（电磁场与微波技术专业论文）非均匀网格的时域有限差分算法.pdf

摘要 本文研究了时域有限差分法中对于某些不规则结构的微波电路的应用，主 要是研究非均匀网格下的时域有限差分算法以及轮廓路径法，并采用常规非均 匀网格和非均匀网格中的轮廓路径法分析了几个实际例子。 首先本文回顾了时域有限差分y e e 算法，包括时域有限差分的差分方程、 稳定性条件、数值色散特性、吸收边界条件等。 接着讨论了常规非均匀网格的差分方程，将积分形式的环路定理应用于非 均匀网格，在不同网格边长边界处得到时域上的积分方程，利用时间和空间上 的中心差分近似离散方程得到时域有限差分法的差分方程。在此基础上研究非 均匀网格的稳定性条件、非物理性反射、作为非均匀网格中的特殊形式的扩展 网格的数值色散特性以及m u r 吸收边界条件和理想匹配层在非均匀网格中的应 用。最后，通过低通滤波器和薄膜电容的散射参数计算来说明非均匀网格算法 的优点0 最后，针对细薄结构电路模型讨论了轮廓路径法的基本原理及其应用。f 轮 廓路径法也是从环路a m p e r e 定律和f a r a d a y 定律出发的，利用导体屏上窄槽和 薄介质层结构很清晰地说明了轮廓路径法的原理及其应用。最后，通过薄膜电 容的实际参数计算来更好地演示这种方法。、】 关键词：时域有限差分法、非均匀网格：7 吸收边界条彬轮廓路径 a b s t r a c t t h ep r i n c i p l e sa n da p p l i c a t i o n so ft h ef i n i t e - - d i f f e r e n c et i m e - - d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) w i t ht h ee m p h a s i so nn o n u n i f o r mf d t d a n dc o n t o u r - p a t hi n t e g r a lm e t h o d a r es t u d i e di nd e t a i li nt h i sp a p e ca n dt h en o n u n i f o r mf d t dm e t h o di s a d o p t e dt o a n a l y z es o m e m i c r o w a v ec i r c u i t sw i t hs o m en o n s t a n d a r ds t r u c t u r e s f i r s t ，w e r e v i e w e dt h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i ny e e sm e t h o dt h e d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h es t a b i l i t yc o n d i t i o n ，n u m e r i c a ld i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i ca n d a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n a r ed i s c u s s e d s e c o n d ，g e n e r a ln o n u n i f o r md i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r ed i s c u s s e dc o n t o u r p a t h l a ww i t hi n t e g r a lm o d e li sa p p l i e di nn o n - u n i f o r m g r i d ，s ow e c a no b t a i nt h ei n t e g r a l e q u a t i o n s o nt h eb o u n d a r yo fd i f f e r e n t g r i dl e n g t h t h e n n o n u n i f o r md i f f e r e n c e e q u a t i o n sa r ed e r i v e db yn u m e r i c a lc e n t r a ld i f f e r e n c e s i nt i m ea n ds p a c ed o m a i n b a s e do nt h en o n u n i f o r mf d t da l g o r i t h m ，t h e s t a b i l i t yc o n d i t i o n ，n o n p h y s i c s r e f l e c t i o n sa n da b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ( u 3 c ) i n c l u d em u ra b ca n dp e r f e c t l y m a t c h e dl a y e r s ( p m l ) i nn o n u n i f o r mm e s ha r es t u d i e da sas p e c i a le x a m p l en a m e d e x p a n d i n gg r i d ，n u m e r i c a ld i s p e r s i o n c h a r a c t e r i s t i ci sd e r i v e d f i n a l l y , t h e c a l c u l a t i o n so ft h es c a t t e r i n gp a r a m e t e r sa b o u tm i c r o s t r i pl o w p a s sf i l t e ra n dt h i nf i l m c a p a c i t a n c es h o w t h em e r i to f t h en o n u n i f o r mf d t d a l g o r i t h m f i n a l l y , f o rt h i nm e d i ao rn a y r o ws l o t ，t h ec o n t o u r p a t hc o n c e p ti s i l l u s t r a t e d t h e c o n t o u r - p a t hi n t e g r a lc o m e s f r o ma m p e r ea n d f a r a d a y sl a w s t h ep r i n c i p l e sa n d a p p l i c a t i o n so f t h ec o n t o u r p a t hm e t h o da r ei n t e r p r e t e db yt w oe x a m p l e s o n ei sa n a r r o ws l o t p e n e t r a t i n gap l a n a rp e c s c r e e no ff i n i t es i z eo t h e ri st h et h i n p l a n a r m a t e r i a ls h e e t f i n a l l y , t h ec a l c u l a t i o n so f t h es c a t t e r i n g p a r a m e t e r sa b o u tt h i n f i l m c a p a c i t a n c es h o w t h i sm e t h o dc l e a r l y k e y w o r d s ：f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) ，n o n u n i f o r mg r i d a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，c o n t o u r p a t hi n t e g r a l 创新 生声明 五0 5 3 0 0 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除了论文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的利料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名：i 蟹蔓：尘督口期2 1 ：! ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的舰定，即：学校有权保留送交论文 的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印 或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：隆剑闩期塞鲤：! ：= 铆签名： 醵幺1 21 】 日期坦： ! ：盘 第一章绪论 第一章绪论 1 1 时域有限差分法的背景 随着社会的发展和科技的进步，电子设备的功能越来越齐全，结构越来越复杂化 和小型化，电磁波谱的利用率也越来越高。为了优化电子设备成本降低设计成本， 需要分析电子设备的电磁特性：各种设备乃至整个系统的抗电磁干扰性和电磁兼容性 研究日益引起人们的重视；电磁辐射和电磁散射特性分析仍然是当今电磁学的一个重 要研究方向。可以说，电磁分析和电磁预测已经成为当今工程界重要研究内容，并与 其他学科形成各种交叉学科。 电磁预测实际上就是在不同边界条件下求解m a x w e l l 方程。然而解析方法、甚至 近似解析方法一般只能分析极少数形状规则、激励简单的电磁问题，但是这些简单结 构不足以模拟各种复杂的实际电磁问题。同样，受经济条件和环境条件制约，采用实 验方法预测大型设备或环境的电磁性能代价太高，甚至不可能实现。数值分析方法成 为各种实际电磁问题现实而可行的选择。 近年来，随着计算机性能的不断提高和数值理论的不断发展，计算电磁学取得了 很大的发展，目前已经形成了多种电磁学计算方法，包括矩量法、时域有限差分法、 有限元法、几何绕射理论、物理光学等。早期主要采用频域方法分析电磁问题，通过 建立和求解电流和磁流的频域积分方程，模拟电磁波与结构的相互作用。然而这些频 域方法在处理许多现代重要电磁问题时遇到了困难。由于实际所需解决的电磁问题越 来越复杂，迫切希望出现一种简洁而有效的电磁场数值方法，可以方便地求解各种实 际复杂电磁问题。 1 9 6 6 年k s y e e 首先提出了时域有限差分( f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ， 简记为f d t d 法) 基本思想1 1 1 ，并用于柱形金属柱电磁散射分析。由于当时计算机技术 的相对落后，这种方法并未引起重视。1 9 7 2 年at a f l o v e 在昏暗陈旧的技术图书馆书架 上偶然发现了y e e 的文章，并成功地用于自己的研究生课程中的独立研究题目建立u h f 和微波对人类眼睛的穿透以了解“白内障”的成因，使y e e 的f d t d 算法得到了应用 和发展。时域有限差分法直接将有限差分式代替m a x w e l l 时域场旋度方程中的微分式， 在空间和时间上离散取样时域电磁场，数值模拟电磁波传播以及结构的相互作用。时 域有限差分法的出现和发展为电磁理论和工程界提供了强有力的分析工具，能解决传 统方法不能分析的电磁现象，可以比较方便而且精确地预测实际工程中的大量复杂电 磁问题，应用范围涉及几乎所有电磁领域成为目前电磁工程界和理论研究的一个热 点。8 0 年代后期，随着快速大容量计算机的普及，f d t d 法得到了迅速发展。现在时 非均匀网格的时域有限差分算法 域有限差分法日趋成熟，并成为分析大部分实际电磁问题的首选方法，并出现了一些 商用应用软件，比如r e m c o m 公司的d t d 。近年来出现了研究时域有限差分法的热 潮，相信今后它仍将是计算电磁学的研究热点。 1 2 非均匀网格时域有限差分算法的背景 时域有限差分法把时域m a x w e l l 方程在y e e 所构造的网格上做时间和空间导数的 中心差分近似，并作为初值问题计算电磁问题的时域数值解。在用f d t d 法分析复杂 媒质的电磁散射、吸收、透入或传输等问题时，通常为了方便整个问题空间完全按均 匀网格划分。如果我们所研究的电路其几何结构比较复杂，电路中的某些特殊部分尺 寸相当小时，继续用传统均匀网格划分整个问题空间，这样势必会造成网格数量巨大 计算量巨大的问题。因为从数值稳定性的角度看，网格尺寸一般应小于( 0 1 2 5 o 1 ) ， 为媒质内的波长，根据数值稳定性条件，时间步长也必须随着网格尺寸的变小 而相应减小。对于复杂的媒质空间，由于各媒质内的波长不同，网格尺寸应有最小波 长来决定，时间步长则由网格最小尺寸来决定。 另外，我们经常希望在某一部分空间例如细缝或拐角处得到近场模型，利用均匀 网格，这种结果受到网格划分的限制。在所有空间区域得到高精度的提取结果是没有 必要的，而且它还会引起不必要的网格数量以及计算存储量的问题。也就是说，不论 是所占用的计算机内存还是所需要的时间都是非常巨大的，甚至在一些情况下即使耗 费了计算时间还无法得到需要的精度。因此，在f d t d 分析时，为提高上述感兴趣区域 的分辨率，同时也为能节省计算时间，可以在这些区域使用小网格尺寸( 细网格) ，而 在其他区域应用粗网格，以达到节省计算存储量目的。这就要求我们去寻找新的途径 以促进f d t d 算法在结构复杂媒质中的应用。 已经有人根据物理媒质和结构特性结合时域有限差分法提出了非均匀网格的f d t d 算法，其中一种是变网格步长方法 2 】，另一种是亚网格技术 3 ，“，在一般区域采用粗网 格，而在电磁场快变区域采用精细网格，许多研究人员已提出了多种粗细网格间信息 交换的方法。k u l l z 等人提出了运行两次的亚网格方法1 ”，第次按粗网格在整个计算 区域运行，第二次运行在精细网格子域上，精细网格边界处的场从粗网格上模拟得到 的场值获得。在这种非均匀网格下，可以采用积分方程来获得迭代差分方程。非均匀 网格根据网格划分的特性又可以分为突变网格和扩展网格。突变网格指的是网格划分 没有特定的规律，而是根据电路结构的需要划分粗网格和细网格，粗网格和细网格之 间没有过渡的内容，就好象在不同网格尺寸之间有个突变，直接从粗网格到细网格。 扩展网格指的是网格划分有一定的规律，其中有一个扩展因子，网格以扩展因子的冥 增加，相邻网格具有相同的比例。 第一章绪论 3 如果电磁问题中包含诸如窄缝、细线和小孔等小尺寸结构，为了减少计算开销， 必须研究模拟这些结构的特殊算法。从积分形式的f a r a d a y 定律和a m p e r e 定律出发， 可以导出适合于模拟线、窄缝等细小结构的迭代方程i 】，在时域模拟诸如介质或导体 薄层的算法也获得了进展1 9 l 。本文中将这类研究细薄结构的方法称为轮廓路径法，这种 方法同样通过时域积分方程来得到离散差分方程，方程简单全面，而且可以自动根据 电路结构生成网格，仅在含有此类细薄结构的网格进行电磁场分析讨论，其他均按照 均匀网格来分析。由于在轮廓路径法所设置的网格中，在包含细薄媒质网格中的差分 方程并不和均匀网格差分方程一致，因此我们也可把这种方法归类到非均匀网格的时 域有限差分算法中。 算法稳定性和计算精度对任何一种数值方法都至关重要，t a f l o v e 利用本征值法首 先给出了矩形均匀网格下时域有限差分法的稳定性准则。当采用非均匀网格时域有限 差分算法，利用非均匀矩形网格剖分模拟空间时，必须重新分析算法的稳定性和色散 特性。m o n k 和s u l i 分析了不均匀矩形算法的收敛性【6 l 。本文在此基础上讨论了非均匀 网格的稳定性和数值色散特性。 ” 1 3 本文的内容安排 本文主要研究了时域有限差分法中的非均匀网格算法，包括常规直角非均匀网格 和轮廓路径法，同时把这两种方法用于实际微波电路问题的分析。 第一章，作为基础，讨论了时域有限差分法产生的背景、发展历史、应用领域和 发展前景，在时域有限差分法的前提下提出非均匀网格时域有限差分算 法，并讨论了非均匀网格时域有限差分算法的背景和发展历史及应用。 第二章，讨论了时域有限差分y e e 算法的基本原理和数值理论，包括时域有限差 分方程、稳定性条件、色散关系、吸收边界条件，以及用环路积分a m p e r e 定律和f a r a d a y 定律来解释y e e 算法等。 第三章，讨论了时域有限差分法中的非均匀网格中的一系列问题，包括差分方程、 稳定性条件、网格不均匀引起的非物理性反射、数值色散关系、吸收边 界条件( m u r 吸收边界条件以及理想匹配层在非均匀网格中的应用) 等。 第四章，首先讨论了微带电路计算首先需要解决的问题，如入射波源的设置、散 射参数的提取等，在此基础上将非均匀网格用于微带电路的计算，通过 低通滤波器和薄膜电容参数计算来进一步说明非均匀网格的f d t d 算 法。 第五章，本章讨论了时域有限差分法中的轮廓路径法的原理极其应用，并将数据 结果与常规非均匀网格进行对比，在计算存储量以及计算时间同时提高 4 非均匀网格的时域有限差分算法 了利用效率的结果下获得差别并不明显的数据结果，说明轮廓路径法在 细薄结构中是一种简单有效的方法。 本论文全部内容可用下图直观表示 第一章 绪论 i 第二章 时域有限差分y e e 算法 r 1r 第三章一 第四章 第五章 常规非均匀网格 非均匀网格f d t d 算法在非均匀网格中的 f d t d 算法 微带电路中的应用轮廓路径法 结束语 第二章时域有限差分y e e 算法 5 第二章时域有限差分y e e 算法 本章论述了时域有限差分的基本知识，从时域m a x w e l l 方程出发，在基本y e e 网 格上，采用中心差分近似代替时间和空间导数，获得时域有限差分方程。一般性地讨 沦时域有限差分法的数值理论，包括数值稳定性、数值色散特性。一般性地讨论如何 处理计算区域截断边界的问题，简要讨论m u r 吸收边界和p m l 理想匹配层，最后以积 分形式的a m p e r e 和f a r a d a y 定理解释了y e e 算法。 2 1 时域有限差分法的基本方程 工程和理论电磁问题分析实际上归结为在特定边界条件下求解m a x w e l l 方程，即 在时域和空域内求解电磁问题的一个很方便的途径是运用m a x w e l l 方程，因此我们首 先从时间和空间域上的m a x w e l l 方程出发，来得出我们所需要的离散差分方程。 在时域，m a x w e l l 方程形式为 v x 疗：丝+ 7 研 v 。丘：一丝一歹 研 v 豆= p v d = p 其中各电磁场以及电磁流有如下的关系 ( 2 一l a ) ( 2 一l b ) ( 2 - l c ) ( 2 1 d ) 秀= u 痤，d = 匝 j = 茈j = 口叠 豆，疗，西，雪分别是电场强度、磁场强度、电位移矢量和磁感应强度，了，7 + 分别是电流密 度和磁流密度，p ，p + 分别是电荷密度和磁荷密度，他们分别是空间位置和时间的函数。 ，e 分别是媒质的磁导率和电容率，盯，盯分别是磁电阻率和电导率。对于各向同性媒 质，他们是标量，而对于各向异性媒质，则它们是张量；对于均匀媒质，他们是常量， 而对于非均匀媒质，则他们随空问位置而变化。 假定研究的空间是无源的，并且媒质参数，f ，盯，仃不随时间而变化，且不随空 间位置变化，在直角坐标系下，可以将麦克思韦方程转化成六个标量方程 !斐望塑旦整塑堕苎塑堡叁坌茎鲨 鲁一鲁爿以+ 警o z洲 。l 冬一i 0 e x 爿日， 缸如 拿一孚- - 0 - * ： 咖c 。c ( 2 2 a ) 为了将上述公式在空间和时间上离散化，y e e 首先将空间按立方体分割，这是实 现时域有限差分的关键，电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体的边沿和 表面中心点上，如图2 1 所示。 z 图2 1 基本y e e 网格以及其中的电磁场配置 从图中可以看出，各个电磁分量配置在y e e 网格的特殊位置上：电场分量位于网 格棱边中心并且平行于棱边，每个电场分量环绕着四个磁场分量；磁场分量位于网格 面中心并且垂直于这个面，每个磁场分量环绕着四个电场分量。在空间取样上，电场 和磁场分量在任何方向上始终相差半个网格步长；在时间取样上，磁场分量与电场分 量相互错开半个时间步。这种场量配置不仅允许旋度方程作中心差分近似，也满足在 网格上执行f a r a d a y 定律和a m p e r e 定律的自然几何结构，因而能恰当地模拟电磁波传 播，而且可以自然满足媒质边界面上连续性条件。时域有限差分实际上就是在空间和 时间上离散取样电磁场。 戤百晖百i百 f 占 占 葩 以 【 j 盟出啦百戤一钞 眇一砂戤一出鸭一缸 堕西盟a + + 第二章时域有限差分y e e 算法 假设网格元顶点坐标( x ，y ，：) 可记为 ( f ，j ， ) = ( f ) c ，j a y ，女工)( 2 - 3 ) 其中z k x ，缈，a z 分别表示在x ，y ，z 坐标方向网格步长，j ，j ， 为整数。 在时间上，取n 时刻的时间步为n a t ，a t 为f 寸间步长。电场分量在f 。= # t a t 时刻取 样，而磁场分量在与电场相差半个时间步长处取样，即磁场的取样点为 ，。一 扛( ，j 一去) ，。根据时间和空间网格划分的规律，任意一个空间和时间的函数 可表示为 f ”( f ，女) = f ”( i a x ，j 妙，心)( 2 - 4 ) 于是我们可以得到，电场和磁场的取样值分别为日；”；( ，_ ，+ 委，膏+ 三) ， h ，”；( ，+ 扣七+ 吾) ， 一：( ，+ 圭+ 扣，蹦，+ 扣e y n ( f + 扣， t “( f ，j ，后+ i 1 ) ，考虑到时间上e 和日有半个时间步的变化，按照、，e e 网格上的电磁场 量配置，需要利用一阶导数的二阶精度中心差分近似式 ap矿(t)：p(1+a2)-p(1-a2)+盯(z) (25)a讲 。一7、。7 其中是步长间隔。将( 2 - 2 ) 标量方程中的电磁场时间和空间导数利用( 2 5 ) ，得到各个 电磁场分量的时域有限差分方程为 e ( ，+ 1 啦c ( ，+ 砂1 七) e ”( ，+ 扣卅叩+ j 1 舭) 卜c r + 扣扣也气，+ j i ，t ， ，缈1 陋e 。， 一 h ，h + l ”。+ 吉，t + 吉，一日，”“，2 。+ 去，t 一三， ，z f 髟+ 扣= _ + 扣e 飞+ j 1 ，卅。( ， + 扣 ( 2 6 b ) & 卜 、u ，一2一2 ， ，一2一2 “、 p n 月x h 一 卜 一2，一2一2，一2 + p ， o o n p 8 其中 非均匀网格的时域有限差分算法 e ”工毒+ 尹1 = c 0 _ 七+ 拉w _ 七+ 尹1 + d ( “，七+ 三) 月，n + l 2 ( f ，+ j 1 ，女十三) = c + o ，+ j 1 ，七十三) 日，p l ，2 ( 1 ，+ 三，女+ j 1 ) 日，n + 1 2 ( f + j 1 ，j ，+ j 1 ) = c - ( f + 圭，j ，女+ 圭) h ，”- f “( f + ；，+ 圭) + d + ( ，+ 圭，七+ 争 日，m l ，2 ( f + j 1 ，+ j 1 ，) = c + ( f + ；，+ i l ，) ：h _ ，2 ( f + 吉，+ 圭，) 。矗) 2 丽两而2 a t i 丽 ( 2 6 c ) ( 2 - 6 d ) ( 2 6 e ) c ( 七) 2 丽2 a ( i 万, j , k ) 而- c r 丽 ( i , j 面, k ) a t 。t ) 2 丽万而2 a t 丽 上述时域有限差分方程表明，任何时刻的电磁场取决于上一时间步的电磁场，与 此电磁场正交的面上前半个时间步相邻的磁电场以及媒质参数。由于采用了中心差分 p 加 肼 三f 缸咄 矿 也 争。卜：肼， ，h 卜 miiiip，r 、，l，j 止 坞 1 ，1 u d 一2 ，一2 斗 ， l “ 飞 v 饱 卜k 一 斗 寥 ，一2 + ， 也 o h ： n y e erl r ，l l 一 ，-，、j，1【 争 +女 一2 + ，o d+ 批小 t e l 旧 肚 矗 丘 t 圹iii卜卜iu 回弘 、l_j_、，ij_fj 妙 血 1_1_ t 后 ， ，一2 ，2 + ， o o n n e 髟 一 一 、， ) 七 七 一2 斗 h ， 一2 i + + o o n ” e 髟 -l_。lriliv叫l【 ，阿 一2 + 一2 + o d+ 鲨啦黯竺卅 ，一，她姚 垆o 犯 第二章时域有限差分y e e 算法 近似，时域有限差分方程在空间和时间上具有二阶精度。作为时域方法，时域有限差 分法把所有研究的电磁问题作为初值问题，初始时刻模拟区域内的电磁场为零，在源 激励下，以蛙跳的方式迭代时域有限差分方程，在时间上逐步向前推进电场和磁场。 随着时间的发展，在有限计算区域内，时间和空间上离散取样电磁场量，数值模拟电 磁波传播以及与媒质问的相互作用，近似实际连续的电磁波，获得整个计算区域内时 域电磁信息。我们可以利用傅立叶变化将时域上的场转换到频域，由此来得到我们所 需要的频域电磁信息。 2 2 时域有限差分法的数值稳定性 任何一种数值方法，为了计算结果稳定、可靠，必须满足一定条件，作为典型的 蛙跳方法，稳定性和收敛性对时域有限差分至关重要。为了避免数值不稳定，即计算 结果随时间步进无限地寄生增长，时间步长f 相对网格空间步长缸，缈，止必须有界。 时域有限差分法依据y e e 网格上构造m a x w e l l 旋度方程的时域有限差分方程，随 时间推进迭代各个电磁场量，得到电磁问题的数值解。为了使数值分析有意义，数值 模拟必须收敛，即当空间步长和时间步长趋于零时，时域有限差分解必须趋于原问题 的真实解。 数值稳定性分析的基础是，考虑网格中存在f o u r i e r 数值波模式，并保证每一个空 间f o u r i e r 模式都是稳定的，由于任何波都可以用这些f o u r i e r 模式展开，所以也保证 了网格中任意的波都是稳定的。 所谓稳定性条件，是指离散间隔所需满足的一种条件，在此条件下保证差分方程 与原方程严格之间的差有界。 对于无耗各向同性均匀媒质p = o ，p ：o ) ，定义归一化磁场强度存：、坐疗，则 v5 m a x w e l l 方程变为 v x 7 ：上丝 ：(2-7) v 。丘：一三塑 令= 丁，利用复数将( 2 7 ) 方程表示成复数形式有 j v ( 7 + 画：一l i c 9 ( 爿= + 业) co t 定义矢量 犯8 ) ! ! ! 塑塑堕整塑堕堕壹堡茎坌塞鲨 v = h + j e 根据( 2 8 ) ，它满足 ，v 。旷：! 型 。 co t 其中c 是媒质中的光速。考虑如下两个本征值问题 a 旷西= a 旷 j c v 矿= 五矿 中心差分近似式( 2 - 1 l a ) ，定义增长因子g = r i ，得到 一n + 2 q 2 2 a t q l = 0 数值稳定性要求在”寸。时，a t 足够小以保证h 蔓l ，充分条件是 r e ( = o ，l i r a ( z ) i 2 a t 任意网格空间模式可以表示为 ” 旷( ，鸭”) = 坑e x p j ( k ，l a x + k ，m a y + k ：胛出) 】 同样采用中心差分近似( 2 1 l b ) ，可以得到线形方程组 一旯 2 e s i n ( k , a z 2 ) z 一2csin(k,ay2) 旯 a z 2 c s i n ( k ，a y 2 )2 e s i n ( k ，) c ，2 ) 缈x 2 c s i n ( k ，a y 2 ) a r 2 e s i n ( k ，6 x 2 ) 缸 一五 式( 2 1 5 ) 有解的充要条件是系数行列式为0 ，因此 一。c 2 ( 华 2 + ( 竽 2 + ( 华) 2 结合( 2 1 3 ) 和( 2 1 6 ) ，考虑到电磁波传播方向的任意性，得到 c 咖2 ( 古+ 古+ 古 结论：为了获得稳定的数值解，时间步长必须是有界的，所以有 a t 1 11 。1 研+ 丽+ 两 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 a ) ( 2 1 1 b ) ( 2 一1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 一1 8 ) 上式就是时域有限差分法的稳定性条件，它是施于空间步长和时间步长上的约束关 系，对于给定的空间步长，存在最大的时间步长。如果空间步长在三个坐标下都是， 5 - 2 ( 0 1 1 lj髟 。i。j 第二章时域有限差分y e e 算法 稳定性条件就简化为c a t a 1 i 。 以上稳定性的讨论所得出的这个结论只适合于直角坐标系中基本y e e 算法，当需 要考虑与其他一些问题的相互作用时，例如边界条件，有耗色散非线形及增益材料时， 上述稳定性准则不一定成立。 2 3 时域有限差分法的数值色散特性 平面电磁波在自由空间传播时，电磁波的相速与频率无关，然而采用时域有限差 分法在数值空间模拟这一电磁问题时，f d t d 算法所模拟的计算网格中的波模式会发 生数值色散，也就是说f d t d 网格中数值波模式的相速度可能不同于光速c 。数字波 模的传播速度不仅与频率有关，即与空间网格尺寸有关，还与波传播方向有关。这种 色散不同于实际物理色散，仅由有限网格尺寸和数值效应引起的，称为数值色散，它 将直接影响计算结果的精度，因此必须控制数值色散。 在均匀、无耗、各向同性媒质中，单色平面电磁波分量满足 f ( x ，y ，z ，f ) = 工p “ 。1 7 ( 2 1 9 ) 把上式代入时域有限差分方程( 2 6 ) ，得到线性方程组 o 0 o0 0c u c | u0 b i u a t l 00 一c 6b i b1e o oc so 爿f i | e 。 wb sa fs o ez o b p wo o ii h ，。 剧 o o l l 000 j fh ：。 0 ( 2 - 2 0 ) 其中=三兰堡堕幽，4=三!堡蔓!幽，曰=2sin(jkyfay2)at a x，c = 兰学， y 一 z e o ，与o ，e h 。h ，。，h 。分别是平面电磁波各个分量的幅度。式( 2 2 0 ) 有非零解要求 其系数矩阵行列式必须为零，得到 扣n ( 孚) 2 = 扣竽 2 + 扣华 2 + 扣爿2 p z ， 上述公式就是三维时域有限差分数值色散关系。为了减少数值色散误差对计算精 度的影响，空间步长和所考虑电磁问题的最小波长之间必须满足制约关系，一般要求 一 m ，时取 缸= o 0 1 ，在i 埘，时取缸，= o 0 3 ，取i = 2 0 0 处作为观察点，我们可以看到有很小 d 动 ” o o o o p p p p ! !堑望望堕堡塑堕苎查堡鲞坌墨垄 一 的反射波，同时利用i 埘，时x ：0 0 1 的均匀网格来考察f = 2 0 0 处的电场，我们可以 看到这时候没有反射波。另外，我们又取i m ，时分别为缸：= o 0 8 、01 0 和0 1 4 ，从 计算结果我们发现随着网格增大，不同网格尺寸比例增大时，其反射波也在增大，当 网格尺寸增大到定大的时候甚至出现了尾波，这现象在我们所考察的几个网格长度 中缸：= 01 4 的时候尤其明显e 计算结果如图所示。 l = 0 1 4 3 5 04 0 04 5 05 0 05 5 06 0 06 5 07 0 0 x a x i s t i t l e 图3 - 6 非物理性反射 3 5 非均匀网格f d t d 算法的吸收边界条件 1 1m u r 吸收边界条件 从m u r 一阶吸收边界波动方程罢一三祟= o 出发，利用空间和时间的中心差分取 代偏微分，就可以得到m u r 一阶吸收边界条件。 设波沿x 向传播，其一阶吸收边界条件的表示式与均匀网格一致 霹”= 曰+ 糍( 曰一曰) ( 3 - 3 5 ) 式中毛表示边界网点上的切向电场，e 为邻近边界的内部网点上的切向电场，觇为 边界处沿x 向变元的大小，v 是边界处x 向波的速度。 一 笙三兰堂塑斐望望璺整塑婴! 里塞鲨 一兰 ，_ _ - _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 为了得到非均匀网格的m u r 二阶吸收边界条件，我们首先应得到非均匀网格f 的 二阶偏微分的差分格式。 卜t 圳圳舭孙半甜吣“俘。， 卜，一- 户眺h ，剖：+ 学戮州妁 得到 旦型i ”：竺_ 叵：虹! 二竺：蚴l 垒! 叵：虹2 二竺：蚴! 甜l 一 峨掣忸掣( 3 3 7 ) ：!竺型竺：竖! 立垒苎! 竺：堡= ! ! 二! 竺! 竺! = 立竺：竖! 缸，缸h缸，+ 缸h g q ( 3 3 7 ) 用于吸收边界的波动方程，从而可以得到m u r 二阶吸收边界条件，具体推导见 附录b 。 以z = o 的边界为例，综合上述公式得到印m u r 二阶吸收边界差分格式为 伊”( o ，女) = 一妒”1 ( 1 ，j ，后) + j ，b ”1 ( 1 ，工) + 妒”1 ( o ，j ，后) j + 5 ：k 一( o ，) + 妒n ( 1 ，j ，女) 其中 j = c a t - a x o 。c a t + a x o 击川朋叫( 1 ，川朋 + 赤k 即_ 1 ，卅m 川朋】 + q 2击加+ 1 ) 叫( 1 ，舻+ 1 ) 】 + 古b 邓_ ) 叫( 1 ，舭柚】 一q 3 瞄”( o ，j ，女) + 伊“( 1 ，女) 】 s ：! 竺1 2 c a t + a x o c 2 f2 缸。 2 蕊 ( 3 3 8 ) 非均匀网格的时域有限差分算法 q ，。万而1q 2 - 志q ，= 砑万1 + 碌i i 如果其中的网格是均匀的，则( 3 3 8 ) x 回到均匀网格的吸收边界条件。 对十扩展网格，其一阶吸收边界条件同样与均匀网格下的吸收边界条件相同，而 m u r 二阶吸收边界条件，我们可以根据波的波动方程，利用中心差分以及扩展网格的 网格公式，来获得其差分表示式8 i e ；“= 一e ? _ 1 + s i l e ：。1 + e ：n ) + s 2 t e ：+ e ? ) + s 3 f q y e 叼( j + 1 ) + e ? ( + 1 ) 】一( 1 + q ) 联+ e ? 】+ 口，c 霹( ，一1 ) + e ? ( 一1 ) 】1 ( 3 3 9 ) l + q z 【e ；( 七十1 ) + e ? ( + 1 ) 】一( 1 + 玎：) 陋誓十? 】+ a ：【留( 一1 ) + e ? ( j i 一1 ) 1 f 式中 。一2 c a t 一( 1 + a x ) ) c 6。一 2 ( 1 + 口，) x 6 。一( c a t ) 2 ( 1 + 口，) 6 x 6 j一一01一一，o ，一一 1 2 c a t + ( 1 + a x ) 缸6 12 c a t + ( 1 + a x ) a x b 2 c a t + ( 1 + a x ) x 6 g 2 可靠 q z2 硒丽1 这里哆，a ：是沿y 和z 向的扩展因子，a y ，是沿y 向第j 个网点处的变元大小，a z 。 是沿z 向第k 个网点处的变元大小，a x 。是边界网格的尺寸。e ( _ ，+ 1 ) 是边界上沿y 向 第j + 1 网点处的切向电场，其他意义类似。 2 )理想匹配层 理想匹配层的基本思想是在计算区域边界面附近引入虚拟各向异性媒质，在一定 条件下，模拟空间与理想匹配层问，理想匹配层内部层间完全匹配，模拟区域内的外 行电磁波可以无反射地进入有耗媒质，并在有耗媒质内行进中衰减，从而有效吸收模 拟区域内出射的外行波。 在非均匀网格下，根据理想匹配层的思想可知在非均匀网格的理想匹配层也应满 足 墨：生 f 3 4 0 、 e oo 。 将均匀网格的p m l 有耗吸收媒质中的电场差分方程中的6 x ( i ) ，妙( ) ，止( 女) 换成 ，群，磁场差分方程不变，即可得到非均匀网格的p m l 差分格式。 第三章常规非均匀网格的f d t d 算法 6 x o x o - y 盯y + o x 口 o y o y o yo y 盯t盯f 口j ( t x r o yo yt b 图37p m l 二维空间场模拟 。lx o x o t + o n o y 在上图中，用p m l 连接模拟空间，并在模拟空间中心处加电场源( 高斯脉冲 e ：n = e x p - ( n 一3 0 ) ：1 0 0 ) ，网格划分如下 0 f f l，0 j j l取￥= a y = c a t o 5 0 i i l，0 j j 2 取x = c a t o5 ，a y = c a t o4 0 f i 1，j 2 j j 。取x = c a t o5 ，a y = c a t 0 5 i 1 i i 2，0 j j l 取a x = c a t o4 ，a y = c a t o5 l l f f 2，j 1 j 2 取x = c a t o4 ，a y = c a t o 4 ，l i i 2，j 2 ，醯取x = c a t 0 4 ，a y = c a t o5 i 2 i ，。矾，o j j l取a x = c a t o 5 ，y = c a t o5 1 2 i f 。w，j l j j 2 取x = c a t o5 ，a y = c a t 0 4 i 2 ，i 。“，2 j j 。“取x = c a t o 5 ，a y = c a t o 5 为了观察将p m l 和模拟空间划分成非均匀网格带来的误差情况，我们另外模拟了 均匀情况下的电磁场传播，这时候网格划分为：a x = a y = c a t o4 ，两种情况下的网 格数保持不变，i 。= 。= 1 2 0 ，并取f ，= 4 5 ，i ：= 7 5 ，_ ，i = 4 5 ，2 = 7 5 。为了便于比较，我 们选取两种网格划分情况下的e 【5 0 1 5 0 】随时间变化的值。结果表明，将p m i 。和模拟 空f s q 戈0 分为非均匀网格不会给计算结果带来其他误差。 非均匀网格的时域有限差分算法 图3 - 8p m l 在二维非均匀例子中的应用 第四章非均匀网格f d t d 算法在微带电路中的应用 第四章非均匀网格f d t d 算法在微带电路中的应用 在我们计算微波电路中经常会遇到微带不均匀性的问题，微带不均匀性是微带集 成电路的基本构成单元，典型的微带不均匀性包括：金属带终端开路、缝隙、宽度阶 跃，t 形接头和拐弯等。用数值法对这些不均匀性进行精确模拟是微波c a d 技术中的一 个重要课题。如果对这些微带不均匀性电路模拟了频域特性，则可以利用网络概念分 析由它们构成的微带电路。所以，利用时域有限差分模拟数值波，进而转换到频域， 求得散射参数是至关重要的一步。而，通常在这类电路中，会遇到结构尺寸变化很大 的情况，这时候我们就要用到非均匀网格的时域有限差分算法。 4 1 计算微带电路首先应考虑的几个问题 在用时域有限差分数值模拟微带电路的场问题时，我们在合理划分网格之外还应 先考虑源激励、参考面入射波和反射波的提取以及如何得到散射参数问题。 1 )波源激励 用时域有限差分数值法分析问题时，无论是研究媒质的散射问题还是吸收问题， 或是耦合问题等，除了在足够的网格空间中模拟被研究的媒质存在外，还需要模拟场 的激励源【2 ”。 y e e 的方法是在空间网格中每一个电场和磁场矢量分量所在位置上作为初始条件 插入入射波。利用这种方法，所有网格上入射波的所有电场和磁场分量的初值被预先 给定。选取每一个初始分量的符号及振幅以给出所希望的波极化和传播方向。 目前时域有限差分法已经应用于分析各种天线及微带电路。时域模拟时，般采 用g a u s s i a n 脉冲信号激励问题空问，以获得所分析电磁问题的宽频带特性，为了减少 数值色散误差，满足初值条件并尽可能地利用信号能量，