函数的奇偶性和单调性.doc

函数奇偶性与周期性 一、要点梳理1、奇函数、偶函数及其判定对于函数及其定义域关于原点对称：如果对于函数定义域内任意一个，都有 ，那么函数就是偶函数；如果对于函数定义域内任意一个，都有 ，那么函数就是奇函数；如果一个函数是奇函数（或是偶函数），则称这个函数在其定义域内具有奇偶性。2、判定函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：考察定义域是否关于 根据定义域考察表达式是否等于或.若 ，则为奇函数；若 ，则为偶函数；若 ，且 ，则既是奇函数又是偶函数；若且，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。3、奇偶函数的性质奇函数图像关于 对称；偶函数图像关于 对称；若函数在处有意义，则 奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 若函数为偶函数，则反之也成立。4、周期函数的概念对于函数，如果存在一个 常数，使得当取定义域内的 值时，都有 ，那么函数叫做周期函数，非零常数叫的 ，如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 数就叫做的最小正周期。设为非零常数，若对定义域内的任意的，恒有下列条件之一成立：则是 函数， 是它的一个周期（上述式子分母不为零）二、题型解析例1 判断下列函数的奇偶性 （5） （7） 例2 根据奇偶性求解析式已知是上的奇函数，且当时，求例3 抽象函数奇偶性的证明（1）函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。例4 奇偶性与单调性综合应用设函数对于任意的，都有，且时,（1）求证是奇函数；（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例4 函数的周期性设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值例5 函数周期性与奇偶性的综合应用 （填空）（1）函数为偶函数，则函数的图像的对称轴方程为 （2）已知函数为奇函数且定义域为，时，的解析式为 （3）是定义在上的奇函数，且时，为增函数，则不等式的解集为 （4）函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为 （5）已知是定义在上的偶函数，且在为增函数，若，求的取值范围 已知函数的定义域为，且满足（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，求使在上的所有的个数。高考训练1、设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A、是奇函数 B、是奇函数C、是偶函数 D、是偶函数2、设函数是奇函数，若，则3、设函数为奇函数，则，则等于（ ）A、0 B、1 C、 D、54、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是( )A、 B、 C、 D、5、已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、6、在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）A、在区间上是增函数，在区间上是增函数B、在区间上是增函数，在区间上是减函数C、在区间上是减函数，在区间上是增函数D、在区间上是减函数，在区间上是减函数7、已知函数为奇函数，若，则 8、设是奇函数，则使取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、9、已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）A、 B、 C、 D、10、函数，若，则的值为（ ）A、3 B、0 C、-1 D、-211、（