（物理电子学专业论文）基于小波变换的直流输电行波保护方法及其嵌入式系统实现.pdf

中南大学硕+ 学位论文 摘要 摘要 本文对电力行业正在大力发展的一项电力输送新技术高压直 流输电技术的特点进行了分析和讨论，比较了直流输电相对于传统的 交流输电技术的优点，讨论了直流输电中存在的问题。由于直流输电 技术的需要，一种新的输电保护技术行波保护技术成为研究的热 点。论文对行波保护的工作原理、结构特点、行业中发展状况进行了 分析，并对行波保护中存在的一些问题进行了讨论。本文以典型的 1 2 脉冲桥h v d c 为系统模型进行了故障仿真，得到了该h v d c 的整 流侧交流线路接地故障与直流线路接地故障时逆变侧的电流、电压、 控制角的故障数据。将故障数据进行了以d b 3 为小波函数的5 尺度一 维小波分解，通过分析各层逼近分量与细节分量，对故障作出了正确 的判别。仿真与试验表明利用小波变换进行直流输电系统故障信息的 分析具有良好的效果。同时本文分析了电力系统中继电保护装置的发 展与现状，提出了基于小波变换的直流输电行波保护装置的系统实施 方案，讨论了其软硬件实现的可行性，并首次将a r m 与e c o s 实时嵌 入式操作系统应用于基于小波变换的直流输电行波保护装置。在分析 了e p 9 3 1 5 的内嵌数学协处理器与e c o s 的结构的基础上，实现了基于 e p 9 3 1 5 硬件平台的小波变换算法，且将m i c r o w i n d o w s 移植到基于 e c o s 和e p 9 3 1 5 平台上，为行波保护装置提供了良好的图形用户界面。 关键字：小波变换，高压直流输电，行波保护，a r m ， e c o s 中南大学硕士学位论文a b s l l 认c t a b s t r a ( 了r n j sp a p e rd i s c u s s e dad e v e l o p i n gt e c h n o l o g yo fp o w e rt r a n s m i s s i o n t h eh i 。g hv o l t a g ed i r e c tc u r r e n tt r a n s m i s s i o n ( h v d c ) ，a n a l y z e dt h e c h a r a c t e ro fh v d c b yc o m p a r i n gt ot h et r a d i t i o n a lt r a n s m i s s i o nw i t h a c1 i n e t h ep a p e rs u m m a r i z e dt h e a d v a n t a g eo fh v d ca n dt h e d i s a d v a n t a g eo ft r a d i t i o n a lt r a n s m i s s i o n b e c a u s eo ft h er e q u i r e m e n to f t h eh v d can e wt e c h n o l o g yo ft h ep r o t e c t i o nf o rp o w e rt r a n s m i s s i o n l i n e - t h et r a v e l l i n gw a v ep r o t e c t i o nh a sb e c o m et h eh o tt o p i co ft h e r e s e a r c h t h ep a p e rd i s c u s s e dt h et h e o r ya n dt h es t r u c t u r eo ft h e t r a v e l l i n gw a v ep r o t e c t i o n ，i l l u s t r a t e d t h ec u r r e n ts t a t u so f r e l a y p r o t e c t i o nf o re l e c t r i cp o w e rs y s t e ma n da n a l y z e ds o m ep r o b l e m n i s p a p e rs i m u l a t e dt h ef a u l tb a s e do nt h em o d e lo ft h et y p i c a l1 2p u l s e b r i d g eh v d cs y s t e ma n dg o tt h ed a t ao ft h ea cg r o u n d i n gf a u l ti nt h e r e c t i f i e rs i d ea n dt h ed c g r o u n d i n gf a u l t w ed e c o m p o s e dt h ef a u l td a t a i nf i v e - s c a l eb a s e do nt h ed b 3w a v e l e ta n dg o tt h ec o r r e c tf a u l t i d e n t i f i c a t i o nb ya n a l y z i n gt h ed e t a i lp o n d e r a n c e t h es i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t a t i o ns h o w si tw i l lg e tb e t t e ro u t c o m ei nt h ea n a l y s i so ft h e h v d cf a u l tb yt h ew a v e l e tt r a n s f o r i l l a tt h es a m et i m et h i sp a p e r a n a l y z e dt h ec u r r e n ts t a t u sa n dd e v e l o p m e n to ft h et h er e l a yp r o t e c t o ri n p o w e rs y s t e m , p u tf o r w a r dt h er e a l i z a t i o no ft h et r a v e l l i n gw a v ep r o t e c t o r f o rh cb a s e do nt h ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd i s c u s s e dt h ef e a s i b i l i t yo f t h es o f t w a r ea n dh a r d w a r e w ea p p l i e da r ma n de c o s ( e m b e d d e d c o n f i g u r a b l eo p e r a t i n gs y s t e m ) t ot h er e l a yp r o t e c t o ri np o w e rs y s t e m f o rt h ef i r s tt i m e b yt h ea n a l y s i so ft h ea r ms t r u c t u r ea n de m b e d d e d d s p ( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ) w er e a l i z e dt h ea r i t h m e t i co ft h ew a v e l e t t r a n s f o r mb a s e do ne p 9 3 1 5a n dt r a n s p l a n t e dm i c r o w i n d o w st ot h e p l a t f o r mb a s e do ne p 9 3 1 5a n de c o sa n dp r o v i d e d a f r i e n d l yu s e r i n t e r f a c ef o rt h ep r o t e c t o r k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m , h v d c , t r a v e l l i n gw a v ep r o t e c t i o n ， a r m ，e c o s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贞献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：址 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 储躲盟导师签名盟魄巫程月堡日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 直流输电技术与行波保护 1 1 1 直流输电技术 随着电力的需求增长，电力系统的规模发展得更大，交流输电技术的局限性 在生产实践中也表现得越来越明显，于是直流输电技术得到了人们的重视。从 1 9 5 4 年，世界上第一条1 0 0k v 、2 0m w 、9 5k m 的海底电缆直流输电工程在瑞典 投入运行以来，高压直流输电技术h v d c 的商业化运行已有近5 0 年的历史，随着 科学技术的不断进步，特别是电力电子技术、计算机技术和新材料技术的发展， 促进了i l 、，d c 技术不断改进和提高，使之更趋成熟。在电力发展中的应用将更为 广泛。现代直流输电技术普遍采取交流一直流一交流的换流方式，它和交流输电 相比，具有明显的优越性巾”。 1 ) 同样截面的导线能输送更大的功率，并且有功损耗更小 2 ) 直流输电能迅速精确地实现多目标控制，以提高电能质量和供电可靠性 3 ) 直流只有正负两极导线，输电线路结构简单，而且当输电距离大于交直 流输电等价距离时直流线路更节省投资 4 ) 每根导线都可以作为一个独立回路运行，并且可以采用大地或海水作回 路 5 ) 直流线路在稳态运行时没有电容电流，沿线电压分布比较平稳，并且没 有集肤效应 6 ) 电缆线路可以在较高的电位梯度下运行 7 ) 直流输电的两端交流系统之间不存在同步运行稳定问题 8 ) 可以联络两个不同频率的交流系统，联络线上的功率易于控制 于是高压直流输电在世界上得到了迅速的发展，它在远距离大容量输电、海 底电缆输电、两个交流系统的互联、大城市地下输电、配合新能源输电等方面都 得到了广泛的应用。目前全世界的直流输电工程约9 0 个，我国有1 0 个，其直流 输电总容量大于1 8 g w ，总输电距离大于7 0 0 0 k m 。直流输电最发达的地区是北美， 美国直流输电工程有1 4 个，总容量1 0 8 g w ，总距离5 8 0 3 k m ：加拿大直流输电工 程有1 0 个，总容量8 i g u ，总距离2 8 1 4 k m 。我国直流输电工程起步较晚，但发 展非常迅速，从总容量和总输电距离来看已经排在了第一位旧。我国的直流输电 工程如表i - i 所示： 中南大学硕十学位论文第一章绪论 展望未来，直流输电技术在电能系统中的应用将是一幅十分引人入胜的图 景。 1 1 2 直流输电线路的行波保护 直流输电是先将交流电通过换流器变成直流电，然后通过直流输电线路送 出，在受电端再把直流电变成交流电，进入受端交流电网。直流输电系统由换流 逆变站、接地极、接地极线路和直流输电线路构成。换流站是用于联接交流侧和 直流侧的装置，也就是供交流电与直流电间进行变换的换流装置。换流装置由换 流变压器、换流器、控制极触发装置、控制保护装置及其它辅助装置等构成。直 流线路与交流线路一样，由导线、地线、绝缘子、金具、杆塔、基础和接地装置 等组成，地线、基础、接地装置的设计与交流一样。交流导线为三相制，但在直 流系统中相应地称之为极，交流系统输电时，三相要同时运行，而在直流系统中 每个极可以独立地传送电力，可单极运行。一般远距离大容量直达输电宜选用直 流，直流输电的经济长度与两端换流设备的造价有关，前苏联在1 9 6 5 年分析经济 输送距离和容量的结果表明，当输电距离超过1 0 0 0 - - - 1 2 0 0 k m 时，采用直流输电比 采用交流输电经济。 直流线路发生故障时，由于电流调节器的作用，故障电流与交流线路相比要 小得多。因此，对直流线路故障的检测，不能依靠故障电流大小来判别，而需要 通过电流或电压的暂态分量来识别嘲1 “1 。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 然而，电力系统中运行的绝大多数继电保护装置是反映于故障后稳态工频信 息的“，例如电流增大、电压降低、电流和功率方向改变、测量阻抗减小等，并 根据这些故障信息而动作。其主要问题有：保护依靠的是稳态工频量信息，需要 较长的时间( 数据窗) 来获取，从而限制了微机保护的动作速度；故障过渡电阻 的存在降低了其灵敏度；电流互感器饱和造成二次传变电流失真，使得微机保护 中的计算值与实际故障电流的差别很大，从而引起保护装置的误动；工频距离保 护不能正确区分线路故障和振荡等。可见，依赖工频信息的传统保护已经不能适 应超高压长距离直流输电的需要了因此，一种基于故障暂态信息的新型保护一 行波保护成为解决问题的关键。 目前，世界上广泛采用行波保护作为高压直流线路保护的主保护，这是由行 波保护所具有的独特优点决定的。同基于工频电气量的传统保护相比，行波保护 具有超高速动作性能；其保护性能不受过渡电阻、电流互感器饱和、系统振荡和 长线分布电容等影响。 、 另一方面，相比于交流系统，直流系统中的行波保护具有更多的优越性：首 先，在交流系统中，如果在电压过零时刻发生故障，则故障线路上没有故障行波 出现，保护存在动作死区；直流系统中不存在电压相角，则无此限制。其次，交 流系统中电压、电流行波的传输受母线结构变化的影响较大，并且需要区分故障 点传播的行波和各母线的反射波以及透射波，难度较大；由于高压直流线路结构 简单，也不存在上述问题。 1 1 3 目前直流输电行波保护存在的问题 国内外相关资料显示，目前行波保护方案的主要问题是可靠性差，没有解决 容易受扰动的问题，分析归纳其原因，主要有以下几点“： ( 1 ) 采用的保护判据对噪声非常敏感。因而在正常运行时，如果有噪声干扰 将使得判别式值很大，从而造成保护误动。 ( 2 ) 电力线路上由雷击、开关分合、空线合闸等所造成的干扰，同行波有很 多相似之处，使行波检测装置误认为是线路故障行波。 ( 3 ) 换相故障、交流侧故障等都可能引起直流线路上出现交流分量的暂态分 量和暂态行波有相似之处，影响行波的识别。 ( 4 ) 行波是一种高频暂态信号，其频谱主要分布在i o k h z 到i o o k h z 之间，近 距离故障时达到数兆赫兹，因此要抓住行波波头保护装置必须有高速的 a d 采样和数据处理能力。 ( 5 ) 由于线路使用的藕合电容分压式电压互感器，传输暂态信号的能力较差， 使得二次侧获取的行波电压信号误差较大。 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 ( 6 ) 行波色散问题增加了行波波头检测的难度。短路故障产生的行波信号是 一些传播模式的混合信号，每种传播模式的不同频率分量具有不同的速 度和衰减，即产生色散，使得行波在传播过程中发生畸变，从而降低了 对行波准确到达时间的判别及对行波反射波的识别能力。 ( 7 ) 在实际输电线路中，输电线路沿大地的电阻率会有变化，以及线路参数 随频率变化等问题，使得行波分析和研究比较困难，故障行波的特点不 容易被充分利用。 1 2 研究基于小波变换的行波保护的意义 1 2 1 研究行波保护的必要性 基于工频信息保护的传统保护装置由于其动作速度慢，易受过渡电阻、电流 互感器饱和、系统震荡和长线分布电容等影响，已经不能适应超高压长距离直流 输电的要求了。行波保护作为一种反应于故障暂态信息的新原理保护，具有超高 速动作性能，同时又能克服以上传统保护的不足之处，因此，在高压直流输电领 域中得到了广泛的使用“”1 。但是现有行波保护技术还不够完善，普遍存在着 易误动的问题，不足以满足现代高压直流输电系统的要求。这对于长距离、大容 量的现代直流输电系统来说，其可能引起的后果是十分严重的。因此在这一领域 进一步大力开展研究工作具有重要而深远的理论和实用价值。 迄今为止，国内外学者提出了多种原理的行波保护，但究竟什么样的行波保 护原理更能满足高压直流输电线路保护的要求，能够更可靠地动作，具有更高的 抗干扰性，都是有待研究的问题。行波保护作为一种新原理保护，在我国的技术 还不够成熟。目前国内投运的高压直流输电工程所采用的关键控制和保护技术都 是由国外公司提供的，因此在这一领域进一步开展研究工作，有利于我国早日形 成具有自主知识产权的高压直流输电控制和保护产品，同时又能够为国家带来显 著的经济效益。 1 2 2 小波变换在电力系统保护中的优势 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，傅立叶变换可以将时域信 号变换为频域中的谱信号。各频段的谱分量可以反映信号的各个组成部分，表征 着信号的不同来源和不同特征。但是傅立叶变换只是一种纯频域的分析方法，它 在频域中的定位是准确的( 即时域分辨率最高) ，但是它在时域无任何定位性( 或分 辨能力) ，也即傅立叶变换反映的足整个信号全部时间上的整体频率特征，而不 4 中甫大学硕十学付论文 第一章绪论 能提供任何局部时间段上的频率信息。对于高压直流输电系统的故障，它的频域 特性是随时间变化而不断变化的，对这一类时变信号进行分析，要提取某一时间 段上的频域信息或某一频段上所对应的时间信息，傅立叶变换是无能为力的。至 于窗口傅立叶变换，是通过施加一个固定大小和形状的时窗函数来对信号在时域 作局部分析。但是在被分析信号的频率及持续时问事先未知的情况下，窗口傅立 叶变换不能够与信号达到匹配：若时窗取得过小，长时间低频信号被截断；时窗 取得过大，短时间高频信号被淹没。而实际故障信号的高频成分周期短，低频成 分周期长，用固定大小的时频窗口分析信号是不能与多变的频率成分相匹配的。 小波变换在时域和频域同时具有良好的表征信号局部的能力，是在傅立叶变 换的基础上发展起来的一种信号的时间尺度( 时间一频域) 的分析方法，它突破 了傅氏变换在时域没有任何分辨率的限制，具有多分辨率分析的特点。可以对指 定的频带和时间段的信号成分进行分析，是一种窗口大小固定不变但是其形状可 以改变，其时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具 有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频时候部分具有较高的时间分辨 率和较低的频率分辨率。并且由于对频率成分采用逐渐精细的时域，从而可以聚 焦到信号的任意细节，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成 分，所以被誉为分析信号中的显微镜。利用小波变换进行直流输电的故障分析将 会具有良好的效果。 1 3 基于小波变换的行波保护装置实现的可行性 随着电子技术与信息处理技术的发展，特别是微电子学的发展，3 2 位处理器 已经广泛应用于军事、工业控制、与消费类电子领域。面向工业控制领域的3 2 位处理器大多具有丰富的片内外设资源、3 2 位数据总线和3 2 位地址空间，由该 处理器组成的系统可配置高容量的内存与永久存储器。同时3 2 位处理器大部分 都可以运行在上百岫z 以上，最新的嵌入式3 2 位处理器已经能运行在i g h z 以上， 这赋予了处理器丰富的计算能力。在此基础上，高速的数字信号处理器也广泛地 与用于各个领域，其特殊的硬件结构与独立的乘法器使计算量较大的数字信号处 理算法能够被实现。数字信号处理器的乘加( m a c ) 等指令使在通用处理器上需 要几十个机器周期的运算在一个机器周期完成。同时高精度、高速a d 器件广泛 运用于各种信号采集系统中，也已经成为非常成熟的技术，其采样频率可达数百 m s p s ( 兆次采样每秒) 。高速、高精度的信号采样与高速的信号处理技术，大容 量的存储器配置确保了基于小波变换的行波保护的装置的硬件实现。从软件上来 看，小波变换的快速算法已经成熟并广泛运用到如图像处理等领域，因此从软硬 件上都能满足基于小波变换的保护装置的条件。 5 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 我国的电网趋于大容量、高电压的方向发展，保护装置的误动和据动都会导 致巨大的经济损失，这对微机保护装置的设计提出了更高的要求，国家也对电力 系统继电保护行业制订了相关的标准。目前微机保护装置正朝着信息网络化、智 能化与输出信息多样化发展。对于较高端和较完善的保护装置，要求具有双网通 信能力( 如c a n 与以太网) ，以保证在某一网络有故障时能与其它设备交换数据， 为电力系统无人值守提供技术保障。近年来发展的新的信息处理理论如神经网 络、遗传算法、模糊控制、小波变换等为电力系统故障检测与诊断提供了新的有 效的途径，但这些较复杂算法的实现需要系统拥有丰富的硬件资源和较高的运算 能力，目前的以1 6 位处理器为核心的系统不能很好满足这些复杂算法的实现。 同时新型的保护装置往往要求有非常友善的人机界面，多种的方式的信息输出以 及故障信息的保存等功能。因此，新型的保护装置需要选择具有强大计算能力、 配置丰富的r a m 与f l a s h 、具有以太网络通信能力与配备高分辨率的l c d 的硬件 平台。 目前3 2 位a r m 体系结构已经成为一种事实上的标准。高端3 2 位c p u 价格的 不断下降和开发环境的成熟，促使3 2 位嵌入式处理器日益挤压原先由8 位微控 制器主导的应用空间。随着a r m 处理器在全球范围的流行，3 2 位的r i s c 嵌入式 处理器已经开始成为高中端嵌入式应用和设计的主流。把a r m 处理器应用在保护 装置上具有功耗小、处理速度快、硬件资源丰富、可靠性高的特点，尤其是a r m 体系结构的开放性使a r m 处理器核能与d s p 协处理器融为一体，这使得应用该处 理器的系统能以单处理器的结构完成多处理器的系统目标，同时又降低了成本， 提高了系统的可靠性。本系统就选用了采用a r m 9 2 0 t 处理器核并配置了d s p 协处 理器的c i r r u sl o g i c 公司的e p 9 3 1 5 。 1 4 论文的结构安排 本文第二章论述了当前小波理论的基本概念与小波变换在奇异信号处理中 的应用；第三章进行了高压直流输电系统模型的故障仿真，论述了输电线路行波 保护的原理，其中包括行波的概念与特点以及目前行波保护的分类与研究方向， 并详细讨论了高压直流输电的基于小波变换的极性比较式方向保护的理论与故 障检测仿真；第四章则提出了基于小波变换的保护装置的系统方案，讨论该保护 装置的硬件与软件设计，并针对于该保护装置的硬件平台完成了小波变换的算 法。 6 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 5 本章总结 本章从直流输电的历史与现状出发，说明了直流输电在电力系统中的重要性 以及其优越性。指出了基于工频量信息的保护的传统保护装置由于其动作速度 慢，易受过渡电阻、电流互感器饱和、系统震荡和长线分布电容等影响，已经不 能适应超高压长距离直流输电的要求了。从而引出了基于行波的直流输电线路保 护的必要性和当前面临的问题，并阐述了基于小波变换的行波保护的优越性，同 时简要分析了基于小波变换的保护装置实现的软硬件可行性。 7 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析方法 第二章小波分析方法嘲m 2 1 小波变换是由m o r l e t 于1 9 8 0 年在进行地质分析工作时候首创的，小波就是 最短最简单的振动。小波分析的基本思想是以一簇函数去表示和逼近信号和函 数，这一簇函数称为小波函数系，它是通过一个基本小波函数的不同尺度的平移 和伸缩构成的，小波函数系的特点足其时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上 都很集中。 2 1 一维连续小波变换 设( ，) l 2 ( r ) ，r ( r ) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间， 其傅立叶变换为妒细) ，当( 缈) 满足容许条件( 完全重构条件或恒等分辨条件) q = 上哮 。o ( 2 - 1 ) 时，我们称y ( r ) 为一个基本小波或母小波。 上式成立的必要条件是： y ) 乙- o = 去上l 【f ，( 咖p 一埘出l 。“= 去妒( r 弦= o ( 2 - 2 ) 上式表明y ( r ) 必为衰减的振荡波形，即少( f ) 必须有小波的波形，术语称作 “小波”。将小波母函数经过伸缩和平移后，就可以得到一个小波系列，对于 连续的情况，小波序列为： ( f ) ：k p ( ! 二皇) 口，be 足；口o ( 2 3 ) h a 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数，( f ) r ( r ) ，其连续小波变换为： 巧( 口，6 ) = ( ，虬，。) = “2 上，( f ) l l f ，洋矽( 2 - 4 ) 其重构公式( 逆变换) 为： 朋= 亏1 ，k rw r1 _ w 弘 c ，单础 伊5 ) 由于母小波缈( f ) 生成的小波( f ) 在小波变换中对被分析的信号起着观测 窗的作用，所以沙( f ) 还应该满足一般函数的约束条件； ) 印 。o ( 2 - 6 ) 故( ) 是一个连续函数。 中南大学硕士学伊论文第二章小波分析方法 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小 波y ( ，) 的傅立叶变换满足下面的稳定条件： a p ( 2 “) 1 2s 曰 ( 2 7 ) 式中0 a b 。 设函数形l 2 ( r ) ，且，彤r ( 胄) ，定义单窗函数w ( t ) 在时频空间里的中 心( t o ，) 为： 其中，4 盯= i 川) 1 2 d t ； 岛- ，d 卜。汗籀 浯。， 2 m 训2 形f i l 2 “ 2 = 五1 脚) 1 2 如。 t o 和m 。相当于物体的重心，在这里可以理解为在时域里信息的中心和频域里 信息的中心。定义单窗函数在时频空间中的时宽q ，和频宽吒为： 铲 j ( t - t j 俐魂蟛 吒= 去工( 珊训2 陬训 ( 2 - 9 ) 时频空间以( t o ，) 为中心，以2 q 和2 吒为边长的矩形称为时频窗口( 或分 l 一 辨率窗口) 。帆。( f ) 以( 6 ，1 - w o ) 为中心，确定了一个形状为矩形的时窗和频窗宽分 一 口 别为2 崛和2 丘的时频窗口 b - 孵，6 + q 】【垃一生，兰堕+ & 】。 口a口4口 其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上 的位置，也影响窗口的形状。这样小波对不同的频率在时域的取样步长是调节性 的，即在低频时候小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时候 小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢， 而高频信号变化迅速的特点。这就是它优于经典的傅立叶变换的地方。 如果小波函数( f ) 的时窗宽度是，经傅立叶变换后谱妒( 口) 的频率宽度为 一 国。则( 口f ) 的时窗宽度为a f ，其谱矿( 鲫) 的频谱宽度为兰竺。因此，小波变 a 换对低频信号( a 相对较小) 在频域中有很好的分辨率，而对高频信号( a 相对较大) 在时域里有很好的分辨率。如果变动a 和b ，则可以得到一族小波函数。将待分 析信号f ( t ) 按该函数族分解，则根据展开系数就可以知道f ( t ) 在某一局部时自j 内位于某局部频段的信号成分有多少，从而可以实现可调窗口的时、频局部分析。 9 中南大学硕士学位论文第一二章小波分析方法 连续小波变换具有线性性、平移不变性、伸缩共变性、自相似性和冗余性等 重要性质。 2 2 一维离散小波变换 在实际运用中，尤其在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有 必要讨论连续小波( f ) 和连续小波变换盯( 口，6 ) 的离散化。需要强调指出的是， 这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续的平移参数b 的，而不是针对时间 变量t 的。这点和我们以前习惯的时自j 离散化不同。 在连续小波中我们考虑下式： o ) 2 南叭t - 4 b ) a , b r ；a o ( 2 。o ) 为方便起见，在离散化中总是限制a 只取正值，这样允许条件就变为 q = 午 ( 2 _ 1 1 ) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取 作a = a o 。，b = ，这里，z ，扩展步长a o 1 是固定值。所以对应的 离散小波函数缈m 即可写作： 蚧 ( 归西胙妒( 笔势= 蝣胙 c ( a g s t - 肠0 ) ( 2 - 1 2 ) 而离散化小波变换系数则可表示为： c 矿己f o 厩丽忙0 ，l f ，j 心( 2 - 1 3 ) 其重构公式为： 巾) = c q j ( r ) ( 2 1 4 ) 其中c 是一个与信号无关的常数。 2 3 二进制小波变换 以上是尺度参数a 和平移参数b 进行离散化的要求，为了使小波变换具有可 变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，显然需要改变a 和b 的大小，以使小波具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采 样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即d o = 2 ，6 0 = 1 ，每个网格点对应 的尺度为2 ，丽平移为2 k 。由此得到的小波 m ( f ) = 2 - i n 妒( 2 9 ，一| ) ，k z ( 2 1 5 ) 1 0 中南大学硕十学位论文第二章小波分析方法 称为二进小波。 函数序列 ，( | j ) 眦叫做f 的二进制小波变换，其中 阡八七) = ( 厂( r ) ，( i ) ) = 2 吖工厂( r ) 妒( 2 1 t - k ) d t ( 2 1 6 ) 上式相应的逆变换为 ( f ) = f ( d 胎) = 慨厂( 七) 妒：，( 2 1 t - k ) d k ( 2 1 7 ) i e zj 毫z 二进制小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一个放大倍数2 - j ，它对 应的为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观测信号更小的细节，就需要增 加放大倍数，即减小j 值；反之，如果要想了解信号更粗的内容，则可以减小放 大倍数，即加大j 值。在这个意义上，小波变换被称为。数学显微镜”。 2 4 小波变换的理论框架多分辨分析 s m a l l a t 和y m e y e 于1 9 8 6 年提出了多分辨率分析( m r a ) 的概念，从空 间的角度说明了小波的多分辨率特性。将在此之前的所有正交小波基的构造法统 一起来，使小波理论产生突破性进展。同时，s m a l l a t 在多分辨率的基础上给 出了快速二进小波变换算法，称为u a l l a t 算法，这一算法在小波分析中的地位 相当重要，相当于快速傅立叶算法( f f t ) 在经典傅立叶分析中的地位。 以一个三层的多分辨率分析为例，其小波分解树如下图2 一l 所示： 图2 - 1 三层多分辨分析原理图 从图2 一l 中可以看出，多分辨率分析只是对低频部分进行一部分分解，而高 频部分则不予考虑。分解具有关系；f j = f 一+ d ，。+ d 。+ d 。如果要进行下一步分解， 则可以把低频部分f 。分解成低频部分f 一和高频部分d 一以此类推。多分辨率 的低频部分也称作“逼近”( a p p r o x i m a t i o n ) ，高频部分也称作“细节”( d e t a i l ) 。 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析方法 空间f ( r ) 中的多分辨率分析是指l 2 ( r ) 中满足如下条件的一个空间序列 巧 。： ( 1 ) 单调性；一c - 一+ i ，z ； ( 2 ) 渐进完全性：u 一r ( r ) ，n _ = ( 0 ) ； ( 3 ) 伸缩性：对任意，z ，( x ) 巧，贝l j f ( 2 x ) 一“； ( 4 ) 平移不变性：厂( 功一，则f ( x - 2 七) 一，k z ； ( 5 ) 里兹( r i e s z ) 基存在性：存在函数g ( x ) ，使得 g ( x - k ) , k 6 z 构成的 里兹基，即对于任意的矿( x ) ，存在唯一的序列qe 1 2 ，使得 矿( 算) = q g ( x 一后) 。 设巧表示图2 1 中分解的低频部分，表示分解的高频部分，则是_ 在 + 。中的正交补，即 一o = _ “ ，z ( 2 - 1 8 ) 显然 巧o o + - o o + ，一= 巧+ 。 ( 2 一1 9 ) 则多分辨率的子空间可以用有限个子空间来逼近，即有 = 一1 0 一i _ = k o w l o o “o 一i ( 2 - 2 0 ) 若令，一代表分辨率为2 的函数的厂l 2 ( r ) 逼近( 即函数f 的低频部 分) ，而d 代表逼近的误差( 即函数的细节或高频部分) ，则上式意味着： ，= - i + d - i = = z + 一+ 以+ d n l ，注意到厂= ，所以上式可以 简写为： - 1 f = z + d 且 z ( 曲= 4 一- ( x ) + 乃一( 曲 ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 这表明，任何函数厂r ( 月) 都可以根据分辨率为2 ”时候的低频部分( 逼近) 和分辨率为2 7 ( 1 _ ， ) 下f 的高频部分( 细节) 完全重构，这恰好是m a l l a t 塔式重构算法( p y r a m i d a la l g o r i t h m ) 的思想。 2 5 小波变换的实现技术埘a ila t 算法 尺度函数矿( 曲和二进制正交小波函数y ( x ) 的两尺度关系为： 中南大学硕七学位论文 第二章小波分析方法 ( 力= p ( 2 x - n ) ：(2-23) 矿( x ) = 吼妒( 2 x 一 ) 及妒协) 和妒( x ) 的分解关系 妒( 2 x 一，) = q 一2 。妒( 工一捍) + 岛。矿( 工一月) ) l = 0 ，l ，垃， ( 2 2 4 ) 由以上关系得到小波分解的快速算法： 初值：= 工 f 。1 = 口，：一 协：奴：。c 心呓5 输出：c ”“、d j ( n m _ ，功。 其中n 是被分析信号f ( x ) 的信号分解水平，五为被分析信号，( 戈) 的离散采 样值，刷分别为f 在j 层水平上的小波低频系数和高频系数，a n ，屯分别 为低频、高频分解系列。吒，吃由尺度函数妒( 工) 和小波函数 f ，( x ) 决定。 假设进行m ( o m s ) 层分解，小波分解过程见图2 2 ，其中上表示1 2 抽样，表示从到- 1 和。1 样点数减小一半。 图2 - 2 小波分解 小波重构的快速算法是： = 臣- 2 1 c f - i + 砧封矿 ( 2 2 6 ) ， 其中民嘞，吒分别为低频，高频重构序列。a n 、屯由尺度函数夕( 功和正交 小波函数( x ) 决定。通过迭带运算可求出0 ，即小波重构信号。t 表示内插， 即由4 和d l - 1 到样点数增加一倍。 小波重构过程见图2 3 ： 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析方法 图2 - 3 小波重构 对于多分辨率分析分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近r ( r ) 空日j 的标准正交基，这些频率分辨率不同的标准正交小波基相当于带宽各异的带 通滤波器。 2 6 信号奇异性检测的小波变换模极大值理论2 目 目前，利用小波分析的方法进行数字信号处理方兴未艾。行波信号是电力系 统故障以后产生的，包含有丰富的故障信息，利用小波分析的强大功能，可以提 炼出行波信号中所包含的各种故障信息，构造出不同的保护，如行波距离保护和 行波方向保护。小波的奇异性检测理论主要是用来检测行波信号的奇异性，以达 到检测出行波波头的到来和己经到来的行波波头的极性等信息，然后应用到保护 中。 2 6 1 小波变换奇异性检测理论 一个突变的信号在其突变点必然是奇异的。线路在故障以后的行波信号中包 含着丰富的故障信息。故障后在保护装置检测点检测到的行波初始波头、故障点 反射波以及对端母线的反射波，对应着行波信号的突变点，具有很大的奇异性。 这些行波信号的突变点对应着故障发生的地点、时刻，以及电压电流的极性等重 要信息。理论与实践证明：小波变换的模极大值与信号的突变点是一一对应的。 因此，为从故障后的行波信号中得到重要的故障信息，可以转化为对信号的小波 变换后的模极大值的检测。 设口( f ) 是某一起平滑作用的低通滤波函数，且满足条件ro ( t ) = l ， l i r a o ( t ) = 0 ，假设口( r ) 是二次可导的，且定义妒1 ( f ) 、矿2 ( ，) 分别为口( f ) 的一阶 t l - - - h a 和二阶导数：m ( r ) ：皇掣，缈【2 ( f ) ；d 2 五0 ( 一t ) 。当函数m ( f ) 、y ( 2 1 ( f ) 满足小波 檬f口r 容许条件： m ( t ) d t = 0 ， 缈2 ( f ) 西= 0 时。y m ( f ) ，y ( 2 ( f ) 便可以作为小 1 4 中南大学硕+ 学付论文第一二章小波分析方法 波母函数。则函数( r ) 对应于这两个小波母函数在尺度为a ，位置为t 处的小 波变换分别为： 嘭”( f ) = ，( f ) = 吉( 砂o ) l - - 二) l 如( 2 - 2 7 ) 叨2 ，( f ) = ，泞( f ) = 三亡，( f ) y 埘( 生) d f ( 2 2 8 ) 将妒1 1 ( f ) ，缈2 ( ，) 的定义代入上面两式可得： w 一：m t ) = ，( 口d 讲o x f ) = 口i du 吃) ( f ) ( 2 2 9 ) 咿托) = 纠口2 争x f ) = 口2 孑d 2u 唧 ( 2 - 3 0 ) 由于厂眈可以看成是由低通平滑函数p ( f ) 在尺度a 下对函数，o ) 平滑的结 果，小波变换嘭1 厂( f ) 与叼2 厂( f ) 分别是函数八f ) 在尺度a 下由口( f ) 平滑后再取 一阶与二阶导数。图2 - 4 是函数厂( f ) 及其在小波基缈1 ( r ) 、2 ( f ) 下的小波变换 的结果。 图2 - 4 函数的平滑与函数平滑后一阶二阶导数结果 由上图分析可知，信号的突变点同时对应着以平滑函数o ( t ) 的一阶导数与二 阶导数为小波基的小波变换后的模极大值与过零点，即l 叨”厂o ) i 的极大值点与 i 彬”，( f ) i 的过零点。因而可以得出这样的结论，通过对l 吃”厂( ，) l 极大值的检测与 l 彬2 i f ( t ) i 过零点的检测都可以实现对信号的突变点的检测。但是，通常我们都利 用对l 彬”厂( f ) l 极大值的检测来实现对信号突变的检测，这是因为函数厂眈的拐 点既对应它的一阶导数模的极大值点，又对应二阶导数极小值点，而l 配2 i f ( t ) i 的 极小值点( 4 ) 对应于变化最慢的点的位置，所以单凭检测二阶导数的过零点是不 能区别出是信号的突变点还是缓变点；同时还有一个原因就是过零点只能给出拐 点的位置信息，而不能给出变化点变化的快慢信息。总之，局部极大值容易确定 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析方法 该点一定对应信号的快变化点( 一般为突变点) ，另外，可以通过记录模极大值点 在各个尺度上的取值来推断出拐点处的导数值，进而得到信号变化快慢的导数 值。 理论上讲，尺度越小，平滑函数口( r ) 的平滑区域就越小，小波系数模极大值 点与突变点位置的对应就越准确。但是，在小尺度下小波系数受噪声的影响非常 大，产生许多伪极值点，只凭一个尺度不能定位突变点的位置。相反，在大尺度 下，对噪声进行了一定的平滑，极值点相对稳定，但是由于平滑作用使定位的准 确性受到影响，同时，只有在适当的尺度下各突变点引起的小波变换才能避免交 叠干扰。因此在用小波变换模极大值法判断信号突变点时，有时需要将多尺度结 合起来综合观察，得出最满意的结论。 2 6 2 信号局部奇异性的小波表示 信号的奇异性可以用l i p i s c h i t z 指数口来描述的。所谓l i p i s c h i t z 指数口 就是指：对于函数f ( x ) ，如果在点，当且仅当存在常数k ，使得函数f ( x ) 对 于的邻域内满足l 厂( 力一f ( x o ) l - 1 ，函数f ( x ) 没有奇异性：如果函数f ( x ) 在点不连续，但是其值有限， 则0 工l ；若函数f ( x ) 在是间断的，则口= o ；同时对于脉冲函数万来说，口 = - 1 ；类似于占函数的噪声干扰口 0 ，因此 其模极大值随变换尺度的增大逐渐增大，有利于更明显地突出行波特征；而对于 噪声，其l i p i s c h i t z 指数口 o ，因此其模极大值随变换尺度的增大迅速减小， 有利于抑制噪声，从而达到消噪的目的。 2 7 小波的选取 一般而言，只要满足容许性条件的函数就可做母小波。母小波经尺度伸缩和 位置平移，得到一系列与母小波形状十分相似的小波。小波变换实质上就是测量 放分析信号与这一系列小波的“相似性”。因此，选用不同的母小波以及尺度来 分析同一信号，其结果可能大不一样。为了取得最佳的小波分析效果，针对具体 应用领域来选择合适的母小波和合适的尺度是非常重要的。 2 7 1 小波基的选取 小波变换与傅氏变换只有一种函数或变换核不同，它不具有单一性，理论上 有无限多种小波基或变换核，可以满足各