（应用数学专业论文）关于非线性发展方程精确求解的研究.pdf

摘要 内容摘要：本文主要研究了以下四方面的问题：首先介绍了修正扩 展的范的偏方程方法，并以高维耦合b u r g e r s 方程为例说明了它的应 用。其次应用不同于修正扩展的范的偏方程方法的常微分方程和目 标函数给出了变系数m k d v 方程的新的精确行波解。然后将双参数 假设法进行了扩展，并应用它求出了形变b o u s s i o e s q 方程的精确解。 最后给出了一种新的达布变换，并由它得到t b r o e r - k a u p 系统新的孤 子型的解。本文由两章组成：第一章，绪论。在这一章中主要介绍 了本文所涉及的学科的发展历史及研究现状，并简要介绍了作者的 工作。第二章主要介绍了推广的t a z a h 函数法在求菲线性发展方程的 孤立子解中的运用和一种新的达布变换。给出了高维耦合b u r g e r s 方 程、变系数m k d v 方程、形变b o u s s i o e s q 方程的新的精确解。由新的 达布变换，得至l j y b r o e r - k a u p 系统新的孤子型的解。 关键词：精确解；孤立子；修正扩展的范的偏方程方法；双参数假设法；达 布变换 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h i sd i s s e r t a t i o nh a sm 越n l yd o n et h ef o l l o w i n gf o u ra s p e c t sr e s e a r c h ：f i r s t ，a p p l yt h em o d i f i e de x t e n d e df a n ss u b - e q u a t i o n m e t h o dt oh i g h e r - d i m e n s i o n a lc o u p l e db u r g e r se q u a t i o n s e c o n d ，e d u c e e x p l i c i ta n de x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rv a r i a b l ec o e f f i c i e n t m k d v e q u a t i o nb yd i f f e r e n tr i c c a t ie q u a t i o na n do b j e c tf u n c t i o n t h e t h i r d ，t h eg e n e r a l i z a t i o no fd o u b l ep a r a m e t e rh y p o t h e s i sa n d t h ee x - a c ts o l u t i o n so fv a r i a n tb o u s s i o e s qe q u a t i o n s2 t h el a s t ，g i v ean e w d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dn e ws o h t o n - l i k es o l u t i o n sf o rt h eb r o e r - k a u ps y s t e m t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri s 鹪f o l l o w s ：c h a p t e r1 i s c o n c e r n e dw i t ht h ee x p o s i t i o no ft h ed e v e l o p m e n ta n dt h er e s e a r c h s i t u a t i o no fs e v e r a ls u b j e c t sw h i c hw i l lb ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r 皿1 em a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o n 缸eb r i e n yi n t r o d u c e di nt h i s c h a p t e r c h a p t e r2m 血l ya p p l yg e n e r a l i z e dt a n hf u n c t i o nm e t h o d t o t h en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o na n dg i v ea n e wd a r b o u xt r a n s f o r m a ， t i o n 。y i e l dn e we x a c ts o l u t i o n so fh i g h e r - d i m e n s i o n a lc o u p l e db u r g e r s e q u a t i o n 、v a r i a b l ec o e f f i c i e n tm k d ve q u a t i o n 、v a r i a n tb o u s s i o e s q e q u a t i o n s2 、t h eb r o e r k a u ps y s t e m k e yw o r d s ：e x a c ts o l u t i o n ；s o l i t o n ；m o d i f i e de x t e n d e d f a n ss u b - e q u a t i o n m e t h o d ；d o u b l ep a r a m e t e rh y p o t h e s i s ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 厶1 勃 j e t 期：沙d g f il 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 之一彩 指导教师签名： 日期： v d 珞扣 石唁 孔 7 z 关于非线性发展方程精确求解的研究 关于非线性发展方程精确求解的研究 1绪论 本章简要地综述了孤立子的研究状况，非线性发展方程的求解，最后介绍 了本文的主要工作。 1 1 孤立子的研究状况 近2 0 年来的科技发展表明，非线性问题是物理学中的普遍现象，它已渗透 到力、热、光、电、原子物理和粒子物理等物理学的各个领域。孤立子就是一 种典型的非线性现象。现在不断发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用下的 波动方程和方程组，在长波近似和小的且为有限的振幅假定下，均存在孤立 子，如：冷等离子体的磁流体波的运动、非线性晶格的振动、等离子体的离子 声波、在弹性杆中的纵向色散波动、在液、气两种混合态的压力波运动、血管 中血液的流动、凝聚态物理、超导物理、生物物理等。 1 1 1孤立子产生的历史背景 1 8 3 4 年，英国科学家r u s s e l l 偶然观察到了一种奇妙的水波。1 8 4 4 年，他在 英国科学促进协会第1 4 届会议中作了题为论波动的报告【l 】1 。在报告中，他 对此现象作了生动的描述，记叙他沿着河道骑马追踪一种奇特的水波现象时， 并通过水槽实验观察得到矗孤立波( s o l i t a r y w a t e r w a v e s ) 一。他认为，这种孤立 波是流体运动的一个稳定解，进行了很多实验，猜想孤立波的解析形式，为提 供孤立波的本质花费了毕生大部分精力，但一直未能给出圆满的解释，未能成 功地证明并使物理学家信服他的论断。 1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d e v r i e s 研究浅水波运 动1 2 】，找到了一种流体中单向波传播的数学模型，即著名的k 如方程，并且 给出了周期解，命名为椭圆余弦波，用来解释r u s s e l l 观察到的现象，为后来的 工作提供了基础。因为许多人认为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，用 特别的初值可得到它，在初值问题的讨论中是微不足道的；另# k d v 方程是非 线性的，由于非线性的相互作用，二个孤立波碰撞后，波形很可能会破坏，故 不稳定的；这种孤立波是否在流体力学以外的其他物理领域中出现呢? 对描述 物理现象不会有什么帮助。因此，k 咖方程和孤立波的研究一直停止不前。 1 9 5 5 年，e f e r m i ，z p a 5 t 口和s u l a m 用单质点链模型研究热传导问题时 3 1 ， 发现能量达到平衡的概念是错误。实际上，经过长时间以后，几乎全部能量又 1 关于非线性发展方程精确求解的研究 回到了原来的初始分布。这就是著名的f p u 问题。他们发现必须采用孤立波才 能处理问题，从而激起了人们对孤立波研究的兴趣。 1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 在无碰撞磁波的研究中1 4 】，又重新发现k 咖 方程，激起了人们对k d v 的研究兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型时1 5 1 ，对s i n e g o r d o n 方程 作了数值模拟，结果表明：这个方程具有孤立波，即使碰撞后二个孤立波也仍 保持着原有的形状和速度。 1 9 6 5 年，美国著名物理学家、美国科学学院院士k r u d k a l 和物理学 家z a b u s k y 通过对调和晶格模型得到的k 豳方程进行数值计算，并把k 幽 方程用于等离子体波的研究1 6 ，借助计算机详细考察了等离子体中孤立波的相 互碰撞过程，得到了比较完整和丰富的结果，并进一步证实了这类孤立波相互 作用后不改变波形的论断。由于这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性 质，故又称为孤立子。 7 0 年代以后，孤立子理论的研究受到了国际上数学界和物理学界的充分重 视，研究工作日趋广泛，出版了一些专著，此外，还有大量的杂志论文、会议 记录和论文集。许多国家都投入了相当强的研究力量，以不同的风格和角度来 推动理论发展，应用于实际。目前，较为完整的孤立子理论已逐步形成，国内 外在这方面已出版很多专著 7 - - 1 8 。在孤立子理论形成中，数学的严密性和物理 学的启发性和实用性二者相互结合、相互依赖、相互渗透、相互促进、使孤立 子理论显示强大的生命力，这是一大特点。现代自然科学发展的重要特点之 一：理论与实际结合，在孤立子的研究中得到充分体现。至今，孤立子的研究 已成为了自然科学尤其是非线性领域的重要课题。 目前，孤立子一词虽被广泛引用，但尚无一般形式的定义。数学中，将 孤立子理解为一大类非线性发展方程的具有特殊性质的解，经过相互碰撞 后，不改变波形和速度；而在物理中，孤立子被理解为( i ) 能量比较集中在一 个狭小的区域，( i i ) 两个孤立子相互碰撞后不改变波形和波速。迄今为止， 除k d v 外，已经发现许多具有物理意义的非线性发展方程具有孤立子解，这些 方程来源于等离子实验、晶格实验、凝聚态物理、超导物理、激光物理等领域 中，如s i n e g o r d o n 方程、s c h r o d i n g e r 方程、b o u s s i n e s q 方程、h i r o t a 方 程、k p 方程等。这些方程在前面已作出介绍。此外，孤立子也是各种各样 的，一般单孤立子具有钟型( 或波包型) 、反钟型( 涡旋型) 、扭结型( 结状) 、反扭 结型( 反结状) 四种形状。除常见的钟状和扭状孤立子外，还有包括孤立子，正 孤立子、负孤立子、反孤立子，呼吸孤立子有及它们叠加形成的形形色色的孤 立子。 2 关于非线性发展方程精确求解的研究 1 1 2孤立子若干研究工作概述 孤立子理论的产生和发展为非线性发展方程提供了求解的方法，如反散射 法( z s t ) ，d a r b o u x 方法、h i r o t a 方法等。随着孤立子理论的进一步发展，各种 求解方法不断地出现，解决了一些难以求解的重要方程，并且不断发现许多非 线性发展方程具有重要物理意义的新解。 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r d d n e ，k r u s k a l 和m i u r a 【1 9 】发现了反散射方法，也称 非线性f o u r i e r 变换法，用来解决k d v 方程初值问题获得了成功。后来人们 把它扩展去解一般的非线性发展方程就形成了l a x 理论1 2 0 】和a k n s ( a b l o w i t z ， k a u p ，n e w e l l s e g u r ) 方法【2 l 一2 3 l 。 1 9 7 1 年，h i r o t a 1 6 弓l 入了一种重要而直接的方法，这就是利用函数变换求 特解的h i r o t a 方法，是求解一大批非线性发展方程孤立子解的相当普遍的方 法【2 4 2 6 】。 与此同时，古老的数学方祛b a 砖z 碱换获得新生并发展用于一般的 非线性发展方程求解，由b ac j 阮删变换引出的非线性迭加原理将非线性方 程的求解问题归结为纯代数运算，从而获得方程的解【2 7 - 2 8 】。不仅如此，利 用bc k l u n d 变换可以作d a r b o u x 阵，而d a r b o u x 阵方法可以运用到更一般的情 形。这就形成了d a r b o u x 方法。谷超豪、周子翔、胡和生、张玉峰教授等作了 很多工作f 2 9 - 3 1 5 z 一6 1 7 3 j 。 王明亮教授，李志斌教授基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将非线 性演化方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法又称拟解法，成功地求解了一 大批非线性方程1 3 2 3 4 6 2 】。 乔志军教授等1 3 5 】从l a x 阵，r 一矩阵及。非线性理论 出发，利用变量分离 方法及代数几何工具，提出了构造代数几何解或有限带势解的途径。 范恩贵教授，张玉峰教授等探究非线性发展方程新的求解方法出发进行了 大量研究工作，对一大批非线性发展方程发现了新的具有物理背景的孤立子 解p 8 4 2 6 3 6 9 7 2 7 4 。 除上述比较系统有效求解方法外，还有其它多种方法，如经典李群法或非 经典李群法i 鹞】，c i a r k s o n k r u s k a l ( c k ) 约化法，双曲正切函数法及其 它积分或变换方法等 4 6 4 8 6 4 6 8 7 5 l 。 总之，非线性方程求解方法各式各样，目前，尚无一本专著能够论述精确 的所有方祛，因为，尸l 一1 1 子的研究不断推动着非线性方程求解方法与技巧的 发展，新的求解方法不断出现。 3 关于非线性发展方程精确求解的研究 1 2 非线性发展方程 在非线性科学的研究中，经常会遇到大量的能反映各种因子或各种物理量 之间相互制约和相互依存关系的非线性方程，一般可以称之为非线性发展方 程( n o n l i n e a r e v o l u t i o n e q u a t i o n s ) 。 非线性发展方程包含非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分 方程和函数方程。其一般形式为 矾( z ，t ，缸，u t ，z ，) = 0 ，k = 1 ，2 ，m ( 1 2 ) 其中z = 0 1 ，z 2 ，z n ) 是空间变量，t 是时间变量，并且让= ( 珏1 ，砌，地) ， t j = ( z ，亡) 是未知函数，风是给定的函数关系，u t ，分别表示u 对，z 的导数，礼，m ， z 是自然数。 1 2 1 非线性方程的来源 孤立子理论是新兴的学科，是数学与物理的交叉学科。所以，一部分方程 来源于物理，它们具有实际的物理意义。非线性常微分方程是指对未知函数及 其导数都不全是线性的常微分方程。例如： ( 1 ) d u f f m g 方程的形式为： 童+ 2 p 空斗也君z + e f i 0 2 x 3 = a c o s q t( 1 2 1 1 ) 其中x 为质点的位移，奎和莹分别为其速度和加速度。它除存在线性恢复 力一嘏z 和与速度成正比的阻尼力- 2 # 主外，还有一个与位移的立方成正比的 恢复力一e 藤z 3 ，( 风为正的常数，i e i 1 赴 o 时，它表征恢复力的数值小于 线性系统的恢复力，称为软非线性) 和一个强迫振荡a c o s 儆。( a q 是常数) 无阻 尼m = o ) 和无强迫( a = o ) 的d 皿1 9 方程( 通常描写弹性体的非线性振动) 为 星斗t 君z = 一席z 3 ( 1 。2 ，1 2 ) ( 2 ) 描述基本粒子相互作用的y a n g - m i l l s 方程，在最简单的情况下可以写为下列 耦合形式： 髀：- e ：e 2 p 2 。z 2 。y - 0 ， ( 1 2 1 3 ) l p 2 z ”一e 2 口2 y 2 2 = 0 ， 、 其中0 f ，p ，e ，p 均为常数，y 和z 为两个实的因变量。 非线性偏微分方程是指对未知函数及其导数都不全是线性的偏微分方程。 非线性偏微分方程包括最简单的二维l i o u v i l l e 方程、b u r g e r s 方程、m k d v 方 程、k d v ( k a r t e w e g d e v r i e s ) 方程、k d v b u r g e r s 方程、b e n n e y ：；与f 程、 非线性k l e i n g o r d o n 方程、f i s h e r 方程、b o u s s i n e s q 方程、b o u s s i n e s q 方程 4 关于非线性发展方程精确求解的研究 组、非线性s c h r o d i n g e r 方程、广义热传导方程、s i n e o o r d o n ：y 程、波动方 程、h i t o r a 方程、k p ( k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ) 方程等。例如； ( 3 ) 非线性s c h rc l i n g e r 方程的一般形式为： 一i 钝+ a 馏+ 纠珏j 2 让= 0 ( 1 2 。1 。4 ) 式中i = = 了，口和分别为频散系数和l a n d o u 系数，l u l 2 = 1 2 t t * ，u + 是u 的复共 轭。非线性s c h r 5 d i n g e r 方程有广泛的物理背景，例如，等离子体的l a n g m u i r 波、一维单色波的自调制、二维定态平面波的自聚焦等等均可用它来描述。 ( 4 ) s i n e - g o r d o n 方程z 一+ s i n u = 0 ( 1 2 1 5 ) 最早是从微分几何的研究中导出的，以后发现许多物理问题都可由该方程 描述。如结晶断层的传播、晶体位错、磁旋波在铁磁材料中的传播以及两相介 质中激光脉冲的传播等等。在j o s e p h s o n 中继传输线问题中，s i n u 表示穿过两超 导体之间绝缘体的j o s e p h s o n 电流，在晶体位错问题中，s i n u 的出现是因为原子 排列的周期结构所致。 ( 5 ) 一般的变系数k d v 方程磁+ a u q 洼z + b u z 霉王= 0( 1 2 1 6 ) 其中系数卿b 依赖于t ，即拉a ( t ) b = b ( t ) 此方程虽说是k d v 方程的一个简 单推广，但它却有着许多重要的物理背景，这引起了研究人员的广泛兴 趣。如n i r a a n a h 和v e d a n 研究过a = 耐m ，b = 矿时此方程的自b i i c k l u n d 变换 和p a i n l e v8 性质。h o n g 和j 1 l n 鲫u 在a 和b 线性相关的假设下，借助p a i n l e v e 截 断展开获得了此方程的一种自b 五c k l u 刑变换和精确解。 非线性差分方程又称为非线性映射或非线性迭代，它通常是指非线性常微 分方程或偏微分方程的离散形式它对未知函数的n 次迭代值都不全是线性的。定 义其自变量为佗( 礼= 0 ，1 ，2 ) ，因变量为z 。= 0 ，1 ，2 ) 。z n 的一阶导数和二 阶导数分别用z ，冲1 一z 住和z 蚪2 2 z 蚪1 + z n 来表示，差分方程也称为映射。如 移位影射、l o g i s t i c 映射、高次映射、t o d a 映射等。 t o d a 映射是指非线性晶格的运动方程，它是一个微分一差分方程，其形式为 叠二= f ( z 蚪1 一z 乱) 一f n z 他一1 ) 仰= 1 ，2 ，) ， ( 1 2 1 7 ) 其中z 行为第n 个单位质量质点的位移，f 表质点间的相互作用力。若令相对 位移为 7 ：二= f ( r n + 1 ) + f ( r n 1 ) 一2 f ( r n ) ， ( 1 2 1 8 ) t o d a 假定f ( r ) = a ( 1 一e 一打) ( 口 0 ，b o ) ， 则方程( 1 ，2 1 8 ) 化为= a ( 2 e h 一8 一h + - 一e h t ) ，把它称为乃d 口映射( m 训，又 称t d d 口晶格( z 以坊钟) 或t d 如链( c 九砸哟。 5 关于非线性发展方程精确求解的研究 另一部分方程是从线性的谱问题出发f 4 9 ，导出一大批科学技术上十分重要 的孤子方程。在孤子理论中，通常将带时间变量t 及一维空间变量x 的孤子方程 称为“1 + 1 维的方程一。它可从对空间z 与时间t 的联立谱问题中导出。设 i 经= m 妒( 1 2 1 9 ) 气仇：妒 ( 1 2 1 1 0 ) 这里妒是z 、t 的几维向量函数，m ，是nxn 矩阵，其元素中包含有谱参数入及 以扒t 为自变量的m 维向量函数u ( x ，t ) 及其各阶导数。我们为了使方程( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 1 1 0 ) 同时有解，妒必需满足协调性条件t = 。由此，得 = 妒+ m 仇= 尬妒+ m n t = = 虬妒+ m 即舰一虬+ 【m ，n 】= o ，其中【m ，n 】兰m 一m ( 1 2 1 1 1 ) 这个方程在微分方程中称为零曲率方程。 适当选取m 、，可以导出许多孤子方程。以下给出一些具体的例子。前 苏联学者v e z a k h a r o v 和a b s h a b a t 考虑一阶方程组的谱问题，随后，美国学 者m z a b l a w i t z 、d j k a u p 、a c n e w e i l 和日s e g u r 考虑下述形式的一阶方程 组( z s a k n s ) ，他们取 m = 聂) n = 卅b ) 这里a 、b 、c 是含有谱参数入及函数q 、 曲率方程( 1 2 1 1 1 ) 可写成 ( 1 2 1 1 3 ) 7 及其各阶导数的函数。这时，零 l也= q c r b ， q t = 尻+ 2 l a b + 2 q a ， ( 1 2 1 1 4 ) l 如= q 一2 i , k c 一2 r a 。 我们对a 、日、c 取具体的多项式形式，就可得到许多著名的孤子方程。例 如：k d v 方程，广义k 方程，非线性薛定谔方程，伯格方程，正弦_ 戈登方 程，双曲正弦二戈登方程。 拉克斯最早指出，孤子方程可以用以下方式导出： 1 。给定一个线性算子，满足以下谱方程： 却= a 妒；( 其中a 是谱参数)( 1 2 1 1 5 ) 2 设参数久与t 无关，谱不变， 丸= o ；( 1 2 1 1 6 ) 3 4 0 还满足以下线性方程： 仇= 却，( a 也是一个算子)( 1 2 。1 1 7 ) 若要求妒同时满足( 1 2 1 1 5 ) 、( 1 2 1 1 7 ) ，旦l l j l 、a 满足以下算子方程： 6 关于非线性发展方程精确求解的研究 l t = a l - l a 兰阻】 ( 1 2 1 1 8 ) 称为拉克斯方程，l 、a 称为拉克斯对。 拉克斯还指出，若取l 为薛定谔算子l = 磋+ u ( x ，t ) ， 取反对称算子么= 口( 磋+ 以+ 岛， 则根据上述方法可以得到著名的k d v 方程。 1 3非线性发展方程求解的研究现状及精确求解方法概述 求解非线性发展方程是古老而重要的研究课题，长期以来，许多数学家和 物理学家在非线性发展方程大量求解方面做了大量的工作。关于方程的解的研 究是从三个方面进行的。一方面，在难以求出显式解的情况下，依据基础数学 知识对其解的适定性、存在性、唯一性或稳定性刚等分析研究：另一方面，借 助于计算机的理论和计算机，对解进行数值模拟和分析；第三方面，应用某些 数学技巧或假设，构造适当的变换使方程简化并求出其某些显式解。本文将侧 重点放在第三个方面的研究。 1 3 1 齐次平衡法 首先我们有必要介绍王明亮，李志斌教授提出的构造非线性演化方程孤波 解的一种非常有效的方法一一齐次平衡法，又称拟解法，它的主要步骤如下： 第一步，对给定的非线性方程，例如两个自变量x ，t a ( u ，地，) = 0 ， ( 1 3 1 1 ) 通过要求( 1 3 1 1 ) 式中最高阶导数项与最高次非线性项平衡，可以选择仳为如 下函数 l ，磷磋，p ) ，i ，歹= 0 ，l ，2 ，3 合适的有限线性组合，记作牡= f ( i ) ) ( 1 。3 1 2 ) 其中，p ) ，( 甄z ) 为待定函数，某些系数可能为待定系数。 第二步，将( 1 3 1 2 ) 式代入( 1 3 。1 1 ) 式经求导整理后，将u 相同导数项、最 高导数项及最高次幂项分别放在一起并令其系数为零，可得到关于，) 的常微 分方程，解之可得f = g )( 1 3 1 3 ) 第三步，由( 1 3 1 3 ) 式出发可将第二步所得方程的表达式中厂的各阶导数的 非线性项换成，的高阶导数线性项，然后把，对u 相同导数项放在一起，并令各 系数为零，得到关于u 的一组齐次超定微分方程组日0 ) = 0( 1 3 1 4 ) 第四步，设( 1 3 1 4 ) 式具有如下形式的解u = 1 + e + 卢( 1 3 1 5 ) 其中q ，p 为待定常数。将( 1 3 1 5 ) 代入( 1 3 1 4 ) ，得到关于n ，及( 1 3 1 2 ) 式 中的待定系数为未知量的代数方程组并求解，对复杂的代数方程组可利用吴方 7 、， 1) 坳柳 j l 1 卫 乞2 o m o 关于非线性发展方程精确求解的研究 法处理解决。 第五步，将( l 3 1 3 ) ，( 1 3 1 5 ) 式及必要的待定的常数代入( 1 3 1 2 ) ，即得方 程( 1 3 1 1 ) 的孤波解。齐次平衡法主要将微分方程求解转化为代数方程组求解， 从而沟通了代数情形吴方法与微分方程的联系，是求解微分方程的有效方法。 但我们分析发现，这种方法所得精确解仅是孤波型解，难以得到其他类型的精 确解，主要原因是第四步中形如( 1 3 1 5 ) 的假设限制了u ( z ，t ) 的一般性，因而求 解过程疏漏了其它形式的精确解，对此，我们将作出一些必要的改进，寻找更 广泛的精确解。 1 3 2 推广的t a n h 函数法 比较起齐次平衡法，推广的双曲函数法简洁、高效，可以同时用于一般的 可积和不可积系统，这种方法的思想是用一个可解的r i c c a t i 方程来“扰动一待 求方程，从而利用这个r i c c a t i 方程的形式解来统一构造待求方程的显示解。这 种方法的一般步骤为： 对于给定的发展方程p ( u ，u 王，饥，t i ) = 0 ，( 1 3 2 1 ) 作变化钍( z ，t ) = 珏( ) ，毒= z c t 并寻找相应常微分方程如下形式的解， u ( x ，t ) = u ( ) = a i r i ， ( 1 3 2 2 ) 其中的参数住可以用齐次平衡法确定，并且移= 口( ) 满足带有参数的励o 。口亡i 方 程： 影= b 1 + 幻 2( 1 3 2 3 ) 然后将( 1 3 2 2 ) 代入( 1 3 2 1 ) 。利用( 1 3 2 3 ) 式反复化简，合粕的同类项并 令口的各次方项前的系数为零得到关于吼的方程组，从而解出a 4 。最后将求得 的a i 和方程( 1 3 2 3 ) 的形式解口代入( 1 3 ，2 2 ) 式便可得到方程( 1 3 2 1 ) 的解。 尤其当用如下的r i c c a t i 方程口= b + 锄2 ， ( 1 3 2 4 ) 时，( 其中的口是的函数，= z c t ，c 是行波的速度) ，不仅可以顺利完成对待求方 程解的构造，而且还可以利用参数b 的符号判断所得行波解的数量和形状，因为方 程( 1 3 2 4 ) 有如下三种形式的特解： 1 、当b o 时，方程( 1 3 2 。4 ) 有如下三角函数周期解： t ，= 、沈肌( 、蜒) ， 8 ( 1 3 2 5 ) ( 1 3 2 6 ) 后者则表示具有激 ( 1 3 2 7 ) 关于非线性发展方程精确求解的研究 口= 一伽亡( 谯) ， 3 、当b = o 时，方程( 1 3 2 4 ) 有如下的有理解： t ，= 一 ( 1 3 2 8 ) ( 1 3 2 9 ) 1 4 本文的选题和主要工作 由于非线性发展方程定解问题的复杂性，况且，非线性方程本身具有许多 自身的特点，仍有大量的具有使用价值的重要方程无法求出精确解。已经求出 精确解的非线性发展方程，也是根据不同的方法而得到的，尚无统一的方法。 得到的解是否具有物理意义还有待进一步验证。当然，我们所谓的求解也只是 求方程满足一定初( 边) 值条件或约束条件的特解，其中，孤立波解和相似解是 最具有代表性的特解。能否求出这些特解，在很多程度上取决于是否有切实可 行的求解方法。所以，求解和求解方法的发展构成了显式解研究中的一个有机 整体，而我们的求解方法又与孤立子理论的发展密切相关。本文的主要工作如 下： 1 介绍了修正扩展的范的偏方程方法，并以高维耦合b u r g e r s 方程为例说明 了它的应用。 2 应用不同于1 的常微分方程和目标函数给出了变系数m k d v 方程的新的精 确行波解。 3 将双参数假设法进行了扩展，并应用它求出了形变b o u s s i o e s q 方程的精确 解。 4 给出了一种新的达布变换，并由它得到t b r o e r - k a u p 系统新的孤子型的 解。 2非线性发展方程的孤立子解 孤立子理论是一综合性、交叉性、集成性的学科，在揭示物质世界基本规 律、预见新现象、促使不同学科交叉和渗透、推动基础学科和新兴学科的发 展、引领新技术革命等方面起到了无可替代的重要作用。有许多非线性发展方 程都具有物理意义，它的解能成功地解决物理中的许多现象，为其他学科的发 展也起到了巨大的推进作用。 例如( 1 ) k o r t e w e g 和d ev r 恼在研究浅水波的传播时首先推导出了k d v 方程 t 正t + 埘+ 伽z z z = 0 其中q 为常数。他们还求出了k d v 方程的孤立波解，成功地解释了r u s s e l l 早 年观察到的一种奇特的水波现象，从理论上证实了孤立波的存在。 9 关于非线性发展方程精确求解的研究 ( 2 ) 西北师范大学物理与电子工程学院理论物理研究所非线性物理研究小组 解决了由k p 方程描述的振幅不同且传播方向有一定夹角的双孤立子发生共振的 临界条件，得到了双孤立子相互作用时产生的第三个波的解析表达式。此理论 能成功解释美国k e l o n n g r e n 教授等在实验中发现的现象。并且发展了血管中 血液流动的孤立子理论。将血流脉博的物理规律用拟k d v 方程来描述，揭示了 血管分支对血流脉博的影响机理。说明了血流脉波的波形随血管与血液参数的 变化规律。 2 1高维耦合b u r g e r s 方程新的精确解 e m m a n u e ly o m b a f f = 2 0 0 5 年发表在c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s 上的t h er o o d - i f i e de x t e n d e df a n ss u b - e q u a t i o nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o nt o ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l d i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n 用的就是下面的常微分方程。 ( ) 2 = ( 塞) 2 = h o + 1 + ，1 2 ( 纠2 + 3 ( 纠3 + 4 ( 钟4 他设的解的形式是u = e0 i ) ( 0 ) ) 。 本节的主要工作是将解的形式进行了改进，将其设成： 忆，l 牡= 啦o ) 恁 ) ) + 0 i 押( z ) 妒一( z ) ) i = 0i = i 得到了解的负次幂的形式。 2 1 1 介绍了修正扩展的范的偏方程方法，并以高维耦合b u r g e r s 方程为例 说明了它的应用 下面我们首先简述方法的主要步骤。 考虑一个给定的有关独立变量z = ( t ，z 1 ，z 2 。，勋) ，和依赖变量u 的非线性偏微 分方程。 f ( t ，x i ，u ，地，国) = 0 ， ( 2 1 1 1 ) 我们将它的解设成下面的形式： u = e 田( z ) 扩( ( z ) ) + ea i + n ( z ) 一i ( ( z ) ) ( 2 1 1 2 ) 其中的西满足下面的方程： ( ) 2 = ( 筹) 2 = + 九1 砂+ ，1 2 ( 纠2 + b ( ) 3 + k ( ) 4 ( 2 1 1 3 ) 其中吩0 = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) 都是常数。我们采用下面的步骤来精确决定u 的表达形 式： 第一步：通过平衡给定的非线性偏微分方程( 2 1 1 1 ) 中的最高非线性项和最高阶 偏微分项来决定n 。 关于非线性发展方程精确求解的研究 第二步：把( 2 1 1 2 ) 和( 2 1 1 3 ) - x ( 2 1 1 1 ) 并且令所有 矿( 析再百而五厕再百砑巧砑) 口p = 0 ，1 ；后= 0 ，1 ，2 ) 的系数为零来得到关于a o ，n i g = 1 ，2 ，n ) 和f 的超定偏微分方程组。 第三步：应用数学软件m a t h e m a t i c a 解这个超定偏微分方程组，我们得到了f 和a o ，啦a = 1 ，2 ，n ) 的具体表达形式或者它们之间的关系。 第四步：用上一步得到的结果，通过对，h 1 ，h 2 ，和乜选择不同的值我们可以 得到一系列有关方程( 2 1 1 3 ) 的基本解如下： 第一种情况：在一些特殊的情况下，当0 ，h 1 0 ，h 2 0 ，蚝0 ，h 4 o ，它 可能存在三个参数r ，p 和q 以致于 h o + h l + 垃( 钟2 + ( 纠3 + h 4 = p 却( f ) + g 扩( 0 ) 2 ( 2 1 1 4 ) 方程( 2 1 1 4 ) 成立当且仅当有下面的关系式： h o = 7 2 ，h 1 = 2 r p ，圯= 2 _ r g 彬，b = 2 p q ，h 4 = 9 2( 2 1 1 5 ) 情况i ：举个例子，在方程( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 5 ) 都成立的前提下，文献f 5 1 j 得到了 下面的解： 第一类：当矿一4 粥 o 旦艘o ( q r o ) ， 心一瓦1 眵+ 痧面t 8 n h ( 华) 】 l 旌：万1 眵+ v p 2 - 4 q r c 。t h ( 芝亏当咝) 】； f 键= 熹眵+ x p 2 - - 4 q r ( t a n h ( v p 2 - 4 q r ) 士涵c ( 锯西孑刚， l掣 旌= 熹眵+ 诉巧孑( c o t h ( 诉匾万) 4 - c o s h ( y p a - 4 q r ) ) ， 【稚一石1m + y p 2 _ 4 q r ( 姚( v p 2 - 44 q r f ) + c o t h ( 华) ) 】( 2 1 1 6 ) 卜护1 + 迎婴雩蒜篷器卿， 卜扣一垣翌鼋翥等器迥， 其中a 和b 是两个非零实常数并且满足b 2 一印 0 。 仁 2 rc o s h ( 銎) 厕s i n h ( 峄) 一肿s h ( 擘) 一2 rs i n h ( 绎) 一 一v p 2 - - 4 q rc 。s h ( 峄) + ps i n h ( 辱! ) ( 2 1 1 7 ) 关于非线性发展方程精确求解的研究 1 2 = 第二类：当矿一4 q r o 且舶o ( 或者q r o ) ， f 苑= 刍f 呻+ 厢t a n ( 塑笋) 】 i 科4 一瓦1 由+ v i - p a + 4 q r 伽( , vr 2 - z4 q r ) ； f 以= 瓦1 【叩+ v - p 2 + 4 q r ( t a n ( q - - p 2 + 4 q r f ) s e c ( 厮挑 硝6 = 一瓦1 加+ 、_ p 2 + 4 q r ( c 。t ( j _ p 2 + 4 q r f ) 4 - c s c ( 厮。) 】 【硝，：石1 卜2 p + v - - p 2 + 4 q r ( 亡口死( ! 罕) 一c 。t ( ! 罕) ) ； f 咖8 刍 _ p 14 - j ( a 2 - b 2 ) ( - - p a 2 + s 4 m q l r 、) - 节a v 十- 4 p 矿2 专+ j 4 十q 乃r c o s ( j - p 2 + 4 q r 0 】 1咖毛=南b一：l：v(a2-b2)(-_p2五+4百qr万)-躲av-p2+4qrsin(v-p至2+4qr钆) ( 2 1 1 8 ) 墙= 鬲矗萃一， 翰= 万未爱篆蓊； 协q “1 厂i 万c o s ( 正字型) 一p s i n ( 止字型) 。 、 链：一兰竺堑至坚丝垒一+ p c o s ( 厂再孤) 4 - i v - f + 4 q r 。， 9 2 2 2一一j_p2+4qr s i n ( v - - p 2 + 4 q r ) o v - p , 十q q 7 乞 如：兰竺堑至! 丝：坠一一p s i n ( v - p 2 + 4 q r f ) - 4 - i 、- p 2 + 4 q r ，妒2 32 j _ p 2 + 4 q r cos(v-p2+4qr)一ps - p , 珐= 上标i 决定了解的群而下标i 决定了解的分类。文献f 5 1 】中的解妒1 9 应该被我们的 解 9 代替。 1 2 一一一一 鲎一 = = ，m ，n ，i-iilj(1l_【 关于非线性发展方程精确求解的研究 情况i i ：情况i 包括另一种特殊的情况当 2 = 0 。此时方程( 2 1 1 5 ) 被化简为， h o = r 2 ，h 1 = 2 r p ，h a = 2 p q ，h 4 = 矿( 2 1 1 1 0 a ) 参量r , p 和q 要满足下面的约束， p 2 = 一2 r q r q 0 其中虫= 一等，卯= 一等。 为下面的方程， ( 2 1 1 2 1 ) 解是w e i e r s t r a s s 椭圆双周期型的 备注：本文得到的所有解已经用m a 也e m b t i c 礅件检验过。 高维耦合b u r g e r s 方程是： 1 5 k一一肼一一掰掰拥脚拥丝。丝。盘。盘。 、l ， ： ：铲 k 舻辅4 l一扛一”1 1一14出4一4芷4 1 仃l 关于非线性发展方程精确求解的研究 ! t t2 + + 2 妣+ 2 嘶( 2 1 1 2 3 ) i 仇= + + 2 让+ 2 v 琬在我们对方程( 2 1 1 2 3 ) 应用上面的方法。通过平衡最高非线性项和最高 阶偏微分项来确定n 。此时( 2 1 i 2 ) 变成了， 卜弘d 【0 】+ 8 【1 】钗9 扣【2 1 布 ( 2 1 1 2 4 ) l 御( 删，t ) = a 【0 】+ a m 亭) + 4 【2 】病 其中凸【0 】= 口【0 ( 可，t ) ，a l l 】= o 【1 】( 秒，亡) ，a 2 】= q 【2 】( 可，t ) ，a o 】= a 0