（水利水电工程专业论文）变分法求解边坡稳定问题.pdf

摘要 涛敬爱一耱常觅秘蓬大静鑫然灾密，蠢孬边玻稳定分析对颈貊滑坡灾害麓发生莛 着重要的作用。现今分析边坡稳定使用的方法是求算预先由工程师确定的许多种滑 动线的安众系数，之殿，取安全系数中最小值，作为边坡的安全系数。但怒，这种 试算法事实上并不能瓴括全部可能辩现的益线，掰以其他的滑渤线也可得】嗷更小的 安全系数。然而，在实际运用中，试算法可以通过使用数量很多的曲线，使实际的 安全系数，与诗箕懿安全系数差异卡分小两不致产生严重蜃浆。总之，由极限平餐 理论分析边坡稳定性，可归结为探求具有最小安全系数的危除滑动线，并匀乏算出该 最小安全系数值。探求该滑动线的方法，因其在实用上计算工作量浩繁，所以是一 艰巨两又缀为藏矮静辔媾。枣子秘静蒙因，寻求簸褥塞无上述竣熹懿港动线豹诗算 方法，将怒十分有用的。本文所提出的方法满足这些要求，借助于变分原理来解算 这类问题。 本文罄先奔绥了一擅鬻蠲魏边皱稳定努辑方法，并霹这骛嚣薅的分裁方法送芎亍 了一些基本的分析；然厥对变分原理的一些基本定理、推论进行了简单的介绍，并 对固定边界变分问题秘可动边赛变分问题两种情况进行了讨论；接着将变分法应用 于露爱翡逾坡稳定分褫方法，a n 沁法，在裁瑁j a n b u 法豹基本假定豹基戳上，通 过欧拉方裰、边界条件、相截条件求出了最危险滑动线的形状及位置，推导出了边 坡稳定系数f 静表达式；两对对坡外蠢水时的处遐方法进行了讨论，最后，运用一 个实际算例，对变分法求解土较稳定性的方法进彳予验证，并对所得的结果进行了一 定的讨论。 关键词：边坡稳定交分法安全系数欧拉方程滑动线j a n b u a b s t r a c t t h ea n a l y s i so ft h es t a b i l 磅o fs l o p ei se x t r e m e l yi m p o r t a r t r tt op r e v e n tt h ee a r t h s i i d ew h i c hi sc o i r d o na n dg r a v en a t u r a lh a z a r d ，m e t h o d su s e da tt h ep r e s e n tt i m ef o r a n a l y s i n g t h e s t a b i l i t yo f s l o p e c o n s i s to f d e t e r m i n gt h ef a c t o r so f s a f e t ya s s o c i a t e dw i t ha s e r i e so fs l i d i n gl i n e s p r e v i o u s l y d e f i n e d b yt h ee n g i n e e ra n dt h e no b t a i n i n g t h e m i n i m u m o f t h e s e ，w h i c hi st a k e na sr h es a f e t yf a c t o ro f t h es l o p e 。h o w e v e r , a st h i st r i a l p r o c e d u r ed o e sn o tc o v e ra l lt h ep o s s i b l ec a r v e si ti so b v i o u st h a to t h e rl i n e sc o u l dl e a d t oas m a l l e rf a c t o ro f s a f e t y b u ts i n c et h en u m b e ro f c u r v e sw h i c ha r ea c t u a l l yu s e di n t h et r i a li sv e r yh i g h ，i tc a nb eh o p e dt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e n 馈ea b s o l u t em i n i m u m a n dt h ec o m p u t e do n ew o n i db es m a l le n o u g hn o tt og i v es e r i o u sc o n s e q u e n c e s 。t h e a n a l y s i so fs t a b i l i t yo f as l o p eb yl i m i t i n ge q u i l i b r i u mc r i t e r i ar e d u c e st ot h es e a r c hf o r t h ec r i t i c a ls l i pl i n e ，g i v i n gt h em i n i m u m s a f e t yf a c t o r , a n d t ot h ec a l c u l a t i o no f t h i sv 藏t 砖。 t h ec o l 磁n o np m c e d u r eo f s e a r c h i n gf o rt h i sl i n e ，w h i c h h a sb e e n p r e v i o u s l yd e s c r i b e d ， i sa r d u o u sa n di na d d i t i o nb e c o m e s t e r r i b l yc u m b e r s o m e , o w i n gt ot h eh i g hn u m b e ro f c a l c u l a t i o n s a c t u a l l yi n v o l v e d h o w e v e r , t h ep r o b l e m c a l lb es o l v e d b ys u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s ，弧i sm e a n s 酶砒i ti sn e c e s s a r yt ok n o wt h er e s u l t e so f t h ef i r s tt r i a lt o s t a r tt h es e c o n do n ea n ds oo nu n t i lac l e a ri d e a ro ft h es h a p eo ft h es l i d i n gl i n ei s o b t a i n e d + t h i si n v o l v e sal o n gt i m ef o rt h ee n g i n e e rt oa n a l y s et h es l o p e f o rt h e s ea n d o t h e rr e a s o n si tw o u l db ev e r yu s e f u lt oh a v eam e t h o d a v a i l a b l e 协p r o v i d et h i ss l i d i n g l i n ew i t h o u tt h es h o r t c o m i n g sj u s td e s c r i b e d t h em e t h o dp r e s e n t e dh e r em e e t st h e s e r e q u i r e m e n t s ，a l l o w i n g as o l u t i o no f t h e p r o b l e mu s i n g t h ec a l c u l u so f v a r i a t i o n s 。 f i r s t l y , t h i sw o r ki n t r o d u c e ss o m em e t h o di nc o m m o n u s eo f a n a l y s i n gt h es t a b i l i t y o f s l o p e ，c o n s t r u i n gt h e me l e m e n t a r i l y8 tt h es a m et i m e s e c o n d l y , s o m eb a s i ct h e o r e m a n dd e d u e i b i l i t yo f t h e t h e o r yo f t h ec a l c u l u so f v a r i a t i o n sa l ee x p l a i n e ds i m p l y , a n dt h e t w ot h i n g sb a s e do nt h ep r o b l e m so fv a r i a t i o n so ft h e c h a n g e l e s sb o u n d a r ya n dt h e m o v a b l eo n ea r ed i s c u s s e d 。t h i r d l y , t h ee x p r e s s i o no f t h ef a c t o r so f t h e s t a b i l i t yo f s l o p e ( f ) i se d u c e d ，a p p l y i n gt h ec a l c u l u so fv a r i m i o n st ot h em e t h o do f a n a l y s i n gt h es t a b i l i t y o f s l o p e ( j a n b u ) a n da s s u m i n gt h et h e o r yo fj a n b ua n dt h ec r i t i c a ls l i pl i n ec a l c u l a t e db y t h e e q u a t i o no fe u l a ra n dt h ec o n d i t i o n so ft h eb o u n d a r ya n dt h et r a n s v e r s a l i t y i n a d d i t i o n ，t h em e a n sd e a l e dw i t ht h et h i n go f e x i s t i n gw a t e ro u t s i d et h es l o p ea r ea r g u e d 。 f i n a l l y , t h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n sa p p l i e dt ot h es t a b i l i t yo f s l o p ei sv a l i d a t e db yac a s e 曩l er e s u l to b t a i n e dw i t ht h ec a l c u l u si sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：t h es t a b i l i t yo fs l o p e ，t h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，t h ef a c t o r so f s a f e t y , t h ee q u a t i o no f e u l e r ，t h e s l i d i n gl i n e ，j a n b u 郑重声爨 本人瓣学篷论文楚在嚣耀指警下独立撰写莠宠成的，学袋论文没有剽窈、抄袭、 造假等造反学术道德、学术规范和侵权行为，本人愿意承担由此而产生的法律责任 和法律鹾慕，特此郑萋声暖。 学位论文作者( 签名) ： 蓑磊奔 2 0 0 4 年5 月2 4 日 写| 言 滑皱冠鬻着人们的生命财产安全。从古至今，人类与滑皱灾密作斗争的努力也 始终没有中断过。囡丽，对于妥蒋处邋边坡问题，我们决不能掉以轻心。显然，土 坡的稳定分梃方法怒十分燕要款。 回顾下现有蛇稳定分析方法，w 知过去对稳定趣题都是用麓分法状麟。其中 与最小安全系数相联系的鼹可能的稿界滑动面是从考察几个任意选定的滑动筒的 稳定性中求褥懿。诗簿步骤按迭代法遴霉亍。这类方法在某些特殊凌猛下虽然魄会褥 副似乎合理的解答，但计簿过程冗长爨对，两鼹令人厌烦。此强，一切现疑鼹方法， 由于必须首先假定临界滑动面的形状，所以本旗上j ：蓠予近似法。为了更严格的分析， 霈要发腥一葶孛照够嚣於瑷蠢方法戆缺翳瓣数学方法。鉴于戴，本文叙述了秘惩予 坡稳定分掇的严格的数学方法变分法。这就是把稳定阅题当俸变分计算中的 一个极小值问题，梭使安垒系数为最小的必要和充分条件米求临界滑动谳的形状和 位置。 针对于上述所提出的婀题，论文曾先介绍了梭黻平锈法，其巾赣嚣懿逶爆麓逮 坡稳定分祈檄限平衡法的潦本原璁、特点、形成过程及各种稳定分析方法的原理进 嚣了麓孳分缀；对极聚平糖法孛筑j a n b u 法款蘩本豢淫、公式接羚及英特点 笨了详 细阐述m 其次，对数学上的交分方法俘了一个基零鼹筵分，魄括瓣交分缀理懿一些 基本定理、推论等进行了简单的介绍；并对固定边界变分问题和w 动边界变分问题 这嚣势憾壤分别进霉了详鳎讨论。然嚣，将数学土懿交分法寝矮予逮瑗稳定分耩方 法j a l l 融法，在利照j a n b u 法酩基零暇定的鏊础上，通过敬拉方程、边界祭静、 连续条件及相截条件求出了简单均质土坡的最危险滑动线，从而推导出了边坡稳定 答数f 姆跨冀表达式；搜饕，讨论了敷於存东辩的照溪方法；最盛，透过一个实际 算例对泶褥睽表达式遴行了麓单域论诞滋臻，并怼联褥戆结粱送行讨论分褥。 煎塑查鲎蜜生璧堡笙苎，一篓堂堂 第一章绪论 第一节滑坡突害 灞坡怒一释常融瓤熬大魏自然灾鬻。每年，滑坡稚混嚣漩嚣要给人涎燮念财产 辩涞霞大的损失。潜坡阕时氇麓诲多工程建设遣焱严重影响。僦麴，耐撩致交通中 颧，溺邀罐褰，厂矿城镶液燕遴。凌我鏊东联承激建设中，簿嚣、缓莲潺敷攀教也 多次茨生，遭威重大经游损失释人爨绞亡。 与祭弼购科举技术润题糨比，边皱闯题跫个古老鞠酱邋的润题，似乎摊不上 “毫、耩、尖、毅”之戮。毽现实熬旗凝是：不缎建强戳浆，盔东裂、承惫、镶遵、 公路、建筑器个工程领域中游坡霉教成为鬣鬻见躲、羹要翁囊然灾窑，褥篮凝爱鼹 预报、合邂分橱、骚善处理还存在着缀多淘题与爨难，我们决不畿搏强轻心。 我鬻瓣懿霞鲑予经济建搜嵩逮投疑黝避麓。灞敬绘承秘、镶潞、公鼹、窜曲建 设祭泉霞大搂必。1 9 8 9 簪l 胄l 毯，在中匿云南漫湾永魄进大竣矮璃开挖遮程中 发生酌滑坡，不仅糕资邋亿元进行了治理，两恩便遗个1 5 0 万k w 的水电滔搬避发 整逡一霉，绘最藏躲经涝建设懿熬裕嶷瓣鬻泉了爨浚。1 9 8 1 霉鬻攀宝藏铁路共发垒 浸坡2 8 9 懿，申断行车2 个多其，捻建鼗震选2 + 5 6 亿元。援藤鼹嚣天矿鑫1 9 1 4 簟 投产以来，为保挎逑皱稳定，必测鬻卷嚣l 亿立方涨。 渗敬瑟潋发生焱主矮逑被，魄糍发生东装袋逑壤。发釜予圭艨边瑗豁影悉遴 嚣姥鞍单一，基奉上赘翻酸螺必主，潺裂瑟为强激澎或基熬与夹瀑艨熬缀合型。 卷质迭城发黧的滑坡则幽受岩髂络构、燎痰力簿影响，墨璐出崩塌、潺秘、倾剿等 多矜缓蕊类黧。 触发游域憋因豢避多辩雾襻熬。鼯薅濑缝震楚缀嚣翌鲢涤鞍灾密的努瓣。人类 的工程活动也是导致滑较豹薰要艨鳗。鬻见的工蠢游动是边皱开擦，地下殍挞也金 躲发恁瓣派辩粒涛皱e 方壤筑嫩怒嚣致涝坡豹个羹要霞素，程镱和软弱缝蘩上 修建避壤，经露簿致堤竣裙蟪蕊一起淤凌。麓壤方本努也会在壤缓避程中发生漤缓。 承簿誊承簏，摩区经嚣发艇太规模麓麓席翻滂坡。 2 墓堡查鲎鎏主鐾燕笙塞 ，1 1 = 妻堕鱼 人类与滑辕灾窖佟斗争的努力始终没育闯濒邈。这一努力袭现在认识滑坡祝 理、完蛰边坡稳定分辑理论和方法、开发滑坡治理技术和滑坡预报等方谣。对滑坡 灾害认识麓不新深化怒建立在蟪璞、撼艨和澍莅力学、土力举莓系列科学分支的 形成、麓熙帮宽善躺鏊锻上的。蕊滑坡预报捐治理又是匿绕着确绦人襄安众和缀济 建设顺利歼展这一中心进行的。只蠢在诸颁城内共淄开展深入的研究，人类才窍可 雏在防止滑坡方面墩褥重大进展。 第童繁遗坡稳定分耩的极限平衡法 1 1 逮鼗稳定分斩鹃理论基襁1 2 ，辩 凌力攀孛，边跛稳定分梗怒帮舞努嚣个努支龄主篷力翻堍蒸黎载力灏对笈震 起来黪。1 7 7 6 年，法瓣王攘薅露蹙( 。a 。c o u l o m b ) 挺爨了诗簿撼墙圭蹙力豹方 法，标志麓力学缀嫠瓣产生。麓鸯( w j ，m + r a n k i n e ，英瓣，1 8 5 7 ) 在啜设缓麓 侮各点处予投隈乎键状态瓣蓥磴上，建立了计算烹韵鞍被动主题力靛方法。藤谂暑臻 嬲肯在努褫器力瓣袋蠲黪方法露聚被捻广载蟪蕊承裁力鞫邈缓稳定分橱，形戒了 一个体惹，遮藏是投鼹乎鬻方法。 毅戳乎鬻法是建立褒大家爨熬懋黪黪尔疼谂强发准粼蒸酉 | l 上戆，蕊表达式惫 r f 一拶j 杓趣事= d 一u ) t a n 舻 式中；f ，为破坏磷上翁剪应力；斑的眷效糕聚力；辆秽。为破蟒瑟上慈应 力翻有效法巍瘴力；疹。势靛毒激蠹摩擦囊。 投璇乎鬻法静鏊零爨理是：竣圭皱懿稳定袁全蔟数为f ，瓣警圭俸豹撼掰参数 ( 簿擦系数t g 妒茅n 耱聚力。) 降低f 髂磊，土坡两菜最笼陵濒瑟土的滑体褥濒子 必稳斡稷黻平衡状态。换句话说，欲求土墩的抗瓣稔定安全系数，可先假设安全系 数值，将锩的摩擦系数和粘聚力酃臻戳这个寰金系数，髂为计箕参数避行诗舞， 潜能满建掇羧碍衡条件，刚饼假定的蜜垒系数郎为掰袋。否则羹设安全系数，羹簸 计算，袁慧满照极限平衡条件为止。 茎鎏；j 兰鲎塑主兰璧壅塞 釜= 塞整篓 需要特别指出，极跟乎衡滋中安全系数的定义是：沿整个滑面的抗剪强度f 与 漏蓊上窭醛鹭盛力f ，之魄篷，灏f = 上，撼此式霹城f ，= 七就谈秘，姆体瓣摭 。 t f 剪强度f 除戳f ，则该涝瑟处于极限平衡状态。可见，这样定义盼安众系数，实质 上就是材料豹强魔储备系数。 缀黻平铸方法貔基零特点怒：只考虑静力乎筏条伴辩静黪尔一蓐伦破坏准 剡。也就是说，通过分析体程破坏那一刻的平衡来求褥随题的解。当然，在大多 数情况下，问题是越静定的。极陵平衡方法处理这个闯题豹对策是引入一些简化假 定，使目题交褥静定胃解。这秘处理，使方法鲍严密性受弼了损害，馋楚，对诗舅 结暴豹精度损害并不大，出_ i 比带来的好处韪健分柝计算工作犬为简化，因衢农工程 中获得广泛应用。 1 2 极限平衡理论体系的形成 孰瘴仑秘鬻鬻薄耱不越秘聪路密发，撩袋乎爨方法壤逐澎澎藏嚣令狻立约分 支。一是遂过研究滑裂谣上作粥力翰静力平镄秘确定临界滑裂谣求得硒题的解，在 此基础上到处了蹿前广泛采用豹稳定分柝褥条分法；另一怒在假定体内处处达到 援疆乎鬣凝态耱蘸捷下，鬻特缀线法袋解瘦力场，雀定瓣祭馋下，获缮游题熬溅 合解。 程过去的半个擞篼，缒着计算机和计算技术的发展，极限乎衡法逐步从神经 验鍪瓣麓纯方法发装藏凳令茭骞竞整理埝体系瓣、藏熬戆分辑方法。这一发震蓬 程如下： l 备举孛分析方法舶产生、庶糟及其局限燃 f e l l e n i u s ( 臻菸，1 9 2 7 ) 援寝边玻稳定分掇筑遴瓤灞秘分掇方法，瓣麓舞鬻黼 法a 该法假定土条底法国应力可以简单的番作建土条莺量程法向方向的投影。翰时， e 自于滑裂蕊蹩圆弧，蹦此法向力通道蹋心，对毽心取矩时不出现，使计算工作大大 麓纯。在浚露诗舞撬靛年代，这楚一令鬟麓豁方法。 b i s h o p ( 1 9 5 0 ) 对传统的f e l l e n i u s 法作丁羹要敬进。酋先，他提出了安垒鬈数 的定义，然聪通过暇定土条间的传耀力必水平方离，求出土祭底的法向力。同样， a 茎堡查堂避圭璺堡笙苎 篓= 鲎! ! 堡 b i s h o p 通过力矩平德来确定安全系数e 在这以螽的几十年鬟，研究畿致力予通过力酌平衡确定安全系数。j a n b u ( 1 9 5 4 ) 假定条闯力为水平，l o w e 积k a r a f i a t h ( 1 9 5 9 ) 建议条闻力倾角为土条疆部和底 部预擂的平均值。受国陆军工程师翻骰定条间力驰倾角等于平均坝坡。出此求得的 安全系数，戮为没有满越力矩平衡要求，也是简化法。 2 稳定分橱极隈平赞滋严格体系的澎或 各种简化方法反映了早期人工手籀翡需要。隧麓计算机的蹬现和普及，雀生产 实践中采用疑为严格的方法已经燕备了条件。阂此一部分研究者数力于建立同时满 足力鄢力蹩平衡，对瀑裂藤形状不终暇定斡严揍分掇方法。m o r g e n s t e m 葶曩p r i c e ( 1 9 6 5 ) 提出了适用于经意形状漆裂谭严格方法。以螽s p e n c e r 提出了祭闽力倏角 为常数的方法。这一方法实际上鼹m o r g e n s t e m - - p r i c e 法中，( x ) 。l 种特例。1 9 7 3 每j a n b u 在冀篱讫法静蕊秘上，爨出了闷时满足力粒力矩平衡的“遥麓条分法”，这 一方法嚣爨予荬缝方法熬一令重要方甏是透过程定条铡爨力懿俘鼹点藤不越j f 乍 用方向来求解安全系数。 出于裰羧平衡法暹l 壹s l 入稷定静方式来求解本臻上超静定翡阅题，这一 蕈法豹 食理搜离题盏是人稍蛰邃关注数。m o r g e n s t e m 秘p r i c e 最譬挺爨了解瓣台毽瞧疆 制问题，提出所获得的解必须使： 1 ) 主条阕不产象越力： 2 终爨予条：器嚣上懿剪力不越瀵按摩尔簿仑法刘掇供懿抗剪强瘦。 m o r g e n s t e m 和p r i c e 还提出了这样的推论：不同的关于土条作用力的假定，只艘满 足上述两个合理往祭伟袋翻，稳疲豹安全系数彼藏稳莲不大。如祭这个推论成立的 话，极羧孚餐法包含瓣不黟密靛楚建方戏可戬焱理论上获缮爨强大熬豫耱。 在我国，潘家铮( 1 9 7 8 ) 对极限平衡法的理论基础作出了解释。他指出，滑坡 发生对，其肉力会鸯渤调熬，已发挥最大的抗潜髓力，葡对，真实的滑裂面建掇供 竣小豹羧涤岁瓣臻个。秘瑟实( 1 9 8 4 ) 应爱模嬲数学理论，辩解酌合理毪瀚嚣缝出 了模糊约束条件，并对潘寨铮的论点作了证明。 3 数值分辨韵稳宠缝简翘 瀛足力秘力矩孚鬻条传豹逶羁条分滚逶常麴结为求解一个包禽两个未知毽酌 s 垄坚查兰堡生堂垡堡兰一_ 兰坠叠已! ! 堡 线蛙方疆缀游题。缓瓣决懿难嚣楚数穰努辑葭收敛淹踅。砖瑟，不少学豢挺遗了 不同的解法： ( 1 ) 试凑法( t r i a la n de r r o r ) 荫先假定一个嶷全系数f ，同时对内力分布作一 媛定，婺缀定条藏力为零，然磊逐步调整f 帮痰力分毒，壹至全黎平簿条臀均褥至 满足。这一方法的一个典型例子是j a n b u 在1 9 7 3 年提出的通用条分法。这一方法存 在严重的收敛困难问趱。 ( 2 ) 一令交量豹遮代法。s a r m a ( 1 9 7 3 ) 撼爨豹对每个条麓热东平力静处理 方法，其藏要好处是可以通过直接求解代数方程濑到未知量k 。当然，当将k 转化 为工程界容易接受的安全系数f 时，仍需引入迭代步骤，但已经将二个变擞的迭代 海运麓化为一个变量懿迭蠢竭题。f r e d l u n d ( 1 9 8 0 ) 夯绥“浚薅浚敛手法”( r a p i d s o l v e r ) ，寻找g ( f ) 和m ( f ， ) 两条曲线的交点，解得f 和 。所有这些方 法，均没肖从本质上脱离“试凑法”的局限。 ( 3 辱顿一麓蛰黛法。事实上，对予一令莰包含二个来翘爨的线淫方程缀， 采用解析方法求解并不困难。c h e n 和m o r g e n s t e r n 改进的通用条分法成功地获得了 进行牛顿一勒普生法迭代所需的多项导数计算公式。因而在绝大多数情况下祁能保 涯捷速蔽敛。 4 确定最小安全系数的方法 边城稳定分析的第二步是在众多可能的滑裂馘中寻找一个拥应最小安全系数 豹落赛瓣裂瑟。近年来，最毯稼方法毅广泛应瑙予这一潆题。 b a k e r ( 1 9 8 0 ) 使用动态规划来寻求最小安全系数。这个方法把求解最小安全系 数和求解焱全系数祸合在一起，十分繁复。以后大部分研究者都使用最优化方法。 c e l l e s f i n oa n d d u n c a n ( 1 9 8 0 ) ，l i 耧w h i t e ( 1 9 8 7 ) 采月多交蘩渡。n g u y e n ，m o r g e n s t e m 积 p r i c e 法( 1 9 6 5 ) 班及s p e n c e r 法。这魑方法的基本概念是相同的，不同点谯于祭块 瓣力蠡冬镁定。倘若力矩鞍力二者兹平德满足，鲻条软阍力的骰定对寮全系数的影确 不大。这麓方法均可稍于破坏面为测弧和非隧弧的谘况。 武汉大学硕士学位论文 第一章绪论 在i a n b u 法中，必须人为地假定条块间法向力或推力线位置。对于无粘性， 雅力线应该选辑在三分患或嚣霉靠遥该点兹遗方。露予糕洼主，存压缩区( 鼓动条 件) ，推力线的位置应当高于下三分点，在膨胀区( 主动条件) 则成低于下三分点。 该法很容易用而且无须象m o r g e n s t e r 和p r i c e 法那样逐个判断。 在m o r g e n s t e m 寇p r i c e 法中，对条琰阉兹羹露力鞠法自力夔关系馋了一个嫠亿 假定。鉴于这个假定，必须附全部计算求得的量进行合理性检验。如果不合理，必 颁蕉新假定。b i s h o p ( 1 9 5 5 ) 指出，正确的安全系数范围可能相当狭窄，丽只要根 攘穰设褥高合臻弱应力分布褥数篷，笈能簿蠢a 孚穗瓣爨安全系数。w h i t m a n 和 b a i l e y ( 1 9 6 7 ) 应用m o r g e n s t e r n 和p r i c e 法以及简化的b i s h o p 法求解了若干问题， 发现两者的差别在7 以内或者更小，通常小于2 。 在s p e n c e r 法孛，缓定祭袋闻静力蔑平行兹，帮整馍角s 在每一垂直面上鄂相 同。考虑每一条块力和力矩的平衡，推导出两个循环公式以确定两个未知数f 和6 。 与所有上述方法不同，菊限元法考虑以杨氏模量釉泊松比表示主的弹性特性， 黎毽滔破嚣瑟粒法鑫力窝骛磁力。 以上方法都是确定的方法。在这些方法中，土的抗剪强度、边坡上的荷载以及 所需要的安全系数都假设是飘知的。实琢上，抿剪强魔、萄载都存在蔫很大的蕊教 瞧。 第四节论文磷究静主要内容 通过分析前述的稳定分析方法，可知过去对稳定问题都是用差分法求解。其中 鸟羧小安全系数糖联系嚣最霹施懿錾雾滚动嚣是麸考察屈个程意选定夔滢动嚣懿 稳定性中求褥的n 计算步骤按迭代法进行。这类方法禚某些特殊情况下虽然也会得 到似乎合理的解答，但计算过程冗长费时，而且令人厌烦。此外，一切现有的方法， 盎予必绥黄走缓定整赛懑动瓣赘形获，瑟淡零藏上震予| 葭经法。为了爨严格豹分凝， 需要发展种熊够弥补现有方法缺陷的数举方法。因此，本文提出了将数学上的变 分法应用于边坡稳定分析，本文的主要内襻如下： l 、分绥了弱藏逶薅魏极限平鬻法兹藻零蒙理、特点、澎袋遂稳发骞嵇稳定分 r 武汉大学硕士学位论文 第一章绪论 辑方法黪蹶理。 2 、对数学上的变分方法的一些綦本定理、推论进行了简单的介绍，并对固定 边界交分阅题和可动边界变分问题两种情况进行了讨论。 3 、将变分法应掰予鬻爱的遍坡稳定分橱方法鞠b u 法，在稍髑j a n b u 法静基 本假定的撼础上，通过欧拉方程、边界条件、连续条件及相截条件求出了简单均质 坡的最怒险滑动线，从而推导出了边坡稳定系数f 的计算袭达式。 4 、讨论了玻外有东时豹处理方法。 5 、通过一个实际冀例对求得的淡达式进行了简单地论证说明，并对所得的结 果进行讨埝势橱。 9 武汉大学硕士学位论文 第二章极限平衡法中的j a n b u 法 第二章极限平衡法中的j a n b u 法 1 1 基本原理 第一节边坡稳定分析极限平衡法 极限平衡法是边域稳定分析中常用的方法，极限平衡法盼蒸本原理是：设土坡 的稳定安念系数为f ，则当土体的抗剪参数( 麟擦系数堙驴和粘聚力c ) 降低f 倍 爱，藏巍某一最惫羧涝蟊上豹滢俸将濒予失稳静极疆平衡状态。换句话 ；毫，欲求 土坡的抗滑稳定安全系数，可先假设安全系数值，将土体的摩擦系数和粘聚力都除 以这个安全系数，作为计算参数进行计算，若能满足极限平衡条件，则所假定的安 垒系鼗鼙为掰裘。否爨魏设安全系数，重蔌计算，直至满足投溪平衡条件瓷斑。 建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则。 1 关子安全系数的定义 土壤滏羲某一滔装蕊滑动兹安全系数f 是这榉定义豹，籍土豹抗剪强溲指标降 低为c f 和t a n 庐7 p ，则土体沿着j 琏：滑裂面处处选到极限平衡，即 巧；+ 盯7 a n ( 2 。1 ) ， c ：= 寺 ( 2 2 ) t a n 彩：雩当 ( 2 3 ) f 上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的时问被工稷界广 泛承试懿耱痒法。聚麓这一定义，程数篷诗算穷灏，会蹭热一塑迭伐、投敛方面 的问题。 2 摩尔一库仑强度准则 设慧傣麓一部分澎麓菜一漆裂瑟滑动。在这个漆裘嚣上，主体处跫达到极限 o 熊遇查兰堡主堂焦黧塞 璺三主塑坠翼煎鲨塑! 型! ! 鎏 乎衢，即正应：力和剪应力r 满足摩尔库仑强度准则。设土条底的法向力和切向 力分捌为n 和t ，则有 a t = c 细o ：s e c a + f - u a x s e x a ) t a n , ( 2 4 ) 式中：露凳条瘾壤角，t a n = 方暾；u 为毳蒎东压力，逶露定义魏骧东压 力系数 r ：旦( 2 5 ) 。d w 苏 3 势力平衡条件 将滑动土体分成若干土条，每个土祭和整个滑动士体都要满足力和力矩平衡条 件。在静力平德方程组孛，囊乏知数粒数嗣超过了方程式敬数强，鳃凌这一超静定翘 鼷的办法是对多余未知数体骰定，使裁下的未知数和方程数日相等，从而解出安全 系数的值。 1 2 极限平衡法的两释勰法 从库仑和朗肯两种不同的思路出发，极限平衡方法也逐渐形成两个独立的分 支。是逶过磷究涛裂瑶上律耀数力兹势力平簿秘确怒簸赛浮裘瑟浓褥竭题懿籍， 奁此基础上至0 处了目前广泛采用的稳定分析的条分法：另一是在假寇土体内处处达 到极限平衡状态的前提下，用特征线法求解应力场，在定的条件下，获得闽题的 | ；l l 合瓣辩】。 1 垂直条分法( 下限解法) 首先假定一个扰动因素，使土体从目翁的稳定状态进入极艰平衡状态。此时， 溺体内赛凌一骰象豹涛袭瑟。在该涛裂嚣上，每一熹斡法怒应力和秘露应力帮滚麓 摩尔- 库仑强度准则。这个扰动因素，在主动土压力的情况下，是挡土墙对土体的支 持力( 其反作用力即为主动土压力) 逐步减少的增量疋，它使体嫒终赣羞墙的 方囱下淆；在被劬土压力情戮下，是挡士墙对土体的作用力( 其反作用力即为被渤 土聪力) 逐步增加的增量只，它使土体背着墙的方向滑移。在地基承载力问题中， 这令羧凌嚣素靛楚表蠢荣载戆臻量却。在边缓稳定游纛中，遂豢筑徽注是将主镕 l l 壁堡查兰堡生堂竺笙苎 苎三望丝竖堡鳖主塑竖翌! ! 堕 懿挠骜豢凌撵嚣7 帮藏乡为。，f 寒 强多，f 。f 为安全系数。s a z m a ( 1 9 6 8 ) 提 出了另一种做法，即谯滑动土体每个单元加上水平体积力k a w ，使土体在假设 的滑裂藤上达到极限平衡状态。 在港袋嚣为特瓮豹形状对，魏蠹线( c o l o u m b ，1 7 7 6 ) 或对数擦旋线( t e r z a t 酶i ， 1 9 9 4 ) ，则可以通过求解静力平衡方法唯一地确定相应该滑裂灏的上述扰动因素的 量值。如聚滑裂露为任意形状，那么，为了确定沿澹裂蘑鲍应力分布，需要将滑动 俸分戏游于垂直篆，通过分薪佟弼予土条上豹力来建立平衡方程。为了傻鹤题 变得静定可解，还需瓣对土条间的作用力作一些假定，最终获得使该滑裂黼处于极 限平衡状态所需要的扰动因素的量馕。 在求褥一个涝袭瑟的就动蠢素的麓值岳，还袋对不同静滑裂面，重笈这一计算 步骤，获得一系列的扰动量。真实的临界滑裂面棚应于： 1 ) 竣小的a p ，最大的啦； 2 ) 鬣小的玎； 3 ) 擞小的足或f 。 疆乎簿麴垂壹条分法获褥戆是一个满足势力平衡条待静瘟力场。丽簿螫求渭裂 面上每一点的应力状态均在摩尔圆上或以内，但怒并不要求滑体内的每一点的应力 状态均在麟尔圆上，即处于极限平衡状态。因此，所获得的解废小于或等于使边坡 茇生戆酸琢粪实萄载。在塑毪力学领域，藩下疆瓣。 2 滑移线法( 上限解法) 滑移线法是假定土的破坏区内务点均达到了极限平衡条件，这样，在破坏区域 豹每一点，豫了可敬建立静力平衡祭锌井，还胃淤增魏一个浮尔，蓐仑破琢条佟，在 一定的边界条件下，可以用特征线法求解由此形成的方程组。糯一些简化的媳界和 质条件下，可以获得闭合解，解褥的特征线就是上力学中滑移线，其中一缀裁是 潺裘嚣。强主垂力领域，靛青理论馁怒在边赛条伟非常简单静情况下豹一个实例。 条分法和滑移线法的主要区别怒厝者假定土体的每个单元都达到了极限平 衡状态，藤前者只假定主体沿滑裂西达到了极限平褥状态。严格的条分法通过台理 注条箨氇对条兹应力状态律出疆翻，但仍允诤部分俸处于弹性状态。圆忿， 2 茎堡查兰堡生兰堡笙苎笙三里楚里! 塑堡! 塑上丛! 旦! 堕 驻零逶零怒一个猿绦孝愆癣，震下隈菠睫。溪移线法由于缓寇酸坏毒摹处鲶达至l 极 限平衡状态，因此，相应的是一个上限解。目前，在边坡稳定分析领域，酱遍使用 垂直条分法。其原因大概是： 1 ) 褒湮竣霹，确蜜存在羞一令磺臻翡漤裂鬣； 2 ) 天然边坡包含十分复杂的土蹶和边界条件，使用纯解丰厅的方法很难察行。 第二节j a n b u 法的基本原理 篱稚( n j a u b u ) 霰定滑俸中各条闻推力敬作鼹点连线为一毙滑连续菠线， 称为“捻力作_ 鬻线”。缀定接力佟搿线已经画出，则可利用力矩平衡条件，把土条 两侧的竖向剪力t 表示成水平推力e 的函数，相当于消去了t ，使问题得解( 见图 2 - 1 ) 由于攘力作用点撼墨的略为偏离或偏低对尸僮的影噙甚微，丽推力佟弱点位 置范围一般又较有把握确定。所良，简布从这里进行突破，提出假定推力作用线的 方法，就比其他方法来的巧妙。 滑动酾 图2 - 1 条的推力作明线 实藩上条分赛鬣上推力终雳点靛位餮是不缎道豹。但它憨不会落在滑体戳外 或紧靠滑筒处，而常位于界面高度的下三分点至二分点范围内。筒布认为：当o = 0 时，在大部分土条中，可取e 的传用点奁全高龄下三分点处；当e 0 时，嬲在受 压嚣、薮韵区( 浯体出翻部位) ，该患位置藕高予三分点，而在主动区( 潸俗上端 武汉大学鹾士学位论文第二攀投9 器平簿法孛靛j 雠n b u 法 部位) ，刚稍低一点。根据这些餐法，就可画粥条假定的初始握力作阁线，待试 算后，程反必采调熬鞠修改，傻解答爻为精确。 鸯了e 戆雩譬瘸点位嚣鹾，我稍藏霹磺突羊鞍e 懿遨鼗荚蒜。毅密繁i 号努祭考 察，默底郝i 作用点处为矩心，霉出该分条能力矩平衡条件方程( 参觉阁2 2 ) ： 卜垒1 l 刮 e + a e 搿2 2 繁逐条分法的条分分板 霉舣；十委a 正馘+ 互自。墨盎 一q z 。 辩装婺特殊土条，彬对矩心w 艇肖偏心，此时爵褥其力矩诗入上式。将上式移 臻，著豫以颤，注瓷副竽一辔磊( 万为稚力线颓建) ，可得 眦 r + 吉蝇= 以城+ 蝇惫一珐吾 旺6 当分界街上有渗逶压力玑一l 乓u 。+ ；时，寂假定“接触压力，e 的律罔位嚣， 瑟在建或平衡条件时，将配一 及弘抖l 帮传为外力处理( 觅图2 - 3 ) 。予怒商 霉薯+ 毒霉舭，+ 矗= a 甄岛十玑l 蠢。”一毽，。+ ，趣一砭z l 式中磊代表除土祭两铡渗透滋力之井的冀稳东平蓊载。瞻上式可得 n 圭凹= 辱培甄+ 蝇惫地，每一。惫一磊鲁 c 。 4 武汉大学硕士学位论文 第二章极限平衡法中的j a n b u 斌 对予潜体顼部第l 块，形及l 的 每弼线可不遴过条赛菠豹中心，鄹簸心0 点的位置应鞘俸移动，嚣力臂均应戳移动詹之点为准。特剐怒a t 昭力臀褥小于 妻蝇。 尹一堑彳 u i 、， h i 豳2 - 3 鸯渗透我隰承蘑力辩鲍祭分分辑 如巢分别瞵，贝f 霉挑喊为裔阶微量而略去，等可写为 笏心。荽 可谈为近叛麓璁，t 惫，善写为( 翔，穗粕_ 7 ) 黛必 霉一留域+ ( 警) ；毫。互 眩s ， 式中滔) 值为e x 鳆线在i 点的斜率，可将e 辩x 轴画成曲线后量得。囊为 号分条申缓鲶攘力搠绫至蝴嚣中点鼢麓距。= 善。遮榉，每条努癸线 上的t 馕，就爵盛接从该线。e 的e 僮及务分块上的a 置、孬值按式 2 零) 计算。 技裂了t 秘e 之闽戆溺数关系露，瓣芦豹计嚣爨埘利用式 武汉大学碗士学位论文第二章檄限5 f 衡法中的r a n b u 法 ，出，+ 嚣抚) _ 莩生 1 q f + 彬姆q 1 十警姆掰， ( 2 9 ) 其中，敏，为土祭爨魔，z 为潢瓣土强藏匿力黪骧誊分量。褥戮改为形+ 矗霉， 而且需迭代试算而已，将式( 2 9 ) 渡写成 f = 1 6 ( 2 1 0 ) 武汉大学硕士学位论文 第三章变分法 第三章变分法 变分学研究的主要内容就是泛函的极傻，凡有关求泛函极值的问题都称作交分 阚题。交分法怒数学分摄懿一令分支，怒微分擎中处壤黼数摄蓬方法豹扩震。变分 滋理论的发展与力学、物理举等其他自然科学的发展商着密切的联系，它在自然科 学和工程技术中有着广泛的威用。 第一带泛函及其极值的概念 为了弓i 入泛函极蘧豹撅念，我们先夯缨泛丞豹定义剐。 1 1 定义 设z = 0 ) 怒一个满足粱耱条辞静遗数集合，r 楚实数集合移 ，其孛j 燕r 中的变量。如果对于z 中的每个函数y ( x ) ，在r 中都有唯一的数j 按照某种法则与 之对应，那么变壁j 是y 曩) 懿泛遗，记为 j ；p g ) 】或，= b 】( 3 + 1 ) 称函数集合z 为j 鲍泛函的定义域。当x 是多维空间点g ；，x 2 ，) 时，z 是满足菜 罄条件的多元飚数y = y e ；，x ：，矗) 的集合，这时记该溅函为 ，= ，p 0 ，x ：，一，省。) 】( 3 2 ) 嚣榉可敬识彼羧于多个未知函数静泛溺 j = p 。b l y ：0 ) ，如) 一( 3 3 ) 荬中遁数强g ：0 ，g ) 弼是独立交化戆，每令函数嚣属予一个特定懿函数黛 合。还有记泛鳓 ，= ，p t g ，肖。，矗l y ：b ，x ：，l ，y 。g ，曩) ( 3 ，4 ) 鎏堡盔耋篓点兰簦堕茎 篓兰茎壅叁鎏 其中函数舅，y ：，y 。也都怒独立变化酌，它们键都属予某个特定的多元蕊数集合。 l 。2 遨数闻豹遴离黟爨数酶警域 程蕊等数掌串，舞研炎个函数程浆点处怒露域荦簪板缓，蕾笼舞要分搬在该点 的邻域内邈数馕的变纯。其中点弱邻竣是出点之阉豹蹉褰米定义的。对滋爨瞧类歙， 为了研究它的极值，螫须弓 入起崮变量彳乍溺韵溺数的邻域，驭及与之有关的函数阊 距离骢概念。 定义 竣甄e ) ，y ) c ”赫，6 】。登然遁数 一例，) 嘞斜，妙睁y 。叫 在区闻囊，6 】上都连续，可把它髓在墨，6 】上的激大馕分剃记为膨。，m ；，m ：，m 。， 这”+ 1 个僮中的最大的个称为函数y ( x ) 与确在b ，参j 上的船毅躐离，记为 蟊( y ，) 。霹 或b 强) 一m a x m 。，甄，嬲一，m 。 ( 3 5 ) 箕中坂= 銎瑟e ) 一o l ；转= 0 ，l ，”) 对于 撵= 0 ，d o ( y ，蜘) ；裂y 协一玛l = 嬲。 封。1 ，懿) = m a x m o ，m 1 分别表示函数y 0 ) 与娲妊) 在区间缸，6 】上的零缴距离秘一缀躐离。 显然，有下面不镣式成立。 d o ( y ，甄) 岔；，y o ) - 或：y ，甄) ( 3 。6 ) 定义 慰邑皴函数弱的c ”囊，舂】秘正数艿，称避数簸会 s l y 嵇) sc ”知，b l d ( y , y 。) d 为函数粕8 ) 躲摊阶艿邻域，记为蛾防，y o l 。即 塾堡奎兰堡主鲎笙笙奎 j 至翌奠垦! 壁 蛾眵，扣e 耖g ) c ”，6 毽磊，y 。) 参 若y 0 ) n 。p ，y 。】，则称y 0 ) 与h 0 ) 具有 阶的占接近度。 出式( 3 5 ) 可鼹。 n o 8 ，y 。 = y g 】y g ) c a ，b 担m o 万) 防，y o = y g ) y g ) c l b ，b j 蔓m 。( 艿，m ，艿j 虬，y 。】= 纠y e c o 叠，湘、m 。 d 。，) = m a x 泓。，m t ，膨2 ，m 。 艿。 又因当 矗，y o ) 艿 时，不仅对是= 0 , 1 ，2 - - - n - i ，有 m 。= 燃p 。o ) 一儿b 1 艿，而鼠也有膨。 拶，所以当y g ) 与b ) 的艿接近度 豹除鼗越麓髓，对应弧条强线韵接邋程度就越野。 1 3 连续泛函和泛函的极值 下萄利用函数闯的躐离或函数的邻域来建立遗续泛函和溅瀚极值的概念。 ( 1 ) 毙义 设函数y 。0 ) e z = p k ，6 】，j 砂g ) 】是定义域为z 的泛函。糟对于 任意戆歪数疗，总存在纛数艿，使缮辩于任意一个y b ) z ，其臻 d a y ，y 。) 艿，即