（电机与电器专业论文）用于高速磁悬浮列车的直线同步电机性能分析.pdf

东南大学硕士学位论文 d e s i g na n da p p l i c a t i o no fl i n e a rm o t o r si saf o r w a r dr e s e a r c ht o p i ci nt h es t u d yo f l i n e a rs y n c h r o n o u sm a c h i n e s ( l s m ) f r o mt h eb a s i ce l e c t r o m a g n e t i cf i e l dt h e o r y , t h e p e r f o r m a n c eo fl i n e a rm o t o r si si n v e s t i g a t e du s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a s e r i e so fc o m p u t a t i o nm e t h o d sa n da n a l y s i sm o d e l st h a ta m o r ec o m p l e t ea n dn l c 怫 a c c u r a t ea 嘏p r e s c n t e m t h er e s e a r c hw o r ki s 觚i m p o r t a n ts t e pi nt h ep e r f o r m a n c e a n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no f l i n e a rm o t o r s t h ep u r p o s ea n dm e a n i n go ft h i st o p i ca 托i n t r o d u c e df i r s t l y i tm a i n l yd e s c r i b e st h e c u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o na n dp e r s p e c t i v eo fl i n e a rm o t o r s f e mm e t h o du s e di n a n a l y z i n gl i n e a rm o t 0 墙i ss u m m a r i z e d i ti sp o i n t e do u t t h a tf e m p o s s e st h ea d v a n t a g e i na c c u r a t ep e r f o r m a n c ea n a l y s i s t h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo f t h ef m i t ee l e m e n tm e t h o dw i t ht h ep r o c e s s i n go f t h ep e r i o d a n dt h es e m i p e r i o db o u n d a r yc o n d i t i o na r et h e ni n m x i u c e da n dt h em a i np r o c e d u r eo f t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di ss u m m a r i z e d t w om e t h o d so f c a l c u l a t i n gl s me l e c t r o m a g n e t i cf o r c ea 托p r e s e n t e d t h ef o r m u l a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i cf o r c eo fl i n e a rs y n c b r o n o u sm o t o rw i t hv i r t u a lw o r km e t h o di st h e n d e r i v e df r o mf e mm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t sb yu s i n go u rd e v e l o p e ds o f t w a r ea r e c o m p a r e dr e s u l t sw i t ht h o s eb yc o m m e r c i a ls o r w a r e t h ep e r f o r m a n c eo fl i n e a r s y n c h r o n o u sm o t o ri sa n a l y z e dw i t hi t se l e c t r o m a g n e t i cf o r c e m a t h c n a t i c a lm o d e lo f p e r m a n e n tl i n e a rm o o ri ne l e c 仃o m a g n e t i cf i e l dc o m p u t a t i o ni s i n v e s t i g a t e d t h e nt h em a g n e t i cf i e l do fp e r m a n e n tl i n e a rm o t o ri sa n a l y z e d a n i m p m v e dd i s c r e t em e t h o do fb o a r d e re q u i v a l e n ts u r f a c ec u r r e n tm o d e li sp r e s e n t e di n t h i st h e s i s ，w h i c hi ss u i t a b l et oa r b i t r a r i l yc o m p l e xs h a p 韶，a n dc a nc o n v e n i e n t l ys o l v e d i f f e r e n tm a g n e t i z i n gd i r e c t i o np r o b l e m ，s u c ha sp a r a l l e la n dr a d i a ld i r e c t i o n i ti s i m p o r t a n t t ou t i l i z et h ep e r m a n e n tm o t o rf e m p r o g r a m h o wt 0p r o c e s st h ei n p u to f p a r a m e t e r so f m o t o r sa n dh o wt od i s p l a yt h ec o m p u t a t i o n r e s u l t so f m a g n e t i cf i e l da r ei m p o r t a n tp r o b l e m si nf e ms o r w a r e ；t h e s ep r o b l e m sa r o t h e nr e s e a r c h e dd e e p l yi nt b e o r ya n dv a r i o u sa l g o d t h m so fv i s u a l i z a t i o na 地t h e n i n t r o d u c e d l a s t l yt h es t o r a g eo fc o e f f i c i e n tm a t r i xi nf e mc o m p u t a t i o ni sr e s e a r c h e da n dan e w m e t h o do fs t o r a g eo fc o e f f i c i e n tm a t r i xi st h e ni n u v d u c e d v a r i o u sm e t h o d so fs o l v i n g l i n e a re q u a t i o n ss e t 黜i n 血- o d u c e da n dc o m p a r e da n dan e wm e t h o do fp r e - p r o c e s so f m a t r i xi si n t r o d u c e d t h em e t h o do fs o l v i n gn o n - l i n e a re q u a t i o n ss e ti sd i s c u s s e da t l a s t k e yw o r d s ：e m s - m a g l e v 。l i n e a rs y n c h r o n o u sm o t o r , e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d , f e m ， e l e c t r o m a g n e t i cf o r c e , p e r f o r m a n c ea n a l y s i s , n o n l i n e 缸, p e r m a n e n t l i n e a r m o t o r , h a l b a c h a r r a y 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或者其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确表示并表示了谢意。 签名：型丝日期：釜壁2 。! ! ! 学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸制论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或者部分内容。论文的公 布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍课题背景和研究意义，分析磁悬浮及直线同步电机的应用现状和发展趋势， 总体介绍课题的研究步骤及主要采用的方法，指出有限元计算方法在直线同步电机性能分析 方面具有的优越性。最后综述了本文各章的主要研究内容。 1 1 选题背景 我们经常看到。许多直线驱动装置或系统都是采用旋转电动机通过中阐转换装置( 例如链 条、锯丝绳、传动带、齿条或丝杆等机构) 转换为直线运动的。由于这些装置或系统有中间转 换传动机构，所以整机存在着体积大、效率低、精度低等问题，因此产生了直线电机。它是 2 0 世纪下半叶电工领域中出现的具有新原理、新理论的新技术直线电机的结构可以根据需 要制成扁平型、圆筒型或盘型等各种型式。它可以采用交流电源、直流电源或脉冲电源等各 种电源进行工作。直线电机可以在几秒钟内把一架几千千克重的直升飞机拉到每小时几百千 米的速度；它在真空运行时，其时速可达上万千米。在军事上，人们利用它制成各种电磁炮， 并试图将它用于导弹、火箭的发射；在交通运输业中，人们利用直线电机制成了时速达5 0 0 k i n h 以上的磁悬浮列车；直线电机除具有高速、大推力的特点以外，还具有低速、精细等另一 些特点“1 其中，在交通运输领域中，以最高时速为4 3 0 k i n h ，全长约2 3 k m 的上海磁悬浮列车示范运 营线为标志，全球第一条基于e m s ( e l e c u o - m a g n e t i c s s p e n s i o n ) 型磁悬浮列车的商业运行线已 成功建成。上世纪以来，国际磁悬浮学术和工程界早已对e m s 型和e d s ( e l e c t r o - d y n a m i e s u s p e n s i o n ) 型两类磁悬浮列车进行了系统的开创性研究，但其中以德国为代表发展的e m s 型 技术成果相对刊载较少，而且与工程技术直接应用相关联的研究成果发表更少。本文作者尝 试以上海e m s 型磁悬浮列车为工程背景，致力于分析由其电磁系统所决定的静态悬浮力以及 动态牵引力，悬浮力特性的描述，并对其性能进行了一些初步分析。 1 2 研究内容及方法综述 深入了解用于直线同步电机的工作原理，建立e m s 型磁悬浮列车使用的直线同步电机的 二维有限元分析计算模型，使用有限元计算软件进行计算，对直线同步电机的性能进行分析， 为磁悬浮列车的安全稳定运行提供策略 1 2 1建立直线同步电机的有限元计算模型并进行计算 ( 1 ) 建立直线同步电机的有限元模型。我们所研究的磁悬浮列车的每节车厢上有7 个悬 浮电磁铁组合，分布在车厢的两侧。每个悬浮电磁铁组合由6 对悬浮电磁铁构成，极距t = i 东南大学硕士学位论文 2 5 8 m m 定子轨道上的线圈匝数为l ，通三相交流电；悬浮电磁铁上的线圈匝数为2 7 0 ，通以 直流电。由于在实际情况中，定子( 即轨道) 的长度远大于转予( 即悬浮电磁铁) 的长度，并 且定子和转子沿垂直于车辆运动方向( z 方向) 的每一横截面的形状均相同，因此我们拟采用 2 - d 长定子模型进行分析。对于每极槽数为整数的直线同步电动机来说，由于其结构具有对称 性。转子模拟一对磁极就可以了。因此，我们也只考虑一对极下的电机模型。 ( 2 ) 编写程序实现电机参数输入。通过编写程序为现有的有限元软件添加参数输入窗口， 通过这个窗口，工程分析人员可以很方便、直观的改变电机的相关参数，并根据新的参数重 新进行计算。 ( 3 ) 为现有的有限元软件添加后处理模块。有限元法通常将整个结构离散成形状简单的 单元来求解，因此有限元法可以对任意复杂的结构进行分析。而为了使分析的结果取得较高 的精度，就要求被离散的每一个单元划分地较细，这样做的结果就是随之产生大量的数据。 如果依靠手工来整理这些结果，不仅是一件很烦琐的工作，而且常常会出现错误，同时对于 分析工作者来说，不能很直观的了解磁场的分布，并检验计算结果的正确性。因此对有限元 结果的处理是有限元分析的一个重要的组成部分。以往，对有限元的前处理以及计算已经有 很多的软件可以实现。但是在后处理部分做的工作不是很多，随着计算机技术的发展，依靠 现代计算机优秀的图形处理能力，可以把有限元计算的结果采用可视化的技术表示出来，从 而可以大大的减少工作量，通过图形直观的了解磁场的分布、走向，并且定性的验证结果的 有效性。 ( 4 ) 添加电磁力计算模块。常导型高速磁悬浮列车( e m s - m a g l e v ) 通常由一长定子 直线同步电机( l s m ) 来驱动。直线电机的长定子轨道上的初级线圈通三相交流电。悬浮电 磁铁上的次级线圈则采用直流励磁。定予上的初级绕组在三相交流电的激励下产生一个运动 磁场，与转予磁场相互作用产生牵引力和悬浮力。由于气隙合成磁场为一时变场以及采用传统 的磁路、图解法无法精确地计算其电磁场分布，因此现在较多采用有限元法来精确求解其电 磁场分布及电磁力通常有两种方法计算电机的电磁力：麦克斯韦张量法和虚功法。麦克斯 韦张量法公式推导和使用比较简单，但是当采用不同剖分单元类型( 三角形，四边形，) 和选取不同积分路径时，计算误差较大；与麦克斯韦张量法相比，虚功法公式推导相对复杂 一点，但是不存在积分路径的问题，受剖分单元类型、单元数量的影响不大。另外目前的大 部分有限元软件采用的均是传统的有限元计算方法，且后处理模块都没有相应的电磁力计算 部分，因此只能依靠a n s y s 、a n s o f t 等商业软件来计算，而这些大型商业软件往往结构 庞大，使用起来比较困难，当问题比较复杂时，计算时间较长。本课题采用虚功法来计算电 机的电磁力，并将电磁力的计算放在有限元后处理部分来实现，这样可以直接添加进现有的 有限元计算软件，操作比较简单，计算速度快，具有广泛的适用性。 1 2 2直线同步电机的性能分析 因为本课题研究的直线同步电机是使用在高速磁悬浮列车上的，因此对于直线同步电机 2 第一章绪论 的各项性能尤其是安全性能的分析就显得尤其重要。 磁悬浮列车的重要的安全标志在于所有的运行干扰，故障和紧急情况下，运行的列车能 够在指定的停车点停下，如有必要，旅客可安全撤离列车。 安全运行的标志包括； 1 列车牵引功能的安全调节； 2 车载供电的安全实现； 3 列车和线路的安全结构； 4 安全处理悬浮控制回路中的特定错误，因为这些特定错误会导致列车和线路的结构中 出现不允许的受力状态。 因为本课题目前只是初步的对直线同步电机的性能进行分析，所以只是通过对直线同步 电机的电磁力的计算，来针对部分的安全及运行性能进行些初步的分析。 1 2 3建立永磁直线电机的数学模型 近年来。随着稀土永磁材料的迅速发展，特别是钕铁硼永磁材料性能的不断提高和价格 的逐渐降低，永磁电机在国防、工农业生产和家用电器等方面获得越来越广泛的应用。目前 永磁电机正在向着大功率化、高功能化和微型化方向发展，其中高力能密度和高效率是对各 类永磁电机设计所提出的共同要求。 由电机设计原理可知，提高磁负荷即增加电机气隙的磁通密度，可减小电机体积和提高 力能密度。对于永磁电机而言，增加电机气隙磁通密度的措施一般有两种。一种是从磁钢材 料上想办法。尽量选用剩余磁遥密度较高的永磁材料，然而受材料性能与价格等因素所限，永 磁材料的实际可选择余地不大。 h a l b a c h 阵列是一种新型的永磁体排列方式。特别适合于永磁体采用表面式安装的转子 结构永磁体采用h a l b a c h 阵列排列方式后，不仅可增强电机气隙磁通，而且可减弱转子轭部 磁通，对缩小电机体积和提高力能密度十分有利。综合起来，有如下优点：接近正弦的气 隙磁密分布。经过良好设计可获得比常规磁体更大的气隙磁通。很好的磁屏蔽作用j 从而 可减小转予导磁轭厚度甚至可以省却转子铁心。 国外对f l a l b a c h 磁体结构电机已经进行了比较深入的研究，并将其应用于高速飞轮驱动电 动机及主轴驱动电动机等；在国内，对其研究较少，沈阳工业大学的王风翔教授对其进行了 研究并将其应用于人工心脏血泵驱动电动机。本文尝试将其应用在直线电机上，采用2 极的直 线电机为例，建立了h a l b a c h 永磁直线电机的数学模型，编写了永磁电机的有限元计算程序， 并分析了电机的磁场分布，推导出非线性情况下的电磁力计算公式，对电磁力的变化情况进 行了分析，为今后以永磁直线电机驱动的高速交通提供一些新的理论模型和数据。 1 3 各章内容综述 本论文全文共分六章，各章的内容简介如下： 3 东南大学硕士学位论文 第一章阐述了本课题研究的目的和意义。分析了直线电机的现状与发展趋势，提出了用 有限元方法分析直线电机的性能，并指出了有限元方法在电机性能分析方面所具有的优越性； 最后综述了本文各章的研究内容。 第二章介绍了直线电机数值计算的电磁理论基础，归纳总结了有限元方法的理论基础和 主要计算步骤。提出了周期边界和反周期边界的具体有限元处理方法。 第三章首先介绍和比较了两种计算电机电磁力的方法，然后结合有限元方法的基本原理， 推导了基于虚功法的直线同步电机电磁力计算公式，并给出了在有限元计算中具体的计算公 式；通过对直线同步电机电磁力的计算，对其运行性能进行了初步分析。 第四章研究了永磁电机磁场计算中永磁体的数学模型，对永磁直线电机的磁场进行了初 步的分析。在全面分析数值计算中所采用的数学模型基础上，提出了一种改进的边界等效面 电流离散化处理法，该方法不仅适用于任意复杂形状的永磁体，而且可以统一方便的处理平 行、径向等几种永磁磁化方向，对实现永磁电机有限元程序的通用性具有重要的意义。最后 以h a l b a c h 直线电机为算例，对其电磁场和电磁力进行了分析与计算。 第五章研究了有限元计算中系数矩阵的存贮。提出了一种新的系数矩阵的存储方法；介 绍和比较了求解线性方程组的各种方法，研究了一种新的矩阵预处理的方法；最后还讨论了 非线性方程组的解法问题。 第六章研究了如何在直线电机性能分析软件中解决电机参数输入的问题，并对有限元方 法后处理的各种可视化表示方法进行了研究，提出了各种可视化表示方法的具体算法。 最后对本文的主要研究成果进行了总结。 4 第二章直线电机数值计算的电磁理论基础 第二章直线电机数值计算的电磁理论基础 2 1 前言 分析直线电机电磁场的方法，通常有解折法、图解法和数值解法。由于计算机的应用日 益普遍，电机电磁场的数值解法得到了广泛的应用，其适用范围及求解精度已远远超过其它 解法。有限元方法是目前一种较普遍应用的数值计算方法，它通过离散化来求取偏微分方程 的数值解。其主要步骤是：首先将场的方程等价为一个条件变分问题，再将条件交分问题离 散为代数方程组，最后解代数方程组得到各点的场值。与解析法相比，它可以处理介质非线 性的场区域问题，在计算过程中不需要进行简化或近似处理，计算结果的精确度较高；与有 限差分法相比，它在网格剖分上更具灵活性，能对不规则的边界形状进行充分逼近，对边界 条件的利用度高，易于解决边界形状或内部分界线比较复杂的问题，能够保证较高的计算精 度。近年来，随着计算机制造技术和计算理论的进一步发展，有限元方法在工程应用中已占 据了重要的地位，在电机的电磁场分布、局部应力的计算及电机性能计算等诸多研究方面都 得到了广泛应用。 2 2 低频场的边值问题 麦克斯韦( m a x w e n ) 方程描述了电磁场的变化规律，该方程有微分与积分两种表达方式： 微分方程表示法： v 一一箬 v 日讲詈 v b = 0 ( 2 - 1 ) v d = 口 和积分方程表示法： 呼拈一蜷墙 扣讲= 铱，+ 争协 如墙= 0 静d 协= 胁 5 ( 2 - 2 ) 东南大学硕士学位论文 式中 e 电场强度； 口磁感应强度； 日磁场强度； ，体电流密度； d 电位移矢量； p 电荷体密度。 对于有电流的区域，属于有旋场，可以在磁场中引入矢量磁势函数4 。彳一般是空间坐 标和时间的函数，有： v x a = b ( 2 - 3 ) 对于没有电流的区域，可以在磁场中引入标量矢量磁势9 二，有： v=口(2-4) 采用劳伦兹规范( l o r e n t z ) ： v 拈叩署( 2 - 5 ) 式中 磁导率5 暑价电常数5 矿动态标量电位。 将式( 2 - 3 ) 和( 2 5 玳入式( 2 1 ) 中的微分方程，可得磁场在均匀介质中的微分方程，在静态 场中： v 2 a = 叫( 2 6 ) 式( 2 - 6 ) 即为著名的泊松方程( p o i s s o n ) ，在无激励源的情况下将变成拉普拉斯方程： v214=0(2-7) 在稳态时变场中： v 2 彳+ s w 2 彳= 一， ( 2 8 ) 式( 2 - 8 ) 为著名的赫姆霍兹方程。 而对于标量磁位，在没有电流的区域，其恒满足拉普拉斯方程 v2=o(2-9) 利用上述给出的公式结合特定的边界条件即可定量地描述一个磁场的分布情况，这就是 磁场的边值问题。 6 一般地，以下两种边界条件值得关注： 狄利克莱( d i r i c h l e t ) 边界条件，又简称强加边界条件或一类边界条件： 酬。= 诺伊曼州e u m a n n ) 边界条件： 型o n l ，：+ 反札= k ：， l - i - j l ，。i - j ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 上式就是我们通常所谓的三类边界条件，当哦r 2 ) = 0 时上式就成为二类边界条件，即： 2 j 条件变分问题的导出 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 变分法的一般方法，是先列出条件变分问题，然后将其归结为欧拉方程并求解。有限元 的途径正好相反，它是先将偏微分方程看作是某一泛函的欧拉方程，然后反过来求解泛函并 构成条件变分问题，最后求解条件变分问题。下面从平面稳定磁场的偏微分方程边值问题出 发，利用变分原理导出相应的条件变分问题1 3 1 。 如前所述，对于平面稳定磁场，无论求解区域时候存在电流，都可以引入矢量磁位4 ， 满足泊松方程，其边值问题为： 式中 q ：警芬= 一吾 焉：= 矗 。觑一e矗：4 j o r li ， 如第一类边界上的4 已知值； ( 2 1 4 ) 噩第二类边界上的磁场强度切向分量已知值( 规定切线f 的正方向为外法线刀的正 方向逆时针转过9 0 ) ； y 谏解区域的磁阻率。 7 哟纸 o = = n n 劬ts限劬锄 条界边次 齐 类 一一 为成又 式 e 时 0 = n 效 当 东南大学硕士学位论文 将式( 2 1 4 ) 的第一式改写成 q ：u 争+ 手p 等，= c z 彤， 在式( 2 - 1 5 ) 两端乘上变分砌，并进行二重积分，得 将如下的高斯公式 豫【吾p 詈) + - - ( y 争脚姗，= 一亚，占a d r d y c ：舶， 儿丢p 争+ - - - ( y 铷占4 妫 = 一亚y c 等警+ 等等，蚴+ 嘎y 挚触 协m 代入式( 2 1 6 ) 左端，并作移项，得 故 眨y c 詈警学等幼一皿历4 蚴一唾y o n 触= 。沼m 对于上式中的第一项积分，有 掣：占( 马， 一2 d 卜一i ，盘戗 _ 8 8 a ：万譬) 砂秒 几y c 詈警+ 等等，蚴 = f 【v c 万营+ 等烈争，蚴 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 对于式( 2 - 1 8 ) 中的第三项线积分嘲，其中边界j 是指区域的所有边界当区域媒质不问 断时，j 就是外部边界；当区域内媒质有间断时，j 还包括内部媒质分界线。不失一般性， 考虑区域q 内有两种媒质，所占区域分别为q 一和【r ，其分界线为，在f 上法线以的方向 8 第二章直线电机数值计算的电磁理论基础 规定为从q 一指向q + ，如图2 - l 所示 即 图2 - 1 存在两种媒质的区域q 当分界线，上不具有面电流密度时，在媒质分界线上满足下面的边界条件： h：=毽(2-21、 u 掣) ：妒为+ 伽册 ( 2 - 2 2 ) 这时式( 2 - 1 8 ) 中的第三项积分在q ，s 2 ，1 - , l + 四段边界上进行考虑在西上，因为4 = 厶， 有8 a = 0 ；以及在r 上，法线胛指向内部。故 变成 童y 挚4 毋 = y 鲁艿脑+ f y - - - 警s a d a l y - 筹s a d s = v 豢柏凼+ 寻8 , 4 七第+ a a d s ) 将式( 2 1 4 ) 中的第三式和式( 2 2 2 ) 的关系分别代入上式右端第一项和第二项中，便将上式 ( 2 2 4 ) 凼融讲 f 屯 = 眦 ， f s 矿 工 东南大学硕士学位论文 现将式( 2 2 0 ) 和式( 2 - 2 4 ) 的关系代入( 2 1 8 ) 。便得到 亿y t 挚c 罢，+ 爹万学刀西毋一见朋a 蚴+ 丘耳艿4 西= 。 g 之s ， 将上式的左端看成是一个泛函矽的变分廓y ，于是上式就是挪矿= 0 。求泛函矿，就是 求上式左端的原函数。容易看出，当媒质为线性时，泛函形为 件。 矿( 印= 儿三【学) 2 + 学) 2 】如妙一见崩威砂+ 耳彳幽 ( 2 z 6 ) 由于式( 2 2 6 ) 已经满足第二类边界条件，因此条件变分问题中只需要列出第一类边界条 在给出变分问题之前，需要明确泛函形是求极大值还是极小值，这可以由泛函形的= 次变分艿2 w 为正还是为负加以判定当艿2 w o 时，求极小值湎当6 2 矽 妫 上式右端恒大于零，故泛函形是求极小值。 最后给出与式( 2 1 4 ) 等价的条件变分 ( 2 2 8 ) j 矿( = 儿 詈【营2 + ( 爹2 卜觑 蚴，+ 丘竭触= m i n ( 2 2 9 ) h ：4 = 4 1 0 第二章直线电机数值计算的电磁理论基础 由于泛函形( 彳) 具有能量的量纲，因此称它为能量泛函 偏微分方程边值问题等价为条件变分问题后，除了第一类边界条件以外，其他边界的表 达式都起了变化。下面，对于第一类边界条件的问题作一些讨论。 在条件变分问题中，第一类边界条件仍作为附加条件列出，这时称为强加边界条件 在条件变分问题中，第二类边界条件体现为在能量泛函中的一项线积分，它由能量泛函 求极值自动满足，因此称为自然边界条件特别地，当第二类边界条件为齐次时，这项线积 分不存在。也就是说，第二类边界条件在变分问题中用不到考虑。 当区域内部媒质有间断时( 设分界线上无面电流密度) ，媒质分界线上的交界条件在条件 变分问题中用不到考虑，它由能量泛函求极值自动满足，也是自然边界条件 2 4 非线性平面稳定磁场的有限元原理 当所考察的区域内存在具有饱和的铁磁材料时，稳定磁场满足非线性的偏微分方程。下 面简要阐明非线性平面稳定磁场的有限元法的变分原理。 对于非线性平面稳定场，矢量磁位爿满足准泊松方程。它们的边值问题分别表示为 f q ：昙p + 号u 爹= 毋：4 = 4 ( 2 3 0 ) i s 2 ：y 掣：一耳 ：y _ 2 一爿， l 由于前面在介绍变分问题的时候，已经是从非线性偏微分方程出发，因此对于非线性问 题，推导仍然是有效的，即有： 令 由于有 从詈j 移学6 c 势螂一亚乃一蜘+ 删西= 。c ： 曰艿b = b b = ( 2 3 2 ) 巷悖+ 毒j 移卜瓣占移c 东南大学硕士学位论文 亚p 鼢鼢谚一i c 历a 蚴+ 日1 6 彳幽= 0 ( 2 - 3 4 ) 将上式的左端看成是一个泛函w 变分胛，于是可以通过积分来求取泛函矿。由于在 非线性问题中，随b 变化，因此在y 丑对b 积分时，不能将y 提到积分号之外来处理。如果 将y 看成是8 的一个多项式函数，那么y 口对b 的积分可表示为f v b d b 于是泛函为 矿( 彳) = 儿( r 怕栅p 方一儿埘凼砂+ 只彳d s ( ：- 3 5 ) 于是与式( 2 - 3 0 ) 等价的非线性条件变分问题如下： 矿( ) = 他( f y 脚p 咖一亿以妫+ e _ 凼= 血( 2 - 3 6 ) h ：a = 4 2 5 周期性边界条件的处理 周期性边界条件分为整周期条件和半周期条件。当在电机中不能找到磁场的对称线作为 边界时，就需要利用周期性边界条件，取一个周期或半个周期的范围作为求解区域这时， 在磁场正好间隔一个周期或半个周期的两条边界上，需要将周期性边界条件加以处理。对于 图2 - 2 所示的直线同步电机，由于其磁场沿电机的x 方向呈周期性变化，因此具有周期性边 界条件。在图2 - 2 中，边界1 3 和2 4 满足整周期性边界条件。为了考虑程序的通用性，对于 整周期条件和半周期条件本文都做了研究，其具体处理方法如下。 图2 - 2 直线同步电机模型 第二章直线电机数值计算的电磁理论基础 nnn几nn 由的u - ( a ) nnnn nn 由的白 几nn门n门 由曲卣 图2 - 3 周期性边界条件的处理 设求解区域为a 8 口么，如图2 - 3 ( a ) 所示。当满足整周期时，有 a i 密2 4 l 石 ( 2 - 3 7 ) 当满足半周期条件时，有 彳i 压2 卅b ( 2 - 3 8 ) 这时，由于在肚与彳留上的各对应点的4 值正好相同或正好差一符号，因此其中一条 边( 如4 留) 的节点的a 值不必求解。但要规定，这条边的节点的编号应放在总结点编号的最 后，以避免方程组的复杂化。设总节点数为万，其中扣除4 留上的节点后的节点数为， 其编号在前，而4 留上的节点数为一一，其编号在后这时，所得到的线性代数方程组阶 数为r l 。 在图中的a b 外侧增补一排假想单元，它们与4 莒内侧的实际单元对应，形状相同。 已经知道，在一个节点上建立方程时，应当考虑节点周围一圈单元的作用，因为这些单元的 1 3 东南大学硕士学位论文 和脚，上不建立方程， - a - 矿- 7 和一a w ；不必考虑，因此单元分析时只需要得到以下一项； 谢，弘 警：4 + 4 ，+ 也w 4 ，一所 ( 2 - 3 9 ) 触j 。 而对单元p ，由于在节点f 不建立方程， 等不必考虑，因此单元分析时只需要得到以 孽 州吨小乃 ) 降= k 4 + 4 吨4 。嗍 区域中也是不存在的( 因为4 留上的节点a 不求解) 。这些量可以通过单元p 7 和e 的对应关 、 系，用存在于区域中的量代替由于单元一和p 形状相同，故【七r = 【七r ，即有= ， = 知，= k a 这时又分两种情况： ( 1 ) 当满足整周期性边界条件时，这时有似，= 弘 ，仞 7 = 仞r ( 因为间隔一个周期 后电流密度相同) ，即有= 4 ，4 = 4 ，以= 厶，4 = a a 于是式( 2 - 3 9 ) 改写为 詈= 屯4 + 4 + 啊c & 哩。 式( 2 - 4 0 ) 改写为 1 4 ( 2 - 4 0 第二章直线电机教值计算的电磁理论基础 陲峭塌以碣 ( 2 m ) 降= k 4 + 4 + 一风 a 形 妈 a 形 = 雌喇- - k _ j l a 吲l p j = i l l4 马i 【- 。j 上式在参加总体合成的时候，必须注意各元素的贡献对象的地址。例如，上式中的屯应 该贡献到第，个方程的未知量4 的系数上，亦即迭加到总的稀疏矩阵 七】的元索上。归 纳起来，上式中的屯、岛、k 和巩应分别迭加到系数矩阵【明和右端相量伽) 的 元素、毛，、k ，和p ，中去，其余元素的迭加仍按其下标的地址进行 ( 2 ) 当满足半周期条件时，这时，有 4 7 = 一 4 ) ，p 7 = 一 p ( 因为间隔半个周期 后电流密度符号相反) ，即有a = 饵，a i2 鸣，厶2 k ，p i2 _ p l 于是，式( 2 - 3 9 ) 改写为 詈= 毛4 嘲叫朋 ( 2 式( 2 - 4 0 ) 改写成 黟蝌州州一一。：二；， 怿4 + 4 + k a m - 将以上两式写在一起，并写成矩阵的形式，就得到 婴斟 东南大学硕士学位论文 a 形 戤 a w e 弘 a w e 鹳 = 一乏毫 乏 一 乏 。撕， 上式在参加总体合成的时候，上式中的屯、一毛、勺、一k 、一k 和p t 应分别迭 加到【七】和 p 的元素，、吒、，和p ，中去，其余元素的迭加仍按其下标的 地址进行。 情况二 单元p 的两个节点f 和，落在4 留上，如图2 - 3 ( c ) 所示，对于单元一，由于在节点脚上 不建立方程，因此仿照前一种情况进行单元分析，分别得到： ( 1 ) 满足周期性边界条件时： a 形 戤 a 形， 鹤， a 形 哟 = 乏龟蔓 乏 一匮 g 4 乃 上式在参加总体合成的时候，上式中的毛、，、k 、和矶， p ，应分别迭加到【胡和p 的元素、，、b 、向”、k 、弓h 、和p ，、p l 中去。其余元素的迭加仍按其下标的地址进行 ( 2 ) 满足半周期条件时，有 a 形 a a ： a 鹤- a 形 鹳 k 4k hk h 毛一 一k 一 k 1 6 眺 ( 2 - 4 8 ) 上式在参加总体合成的时候，上式中的毛、毛、一k 、一k 、一七加、一 和叩，、叩，应分别迭加到【明和 p 的元素、一钉、与”、k 、七，h 、 和p ，、p ，中去，其余元素的迭加仍按其下标的地址进行 2 6 有限元方法的基本步骤 综合上述论述，下面给出运用有限元法求解电磁场时的般步骤： 把场的偏微分方程看作是某一泛函的欧拉方程，找出泛函并构成与偏微分方程边值问 题等价的条件变分问题； 对条件变分问题离散化。离散化的方式是将连续域离散成有限个单元之和，即通过 剖分生成有限元网格。这时，泛函中原本对场域的整体积分就转化成对各个剖分单元的积分 之和。在每一个单元中，认为求解函数是在其各节点函数值之间按坐标插值变化的。于是将 泛函转化为以所有节点的函数值为自变量的多元函数。 求多元函数的极值，得到一组代数方程； 解代数方程组，得到各点势函数的值，进一步可求出各单元内场强值。 2 7 小结 本章讨论了直线电机数值计算的电磁理论基础，归纳总结了有限元方法的理论基础；研 究了非线性平面稳定磁场有限元法的变分原理；提出了周期边界和反周期边界的具体处理方 法；最后对运用有限元法的求解电磁场时的一般步骤进行了总结。 1 7 东南大学硕士学位论文 第三章直线同步电机电磁力计算及其性能分析 3 1 前言 常导型高速磁悬浮列车( f _ m s - m a g l e v ) j l l 常由一长定子直线同步电机( l s m ) 驱动。直线 电机长定子轨道上的初级线圈通以三相交流电，悬浮电磁铁上的次级线圈采用直流励磁。定 子上的初级绕组在三相交流电的激励下产生一个运动的磁场，与转子磁场相互作用产生牵引 力和悬浮力 s l 。由于气隙合成磁场为时变场，采用传统的磁路、图解法无法精确地计算其电 磁场分布，因此现在较多采用有限元法来求解其电磁场分布及电磁力。 通常有两种方法计算电机的电磁力：麦克斯韦张量法和虚功法。麦克斯韦张量法公式推 导和使用比较简单，但是当采用不同剖分单元类型( 三角形，四边形) 和选取不同积分 路径时，计算误差较大；虚功法公式推导相对复杂，但不存在积分路径问题，受剖分单元类 型、单元数量的影响不大【j 。另外，目前大部分有限元软件采用的均是传统有限元计算方法， 且后处理模块都没有相应的电磁力计算部分，因此只能依靠a n s y s 、a n s o f t 等商业软件 来计算。这些大型商业软件往往结构庞大，使用起来比较困难，当问题比较复杂时，计算时 间较长本文提出把电磁力的计算放在有限元后处理部分来实现，可以直接添加进现有的有 限元计算软件中，操作简单，计算速度快，具有广泛的适用性。文章利用这一方法实现了对 直线同步电机牵引力与悬浮力的计算。 另外，按照直线电机的功能，其电磁力可以分为悬浮力、牵引力和导向力，悬浮力决定着 列车的过载能力，牵引力是列车的主动力，决定着列车的运行速度，而导向力用来纠正侧向 偏移。我国目前以常导型磁悬浮列车为主体，浮力与牵引力之比为2 5 ：1 ，并未实现悬浮列 车理想比例的2 0 0 ：1 。而且这种比例随着列车速度的不同而发生变化，各个方向的电磁力与 功角的关系特性不尽相同，为了更清楚地了解直线电机的运行原理，使列车能够稳定运行， 我们有必要应用电磁场原理计算直线电机各个方向的电磁力的功角特性。 直线电机电磁力的求解是求出功角特性的关键步骤。a n d r i o l l 分析直线电机时，应用绕 组等效电路原理，求解一对极下的电磁能，然后根据虚功原理求解直线电机的牵引力的表达 式。文献 1 应用电机学原理求出各次谐波的感应电动势，并求出直线电机的横向电磁力的解 析表达式，能够更好地理解横向电磁力与功角、运动速度的关系。传统电机定转子之间的悬 浮力由于合力为零，因此没有进行过多的研究。 直线同步电机在稳态运行时定转子有相对运动，定子通有三相对称电流，形成的合成磁势 以同步速度运行，而转子通有直流电但是转予以同步速度向前运行，因此定转子间磁场相对静 止在不考虑直线电机的边端效应时，不用考虑相对运动而采用静态场方法来计算 1 8 第三章直线同步电机电磁力计算及其性能分析 3 2 电磁力的计算 3 2 l 虚功法的基本原理 传统的虚功法是基于能量守恒原理与虚位移原理。当电磁装置的某一部分发生微小位移 时( 即可以是真位移，也可以是虚位移) ，如在恒电流或恒磁链的条件下，整个系统的磁能会 随之变化，则该部分就会受到电磁力作用。电磁力的大小等于单位微增位移时磁共能的增量 ( 电流约束为常量) 或单位微增位移时磁能的增量( 磁链约柬为常量) 。当用有限元方法计算并假 设磁链约束为常量时，用矢量磁势计算比较方便；假设电流约束为常量时，用标量磁势计算 比较方便。本文在实际计算直线同步电机的磁场时，采用矢量磁势来计算，所以仅以虚位移 前后磁链不变来推导电磁力的计算公式。 3 2 2 电磁力的推导 一 根据虚功法，当假设沿q 方向有一位移时，铁磁材料所受的g 方向总的电磁力为- e = 句形，却 ( 3 1 ) 存储的总的能量为 矿= f t f - a n d v ( 3 - 2 ) 式中： 卜场域的体积。 丑磁感应强度。 日磁场强度。 电机单位长度所受的力可以写成： 矿= j 【r 日面e d s ( 3 - 3 ) 式中s 为场域的面积。 在有限元计算中，当采用三角形单元时，s 被离散为一系列的三角形单元，形为每一个 三角形的能量之和，因此得 矿= 莹j 【j 见峨】峨( 3 - 4 ) 式中： 场域内总的三角形单元数； s o 三角形单元的面积 当采用一阶单元时，式( 3 由可以转换成和的形式 矿：兰竺疋 ( 3 哪 智2 9 , 。 东南大学硕士学位论文 式中：以为第p 个三角形单元的磁导率。 将式( 3 5 玳入式( 3 1 ) ，得 = 一姜鼍等屹+ 詈占2 等等+ 鼍争 。呦 式中：“为磁阻率；a 洒矿为非线性部分。 文献【9 】通过计算得出：对于本文研究的直线同步电机问题，计及非线性时的电磁力计算 结果与不考虑非线性的计算结果误差在5 以内，为简化问题，本章不考虑非线性问题，即 式( 3 - 6 ) 变为 p 特等匕噜屹争 。忉 在直角坐标系下，对于线性问题，采用三角形单元时，有 五汛_ = 等t 一罢j 其中1 是z ，y 的线性函数，故有 a = q + 口一+ 口 ( 3 9 ) 式中：a l 、口2 、向为待定系数。 将三个节点的坐标及磁位代入式