（应用数学专业论文）一类半线性的全变分流的解之存在性.pdf

摘要 本文主要研究一类半线性的全变分流问题 ( p d )a 研u = a l l 。d 。o l 厂l 厂( “) ，q = ( 。，o 。) 力 u ( o ，x ) = z 9 0 ( x ) ， x 力 的弱解的存在性。通过证明算子a 在三1 ( q ) 中是闭的且具有m 阶完全可增长性， 再根据c r a n d a l l l i g g e t c 定理得出问题 r i “r 一厂( “) + a u30 ，q = ( o ，o o ) 臼 ( p a ) l “( o ) = “o ， x 力 l 的半群解是存在的。之后由算子a 的一些性质得出问题( p a ) 强解的存在性，最后 得到问题( p d ) 的弱解的存在性。 本文还研究了问题( p d ) 的弱解与下面的d r i c h i l e t 问题 ( s d ) 砌v ( 簖m m “=0，0o 的解之间的关系。 最后应用直接方法研究了如下变分问题 ，l i + m 。i 坼n f 。口， g p ( 旁) 2 v “j + 五i ，一“一a ，g - 一a ，g ：1 2 c & 咖+ ( ；孑疆) 石) 的解的存在问题。 关键词：弱解半群群强解完全可增长性算子 a bs t r a c t t h em a i n g o a lo f t h i sp a p e ri st op r o v et h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n so fas e m i l i n e a rt o t a l v a r i a t i o nf l o w p r o b l e m ( p d ) 威幅卜) ) q = ( o ，咖q i “( o ，x ) = “o ( x ) ， x q w ef i 虬p r o v et h eo p e r a t o ra b ec l o s e da n dc o m p l e t e l ya c c r e t i v e ，t h ee x i s t e n c eo f s e m i g r o u ps o l u t i o n so f t h ep r o b l e m l “，一f ( u ) + a u30 ，q = ( o ，) q ( p a ) ， l “( o ) = “o ， z q 7 a n ds h o wt h a tf o ri n i t i a ld a t ai n l 2 ( f 2 ) t h es e m i g r o u ps o l u t i o ni sas t r o n gs o l u t i o no f ( p a ) t h e nw ep r o v et h a ts t r o n gs o l u t i o n so f ( p a ) c o i n c i d ew i t hw e a ks o l u t i o n so f ( p d ) w ea l s oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i po fs o l u t i o n s o f ( p d ) a n d t h e p r o b l e m ( s d ) f i n a l l yw ep r o v et h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n so f t h e f o l l o w i n gm i n i m i z i n gp r o b l e m l i m i n 搿f g ，( 沁删“。i i f - , - o g , - o , 9 2 1 2 姗州( 厨蔼) 9 】彳) k e y w o r d s ：w e a k s o l u t i o n ，s e m i g r o u ps o l u t i o n ，s t r o n gs o l u t i o n s ， c o m p l e t e l ya c c r e t i v eo p e r a t o r c ： m 厂 + = 坐例， o 讲 = 一 “ ，f、l y6 2 5 3 3 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 甘， 研究生签名：! 生垒：j 口口宰年7 月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：茜垄、2 d 呻年7 月日研究生签名：圈整2 d 呻年7 月 日 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 第一章绪论 1 1 有关图像处理的研究 对图像处理的研究始于2 0 世纪6 0 年代，至今已有4 0 多年的研究历史了，研 究成果也非常丰富。 图像处理的主要过程是从图像中提取信息，并对此进行有效的处理。然而选 取怎样的方法和工具进行处理是最优的，一直是图像处理学者们所关心的热点问 题。对图像进行处理，涉及到数学、计算机、医学等许多学科的有关知识，又由 于图像处理在很多领域有重要的应用，目前有很多的科学学者致力于此研究，从 而也带动了相关学科的蓬勃发展。譬如在数学方面：对一些空间b v 空间、b e s o v 空 间等开展了深入的研究；对小波分析的性质进行更细致的研究等。随着越来越多 的研究的展开，图像处理将还会有更大的发展前景。 图像处理的主要内容包括：图像修复、图像重建、图像增强、图像分割、图 像编码、图像配准。图像修复通常通过去噪，纹理提取，边缘提取，图形分 割等来实现的。传统的图像修复的技术( 方法) 可分为确定性的恢复算法和随机 性的恢复算法，如有逆滤波法、贝叶斯法、最大熵法等。 图像处理的关键之一是建模和对模型进行分析。由于建模是以所收集到的目 标信息为基础的，对其基本特征做合理的数学描述( 这便是建模的过程) ，和对信 息进行分析、检测，所以建模的科学性是核心。而在对模型的分析方面选择什么 样的工具是十分重要的，因为这直接关系到图像主要信息的逼近度及重构时的保 真度。 在模型方面的研究成果有很多。这里只介绍与本文有关的几个模型。图像处理 中最基本的模型是：f = “+ 月，其中厂是实际观察到的图像，u 是真实图像，n 是 噪音，通常假定为高斯噪音。r u d i n o s h e r - f a t e m i 2 6 提出了如下的模型 m i n i d “i ， 一，) 2 d x = 盯2 蚓，其中d 是图像的存在区域 m u m f o r d s h a h 2 2 提出模型 r1 r a i n e ( u ，k ) = af l v “1 2 d x d y + k h “1 ( i n q ) + vf ( u - g ) 2 出咖 l q - l矗 j 其中q c r ”是有界区域，兄，k ，v 0 ，k 是闭集，“矽1 1 2 ( q k ) 。这个模型主要 将图像分割成连续与不连续两部分，特别将边界或一些纹理单独提出来研究。本 论文所考虑的极小问题就是基于上面的模型而提出来的，即a l u m i n i t av e s e & s t a n l e yj o s h e r 18 1 提出的模型 f 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 穗：陬9 1 ，9 2 ) = 肿i , d y + a i ，一a 幽一a 硝叛 j ( 麻m 其中参数女，旯 o ，p o o ，“b v ，g l ，9 2 r 用于图像处理的数学工具有很炙有从概率统计的角度研究，如s g e m a n & d g e m a n 1 4 】 1 5 、s c z h u - y n w u d m u m f o r d 3 1 】 3 2 】。 有从微分方程和几何等角度进行研究，如 6 】 5 】【2 9 】 3 0 等，这里只介绍对本论 文较重要的文氨在g tb e l l e 傲n i ，v c a s e l l e s & m n o v a g a 【6 给出方程一破v ( 高) 。“ 在空间阡崔1 , 1 ( 月2 ) 的分片常数显式解，这样就可以从一个方面更好的分片逼近真实图 像又如s o s h e ra n dl r u d i n 2 4 d m u m f o r d & j s h a h 2 2 2 3 等在用变分法进行逼近 真实图像方面作了非常有意义的工作。 对图像处理的研究成果到现在为止已非常丰富，但仍有很多还未解决的问题 由于图像处理技术应用更加广泛和深入，对图像的处理技术的要求也得必越来越 高。出现了大量值得研究的新的有意义的问题。 1 。2 本文研究的目的 前面提到图像处理中最为基本的模型是：f = “+ h ，其中f 是实际观察到的 图像，“是真实图像，n 是噪音通常假定为高斯噪嵌在【2 6 】中r u d i n o s h e r f a t e m i 提出了模型 m i l l i d “| ， 一) 2 d x = c r 2 i d i ，其中d 是图像的存在区域a 将其约束条件合并可以得到模型 晌 l d “卜击扣_ ，) 2 出, u b v ( q ) n r ( q ) 其中a 0 。通过计算可以得到该泛函的欧拉方程： 一西1 咖( 面d u ) = - - u + ， 于是通过对此方程进行研究，得到与图像处理相关的理论结果。 在m g c r a n d a l l & t m l i g g e t t 1 2 给, q 4 , 了有关半群的理论之后，有很多学者 便开始从半群的角度对方程的解进行研究。 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 f a n d r e u & v c a s e l l e 等人在【1 】，【2 ， 3 中研究了方程 q = ( o ，m ) q 其中q 是r ”中的一个具有l i p s c h i t z 边界的有界区域分别讨论了此方程具有 n e u m a r l n 边界问题和d r i c h i l e t 边界问题的解的存在性。 本文主要研究非齐次的初值问题 的解在厂( “) 具有某些限定时的关系。本文最后研究了一个极小问题解的存在性问题。 、lu， “一“ x d d “ ，l，l a w l l d ) = 一丝西邶 r，jj、，【 硕士论文 一类半线性的全变分流的解之存在性 第二章预备知识 2 1 预备知识 定义2 1 1 设q 是r ”中的一个具有l i p s c h i t z 边界的有界区域。我们称函数 u 属于空间b y ( n ) 是指：甜0 ( q ) ，在分布意义下“的导数是一个r a d o n 测度， 并且“的全变差0 d “| | ( q ) 是有界的。 即：“b 矿( q ) 当且仅当在q 上存在有限个r a d o n 测度h ，2 ，。，使得对 v 妒c 孑( q ) 有肛洳= 一肛h ，i = 1 ，n ，并且“的全变差i i d “i | ( q ) 是有界的。 nn 其中i | d “i i ( t a ) = s u p 船v ( o d x ：妒c 苫( q ，r ”) ，i 妒( x ) i s l ，垤q ) ，空间b 矿( n ) 的范数 定义为：州n ) = l l u l l 巩锄+ l l d “l l ( n ) 引入空间肖( q ) = z r ，r ”) ，d i v ( z ) ( n ) ) 定义2 1 2 泛函( z ，帅) ：c 芋( q ) 斗r 是指：z x ( q ) ，对 v w 占矿( q ) n p ( q ) 都有 = 一w 倒( z ) d x f w z v q 砬x nn 说明：上面定义的泛函( z ，d 呐是q 上的一个r a d o n 测度。( = ，d w ) ，忆d w ) j 在 q 上关于测度j i d 训是绝对连续的，还具有下列性质 r 瓦d = p v w d r ，v w 形( q ) n r ( q ) 1 5 ( z , d w ) l 茎 ( ：，肌) i 忙i i 。1 肌| ，任意的b 。l 集b q i lbb 由r a d o n - n i k o d y m 定理知：存在一个| | d 侧可测函数目( = ，d w ，x ) ：q 叶r ，使得 对任意的b o r e l 集b q 有丘毛d w ) = p ( z ，d w , x ) l o w l ， 和 愀z ，d w ，批( 。，i 。1 ) 册) 成立。 在 4 】中的迹定理可得，关于2 z ( q ) 在地上的迹函数是存在的。 定理2 1 1 设q 是r ”中的一个具有l i p s c h i t z 边界的有界区域，则存在一个 4 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 线性算子y ：x ( q ) 一r ( o n ) 使得 忱( x ) 忆。， z , u 。= l y ：( x ) “( z ) 删“1 ，v “b 矿( q ) 当z c 1 ( q ，r ”) 时对搬a q 有n ( x ) = z ( x ) v ( x ) 成立，其中v ( x ) 是a q 上的单 位外法向量。 说明：下面我们将把以( x ) 记作 z ，v 】( x ) 。 定理2 1 2 t 4 1 ( g r e e n 公式) 设q 是r “中的一个具有l i p s c h i t z 边界的有界 区域。1 p n ，p 。= j 乙，设“b 矿( q ) n l p ( q ) ，z r ( q ；月”) ，d i v z f ( q ) ， p 一1 则存在函数 z ，v 】l * ( o f f ) ，使得有下列式子成立 悟，1 j b 。，6 z | l 萨( 。：) ，s u d i v z d x + ( z ，d “) = i t ：, v l “d h “1 2 2 弱解的定义 我们将把c 芋( q ) 上的对偶空间记为p ( q ) 。 定义2 2 1 空间己( ( o ，r ) ，丑y ( q ) ) 是指：函数“：【o ，t _ + 口矿( q ) ，对 v 庐b 矿( q ) ，函数f e 【o ，卅斗 是可测的，并有f 怕( f ) ( n ) 0 。 定义2 2 2 设u 。l i ( q ) ，称可测函数u ：( 0 ，丁) q _ r 是问题( p d ) 在 ( o ，r ) q 上的弱解是指：若“( f ，x ) c ( 【o ，巧，( q ) ) n 吮：( o ，丁】，( q ) ) ，对任意的 k 0 ，有瓦 ( r ，x ) ) n ( ( o ，丁) ，丑y ( q ) ) ，和存在z ( f ) r ( ( o ，t ) x g ) ，i i = ( t ) l l 。1 ， 在p 。( q ) 上对几乎处处的t ( o ，t ) ，v k 0 有“，( t ) = d i v z ( t ) + ，( 疋( “) ) ，及 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 l ( r a u ( t ) ) 一w ) ( 嵋( f ) 一f ( t k ( “) ) ) l ( z ( f ) ，d w ) 一 i o t a “( 侧( q ) 一 l 【z v 】w l l 瓦( “) i 埘“1 ， ( 2 2 1 ) v w 曰矿( q ) n 上? ( q ) 定义2 2 2 的弱解可以用下面的定义来刻画 定义2 2 ，3 设f ( q ) ，称可测函数“：( 0 ，t ) q 斗r 是问题( p d ) 在 ( o ，r ) q 上的弱解是指：若u ( t ，x ) c ( 【o ，明，( q ) ) n 既1 。, 1 ( 0 ，丁 ，l i ( q ) ) ，对任意的 k 0 ，有瓦( “( f ，z ) ) 已( ( o ，丁) ，口矿( q ) ) ，和存在z ( f ) p ( ( o ，丁) q ) ， i z ( , ) t l 。1 ， 在区域p ( q ) 对几乎处处的t ( 0 ，t ) ，v k 0 有 “，( t ) = d i v z ( t ) + 厂( 疋 ) ) ，( 2 2 4 ) j ( z ( r ) ，d 五( 甜( f ) ) 边= l i a r , ( “( 训1 ( q ) ，( 2 2 5 ) 在a o 上有 z ( f ) ，v 】s i g n ( 一t k ( f ) ) ) h “1 一a , e 成立。( 2 2 6 ) 定理2 2 1 定义2 2 2 与定义2 2 3 是等价的。 证明：由定义2 2 2 推出定义2 2 3 在( 2 2 1 ) 式中令w = t k ( “) 可以得到( 2 2 5 ) 式。 由于0 r ( q ) ，可以得到| 矿( q ) n r ( q ) 满足对v 珂有l m = 0 和 v i i 1 ，l 比k ( n ) 吉成立。在( 2 2 f 1 ) 式中取w = w 。，再用g r e e n 公式得 f ( 五( “) 一”。) q = 一i d v ( z ) 一i i d t 。( ”) ( q ) + 且正 ) 一。) 厂( 瓦 ) ) 一瓦o ) i 令n 寸。时得j 矗 ) 址= 一i i d t a “) | | ( n ) + 仁( “) 厂( 瓦( “) ) 一i 瓦( “) i = 亿( “) ，一，( 正 ) ) ) 一且z ，v 瓦( “) + 亿( “) ，( 砭 ) ) 一j i 瓦 ) | 所以且z ，v 亿 ) = 一j 瓦( ”) | 所以在施上有 z , v t a “) = 一l 瓦 ) i h n - i - - a e 碍。 a n 由定义2 2 3 推出定义2 2 2 时直接利用g r e e n 公式便可。 说明：由v 七 o n f ( z ( f ) ，d 瓦 ( r ) ) ) 出= i i d 瓦 ( f ) ) l i ( q ) 成立，可以得到在测度 n 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 9 d 瓦( “) 0 t y l 3 z 处处n o ( z ，d 疋( 甜) ，x ) = 1 成立。所以当z c ( n ，r ”) 有 如) 。揣_ 1 ，酬卜e 料网d u = 1 ，i l o u l l 叱e 当z 不连续时有绀声糍- 1 ，慨( 酬t ，其中“) o 是表示“) 忙 r ”中关于l e b e s g u e 测度的绝对连续部分。特殊的，当“w 。1 ( q ) n r ( q ) 时有 如，。尚乩 i i v 1 l - o e 。 定义2 2 4 ( 对应于问题( p d ) 的算子b ) ( “，v 坷( “) ) b 当且仅当 “，v f ( q ) ，“b 矿( q ) ，和3 z x ( q ) ， 。1 ，使得在p ( q ) 中满足 v + f ( u ) = - d i v ( z ) ，及 ( w u ( t ) ) ( v + 厂( “) ) ( z ( r ) ，d w ) 一1 o “( t ) l l ( a ) - i z ，l l 】w 一1 “陴“1 ， f lnm v w b y ( n ) n r ( q ) 定义2 2 5 ( 算子4 ) ，v ) a p 当且仅当“彤l , p ( q ) n r ( q ) ，v l 1 ( f 2 ) 并且对任何w w i , p ( n r ( q ) 有j ( w - “) v 出1 v “r 2 v “v ( w 一“) a x nn 定义2 2 6 ( 对应于问题( p d ) 的算子a ) ( “，v + ，( ) ) a 当且仅当对几乎 处处的r o ，。】有“( f ，x ) ，v ( n ) ，对任意的k 0 有t a u ) b v ( 9 ，和3 z x ( q ) ， i z l l 。1 ，使得在舻+ ( q ) 中满足v + 厂( 正( “) ) = 一a i r ( z ) ， v k 0 及对 v w b y ( n ) n rc q ) 有 f w 一瓦( u ( t ) ) ) ( v + 厂( 瓦 ) ) ) o ( f ) ，d w ) 一i l d 瓦 ( r ) ) i ( q ) 一 nn 肛v w 一| 瓦( “) 陋”1 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 第三章半群解 本章主要证明定义2 2 6 中的算予a 满足c r a n d a l l l i g g e t t 定理的条件，从而证 明问题 ( p a ) 卜m ) “o ， 帅坤 、 。i “( o ，x ) = ， q 的半群解存在。 3 1c r a n d a li _ l i g g e t t 定理 本文所说的算子一是指定义2 2 6 中的算子a 。 空间m ( 哟为q 上的全体可钡4 函数的集合。v u ，- p m ( e 2 ) ，“ 0 都有“一“ 0 ，都有r ( 1 + 旯锄三瓦面成立，贝l j x t v u 。q ，v t 0 都有!媲(，+ta)-uo存在，以及有s(f)=e-muo=lim(i+lha)-uo和s(r)qw(t q ) h _ 目 一“h 成立。 3 2 算子8 的性质 定义泛函中“：扣m | i ( 卿+ k ，“b y ( 必 ( 3 2 o ) 1 + ，“( q ) b 矿( q ) 引理3 2 伊算子a p 在r ( q ) 中是完全可增长性算予，并对任何p l 有 p ( n ) r ( i + a p ) 引理3 2 2r ( q ) c r ( i + b ) 证明：只需证明v v p ( q ) ，3 u b y ( n ) n r ( q ) 使得( “，v 一“) b 即证明 3 z z ( q ) ，l i z l l 。1 ，使得在p ( n ) 中满足v 一“= 一d i v z ， j ( w 一“) ( v 一“) 如，d w ) 一恸忪) 一f 【训】w 一删 nn0m v w 缈1 1 ( 哟n r ( q ) ( 3 2 1 ) 由引理3 2 1 和类似于【1 1 】中引理1 的证明，n - i 得3 z ( q ) 使得在f ( o ) 中有 j 1 v r 2 v 生专z 。3 u b 矿( q ) n p ( 锄使得在舻( q ) 中有v - u = - d i v ( z ) 和 n 对任何t o 有。1 a 下面证明( 3 。2 。1 ) 式成立。 当v w ( q ) n r ( n ) ，由( 3 2 2 ) 式和y o u n g 不等式得。 肌嘲| o ，令w = v ，再用f a t o u 引理得： ( v 鸭) 2 ! ( j 1 v v i t + 帅 d d 爿 在上式中令”一得到在卫( q ) 中有”。斗v 成立。所以v 西两。哟 引理3 2 4 下列命题是等价的 ( 1 ) ( “，v + f ( z f ) ) e b ； 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 ( 2 ) “，v ( q ) ，“b y ( u ) ， 3 z 肖( q ) ，。1 ，使得在舻。( q ) 中满足 v + ，( “) = 一d i v ( z ) ， ( w u ( t ) ) ( v + ，( “) ) ( z ( f ) ，o w ) 一l i d 材o ) l | ( q ) 一j z ，v w j “虹h “， nn伍1烈1 v w g v ( f 2 ) c 、r ( q ) ； ( 3 ) “，v r ( q ) ，“b 矿( q ) ， 3 z z ( q ) ，l i = 1 1 。s l ，使得在p 。( q ) 中满足 v + ，( “) = 一a i v ( z ) ， s ( w u ( t ) ) ( v + ，( “) ) = j ( z ( f ) ，o w ) 一l i d “( f ) i i ( o ) 一j 叫一j “印“。， n 1 1试1乩1 v w b y ( q ) n f ( q ) ； ( 4 ) “，v f ( o ) ，“占y ( q ) ，3 z e x ( f 0 ， i z u 。1 ，使得在p ( q ) 中满 足v + ( “) = - d i v ( z ) ， 八= ( r ) ，d “( ) 协- - i i d “( f ) i j ( q ) ，和在a q 上有 n 【z ( r ) ，v s i g n ( 一t k ( “( f ) ) ) h ”一a 8 。 证明类似于 1 命题2 。 定理3 2 1 算子b 在口( q ) 中是m 阶完全增长性算子。 证明：首先证明算子b 在三1 ( 购中是完全增长性算子。 设( “，v + ，( ”) ) ，( 材，v + ，0 ) ) b ，所以只需证明v p p o 有 j p ( u - “) ( v + ，( “) 一v 一，( ) ) o 。 由( “，v + ， ) ) ，( ：，o 厂( ：) ) b 可以得到：j 毛；x ( 锄，。1 ，z _ x 有 v + f ( u ) = 一d i v ( z ) ，v + f ( u ) = - d i v ( z ) 。并且有 ( u ( t ) 一w ) ( v + 厂( “) ) 且z ( f ) ，d w ) 一归“( f ) | | ( q ) 一i t z , v l w j 1 “陋“( 3 2 1 7 ) 圳；粕，s ，吣陋，陋一肼w 廿妙b z m ， v w b y ( q ) n r ( q ) 由定理2 2 1 的说明可得口( z ，d u ，z ) = 1 l i d u l l - a 又由 4 】中的推论1 6 可 得珂仕葸嗣b o r e l 集b q 有 ( ：( r ) ，d “( ，) 协= p ( z ，d ) i m | = o “( 0 1 ， f ( z ( f ) ，d “( ，) 协j d “( f ) ， 同样的得到对任意的b o r e l 集b o r q 有 即旆螂舾i r ，| ， 口bi b 旆，逑舾i 。| _ 10 所以对任意的b 。r e l 集b q 有i ( z - ；，d 一：) ) o 成立。 臼c z 一；，。c 甜一：，x ，。，j f d c “一：，0 一口巴。 由 4 】中的推论2 8 得到 一；删“- u “) 为0 ，陋一：) 卜a e 。 口( z z ， ( “ ，x ) ，i i d p ( “一“) i i 一。 在( 3 2 1 7 ) 式中令w ：“一p 一a 得 f 3 2 1 9 ) 上面式子说明 ( 3 2 2 0 ) 一p u ( t ) 一洒( v 坝蝴p ) ，d ( “_ p ( u ( i ) 一汹) 一i i 训r ) | l ( 妒 i t ：, v l 0 有 i l d “0 ( o ) = l | d 瓦( “) i l ( n ) + l | d q ( “) 0 ( o ) 成立a 其中q ( r ) = ，一五( ，) v k 0 ，r ” 定理3 3 1 算子a 是算子b 在( q ) 中的闭包。 证明：设算子b 的闭包是b ，所以只需证明b = a 成立。 ( 1 ) 证明a b 若( “，v + ，m ) ) a ，则对任何女 0 有( t a u ) ，v + 厂( 正( “) ) ) b ，可得( “，v + ( “) ) b ( 2 ) 证明b a 若( “，v + ，( “) ) b ，则j ( “。，v 。+ ，( “。) ) b ，使得在l l ( 哟中有。专“， f ( u 。) 寸f ( u ) ，v 。_ v 成立a 由( “。，v 。+ 厂( “。) ) e b ，则可得存在乙( q ) ，i g n 忆1 ，使得在舻( q ) 中有 v 。+ f ( u 。) = 一d i v ( z 。) ， f ( w - u n ( t ) ) ( v + 厂( “。) ) j ( z 。( ，) ，d w ) 一i i z ) u ( 冰q ) 一心，v w 一弘。陋”1 n l谯l叽l v w b 矿( q ) np ( 哂。( 3 2 2 4 ) 由v k 0 ，嚷( “。) b 矿( q ) 可得j “。w u ( q ) n r ( q ) 使得她。忆m 。， 1 4 硕士论文 一类半线性的全变分流的解之存在性 m 瑚 对任意n e n ，在f ( o ) 中有“。寸g 。( ) ，及j v ，。i “；i l d q ( ) 0 ( q ) 。 n 在( 3 2 2 4 ) 式中用w + “代替w 得 f w + “。，。一u 。( t ) ) ( v 。+ 厂。) ) 且乇( f ) ，d w + d 材。，。) 一i i o o ) i i ( q ) 一 虹，川( w + , 4 m , n ) 一肌p i z 。( r ) ，肌) + 1 d u 。, n h 胁。( o i l ( n ) 一虹，v ( w + u r n , n ) 一肛| 拊“ n n 赢 由“。甘g k ( u 。) 得到当珂呻o 。时有“。哼0 成立。又由于在( q ) 中“。_ “可 得：3 m ， o ，i 气，v u 。一j q $ l n i 棚“m 。再由引理3 3 1 可得： s ( w 一瓦( u 。( t ) ) ) ( v 。+ ，o 。) ) 且乙( f ) ，d w ) 一| | d 瓦 ( f ) ) i i ( q ) 一 且孙v 】( w + ) 一批归“1 。 ( 3 2 2 5 ) 在( 3 2 2 5 ) 式中令w = 0 可得： i d t k ( u 。( 侧( n ) 亿( u 。( t ) ) ( v 。+ ，( ) ) + m ， k s u p v n ) + m l ， 所以t a u ) 丑矿( q ) 。 由于z 。x ( q ) ，i i z 忆1 ，所以存在 z 。 的一个子列，不妨记作k ) ，及 ：r ( q ) ，使得在r ( q ) 中有乙_ z 成立，也可以得到。1 。 在( 3 2 2 5 ) 式中令”寸o o 可得 j ( w 一瓦( u ( t ) ) ) ( v + ，( 瓦( u ( t ) ) ) ) s 且z o ) ，d w ) 一i j d 瓦( u ( t ) ) l l ( q ) 一 肛v 】w 一肛( u ( t ) ) i 棚“1 d lm 所以( “，v + ，( “) ) e a 。证毕。 定理3 3 2 算子a 在( o ) 中是m 阶完全可增长性算子。 证明：首先证明算子a 在( q ) 中是完全可增长性算子。 设( “，v + 厂( “) ) ，( “，v + ，( “) ) a ，所以只需证明对即异有 硕士论文一类半线性的全变分流的解之存在性 j p ( 一“) ( v + ，( “) - - v - - ，( ”) ) o 由定理3 2 1 的证明方法可得此结论。所以算子a 是具有完全增长性的。 由定理3 3 1 可得r ( i + a ) 在( q ) 中是稠密的。所以算子4 在( q ) 中是m 阶完全可增长性算子。证毕。 由上面证明的算子4 的性质和c r a n d a l l l i g g e t t 定理可以得到如下的定理。 定理3 3 3 对于上面定义的算子一有以下性质： ( 1 ) l i m ( 1 + 二爿) 1 存在； n ( 2 ) s ( f ) 是方程( p a ) 的半群解 ( 3 ) s ( t ) u o = e - t a l l o = l i m ( f 十二j 4 ) 一“o ； h ( 4 ) s ( ) q 。( q ) 。 硕士论文 一类半线性的全变分流的解之存在性 第四章强解 本章主要利用半群的有关知识，讨论问题( p _ a ) 的半群解与问题( p a ) 的强解之间 的关系，得到问题( p _ a ) 的强解是存在的。 4 1 预备知识 设秘( f ) 。是在( q ) 中由算子一所产生的收缩半群 c r a n d a l l l i g g e t t 指标公式给出，即 s ( t ) x 2 l i m ( i + - - a ) 一“x v t 0 ，v l q 。 定义泛函中 ：p d “l l ( q ) + l 川，“b 矿( q ) l 佃，“卫( q ) b v ( q ) 其表达式可以由 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 由于泛函o u ( t ) 在( q ) 中是凸的，下半连续的，所以锄“( r ) 在上l ( q ) 中是一 个极大单调算子。若留( f ) 。是由算子揶“( ，) 在f ( q ) 中产生的半群，则对任意的 _ ( q ) ，有“( r ) = t ( t ) u 。是问题 詈，吣叫 ， u ( o ，x ) = “o，x m 的强解。 其中算子a o “( d 的定义如下： ( “，v ) 细当且仅当 ，ve f ( q ) ，对任意的w _ ( q ) 有( w ) o ( h ) + f ( w 一“) v 。 矗 类似地： ( “，v + ，( “) ) e 砌当且仅当“，v ，f ( u ) f ( q ) ，和对任意的h ，_ ( q ) 有 o ( w ) o ( u ) + i ( w 一“) ( v + 厂( “) ) 。 矗 相应的：u 应该是方程 一( v + ，( “) ) + a 中“= 0 x q ( 4 1 4 ) 的强解。 引理4 1 1 曰n ( r ( q ) r ( q ) ) = 。 婴主丝茎二壅兰垡竺塑垒壅坌鎏鳖竖查登垄丝 证明：先证明b n ( l 2 ( q ) l 2 ( q ) ) a o 。 由 ，v + ， ) ) 口n ( r ( q ) r ( q ) ) 得：吖，v ，f l u ) r ( q ) ， “b 矿( q ) 。且 j z x ( q ) ，1 i z ks 1 ，满足v + ，( u ) = 一d i v ( = ) ，有下列式子成立 w _ u ) ( 吖( u ) ) p 加w ) 一1 胁i i ( n ) 一p 卜u l d h “1 ， v w b y ( n ) n p ( q ) 。 所以只需证明( “，v + ，( “) ) 锄，即要证明 f ( w - u ( t ) ) ( v + 厂( “) ) 1 l 肌炉) 一1 1 肌( 眯q ) + m 一州， 矗 蟊l西1 v w b v ( q ) n 2 ( q ) 。 对给定w b v ( o ) n l 2 ( q ) ， 由于( “，v + ，( “) ) 雪n ( 口( q ) 五2 ( q ) ) ， 则 弛爿( q ) ， l i z k 1 ，使得在区域舻( q ) 上有v + ，( u ) = d i v ( z ) 及 ，驰) - u m ，( u 肛p 成( w 沪( 妒p 姒w ) 一i u 矿1 v 七 0 ( 4 1 5 ) f l j ( 4 1 5 1 式子可以得到对任意的k o 有 l ( 疋( w ) 一“) ( v + ， ) ) s i l d 兀( w ) k 妇) 一f h i i ( o ) 一l 毛v 】瓦w k h d 日肛1 ( 4 1 6 ) 因为在p ( q ) 中有i i d w 0 ( q ) s h 絮! 乎8 d 瓦( w ) l i ( q ) ，又由i l d 疋( w ) 4 ( q ) 蔓0 d w 4 ( 购可得 熙s u p 归瓦( w ) 牌) l l 肌牌) 。所以熙i l d t ( w ) | | ( q ) = 6 d w 妞) 。在6 ) 式中令 k - 9 o 。可得 f ( w u ( t ) ) ( v + 厂 ) ) i l o w l l ( a ) 一忪“( f ) l i ( 锄+ j t w l m l ， n a o 五l v w b y ( n ) n r ( 哟 得到b n ( r ( q ) r ( q ) ) a o 。 由r ( q ) c r (