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中文摘要 摘要 在a l b e v e r i o z h a o 建立的联系p a d i c s 上l 6 v y 过程与多维p o i s s o n 过程的等价 定理基础上，此论文讨论j p - a d i c s 上支撑有界的l d v y 过程跑遍其支撑球中 所有小矿球所需的时间问题。用概率的方法，在单点测度的情况下给出 该时间分布和期望的表达式，在一般初始测度的情况下给出该时间的分布 密度估计。 这篇论文共分为三章。第一章中介绍t p - a d i c sl - l d v y 过程的研究背 景，p - a d i c s 的结构和性质为更好地理解此论文打下基础， 第二章首先介绍t p - a d i c s 上的l d v y l 生程以及它的一些性质，然后介 绍7 a l b e v e r i o z h a o 建立p a d i c s 上l 6 v y 过程的分解定理，接着本文介绍了需 要用到的多维p o i s s o n 过程和线性不定方程的部分知识，最后引入了联 系p - a d i c s 上l d v y 过程和多维p o i s s o n 过程的等价定理，它是本篇论文研究的 主要工具。 第三章我们针对支撑有界的l d v y 过程跑遍其支撑球中所有的小矿- 球所 需的时间问题展开了讨论。应用以上两章的知识，我们得到了一定的结 论。 关键词：p - a d i c s ；线性不定方程：等价定理：常返性；多维p o i s s o n 过 程 英文摘要 a b s t r a c t b a s e do nt h ee q u i v a l e n c et h e o r e m g i v e nb ya l b e v e f i o - z h a o ，t h i st h e s i si n v e s t i g a t e s p r o p e r t i e so f t h e t i m es p e n tb ya l d v yp r o c e s s o n p - a d i c sw i t hb o u n d e ds u p p o r t w h e n i tr t m so v e ra l lt h e 矿- b a l l s i nc a s eo fas i n g l ea t o m i ci n i t i a lm e a s u i _ e ，w eg i v ee x a c t e x p r e s s i o n sf o rt h ed i s t r i b u t i o na n d t h ee x p e c t a t i o no ft h i st i m e i ng e n e r a lc a s e ，w e g i v es o m e e s t i m a t ef o ri t sd e n s i t yo fd i s t r i b u t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c h b a c k g r o u n do fl d v yp r o c e s s e so np - a d i c s , p - a d i c ss p a c ea n di t sp r o p e r t i e s a l lt h e s e i n t r o d u c t i o n sm a k ei te a s yt ou n d e r s t a n dt h et h e s i s i nc h a p t e r 2 ，w ef i r s ti n t r o d u c el d v yp r o c e s s e s o n p a d i o sw h i c h a l ed i f f e r e n tf r o m t h o s eo l lo t h e rs p a c e s t h e nt h ed e c o m p o s i t i o no fl d v y p r o c e s s e so np - a d i c sg i v e nb y a l b e v e r i o z h a oi ss h o w e d t h ek n o w l e d g eo f m u l t i d i m e n s i o n a lp o i s s o np r o c e s s e sa n d t h el i n e a ri n d e f i n i t ee q u a t i o n si sg i v e n f i n a l l y ，w ei n t r o d u c ea l le q u i v a l e n c et h e o r e m b e t w e e nt h el d v yp r o c e s s e s0 1 1p - a d i c se n dm u l t i d i m e n s i o n a lp o i s s o np r o c e s s e s t h i s e q u i v a l e n c et h e o r e m i st h em a i nt o o lw eu s ei nt h et h e s i s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s sp r o p e r t i e so f t h et i m es p e n tb yal d v y p r o c e s so nap - a d i c sw i t hb o u n d e d s u p p o r t w h e ni tr u n so v e ra l lt l l e 矿b a l l s u s i n gt h ek n o w l e d g ew e k n o w , w eg e ts o m e r e s u l t s k e yw o r d s ：p - a d i o s ；l i n e a ri n d e f i n i t ee q u a t i o n s ；e q u i v a l e n c e t h e o r e m ；r e c u r r e n c e ； m u l t i d i m e n s i o n a lp o i s s o np r o c e s s 一2 一 第一章研究背景 1 1 研究背景 第一章研究背景 许多学者研究过局部域( 例如p - a d i c s ) 上的随机过程( 或随机游动1 ，得 到了相应的结论，例如：a l b e v e r i oe ta 1 ( 1 9 8 5 ) 一( 1 9 9 8 ) ，e v a n se t a 1 ( 1 9 8 9 ) ( 1 9 9 8 ) ，k a r w o w s k i - v i l e l a m e n d e s ( 1 9 9 4 ) ，k o c h u b e i ( 1 9 9 2 ) 一( 1 9 9 7 ) ，y a s u d a ( 1 9 9 6 ) ， f i g & 一t a l a m a n c ae ta 1 ( 1 9 9 4 ，1 9 9 8 ) 等等。p - a d i c s 作为最简单的局部域，其上 的l d v y 过程也已有许多学者用不同的方法研究过。其中，a l b e v e r - i o z h a o ( 1 9 9 8 ) 中论述了a l b e v e r i o - k a r w o w s k i ( 1 9 9 1 ，1 9 9 4 ) 中所构造的p - a d i c s 上的 随机游动与球面对称的l d v y 过程是一致的。e v a n s 研究了这些过程的 样本轨道性质f 如：首出时，逗留时，变差，h a n s d o r f f 钡0 度，h a u s d o r f f 维 数，p a c k i n g 澳0 度，p a c k i n g 维数，以及快点，慢点问题等) 。 理论上，如果我们知道了个过程的特征函数，我们就能很清楚的了 解这个过程的性质。但是，局部域l - l d v y 过程的转移函数的构造还不是十 分明了。为了更清楚的研究，a l b e v e f i o - z h a o ( 2 0 0 1 ) 建立t p - a d i c s j ：l o p y 过程 的一个分解定理，将l 嘶过程唯一地分解为三部分：球面对称l d v y 过程、 完全非球面对称l d v y 过程和奇异l d v y 过程，这3 个过程的转移函数都有明 确的形式，所以被分解的l d v y 过程的转移函数可以由它分解出的3 个转移 函数的卷积得到。依据这个分解定理得到了联系p - a d i c s 上的l d v y 过程与多 维p o i s s o n 过程的等价定理，应用此定理可以更方便的解决矿问题。本文即 是基于此定理研究了p a d i c s 上支撑有界的l 嘶过程跑遍其支撑球中所有的 小矿一球所需的时间问题。 1 2 p a d i c s 空间简介 对任意给定的索数p 1 ，v a q ，口可唯一地表示为 n = p m _ ，q ，m z ， 其中q 为有理数域，口与r 互素，p 即不整除口也不整除r 。 第一章研究背景 令 忙忆= p 。- m 霉 易知i i ，：q r 十是一个范数，即满足以t ：z 条： ( 1 ) 忙= 0 = = a = 0 ； ( 2 ) j i , b l ，= 恻圳圳p ，a ，b q ； ( 3 ) i i o + b i i ，i d l i ，+ l i b i i p ，a ，b q 我们称此范数为p 一范数。更重要的是，p - 范数满足一个更强的条件 l i z + 1 1 ，m a x i i z j i ，i i i l ，) 并且当忙l i ，恬i i ，时，忙+ 训，= m a x 训z b ，恻i ，r 1 。 这个范数使得在一般空间上成立的三角不等式在p 范数下变为等腰三 角不等式，即若l i 。l l 1 i y l l ，、陋+ 训，三者不相等，那么这三个范数中必 然有两个范数是相等的，并且这个范数值大于三者中余下的那个范数。 文献【2 】中的o s t r o w s k i 定理( t h e o r e ml ，p 3 ) h 正明y q 上的非平凡范数在范 数等价意义下或者等价于绝对值范数或者等价于某一爪p 范数，也就是 说，在范数等价的意义下，q 上只存在绝对值范数和p - 范数这两种范数。 定义1 2 1称一个范数”0 为非阿基米德范数，若对v x ，y l 【z + y 0 m a x i i 茁| | ，l l y l i ( 1 1 ) 式被称为非阿基米德不等式( 或超度量不等式) 。 p - 范数是非阿基米德范数，在p 一范数意义下将q 完备化，得到一个完 备空间，记：为p - a d i c s ( 或q p ) 【q 。显然，作为一个范数空间和域，p - a d i c s 在代 数几何结构上不同于阿基米德空间( 如，e d ) 。对应于p - 范数，p - a d i o s 是一 个非阿基米德空间。 称 k ( a ，p r ) ：= 。q p ，i i 。一0 8 p p r ) 为中心在。半径为矿的矿，球，其中o 0 ，r z 。在q p 空间中，所有k ( a ，矿) 这 样的球构成t q ，的一组可数的拓扑基。 在此列举p - a d i c s 上具有的一些性质： ( 1 ) p - a d i c s 是完备可分的局部紧度量空间，它是完全不连通的，且具 有连续统的势。 ( 2 ) k ( d ，p r ) 是p a d i o s 既开又闭的紧集。 一4 第一章研究背景 ( 3 ) g ( a ，矿) 的体积矿，并且球中的任意一点都是它的中心，这是因 为：若b 为此球中的任意另外一点，则 而 i 忙一a l i p r v a k ( 。，p ) ，l i a a l i 矿 由超度量不等式得到 i i a 一6 1 | m , ? l x l l a 0 1 1 ，i i b a l l p 即k ( a ，矿) = k ( b ，矿。) ( 4 ) 在矿a d i c s 中， k ( 。，p r ) = t 3 ( x q ，陋一o = ) 并且 z 岛，i i x a l l = 矿) 的体积为p r 一坳一1 ) ，它可以表示成有限个小球 的并。 ( 5 ) p - a d i c s q b 的两个球的位置关系只有两种：不相交和包含。 ( 6 ) p - a d i c s 中的任何个开集都可由至多可列个不相交的球的并表 示。 记g 为相应的b q r e l a - 代数，对任意a ，b q p ，其间的距离定义为 d i s t p ( a ，b ) - 。 i n 。6 f 印i i d “i i p 本文中，设出是( 砚，锦) 上的一个标准化了的h a a r 钡0 度，即 l 。如= l p - a d i c s _ l ：标准化了的加法特征定义如下： x ( x 1 = e x p ( 2 7 r i x ) 其中和) 是茁的小数部分。 若一个复值函数是编上关于出绝对可积函数， 义为【3 】 讯) = 上，球啪( 圳“铝 一5 一 它的f o u r i e r 变换定 ( 1 2 ) 第一章研究背景 它的逆f o u r i e r 变换为 ) = x ( 一。) 嬉) d ，z q p 其中毒是q 上关于d 。绝对可积的函数。 p - a d i c s _ l ：p l a n c h e r a l 公式( 也称为p a r s m l s t e k l o v 等式) 成立【3 】： 小z ) 瓣z2 小) 丽， z ，( z ) 谚( 茁) 出= 石，$ ( f ) 妒( ) 武 其中，妒是仉上复值绝对二次可积函数。 v l a d i m i r o v ，v o l o v i c h 和z e l e n o v x c j p - a d i c sf - 函数进行了研究， 证明了一个经常用到的公式： ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 在文献 3 中 k ( o , p m ) x ( ；x ) d x = p m 僦警二j s ， v a q ，a 0 ，。都有如下形式的唯一表达式： n = 啦矿 其中m 是整数，1 a m p 一1 ，0 a j p 一1 ，j = m + 1 ，m + 2 ，其范 数8 0 = p 一”。 在p - a d i c s ，o 三0 ( m o d 矿) = = 亭a = - 2 ，其中瓦q p ，| | 西0 p 1 。 定义1 2 2称p a d i c s 上的函数，是局部常数函数，如果对q ，存 在整数? ) z ，使 f ( x + z 7 ) = ，( z ) ，0 z 川p p t ( 。) 显然，p - a d i c s 上的局部常数函数是连续函数，并且局部常数函数族构 成的线性空间毛e p - a d i c s 上的连续函数族构成的线性空间中稠密。 定义1 2 3设p 和是p a d i o s 上的测度。称 关于卢绝对连续，记为 “，如果对任何可测集a ，p ( a ) = 0 成立能推出z ，( a ) = 0 成立。称p 关 于肛是奇异的，如果存在一个可测集acq p ，使得p ( a ) 0 ，p ( q p a ) = 0 ，肛( a ) = 0 。特别的，如果肛是h a a r 9 1 9 度，p p ，我们就简单的称是绝 一6 一 第一章研究背景 对连续的。同样，如果关于h a a r 钡9 度奇异，我们就简单的称为奇异测 度。 定义1 2 4设测度灿是绝对连续测度，称它是球面对称的，如果 在k ( 0 ，+ 1 ) ( o ，矿) 上，p ( 如) = i * j d ：r ，蜥墨，j z 。称它是完全非 球面对称的，如果对z ，jb o m i 舅3 , ：a k ( 0 ，矿“) k ( o ，矿) ，使厶d x 0 ，p i = 0 。 定义1 2 5 对于测度肛，令d ：= m a x l l x l l ，。s u p p ( 肛) ，则称k ( 0 ，d ) 是 测度“的支撑球，其中 s u p p ( # ) ：= nu k ( 仉矿) ：p ( ( 。，矿) ) o ) n e z a e q ， d = o 。时，规定k ( o ，o 。) = q p 。 注意，测度的支撑球与支撑是不同的，例如文的支撑球是k ( o ，b ) ， 但是矗的支撑却是一个单点 口) 。 一7 一 第二章p - a d i c s 上l 色w 过程与多维p o i s s o n 过程的对应 第二章p - a d i c s 上l 6 v y 过程与多维p o i s s o n 过程的对应 2 1 p - a d i c s 上的l d v y 过程 延续e v a n s1 9 8 9 的定义，将p a d i c s 上l 6 v y 过程定义如下： 定义2 1 1 称一个以q 。为状态空间以a 为最终状态的h u n t 过程 x = ，厂，五，五，吼，只) 为一个l d v y 过程，如果它满足以下两个条件： ( 1 ) 只( 五a ) = r ( 五+ 。a ) ，t 0 ，z q p ，a g ； ( 2 ) p o ( 托) = 1 ，t2 0 其中条件( 1 ) 等价于一般l d v y 过程定义中的平稳独立增量性，这里只是 增加了保守条件( 条件( 2 ) ) 。 装备自然流和通常的推移算子时，我们简记过程为x = ( 五，t o ，只) 。e 仉。 p - a d i c s a ：l d v y 过程具有如下的l d v y k h i n c h i n e 表示： 郎= e x p t z ，m ，一1 1 啦) ) ，( 2 a ) 其中被称为l d v y 钡0 度，满足 p ( 0 ，删z p n ) ) o 。 l d v y k h i n c h i n e 表示表明p a d i e s 上的l d v y 过程是纯跳过程，这是与阿基 米德空间上的l d v y 过程不同的，阿基米德空间上的l d v y 过程是由“跳”、 “漂移项”、“b r o w n 运动”三部分组成。 在p a d i o s 上， s u p p ( “) k ( 0 ，矿) 0 砑忆矿，v t 这说明l d v y 过程中的小跳，在某些问题的研究中是不起作用。而实直线上 的l d v y 过程就不具备此性质，虽然是小跳，却有可能越跳越远。 本文以后的研究需要用至l j l d v y 过程的这个性质。 2 2 l d v y 过程的分解定理 知道t p - a d i c s 上l d v y 过程的f o r u i e r 变换，从理论上讲我们对它会有很完 整的描述，但是事实却不是这样。为了更方便的研究，a l b e v e r i o - z h a o 建立 了l v y 过程的分解定理。首先我们给出文献【l 】中，l 6 v y 测度的分解定理： 一8 一 第二章p - a d i c s 上l 色v y 过程与多维p o i s s o n ；i z 立程的对应 定理2 2 i p - a d i c s _ l 任意的口有限测度p 能被唯一地表示成如下形 式： p = 地+ + 妇 其8 是一个球面对称测度，。是个完全非球面对称测度，是一个 奇异测度。 进而得到如下定理： 定理2 2 2 设 h ， a ) 是一个可数的l 6 v y 测度集，使 h 作为 一个测度，满足 。 h ( q p 1 1 2 1 1 p 矿) ) 0 ，a 对， p “，a a 满足 k ( ，矿1 ) n k ( o ，p r “) = o ，a a 7 ，a ，a a 且 c p 一”； 易知当( 1 ) 一，) & ( n o ，a l ，) 时， ( h + l l l ( a l ，几) ，- - ，k + f 。l ( a 。，n ) ) s na o ，a l ，) v l i 0 ，i = 1 ，m 我们可找出所有的最小解k 1 ，k n o ，满足0 h l 时，8 na o ，a l ，) 最多有有限个点。 2 5 等价定理 我们考虑这样一类现象，比如在某一时间或者某一个时间段过程 击中矿球，或者过程跳出某一个矿球，过程对应的l d v y 钡9 度的支撑在p n 一 球中等等，这类问题称为矿问题。在这类问题的研究中，我们不必理 会矿球中的细节，例如，我们考虑过程击中某一个给定的矿- 球不必细 究过程确切击中了球中的哪一个点。考虑p n - 问题中，我们设定l d v y j 女0 度 在k ( o ，p n ) 中没有质量。 等价定理对任意给定的n z ，设( 肚) 谢是一族测度，s u p p ( # i ) = k ( a ，矿) ，v i i ，o i q k ( o ，p n ) ，若p ：= 触“是有限的，则 掣兰f n t ( t ) ( r o o d p 一”) ( 2 3 ) i e l 其中自：= 胁畔h ，矿) ) 证明我们这里简要叙述一下该定理的证明。 p a d i c s 的空间结构使得s - p p ( u ) 能被一族球覆盖，我们记这族球为 b ) 叫， 其中，是指标集。记地= p i 岛，由定理2 2 2 得到 x 皇、r x p 。一 f e ， 第二章p - a d i c s 上l 色v y 过程与多维p o i s s o n 过程的对应 其中霹是地对应的l 6 v y 过程。沿用文献 1 】中的定义和符号，我们知 道冲星啦k ( t ) ( m o dp _ n ) ，这里精确的证明需要重新引入一系列的 定义和定理。在这里我们就不一一叙述了。其中口 k ( a ，矿) 不是唯 一的，但是同一个矿球中的不同点在模p ”的情况下是相等的，故对 于啦，k ( a i ，矿) ，i i ， 用。 a t p q ( ) = n 扎( t ) ( m o d p - n ) i e li e l 上述等价定理在对一般l e v y k 立程的某些性质的研究中起了很大的作 一1 2 第三章p - a d i c s 2 l i ! v y 过程的一些时间估计 第三章p - a d i c si l 6 v y 过程的一些时间估计 本章考虑p a d i c s 上支撑有界的l 鲫过程跑遍其支撑球中所有的小矿球 所需的时间问题，这是一个p n 问题。我们首先在单点测度情况下考虑， 给出了该时间分布和期望的表达式，进而在一般测度情况下考虑，给出 了该时间分布密度的估计。以下均设础是p 对应的l 嘶过程，弘是l 6 v y i 煲9 度，s u p p ( 肛) 是有界集，d = p m 为群支撑球的半径，m n 。我们先证明一 个简单而重要的引理： 引理3 1 q p 中任意一点a ，设i p = p ，对v 礼 矿 以上两式是矛盾的，故口。，a 2 不在同一个矿- 球内，证毕a 对于以上引理中的m 、n ，k ( o ，p m ) 中共有矿一”个小矿一球，由唧一a d i c s 中 球内的每一个点都是该球的中心，故而我们可以把( 高”1 r l p ) 。看作 这p m n 个小矿一球的中心。另一方面，若n = 如，0 i m 一竹一1 ，s m 一礼一1 或s = o 。，则( 笛”1r t 矿) n 与( ：。树) o 位于同一个矿一球，因为 一1 3 一 第三章p a d i c s a x l i i v y 过程的一些时间估计 此时 ( 彬) n o = i i ( p t ) n l = 0i = r n - - n p p “ = p n 以上分析说明过程n p 。( t ) 会无重复的跑遍k ( o ，p m ) 中所有的小p n 球，然 后无限地循环这个过程。进而我们得知到下面的定理： 定理3 2 设科是p 对应的l 6 v y 过程，s u p p ( # ) 是有界集，k ( 0 ，为p 的支 撑球，d = p 村，则j 掣在k ( 0 ，d ) 中具有常返性。即当s 叩p ( p ) 是有界集时，对 任意点口k ( 0 ，回，球b = ( 8 ，) z ( o ，d ) ，j z ，珂会无穷次击中小 球b 。 证明设k ( 0 ，d ) 中p 肘一j 个矿小球分别设为b 1 ，b p u 一，则j 3 ，使b = b 。令胁= , u l b ，由等价定理知 霹兰a l p 。( ) ( r o o d p 一) t ， i i = l ，p m - j 。p - a d i c si - 的过程e 州a p q ( t ) 是马氏过程，它的状态 空间是有限多个的小p n 球，并且由引理3 1 知状态空间不可分，故由马氏过 程的知识知霹在k ( 0 ，d ) 中具有常返性。 3 1单点测度情形 现在我们考虑p = c 以这一特殊情形，其中c r + ，口q ，为常数。 设她l i ，= p 肘，, i j k ( 0 ，p m ) 是p 的支撑球。 定理3 1 1 f 1 】若l 6 v y 过程) 掣对应的l 6 v y 测度p = c 以，c 日，o 砩 其c a l o ( t ) 是参数为c 跳幅为a 的p o i s s o n 过程。 那么，这个l 6 v y 过程第一次跑遍k ( 0 ，p 盯) 中所有的小矿一球需要多少 时间呢? 我们知j 酋p m 球中包含p m ”个小p n 一球，它们的中心可以表示 为( 丝i ”1 n p l ) o ，0 r i p 一1 。由引n 3 1 可知，跳过p m “次后，a p 。( t ) 就 第一次无重复的跑遍了所有的小矿球，从而可知单点测度情形下，群第 一次跑遍所有的小矿球需要的时间和a p 。( t ) 第一次跳过p 吖“次需要的时间 - 1 4 - ，矿 n ：l 0 凡 0 d = 群 则 第三章p - a d i c s j z l i v y 过程的一些时间估计 是相等的。初始位置对结论是没有影响的，这是因为设嚣= a ，将引 理3 1 中的( ”1 = “0 r t p i ) 口替换为( 沓”1r i p i ) n + a ，结论依然成立。以上的 分析使我们得到了如下的定理： 定理3 1 2 若p = 。矗，c r + ，o ，x f 是卢对应的l d v y 证l ：程， 设丁为群首次跑遍支撑球中所有小矿一球的时刻， i j t 的分布函数 即h 一苫1 譬。一。f ( t ) = 1 一等e “ k = o 其期望 e ( t ) = p m c - 证明设足是凡( t ) 第n 次跳发生的时刻，由上i l i i # i k 我 f j 可以得到丁的 分布函数为 f ( t ) = p ( 1 。t ) = p ( 跏一n t ) = p ( p c ( t ) p m “) ：，一警1 譬。一一 则t 相应的分布密度为 p ( 茚：。弋( c t f 二”- _ - 1 t e 矿- a 丁的期望为 叩卜歹c 锚绌 p f 一“ = - 一 3 2 一般l 嘶测度情形 我们继续在芦为一般l 幻测度的情况下，对该时间问题进行讨论。 由等价定理我们知道，j 盘i ， i 使得 胃望m p 。o ) + 冲 讵， 一1 5 一 第三章p a d i c s j = 吐v y 过程的一些时间估计 其中，= l ，m ) ，m 是使卢在其上有质量的小矿球的个数，m p m ，q = p ( k ( 啦，p “) ) ，x 0 是由跳幅不大于矿的小跳组成的，在这个矿问题的考 虑中，群。是不起作用的。考虑科的时间问题就等价于考虑n t p 。( t ) 的 时间问题。这时讨论划啦k ( t ) 的时间问题需要讨论的是多维p o i s s o n 过 程，且第一次跑遍所有的矿- 球所跳的次数是一个随机变量，因此相对单 点测度的情形讨论相对比较复杂。 为了书写简便，我们记： p 。( t ) = ( p c l ( t ) ，p 。( t ) ) ， 日，l ，y ：三个m 维向量， d l ，如”一。：k ( o ，p f ) 中所含的小矿一球的中心。 鱼= 殳。( 一哦+ a o ，a l ，一，吐。) ，1 i p 埘一“， 设姑= a o ，若某时刻t ，y = p 。( t ) ，群k ( d i ，p n ) ，即 i y l a l + t + + a o d , i i p p “ 则由线性不定方程可知，y 岛。 记咎= 首次跑遍所有的小矿一球时，y = p c ( t ) s ，且| h l ：l r a i n ( 砭+ 1 l ，磁+ 1 ) ，对v l s l ，l y ，j ( 9 i ，鳙) 鱼，使得m a x ( 强，磁) 如时，? v = t ”，a , s ，所以e p = e t ” ( 2 ) 若n n 时，讨论变为第三章中一般k v y 测度的讨论。 当蝎= m 2 佗时，这个闯题就没有讨论的必要了。 一1 9 一 参考文献 参考文献 1a l b e v e r i os ，z h a ox ad e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o rl 6 v yp r o c e s s e so nl o c a l f i e l d s j o u r n a lo f t h e o r e t i c a lp r o b a b i l i t y , 2 0 0 1 ，1 4 ( 1 ) ：1 - 1 9 2k o b l i t z n p a d i cn u m b e r s ，p - a d i ca n a l y s i s ，a n d z e t a f u n c t i o n s 2 n de d i t i o n n e w y o r k - b e r l i n - h e i d e l b e r g t o k y o ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 4 3v l a d i m i r o vv v o l o v i c hia n dz e l e n o ve p - a d i cn u m b e r s i nm a t h e m a t i c a l p h y s i c s s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，1 9 9 3 4v l a d i m i r o vv g e n e r a l i z e df u n c t i o n so v e rt h ef i e l do fp - a d i cn u m b e r s r u s s i a n m a t h e m a t i c a ls u r v e y s ，1 9 8 8 ，4 3 ( 5 ) ：1 9 - 6 4 5e v a n ss l o c a lp r o p e r t i e so f l 6 v yp r o c e s s e so n at o t a l l yd i s c o n n e c t e dg r o u p j o u r - h a lo f t h e o r e t i c a lp r o b a b i l i t y , 1 9 8 9 ，2 ( 2 ) ：2 0 9 - 2 5 9 6k i n g m a nj p o i s s o np r o c e s s e s ，o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，1 9 9 3 7l a s tg ，b r a n d ta m a r k e d p o i n tp r o c e s s e s o nt h er e a ll i n e ：t h ed y n a m i ca p p r o a c h n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 5 8w a i t e r sp l d v yp r o c e s sa n di n f i n i t e l yd i v i s i b l ed i s t r i b u t i o n s c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 9 9 9v l a d i m i r o vv ig e n e r a l i z e df u n c t i o n so v e rt h ef i e l do fp - a d i cn u m b e r s r u s s i a n m a t