（概率论与数理统计专业论文）几类风险模型中破产时间期望现值及其相关问题.pdf

摘要 自1 9 9 8 年g e r b e ra n ds h i u 提出经典风险模型中贴现罚函数，后来 许多学者讨论了普通更新风险模型以及经典带扰动风险模型的贴现罚函 数，并对罚函数值不同的值得到所需要的概率分布函数。本文在上述研究 的基础上得到了普通更新风险模型中破产时间的期望现值满足的更新方 程，并将上述模型推广到带扰动的情形，讨论了其破产时间的相关问题 在第一章中，回顾了风险过程的研究现状和主要成果 在第二章中，介绍了文章中涉及的基本概念和方法 在第三章中，在现有结果的基础上得到了普新更新风险模型中的破产 时间期望现值并根据普通更新模型与平稳更新模型的关系，得到了其破 产时间期望现值的关系 在第四章中，具体分析了e r l a n g ( n ) 风险模型，得到了其破产时间 期望现值满足的更新方程，以及在初始盈余为0 时破产时间的矩和有限时 间破产概率 在第五章中，进一步将模型推广到带扰动的更新风险模型，得到了其 破产时间满足的更新方程和最大盈余分布的积分一微分方程 关键词：更新风险模型，破产时间期望现值，最大盈余分布 i l a b s t r a c t s i n c e19 9 8 ，g e r b e ra n ds h i ua d v a n c e dt h eg e r b e r - s h i u e x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ni nt h ec l a s s i cr i s km o d e l m a n ys c h o l a r sd i s c u s s t h eo r d i n a r yr e n e w a lr i s km o d e la n dt h ec l a s s i cr i s km o d e lp e r t u r b e db v d i f f h s i o n o nt h eb a s i so ft h e s er e s u l t s ，i nt h i sa s s e r t i o n 。w eo b t a i nt h er e n e w a l e q u a t i o no ft h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fr u i nt i m ei no r d i n a r yr e n e w a lr i s k m o d e l f u r t h e r m o r e w eg e n e r a l i z et h em o d e lt or e n e w a lm o d e lw i t t id i f m s i o n a n do b t a i nt h er e n e w a le q u a t i o no ft h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fr u i nt i m ei n e r l a n g ( n ) r i s km o d e lw i t hd i f l u s i o n i nc h a r p t e r1 ：w 色i n t r o d u c et h er i s kt h e o r yp r e c i s e l y i nc h a r p t e r2 ：w em a i n l yi n t r o d u c es o m eb a s i cn o t a t i o na n dm e t h o d s w h i c hw i l lb eu s e f u li nt h ef o l l o w i n gc h a r p t e r s i nc h a r p t e r3 ：b a s e do nt h er e s u l t so ft h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n w e o b t a i nt h er e n e w a lf u n c t i o nw h i c hs a t i s f i e db yt h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo f r u i nt i m ei n o r d i n a r y r e n e w a lr i s km o d e l i n a d d i t i o n a c c o r d i n gt o t h e r e l a t i o n s h i po fo r d i n a r yr e n e w a lp r o c e s sa n ds t a t i o n a r yr e n e w a lp r o c e s s ，w eg e t 、h et h er e l a t i o no ft h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fr u i nt i m ei nt h e m i nc h a r p t e r4 ：w ed i s c u s se x a c t l ye r l a n g ( n ) r i s km o d e la n do b t a i ni t s r e n e w a le q u a t i o no ft h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fr u i nt i m e a n dw ea l s og e t j t sr u i np r o b a b i l i t yi ne 1 1 i t et i m ea n dt h em o m e n t so fu l t i m a t er u i nt i m e i nc h a r p t e r5 ：f u r t h e r m o r e 。w eg e n e r a l i z et h eo r d i n a r yr e n e w a lr i s km o d e l t ot h eo n ew i t hd i f f u s i o n ，a n do b t a i nt h er e n e w a le q u a t i o no ft h ee x p e c t e d p r e s e n tv a l u eo fr u i nt i m e ，t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o n o f t h em a x i m u m s u r p l u sb e f o r er u i ni ne r l a n g ( n ) r i s km o d e lw i t hd i f m s i o n k e yw o r d sr e n e w a lr i s km o d e l ，t h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo f r u i nt i m e ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h em a x i m u ms u r p l u s i u 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名： 耄兮头 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：二童全盘导师签名燃日期：2 q q 鱼年上月盐日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 风险理论简介 第一章绪论 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，而破产理论( r u i nt h e o r y ) 是风险理论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容风险理论主要应用于金融、保险、证 券投资以及风险管理等方面，它借助概率论与随机过程理论来构造数学模型描 述各种风险业务 现已公认，破产理论的研究溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年 发表的博士论文，至今已有近百年的历史事实上，一类重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在那篇论文里提出的不过，l u n d b e r g 的工 作不符合现代数学严格标准它的严格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完 成的，他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系关于风险理论系统的论 述当推g e r b e r 和g r a n d e l l 近几十年来，随机过程的一般概念与结果在风险理 论的地位不断提高，应用随机过程的已有结果来研究风险理论的方法，不仅大 大简化了一些经典结果的证明，而且可以解决许多新问题，如平均破产时间、 破产前瞬时盈余分布、破产前最大盈余分布、破产赤字、引起破产的索赔额分 布和破产到恢复期间的最大盈余额的分布等等这些方法主要有鞅方法和更新 方法，还有部分是利用强马氏性 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究，破产理论主要应用在经 营稳定性分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法经典风险模型的表 示通常如下： u ( t ) = u + 保费收入一总索赔 其中，u ( t ) 表示在时刻t 公司的盈余额，u 为初始准备金如果在时刻t 盈余u ( t ) 首次为负，我们则称破产发生 在破产理论的研究领域，有突出贡献的当属g r a n d e l l 和a s m u s s e n r u i n p r o b a b i l i t y 嘲及g r a n d e l l a s p e c t so fr i s kt h e o r y 提出了经典风险 硕士学位论文 第一章绪论 模型，在此基础上研究了更新模型，c o x 模型，平稳风险模型以及几类基本风 险模型下的破产概率等，g r a n d e l l 的研究方法、技巧为我们学习风险理论提供 了借鉴，该书的研究成果为破产理论的进一步发展奠定了基础；a s m u s s e n 在经 典理论与现代破产理论之间起了桥梁、纽带的作用，运用矩阵分析、模拟等方 法深入细致的讨论了在几类特殊条件下风险理论所关心的问题 破产理论( r u i nt h e o r y ) 是风险理论的核心内容同时对于保险公司而言， 掌握破产概率可使保险公司在激烈的市场竞争中处于有利的地位；对保险监督 机构而言，利用破产理论可以更好的对保险市场进行监督因此，对正在发展着 的中国保险市场而言，对破产概率、有限时间生存概率的研究有着及其重要的 意义 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要 风险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运 作因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险 公司的破产概率等等都是十分重要的课题 1 2 经典风险模型研究现状及其推广 1 2 1 经典风险模型研究现状 按照总索赔的方式划分，风险模型可以分为短期个体风险模型、短期聚合 风险模型、长期聚合风险模型三种；按照对保费的收取方式划分，风险模型可 以分为连续模型和离散模型两种连续模型采取连续收费的标准，即以时间为连 续变化的量连续的收取保费；离散模型采用离散收费的原则，即以一定时间长 度为收费的单位时间，在每一个单位期间只收取一次固定的保费讨论的最多的 连续经典风险模型是复合p o i s s o n 风险模型，又称为古典风险模型；讨论的最 多的离散经典风险模型是复合二项风险模型 经典风险模型一般很难应用于实际目前保险风险理论的研究基本上是对 经典风险模型的改造和推广，使得模型更贴近于实际，结果更具有可操作性 其目的是明确的，方法是多样的这也极大的推动了风险理论的发展 古典风险模型是研究历史最长并且理论最为完善的风险模型，也是最简单 硕士学位论文 第一章绪论 的风险模型它的严格表述如下： 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型的所有的随机变量和随机过程均定 义在这样一个概率空间上 其中作出如下假定： ( 1 ) 过程n = n ( t ) ，t 0 ) 是一个强度为力的p o i s s o n 过程； 令： ( 2 ) z = 钇；f _ l ，2 ， 是独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为 f ( z ) ，且f ( 0 ) = o ，期望为； ( 3 ) r = ( f ) ，t 0 ) 与z = 涵；f = l ，2 ，) 相互独立； n 1 u ( f ) = + c t - - z = c l - - 窆z 其中，u 0 是初始准备金，c 0 是常数，表示单位时间的保费收入，n ( t ) 表( 0 ，t 时间间隔内发生的索赔次数，互表示第i 次的索赔量( 注：在本文中， 0 约定互= o ) t = l 我们称( r ) ，t 0 ) 为复合p o i s s o n 风险模型， s ( ，) ，r 0 ) 为此模型的盈 利过程，这里的保费收入过程 c t ，t 0 ) 是时间t 的线性函数 实际上这一经典模型在进行处理时还遵循一重要假定，即调节系数存在 唯一性假定 首先要求个体索赔额( i n d i v i d u a lc l a i m ) 的矩母函数( m o m e n t g e n e r a t i n gf u n c t i o n ) 即： m a r ) = ( p 。) = f 矿卵( z ) = l + ，f p ”( 1 一f ( z ) ) 沈 ( 1 2 1 ) 至少在包含原点的某个领域内存在； 其次，要求下述方程： 硕士学位论文 第一章绪论 鸠( ，) = l + _ c ， ( 1 2 2 ) 具有正解 基于 t ( ，) 在其收敛域是严格意义下的递增凸函数，故方程( 1 2 2 ) 若有 正根，必是唯一的，恒记为r ，并称为调节系数( a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ) 由( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： 詈p ( 1 - 心) ) 加1 注意到： 詈p c t 叫砌出= 詈= 击 ， 即知上式不是一概率密度，但若令： 厂( x ) = 兰矿( 1 一f ( z ) ) ，对v z 2 0 则知f ( x ) 为一概率密度，这也是调节系数r 命名的由来 评估保险人是否稳健经营的一个重要指标是达到负资产的可能性有多 大，即对破产概率的计算问题 为了更加精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r 等引入了函数 g ( u ，y ) = p r l u ( r ) i _ y ，r 。i u ( o ) = z ，) ( 1 2 3 ) 其中l u ( r ) i 表示破产时的赤字，g ( u ，y ) 描述了破产赤字的分布g e r b e r 等 给出了g ( u ，y ) 满足积分方程特别地，当f ( x ) 为混合指数分布和混合g a m m a 分 布时，给出了g ( u ，y ) 的解 在此基础上，随后d u f r e s n e 和g e r b e r 又引入了函数 v ( u ，x ) = p r ( u ( t 一) x ，r o 称为一个计数过程，若( f ) 表示到时刻t 为止已发生的“事件”总数。显然( ，) 满足； ( 1 ) ( f ) 0 ； ( 2 ) n ( t ) 取非负整数值； ( 3 ) n ( t ) 的样本函数为右连续单调不减的阶梯函数 定义2 1 2 计数过程 p ) ；， o 称为齐次p o i s s o n 过程，如果它满足以下 几个条件： ( 1 ) p n ( o ) = 0 = l ； ( 2 ) 对于任何f j o ，增量甄，= ( f ) 一( s ) 有参数为a ( t s ) 的p o i s s o n 分 布，即对k = o 12 有 p 州s j = 9 硕士学位论文 第二章预备知识 这里五0 为常数，称作过程的强度： ( 3 ) 具有独立增量 ( 4 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m 。( f ) 只依赖于参数t - - s 而与s ，t 的具体值 无关条件( 3 ) 表示过程无后效的，即对任意正整数n 和任意实数 0 t 2 o 没有重点，即 p i n ( t ) = 0 或l ，对任意f 0 ) = 1 满足上式的点过程称为几乎处处有序的 若瓦表示第1 1 点的发生时间，记s = - r 一。，并且令瓦= 0 ，则序列 最，聍= 1 ，2 ，) 表示点过程的点间间距序列对此，有以下重要定理： 定理2 1 1 计数过程 ( ，) ；， 0 ) 是具有强度为五的齐次p o i s s o n 过程的充要条 件是它的点问间距 是相互独立的均值为喜的指数分布随机变量序列 2 1 2 复合p o i s s o r 过程 定义2 i 3 随机过程 s ( t ) ，t o 称作齐次p o i s s o n 过程( 简称复合p o i s s o n 过程) ，如果它可以表示为如下的形式： ( f 1 s ( t ) = ，t - o 其中计数过程 ( t ) ，t o ) 是参数为五的齐次p o i s s o n 过程，伐，1 1 = 1 ，2 ， 是相互独立同分布的随机变量序列 2 2 更新过程 在齐次p o i s s o n 过程中，要求它的点间间距序列 ，n = l ，2 ，) 相互独立且有 相同的指数分布如果只保留对点间间距相互独立的要求，而允许它们有任意的 分布，就自然地引导出齐次p o i s s o n 过程的一种推广一更新过程 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 定义2 2 1 设 最，n = l ，2 ， 是一列相互独立同分布的非负随机变量序列 它们共同的分布函数为f ( x ) 如果把鼠看作是一个点过程的第n 一1 个与第n 个点 事件之间的时间间距，则第n 个点事件的发生时间是 瓦= 墨，n _ l i = l 规定s o = 0 ，我们把由 n ( t ) = s u p n ：l t 定义2 2 2 若延迟更新过程的初始分布满足 g ( t ) ：( i 1 - f ( x 一) ) d x ，t 。 ix d f ( x ) ( 2 2 1 ) 则称为平稳更新过程 对于平稳更新过程，可以这样理解：假设有一个普通更新过程，它的更新区间 长度的分布是f ( x ) 设想这过程在开始对它进行观测之前( 把开始观测的时刻取 为时间原点t = 0 ) 很早( 即t 寸m ) 就已经开始运行于是，初始时刻t = 0 到其后第 一次更新的间距s 服从由( 2 2 1 ) 给出的平衡分布g ( t ) ( 通常记为c ( t ) ) 定义2 2 3 更新过程n 称为常返的，如果以概率1 有瓯 0 ，设过程的点间间距s ，是，马，的共同分布是 f 为避免出现平凡的情形，假设f ( 0 ) 0 硕士学位论文 第二章预备知识 表示相继发生两事件的平均间隔时间 2 。3 期望贴现罚函数与破产时间期望现值 ( 1 ) 函，6 p ，一s h i u 期望贴现罚函数是由g e r b e ra n ds h i u 于1 9 9 8 年提出的 其设为： ( “) = e 一”w ( u ( t - ) ，i u ( r ) i ) ，( r o ) 为一更新过程，其索赔时间间隔序列 k ，匕，) 为独立 同分布的正随机变量k 为0 时刻到第一次索赔发生的时间间隔，为第i - 1 次 与第i 次索赔发生的时间间隔，其中i = 2 ，3 ，设矿的分布函数为k ( t ) ，并令 霞( r ) = l k ( f ) = e ( v f ) ，其中v 为任一k ，其中i = 1 ，2 ，3 ，设其密度函数为 七( ，) 2 k ( f ) ，e ( 矿) 2 【k ( t ) d t j ，) ，x 为任一置，其中 i = i ，2 ，3 ，i 2e ( x ) = f h ( y ) d y o o ，密度函数| i ；( s ) = e ( p “) = f e - “d h ( y ) 1 4 并且设其相应的尾分布为： h ( ) ，) ；f 9 ( t ) a t e ( r ) ，矗( s ) = f e - r d h t ( y ) = ( 1 一( j ) ) ( 嬉( y ) 且令冠( y ) = 1 - h t ( y ) 保费收入为每单位时间连续支付c = ( 1 + 护) e ( y ) e ( 矿) ，其中0 为相对安全系 数同时，在时刻t 的盈余设为：【，( f ) ，其中u ( t ) = u + c t - ，= ，“o 为初始 盈余；t 为破产时间，则 ，i i 叫r ：u 0 i 。，若以对任意t 恒大于0 若破产发生，则设u ( r _ ) 为破产前瞬时盈余，i u ( d f 为破产赤字破产概率设为： ( “) = p ( t o o ) = e i ( t o o ) 3 2 2 普通更新模型中的破产时间期望现值 由3 2 1 节中定义，可设破产时间期望现值f ( u ) 为： f ) ；e e 一”i ( t 0 的情况在这种情况下，万可看成是利息强度或是 l a p l a c e 变换的参数并注意到j = 0 时，f ( 甜) = ( z ，) 即为破产概率 对u ( 0 ) = “2 0 ，令驴( “) 为期望贴现罚函数，f ( x , y ，tl u ) 为破产时间t 、破产 前瞬时盈余u ( 丁_ ) 、破产赤字i u ( r ) l 的联合密度函数，则 ( “) = e e 。7 w ( u ( t - ) ，l u ( r ) i ) ，( r o 。) l u ( o ) = “】 坟x ，y ，t i u ) = = p ( u ( t ) x ，i u ( t ) i - y ，t t l u ( o ) 2 u ) ， f ( x , y i u ) = f e 4 f ( x ，”i u ) d t 定理3 2 1 破产时间期望现值满足的更新方程为： ，= f * g + m ( 3 2 2 ) d f t g ( y ) = f ( x , y i o ) 出，m ( “) = r f m ，y i o ) d x d y = f g ( y ) d y 证明：由 硕士学位论文第三章更新风险模型中破产时问的期颦现值及其相关问题 矿( “) = r f f p 4 庐 一y ) f ( x , y ，t l o ) d t d x d y + f f f e - 5 w ( x + “，) ，一“) ，( x ，y ，t l o ) d t d x d y = f if 妒( “一j ，) m ，y l o ) d x a s , + ff w ( x + u , y 一“) m ，y l o ) d x d y 取以x ，y ) s 1 得： f ( “) = rf f 一y ) ，( z ，y l o ) d x a s , + ff ，( x ，y l o ) d x d y ， f ( o ) = ff y x , y i o ) d x + 设g ( y ) = f ，( x ，y l o ) d x ，则上式可写为： f = f 。g + m 其小( “) = f f f ( x , y l o ) d x d y = f g ( y ) d y 3 3 破产时间期望现值在平稳更新风险模型与普通更新风险模型的 关系 在3 2 节中我们介绍了普通更新风险模型，在本节中我们通过研究普通 更新模型与平稳更新模型的关系，找出在此两种模型破产时间期望现值的关系 平稳更新模型与普通更新风险模型不同的是：第一次索赔时间间隔k 的密 度函数为g e ( v ) ，而不是k 因此，在平稳更新模型中我们类似地用表示破 产时间，u ( t 一) ，i u ( 瓦) 1 分别表示破产前瞬时盈余和破产赤字设破产时间期望 现值为e ( “) = p 一以，( t m ) i u ( o ) = “】下面寻找f ) 与e ( ”) 的关系 首先对f ( “) 置条件五，正，得： f ( “) = e e 。7 i ( t o o ) i u ( o ) = 材】 = e e e 一”i ( t o o ) i u ( o ) = 甜】l 墨，正】 = f e - 4 t 七( ，) r f ( 甜州一y ) d h ( y ) d t + p 。露o ) 。d h ( y ) d t 令y ( ，) = f ( t - y ) d h ( y ) + f d h ( y ) ，并代入上式及改变积分变量得， 脚) = r e 4 砌+ c o g ( ，) d t = 昙f e - 5 ( v - ) m k ( 半旭) a t 硕士学位论文 第三章更新风险模型中破产时间的期望现值及其相关问题 f a 炉f e - , s t y ( 川) 器出= 赤f e - 6 ( ( t - u ) l c ) g ( t - 。u ) 朋西( 3 3 1 ) 由c e ( v ) = ( 1 + d e ( y ) ，对e ( 甜) 求导得： ：知+ 竺学一面r a i n y ) s z ， 令确= f e 一“f a “胁，k ( s ) = p ，( “胁，r = i f d h 万( y ) 从而由( 3 3 2 ) 可得 啦一f a o ) = 吾粕+ 警c l 删 ( 3 3 3 ) c i j 定理3 3 1 平稳更新模型中破产时间期望现值c ( 甜) 与普通更新模型中f ) 满 足如下关系： f a “) 2 丽1 r f ( 川) 越( f ) + g ( 甜) ( 3 3 4 ) 其愀加m 。p 舭) _ 志胁训饵( y 凇叫归i f d h 万( y ) 证明：记a r ( “) = i ：f f ( “一y ) c 抒( ，) ，贝o ) = p 呻) d z f = 晰越砂甓孚 ( 3 3 5 ) 由于e ( y ) c e ( v ) ) = 1 ( 1 + 0 ) ，则( 3 3 3 ) 可表示为： ( s 一詈) 丘( 加f a 0 ) + 南菇( 沪砸)cl + 令s ：至，则得 f a o ) - ( 争志彦 代入( 3 3 6 ) 得 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 硕士学位论文第三章更新风险模型中破产时间的期望现值及其相关问题 ( 卜争丘甜( 詈卜呆丽舌争南 ：等( 一8 8 - ( - a 而) - 8 广- ( s ) 粕，：静，+ 鲁一赤订d - ( 8 - ) - 8 - ( s ) s s ， 胁) = 南帕) + e ( a c ) uf e - ( , ，l c ) t t ( r ) 西一意“mf e - ( a c ) t o 出 定理3 3 2 设在平稳更新模型、普通更新模型中破产概率分别为忱( “) 、y ( “) ， 则其满足如下关系： 虬( “) = 而1 r 妒( 川) d h t ( t ) + g ( 甜) ( 3 3 9 ) 其中= 丽1 【1 一e l ( “) 】 证明：由定理3 3 1 ，令6 = 0 ，则e ( ) = 饥( “) ，f ( “) = y ( ) 且 咖) = 胁胪f 而品f 扭( y 陟 = 志f 瓤肛丽1 似舢一聃) 】 = 丽1 【1 一q ( 甜) 】 3 4 破产时间的矩 3 4 1 破产时间的矩 由f ) = e 【p 一”i ( t o o ) i u ( o ) = “】，则有 1 8 硕士学位论文 第三章更新风险模型中破产时间的期望现值及其相关问题 筹肌) = 研( 彳) 譬q r y ) ，y 为任意l ：( 其中 i = 1 ，2 ，3 ，) 设e ( y ) = f f ) 砂 m ，密度函数为：_ i 5 ( j ) = ( p “) = f e - v d h ( y ) 并且设其相应的尾分布为： q ( y ) = f h ( t t e ( r ) ，后( s ) = f p 一9 碱( ) ，) = ( 1 一j ；6 ( s ) ) ( 妲( y ) 且令蜀( y ) = 1 一h ( y ) 保费收入为每单位时间连续支付c = ( 1 + p ) e ( y ) e ( v ) ，其中0 为相对安全 硕士学位论文 第四章e r i 卸g ( n ) 风险模型中破产时间的期望现值及其相关问题 m 系数同时，在时刻t 的盈余设为： u ( f ) ，o ，其中u ( f ) = u + c t - r ，“o 为初始盈余；t 为破产时间，则 ，l i n f t ：u f 0 ) 1 0 0 ，若u 对任意t 恒大于。 若破产发生，则设u ( r - ) 为破产前瞬时盈余，i c ，( r ) l 为破产赤字破产概率设为： 缈 ) = p ( t c o ) = e i ( t ) ) 设破产时间期望现值f ( “) 为：，( “) = e e “，( r 1 当r e 善= 0 时， i ，( 善) | ( 1 + 鲁) ” l ，故在半圆c 上i ，( 纠 1 根据儒歇定理，方程在右半复平面上有n 个解记其为一( j ) ，岛( 万) ，见( j ) ， 并简写为p t ，段，岛 2 f 的更新方程 由函数k ( u ) 的n 阶微分k 4 ( ”) 的l a p l a c e 变换为： 善“| ；c ( f ) 一善”一1 _ j ( o ) 一善”2 k ( o ) 一一七( “。( o ) 设o 为微分算子，由g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 4 ) 。“，函数f ( “) 满足积分一微 分方程： y ( d ) f = f + b ( 4 2 6 ) 其中6 ( “) = f + y ) d y 因而(