（电磁场与微波技术专业论文）微带结构时域green函数和自由空间频域多分辨方法研究.pdf

摘要 本论文分上篇和下篇，上篇系统研究了微带结构的时域g r e e n 函数，下篇 研究了自由空间频域多分辨方法。具体研究内容和结果如下： ( 1 ) 利用实镜像理论，将微带问题等效成包括实际源和它的镜像的均匀介质 问题，利用f o u r i e r 变换得到非电大尺寸微带结构的时域g r e e n 函数的解析解， 从而得到这种近似时域g r e e n 函数下的时域电场积分方程。 ( 2 ) 基于全波离散镜像理论和快速f o u r i e r 变换得到了微带结构的时域全波 g r e e n 函数。艚先将复镜像的贡献表示成几何光学级数，其系数采用m a t r i x p e n c i l 方法展成复指数级数。由于这个复指数级数的复系数与频率无关，g r e e n 函数 复镜像的贡献可利用快速f o u r i e r 变换较易地转换到时域，而实镜像的贡献可 解析的转换到时域。与c a g n i a r d - d eh o o p 方法相比，c p u 的时间可以节省两个 数量级。 ( 3 ) 利用c a g n i a r d d eh o o p 方法严格的求出微带结构的时域g r e e n 函数，得 到头波、直接波的时域表达式。 ( 4 ) 建立了隐含格式下一般情形的时域电场积分方程。并分析了几种微带结 构的表面电流分布。 ( ( 5 ) 分析了共轭梯度迭代作为多重网格中松弛因子的缺点，利用代数多重网 格的原理，将块g a u s ss e i d e l 迭代作为松弛因子得到理想的分机电磁场问题的 多重网格快速方法。同时充分利用快速多极予和多重网格方法的优点提出了多 重网格快速多极子方法。) ， 关键浏：时域g r e e n 函数，令波离散镜像理论，快速f o u r i e r 变换，c a g n i a r d d eh o o p 方法，快速多极- i ，g 蕈1 硼懈方法。 a b s t r a c t t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w op a n s1 1 1 p a r to n e w es y s t e m a t i c a l l y d e v e l o pt h et i m ed o m a i ng r e e n sf u n c t i o nf o rm i c r o s t r i ps t r u c t u r e s l np a r tt w o w e c o n s i d e ram u l t i r e s o l u t i o nf a s ts o l v e ri nf r e q u e n c yd o m a i n s i g n i f i c a n tr e s u l t so ft h e w o r ki n c l u d e ： ( 1 ) b a s e do nt h er e a l i m a g et h e o r y m i c r o s t r i ps t r u c t u r ep r o b l e mc a nb et r e a t e d a sa h o m o g e n e o u sm e d u mp r o b l e mb yi n v o l v i n gt h eo r i g i n a ls o u r c e sa n dt h e i ri m a g e s o u r c e s t h ea p p r o x i m a t et i m ed o m a i ng r e e n sf u n c t i o nf o rm i c r o s t r i ps t r u c t u r e s w i t h e l e c t r i c a l l y t h i nd i e l e c t r i cs u b s t r a t ec a nb e a n a l y t i c a l l y o b t a i n e db yu s i n g f o u r i e rt r a n s f o r mi d e n t i t i e s e l e c t r i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o ni st h e nf o r m u l a t e db y a p p l y i n gt h i sa p p r o x i m a t e t i m ed o m a i ng r e e n sf u n c t i o n ( 2 )at i m ed o m a i nf u l lw a v eg r e e n sf u n c t i o ni so b t a i n e db yu s i n gt h ef u i lw a v e d i s c r e t e i m a g et h e o r ya n d f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m t h ec o n t r i b u t i o no fc o m p l e x i m a g e s i s e x p r e s s e d a sag e o m e t r i co p t i c s s e r i e s u s i n g m a t r i x p e n c i l m e t h o d ， c o e f f i c i e n t so ft h eg e o m e t r i cs e r i e sa r ec o n v e r t e dt oe x p o n e n t i a ls e r i e s c o e m c i e n t s a n d p o w e r s o ft h e s e e x p o n e n t i a l s e r i e sa r e f r e q u e n c yi n d e p e n d e n t t h u s ，t h e c o n t r i b u t i o no fc o m p l e xi m a g e si se a s i l yc o n v e r t e dt ot i m ed o m a i nv i af f t w h i l e t h ec o n t r i b u t i o no f r e a l i m a g e si sc o n v e r t e dt ot i m ed o m a i na n a l y t i c a l l y c o m p a r e d t ot h ec a g n i a r d - d eh o o pm e t h o d ，a b o u tt w oo r d e ro f m a g n i t u d e i nc p ut i m ec a nb e s a v e d ( 3 ) g r e e n sf u n c t i o nf o rm i c r o s t r i ps t r u c t u r e si sr i g o r o u s l yo b t a i n e db yu s i n gt h e c a g n i a r d d eh o o pm e t h o d t h i sm e t h o di st i m ec o n s u m i n g ，b u ti t c a nb eu s e dt o c h e c ka c c u r a c yo f o t h e rm e t h o d s ( 4 )e l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o no fn e wv e r s i o no fi sc o n s t r u c t e df o rm i c r o s t r i p s t r u c t u r e su s i n gt h eg r e e n sf u n c t i o nd e v e l o p e di n ( 2 ) ( 5 ) c o n j u g a t eg r a d i e n t i t e r a t i o ni sn o tag o o dr e l a x a t i o nf a c t o rf o r m u l t i g r i d a l g o r i t h m s a sa na l t e r n a t i v e b l o c kg a u s s s e i d e l i t e r a t i o ni ss e l e c t e dt ob et h e r e l a x a t i o nf a c t o r ，a n da ni d e a lf a s tm u l t i g r i ds o l v e rf o ra n a l y z i n ge l e c t r o m a g n e t i c p r o b l e m si sp r o p o s e db yu s i n ga l g e b r a i cm u l t i g r i dc o n c e p t s t a k i n ga d v a n t a g e so r t h ef a s t m u l t i p o l em e t h o d a n dm u l t i g r i dm e t h o d ，w e p r o p o s e t h e m u l t i g r i d f a s t m u l t i p o l em e t h o d k e yw o r d s ：t i m ed o m a i ng r e e n sf u n c t i o n f u l l w a v ed i s c r e t ei m a g e f h e o r y f a s tf o u r i e rt r a n f o r m ，f a s tm u l t i p o l em e t h o d m u l t i g r i d 上篇：微带结构时域g r e e n 函数 引言 近来，微带电路、微带天线、以及窄脉冲辐射和散射问题的时域分析越 来越引起人们的关注。其应用包括窄脉冲雷达目标识别，宽频带数字传输系统 9 1 - 1 2 】，非正弦天线激励 1 3 】，线阵波束形成【1 4 】等。 对于这些应用，微带元件和平面电路由于其重量轻及可集成性高的特 点，作为基本元器件用于微波、毫米波集成电路。特别是当激励信号为几个皮 秒量级的脉冲时，所产生的电磁场具有很宽的频谱。此时，准确计算所有频率 下电磁场分布变的非常重要，因为瞬态场的分布可用于降低平面结构直耦的分 析。另外，瞬态波的特性无论在电磁学，还是在声学，弹性动力学以及地球物 理学的研究中都具有很重要的意义。 瞬态波的数值分析方法有两类，一类是基于微分方程，。一类是基f 积分 方程。基于微分方程的数值方法主要有时域有限差分法( f d t d ) f 15 1 ( 2 3 1 和 时域有限元方法 2 4 。这些微分方程方法求解散射和辐射问题时，需要用吸收 边界 1 9 】_ 2 2 】对求解域进行截断。如果是三维散射或辐射问题，则需要对求解 域进行三维离散，若散射体较大时，其未知量的个数往往会大得惊人，并需要 处理网格色散误差问题。基于积分方程的数值方法主要是时问步进方法 ( m o t ) 2 5 】。对于处理散射和辐射问题，时域积分方程有以f 几个优点： ( 1 ) 只需离散散射体表而，( 2 ) 方程已隐含辐射边界条件，( 3 ) 没有网格 也f 3 = 5 ( 以砟。 过去，时域积分疗程已成功用下分析导体农面和介质表m 均敞刖和 b 1 州i ；d 题1 2 5 一1 3 3 。时域积分方程方法如m o t 用丁解k i r c h h o f f 积分方程及其法向导 数可追溯到1 9 6 2 年【3 4 】，但其有以f 两个非常重要的缺陷阻僻他的j “泛应_ | = f j 。 。个足，几乎所有传统的显式意义j ：的m o t 方法具订厉j c f j 不稳定一f ：1 1 3 5 1 【4 7 】。近来的研究表明，这种不稳定性呵采用隐式格式【3 1 】，胁后甲均【4 2 】，或 更加准确的表面模拟得到较稳定的结果，州时采用较为光滑的时删基函数，也 可得到比较满意的结果 5 0 。另外，时域函数表示成指数函数的展丌式，可减 少这利t 后期不稳定性【5 1 。或者利用m o t 方法得到的早期瞬态响应和频域方 法得到的低频信息外推得到时域的后期响应 5 2 1 。 m o t 的另一个缺陷是：采用时间步进法分析，与微分方程方法相比，计 算量较大。然而，近几年来，随着快速多极子( f a s tm u l t i p l em e t h o df f m m ) ) 5 3 1 一 5 4 】的出现，并在频域电磁场计算中得到广泛的应用 5 5 1 一 6 0 。其思想是 将g r e e n 函数表示成平面波的叠加，从而减少距阵向罱乘积的计算晕。e r i c m i c h i e l s s e n 研究组将频域快速多极子方法的思想推广到时域，得到时域平面波 方法( p l a n ew a v et i m ed o m a i n ) 6 1 6 2 】，随后，利用多分辨技巧，得到两层 时域平面波方法( t w o l e v e lp l a n ew a v et i m e d o m a i n ) 【6 3 。另外，采用快速 f o u r i e r 变换也可提高时域积分方程方法的运算速度 6 4 1 。 不幸的是，所有上述时域数值方法上的发展都仅仅适用于自由空间的问 题，而不适用于微带结构。为了分析使用时域积分方程分析微带结构，需要求 出分层结构的时域g r e e n 函数。 在时域g r e e n 函数这方面，k i n i k o s k i n e n 利用精确镜像理论 6 5 1 一 7 1 1 将半空州的谱域g r e e n 函数转变成只有一个简单积分的空域g r e e n 函数，再通 过f o u r i e r 变换和”一些有关特殊函数的恒等式得到半空间时域g r e e n 函数的解 析形式 7 2 7 6 1 。其思想是，山精确镜像法的理论可知，m 介质面所散射的场可 以看成烃准物理的镜像源产，l 三许| _ _ l + 这个镜像源与场点无关。冈此h 得到 这个镜像源，场的计算就i 琢侄自山窄问一样，山源及其镜像所产生的场的叠 加得到。山于h , i 谐问题的镜像电流是类似一维传输线反射系数的逆l a p l a c e 变 换，因丽，用f o u r i e r 变换从频域变到时域所产生的时域函数可以用类似维 传输线反射系数来表示。这种方法比较简单的原因是那些频域中镜像电流在实 际中无须计算。利用全波离散镜像理论 7 7 1 一 8 5 】和快速f o u r i e r 变换 队述n j 求得半空阳j 的时域g r e e n 函数1 8 6 。方法是从谱域半空间g r e e n 函数巾提取准 静项，将其余部分表示成幂级数的形式，由于这个幂级数的系数与频率无关， 快速f o u r i e r 变换可更加容易实施。而时域准静项部分可通过s o m m e r f e l d 积分 公式和有关d e l t a 函数的恒等式解析的求出。 对于微带结构的情形，从谱域解出发，通过等效原理和镜像理论得到空域 的远场近似【8 7 _ 8 9 1 ，作f o u r i e r 变换即得到时域的远场。但这种方法只能用束 分析微带所辐射的远场，而且必须要知道微带上的表面电流分布。有关微带结 构的时域g r e e n 函数，我们还没有见到有结果发表。a e z z e d d i n ee ta l 9 0 n 用 特殊函数的大宗量近似和积分的鞍点法的两层介质上垂直电偶极子所辐射的时 域场的分布。本篇系统的研究了微带结构的时域g r e e n 函数。主要内容有： 第。一章：利用实镜像理论，将微带问题看成源和这些镜像源在均匀介质 中的辐射问题，得到对于非电大尺寸的微带结构的时域g r e e n 函数的解析解。 第二章：将微带结构处理为无限个半空间接结构的叠加，从而可以将【8 6 】 中的思想应用到微带结构，得到微带结构的全波时域g r e e n 函数。在我们方法 中，因为所有频率下的空域g r e e n 函数可一次求出其解析表达式，利用快速 f o u r i e r 变换转变到时域，从而大大减少求时域g r e e n 函数的c p u 时间。 第三章：利用c a g n i a r dd e h o o p 方法严格的求出微带结构的时域g r e e n 函 数，得到头波、直接波的时域表达式。 第四章：推导了一般情形的时域电场积分方程，采用矢量三角元进行离 散。分析了几种微带结构的表面电流分缔。 第1 章 微带结构的近似时域g r e e n 函数 在频域中，将静态电荷镜像理论的窄域g r e e n 函数【9 1 1 摊。剑准动态的 情n 9 2 1 一 9 3 ， 得到准动念的空域g r e e n 函数，这个g r e e n 函数在频率小是 很高的情况下得到了准确的结果。作为微带结构时域g r e e n 函数的尝试，基于 这种准动态镜像理论，我们得到微带结构的近似时域g r e e n 函数。数值结果说 叫这种时域g r e e n 函数是有效的。 1 1 时域g r e e n 函数 假设一个x 方向的单位电偶极子位于相对介电常数为，厚度为d 的介质板的 ： ；f ，；! l 划i1 微带结构 微带结构i ：( 如i 划1 i 所示) 频域小宅域g r e e n 函数的准静项为【9 2 | - 1 9 3 】 a 、l l r e q = 舞c 譬一坐1 1 1 i ， g 删旷去c 字+ k 了e - i k 1 ；, , + ”! = p2 + ( z + z + 2 d ) 2 ， _ ：石函j ：瓦矿， r i _ ”= 户2 + ( z + z ) ! p = 、厅j f 瓦而r ( 1 1 ) ( 1 2 ) k = ( 1 一s ，) ( 1 + ，) 其中r = ( x ，y ，z ) 是场点，r = ( x ，y 1 ，z 。) 是源点，k ，。和。分别为自由空 间的波数，介电常数和导磁率。方程( 1 1 ) 对应于电流元产生的相应于磁矢位的 f a r a d a y 场，方程( 1 2 ) 对应于c o l u m b 场。静念时，没有电场产生，根据b i o t s a v a r t 定律，由电流元j 及其金属底板的镜像电流元一j 产生的磁场与介质衬 底无关。当电流慢慢震荡时，产生了两部分的场。第一部分是根据f a r a d a y 定 律，山变化的磁场所产生的电场( f a r a d a y 场) 。由于f a r a d a y 定律与介电常 数无关，这部分电场分布同样与介质衬底无关。这就意味着这部分电场只是山 电流元j 和镜像电流元一j 产生，因此方程( 1 ) 中只有两项。第二部分是由电 荷产生的电场( c o l u m b 场) 。这部分场受介质衬底影响，为了满足介质表面 的边界条件，需要引入一系列的电荷镜像。 对方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 采用f o u r i e r 变换，得到微带结构时域准动态g r e e n 函数： g 温。广上2 r e + ：陋4 r c ( 生r o 一字州 = 五i + _ ”f , t l 孑o ( e1 , , 1 1 - _ 1 i c i o l t r l ) 类似可得 j ( 卜笪1 c 、 ( 1 3 ) 1 占( ，- 鱼)j ( 卜芷) 。 一( ，_ 量) g 叫m ”2 去_ 产“1 产+ 善”1 ( 一1 _ ) ( 】4 ) 其巾r 是自由空问的光速 方程( 1 3 ) 一( 1 4 ) 可以看成是微带结构时域( 扎e n 函数的低频近似，它适用f 介质衬底较薄的微带结构。 1 2 时域电场积分方程 为了建立微带结构的时域积分方程，假设由入射电场e ( r ，) 在微带表面s 上所感应的表面电流为s ( r ，) ，则由表面电流j ( r ，) 所辐射的散射场e 5 ( r ，f ) 为 蹦r f ) 一鲁a ( r f ) 一勋( r ，f ) ( 1 5 ) 其中磁矢量位a ( r ，f ) 和标量位巾( r ，f ) 可表示为： 蛳，归鲁c 竿一字川，悯 ：等j c 半一 c 州，= 去f t 竿+ k 彳a ( t - t o ) + 扩怄二 p 6 ( i 6 ) 马l 竺 丝锄 孕 ：lfr 4 船o 、 d ( 一，f t o )盯( r t ，f 一芷) 上+ k 羔一 。d ( r t ，卜量) + 善”憾2 。) 彳渺 ( 1 7 ) 其中“木，表示对于时问卷积。 根据会属微带表面切向电场的边界条件得到： 疗e ( r ，) = 一疗【e ( r ，) + e ( r ，) 】在s 上 ( 1 8 ) 其中e7 ( r ，) 表示出微带结构( 图1 1 ) 没有微带时的反射场。为了得到e7 ( r ，) 的 时域表达式，我们首先在频域中写出其表达式。在频域中， e ( r ，国) = 越：( r ，甜) + 卉i f i ( r ，c o ) 其中n 表示横单位矢量，e ( r ，) 是横向电场。 则没有微带时，介质衬底和余属底板的反射场为 e ( r ，c u ) = 三月7 m e ：( r ，o j ) + 五i r 臻e i ( r ，c o ) 其中 群= 老鲁占r 七= o + 七= l刷7 7 f = 生k , o 选+ k ：t ， 当频率较低时， 只第z 爿：一k ，r 孑。o ， o 。+ l 从而， r ”一e 一2 k ，1 “篙+ 芝烈州扩n 一， ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 篱篱 e ( r ，国) = 童( 一c 一从“7 ) ：( r ，) + 卉i ( 一k + k “【1 k2 ) c 一肚一7 ) 。( r ，甜) 1 i 失一般性，似i 5 2 入射场的入射方向为z 方向时 e r ( r ，c o ) = f ( - e - 1 2 k i ) ：( r ，m ) + 五1 ( - k + k “( 1 一k 2 ) c h “7 ) e _ l ( r ，o j ) 令e ( r ，t ) = f 。( e ( r ，) ) ，由f o u r i e r 变换的平移公式得到 e r ( r ，f ) ：j e ：( r ，一型) + 二1 一k e ( r ，) + 妻k 一( 1 一kz ) e 。( r ，生二二型) i c i l 忑 f l j f 1 1 1 ) 其中r ：瓜j 丁瓦i 万百而 根据i 乜荷密度与电流密度的关系式( 电荷连续方程) 了。盯( r ，) + v j ( r ，f ) = 0( 1 1 2 ) 甜 由式( 1 5 ) 一( 1 1 2 ) 即可得到关于f 乜流密度的时域电场积分方程： e ： f ) + 刚r f ) ) = l 4 t 疗oa ，0 2 ：! f ( j v 4 z c o j ( r i ，t t o ) c v j ( r ，f 一卫)v j ( r ，f 一：! 一) pr + k c j ( r ，卜叠) 一了上) 布- 分k “心- 1 ) 半，吐 + ”。( k 2 _ 上) 拇l ，t j i l ( 1 1 3 ) j 二述方程可通过对电流离散和方程离散求得微带表面s 的电流分佰j ( r ，) 。 1 3 时域电场积分方程的离散 ， 为了得到电流分布，必须对电流s ( r ，f ) 和积分方程进行离散，在空i 砌上，我们 采用r g w 矢量三角基函数 2 5 ( 图1 2 ) ： 驴) = 奇站 寿砾 f l + f r 一 6 ， o t h e r w i s e ( 1 1 4 ) 式( 1 1 4 ) q b ，。为第n 条边的边长，如图( 1 2 ) 所示，与n 条边有关的两个三角形 为矸和l i ，群和a , 7 分别为矸和玎的面积。卢：是以矸顶点为始点矸中的矢 量，磊是以t , 7 顶点为终点巧中的矢量。在时间域上，通常采用三角基函数： l 生 1 2 欠龄二角元基函数 即叱掣，：篡+ 其中a t $ a n q i 自1 步，t ，= a t 。由于这个基函数的时问导数不连续，时域积分方 程的时间步进法( m a r c h i n go ni nt i m e ) 极易发敞【2 5 。 5 0 p _ ，采用一一个更为光滑 的基函数： l ( ) ：t 卜c o s - ( 三掣) ，。娜，+ 7 ( ) =o i 矿) ，川引7 ，+ 1 0 其它 ( 11 5 ) 很显然，这个硅函数具有连续导数，在应垌叶1 它得剑了较耻想f l j 数值l 果 这样微带表面s 上的电流分布可表示为： j ( r ，) = ，。f ( r ) ( f ) f i 1 6 ) 其中n 是连接两三角形的公共边的个数。系数，。，代表f ，时刻第n 条边的法阳 电流密度的值。 山式( 1 1 6 ) ，得到第i n 条边的矢量位： 归卷墨弘n ，j c 毪竽一毪攀网 其巾r 。= 卜r i ，r 。= 厄= 雨， l ：，一生， c r 一，r ”，1 一l 一 c 采用文献 2 5 中类似的近似 k ：e 一譬。t 一孚：j k i - r 。：_ c c l 广卜孕一譬1 ：扛j 丽 ( 1t s ) c c 。 从而，在，= 1 时刻，矢量位为 = 笔墨缸，( ，叮等舭“。，挚 主壹k ( 。) 。一吖。) 。) ， ( 1 2 0 ) 一，l i i l k 2 笔挚， 。，：，坠， c 类似可得 其中 k 广尝j 挚 。，：，一生 f m ( 咭f ，) = 窆羔，。，p ，( r ：加、，) 中j 们+ kt ，( r h ) 巾t ：o 一n = i 屯。：t j 一坠 c + 薹k k - i ( k 2 _ i ) t ( - z j 叫 z ， 女t fi 一：，一堕， c 屯j ：t j 坠 c 凡：m = 盼1 l = 厄再i 汀瓦历爵j 了 凡盏= i r , i l + l = 厄f 丽碡万i 砑 r f 【，= ( x ，y 等，z ) ，r t = ( x ，y 。z ，) ，r t = ( 一，y ，一) r = 瓜万i 汀石再瓦再砭万 r ：。= ( x 茅一工) 2 + ( _ y ? 一y 。) 2 + ( z + z ) 2 ， 氏= 打汀面河 吒。一去等虮 吒t 一去掣嬲 o - q 1 昭： v - f ( r ) 搬 扎这些近似的条件f ，我门采川矢量二角壁函数匹配方程( 1 1 3 ) 。几过州2 ，频 城的f t l i f ! , j l j - 4 ：l f l ； 除了所求欠量位足两二珀形公边t ，点处的恤，m l i 避i f 】 形重心处的值。所求标量位仍然是重心处的值，这样做的日的是使矢量位和标 量位不同试验点的空间距离产生时间延迟从而加大两位势对于二角元边处场影 响在时间上二的筹异。这个时问e 的差异刈于求解过程的稳定性有定的帮助。 将( 1 1 3 ) 式中的时间导数用差分柬近似，即得： 。( 争等 盟业掣卜k ，叫“) 】 钆，睁划笔趔+ 雩叫 m = l ，2 ，- ， 代入( 1 18 ) 一( 1 2 0 ) 得： 。( 笔志封 薹缸胁。k 州“。池- 一2 窆兰l ，p ，( ，。t f ) a 。，一一( ，。) a 。) ( 1 2 2 ) + 莹，( 。a 。一t i ( ，a m l , i - i ) a 。) i i - - j tr + ，。，。i l ( r 二n ，) 中二。+ k t ( r ：。，) o 二。+ k “( k2 - i ) t ( r , - 盹) 。：，。 ，- il t t f 日1 一l ( f 二。，) m ：。，一k l ( 一：。，) m 名。一k “( k2 1 ) l ( f ：。，) 中：，。l = 吃， 其中 肾，( 争划鼍掣+ 笺叫 ( i 2 3 ) 假设时i l l j 步k a t 满足c , t r m m ，其q r 表示不同公共边。1 ，点之f 的最短距 离。j 二是，对于所有的实镜缘源，、j m 与 小等时，7 ：( r 。，) ：0 。 从而，( 1 2 3 ) 式中的第一个和式可表示为 芝窆l ，p p 。) k 心。) k ，1 ) ，t = 1 = 。+ ，( a 。一n ( 。1 ) a 。) + 壹壹，。，亿( 。) a 。一一( 。) a 。1 ) 同时，对于所有的m ，h ，k ，i ，我们有 i ( r 。i ) = 0 f 1 2 4 ) f 】2 5 ) 由( i 2 4 ) 一( 1 2 5 ) ，将式( 1 2 3 ) 写成， k ( 笔高对k 心。肌。 叱，- 喜缸， 笔去笋k 船。硒肛。，一。，) 一a 。，。( 。) 2 一( r 。) + 一( r l m d , t - i ) ) 】 + 一( f 二加，) m 二柚+ k t i ( r f ：舢，) 中：加+ k “1 ( k2 一1 ) 一( r ：肌，) q ：m t = f l ( f 二m ，) 中：小，一t i ( f t ：柚，) 中：们一k ( k2 一】) r ( f ：从，) 中：肿 t ；f f = l ，2 ， ( 1 3 6 ) 很显然，方程( 1 9 6 ) 的右边只与f - f ，时刻及其以前时刻的电流干入射场t r 关 如果，= ，叫刻及其以前时刻的i 乜流分布已知，则i 叮得，= ，。时刻的电流分f j o 从m ，乃。补( 1 1 6 ) u lj l j 寸叫步进法求得。 1 4 应用实例 为了说明近似时域格林函数的有效性，我们给出了两个微带结构的实例。 首先考虑微带结构由g a u s s 平丽波脉冲入射的情形，这个g a u s s 平面波脉冲表 达式为： 叭叫o c x 拈h ，一钏 z ， 其中丘是入射场传播方向的单位向量，e 。与蠡满足e 。丘= 0 ，t 表示g a u s s 脉冲的宽度，t 。表示时间延迟，代表在此时刻脉冲达到最大值。微带结构的尺 寸是2 4 m m x 2 4 m m ，介质的介电常数f ，= 2 5 5 ，高度是h ；4 m m 。我们选 00 0 6 00 0 4 菖0 0 0 2 乏 燃0 0 0 0 稍 墨0 0 0 z o0 0 4 - 00 0 6 020 40608 10 时间( 光米) 图1 2 导体片中心处x 方向的瞬态激励表面电流密度。 l 卜f 域电场积分方程方法， - i r , l 域有限差分方法，地板尺j j - 4 8 m m 4 8 m m 时域订限差分方法，地板尺寸9 6 m m 9 6 m n a 择e o = i ，k = 一i ，及t = o 0 9 6 光米( 1 i g h tm e t e r ) ，t 。= 1 5 7 1 。 图1 2 给出了微带结构表面导体j 中心处x 方向的瞬态激励表面电流密 度。这些电流密度分御分别采用时域电场积分方程方法( t d e f i e ) $ d 时域有限差 分方法( f d t d ) 求得。由图1 2 可知，由电场积分方程和时域有限差分方法 得到的时域电流分布在早期吻合很好，而在后期，两者出现一些差异，这是由 于时域有限差分方法中有限地板的影响。因为在时域积分方程中，地板是无穷 大，而在时域有限差分方法中，地板只可能是有限大。为了说明地板的作用， 我们分析了两种具有两种不同地板尺寸的微带结构。图1 2 给出了地板尺寸分 别为4 8 r a m x 4 8 r a m 和9 6 r a m 9 6 r a m 的铁片中心的瞬态电流，由图可看出，积分 方程得到的结果与较大尺寸地板得到的时域有限差分的结果非常接近，而与较 小尺寸的时域有限差分结果差异较大，这也说明了利用近似时域格林函数和时 董 嚣 餐 0 0o2o30 4 时间( 光米) 訇1 ： 长度为8 0 m m 的微带线在j = 4 0 m m 处的表面电流密度 时域电场彩 分方程 - l ? d r d 城i 乜场积分h - 程所汁算得到的瞬态电流是准确的。 第二：个例f - 足 个g n e s s 电流脉7 1 1 1 激励的微，船线，微谢线的) t 、十为 8 0 m m 0 2 m m ，介质厚度d = 1 6 m m ，介电常数s ，= 23 2 。激励电流分伟的表 达式为： n 融p 一( 半) 2 ， 蜞中f = o 0 1 8 4 7 光米( l i g h t _ t e t e r ) 及，。= 1 5 r 。激励点在x = 2 0 r a m 。图 1 3 中给出了x = 4 0o m m 处分别采用时域r e 场积分方程方法和时域有限差分方 法所求得的瞬态电流密度分斫j ，由图1 3 可看出两种方法所的结果吻合很好。 1 5 小结 在本章，我们求出了微带结构近似时域( ；r e e n 函数，并将其应用到时域电 场积分方程，采用这个电场积分方程，我们分析了两个实例，数值结果说明了 近似时域g r e e n 函数是有效的。然而，需要注意的是，由于近似时域g r e e n 函 数仅仅涉及频域g r e e n 函数的准镜项，这个时域g r e e n 函数只有在介质基片电 薄时爿比较准确。 第2 章 微带结构的时域g r e e n 函数 ( 基于全波离散镜像和快速f o u r i e r 变换) 由于第一章中我们所考虑的微带结构的近似时域g r e e n 函数，仅仅涉及准 静项，如果入射场中具有较高频率分量时，其结果将不是很准确。在本章中， 基于全波离散镜像理论和快速f o u r i e r 变换，我们得到微带结构的全波时域 g r e e n 函数。频域谱域g r e e n 函数可表示为实镜像和复镜像项的叠加。由于复 镜像的幅度与相位都与频率有关，从而使频域g r e e n 函数变换到时域时遇到 很大困难。在本章，将复镜像的贡献表示成) - t a g 光学级数，它对应于微带衬底 丽界面之间的多次反射。几何光学级数的系数采用m a t r i x - p e n c i l 方法展成复指 数级数的形式，这个复指数级数的复系数与频率和位置都无关，这些镜像项通 过s o m m e r f e l d 恒等式解析地转变到空域，再利用快速f o u r i e r 变换转换到时域。 而实镜像的贡献可以解析的转换到时域。 2 1 理论推导 如图2 1 所示为相对介电常数为，厚度为d 的介质板的微带结构。x 方 l 旬单位f u 偶极1 二位r 介质j 二表面。这样在介质基”中的关j 二磁矢量位羽l l 乜标瞳 1 讧的谱城g r e e n 函数分圳为【7 7 】，【1 0 2 】： 其中 及 l 缓缓蘸 否卜石i t 瓦1 一n 昏去去c f 21 ) ( 2 2 ) = 坚坚掣糕器黯型型 ( 2 。) 。”2 百丽i 再琢历一 u 。 r ：堑! 上丛1 二婴【二! 生型婴唑! ! ) 二塑盟驽垡塑吐丝! ! 三1 2 儿” ( 七= i 十七：o ) ( 七二1 + c r k = o ) ( 1 一只e x p ( - i 2 k ：l “) ) ( 1 + r i ：e x p ( - ，2 止：l d ) ) 啦甓 k ：l o k 二o k ：l + f ，k ：o 其中k 。，年l lk 。分别为空气和介质衬底中的波数 三= k ：一k ： 女j = 七2 一k ： ( 2 4 ) ( 25 ) ( 2 6 ) ( 2 7 1 ( 2 8 1 五j = 七? + 膏i( 2 9 ) 为了得至0 窄域g r e e n 函数，将频率游域( 女。，女、m ) 变换到窄川频率域( r ，m ) j j ，我们采埘仝波离敝镜像理论以避免非常耗时的s o m m e r f e l d 积分。 在低频情况下，自由空间和介质衬底的波数很小，这就意味着 二。zk 。因 此我们有， 7 j 7 _ 兀) = e x p ( 一i k ：l z 卜e x p ( - i k = l ( 2 d + ：) )( 2 l0 ) r 口斗r 川= k ( i - e x p ( - 2 i k ：f 1 ) ) ( e x p ( - j k ：lz ) - e x p ( - j ki ( 2 d + z j ) 1 一k e x p ( - 2 j k = d ) ( 2 11 ) 其中k = ( i e r ) ( i + 6 r ) 当场点与源点在同一平面的时候( z = z = o ) ，准静项g 盖和或。可表示 为： g ：7 i ；2 卷击卫4 ，r 上2 j k ：l ( 1 一肿，k ：l d ) ) ( 2 1 2 ) 6 删2 丽1 丽1 ( 一l ：l l - - r q o ) 2 百磊瓦1 ( 1 - k - 妻。，( 1 一k ) - e x p ( 肚：删 ( 2 1 3 ) 因为r , 7 j 和尺的模值小于1 ，石：。和g 。同样可表示成一个几何级数的形 式 6 】，【7 1 1 8 1 止1 ；复镜像项可表示为， 。j ：= 6 j 一。茄= 旦4 ，r 2 l j k ：l 争爿。( “) e x p ( 一2 肚二，”d ) ( 2 1 4 ) 瓯。r 。叫2 去去弘) e x p ( _ z k ：t m d ) b 1 5 ) ，= k = i k ( ) ， ，】栏( 2 】4 ) 年( 2 1 5 ) ，其指数项晚明了波在介质垦片的上表面与地板i f l 面之间 的多次反射。其1 爿。，( “) 和q 。( “) 具体公式的详细推导如f 。 首先 凡羟生生：生4 鱼竺些 “k = l + 女= o k ：1 + 女i + ( 1 一占，) 女j ：竺磐錾掣 ( ：j 6 ) = ；= = = = ：= = = = = = = =f ，l 、 z ，+ “2 + ( 1 一，) 。 类似地， 蹄= 每老 ：! 掣粤! 三垒( 2 1 7 ) “+ ，“2 + ( 1 一s ，) 利用级数展丌公式可得： r 孑 1 + 尺1 7 0 1 1 e 一隅。 = r 翟：( - 0 ( r 孑) “e x p ( 一2 j k ：r o d ) m - o = c 。( u ) e x p ( 一2 j k ：l m a ) - 0 其中( 1 。( “) = ( - 0 ”( r ) “， 而j丽=(尺z)“exp(-2jk：。ma)l r p 叫2 k 一急”1 引 = d 。，( u ) e x p ( - 2 肚：l r o d ) 其中见，( “) = ( r ) ， 南= 薹( _ l 广( x p ( 一，k ：, m d ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) = e ( u ) e x p ( 2 肚= 。m d ) n l 一一 ，”= i ，= o 其中e 。( “) = ( 一1 ) ( r ) ， 从而 g j ：= g f g 篇 = 旦4 万上2 k ：l ( 】_ e x p ( - 2 删) ) 2 而丽r 而i o 2 石, u 丽1 ( 1 - e x p ( 一2 业：t d ) ) 2 茎c 。( 咖x p ( _ 2 ，k , , m d ) 2 2 0 ) = 尝去嘉( 啪) _ 2 c ，肛m 。：( 训e x p ( 一，坞删( 2 2 i ) 彳。( “) = c 。( “) 一2 c _ 一i ( 1 , t ) + c 。，2 ( “) 在公式( 2 1 9 ) 中，当 0 时，我们令c 。，( “) = 0 ，在下面的公式中，我们也有 同样的假设。即当m 0 时，我们令d 。( “) = 0 ，e 。，( “) = 0 。 令：f ( u ) = _ - 【k ： 中 2 尼j ( 1 一，) + k ：o ) ( 七= l + ck ：o ) g 2 g q g q 。 = 去 两1 一，坎刚，2 而 一 ! 一i f ( “) ( 1 一e x p ( 一，2 ：i d ) ) 2 2 j k ：t 【( 1 一r