2024-2025学年北京市海淀区高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故选：A2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命题“”为特称量词命题，其否定为：.故选：A3.函数的一个零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，又，，，所以，所以在上存在一个零点.故选：B4.下列各组函数表示同一函数的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误；对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A：的定义域为，为偶函数，但是函数在上单调递减，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为偶函数，当时，所以函数在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，故C错误；对于D：定义域，且，所以为偶函数，且函数在上单调递增，故D正确.故选：D6.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，则，即可以推导出，故充分性成立；由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B.8.若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故选：A9.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当且，时，恒成立，可得在上单调递减，且关于对称，所以在上单调递增，，，，即.故选：B10.对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】对于A，当时，，当，，所以不是奇函数，所以A错误，对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，，所以函数的值域为，所以B正确，对于C，因为时，，所以，所以C正确，对于D，由，得，因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确.故选：BCD二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数的定义域是_______．【答案】【解析】对于函数，令，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：12.不等式的解集为_______．【答案】【解析】移项得：，通分化简得到分式不等式：；两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：解得.原不等式解集为.故答案为：13.已知，若，则的值为_______．【答案】或【解析】因为，所以，又，所以或，解得或或，当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去；当或时，经检验均符合题意；综上可得或故答案为：或14.若函数是上的减函数，则a的取值范围是_______【答案】【解析】由题意得，且，解得；当时，，解得；综上得实数的取值范围为.故答案为：.15.已知函数，其中，下列结论正确的是_______．①存在实数a，使得函数为奇函数②存在实数a，使得函数为偶函数③当时，的单调增区间为④当时，若方程有三个不等实根，则【答案】【解析】由，显然当a＝0时有f-x=-f但不存在实数a使f-x=fx成立，所以存在实数a不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误；且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，③正确；由解析式，当时在上递增，递减，上递增，又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，所以，又，可得，④正确.故答案为：.三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知全集，求．解：由题意知，或，所以，，或，所以17.已知函数．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解关于的不等式．解：（1）因为且，所以，即，又，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为；（2）当时，不等式，即为，即；当时，解得，所以不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为；当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.已知函数．（1）证明：为奇函数．（2）判断在上的单调性，并证明你的结论．（3）解关于t的不等式．（1）证明：由已知函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，都有：，为奇函数.（2）解：在是增函数，证明如下：选择任意的，满足，则，通分化简：，由可得：，，，；即，有.证得在是增函数.（3）解：，则，由是奇函数，则，又由是增函数，则；结合定义域，得到不等式组：，解得.故解集为：19.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．（1）证明：由为(0,+∞)上的增函数，则有，∴，无解，∴不存在“黄金区间”；（2）解：记是函数的一个“黄金区间”，由及此时函数值域为，可知而其对称轴为，∴在上必为增函数，令，∴，∴，故该函数有唯一一个“黄金区间”；（3）解：由在和(0,+∞)上均为增函数，已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，又，则只要，∴或，而由韦达定理知，，所以，其中或，所以当时，取得最大值．北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故选：A2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命题“”为特称量词命题，其否定为：.故选：A3.函数的一个零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，又，，，所以，所以在上存在一个零点.故选：B4.下列各组函数表示同一函数的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误；对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A：的定义域为，为偶函数，但是函数在上单调递减，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为偶函数，当时，所以函数在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，故C错误；对于D：定义域，且，所以为偶函数，且函数在上单调递增，故D正确.故选：D6.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，则，即可以推导出，故充分性成立；由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B.8.若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故选：A9.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当且，时，恒成立，可得在上单调递减，且关于对称，所以在上单调递增，，，，即.故选：B10.对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.函数的值域为C.对于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】对于A，当时，，当，，所以不是奇函数，所以A错误，对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，，所以函数的值域为，所以B正确，对于C，因为时，，所以，所以C正确，对于D，由，得，因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确.故选：BCD二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数的定义域是_______．【答案】【解析】对于函数，令，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：12.不等式的解集为_______．【答案】【解析】移项得：，通分化简得到分式不等式：；两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：解得.原不等式解集为.故答案为：13.已知，若，则的值为_______．【答案】或【解析】因为，所以，又，所以或，解得或或，当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去；当或时，经检验均符合题意；综上可得或故答案为：或14.若函数是上的减函数，则a的取值范围是_______【答案】【解析】由题意得，且，解得；当时，，解得；综上得实数的取值范围为.故答案为：.15.已知函数，其中，下列结论正确的是_______．①存在实数a，使得函数为奇函数②存在实数a，使得函数为偶函数③当时，的单调增区间为④当时，若方程有三个不等实根，则【答案】【解析】由，显然当a＝0时有f-x=-f但不存在实数a使f-x=fx成立，所以存在实数a不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误；且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，③正确；由解析式，当时在上递增，递减，上递增，又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，所以，又，可得，④正确.故答案为：.三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知全集，求．解：由题意知，或，所以，，或，所以17.已知函数．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解关于的不等式．解：（1）因为且，所以，即，又，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为；（2）当时，不等式，即为，即；当时，解得，所以不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为；当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；当时，，解得，所以不等式的解集为；综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.已知函数．（1）证明：为奇函数．（2）判断在上的单调性，并证明你的结论．（3）解关于t的不等式．（1）证明：由已知函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，都有：，为奇函数.（2）解：在是增函数，证明如下：选择任意的，满足，则，通分化简：，由可得：，，，；即，有.证得在是增函数.（3）解：，则，由是奇函数，则，又由是增函数，则；结合定义域，得到不等式组：，解得.故解集为：19.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．（1）请证明：函