本文也将从另一角度来推广旋转法，即 弱否定上的旋转法和旋转零化法此外，欧阳耀在解决k l e m e n t 等提出的公开问 题【2 6 j 时提出了一种构造满足条件消去律的左连续三角模t o 2 7 1 关于三角模的 构造的方法还有h - 变换【镐j 、三角子模序和法例、幂零序和法、嵌入法【3 - ，3 2 1 。 三角模与函数方程有着密切的联系从几个最常用的三角模来看【- 5 j ：t m 是 唯一满足t ( x ，z ) = z 的三角模；砟是唯一满足t ( 毛z ) = z 2 或? ( z ，1 一z ) = z 一矿的 三角模；死是唯一满足t ( z + z ，y ) = 2 ( 而y ) + 名的三角模p + z 1 0 ，a l , z + y 1 ) 另外， 和是唯一满足t ( z ，l ，) + s ( z ，v ) = z + 可的三角模和三角余模事实上，三角 2 三角模的构造及其相关算子性质的研究 模相关算子( 诸如三角余模、布尔型蕴涵) 与函数方程也是密不可分的这主 要是在实际应用中，常要求这些算子之间满足某些特定的表达式，如布尔迭代 律i 删因此，从函数方程的角度来讨论三角模及其相关算子的性质是有实际意 义的关于这方面的研究也是当前的一个研究热点在2 0 0 5 年a l s i n a c 和t r i l l a s e 在文【3 3 】中基于经典集问的运算律分别给出了方程t ( s ( a ，凸) ，n ( t ( a ，口) ) ) ；0 ， m a x ( a ，b ) = s ( m i l l ( 口，6 ) ，t ( m a x ( a ，6 ) ，n ( m i n ( a ，6 ) ) ) ) ，s ( s ( a ，b 6 ) ，t ( a ，b ，b ) ) = s ( n ，b ) 成立的等 价条件2 0 0 7 年，s h i 等人在文1 3 4 l 中基于布尔迭代式p q 三p - + ( p g ) ，讨论了 迭代律l ( z ，y ) = ，( z ，( 毛可) ) ( 其中，为模糊蕴涵算子) ，并分别对三种布尔型蕴涵 ( 露蕴涵、蕴涵、q l - 蕴涵) 满足该方程进行了刻画本文在最后将基于非连 续三角模的q l - 蕴涵，讨论了迭代律j ( z ，y ) = ，( z ，( 毛) ) ；并在理论( 【o 1 】，e s , n ) 的框架下讨论方程s ( a ，b ) = s ( t ( a ，b ) ，t ( s ( a 扣) ，n ( t ( a ，6 ) ) ) ) 成立的两个充分条件 此外，三角模的比较【- 5 j 、三角模的推广形式【捌，一般代数结构上的三角模 i t 5 | 等课题也是当前研究的热点但本文不涉及这些方面 3 1 三角模及其相关算子 三角模首先于1 9 4 2 年m e n g e r 【2 】在研究统计度量空间时提出的，并在该领域 得到成功的应用目前三角模在信息聚合、模糊逻辑、函数方程论、模糊集 及其理论等多个领域中扮演着十分重要的角色同时，三角模自身作为一种理 论，正逐渐地成长和发展起来，它的理论和应用体系日臻完善作为一类二元 函数，三角模有着许多独特的分析性质j 另外，三角模是一类特殊的半群运 算，它的结构和构造一直是人们研究的热点本章将简要地介绍三角模及其相 关的内容 1 1 三角模的基本概念及其性质 定义1 1 1 【1 5 l ( i ) 二元运算t ：【0 ，1 2 _ 【o ，1 】称为三角模，若对任意z ，可，z 【o ，1 】， t 满足以下四个条件： p 1 妒( z ，1 ) = z ；( 边界条件) 口2 ) 当y z 时，t ( x ，y ) t ( z ，名) ；( 单调性) ( t 3 ) t ( z ，) = t ( y ，z ) ；( 对称性) ( t 4 ) t ( x ，t ( y ，z ) ) = t ( t ( x ，) ，彳) ( 结合性) 、 。( i i ) 二元运算s ：【0 ，1 】2 + 【0 ，1 j 称为三角余模，若对任意z ，z 【0 ，1 】，s 满足以 下四个条件： ( s 1 ) s ( z ，0 ) = z ； ( s 2 ) 当y 名时，s ( z ，! ，) s ( z ，z ) ； ( s 3 ) s ( z ，y ) = s ( y ，z ) ； ( s 4 ) s ( z ，s ( 毫，z ) ) = s ( s ( z ，! ，) ，z ) 常见的三角模 取，1 , - - 角模t m ：t m ( x ，可) = m i n ( z ，) ； 乘积三角模t e ：昂( 毛y ) = x y ； l u k a s i e w i c z 三角模t l ： t l ( z ，可) = m a x ( x + 可一1 ，o ) ； 极端三角模t o ： 一，= 毗搿炉1 ； 幂零取小三角模p m ： 小 咖巍州； 5 常见的三角余模 取小三角余模s f ：跏( z ，) = m a x ( z ，可) ； 乘积三角余模s p ：s p ( 毛可) = z + 可一x y ； l u k 口s 钯坩i c z - = 角余模s l ： s l ( x ，y ) = m i n 0 + 可，1 ) ； 极端三角余模s d ： 咖) = 宁训j 菇或到； 江西师范大学硕士学位论文 定理1 1 2 【1 5 l 函数s ：【0 ，1 】2 + 【o ，1 】为三角余模当且仅当存在三角模e 使得 x 寸仕蒽z ，y 【0 ，1 】，s ( z ，! ，) = 1 一t ( 1 一z ，1 一) 注1 1 3 由( t 1 ) 和( t 2 ) 可得t ( x ，y ) m i n ( z ，功，满足此条件及( t 2 ) 、( t 3 ) 和( t 4 ) 的单位区间上的二元运算称为三角子模( t r i a n g u l a rs u b n o r m s ) 这类算子在三角模 的构造理论中有着非常重要的作用【s t2 9 】三角模和三角余模都是单位区间上 的交换序半群，条件( t 1 ) 和( s 1 ) 表明它们分别以1 和0 作为单位元尽管如此， 由定理1 1 2 知，三角模与三角余模之间存在对偶关系，三角模的性质将对偶地 体现在三角余模上 定义1 1 4 ( i ) 三角模t 是( 左) 连续的，如果它作为二元函数是( 左) 连续的； ( i i ) 一个连续的三角模t 称为阿基米德( a r c h i m e d e a n ) 的，如果对任意ze o ，1 【， t ( x ，z ) z 连续三角模的结构可以通过阿基米德三角模的序和来刻画而阿基米德 三角模有着良好的结构性质：一方面，阿基米德三角模为死或昂的共轭形式 ( 定理1 1 6 ( i i ) ) ；另一方面，作为一类特殊的二元函数，阿基米德三角模还可以用 单位区间上的一元函数( 加法生成子) 进行表示 6 三角模的构造及其相关算子性质的研究 定义1 1 8 一元函数：【o ，1 】一【o ，+ o 。】称为三角模t 的加法生成子( a d d i t i v e g e n e r a t o r ) ，若t 严格递减且满足( o ) = ( o + ) ，t o ) = 0 ，对任意z ，掣【o ，1 】， o ) + ( ! ，) r 口n ( ) u 【( o ) ，+ 】，t ( x ，可) = t ( - 1 ) o ( z ) + ( ! ，) ) 其中6 ( 一1 ) 为t 的拟逆( p s e u d o - i n v e r s e ) ，即( 一1 ) ( 可) = s u p z 【o ，1 l t ( x ) 耖 定理1 1 9 二元函数t ：t o ，1 2 一 0 ，1 】为阿基米德三角模，当且仅当t 有一个 连续的加法生成子，即存在一个连续的严格递减函数t ：【0 ，1 】一【0 ，+ 】且t ( 1 ) = 0 ， 使得对任意霸可【0 ，1 】，t ( z ，y ) = t ( - 1 ( ( z ) + ( 可) ) 、 定义1 1 1 0 设t 为阿基米德三角模，则 ( i ) t 为幂零的( n i l p o t e n t ) ，若其加法生成子t 满足t ( o ) s ( 其中n 为弱否定) 由于旋转零化法中同样有旋转的过 程，则此法也可在某些弱否定上进行 2 1 弱否定算子 定义2 1 1 ( i ) 否定称为弱否定，若对任意z 1 0 ，1 】，z n 2 ( x ) ( i i ) 对任意三角模t ，n r ( x ) = 厅( z ，0 ) 称为t 的相关否定 弱否定也称为超对合否定印】( s u p e r - i n v o l u t i v e ) 、i d - 正交对称否定 4 x ( i d , - o r t h o s y - m m e t r i c a l ) 众所周知，强否定为单位区间上的连续双射，而弱否定并不一定是 连续的但有结果表明：弱否定是左连续的舯j 且可以通过对称的方法进行刻 画用几何的方法描述，即在【0 ，1 】z 上弱否定对应的曲线下方的图形关于对角 线= z 对称 定理2 1 2 【3 9 i 设n 为任意弱否定算子，- s u p s f 0 ，1 】in ( s ) 3 ，则所有的弱 否定可分为以下几类： 1 1 江西师范大学硕士学位论文 类1 ：n ( t ) t 此时对任意z e t ，( 吼( z ) = ； 类2 ：n ( t ) = t ，即为n 的不动点，则分以下三个子类： 子类2 1 ：为【( p ) ，p 】的内点加可能为1 ) 且n 在区间】白) ，p 【上满足对 合性； 子类2 2 ：为孤立点，同时存在一个不连续点序列z 七，使得l i m2 七= 且 在】z 七，z + 1 】上连续； 子类2 3 ：为某区间的右端点且在该区间上为常数 定义2 1 3 称三角模t 与弱否定n 匹配( c o m p a t i b l e ) ，若丑) 为三角模且t c ) 的相关否定，= n ( 有时也称弱否定与三角模t 匹配) 定理2 1 4 【3 9 】( i ) 所有的弱否定n 都与匹配： c a ) 与t e 匹配的弱否定有且仅有其相关否定g p ，即p ( z ) ： ! ，z = o ； i i u ，0 s ) 为方便起见，定义如下记号： i n v ( n ) = ze t ，1 i n 2 ( z ) = z ) ； n ( i n v ( n ) ) = ( i v ( x ) i x h ( ) 】； d = ( z ，y ) 【0 ，1 】2 l zsn ( y ) ) d 即为【0 ，1 2 上在弱否定算子对应曲线下方的图形 定理2 2 1t o 为无零因子的左连续三角模且为只有点t 可能不连续的弱 否定，t 1 = 蜀，则如下定义的运算为左连续三角模 t ( z ，”) = 丑( 而们， n ( t r , ( z ，( 可) ) ) ， n ( i r , ( y ，( z ) ) ) ， 0 ， m i n ( x ，可) ， ( z ，可) j ，1 】2 ； ( z ，y ) i n v ( n ) ( j 礼口( ) ) ； ( 毛! ) ( i n ( ) ) h u ( ) ； ( 2 1 ) ( z ，掣) d l ( ( i n v ( n ) ( ，n u ( ) ) ) ) u 、 ( ( n ( 1 n v ( n ) ) ，删( ) ) ) 】； 其它， 证明若在点t 处连续时，则即j e n e i 所提出的旋转法，因此只须考虑当 在点处不连续的情形由定理2 1 1 知，此时弱否定属于类1 或子类2 3 分 以下两种情形 ( i ) n 属于子类2 3 时，则式2 1 可写成： 1 2 三角模的构造及其相关算子性质的研究 t ( z ，暑，) = t l ( 五! ，) ， m i n ( z ，可) ， n ( i t 。( z ，( 可) ) ) ， 血( z ，! ，) ， n ( x r , ( 耖，( z ) ) ) ， o 。 ( z ，! ，) j + 2 ； ( z ，y ) _ ，+ ，t ； ! z ，2 ，+ ，z - 五； ( 2 2 ) ( z ，y ) h j + ； ( 王，毫) ，一五j + ； ( z ，暑，) j 一2 其中j + = i t , 1 】= i n v ( n ) 且，一= 【o ，】，厶= f 一( ，n u ( ) ) = 可【o ，1 】i ( 可) = ) 根据运算t 的定义及弱否定n 的性质可知： ( 1 ) t ( z ，) ，+ ，( z ，) ，+ z ； ，t ， ( z ，) i + 五； ，一j t ，( z ，暑) ，+ ，一，t ； h ，( z ，l ，) ，t j r + ； ，一五，( z ，! ，) ，一五，+ ； ； ( z ，! ，) ( ，一，t ) ( 厶u 1 + ) ； ( z ，”) ( ，一五) ( j 一厶) ( i i ) 当弱否定属于类1 时，由t 生成的剩余蕴涵而为： i 正r l ( z ，v ) ， ( 茁，y ) e t ，1 】2 ； l 1 ， ( z ，可) 【0 ，t l x t ，1 】； 厅p ，计= n ( 乃( ) ，z ) ) ， ( z ，y ) 【( ) ，1 j o ，t l ； i t ， ( z ，y ) k ( t ) 【o ，】； 【j h ( ( ) ，( z ) ) ，( z ，! ，) 【0 ，t 】2 证明：直接计算可得 1 4 三角模的构造及其楣关算子性质的研究 注2 2 3 定理2 2 1 中要求蜀无零因子是必需的以式2 2 为例，若有零因 子，则存在a ：0 ，y o p 使得t ( z o ，珈) = t 令z o = ，则可得t ( t ( x o ，y o ) ，z o ) ；t ( t ，z o ) = 0 ， 而t ( z o ，t ( 珈，知) ) = t ( x o ，z o ) = z o = t 0 这说明结合性不成立对于式2 3 ，借助 文【2 7 】的构造昂 ，也可构造一反例子：设( z j ； ：一z ，z ，【o 妻u i 1 】和 。 【三3 ， z j 寺，孙 t o = ( ) ，其中蜀有零因子则由式2 3 可得运算为 t ( z ，暑，) = 6 ( z 一互i y 一；) + ， ( 3 x i ) ( 2 y 一1 ) + ， ( 3 可一1 ) ( 2 z 一1 ) + ；， 三 3 0 ， m j n 0 ，) ， 0 ，) 壕驴； ( z ，! ，) 】 ，】x 】，；】； 。 ( z ，y ) 】 ，；】 ，；】； ( z ，! ，) 】，】2 ； ( z ，v ) 【o ，1 】2 ，l ( z ) ； 其它 显然t ( t ( 丧，丧) ，矗) = 0 ，t ( 6 ，t ( 矗，矗) ) = 吾1 ，这说明t 的结合性不成立 注2 2 4 若定理2 2 1 的条件中弱否定n 在点t 连续，则即为j e n e i 所提出的 旋转法构造因此定理2 2 1 部分推广了j e n e i 的结果，而且所构造的三角模为左 连续的由推论2 2 2 可知，所得到的三角模与弱否定匹配但由于弱否定 可能不是强否定，由此构造的三角模可能不具有旋转不变性 例2 2 5 设= t p ，弱否定n 为 一嚣1 】， 其不动点t ；则对任意毛y 【；，1 】， 排= ；+ 知一加2 ，= 腻我 则由定理2 2 1 构造的三角模t 定义如下： t ( z ，y ) = ；+ ( 3 y 一2 ) ( 3 x 一2 ) ， 暑， z 三一三上血 333 卫一2 羔一l 1 - - 3 ：r 333 y - 2 0 ， 1 5 ( 毛可) 悖1 】2 ； ( z ，3 f ) 】；，1 】【，】； ( z ，) 【 ，i 2j j i 2 ，1 】； ( z ，y ) 】，1 】【0 ， 【，! ， 1 一z ； ( z ，y ) 【0 ，i 1 【一j i 2 ，1 1 , 暑， 1 一g 其它 江西师范大学硕士学位论文 从几何的角度分析，定理2 2 1 所提出的构造分为以下三步： ( i ) 将无零因子的三角模t o 进行线性变换得到而； ( i i ) 将t o t t l l 】分别旋转到 【( i n v ( n ) ( ，n 口( ) ) ) 】d 和【( ( ，礼u ( ) ) i n v ( n ) ) l d ； ( i i i ) 区域d 处取值为0 ，剩余部分全部定义为取小运算( r a i n ) 2 3 一些不适合旋转法的弱否定 这节将讨论当弱否定在其他点( 不等于t ) 时，旋转法能否用于三角模构 造由定理2 1 1 ，只须考虑属于子类2 1 和子类2 2 两种情形以下用反例来说明 此时旋转法所构造的运算可能不是三角模 例2 3 1 设弱否定为 叫加睁 z 【o ， 】u 【i ，1 】； z 】；，j ； z 】 ，孔 其中不动点为t = ( z ，! ，) = 耳( z ，v ) = 列此时i n v ( n ) = 】詈 【u 【i ，1 】则由定理2 2 1 所构造的运算为： t ( z ，毫，) = + 迎名芋趔， 8 鸳， 8 一鲁 1 4 5 8 8 耘， 一鲁 l 8 曼8 碧， 一叠 l 4 n 8 亘8 驽， 一鲁 3 8 墨8 寿，f 一叠 l 4 n 8 亘8 精， 掣一耍 墨一一5两3-28 8 ， v 一暑 l 4 n 8 亘8 嚣，p 一番 0 ， m i n 扛，掣) ， 0 ，耖) 】，1 】2 ； ( z ，可) 【i ，1 】【0 ，扎矗一詈； ( z ，) 【；，1 】【0 ， 】，丽1 7 一警 y 孟一詈； ( z ，耖) 【i ，1 】【0 ， 】，1 一z y 装一警； ( z ，! ，) ( 【i ，1 】u 】i ，荟1 i j j i l ，3 【，l ，品一詈； ( 毛y ) ( 【i ，1 】u 】i 【1 川i 1 ，引，2 一警 9 2 0 一詈； ( z ，可) ( 【 ，1 】u 】；，- 【1 ，一j i l ，i 【，2 一z 可一警； ( z ，可) 【0 ， 】【；，1 】，z 上1 0 一詈； 0 ，3 ，) 【0 ，i 1j 【；，1 】装一誓 z 工1 0 一警； ( z ，y ) 【0 ， 】【；，1 】，1 一v z 装一孚； ( z ，可) 刮 ，【( 巨1 j u 】詈 籼z 卫2 , 0 一詈； ( z ，耖) 】 ，【( 【i ，1 】u 】，虬) ，一誓 z 歹；( 七，j ；1 ，2 ，) l 0 ， 忙，y ) f 0 ，1 】2 ，耖s 扛) ； ln 血( z ，可) ， 其它 不是三角模此时t 不满足结合性和单调性，如r ( r ( ；，i ) ，去) = r ( ；，丧) = o 蠢= t ( ；，t ( ；，丧) ) t ( 景，；) = 熹) t ( i ，；) = 通过以上两个例子可知，当弱否定n 在其它点处不连续时，旋转法所构造 的运算可能不是三角模因此，并非所有的弱否定都能用定理2 2 1 来构造三角 模 2 4 弱否定上的旋转零化法 这部分将给出基于弱否定的旋转零化法构造，所涉及到的弱否定n 满足： 存在区间a ，1 】( 口 ( d ) ，定义运算d ：【o ，1 j 一【o ，1 j 为： 忡) = 型型警嚣止业 则d 也为弱否定 定理2 4 1 令乃为无零因子的左连续三角模，死为左连续三角模，n 为弱否 定，d 与乃是匹配的；死和五分别为五和死( 儿) 到区间【d 1 】和i n ，d 】的线性 变换定义噩：【( d ) ，d 】2 - + o ) u 】( d ) ，d 】为： 死( 训) ： 五( 训) ，( 训) i n ( d ) ，d 】2 ，z ( 可) ； 1 0 ， ( z ，们i n ( d ) ，d j 。，z ( v ) 1 7 江西师范大学硕：士：学位论文 则如下定义的运算 t ( z ，y ) = 码( 毛) ， m j i l ，! ，) ， m i l l 0 ，! ，) ， 噩( z ，”) ， ( 吐，( 可，( z ) ) ) ， ( j 矗( 毛( ) ) ) ， o 是左连续三角模其中p = 】d 1 】 ，o = ( d ) ，d 】，r = 【o ，n c d ) l 证明：由式( 2 4 ) ，运算? 的对称性、单调性及边界性易得则只需考虑其结 合性分以下情形进行证明 ( 1 ) z ，”，z p 直接由马的结合性即可得： ( 2 ) 若 z ，y ，z ，中两个元素属于，+ ，则分以下两种情形： 2 1 ： z ，y ，彳) 中一个元素属于产当z o ，可，z p 时，则有t ( z ，们= m i i l ( 毛! ，) = z 且t ( y ，z ) p 因此t ( t ( z ，可) ，z ) = t ( 毛石) = z = m i n ( x ，t ( y ，z ) ) = t ( z ，t ( y ，z ) ) 当名r o 且z ，y p 类似可得当y o 且毛z ，+ 时，由式( 2 4 ) 易得 2 2 ：t 毛y ，z ) 中一个元素属于j 一此运算的结合性可由式( 2 4 ) 及玩的e x c h a n g e 原理或p o r t a t i o n 律可得 ( 3 ) 若 z ，y ，z ，中只有一个元素属于p ，则分以下两种情形： ( 3 1 ) z ，y ，彳，中有两个元素属于p 若毛y p ，则z j + ，因此t ( t ( z ，) ，z ) = t ( 五t ( y ，z ) ) = t ( z ，) 对于z p 及y ，+ ，类似易得t 的结合性 ( 3 2 ) 对于其它的情形，由单调性及边界条件可知t ( t ( x ，) ，z ) = t ( z ，t ( y ，z ) ) = 0 ( 4 ) 若忙，y ，z ) 中没有元素属于p 由于其他的情形有t ( t ( x ，! ，) ，名) = t ( z ，t ( y ，名) ) = 0 ，则只须考虑善，z o 的情形由z ，g o ， 乃0 ，! ，) = ( d ) ，当v ( z ) 五( 毛y ) r ( d ) ，当l ， ( z ) 而且， t c z ，l ，。，。= 死c z ，翟，= t 。，4 z 可l ： 二：；三菇：；： 定义函数h ：m d 】2 邮) u j ( d ) 4 ) = i 三竺裟d 】则对任如可 o ) u 】( d ) ，司 t 0 ，y ) = h ( t 4 ( h 一1 ( z ) ，h 一1 ( 掣) ) ) 因此h 为半群同态，则对任意z ，y ，z pt ( t ( x ，3 ) ，z ) = t ( z ，t ( y ，z ) ) j ( 此法与【7 】的 证明类似1 1 8 匐 仁 一一 p r一九h j = h ， 们们计们咖们它 k k k k 其 三角模的构造及其相关算子性质的研究 由于三角模生成的剩余蕴涵关于第一变元左连续，关于第二变元右连续 而且 ( d ) ) i + u i + ( d ) 】的左连续性讨论与定理1 的第1 部分类似，则定理 中构造的三角模是左连续的证毕口 推论2 4 2 由定理2 4 1 得的三角模所t 生成的剩余蕴涵厅定义如下： 而( z ，! ，) = k ( 毛y ) ， 1 ， 秒， 屯( z ，耖) ， 1 ， ( b ( ( y ) ，z ) ) ， ( z ) ， 矗h ( ( 可) ， ) ) ， 0 ，可) ，+ 。； ( z ，可) ( pu i 一) xj + ； ( z ，v ) i + j 1 d ； ( z ，可) ，0 2 ； ( z ，y ) ei 一j 0 ； ( z ，可) ei + ，一； ( z ，y ) p ，一； ( z ，可) i 一。 注2 4 3 由注2 2 3 可知，定理2 4 1 中要求丑无零因子仍然是必要的而且， 当d 为强否定时，定理2 4 1 的构造即为j e n e i 的旋转零化法：当d d 为该弱否 定的不动点时，即为旋转法因此，定理2 4 1 也可认为是旋转零化法的部分推 广，并且构造而得的三角模都与涉及到的弱否定匹配 以下将给出用旋转零化法构造的三角模，用到的弱否定为 一 z 【o ，j u 垮1 1 ， z 】吾孔 另外还用到幂零取小三角模p m 及其序和( ) 例2 4 4 设乃= ( ) ，死= 砌令d = i 则有对任意z ，可e 【i ，1 】 马( z ，可) = i + 扭( 4 z 一3 ，4 y 一3 ) 且 吃( z ，耖) = 1 ， y ， 譬一z ， m a x ( 萼一z ，可) ， 1 9 z 暑， y 玑 y = ；，z y ， y ， 江西师范大学硕士学位论文 则由定理2 4 1 构造所得的三角模t 定义为： t ( z ，毫) = r a i n 扛，! ，) ， ( z ，) 【；，1 】