（电磁场与微波技术专业论文）电磁散射快速多极子方法改进技术的研究.pdf

摘要电磁散射快速多极子方法改进技术的研究 摘要 目前快速多极子方法和多层快速多极子方法作为了当今最快速的积分方程求解器 的杰出代表，广泛应用于各种复杂目标的电磁辐射与散射分析。基于快速多极子方法， 本文首先给出了一种基于多边形的傅立叶积分变换来加速程序中的积分过程，同时使用 球谐函数展开聚合因子和配置因子以减少存储内存，加快求解速度。 在求解包含开放结构的散射体时，如何解决电场积分方程阻抗矩阵性态差，迭代求 解缓慢的问题一直是计算电磁学领域研究的热点。目前比较常见的解决方法包括修正传 统的电场积分方程，扩展混合场积分方程的应用范围和对阻抗矩阵进行预条件。 基于这两种思想，本文首先给出了一种改进的电场积分方程来改善传统电场积分方 程的矩阵性态，其主要方法是将磁场主值项因子加到电场积分方程中，同时以此为基础 构造i l u 预条件算子，在加快迭代速度的同时迭代稳定性也得到保证。 最后，本文给出了一种扩展混合场积分方程应用范围的方法，即在分析同时包含闭 合结构和开放结构的散射体时，闭合结构部分使用混合场积分方程，开放结构部分使用 电场积分方程。相对于单纯使用电场积分方程，该方法在加速的迭代的同时不会影响求 解精度。同时将改进的电场积分方程应用到该方法中，并以此为基础构造i l u 预条件 算子，进一步加速迭代。 关键字：傅立叶积分变换，球谐函数，改进的电场积分方程，复合的混合场积分方程， i l u 预条件。 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t t h eh i g he f f i c i e n c ya n dt h el o wm e m o r yr e q u i r e m e n ta r eu s u a l l yr e g a r d e da st w o d o m i n a n tc h a r a c t e r so ft h ef a s ta l g o r i t h m s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e so nh o wt oe n h a n c e e f f i c i e n c ya n dt or e d u c em e m o r yc o s to ft h em e t h o d s t h ec o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o n a r ea sf o l l o w i n g f i r s t ，t h ef o u r i e rt r a n s f o r mo ff u n c t i o n sw i t hp o l y g o n a ls u p p o r ta n dl i n e a ra m p l i t u d e v a r i a t i o na r ep r o p o s e dt or e p l a c et h eg a u s si n t e g r a li nm l f m a t h e s et r a n s f o r m sc a nr e d u c e t h ec o m p u t a t i o n a lt i m eo fi n t e g r a l t h e n ，i ti sp r o p o s e dt oe x p a n dt h e k - s p a c er e p r e s e n t a t i o n o ft h eb a s i sf u n c t i o n sb ys p h e r i c a lh a r m o n i c si no r d e rt or e d u c et h es a m p l i n gr e d u n d a n c y i n t r o d u c e db yn u m e r i c a lq u a d r a t er u l e s t oe f f i c i e n t l ys o l v el a r g ed e n s ec o m p l e xl i n e a rs y s t e m sa r i s i n gi nt h ee l e c t r i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o nf o r m u l a t i o n ，t h ei m p r o v e de l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n ( i e f i e ) i s d e v e l o p e dt oa c h i e v ef a s ta n da c c u r a t es o l u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gf r o m3 一d c o n d u c t i n gs t r u c t u r e s t h e nt h en e a r f i e l di m p e d a n c em a t r i xo fe f i ew i t ht h ep r i n c i p l ev a l u e t e r mo ft h em a g n e t i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n ( m f i e ) o p e r a t o ri su s e df o rb u i l d i n gi l u ( o ) p r e c o n d i t i o n e r n u m e r i c a le x p e r i m e n t si n d i c a t et h a tt h i si n c o m p l e t el u ( i l u ) p r e c o n d i t i o n e r c a nr e d u c eb o t ht h ei t e r a t i o nn u m b e ra n dc o m p u t a t i o n a lt i m es u b s t a n t i a l l y c o m b i n e d f i e l di n t e g r a le q u a t i o n ( c f i e ) i sm o d i f i e da n dg e n e r a l i z e dt of o r m u l a t et h e e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s o f c o m p o s i t eg e o m e t r i e si n v o l v i n g b o t ho p e na n dc l o s e d c o n d u c t i n gs u r f a c e s t h e s ep r o b l e m sa r ec u s t o m a r i l yf o r m u l a t e dw i t h t h ee l e c t r i c - f i e l d i n t e g r a le q u a t i o n ( e f i e ) d u et o t h ep r e s e n c eo ft h eo p e ns u r f a c e s w i t ht h en e wd e f i n i t i o n a n da p p l i c a t i o no ft h ec f i e ，i t e r a t i v em e t h o d sf o rt h e s ep r o b l e m sc a nc o n v e r g es i g n i f i c a n t l y f a s tw h e nc o m p a r e dt ot h ee f i ew i t h o u tl o s so ft h ea c c u r a c y k e yw o r d ：t h e f o u r i e rt r a n s f o r m ，s p h e r i c a lh a r m o n i c s ，i m p r o v e de l e c t r i cf i e l di n t e g r a l e q u a t i o n ( i e f i e ) ，h y b r i dc f i e - e f i e ，i n c o m p l e t el u ( i l u ) p r e c o n d i t i o n e r 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研究生签名：h 渺， 川年多月矽日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 彦年二月彳日 硕j ：论文【u 磁散射伙速多极了方法改进技术的研究 1 引言 1 1 研究工作背景 1 8 6 4 年麦克斯韦奠定了经典的电磁理论，提出了电磁场普遍规律的数学描述 电磁场基本方程组( m a x w e l l 方程组) 。所有的电磁场问题都可以归结为m a x w e l l 方程组 在各种边界条件下的解。因此，如何获得m a x w e l l 方程组在各种边界条件下的精确求解 就成了对电磁场理论与工程问题进行分析的基础【l 2 j 。 自从计算机引入微波工程和电磁场领域之后，给工程电磁场问题的理论分析和工程 设计带来了新的变化，新的计算思想和方法不断涌现，特别是最近一段时期，电子计算 机的计算速度与容量不断增加，数值计算方法得到越来越广泛的应用。高速电子计算机 的问世，给电磁学的研究丌辟了新的前景，改变了过去一些传统的研究方法，使得从前 被人们认为完全超出解析范围的许多问题能进行求解。 数值方法包含着一个离散化的问题【3 】，因为无论在微分方程或积分方程中，微分或 积分所作用的函数都是连续函数，而电子计算机所能处理的函数则是离散函数。数值方 法所做的工作就是将微分方程化为差分方程，或将积分方程的积分化为有限求和，从而 建立代数方程组。在数值方法应用于电磁场领域的短短3 0 多年里，工程电磁场问题的 理论研究和分析方法取得了前所未有的进展，并获得了大量有实用价值的结果。各种数 值计算方法应运而生，例如：有限元法、有限差分法、矩量法、格林函数法、边界元素 法、谱域法、几何绕射理论、奇点展开法、变分法等。 电大尺寸问题的精确计算是当今计算电磁学中的一个重要课题。随着近代科学技术 的发展，电磁场有效控制和利用问题已经日益成为许多学科、工程技术部门研究的课题。 但是，由于实际电磁场问题的复杂性，相当长时期以来，从解析方法着手进行的分析进 展不大，难以获得满意的分析结果。六十年代开始，计算机和计算技术的飞速发展对科 学、生产、生活等各个领域都产生了深刻的影响，并为电磁场数值分析的广泛应用奠定 了基础。由此各种数值计算方法，例如有限差分法( f d t d ) 、有限元法( f e m ) 、矩量法 ( m o m ) $ 1 模拟电荷法等相继应用于各类电磁场问题之中，使电磁场的分析研究取得了 大量成果。可以预期，在电磁场理论的应用研究中，电磁场数值分析这一分支今后将会 不断地充实和发展【4 j 。 日益发展深入的工程应用迫切需要开展复杂三维目标( 具有复杂几何形体和复杂材 料，电大尺寸或处于复杂环境中的三维目标) 的电磁散射特性研究。它的典型工程应用 有：军用目标隐身、反隐身，雷达探测，作战仿真等。由于雷达工作在微波频段，常见军 用目标如导弹、飞机等除了外形复杂之外，超大的电尺寸也增加了计算和分析的复杂度。 所以如何高效求解这类复杂目标的电磁散射特性( 或雷达截面积r c s ) 【5 】是从事雷达总体 l 硕i j 论文 和隐身、反隐身研究的学者、工程师们所共同关心的问题。复杂三维目标电磁散射的高 效求解包含两方面的含义t 第一：能够在有限的计算机资源条件下实现比较快速的计算； 第二：计算结果应与测量值吻合，具有较高的精度。 长期以来，高频方法( 如几何光学法( g 0 ) ，几何绕射理论( g t d ) ，物理光学法( p o ) ， 物理绕射理论( p t d ) ，复射线法( r 及s b r 方法等) 由于具有计算快速、所需的计算机存储 量少的优点广泛用于分析各类复杂目标的电磁散射特性，但存在的问题是结果精度低， 有时计算所得曲线走势与测量值也不吻合。产生上述问题的原因主要有以下几点 ( 1 ) 目标宏观上的电大尺寸与细节上的小尺寸并存，使高频建模方法精度大大降低。 因为复杂的细节结构并不满足一“电大尺寸”和“场缓变”的基本要求； ( 2 ) 一些关键散射部位的重要电磁互耦关系被忽略； ( 3 ) 关键部件的散射数据用于整机散射求解时产生的误差( 如忽略了部件问的互耦， 应用“子散射中心”造成的误差等) ： ( 4 ) 绝大多数高频近似方法都是标量波方程典型的解的应用。用其处理三维矢量散射 问题时难以精确描述散射场的矢量( 极化) 关系。 另一方面，传统的积分方程法如矩量法1 3 - 5 1 作为一种严格的数值方法，计算结果精 度高，但计算量大、所需存储量高，仅仅用于低频或谐振区目标的散射分析。例如，对 于一个未知量为5 力的散射问题，用单精度型矩量法求解需要2 0 g m b 的内存。由此可见， 即使目前的超大计算机也难以应用矩量法来求解电大尺寸目标的散射。所以，寻找一种 严格、高效、精确的分析手段己成为散射研究的重点目标。 正因为在这种强烈的工程应用背景下，所以不断推动复杂目标电磁散射研究向前发 展。经过几十年的发展，用于电磁散射研究的方法己有很多。从所求解的方程形式上看， 主要可分为以下两种：基于传播空间离散化的微分方程方法和基于散射体表面离散化的 积分方程法。微分方程方法常用的有：有限元法( f e m ) $ 1 ：i 时域有限差分法( f d t d ) 等。积分 方程法常用的有：体积分方程法( v i e m ) $ 1 1 表面积分方程法( s i e m ) ，如边界元法( b e m ) 和 矩量法( m o m ) 。微分方程法与积分方程法相比，各有其优缺点： f 1 ) 前i n 适应面广，能够求解复杂的边值问题，但是要求解的未知量多，分布在整个 空间：后者可以处理三维复杂矢量散射问题，未知量少，仅分布在散射体表面或内部； ( 2 ) 前者得到稀疏阵，后者得到稠密阵。在处理电大尺寸散射体散射问题时，后者工 作量极大； ( 3 ) 前者在求解无限区域问题时需加吸收边界条件，进行网格截断，网格色散误差大； 后者则直接满足辐射条件，网格色散误差小。 近几年来，随着计算机性能的飞速发展和计算数学、计算物理中各种快速算法的出 现，计算电磁学呈现出空前繁荣的局面。总结起来，两个主要的突破体现在：积分方程方 硕1 ：论文 u 磁散射伙速多极了方法改进技术的研究 法中，基于耦合区域划分的稀疏化技术的发展如快速多极子方法、自适应积分方法等， 微分方程方法中有限差分网格截断技术的发展如完全匹配层的提出和应用。这些新方法 拓宽了传统方法的求解范畴，使得原先所不能求解的些问题得以解决。 在积分方程方法中，快速多极子方法和多层快速多极予方法是近年来最令人瞩目的 一种高效方法。它们使矩量法求解电大尺寸复杂目标的电磁散射成为可能。1 9 8 9 年，耶 鲁大学vr o k h l i n 教授提出了快速多极子法【6 】最初应用于泊松方程静电问题的求解。在其 问世不久，包括v r o k h l i n 在内的众多学者如l r h a m i l t o n ，c c l u ，m ，w c c h e w ，j m j i n 等等就对其进行了研究。特别是由于美国依利诺依大学w c c h e w 研究组的工作。 使得快速多极子法在电磁散射领域获得了极大发展与完善。掘报道他们所开发的f i s c ( f a s ti l l i n o i ss o l v e rc o d e ) 软件己能够在高性能微机和小型工作站上解决未知量高达百万 数量级的电大尺寸目标的电磁散射。该软件的主要方法j 下是基于矩量法的快速多极子方 法及其多层快速多极子方法。目前，f i s c 和以s b r 等高频方法为主的x p a t c h 软件己经成 为美国军方分析军用目标电磁散射的两大支柱软件。除应用在二维、三维复杂导电目标 的散射分析之外、快速多极子方法及其多层快速多极子方法【lj 还可用于二维随机粗糙表 面散射、非理想导体包括涂敷目标和阻抗片的散射、薄层微带单元辐射分析，非均匀介 质层中多金属导带的散射计算等等。 1 2 研究工作的现状和意义 分析目标电磁散射特性的表面积分方程具有三种不同的形式，分别被称为电场积分 方程( e f i e ) 、磁场积分方程( m f i e ) 以及混合场积分方程( c f i e ) 【7 ，引。特别地，混合场积 分方程是电场积分方程与磁场积分方程的一种简单的线性组合。就这三种形式的积分方 程离散产生的矩阵方程的迭代求解过程来说，不同形式的积分方程具有完全不同的收敛 特性。其中，磁场积分方程属于第二类积分方程【9 】，具有良好的收敛性态，在其迭代求 解过程中表现出快速的收敛速度。然而，磁场积分方程并不适用于具有开域结构目标的 电磁散射问题，因而其应用在很大程度上受到了限制。电场积分方程并不受到目标的形 状限制，其应用十分广泛。但是它所产生的阻抗矩阵性态差，在迭代求解过程中表现出 异常缓慢的收敛速度。 为了解决迭代缓慢的问题，国内外的很多学者将目光集中于修正传统的电场积分方 程，以使得离散后的阻抗矩阵具有良好的性态，从而加速迭代算法的收敛过程。其中由 a d a m s 和c h a m p a g n e 提出了_ 种修正的电场积分方程( m e f i e ) 【1 0 】。比之传统的电场积 分方程e f i e ，修正的电场积分方程m e f i e 具有良好的收敛特性。然而，其构造与实施 过程复杂，同时增加了单步矩阵矢量乘操作的计算量，使得其效率大为降低，从而限制 了其应用。 更多的研究工作则是集中在阻抗矩阵的预条件上。这主要是因为利用快速多极子技 3 硕仓文 术求解表面积分方程时，近区作用的稀疏矩阵得到了显式的存储，从而使得基于稀疏矩 阵的各种预条件技术可以直接引入到矩量法稠密矩阵的迭代求解过程当中。此外，这种 预条件技术只是涉及到近区作用稀疏矩阵代数信息的处理，而同积分方程的形式及基函 数的选取过程无关，增强了程序的可移植性与通用性。 1 3 研究内容 在强烈的工程需求背景和当今计算电磁学发展的趋势下，本文丌展了基于快速多极 子( f m m ) ，多层快速多极子( m l f m a ) 的电大尺寸目标矢量电磁散射的应用研究。本文 研究内容主要包括： ( i ) n - 述了快速多极子( f m m ) ，多层快速多极子( m l f m a ) 方法的原理，这是本文的 基础； ( 2 ) 使用基于多边形的线性傅立叶积分方法代替高斯点积分，提高了积分的精度和 运算速度； ( 3 ) 使用球谐函数展开聚合因子和配置因子，降低了存储量； ( 4 ) 介绍了一种改进的电场积分方程( i e f i e ) 以克服电场积分方程( e f i e ) 在解决 开放结构问题时迭代形态较差的问题，并且结合i l u 预条件方法进一步提高迭代效率； ( 5 ) 扩展了混合场积分方程( c f i e ) 的应用范围，使得混合场积分方程( c f i e ) 不 再局限于纯闭合结构的运算，并且结合i e f i e 进一步提高其运算效率，避免了其在使用 i l u 预条件方法时的不稳定性。 4 硕士论文电磁散射快速多极予方法改进技术的研究 2 快速多极子基本原理 九十年代以来，伴随着各种快速算法的出现和计算机技术的飞速发展，计算电磁学 取得了长足的进步。其中的快速多极子方法【1 1 】( f m m ：f a s tm u l t i p o l em e t h o d ) 和多层快 速多极子方法( m l f m a ：m u l t i l e v e lf a s tm u l t i p o l ea l g o r i t h m ) 就是当今积分方程研究成果 的杰出代表。目前快速多极子方法和多层快速多极子方法已经广泛应用于各种复杂目标 的电磁辐射与散射分析。尤其是多层快速多极子方法，更是成为了当今最快速的积分方 程求解器的杰出代表。 作为数值方法，快速多极子方法( f m m ) 和多层快速多极子方法( m l f m a ) 具有数值 误差可控、计算精度高、通用性强和应用范围宽的优点。相对于p o 等高频方法，它们 又具有数学公式复杂、不易编程、优化参数较多等特点。f m m 与m l f m a 既适用于单 站r c s 计算，也适用于双站r c s 计算；既可分析凸形目标散射，又可分析凹形目标散 射，适合于任意外形的三维金属目标r c s 计算。该方法适用于任意极化( 各种线极化 和圆极化) 照射条件下金属目标r c s 的计算；既可直接计算各关键部件散射，也可用 于整机散射的精确建模；既可分析理想导体目标散射，又可分析非理想导体、介质、介 质导体复合体、涂敷目标等目标散射。该方法对软硬件环境要求低，在一般的p c 兼容 机即可开展复杂目标电磁仿真。目标散射分析能力主要受限于计算机内存大小。 2 1 矩量法基础 f m m 和m l f m a 郇，基于矩量法框架，为此先介缁三维目标散射的矩量法求解思路。 此报告中时谐因子设置为e x p ( j c o t ) 。对于三维导体电磁散射，电场积分方程表示为【7 8 】： j k q t g ( r r ) j ( r ) 搬= e ( r ) ( 2 1 1 ) 吞( r ，r ，) = 阱v v m r ，) _ i + 古v v 嵩 仁地， 其中，吞( r ，r ) 为并矢格林函数。r 为自由空间的波阻抗( 7 7 = - - 1 2 0 万) ，e ( r ) 为入射 场，j ( r ) 为待求电流，；表示所分析物体表面的单位切线方向。磁场积分方程则为 ；( 如) 翕v l og 0 ( r r ，) j ( r 归7 ) 矗( 抽心) ) ( 2 1 3 ) 2 快速多极子基本原理硕士论文 其中，h ( ，) 表示入射磁场，n 则表示外法线方向，g o ( f ) r ) 为自由空间的格林函数。 表达式为： g o = e x p 百( - ；矿j k o r ) ( 2 1 4 ) 通常情况下，磁场积分方程( m f i e ) 生成的矩量法矩阵的条件数要优于电场积分方程 ( e f i e ) 。但m f i e 在分析非闭合问题时不适用。并且当在分析闭合结构问题时，它们都 会碰到一个问题，会出现内谐振现象。即在某些频率点，存在伪解，这些频率点通常是 满足了e f i e 或m f i e 右边向量置为零时而电流有非零解的情况。通常e f i e 与m f i e 的 谐振点并不一样。为了避免这一问题，学者引入混合场积分方程( c f i e ) 。在c f i e 的选 取在实际中有t e n e ，n e n h ，n e t h ，及t e n h 四种类型。我们采用的是t e n h 型的 混合场积分方程，因为它形成的矩阵性态好，并能真正消除内谐振现象。它的左右边可 以可写为 a _ i f e f i e + ( 1 一a ) m f i e( 2 1 5 ) 刁 我们采用平面三角形贴片模拟目标几何表面，基函数选择为平面r w g 基函数7 1 。 它的数学表达式如下： 6 a 。( r ) = 厶 2 衙 厶 2 4 o 虻r 矸 p ：l g 巧 其它 钟表示相应三角形的面积。各符号含义如下图所示。 一 彩 e i n 。夕丈l 图2 1 1r w g 基函数示意图，两个公用一边的三角单元 ( 2 1 6 ) 硕士论文电磁散射快速多极子方法改进技术的研究 对c f i e 实施伽略金方法，当然也可以采用线匹配方法。得到矩阵方程为： 乙。a n = ，聊= 1 2 ，n ( 2 1 7 ) 月= l 冥中： 乙。= 口风瓜，a 。j 【7 + 虿1 v vc o a 。峦佻 + ( 1 一口三1f c ，a 。a 。舔一( 1 一口) f i ，a 。二v c o a 。嬲7 搬 圪= 胁( 口号”而厢。卜 ( 2 8 ) a n 表示基函数的扩展系数j ( r ) e a o a 。( r ) 。 矩量法的一个难点是自作用项奇异性以及两个离的很近的元素的近奇异性的处理。 即当基函数有部分定义区域重合或距得很近的时候，积分项的分母取值为零或接近为 零。有很多文献都涉及到这方面的处理【1 2 q 5 1 。由于选用平面r w g 基函数，磁场积分方 程中的主值积分项为零。这是由于对奇异项， 瓜a 。磊v 瓜。g o a 。d s d s = f l ，a 。二瓜，v g o a 。d s d s 而v g o 的方向为( r r ) ，它与基函数同属此三角形的切面方向，( r - l - ) a 。要么为零， 要么就为磊的方向，所以这一项的值为零。所以奇异项主要说的是电场积分方程( e f i e ) 部分。对于近场作用的计算，通常要将e f i e 换成混合势积分方程( m p i e ) 【7 1 来处理： 因为m p i e 的奇异性要比e f i e 低一级。此时乙中e f i e 贡献的为 口风 f 【。a 。j j i ，g o a 。搬峦一虿1 瓜，v ，a 。瓜g o v ：a 。布馏j e 式中，r w g 的三角形表面散度有解析表达式为 可。a m = 丢r 在矸内 心 。”一 一喜r 在卵勾 a ： “ 0 其它情况 当积分项中源与观察三角形相同时，一种可选择的办法采用加减奇异项来处理这一奇异 积分。 口风( 瓜a 。皿c 瓯一去+ i 1 ，a 。嬲协一虿1f c ，v ，a 。瓜，c g 一去+ v ：a 。峦销 2 快速多极了皋奉原理 硕i ：论文 对移除了奇异项的积分的项，我们米用三角形区域的高斯积分来处理。 口此c 瓜a 。瓜，c g o 一去，a 。舔铘一去皿v a 。瓜，c g 0 一p 1v a 。舔铘 而有奇异性的项我们则采用解析计算公式来表示。 口风( 皿，a 。，瓜，页1a 。搬铘一专瓜v a ，瓜去v a 。搬锯) 按三角形循环来填充e f i e 近作用矩阵的算法可以参考e m a p 5 源程序。它们可分 别理解为线匹配和伽辽金方法。在处理m f i e 近作用中的第二项积分 瓜。a ，磊v x ，o o a 。d s d s ，与e m a p 5 并不相同的是，我们编写的代码是按下面的 方法来处理的。 瓜a 。嘲x 瓜v g o x a 。d s d s 代入r w g 函数，得 = c 职r 一) 俐瓜v g 0 r r b r , ) d s d s = c j i ：，( r r 1 ) n j 鼻，厂( r ，r 7 ) ( r r ) r i r z ) d s d s = c j l ( r r 1 ) 甩j 厂( r ，r ) ( r r 7 ) x ( r - r + r - r 2 ) d s d s = c j l ( r 一一) 门j i _ l ，厂( r ，r ) ( r r ) ( r r o d s d s = c 皿。( r 一) 二瓜竹，r ，) ( r - r ) d s ( 卜r , ) d s 其中r i ，r 2 表示r w g 基函数中，边所在三角形中除边的两个节点外的第三个节点的 坐标。c 表示某个与积分无关的常量，f ( r ，r ，) 则表示是某个与r9 厂有关的函数。 对于未知量数目为n 的散射问题，由于直接求逆方法与传统迭代技术分别需要 o ( n 3 ) 与d ( m w n 2 ) 量级的计算复杂度及d ( 2 ) 的内存需求，极大程度地阻碍了求解 电大尺寸三维散射问题。对此，要引入f m m 与m l f m a 实现高效求解。作为积分方程 稀疏化的一种高效方法，f m m 与m l f m a 不但大大加速了迭代过程中矩阵与矢量相乘 计算，并目也大大降低了存储量。 2 2 快速多极子方法基本原理 快速多极子方法的基本原理是：将散射体表面上离散得到的子散射体分组。任意 两个子散射体间的互耦根据它们所在组的位置关系而采用不同的方法计算。当它们是相 邻组时，采用直接数值计算。而当它们为非相邻组时，则采用聚合一转移一配置方法计算。 对于一个给定的场点组，首先将它的各个非相邻组内所有子散射体产生的的贡献“聚合 到各自的组中心表达：再将这些组的贡献由这些组的组中心“转移至给定场点组的组 硕f ：论文 u 磁散射伙速多极了方法改进技术的研究 中心表达；最后将得到的所有非相邻组的贡献由该组中心“配置”到该组内各子散射体。 对于散射体表面上的n 个子散射体，直接计算它们的互耦时，每个子散射体都是一个散 射中心即为一个单极子，共需数值计算量为o ( n 2 ) ；而应用这种快速多极子方法，任意 两个子散射体的互耦由它们所在组的组中心联系。各个组中心就是一个多极子，其数值 计算量只为o ( n 1 5 ) 。对于源点组来说，该组中心代表了组内所有子散射体在其非相邻 组产生的贡献；对场点组来说，该组中心代表了来自该组的所有非相邻组的贡献，从而 大大减少了散射中心的数目( 如图2 2 1 所示) 。 聚合 一 一一f ，- 一， 一， _ ， h 巴：邕。 一一一1 年车移 j ，一 m l 二，7 一 ， ：l 。 - ! ，一 m l 1 | t 一一一 _ 厂 ， 图2 2 1二维导电目标散射的快速多极子分析：虚线框表示分组。f ，为子散射体，加，m 分别为 各自的组中心 譬= ：腩艺( 1 ) f ( 2 ，+ 1 沙，( 蒯谢渺归p 声) ，d h 。一，i ，所以有 等= 笔p 2 洲j 。( 吃t i ，) 一= 一l 仃胛、。，y 1p- r ： q 冗 j 口。，( 磊。，) - - z i7 ( 2 ，+ 1 ) 硝2 ( 缸。，) 异( j 允。，) 对于并矢格林函数 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 嘶十扣 篙 亿2 最终得到其在角谱空间表达 d ( ) = 等p 2 k ( i 一稚k h 嘞k ( j i c 名) ( 2 2 1 0 ) 其中，口删为转换因子，代表远区组间组中心的转换作用。p 2 露是谱空间单位球 面上的二重积分，积分点数为k 。= 2 l 2 ，多极子模式数l k d ，d 为子散射体组的最 大尺寸。 将并矢格林函数表达代入积分方程，得到矩阵矢量相乘的f m m 表达： 以q = 4 ，q 9 1 ”e ? n g 5 ( 2 2 11 ) + 篆p 2 ( ) 眺z ，弼c r m m ，( 。) 荔吒，j ( ) q ，瓯 其中n g ( n e a rg r o u p ) 代表来自附近组的贡献，f g ( f a rg r o u p ) 代表来自远组即 非附近组的贡献。，( c ) ，( 五) 分别为聚合因子、配置因子，木表示其轭运算。 v 。，( ) = p 扩 i 一斌 j ，( h ) ( ) = 正凼p m i 一田o ( 。) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 由于远区场源耦合通过各自组中心实现，待计算的子散射体中心大大减少，所 以f m m 大大加速了矩阵矢量相乘计算，计算机存储量也大大降低了，简单图示如下图 2 2 2 。对于f m m ，其计算量、存储量为d ( ”) 量级。 1 0 硕 ：论文 u 磁散射快速多卡及了方法改进技术的研究 ( a )( b ) 图2 2 2 ( a ) n 个朱知量直接相互耦合“链接”数是n 2 量级( b ) “交换机”的引入减少了电流单元间 直接的耦合“链接”数 2 3 多层快速多极子 对于电大尺寸目标的散射，其未知量数目n 1 ，此时应用多层快速多极子方法 ( m l f m a ) 将获得比快速多极子方法更高的效率。多层快速多极子方法是快速多极子 方法在多层级结构( h i e r a c h i c a l l ys t r u c t u r e ) 中的推广。对于n 体互耦，多层快速多极 子方法采用多层分区计算。即对于附近区强耦合量直接计算；对于非附近区耦合量则用 多层快速多极子方法实现。多层快速多极子方法基于树形结构计算，其特点是：逐层聚 合、逐层转移、逐层配置、嵌套递推。对于二维情况，它将求解区域用一正方形包围， 然后再细分为4 个子正方形，该层记为第一层。将每个子f 方形再细分为4 个更小的子 正方形，则得到第二层，此时共有4 2 个正方形。依次类推得到更高层。对于三维情况， 则用一正方体包围，第一层得到8 个子正方体。随着层数增加，每个子正方体再细分为 8 个更小的子正方体。显然，对于二维，三维情况，第l 层子正方形和子正方体的数目 分别为4 ，8 。这种分层级结构如图2 3 1 所示。对于散射问题，最高层的每个正方形 或正方体的边长为半个波长左右，由此可以确定求解一个给定尺寸的目标散射时多层快 速多极子方法所需的层数。 在利用多层快速多极子算法求解实际问题时，未知数分布在树状结构最底层( 本文 中又称之为最细层) 丸。的每个组内，这些未知数先聚集到第九。层组的中心，然后所 有矗。层组的中心再聚集到第九。- 1 层组的中心，依次类推，直至树状结构的顶层k i 。， 这个过程称聚合。理想情况下，树状结构的顶层应为第0 层。然而第0 层及第1 层的各 组互为邻近组，加法定理不适用。因些，多层快速多极子算法的顶层必须大于或等于2 。 通常我们选择第2 层做为树状结构的顶层，即九i 。= 2 。 2 快速多极了某奉原理 顾l j 论文 1 甚父层 子甚 图2 3 1 二维多层快速多极子方法中的分层级结构 由于每层数值计算量均为o ( n ) 量级，共有l o g x 层，所以多层快速多极子方法计算 矩阵与矢量相乘的工作量为o ( n l o g ) 量级。内存需求也为o ( n l o g ) 量级。 基于图2 3 1 的分层级结构，多层快速多极子方法由上行过程、下行过程两部分组 成。上行过程分为最高层的多极展开( m e x p ) 、子层到父层的多极聚合( m m ) 。上行过程 在多极聚合到第二层后，经远亲转移计算转向下行过程。下行过程则分为父层到子层的 多极配置( l l ) 、同层| 、日j 远亲组的转移( m l ) 和最高层的部分场展开( l e x p ) 。 多层快速多极子方法求解式( 2 2 1 1 ) 的具体步骤分为【1 7 j ： ( 1 ) 最高层的多极展丌( m e x p - - m u l t i p o l ee x p a n s i o n ) ：计算公式同于快速多极子方 法中聚合量的计算，为 s 所，( j c ) = 吃，( b ( 2 3 1 ) v 。，( j c ) = 工凼7p ，k 哳 i 一威 j ，( ，) ( 2 3 2 ) 其中，m t 为最高层中，子散射体f 所在组的组中心。s 忙) 、k m 忙) 分别为最高层所 组的聚合量，聚合因子。 ( 2 ) 多极聚合( m m - - m u l t i p o l ee x p a n s i o nt om u l t i p o l ee x p a n s i o n ) ：是将源子散射体 在子层子组中心的聚合量平移到父层父组中心表达。 k v 、一) = 已m i - 咿锄芝v “良，。) ( 2 3 3 ) 其中，m j ，肌j 一分别为第，层，第，一1 层中源子散射体i 所在组的组中心，；，刖； 分别为m ；，朋j 一。的矢径。注意：插值矩阵，门为稀疏矩阵。 ( 3 ) 多极转移( m l - - m u l t i p o l ee x p a n s i o nt ol o c a le x p a n s i o n ) ：多极聚合到第二层 后，便不再向上聚合。此时开始多极转移，即将源区的外向波转移为场区的内向波，为 下行过程做准备。 在第二层，在源区组中心肌的聚合量品；) 即为以m 7 为中心的外向波，以场区组 硕十论文u 磁散射伙速多极了方法改进技术的研究 中心所为中心的内向波b m ，忙) 如下计算： 既：g 乏口叫g 声州ig ) ( 2 3 4 ) 砌所明远求 口。埘，( 允。，j c ) = i i ( 2 ，+ 1 ) 研1 ( 帆) e ( 名j c ) ( 2 3 5 ) 其中，口删坼) 为第二层上的转移因子。 ( 4 ) 多极配置( l l - - l o c a le x p a n s i o nt ol o c a le x p a n s i o n ) ：是将在以父层父组中心为 中心的丙向波转化为以子层子组中心为中心的内向波表达。多极配置是多极聚合的逆过 程。与多极聚合中子层到父层采用内插计算类似，多极配置过程中，父层到子层则采用 伴随内插计算。 对于在第，一1 层，组中心为m f - l 的组内场点而言，来自于该组所有非附近组的贡 献为 ，= d 2 左。瞎) b 肌一妊) ( 2 3 6 ) 离散求积分，得 n l i - i ，、，、 ，= w n h ，魄一1 k ，k 一l 州 ( 2 3 7 ) 胛= i 将父层父组的非附近组贡献平移到子层子组的组中心表达为： ：k iw n v f m ，g h 沁曼? g ，月) ( 2 3 8 ) n = l 召! ：? g h ) ：g l - i 呒, e i k ( _ 1 ) n , i m l - b 。，g ( h ) k ，w n ( 2 3 9 ) ( 5 ) 多极转移( m l - - m u l t i p o l ee x p a n s i o nt ol o c a le x p a n s i o n ) ：为了继续从父层到子 层递推下去，就必须得到来自于子层子组的所有非附近组的贡献。在多极配置过程中， 已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。 于是，在多极配置的基础上再叠加上子层子组的远亲贡献，就得到了子层子组的所有非 附近组的贡献。计算式如下： 曰瞎m ) =口。，g 声州g ，。) ( 2 3 1 0 ) n l f 门远亲 b m , g ，。) ：召! ：? g ，。) + b ，g ，。) ( 2 3 11 ) 重复( 4 ) 、( 5 ) 步骤，直到最高层为止。 ( 6 ) 部分场展开( l e x p l o c a le x p a n s i o n ) ：对于最高层每个非空组朋，在其组中 心进行部分场展开，得到删的所有非附近组对组内场点j 的贡献， i m j = d 2 j i c 妊) b m ) ( 2 3 1 2 ) 其中：y 砌，( ) 为最高层的配置因子，b m ( ) 为最高层上以组脚为中心的内向波， 代表了细m 的所有非附近组对组m 的贡献。 2 伙速多极了拈奉原理 形ii ：论文 ( 7 ) 直接计算附近组的贡献，与非附近组的贡献相叠加，便得到了所有源子散射 体对场子散射体的贡献。 在多层快速多极子方法中，转移计算在各层远亲组问进行。转移因子具有平移不变 性，所以可事先计算、存储在不同层级中要用到的所有转移因子口删。 2 4 快速多极子方法复杂度分析 快速多极子中，假设有个未知数，分成m 组，每组的未知数个数大致为n m ， 聚集和发散的步骤的操作为o ( n 2 m ) ，转移部需要的复杂的为o ( n x m ) ，。总的复杂度 为o ( n 2 m + n xm ) ，不难看出当m = n n 5 时所需的操作最少为o ( n “5 ) 。 快速多级子技术中的组不能太大，因为那样转移过程虽然能有效的计算，但是聚合 和发散的过程都不能有效的进行，组也不能太小，因为那样聚合和发散的过程虽然能有 效的进行，然而转移的过程又不能有效的计算。所以我们通过选择恰当组的大小来获得 快速多级子的最佳效率。 和快速多级子一样多层快速多级子技术也是将矩阵矢量乘分解为聚集，转移发散三 个步骤，然而聚集和发散的过程是从最高层进行的，后通过移置中心，以及插值来完成 低层的聚集和发散，至于转移过程，则和f m m 方法是完全一样的，只是多层快速多级 子只在同一层的次相邻中心进行。 先考虑聚集过程，以第二层为例。这层的聚集是同过将起高一层即第三层的平面波 的中，i i , 先移置，后插值完成的。假设在第三层中的每一个小正方形有o ( n 1 5 ) 个未知数， 这样就有m = 1 个小正方形。因为聚集在小j 下方形中心的平面波的未知数的个数 m ，从第三层中心到第二层中心的移置过程所需的计算量